View
226
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱第七章では、陽電子の散乱を取り扱った。ここでは、電子のクーロン散乱を取り扱い、更に
光子が量子場
のときを考える。この
光子によるクーロン散乱への量子補正
を考察する。S行列は、
( )4exp IiniS T d x xc
¥
-¥
æ ö= -ç ÷è øò
H (8.1)
であり
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )intext
Iin in in in in in ine ex x N x A x x N x A x xj y y y y= = - -
H H (8.2)
として、電子を記述するので 1qy = - にしてある。規格された電子の状態は
始状態:運動量 1p ・スピン 1s の電子( ) ( )( )
1 †1
1
02
s
aa
Ky
w+Þ =
pp
(8.3)
終状態:運動量 2p ・スピン 2s の電子( ) ( )( )
2 †2
2
02
s
ba
Ky
w+Þ =
pp
(8.4)
になる(問題1)。
遷移確率
求める振幅は(7.12)と同様で、量子場の影響を見るために展開項の第 3 項まで調べる。(8.1)より
( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 34expb Iin a b aiM T d x x I S S Sc
y y y y¥+ + + +
-¥
æ öº - = + + +ç ÷è øò
H (8.5)
( ) ( ) ( )1 41 1 1
exti eS d x T N x A xc
y= ò ( ) ( ) ( )1 1 1x x A xy y+ ( )( ){ }
( ) ( ) ( )
1
22 4
1 1 112!
ext
x
i eS T d x N x A xc
y
yæ ö= ç ÷è ø ò
( ) ( ) ( )1 1 1x x A xy y+ ( )( )( )( ) ( ) ( )
2
1
33 4
1 1 113!
ext
x
i eS T d x N x A xc
y
yæ ö= ç ÷è ø ò
( ) ( ) ( )1 1 1x x A xy y+ ( )( )( )3
1xy
(8.6)
である。ここで ( )1S に対する量子補正を調べるため、
( )2,3S において ( )1extA x を一つ含む項
を対象にする。従って、
( ) ( ) ( )2
2 4 41 2 1 1
1 22!
i eS d x d x T N x A xc
yæ ö= ç ÷è ø ò
( )( ) ( ) ( )1 2 2extx N x A xy y ( )( ){ }
( ) ( ) ( )
2
33 4 4 4
1 2 3 1 11 33!
x
i eS d x d x d x T N x A xc
y
yæ ö= ç ÷è ø ò
( )( ) ( ) ( )1 2 2x N x A xy y ( )( ){ ( )2xy 続く
2/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( )3 3 extN x A xy× ( )( )}3xy (8.7)
になる。さらに
( )2 0b aSy y+ + = (8.8)
に注意すると(問題2)
( ) ( )( )1 3b aM I S Sy y+ +º + + (8.9)
である。さて、(7.41)式を陽電子の代わりに、電子の場合に翻訳して
( ) ( ) ( ) ( )1 1 41 1 1
extb a b
i eM S d x T N x A xc
y y y y+ + +¢ º = ò 真空偏極を除く( )( ){ }
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1
41 1 1 1
2 10 2 12 12 2
0 2 1
1 2
a
extb a
s s
x
i e d x N x x A xce Ze E Ei u u
cc
ll
y y
y y g y y
g dp e
+
+ +=
-æ ö= ç ÷è ø-
ò
p p
p p
(8.10)
を得る。ここで、フーリエ(逆)変換として
( )( )
( ) ( )42 14
1 exp 2
extiqxa q d x A x q p pm mpæ ö= = -ç ÷è øò
(8.11)
とすると、(7.43)の
( )1 2
1 0 1 20 04
i iext Ze Zed e A d e
c cm p e e- -
= = =ò ò qx qx
x x xx q
(8.12)
を用いて、再度、(8.10)を ( )A xm で表すと
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20
0
1 2 10 2 12 12
2 10 02 12
42 12 12 3
2 1
2
4
2
4
1
12
1 2
1 1 222
1
1
2
1
2
iex
s s
s s
s siqx
ext
t
s s
e E EM i u uc
ei u u
d xe A x
a q
Zec
d q
ei u u
i e
A
u u
e
m
m
m
m
m
eg d
p
g dp
g ppp p
p g
-
=
-æ ö¢ = ç ÷è ø
=
=
=
ò
ò
qx
p p
p p
p p
p
x
p
q
x(8.13)
より(問題2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 12 12 s sM ieu u a ql
lp g¢ = p p (8.14)
を得る。ここで、
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )2 1
41 2 13 3
22 2
s su uM ie a ql
lp gp p
¢ =p p
(8.15)
と整理しておく(問題3)。また、
3/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( ) ( ) ( )3
3 3 4 4 41 2 3 1 1
1 33!b a b
i eM S d x d x d x T N x A xc
y y y y+ + +æ öº = ç ÷è ø ò
( )( ) ( ) ( )1 2 2x N x A xy y ( )( ){( ) ( )
2
3 3 ext
x
N x A x
y
y× ( )( )}3 axy y +
( ) ( )3
4 4 41 2 3 1 1
1 2! b
i e d x d x d x T N x A xc
y y+æ ö= ç ÷è ø ò
( )( ) ( ) ( )1 2 2x N x A xy y ( )( ){( ) ( )( )} ( )
2
3 3 3 exta
x
N x x A xrr
y
y g y y +×
(8.16)
である。そこで、 ( ) ( )1 1T N x A xy ( )( ) ( ) ( )1 2 2x N x A xy y ( )( ) ( ) ( )( ){ }2 3 3x N x xry y g y は(6.30)を用
いると、縮約の仕方により種々の項が出るので、
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2 2 3 3
0 1 2 3
T N x x A x N x x A x N x xa b m r s n t wy y y y y y
= + + +縮約 縮約 縮約 縮約(8.17)
とすると
( ) ( ) ( )3
3 4 4 41 2 3 1 1
12! b
i eM d x d x d x T N x A xc
y y+æ ö= ç ÷è ø ò
( )( ) ( ) ( )1 2 2x N x A xy y ( )( ){( ) ( )( )} ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3 3
34 4 4
1 2 3
3
1 0 1 2 32!
exta
b a
ext
x
N x x A x
i e d x d x d xc
A x
rr
m n llab rs tw
y
y g y y
y y
g g g
+
+ +
×
æ ö= + + +ç ÷è ø ò
縮約 縮約 縮約 縮約
(8.18)
と記述するとき、(6.30)を用いて
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 2 1 2 3 30 N x x x x A x A x x xa b r s m n t wy y y y y y=縮約 (8.19)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
1 2 3 3 1 2
1 2 2 3
1 2
1 3
1 2
1 3
2
1 2
1 2 3 3 1 2
1 2
3
2 3 1 2
1 1 2 3 1 2
1
1 ,
,
,
,
,
N x x x x x x
N x x x x x x
N x x x x x x
N x x x x x x
N x x x x x x
N x
x x
x x
x x
x x
x x
b r t w mn
b r s t mn
a s t w mn
a r s
a
w mn
s
a
a b s
w
b r
b t
r wt mn
a
y y
y y
y y y y
y y y y
y y y y
y y y y
y y y y
y y
y y
y
y y
y
=
+
+
+
+
+
縮約 A
A
A
A
A
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 3
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2
1 2 3 3 1 2
1 2 2 3 1 2
1 2 3 3 1 22
,
,
,
,
x x
x x x x x
N x x x x x x
N
x x
x x
x x
x
x x x x x x
N x x x x x xx
b r w mn
b r t w mn
b r s t m
s t
y y
s a
w a
b r
n
a s t w mn
y y
y y y y
y y
y y
y y
y y
y y y y
y y y y
= -
-
+
順序をに整えて
続く・・・
A
A
A
A
4/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2 2 3 1 2
1 1 2 3 1 2
1 1 2 3 1
1 3
3 2
22 3
,
,
,
N x x x x xx x
x x
x
N x x x x x x
N x x xx xx x x
a r s w mn
a b s t mn
a
b t
w r
s r w nt b m
y y
y y
y y y y
y y y y
y y yy yy
+
-
+
A
A
A
(8.20)
ここで
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2,x x N A x A x A x A xmn m n m n= + A (8.21)
である。次に、縮約が2つある場合を調べれば、例えば、(縮約 1)から
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2 3 3 1 2
3 3 1 2
2 3 1 2
1 3 1 2
2 1
1 3
2 1
2 1
32 1 2
1 ,
,
,
,
N x x x x x x
N x x x x
N x x x x
N x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x xx x
b r
b r
b t
s a
s a
s a
s a
t w mn
t w mn
r w
w
mn
b t mnr
y y y y
y y
y y
y
y y
y y
y
y y
y
y
y y
y y
y
y
= -
Þ -
-
-
縮約 A
A
A
A
(8.22)
なので、残りも同様に縮約を追加し、独立な縮約として
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 1
2 1
2
1 2
1
3 3 1 2
2 3 1 2
1 3 1 2
1 2 1 2 3 3 1
1
3
2
1 2
31
2
2 ,
,
,
,
N x x x x
N x x x x
N x x x
x x
x
x
N x x x x x x x x
N x
x
x x
x
x x
x
x x xx
s a
s a
s a
t w mn
r w m
b r
b t
r
n
b t mn
b r a s t w mn
b a
w
r
y y
y y
y
y y
y y
y
y y
y y
y
y y y y y y
y y
y
y
y y
= -
-
-
+
+
縮約 A
A
A
A
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 3 3 1 2
1 3 1 2 2 3 1 2
1 3 1 2 2 3 1 2
3 2 1 1 2 3 1 2
2 3 1 1 2 3
,
,
,
,
x x x x x
N x x x x x x x x
N x x x x x x x x
N x x x x x x x x
N x x x x x x x
s t w mn
b t a r s w mn
b t a r s w mn
w r a b s t mn
s t a b r w mn
y y y
y y y y y y
y y y y y y
y y y y y y
y y y y y y
+
+
-
+
A
A
A
A
A ( )1 2, x
(8.23)
更に、縮約が3つある場合を表せば、
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 1 1 2 3 3 1 2
1 2 1 2 3 3 1 2
1 3 1 2 2 3 1 2
3 ,
,
,
N x x x x x x x x
N x x x x x x x x
N x x x x x x x x
s a b r t w mn
b r a s t w mn
b t a r s w mn
y y y y y y
y y y y y y
y y y y y y
= -
+
+
縮約 A
A
A
(8.24)
になる。ここで、始状態と終状態に電子が 1 個づつしかないので、(8.21)では
( ) ( ) ( )1 2 1 2,x x A x A xmn m n= A (8.25)
のみ扱えばよい(問題4)。縮約は、(6.27)より
5/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, 2 2F Fx y S x y A x A y x y
aba b m n mny y = - = - D - g (8.26)
を用いて書き換えることができる。ここで便宜のため、
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
2
3
4
4
42
2
212
1
2
2 2
ipx
F F
F F F
eD x x d pp m c i
pmcK x S x i
i c
D x i cab ab
ab
ep
p
-æ öº D =ç ÷ - +è ø
æ ö æ öº = ¶ + =ç ÷ ç ÷è ø è ø
ò
( )
( ) ( )( )
3
4
42 2 2
400 20 2
ipx
ipx
F F m
mc ed p
p m c i
eD x D x d p
pi c
i
ab
mnmn mn
e
mmp e
-
-
=
+
- +
= - = -+
ò
ò
gg
(8.27)
を導入し
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), F Fx y K x y A x A y D x ya b ab m n mny y = - = - (8.28)
と表す。また、運動量表示の伝搬関数として、(8.27)より
( ) ( )( )
( )
( )
4
42 2 2
3
2
2
ipx
F F F
F
i d pp D x p ecp m c i
ci pS p
e p
-D = Ü = D
- +
=
ò
( )2 2 2
2mc ip m c i
cpe
+=
- + ( )
( )( )
( ) ( )( )
( )3
4
4
40
42
2
2
ipx
F F
ipx
F F F
c
d pK x S p emc i
i d pD p D x D p ep i
mnmn mn mn
e p
me p
-
-
Ü =- +
-= Ü =
+
ò
ò
g
(8.29)
を用いる(問題5)。
ファイマン図
( )0縮約 と ( )1縮約 と ( )3縮約 は寄与しない。yyの順序の添え字に整理する。例えば、(8.22)は
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1
2 1
2 1
3 3 1 2
2 3 1 2
1 3 1 2
3
3
2 3
12 2
2 1
1
2 ,
,
,
N x x x x
N x x x x
N x x x x
x x
x
x x
x x x
x x
N xx
x
x x x
x
s a
s a
s a
t w mn
r w mn
b t mn
t
b r
b
s
t
r w
b wra
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y yy y
= -
-
-
= -
縮約 A
A
A
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
3 1 2
2 3 12 1
2 1
2
1
1 3
3 2 3 1 2
x A x A x
N x x A x A x
N x x A x
x x
Ax x
x x
x xx
b t
w r
m n
r w m n
ts m n
s a
a b
y y
y
y y y y
y yy y y
+
-
であり、以下、同様にして
6/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
3 3 1 2
2 3 1 2
1 3 1 2
1 2 2 3 3 1 1 2
1
2 1 1 2
1 3
3 2
2 1
2 1
2
N x x A x A x
N x x A x A x
N x x
x x
x x
x x A x A x
N x x x x x x
x x
x
A x x
x
x
A
x
N
x
t w m n
r w
s a
s a
s
m n
b t m n
b r s t w a m n
a
r
ra
b
b t
w
y y
y y
y
y y
y y
y y
y y
y y
y y
y y y y y
y
y
y
= -
+
-
-
+
縮約
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 2 3 3 1 2
3 1 1 3 2 2 1 2
1 1 3 3 2 2 1 2
3 2 2 3 1 1 1 2
2 3 1
x x x x x A x A x
N x x x x x x A x A x
N x x x x x x A x A x
N x x x x x x A x A x
N x x x
b r s t w m n
w a b t r s m n
a b t w r s m n
w r s t a b m n
s t a
y y y y y
y y y y y y
y y y y y y
y y y y y y
y y y
-
+
-
+
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
1 2 3 1 2
3 3 1 2
2 3 1
2 1
2 1
2 1
1 2
2
1 3 1 2
1 2 2 3
1
3 1 1 2
1
3
3 2
F
F
F
F
F
F
F F F
F
F
F
K K x x
K x x
K x x
x x x A x A x
N x x D x x
N x x x x
N x x x x
N K x x x x K
x x
K x x
K x x
x x x x
N x K
b r w m n
t w mn
r w mn
b t mn
sa
sa
s
br s t wa mn
a
br
t
wa
b
r
y y y
y y
y y
y y
y y
y
= - -
+ -
- -
- - -
+
-
-
- -
-
-
-
D
D
D
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2 2 3 3 1 2
3 1 1 2 2 2 1 2
1 1 3 3 2 2 1 2
3 2 2 3 1 1 1 2
2 2 3 3 1 1 1 2
F F F
F F F
F F F
F F F
F F F
x x K x x x x x
N K x x K x x x x x x
N x K x x K x x x x x
N K x x K x x x x x x
N x K x x K x x x x x
br st w mn
wa br r s mn
a bt wr s mn
wr st a b mn
r st wa b mn
y
y y
y y
y y
y y
- - -
- - - -
+ - - -
- - - -
+ - - -
D
D
D
D
D
(8.30)
それぞれの項に対応するファイマン図は
1項目) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 1 2 3 3 1 2F F FN K x x K x x x x D x xsa br t w mny y- - - -
3x´
1x´
2x´
Ä
2項目) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 1 3 2 3 1 2F F FN K x x K x x x x x xsa bt r w mny y- - -D
1x´
2x´
3x´Ä
3項目)( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 1 3 3 2 1 2
3 2 1 3 2 1 1 2
F F F
F F F
N K x x x x K x x x x
N x K x x K x x x x x
sa
sa
b t wr mn
t wr b mn
y y
y y
- - - -
= - - -
D
D
7/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
1x´
2x´
3x´Ä
6項目) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 1 1 3 2 2 1 2F F FN K x x K x x x x x xwa br r s mny y- - - -注意
D
2x´
1 x´
Ä3 x´
7項目) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 3 3 2 2 1 2F F FN x K x x K x x x x xa bt wr s mny y- - -D
2x´
3 x´
Ä
1x´
を得る(問題6)。ここで
1項目)は真空のエネルギーの補正項であるので、ここでは考えなくてよい
ので、問題6の結果も考慮して、独立な項目として
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 1 1 3 2 3 1 2
2 1 3 1 3 2 1 2
3 1 1 3 2 2 1 2
1 1 3 3 2 2 1 2
2 2
2
2
2
F F F
F F F
F F F
F F F
N K x x K x x x x x x
N K x x x x K x x x x
N K x x K x x x x x x
N x K x x K x x x x x
sa bt r w mn
sa t b wr mn
wa bt r s mn
a bt wr s mn
y y
y y
y y
y y
= - - -
+ - - -
- - - -
+ - - -
注意
縮約 D
D
D
D
(8.31)
を得る。以上から
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
33 4 4 4
1 2 3
2 1 1 3 2 3 1 2
2 1 3 1 3 2 1 2
3 1 1 3 2 2 1 2
1 1 3 3 2
12!
2
2
2
b F F F
F F F
F F F
F F
i eM d x d x d xc
N K x x K x x x x x x
N K x x x x K x x x x
N K x x K x x x x x x
N x K x x K x x
sa bt r w mn
sa t b wr mn
wa bt r s mn
a bt wr
y y y
y y
y y
y y
+
æ ö¢ = ç ÷è ø
× - - -
+ - - -
- - - -
+ - -
ò
注意
D
D
D
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2
3
F a
ext
x x x
A x
s mn
m n llab rs tw
y
g g g
+-
×
D
8/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( ) ( ) ( )
34 4 4
1 2 3
2 2 1 1 3 3
12!
2 : extb F F
i e d x d x d xc
x K x x K x x A xn my y g g+
æ ö= ç ÷è ø
× - -
ò
( ) ( )
( ) ( )3 1 2
3 3
:
2 :
F
ext
x x x
x A x
mny
y
-
+
D
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2 2 1 1 1 2
3 1 1 3 3
:
2 :
F F F
extF F
K x x K x x x x x
Tr K x x K x x A x
n mmn
m
g g y
g
- - -
- - -注意
D
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 1 2
1 1 3 3
: :
:
F
extF
x x x x
x K x x A x
nmn
m
y g y
y g
-
+ -
D
( ) ( ) ( )3 2 2 1 2:F F aK x x x x xnmng y y +- -D
(8.32)
を得る。(8.30)のグラフに含まれる部分過程の
、 、
はそれぞれ
電子の自己エネルギーへの eの 2 次の量子補正:
+ + = 光子の自己エネルギーへの eの 2 次の量子補正
+ + = 光子と電子の結合への eの 2 次の量子補正
+ + =
に対応する。
量子効果とファイマングラフ
(8.32)の量子効果を評価するため
( )( )
( )( )
42 2 2
3 2
4 42 2,
ipx
F F
peD x d p K xp m c i
i c i cabp pe
-
= =- +ò
( )
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
42 2 2
402
2†
31
3
4
†3
exp exp2 2
exp exp2 2
2
ipx
ipx
F
i i i i
i
i i i i
i
mc ed p
p m c i
eD x d p
p i
c ipx ipxx d u a bK
c ipx ipxx d u
i c
a bK
ab
mnmn
b b
a a
e
me
yp w
yp
p
w
-
-
¢ ¢ ¢ ¢
¢=
+
- +
= -+
æ öæ ö æ ö= - +ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø
æ öæ ö æ ö= + -ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø
ò
ò
åò
g
v
v
p p p p pp
p p p p pp
2
1=åò
9/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )
1 † 21 2
1 2
4†
4
0 , 02 2
, , 22
s s
a b
i jiqx ij
a aK K
d xa q A x e a a Km m
y yw w
w d dp
+ += =
¢ ¢= = -ò
p pp p
p p p p p(8.33)
を使う。
a.電子の自己エネルギーを含む量子効果1
【2項目】 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 1 3 2 3 1 22 F F FN K x x K x x x x x xsa bt r w mny y- - -D
1x´
2x´
3x´Ä
評価する積分は・・・
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
33 4 4 4
1 2 3 2 1 1 3 2 3
2
1 2
34 4 4
3
3
1 2
1 2 : :2!
:
F F
F
b
Fxt
a
a
b
e
i eM d x d x d xc
x A x
K x x K x x x
x
i e
x
x Kd x d x d xc
sa bt r w
m n
a
llb r twsm
n
n
y y
g g
y
y g
gy y
+
+
+
æ ö¢ = ×ç ÷è ø
× - ×
æ ö= ç ÷è ø
- -ò
ò
D
( ) ( ) ( )2 1 1 33ext
Fx x K x x A xmg- - ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2
324 4 4
1 2 3 22
2† 2 2
31
4 2
3
114
:
1 02
exp exp2 2
2
a F
s
i i i i
i
x x
i e d x d x d x ac K
c ipx ip
x
xd u a b
i
K
kd k c
mn
n
y
w
p w
gp
y +
=
-
æ ö= ç ÷è ø
æ öæ ö æ ö× + -ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø
×
ò
åò
D
v
pp
p p p p pp
( ) ( )
( )1 2 1 4
2242 2 2
1
2
2
ik x xmc kd kek m
i cc i
mge p
--æ ö+
ç ÷ç ÷- -è øò
( ) ( )
( )2 1 3
32 222
ik x xext
mce A x
k mc ie
--æ ö+
ç ÷ç ÷- -è øò
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2340
4
2†3 3
31
1 †1
1
32 4 4 4
1 2 32
220
2
4
1
3
exp exp :2 2
1 02
1 1 2 2
2
2
ik x x
i i i i
i
s
i
c ip x ip xd u a bK
aK
i e c d x d x
i cd
c
k ek i
d kd xc K K
c
mn
p w
w
w w
mep
pm
--
¢ ¢ ¢ ¢
¢=
¢ ¢æ öæ ö æ ö¢ ¢ ¢ ¢ ¢× - +ç ÷ ç ÷ç ÷¢ è ø
æ ö-ç ÷ç
è øè ø
æ ö
÷
֏
-è
çø
ø
=
åò
ò
ò
g
vp p p p pp
pp
p p ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2
22 † 2 2
2 31
411
4
4
2
0 : exp exp2 2
2
s i i i i
i
ik x x
d ipx ipxa u a bK
kd k
ie
k i
in
mn
p w
g
e
p
--
=
æ öæ ö æ ö× + -ç ÷ ç ÷ç ÷
æ ö-ç ÷ç ÷-
è ø è øè ø
×
è ø
åò
ò
g
vpp p p p p
p
( ) ( )
( )1 2 1 4
2242 2 2
1 2
ik x xmc kd kek m c
ii
mge p
--æ ö+
ç ÷ç ÷- -è øò
( ) ( )
( )2 1 3
32 222
ik x xext
mce A x
k mc ie
--æ ö+
ç ÷ç ÷- -è øò
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2† 1 †3 3
131
exp exp : 02 2
i i i i s
i
c ip x ip xd u a b aKp w
¢ ¢ ¢ ¢
¢=
¢ ¢æ öæ ö æ ö¢ ¢ ¢ ¢ ¢× - +ç ÷ ç ÷ç ÷¢ è ø è øè øåò
vp p p p p pp
10/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2
1 †1
3 48 4 4 4 4
1 2 3 4 22 1
22 † 2 2
2 31
4
0
114
2
0
1 12 2 2
0 : exp2 2
2
1
s
ik x x
s i i i i
i
a
ii e d kc d x d x d x ec K K k i
d ipx ipxa u a bK
kk id
cmn
n
w w ep
p w
gp
e
--
=
×
æ ö-æ ö= ç ÷ç ÷ ç ÷-è ø è øæ öæ ö æ ö× + -ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø
×
ò ò
åò
g
v
p
p p
pp p p p pp
( ) ( )
( )1 2 1 4
2242 2 2
1 2
ik x xmc kd kek m c
ii
mge p
--æ ö+
ç ÷ç ÷- -è ø
( ) ( )
( )2 1 3
32 222
ik x xext
mce A x
k mc ie
--æ ö+
ç ÷ç ÷- -è øò
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2† 1 †3 3
131
exp exp : 02 2
i i i i s
i
d ip x ip xu a b aKp w
¢ ¢ ¢ ¢
¢=
¢ ¢ ¢æ öæ ö æ ö¢ ¢ ¢ ¢× - +ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø¢åò
vp p p p p p
p
(8.34)
である。ここに、 20 01 cm e= を用いた。そして、積分をまとめて、 Jとおく・・・
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
23
0
1 2 1 2 1 2 1 3
33 8 4
2 1
4 4 42 4 4 4 31 2
1 2 3 4 4 4 2 2
20
2
2 †2 3
2 2 2 21 2
1 12 2
2 2
0 : ex
1
p2
2
2
iec
a
ik
s i
x x ik x x ik x xext
i
i eM cc K K
e e e A xd k d k d ki i d x d x d xk i k
d ip
m c i k m c i
K
c
xa u a
e
lmn
e w w
e e ep p p
p w
- - -- - -
æ ö¢ = ç ÷è ø
× -+ - + - +
×
ò
p p
pp p pp
g
( ) ( ) ( ) ( )2
2 2
1
1
expi i
i
ipxb
kng
=
æ öæ ö æ ö+ -ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè øåò
p pv
( ) 2m kmg+ ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2†3 3
31
1 †1
exp exp :2 2
0
i i i i
i
s
m
d ip x ip xu a bK
J
a
lg
p w
¢ ¢ ¢ ¢
¢=
+
¢ ¢ ¢æ öæ ö æ ö¢ ¢ ¢ ¢- +ç ÷ ç ÷ç ÷è
üïïïïï =ýïïïïïþ
ø è øè ø¢åò
p p p p pp
p
v
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )( )
1 2 1 2 1 2 1 3
23 2
0 2 1
4 4 44 4 4 31 2
1 2 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 21 2
1 12 2
2 2 2
ik x x ik x x ik x xext
ie i ic K K
e e eJ
A xd k d k d kd x d x d xk i k m c i k m c i
mn
l
e w w
e e ep p p
- - -- - -
º - -
×+ - + - +ò
gp p
(8.35)
次に、N 積を評価して
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2 † 2 22 3
1
1
0 : exp exp2 2
s i i i i
i
d ipx ipxJ a u a bK
kn
p w
g
=
æ öæ ö æ ö= + -ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø
×
åò
pp p p p pp
v
( ) 2mc kmg+ ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2†3 3
31
exp exp :2 2
i i i i
i
mc
d ip x ip xu a bK
lg
p w
¢ ¢ ¢ ¢
¢=
+
¢ ¢ ¢æ öæ ö æ ö¢ ¢ ¢ ¢× - +ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø¢åò
p p p p pp
v
11/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 † †1
22 † 2
2 131
0 0 0 0
0 exp2 2
s i i
s i i
i
a b b
d ipxa u a kK
ngp w
¢
=
¢× Ü = =
æ ö= ç ÷è ø
åò
p p p
pp p pp
( ) 2mc kmg+ ( )mc lg+
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
21 †3
131
exp 02 2
i i s
i
d ip xu a aKp w
¢ ¢
¢=
¢ ¢æ ö¢ ¢× -ç ÷è ø¢
åò
p p p pp
(8.36)
である(問題7)。更に、
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2
2 † 22 3
1
1
0 exp2 2
s i i
i
d ipxJ a u aK
kn
p w
g
=
æ ö= ç ÷è ø
×
åò
pp p pp
( ) 2mc kmg+ ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 †313
1exp 0
2 2i i s
i
d ip xmc u a aK
lgp w
¢ ¢
¢=
¢ ¢æ ö¢ ¢+ -ç ÷è ø¢
åò
p p p pp
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
†
2† 2 2 2
2 231
1
, 2
0 2 exp2 2
i j ij
i i s i s
i
a a K
d ipxu a a KK
kn
w d d
w d dp w
g
=
¢ ¢Ü = -
æ ö= - + - ç ÷è ø
×
åò
p p p p p
p p p p p p pp
( ) 2mc kmg+ ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2† 2 2 3
1 131
†2
2 22 13
2 exp 02 2
0 0 0, 0 0 1
0 2 exp2 2
i i s i s
i
i i
s
mc
d ip xu a a KK
a a
d ipxK u kK
l
n
g
w d dp w
w d gp w
¢
¢=
¢
+
¢ ¢æ ö¢ ¢ ¢ ¢× - + - -ç ÷è ø¢
Ü = = =
æ ö= - ×ç ÷è ø
åò
ò
p p p p p p pp
p p
p p p p pp
( ) 2mc kmg+ ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 3
13 2 exp 0
2 2s
mc
d ip xK uK
lg
w dp w
+
¢ ¢æ ö¢ ¢ ¢× - -ç ÷è ø¢
ò
p p p p pp
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
2 13 32 1
22 1
1 1 2 22 2 2 2
s
K KK K
u kn
w wp w p w
g
=
×
p p
p p
p ( ) 2mc kmg+ ( ) ( ) ( )1 2 2 1 31 exp exps ip x ip xmc ulg æ ö æ ö+ -ç ÷ ç ÷
è ø è ø p
(8.37)
以上から、
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 3
23 23
0 2 1
4 4 44 4 4 31 2
1 2 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 21 2
23 2
0 2 1
1 12 2
2 2 2
1 1 2 2
a
ik x x ik x x ik x xext
M ie i ic K K
e e e A xd k d k d kd x d x d x Jk i k m c i k m c i
ie i ic K K
mn
l
mn
e w w
e e ep p p
e w w
- - -- - -
¢ = - -
×+ - + - +
= - -
ò
続く・・・
p p
p p
g
g
12/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 34 4 4
4 4 4 31 21 2 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2
1 2
2 13 32 1
22 1
2 2 2
1 1 2 22 2 2 2
ik x x ik x x ik x xext
s
e e e A xd k d k d kd x d x d xk i k m c i k m c i
K KK K
u k
l
n
e e ep p p
w wp w p w
g
- - -- - -
×+ - + - +
×
×
ò
p p
p p
p ( ) 2mc kmg+ ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 3
1 2 2 1 31
23 2
30
4 4 44 4 4 31 2
1 2 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 21 2
22 1
exp exp
12
2 2 2
s
ik x x ik x x ik x xext
s
ip x ip xmc u
ie i ic
e e e A xd k d k d kd x d x d xk i k m c i k m c i
u k
l
mn
l
n
g
e p
e e ep p p
g
- - -- - -
æ ö æ ö+ -ç ÷ ç ÷è ø è ø
= - -
×+ - + - +
×
ò
p
p
g
( ) 2mc kmg+ ( ) ( ) ( )1 2 2 1 31 exp exps ip x ip xmc ulg æ ö æ ö+ -ç ÷ ç ÷
è ø è ø p
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )( )
( ) ( )( )
1 2 1 2 1 2 1 3
3 2
0
4 4 44 4 4 31 2
1 2 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 21 2
22
13
1
2 2 2
2
ik x x ik x x ik x xext
s
ie i ic
e e e A xd k d k d kd x d x d xk i k m c i k m c i
uk
mn
l
n
e
e e ep p p
gp
- - -- - -
= - -
×+ - + - +
×
ò
g
p ( ) 2mc kmg+ ( )( ) ( )( )
11 2 2 1 33
exp exp2
su ip x ip xmc lgp
æ ö æ ö+ -ç ÷ ç ÷è ø è ø
p
(8.38)
を得る。ここで
( ) ( )44 2ikx
d xe kp d=ò (8.39)
を用いるために、 1,2,3x 積分を実行する。
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )( )
( ) ( )( )
1 2 1 2 1 2 1 3
3 23
0
4 4 44 4 4 31 2
1 2 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 21 2
22
13
1
2 2 2
2
a
ik x x ik x x ik x xext
s
M ie i ic
e e e A xd k d k d kd x d x d xk i k m c i k m c i
uk
mn
l
n
e
e e ep p p
gp
- - -- - -
¢ = - -
×+ - + - +
×
ò
g
p ( ) 2mc kmg+ ( )( ) ( )( )
11 2 2 1 33
exp exp2
su ip x ip xmc lgp
æ ö æ ö+ -ç ÷ ç ÷è ø è ø
p
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2 1 31 2 1 1 2 2
4 4 43 2 4 4 1 2
1 2 4 4 40
22
123
2 2 2 2 2 2
44
1
4
32
3 21
2 2 2
2
i k k k x i k k p xs
iqx
i k p xext
d k d k d kie i i d x d xc
e e uk
k i k
d xd x a
e A x
q A x e
m c i k m c il
m mn m
n
e p p p
ge e e
p
p
- + - -- +
= - - × Ü
×+ - + - +
=ò ò
g
p ( ) 2m kmg+ ( )( ) ( )( )
1132
sum lg
p+
p
13/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( ) ( )
( )
3 2
0
4
4
1 12!
2
ie i ic
d k
mne
p
= - -
×
g
( )
41
42d kp ( )
42
42
d k
p
( )42pò
( ) ( )41 2 2k k kd p- + - ( )
( )( )( )
( )
1 2
2 2 2 2 2 2 21
4
2
2
k k p
k i k m c i k m c i
d
e e
p
e
- +
+ - + - +
× ( )( ) ( )( )
1 132
22
2
sexta k
ukpl
ngp
-p ( ) 2mc kmg+ ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
113
3 2 4 4 2 22 22 2 2 2 2 2
0 2 2
22
2 1 3
2
1
2
s
sext
umc
p kie i i d kd k
c k i k p m c i k m c i
ua k p k
l
mn
nl
gp
de e e e
gp
+
-= - -
+ + - + - +
× -
òg
p
p2p+( ) 2m kmg+ ( )
( ) ( )( )
1132
sum lg
p+
p
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
3 2 422 2 2 2 2 2
0 2 2
22
2 1 3
1 1
2
sext
ie i i d kc k i k p m c i p m c i
ua p p k
mn
nl
e e e e
gp
= - -+ + - + - +
× -
òg
p2p+( ) 2mc pmg+ ( )
( ) ( )( )
1132
sumc lg
p+
p(8.40)
以上から
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
3 23 422 2 2 2
0 2 2
22
2 1 3
1 1
2
a
sext
M ie i i d kc k i k p m i p m i
ua p p k
mn
nl
e e e e
gp
¢ = - -+ + - + - +
× -
òg
p2p+( ) 2m pmg+ ( )
( ) ( )( )
1132
sum lg
p+
p(8.41)
になる。これを(8.15)と比較するため、
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
2 143 2 1
4
4
23
0
132
2 2
12
s sext
au u
M i
i kd
e a p p
k iec
ll
nl
e p
pp
g
p¢ = G -
G =
p p
p+( )( )
( )2 22
2im iie
k ip i
p
k mmnmgee
+ -++ - +òg ( )
2 22
4 4m
p m il
eg
+
- +Ü ´ 行列
(8.42)
とまとめる。 m mgG = のときに ( )1aM ¢ を与える。
==ファイマングラフからの評価==
この結果を、グラフから導いてみる。グラフに運動量を書き入れると・・・
3p
1x´
2x´
3x´Ä
1p4p
k2p
q
である。ルールは
内線の4次元運動量(ここでは 3 4, , ,q k p p )はそれぞれに4次元積分と4元運動量保存則:
14/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( )42 4p d 元運動量 の形で取り入れる。
内線には、対応する伝搬関数: ( )2
F
i c pS p =
( ) ( ) 02 2 2
3
2, F
mc iD p
p m c i ic
pmn
mn
me e
+ -=
- + + g
入・出電子(フェルミオン)には、対応する波動関数( ) ( )( )
( ) ( )( )
2 3 32 2
s su cuc
p p
æ öç ÷´ =ç ÷è ø
p p
入・出光子(ボゾン)には、対応する波動関数( ) ( )( )
( ) ( )( )
03
032 2
c eec ll m
p p
m æ öç ÷´ =ç ÷è ø
pp
電子(フェルミオン)のループはTr、及び、 -注意
を付ける。
電子と光子のバーテックスには、 ( )1 ei q ec
myg = -
外場q´
Ä には ( ) ( )42 exta qmp
になる。ちなみに、【第7章ファイマン図:クーロン散乱】にあてはめると・・・
e- e-
( ) ( )( )
11
2 3
1
2
suc
p
p´
ß
p ( ) ( )
( )
22
2 3
2
2
suc
p
p´
ß
p
( ) ( )42 1
1 2 p qc
pei m p dg - -
x´Ä
q( ) ( )42 exta qmp Þ
であるので、グラフの左から順にルールに従って、式として右から記述する。、このグラフの
内線に現れる運動量は qなので( )
4
42d qpò
が積分になるので
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
2 12 13 3
2 1
44
2 144
413 3 2
2 1
1 21 12
22
22 2
2
s se
e
t
t
x
sx
s
d c cu a q u
u ui
ei
a p
q p q p
pe
c m
m
m
m
p dp p
p gp p
gp
p2 2æ öç ÷è
-ø
= -
-ò
p p
p p(8.43)
になり、(8.15)と一致することがわかる。
これらをグラフ3p
1x´
2x´
3x´Ä
1p4p
k2p
qにあてがうと・・・
15/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
1 eic mg
´
23i c p ( )
2 2 23
3
mcp m c i
p
e
+
- +
Ý
1 eic
mg´
( ) ( )4
2 exta qlp
Äß
1 eic
ng´
( ) ( )( )
11
2 3
1
2
suc
p
p´
Ý
p
( ) ( )( )
12
2 2 32
sucpp
Þ ´
p4
42
p
i pcß ( )
2 2 24
mcp m c ie
+
- +
2
30
ik i
k
c mnme
-+
Ý
g
このグラフの
内線に現れる運動量は 3 4, , ,q k p p なので( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 43 4
4 4 4 42 2 2 2d q d k d p d pp p p pò
が積分になる。また、
運動量保存則は ( ) ( )41 32 q p pp d + - 、 ( ) ( )4
4 32 p p kp d - - 、 ( ) ( )44 22 p p kp d - -
になる。グラフの左から順にルールに従って、式として右から記述すると
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
34 4 4 42 03 4
43 4 4 4 4 2
24 4
4 2
12 2 2 2 2
1 2
s i cc d q d k d p d puk i
i c pei p p kc
mn
n
mep p p p p
g p d
2
-+
æ ö× - -ç ÷è ø
ò
pg
( ) ( ) ( )44 32 2 2
4
23
1 2
mc ei p p kp m c i c
i c p
mg p de
+ æ ö- -ç ÷- + è ø
×
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )4 4 11 3 132 2 2
3
1 12 22
sextmc e ci a q q p p u
p m c i cl
lg p p de p2
+ æ ö+ -ç ÷- + è ø
p
(8.44)
になる。これを計算すれば、(8.41)に等しいことがわかる(問題8)。一方、 k積分を残せば
( )( ) ( )
( )
23422 0
23 4 21 1
2 2s i c pi cc d k eu i
k i cmn nm
gep p2
- æ öç ÷+ è øò
pg ( )
2 2 22
2
1
mc eip m c i c
i c k
mge
+ æ öç ÷- + è ø
×
2p+( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )4 12 1 12 32 2
2
1 122
sextmc e ci a p p u
ck p m c il
lg pe p2
+ æ ö-ç ÷è ø+ - +
p
(8.45)
ので、特別に、
運動量保存則の積分の影響は、今回の一連のグラフでは無視できる
ことがわかる。従って、各点で運動量保存則を加味したグラフ:
1 eic mg
´
22i c p ( )2
2
222
p
p
mcm c ie
+
- +
Ý
1 eic
mg´
( ) ( )2 14
2 exta p plp
Äß
-
1 eic
ng´
( ) ( )( )
11
2 3
1
2
suc
p
p´
Ý
p
( ) ( )( )
12
2 2 32
sucpp
Þ ´
p2
2i
p
c
k
kß
+
2p+( )( )2
2 2 2
m
p
c
ik m c e
+
- ++
2
30
ik i
k
c mnme
-+
Ý
g
16/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
を考えれば良い。従って、
バーテックスでは、矢印の方向に従って4次元運動量保存
である。
==電子の自己エネルギー==
(8.42)で評価したファイマン図
1x´
2x´
3x´Ä
には、電子の自己エネルギー
+ + =といわれる部分が含まれている。通常、量子効果の部分は、
( )2
pi
cS
- =
で表す。1 この自己エネルギー ( )pS は、対応ルールに従って評価すると、
( )( )
( )4
40
12
i kd ki p iec
nge p
- S =
p+( )( )
( )2 22 24 4
mc iie
k ik p m c imnmgee
+ -Ü ´
++ - +ò 行列g
(8.46)
になる(問題9)。この表式を用いると(8.42)は
( ) 22
i pi plG = - S
( )2 2 22
4 4mc
p m c i
lg
e
+Ü ´
- +行列 (8.47)
と書き換えられる。従って、(8.42)より
( ) ( )( ) ( )( )
( )( )2
4 23 223
22
s
a
i puM ie i pp
p¢ = - S
p ( ) ( ) ( )( )
( )1
12 12 2 2 3
2 2
sext
mc ua p p
p m c i
l
l
g
e p
+-
- +p
(8.48)
になる。
(8.46)の積分を実行する。(8.46)より、
( )( )
2 4
40 2
ke d ki pc
mg
e p- S = -
p+( )
( )( ) ( )2 2 2 2
mc
k p m c i k img
e e
+
+ - + +ò (8.49)
において、定番の公式
( )( )1
20
1 1dxab b a b x
=+ -
ò (8.50)
を用いると
1
( )2
pi
cS
-
のとき、 ( )pS がmcに対する補正項になり、 ( )mc mc p® +S の置き換えをする。つまり、
( )2
Fi cS p
p=
2imc i p
ce=
- + 2ii p
ce+
+
2
2ii pmci c
ce+
ie
++
なので、( )
2 2 2
pmmci
ci icc c
S= - Þ -
に対応する。
1
eic
mg
´
1p 2p
2 1p p-
1p 2p
1 2p p-
1
eic
mg
´
17/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( )( ) ( ) ( )( )1
22 2 2 2 22 2 2 20
1 1dxk p m c i k i k k p m c k x ie e e
=+ - + + é ù+ + - - +ë û
ò (8.51)
なので
( )( )
2 4
40 2
ke d ki p dxc
mg
e p- S = -
p+( )
( )( )1
222 2 2 20
mc
k k p m c k x i
mg
e
+
é ù+ + - - +ë ûò ò (8.52)
である。一方、(8.151)を用いて
kmg p+( ) 2mc kmg+ = - p+( ) 4mc+ (8.53)
より
( )( )
2 4
40
2
2
ke d ki p dxce p
-- S = -
p+( )
( )( )1
222 2 2 20
4mc
k k p m c k x ie
+
é ù+ + - - +ë ûò ò (8.54)
を得る。ここで k積分を実行するため
( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1k k p m c k x k kpx p m c x k xp m c x p x+ + - - = + + - = + - - - (8.55)
より、変数変換 k k xp¢ = + を行い、改めて k ¢を kと見なおして
( )( )
2 4
40
2
2
ke d ki p dxce p
-- S = -
( )1 x p+ -( )( )( )
1
22 2 2 20
4
1
mc
k m c x p x ie
+
é ù- - - +ë ûò ò (8.56)
ここで
kの奇関数の寄与は0になる (8.57)ので(問題10)
( ) ( )2
0
2 1ei p dx x pce
- S --= - ( ) ( )( )
4
4 22 2 2 2
1
0
12 1
4 d k
k m c x imc
p xp eé ù- - - +é
ë
ù
û
+ë û òò (8.58)
ここで、 積分は、(8.166)を用いて
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
0 0
2 2 4, 0
4 22 2
4
4 22 2 2 2 2 2
12 2 11
1E
E
k ikk k
E
E
d kIk m c x
d kik m c xp x pi x
e
p e p
==- =
= =é ù- - - -é ù- - - +ë û ë û
ò ò (8.59)
と Euclid 化する。(8.58)は、
( ) ( )2
0
2 1ei p dx x pce
- S = - - - ( ) ( )( )
4
4 22 2
1
02 2
12
4 with 1
E
E
d kI I ik m c
mx p
cxp
=é ù+ - -ë
é ù+ë ûû
ò ò (8.60)
さらに、n 次元化して(8.172)を用いると
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 24 21
4 2 4 242 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1lim2 21 11
2
E
nk r
nEn
E
d k nI i i r drnk m c x p x r m c x p x
pp p
=-
®= =
æ öé ù é ù+ - - + - -G +ç ÷ë û ë ûè ø
ò ò
(8.61)
k
18/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
ここで
( )( ) ( )( )( )2 2
1 2 1
2 22 2 2 20 0 2 , 2
1, 11
n
na b m x p x
r rdr drb arr m c x p x
a
a ba a b
¥ ¥- -
+= + =
= = - -
=é ù ++ - -ë ûò ò (8.62)
なので、(8.180)より
( )( )( )
( )
( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
2 2 22 2 2
2 1
2 2 , 20 2 , 2 1, 1
1, 1
2 22 2 2 2 2 22 2
,12
,2 21 1 12 2 2 2 2 2 21 2 1
nn a b m c x p x
a b m c x p x
n n
Br dra bb ar
n n n nB
m c x p x m c x p x
a
a b a b a a ba a b
a b¥ -
+= + =
= + = = = - -= = - -
- -
=+
æ ö æ ö æ ö- G G -ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø= =
Gé ù é ù- - - -ë û ë û
ò
(8.63)
を用いて
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
2
44 22 2 2
212 2 2
44 22 2 2
2
44 22 2 2
21 2 2lim
2 1 2 1 22
21 2 2lim
2 2 1 22 2
21 lim
2 1
n
nn
nnn n
nn
n
nn
n nnI i
nm x p x
n nn i
n nm x p x
ni
m x p x
pp
pp
pp
® -
æ öGç ÷æ ö è øG + =ç ÷è ø
® -
® -
æ ö æ öG G -ç ÷ ç ÷è ø è ø=
æ öG + é ù- - Gç ÷ ë ûè ø
æ ö æ öG G -ç ÷ ç ÷è ø è ø=
æ öG é ù- - Gç ÷ ë ûè ø
G -=
é ù- -ë û( )
22
æ öç ÷è øG
(8.64)
ここで、公式として
( ) ( )2
422 2
2
21 2
2
n
n
nid k
k A i A
p
e -
æ öG -ç ÷è ø=G- +
ò (8.65)
を得る(Appendix4:n次元積分参照)。更に、(8.169)を用いて
( ) ( )( ) ( )( )( )
222 2 2
4 44 22 2 2 2
212lim ln 1
2 2 21 2
n
nn
ni iI m c x p xn
m c x p x
p p gp p® -
æ ö æ öG -ç ÷ ç ÷è ø é ù= = - - - -ç ÷ë û-ç ÷é ù- -ë û è ø
( )( )( )
22 2 2
42 ln 1
42i m c x p x
np gp
æ öé ù= - - - -ç ÷ë û-è ø(8.66)
になる(問題11)。ここで
19/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
4次元時空( 4n = )では2
4 n-は発散する
ことがわかる。これから、
( ) ( )2
0
2 1ei p dx x pce
- S = - - -
( )
1
0
2
0
4
2 1e dx x
m
pc
c I
e-
é ù+ë û
= - -
ò
( )( )( )
2
40
221
2242
ln 14 i m x xccn
pm p gp
æ öé ù-é ù - -ç ÷ë û+ë û è-
- øò(8.67)
を得る。更に、発散項とオイラー数g の項のパラメータ積分( x積分)を実行して
( )( )
2 2
40
2 12
e i dx x pc
pe p
- - - ( )
2 2
4
1
00
2 2 24 2
244 2
imcn
xec
x pne
g p gp
æ öæ ö= - - - -ç ÷ ç ÷-èæ öé ù+ -ç ÷ë û -è ø ø è ø
ò
( )
1
0
2
4
2
0
4
2 1 2 14 22
ec
mcx
i pn
p gpe
é ù+ê ú
ë û
æ ö æ ö= - - - -ç ÷ ç ÷-è ø è ø ( )
22
40
24 442
imc mcec
pnpe
p gé ù æ ö+ = - - -ç ÷ê ú -è øë û ( )
(8.68)である。ここで、
2
04eme
ca
pe=
なので、(8.68)は
( )( )
2 2
40
2 12
e i dx x pc
pe p
- - -
1
0
244
24 4emi pmc
n ng a g
pæ öé ù+ -ç ÷ë û -è ø
æ ö-ç -è= ÷
øò ( )4mc- (8.69)
と計算できる。 終的に
( ) 24 4emii p p
na gp
æ ö- S = -ç ÷-è ø( ) ( )
( ) ( )
4
2 14
R
emR
mc i p
ii p dx x pap
- - S
- S = - - ( )( )1
2 2 2
0
4 ln 1mc m c x p xé ùé ù+ - -ë û ë ûò(8.70)
を得る。以上をまとめると・・
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( )
2 143 2 1
2 13 3
22
22 2
s sext
au u
M ie a p p
i pi p
ll
l
pp p
¢ = G -
G = - S
p p
( )
( )( )
2 2 22
2 4
40
4 4
2
mcp m c i
ke d ki pc
l
m
g
e
g
e p
+Ü ´
- +
- S = -
行列
p+( )( )( ) ( )2 2 2 2
4 4
2 4 4em
mc
k p m c i k i
i pn
mg
e e
a gp
+Ü ´
+ - + +
æ ö= -ç ÷-è ø
ò 行列
( ) ( )
( ) ( )
4
2 14
R
emR
mc i p
ii p dx x pap
- - S
- S = - - ( )( )1
2 2 2
0
4 ln 1mc m c x p xé ùé ù+ - -ë û ë ûò
(8.71)
20/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
である。
==電子の質量の繰り込み==
さて、 ( )pS には、 4n = で発散する(diverge)項
( ) 24 4emii p p
nap
- S =-発散 ( )4mc- (8.72)
を含む。この発散を取り除くために、
繰り込み(renormalization:再規格化)
をおこなう。特に、自己エネルギーに現れる発散を取り除くことを
質量の繰り込み(mass renormalization)という。これは、再定義された新しいラグランジアンとして
0
14
F F i Dmnmn y
m= - +L
( )m m cdy
+æ ö-ç ÷
è ø(8.73)
を採用することになる。相互作用として
( ) : :Iin in inm cx d y y×
= + +
H (8.74)
で与えられる。ここで、観測される質量は
obsm m md= + +観測される質量(有限の値): 量子効果
で再定義される。この効果は、 1x´
2x´
3x´Ä に対して
1x´
2x´
3x´Ä
+ 3x´Ä
i md´
-という2つのグラフを評価することになる。その結果
( )( ) 22
i pi p i m cl dG = - S - ×
( ) ( )( ) 222 2 2
2
mc i pi p m c
p m c i
lgd
e
+= - S + ×
- +( )
2 2 22
mcp m c i
lg
e
+
- +(8.75)
が再評価された値になる。
さて、「繰り込み」では、 ( )pS に対して
( )p m cdS + × =有限値
になるように md を決定する。そのため
繰り込み点
を設定する必要がある。通常
p mc= で設定するのを on-shell 繰り込み: pS ( )mc m cd= + × =有限値
という。繰り込み点の p の値は何でも良い。この点を例えば観測されている質量mではなく、
別の値mとすると、 ( )finite pS は(8.79)とは異なる。しかし、実際の物理はこのような人為的な取
21/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
り方によらないはずである。この「繰り込み点の人為的設定に依らない」ことを数学で表現す
るとき繰り込み群と呼ばれる。但し
一度決めたら同じ処方に従う (8.76)ことになる。この処方に従うと
m c pd × = -S ( ) ( ) 24 4emmc p p
na gpæ ö= Ü = -ç -è
- ÷ø
S ( ) ( )
( ) ( )
4
2 14Rm
R
e
mc p
p dx x pap
S
S = --
-
Ü -
-
( )( )1
2 2 2
0
4 ln 1mc m c x p xé ùé ù+ - -ë û ë ûò(8.77)
で評価され
( ) ( )1
2 2 2
0
2 3 2 1 ln4 4 4em emm c mc dx x mc m c x
na ad gp pæ ö× = - - + +ç ÷-è ø ò (8.78)
とである(問題12-A)。あるいは、 md は、
2 34 4em
R pm c mcn
ad gpæ ö× = - - -Sç ÷-è ø
( )mc=
である。従って、繰り込み後の ( )pS は
( ) ( ) ( )p p m c p pdS º S + × = S -S ( )2
4 4em
mc
pn
a gp
=
æ ö= - -ç ÷-è ø( ) ( ) ( )24 3
4 4em
R Rmc p mcn
pa gpæ ö- + S - - - - + Sç ÷-è ø
( )Euler2
4 4em
mc
pn
a gp
é ù=ê úë ûæ ö
= - -ç ÷-è ø
数
( ) ( )R Rmc p p- + S -S ( )
( )R Rp
mc
pS
=
- S ( ) ( ) ( )2 14em
R p dxm pc xap
Ü S = - -= ( )( )
( )
12 2 2
0
4 ln 1
42 1em
mc m c x p
x x p
x
dap
é ùé ù+ - -û
= - -
ë û
-
ëò
( )( ) ( ) ( )( )( )
21
2 22 2
0
24 ln 1 1 l
2
4
n
1em
x mc m c xmc m
x pd
c p x
x
x
ap
2é ùé ù+ - -ë û +é ùë û-
--
ë û
-=
ò
( )( ) ( )2 2 24 ln 1 2 1mc m c x p x pxé ùé ù+ - - - -ë û -ë û ( )( )
2 2 24 ln
2 1
mc m c x
x p
é ù+ë û
+ - - ( ) ( ) ( )
( )
1
2 2 22 2
0
20
2
4 ln l
4
2 1 n
1em
mc x mc m c xm
dx p
x
x
c
ap
æ öç ÷ç ÷-é ù+ë û +é ùë ûè ø
= - - -
òを足す
( )( ) ( )2 2 2
2 2 24 2ln 11m c x p x
mc pm x
xc
é ù- -é ù+ +ê úë û ê ú
- +ë û
( ) ( )1
2 2 2
0
lnmc m c xæ öç ÷-ç ÷è ø
ò
( )1
2em
x pdxa
p
- -= -
( )( )
( )
2 2 2
2 2 2
12 ln
1
m c x p xmc
c
x
m x
p
é ù- -é ù+ ê úë û ê úë
-
û
- ( ) ( )
1
0 2 2 2lnmc m c x
æ öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷-è ø
ò (8.79)
と与えられる。つまり
22/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( )Euler2
4 4emp p
na gpæ ö
S = - -ç ÷-è ø
数
( )( )1
2em
x pmc dxa
p
- -- -
( )( )
( )
2 2 2
2 2 2
12 ln
1
m c x p xmc
m c x
x p
é ù- -é ù+ ê úë û ê úë û
- - ( ) ( )
1
0 2 2lnmc m x
æ öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷-è ø
ò
(8.80)を得る(問題12-B)。
b. 電子の自己エネルギーを含む量子効果2
【3項目】 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 2 1 3 2 1 1 2F F FN x K x x K x x x x xsat wr b mny y- - -D
1x´
2x´
3x´Ä
対応ルール
1 eic
mg
´
( ) ( )4
2 12 exta p plp
Äß
-
1
2
k p
ih c k
+
ß1p+( )
( )2 2 21
mc
k p m c ie
+
+ - +
21
ih c p( )2 2 21
1
mcp m c i
pe
+
- +
Ý
( ) ( )( )
11
2 3
1
2
suc
p
p´
Ý
p
( ) ( )( )
22
2 2 32
sucpp
Þ ´
p
1
eic
lg´
2
30
ik i
k
c mnme
-+
Ý
g
1 eic
ng
´
に従って評価する積分は・・・グラフの左から順にルールに従って、式として右から記述すると
( ) ( )( )
( ) ( )422
122 12 3
1 22
sext
i c puc ei a p pc
llpg
p
æ ö-ç ÷è ø
p ( )
( )
2 2 21
2340
4 21
2
mcp m c i
i c ki cd k eik i c
mn n
e
mg
ep
+
- +
- æ ö× ç ÷+ è øò
g 1p+( )
( )
( ) ( )( )
11
2 22 2 31
1
2
smc ue cick p m c i
mge p
+ æ öç ÷è ø+ - +
p(8.81)
になる。(8.46)を用いて、(8.15)と比較のため
( ) ( )( ) ( )( )
24 13 2
32
2
s
b
puM ie
lgp
p¢ =
p ( ) ( )( ) ( )( )
( )1
11 2 12 2 2 3
1 2
sext
mc up a p p
p m c i le p
+S -
- +p
(8.82)
とすれば
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )2 1
43 2 12 13 3
1
22 2
s sext
bu u
M ie a p p
i p
ll
ll
pp p
g
¢ = G -
G =
p p
( ) ( )( )12 2 21
4 4mc
i pp m c ie
+- S Ü ´
- +行列
(8.83)
を得る。「a.電子の自己エネルギーを含む量子効果1」と同じなので
23/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )2 1
43 2 12 13 3
1
22 2
s sext
bu u
M ie a p p
i p
ll
ll
pp p
g
¢ = G -
G =
p p
( ) ( )( )
( )( )
12 2 21
2 4
40
4 4
2
mci p
p m c i
ke d ki pc
m
e
g
e p
+- S Ü ´
- +
- S = -
行列
p+( )( )( ) ( )2 2 2 2
4 4
2 4 4em
mc
k p m c i k i
i pn
mg
e e
a gp
+Ü ´
+ - + +
æ ö= -ç ÷-è ø
ò 行列
( ) ( )
( ) ( )
4
2 14
R
emR
mc i p
ii p dx x pap
- - S
- S = - - ( )( )1
2 2 2
0
4 ln 1mc m c x p xé ùé ù+ - -ë û ë ûò
(8.84)
を得る。ここで、繰り込みを行うのであるが、(8.76)に注意して
( )( )
2 4
40 2
ke d ki pc
mg
e p- S = -
p+( )
( )( ) ( )2 2 2 24 4
2 4 4em
mc
k p m c i k i
i pn
mg
e e
a gp
+Ü ´
+ - + +
æ ö= -ç ÷-è ø
ò 行列
( ) ( )4 Rmc i p- - S
(8.85)
である。
c.光子の自己エネルギーを含む量子効果
【6項目】 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 1 1 2 2 2 1 2F F FN K x x K x x x x x xwa br r s mny y- - - -注意
D
2x´
1 x´
Ä3 x´
対応ルール
1 eic
mg´
( ) ( )42 1
2 exta p plp
Äß
-
1 e
ic
ng´
2k ki cÞ ( )2 2 2
mck m c ie
+
- +
( ) ( )( )
11
12 32
suc pp
Ü´
p( ) ( )( )
22
2 32 2
sucp pÞ ´
p
1
eic
lg´
( )
32 102
2 1
cp p ip p i
mnm
e
- -Þ
- +
g
2 12
k p pi c k
+ - 2p+ 1p-( )( )2 2 2
2 1
mc
k p p m c ie
+Ü
+ - - +
に従って評価する積分は・・・グラフの下から順にルールに従って、式として右から記述すると
24/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( )( ) ( ) ( )
22 3 4022 42 3
2 1
122
s i c ki cuc e d ki Trcp p i
mn mmg
e pp
- æ ö -ç ÷è ø- + ò
注意p g 2p+ 1p-( )( )2 2 2
2 1
21
mc
k p p m c i
i c keic
n
e
g
ì +ïí
+ - - +ïî
æ ö×ç ÷è ø
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
11
2 12 2 2 2 3
41
22
sext
mc ue ci a p pk m c i c
ll
ppg
e
ü+ ïæ ö -ýç ÷- + è øïþ
p
(8.86)
になる。従って、対応する振幅は
( )( ) ( )( ) ( )
( )
2 33 02
22 32 1
24
4
1
2
2
s
c
i cuc eM icp p i
i c kd k Tr
mn mmg
ep
p
- æ ö¢ = ç ÷è ø- +
× - ò
注意
p g
2p+ 1p-( )( )
2
2 2 22 1
1mc i c keick p p m c i
nge
+ æ öç ÷è ø+ - - +
( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2
11
2 3
44 3 20
42 1
4
1
2
12
2
2
exts
mc eik m c i c
uc
kc d kie i i Tr
a p pl
l
mn
ge
p
pp
mp
ì ü+ï ïæ öí ýç ÷- + è øïî
= -
-
ïþ
×
- ò
p
g2p+ 1p-
( )2 2 22 1
mc kk p p m c i
nge
+
+ - - + 2 2 2mc
k m c ilg
e
ì ü+ï ïí ý- +ï ïî þ
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2 12 1
2 1 2 3 32 1
1 2 2
s sext u ua p p
p p im
l ge p p
× -- +
p p(8.87)
なので、 20 01 cm e= を用い、(8.15)と比較のため
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )2 1
43 2 12 13 3
43
22 2
4
s sext
c
em
u uM ie a p p
kd kTr
ll
l
pp p
ap
¢ = G -
G = - ò
p p
2p+ 1p-
( )2 2 22 1
mc kk p p m c i
mge
+
+ - - + ( )22 2 22 1
mc ik m c i p p i
lmg g
e e
ì ü+ -ï ïí ý- + - +ï ïî þ
(8.88)
と書き換える(問題13)。
==光子の自己エネルギー==
(8.86)で評価したファイマン図
2x´
1 x´
Ä3 x´
には、光子の自己エネルギー
+ + =
25/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
といわれる部分が含まれている。通常、量子効果の部分を、
( )3
0
i qc
mn
mP
= q q
で表す(10章参照)。この自己エネルギー ( )qmnP は、対応ルールに従って評価すると、
( )( )
4
40
12
i kd ki q Trc
mn
e pP = -
q+( )
( )( )2 2 2
mc i kie
k q m c img
e
+
+ - +
( ) ( )2 2 2
mcie
k m c ing
e
ì ü+ï ïí ý- +ï ïî þ
ò (8.89)
になる(問題14)。この表式を用いると(8.88)は
( )( )
2 12
2 1
4 4i p p
ip p i
mll
mge
P -G = - Ü ´
- +行列 (8.90)
と書き換えられる。従って、(8.15)と比較のため
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )2 1
43 2 12 13 3
22 2
s sext
cu u
M ie a p pllp
p p¢ = G -
p p(8.91)
とまとめられる(問題15)。(8.89)の積分を実行し、
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
12 2 2
0
2 where 3 4
2 1 ln 1
emR
emR
iq q q q q i q i qn
ii q dx x x m c x x q
mn m n mn a gp
ap
æ öP = - P P = - + Pç ÷-è ø
é ùP = - - + - -ë ûò
g
(8.92)
を得る(問題16)。以上をまとめると・・
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
2 143 2 1
2 13 3
2
2 2 2
4 4
s sext
cu u
M ie a q q p p
i qi
q i
ll
mll
m
pp p
ge
¢ = G = -
PG = - Ü ´
+行列
続く
p p
( )( )
4
40
12
i kd ki q Trc
mn
e pP = -
q+( )
( )( )2 2 2
mc i kie
k q m c img
e
+
+ - +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
12 2 2
0
23 4
2 1 ln 1
emR
emR
mcie
k m c i
q q q i q
ii q i qn
ii q dx x x m c x x q
n
m n mn
ge
a gp
ap
ì ü+ï ïí ý- +ï ïî þ
= - P
æ öP = - + Pç ÷-è ø
é ùP = - - + - -ë û
ò
ò
g(8.93)
である。
ここで、複雑な積分(8.89)が
( ) ( ) ( )2q q q q qmn m n mnP = - Pg (8.94)
26/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
で表わされるのは理由がある。この関数は
( ) 0q qmnmP = (8.95)
を満たす。逆に、(8.95)の解が(8.94)になる。そこで(8.89)の積分が、(8.95)を満たすことを示す。
調べる式は
( )( )
4
40
12d k iq i q Tr
c kmn
m e pP = -
q+ie q
mc ie- +( ) i
k ( )
( )
2 4
40
1 2
iemc i
e d k Trc k
nge
e p
ì üï ïí ý- +ï ïî þ
= -
ò
1
mc i ke-
- + q+ mc ing
eæ öç ÷ç ÷- +è ø
ò(8.96)
である(問題17-A))。ここで、
積分結果が有限であれば・・・(実際には発散する!!!)
2番目の積分で変数変換
k k p¢ = + (8.97)が行える(問題17-B))ので、
( )( )
2 4
40
12
e d kq i q Trc k
mnm e pP = -
( )
4
41
2d k Tr
mc i ke p¢æ ö -ç ÷ ¢- +è øò 0
mc ing
e
ì üæ öï ï =í ýç ÷- +è øï ïî þò
が証明できる。そのままでは、発散するが、
繰り込みを実行し、積分関数を正則化すれば、積分は有限になる
ので、 ( )qmnP は、一般的に
( ) ( ) ( )2q q q q qmn m n mnP = - Pg (8.98)
と表わされる。
d.光子と電子の結合を含む量子効果
【7項目】 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 3 3 2 2 1 2F F FN x K x x K x x x x xa bt wr s mny y- - -D
2x´
3 x´
Ä
1x´
対応ルール
1
eic
mg´
( ) ( )42 1
2 exta p plp
Äß
-
( ) ( )( )
11
2 3 12
sucpp
Ü
p ( ) ( )( )
22
2 32 2
sucp pÞ
p
1
eic
lg´
30
2
i ck i
k
mnme
-+
Ý
g
21i c p k-( )
( )1
2 2 21
mc p k
p k m c ie
+ -Ü
- - +
1
eic
ng´
222 i c pp k-
Þ k-( )( )2 2 2
2
mc
p k m c ie
+
- - +
に従って評価する積分は・・・グラフの左から順にルールに従って、式として右から記述すると
27/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( )( )
( )
22
2 3
242
4
2
12
suc
i c pd k eic
n
p
gp
æ ö× ç ÷è øò
p
k-( )( )
21
2 2 22
1 1mc i c pe ei ic cp k m c i
ml gge
+ æ öæ öç ÷ç ÷è øè ø- - +
k-( )( )
30
2 22 21
mc ik ip k m c i
mnmee
+ -+- - +
c g
( ) ( )( ) ( )( )
41
2 32 112
2e
sxta p p
ucl
pp -×
p(8.99)
になる。従って、対応する振幅は
( )( ) ( )( )
( )
23 2
2 3
242
4
2
12
s
ducM
i c pd k eic
n
p
gp
¢ =
æ ö× ç ÷è øò
p
k-( )( )
21
2 2 22
1 1mc i c pe ei ic cp k m c i
ml gge
+ æ öæ öç ÷ ç ÷è ø è ø- - +
k-( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
30
2 22 21
14 1
2 3
3 2 44 2 22
430
2 122
222
es
s
xt
mc ik ip k m c i
uc
pie u d ki ic
a p p
mn
nm
l
n
mee
pp
p ge pp
+ -+- - +
×
-
-
= ò
p
p
c g
gk-
( )1
2 2 22
mc p
p k m c ilg
e
+
- - +
k-
( )2 2 21
mc
p k m c img
e
ì ü+ï ïí ý
- - +ï ïî þ
( ) ( )( )
( )1
12 12 3
1 2
sextua p p
k i le p× -
+p
(8.100)
なので、(8.15)と比較のため
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )2 1
43 2 12 13 3
243
22 2
4
s sext
d
em
u uM ie a p p
pi d k
ll
l m
pp p
a gp
¢ = G -
G = - ò
p p
k-
( )1
2 2 22
mc p
p k m c ilg
e
+
- - +
k-
( )2 22 21
1mck ip k m c i mg ee
ì ü+ï ïí ý +- - +ï ïî þ
(8.101)
と書き換えることができる。
==光子と電子の結合への補正==
(8.101)で評価したファイマン図
2x´
3 x´
Ä
1x´
には、光子と電子の結合(バーテックス)
+ + =
といわれる部分が含まれている。通常、量子効果の部分を、
28/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( )2 1,p pmL = 1p 2p
mg´
で表す。この光子と電子の結合への補正 ( )2 1,p pmL は、対応ルールに従って評価すると
( )( )
( )4
22 1 4
0
1,2
i pd kp p iec
l nge p
L =
k-( )( )
12 2 2
2
mc i p
p k m c ilg
e
+
- - +
k-( )( )
( )2 22 21
mc iie
k ip k m c imnmgee
+ -+- - +òg
(8.102)になる(問題18)。この表式を用いると(8.101)は
( )2 1, 4 4p pl lG = L Ü ´ 行列 (8.103)
と書き換えられる。従って、
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )2 1
43 2 12 1 2 13 3
2 ,2 2
s sext
du u
M ie p p a p pllp
p p¢ = L -
p p(8.104)
になる(問題19)。(8.102)の積分を実行し、
( ) ( ) ( )
( )
22 21 2 2 1 2
1 1
2 1 00
2, , 4 4
1, lim4
emR
emR
ip p p p A qy p yn
pip p dxA
m m m
m
l
a g g lp
ap ®
æ öL = - + L = + -ç ÷-è ø ß
L = òq+ 2x p-( )( ) 2y pmg q+ 2x p-( )( )
( )( ) ( )2 21 2 22 2 ln
y
mc p p qx p y m c A Am mg
é ùê úê ú- + + - + -ë û
(8.105)
を得る(問題20)。以上をまとめると・・
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )
2 143 2 1
2 1 2 13 3
42
2 1 4 20
2 ,2 2
1,2
s sext
du u
M ie p p a p p
i pid kp p iec k i
ll
mnl n
pp p
ge ep
¢ = L -
-L =
+g
p p
k-( )( )
12 2 2
2
mc i p
p k m c ilg
e
+
- - +
k-( )( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 21
2 22 1 2
1
2 1 0
1
0
22 , 4 4 4 4
1, 24
lim
emR
emR
mcie
p k m c i
p p A qx p yn
pp p dx ydy
A
n
l l
l
l
l
ge
a g gp
ap ®
+
- - +
æ ö= - + L Ü ´ = + -ç ÷-è ø ß
L =
ò
ò
行列
q+ 2x p-( )( ) 2y plg q+ 2x p-( )( )( )( ) ( )2 2
1 2 22 2 ln
y
mc p p qx p y m c A Al lg
é ùê úê ú- + + - + -ë û
(8.106)である。
On-shellの取り扱い
さて、 ( )3, , ,a b c dM ¢ の振幅の中で、 ( )3
,a bM ¢ は注意を要する。つまり、
29/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )2 1
43 2 1, , 2 13 3
22 2
s sext
a b a bu u
M ie a p pllp
p p¢ = G -
p p(8.107)
とすると、
22
4 4em
a pn
l apæ öG = ç ÷-è ø
( ) 24p
mc-( )
2 2 22
124 4em
b
mcp m c i
pn
l
ll
g
e
gap
+
- +
æ öG = ç ÷-è ø
( )12 2 2
1
mcp
p m c ie+
- +( )4mc-
(8.108)
である。ところで、on-shell 条件
1p( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2
1 1 2 2, s s su u u pmc=p p p ( ) ( )22
smcu= p (8.109)
を用いると、 alG は
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 22 1 2 2
2 44 4
s s semau u u mc p
nl a
pæ öG = -ç ÷-è ø
p p p ( ) 2p( ) ( ) ( )
( ) ( )
112 2 2
2
222
2 34 4
s
sem
mcu
p m c i
pu mc
n
lg
e
ap
+
- +
æ ö= ç ÷-è ø
p
p( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
112 2 2
2
2 12 1
2 2 3 at 04 4 0
s
s sem
mcu
p m c imcu mc u
n i
l
l
g
e
a g ep e
+
- +
æ ö= ® ¥ =ç ÷- +è ø
p
p p
(8.110)
の如く、発散してしまう。 blG も同様である。これを制御するためには、たびたび行ったように
t = ±¥では相互作用はない
という仮定を定式化する必要がある。そのため、
時間間隔 ( )T ®¥ の間で値を持つような関数 ( )g t
を用いて、相互作用項
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )2
extIin in in in in in
in in
e ex g x N x A x x N x A x x
m cg x N x x
y y y y
d y y
é ù= - +ê úë û×
+ é ùë û
H(8.111)
とする。ここで、
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
00 0 0 0 0
0 0
,0,0,0
with 0 1
i tixg x G e d G e d
g G d
m¥ ¥
- G- G
-¥ -¥
¥
-¥
= G G = G G ÜG = G
= G G =
ò ò
ò(8.112)
となる ( )g x を用いる。つまり
30/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( )0G G はd 関数( ( )0 0 1dd¥
-¥
G G =ò )に近い
ことがわかる。
( )3aM ¢ は、
1x´
2x´
3x´Ä
+ 3x´Ä
i md´
-であるが、(8.111)を用いると、
´ ´´Ä
1p 2p ¢-G-G
2p k-G+
k2p
2 1q p p ¢= - -G-G¢G G
+ i md´ -
´Ä
1p 2p ¢-G-G2p
2 1q p p ¢= - -G-G¢G G
と表すことができる。そこで
´ ´´Ä
1p 2p ¢-G-G
2p k-G+
k2p
2 1q p p ¢= - -G-G¢G G
に対して
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
430 0 0 0
2 12 1
2 13 3
2
2 2
a
s sext
M ie G d G d
u ua p pll
p
p p
-¢ ¢ ¢= G G G G
¢× G - - G - G
ò量子効果
p p (8.113)
( )22i p
i pl - S - GG =
- G ¢- G( )( )2 2 2
mc
p m c i
lg
e
+
¢- G - G - +(8.114)
を得る。これを
0 0, 0T ¢® ¥Þ G G ® (8.115)で評価することになる。ところで、Gと ¢G を入れ替えても同じなので・・・
´ ´´Ä
1p 2p ¢-G-G
2p k-G+
k2p
2 1q p p ¢= - -G-G¢G G
= ´ ´´Ä
1p 2p ¢-G-G
2p k¢-G +
k2p
2 1q p p ¢= - -G-GG ¢G
である。そこで、(8.114)は
( ) ( )2 2 2
2p
iip pl ¢S - G + S - G
G -=- G ¢- G( )
( )2 2 2
mc
p m c i
lg
e
+
¢- G - G - +(8.116)
と評価できる。
さて、
31/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( )( )
2 4
2 40 2
ke d ki pc
mg
e p- S - G = -
2p+ - G( )
( )( ) ( )2 2 2 22
mc
k p m c i k img
e e
+
+ - G - + +ò 列 (8.117)
は、(8.153)を用いて
k 2p+ - G
( )
2 2 2
2 2 22
a m c amc
k p m c ie
- =+=
+ - G - +
( )mc a+ ( ) 1mc
k
-
2p+ - G 2
1
mc i
k
e- +
=2p+
1mc i ke
-- + 2p+ mc ie
- G- +
( ) 1k 2p+
0 at
mc ie
= G
+- +
0
k
=
= 2p+
( )2 2 22
mc k
k p m c ie
++
+ - +2p+
( )2 2 22
mc k
k p m c ilg
e
+
+ - +2p+
( )2 2 22
mc
k p m c i le
+G
+ - +
(8.118)
なので
( )( )
2 4
2 40 2
ke d ki pc
mg
e p- S - G = -
2p+ - G( )
( )( ) ( )
( )
2 2 2 22
2 4
40 2
mc
k p m c i k i
k
e d kc
m
m
g
e e
g
e p
+
+ - G - + +
= -
ò
2p+( )( )( ) ( )2 2 2 2
2
mc
k p m c i k i
k
m
m
g
e e
g
+
+ - + +
+ 2p+( )mc klg+ 2p+( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
2 22 2 2 2 22 2
2 4
2 40 2
mc
k p m c i k p m c i k i
ke d ki pc
m l
m
g
e e e
g
e p
é ùê úê úê úê ú+ê úGê ú+ - + + - + +ë û
= - S -
ò
2p+( )mc klg+ 2p+( )
( )( ) ( )( ) ( )2 22 2 2 2 22 2
mc
k p m c i k p m c i k im l
g
e e e
+G
+ - + + - + +ò
(8.119)
ここで
( )( )
2 42
2 1 40
,2
pe d kp p ic
ml
g
e pL = -
k-( ) 1mc plg+ k-( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )
2 22 2 2 2 22 1
2 42
40
2
mc
p k m c i p k m c i k i
pe d kic
m
m
g
e e e
g
e p
+
- - + - - + +
= -
ò
k+( ) 1mc plg+ k+( )
( )( ) ( )( ) ( )2 22 2 2 2 22 1
mc
p k m c i p k m c i k img
e e e
+
+ - + + - + +ò(8.120)
なので、
( ) ( ) ( )2 2 2 2, as 0p p i p pll lS -G = S - L G G ® (8.121)
を得る。従って、
( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2, as & 0
2 2p p
i i p i p pl l ll l
¢S -G + S -G ¢G + G ¢- = - S - L G G ® (8.122)
である。同様に
i m cd´ - ×
´Ä
1p 2p ¢-G-G2p
2 1q p p ¢= - -G-G¢G G
32/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
より
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )2 1
43 2 10 0 0 0 2 13 3
22 2
s sext
a mu u
M ie G d G d a p pld lp
p p-¢ ¢ ¢ ¢= G G G G G - - G - Gò
p p(8.123)
2i pi m cl dG = - ×
- G ¢- G( )( )2 2 2
2
mc
p m c i
lg
e
+
¢- G - G - +(8.124)
を得る。従って、
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
43 30 0 0 0
222 2 2
3
2
22
a ma
s
M M ie G d G d
i pu p pi i m c
d p
dp
--¢ ¢ ¢ ¢+ = G G G G
¢S - G + S - Gæ ö× - - ×ç ÷
è ø
ò量子効果
p - G ¢- G( )( )
( ) ( )( )
( )
2 2 22
11
2 13
2
sext
mc
p m c i
ua p p
l
l
g
e
p
+
¢- G - G - +
¢× - - G - Gp
(8.125)
を得る。(8.122)を用いて
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
43 30
2 2
0 0 0
222
23
2
2
,2
a ma
s
M M ie G d G
i
d
i pui p i cp p mn n
d
n
p
dp
--¢ ¢ ¢ ¢+ = G G G G
æ öç ÷× - S - -
¢G + GL ×ç ÷ç ÷
è ø
ò量子効果
pもともと無い項
- G ¢- G( )( )
( ) ( )( )
( )
2 2 22
11
2 13
2
sext
mc
p m c i
ua p p
l
l
g
e
p
+
¢- G - G - +
¢× - - G - Gp
(8.126)
ここで、
( )2pS は発散する
ので、(8.77)の質量の繰り込みを行うと、今の場合、 ( ) ( )22 2
su pp ( ) 0mc- = なので、 2p mc= より
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
43 30 0 0 0
22
2 23
2
2
a ma
s
M M ie G d G d
ui p i p
d p
p
--¢ ¢ ¢ ¢+ = G G G G
× - S + S
ò量子効果
p ( )2m c p
mc
d × =-S
=
( ) 2,mc p= でこの項は
( )2 2
0
2
,2
mc
i p
i p pn n n
=
¢Gæ öç ÷
-ç ÷ç ÷è ø
+ G
×
Lより
- G ¢- G( )( )
( ) ( )( )
( )1
12 12 2 2 3
2 2
sext
mc ua p p
p m c i
l
l
g
e p
+¢- - G - G
¢- G - G - +
p
(8.127)
を得る。(8.127)は、(8.106)より、まだ ( )2 2,p pnL による発散項を含み、発散項は
( )2 12, finite
4 4emp p
nl ma g g
pæ öL = - +ç ÷-è ø
(8.128)
より
33/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
43 30 0 0 0
222
3
2
2 4 4 22
a a m
sem
M M ie G d G d
i pui
n
d
n n n
p
a g gpp
-¢ ¢ ¢ ¢+ = G G G G
¢G + Gæ öæ ö× - -ç ÷ç ÷-è øè ø
ò発散
p - G ¢- G( )( )
( ) ( )( )
( )
2 2 22
11
2 13
2
sext
mc
p m c i
ua p p
l
l
g
e
p
+
¢- G - G - +
¢× - - G - Gp
(8.129)
で表される。ここで、
( ) ( )22 2
su pp ( ) 0mc- = (8.130)
を用いて、 ( ) ( )2 22su pp ( ) 0mc- = を追加して
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
43 30 0 0 0
222
3
2
2 4 42
a a m
sem
M M ie G d G d
ui
n
p
d p
a gpp
-¢ ¢ ¢ ¢+ = G G G G
æ ö× - - -ç ÷-è ø
ò発散
p0
mc=
-- Gを追加
¢- G2
2i p
æ öæ öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷
ç ÷ç ÷è øè ø
- G ¢- G( )( )
( ) ( )( )
( )
2 2 22
11
2 13
2
sext
mc
p m c i
ua p p
l
l
g
e
p
+
¢- G - G - +
¢× - - G - Gp
(8.131)
更に
2p mc- - G ¢- G( ) 2p - G ¢- G( ) ( )2 2 22mc p m c¢+ = - G - G - (8.132)
より、分母と相殺して( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )0 0
43 30 0 0 0
2 12 1
2 1 03 3
2
2 1 4 4 22 2
a a m
s sextem
M M ie G d G d
u ui i a p p
n
d
ll
p
a g gpp p
-
¢G =G =
¢ ¢ ¢ ¢+ = G G G G
æ öæ öæ ö ¢× - - - - - G - Gç ÷ç ÷ç ÷-è øè øè ø
ò発散
p p
(8.133)を得る。従って、(8.112)より
( ) ( )0 0 0 0 1G d G d¢ ¢G G G G =ò (8.134)
なので、
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
2 143 3 2 1
2 13 3
2 14 2 1
2 1-3 3
2 124 4 22 2
22 2
s sextem
a a m
s sext
a
u uM M ie i i a p p
n
u uie a p p
ld l
ll
ap g gpp p
pp p
-æ öæ ö¢ ¢+ = - -ç ÷ç ÷-è øè ø
= G -
発散
発散
p p
p p(8.135)
より、
34/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
-1 22 4 4
ema nl la g
pG = -
-発散 (8.136)
を得る。
同様にして
+ 3x´Ä
i m cd´
- ×1x´
2x´
3x´Ä
に対して、
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
43 30 0 0 0
212
3
2
2
b mb
s
M M ie G d G d
i pu
d
l
p
g
p
--¢ ¢ ¢ ¢+ = G G G G
×
ò量子効果
p + G ¢+ G( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
1 1 12 2 21
11
2 13
,2
2
sext
mci p i p p i m c
p m c i
ua p p
n n n
l
de
p
+ ¢G + Gæ ö- S - L - ×ç ÷¢ è ø+ G + G - +
¢× - - G - Gp
(8.137)
従って、発散項は
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )2 1
43 3 2 12 1-3 3
22 2
s sext
b b m b
u uM M ie a p pl
d lpp p
-¢ ¢+ = G -発散発散
p p(8.138)
において
-1 22 4 4
emb nl la g
pG = -
-発散 (8.139)
である(問題21)。
発散する量子効果
これらの評価から、発散部分:42
4
n
n
=
®¥-
を取り出してみる。振幅は
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )2 1
43 2 12 13 3
22 2
s sextu u
M ie a p pllp
p p¢ = G -
p p(8.140)
であり、(8.136)、(8.139)、(8.93)、及び(8.106)より
1 22 4 41 22 4 4
23 4
24 4
ema
emb
emc
emd
n
n
n
n
l l
l l
l l
l m
a gp
a gp
a gp
a gp
G = --
G = --
G = --
G =-
(8.141)
35/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
と評価できる。ここで、
0a b dl l lG +G +G = (8.142)
が導かれることに注意しよう。このように、ひとつひとつの項は発散するが、いくつか集める
とその発散項が偶然消えることが起こる。これは、
ゲージ不変性
の結果であることが知られている。これは、元を辿れば、(8.122)のような
「電子の自己エネルギーを含む量子効果」と「光子と電子の結合を含む量子効果」の
特殊な関係
に起因している。これを一般化したものを
ワード・高橋の恒等式
という。
==ワード・高橋の恒等式==
ワード・高橋の恒等式は量子電磁気学のゲージ不変性を端的に表わした公式になっている。一
般的に
=( )2
pi
cS
-
p p =( ),p pmL mg
0q =
p p
を用いて
( ) ( ),p
p pp mm
¶S- = L
¶(8.143)
と与えられる。
2 次の量子効果までに限れば「ワード・高橋の恒等式」は次のように求められる。まず、(8.46)は、(8.29)を用いて書き換えると
( )( )
( ) ( )2
03
2 4
40 2
FF D kS k pe d kp icc c
mnn mg ge mp
+S = - ò
(8.144)
なので、(8.144)を pm で微分して
( )( )
( ) ( ) ( )2
0 03
2 4
42FF
F
D kp S k pe d ki D kp c pc c
mnn mmnm mg g
e mp¶S ¶ +
= -¶ ¶ò
(8.145)
を得る(問題22)。( )FS k ppm
¶ +¶
は ( ) ( )1F FS p S p I- = 及び ( ) ( )1
21
FS p p mi c
mmg
- = -
より得られる
( ) ( ) ( )2 2 2F F FS p S pc c
Scp
ip mm g
¶=
¶ (8.146)
を用いる。(8.146)を(8.145)に代入して
( )( )
( ) ( ) ( )2
2 4
40
20
32FF F D kp S k p S k p
c ce
cd k
p cmnn n
mm g g ge mp
¢¶S + +=
¶ ò (8.147)
36/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
これに対応するファイマン図(問題23)より、(8.102)の
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3
42 1
2 1 40 0
1,2
FF F D kS p k S p kd kp p ie iec c c c
mnl n l mg g ge mp
- -L = ò
(8.148)
に関連付くことがわかる。(8.148)より、
( )( )
( ) ( ) ( )2 2
2 4
340 0
,2
FF F
cD kS p k S p ke d kp
cp
c cmnn n m
m mg g g ge mp
¢- -L = - ò
(8.149)
なので、 ( ) ( )F FD k D kmn mn- = を考慮して
( ) ( ),p
p pp mm
¶S- = L
¶(8.150)
がわかる。
37/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
Appendix1:γ行列の演算
( )( )( )
( )( )( )( )
4
2 2
4 4 4
2 2 4
n
a a n a
ab ab ab n ab
abc cba cba n abc
mm
mm
mm
mm
g g
g g
g g
g g
= =
= - = -
= = + -
= - = - + -
(8.151)
( )( ) ( )( )
( )
( )
1
0 1 2 3 2 01235 5 0123
5
4
4
0
0 ; 1; 1
0 4!
4
n
Tr
Tr
Tr
I ii II
Tr i
m n mn
m n r s mn rs ms nr mr ns
mm
g
m n r smnrs
m n r s mnrs
g g
g g g g
g g
g g g g g e g g g g g e e
g g g g g e
=
= + -
=
-æ ö= = = - = = = -ç ÷è ø
= -
奇数個の
g
g g g g g g
(8.152)
1 1 1 1 1 1 1B B BA B A A A A A A
= - + ++
(8.153)
Appendix2:パラメータ積分
( )( )( )( ) ( )
( )( )( )
1
20
111
0
1 1
11
dxab b a b x
x xdx
a b b a b x
ba
a ba b
a ba b
--
+
=+ -
G + -=G G + -
ò
ò(8.154)
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
1
30
1 11 1 1
0
1 12
1 11
dxydyabc c b c y b a xy
x x y ydxdy
a b c c b c y a b xy
b ga a b
a b ga b g
a b ga b g
- -- + -
+ +
=+ - + -
G + + - -=G G G + - + -
ò
ò(8.155)
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
12
40
1 1 11 1 11
0
1 13!
1 1 11
dxydz dzabcd d c d z b c yz a b xyz
x x y y z zdxdydz
a b c d d c d z b c yz a b xyz
b g da a b a b g
a b g da b g d
a b g da b g d
- - -- + - + + -
+ + +
=+ - + - + -
G + + + - - -=G G G G + - + - + -
ò
ò(8.156)
Appendix3:Euclid化による積分
(8.49)の様に ( )2 2 21 p m c ie- + から
( )02 2 2 2 0p m c e= + ®p の極
38/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
がある場合の計算方法として
ユークリッド化
という方法がある。これは、
2 02 2p p= - p の代わりに通常のベクトルの大きさ 02 2p + p にする
という方法である。数学的には
0p を純虚数に見なおすことに対応
する。つまり、
0 0Ep ip= (8.157)
とすれば
( )2 02 2 02 2Ep p p= - = - +p p (8.158)
となり、
02 2Ep + p がベクトルの大きさ
になる。この結果、
( ) ( )
( )
02 2 2 20
2 2 2 02 2 2 2 02 2 2 2
0
2 2 2 02 2 2 202 2 2 2
1 1 1
1 1 1
p m c
E EE
p m c i p m c i p m c
p m c i p m cp m c i
e
e
e e
e e
= +®
®
= = ® ¥- + - + + - +
= = - ¹ ¥- - + +- + +
p
p p
+ p+ p
(8.159)
のように、 02 2 2 2 0 for 0Ep m c m+ ¹ ¹+ p なので
見かけ上極がなくなる
ことになる。従って
( )2 2 2 2 2 21 1
Ep m c i p m ce
eÞ
- + - -が不要になる (8.160)
がわかる。
さて、 ( )2 2 21 p m c ie- + の場合、実軸上の 0p 積分を(6.52)のように
( ) 0iw e e- ® (8.161)
という技巧を用いた。(8.157)の置換は、実軸上積分の虚軸上積分への変更に対応する。つまり、
¥
i¥
-¥
i- ¥
C
1C
2C
0Mp
( )0 0 0 02 for real i
M E E Ep e p ip pp
= =
iw e´ -
iw e´- +
¥
i¥
-¥
i- ¥
0Mpiw e´ -
iw e´- +
極を横切らないので実軸を左回りに回す事が許される0Eip
39/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
のように iw e- + と iw e- の極を含まない様にとると、コーシーの定理より、
非積分関数が極を持たないとき・・・
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
0i
C C i Cf z dz f z dz f z dz f z dz f z dz
¥ - ¥
-¥ ¥= + + + =ò ò ò ò ò (8.162)
を得る。もし
無限遠方の C1 と C2 からの寄与がゼロ(ほとんどの場合に正しい)
( ) ( )1 2
0C Cf z dz f z dz= =ò ò (8.163)
であれば、(8.162)より
( ) ( ) ( )i i
i if z dz f z dz f z dz
¥ - ¥ ¥
-¥ ¥ - ¥= - =ò ò ò (8.164)
という関係があることが分かる。そこで、変数変換で
( ) ( ) ( )0 0
0 0 0 0 0 0Ep ipi
E Eif p dp f p dp i f ip dp
=¥ ¥ ¥
-¥ - ¥ -¥= =ò ò ò (8.165)
になる。 終的に、
( ) ( )0 0
0 0 0 0Ep ip
E Ef p dp i ip dp=¥ ¥
-¥ -¥=ò ò f (8.166)
を得る。
Appendix4:n次元積分
4 次元積分を実行すると、発散する積分が現れる。そこで n 次元(ユークリッド)積分に拡張
して見かけ上この発散を無くする計算方法を
‘tHooft の n 次元法
という。物理では n=4 にする。この場合の積分公式を導く。そのために、まず、
n 次元法で利用する n=4 での発散項を制御
する必要がある。そこで、次のG関数(Appendix5:G関数の性質参照)を含む関係式
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0
0 11lim lim 00t tt t
t f t f tf f t
A t t A® ®
G - G +æ ö¢- = = Ü =ç ÷ -è ø
(8.167)
を利用する(問題24)。従って、
( ) ( )( )0 ln 1 0.57721 56649f Ag g¢ ¢= - - = -G @ はオイラー数である (8.168)
を得る(問題25)。n 次元積分で利用する公式
( )0
1lim lntt
tA
A tg
®
G= - - (8.169)
を得る。実際には
4 22
222lim ln
4nn
n
AnA
g® -
æ öG -ç ÷è ø = - -
-(8.170)
40/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
として計算に現れる。更に
4 12
12 22lim ln
2 4nn
nA An nA
g® -
æ öG -ç ÷ æ öè ø = - -ç ÷- -è ø(8.171)
である。また、n 次元積分で半径 rの体積素( dV )は、 関数を用いて
( )2 2
1 1 2 32 2 for 41
2 2
n n
n nndV r dr r dr dV r dr nn n
p p p- -
æ öç ÷ç ÷= = = =
æ ö æ öç ÷G + Gç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø
(8.172)
と表せる。良く使用する公式は
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
24
422
2 24 4
42 2 12
2 24
422
1 2lim 1
11 2lim 1
2
2 21 lim
2
n
nn
n
nn
n
nn
nid k
k A i An
k k k id k d knk A i k A A
n nk id k
nk A i A
aa a
am nmn mna a a
b
a ba a b
ap
ae
ap
ae
a b bp
ae
® -
® - -
+
® - -
æ öG -ç ÷è ø= -G- +
æ öG - -æ ö ç ÷è øç ÷= = - -
ç ÷ G- + -è øæ ö æ öG - - G +ç ÷ ç ÷è ø è ø= -G æ ö- + Gç ÷
è ø
ò
ò ò
ò
g g (8.173)
である。また、
( )1
4
20
n
k
k kd kk A i
mm
ae
=- +
ò
奇数個の
(8.174)
である。
Appendix5:G関数の性質
ガンマ関数は
( ) 1
0
x tx t e dt¥
- -G = ò (8.175)
で定義され
( ) ( )1x x xG + = G (8.176)
( ) ( ) ( ) 11 ! 1, 2, , 1 1, 2
n n n pæ öG + = = G = G =ç ÷è ø
(8.177)
の性質を持つ。
Appendix6:Beta関数の性質
G
41/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
ベータ関数 ( ),B x y は
( ) ( )( )
1 2 111
20 0
, 1 21
xyx
x ytB x y t t dt dtt
¥ ---
+= - =+
ò ò (8.178)
で定義される。また、ガンマ関数と
( ) ( ) ( )( )
,x y
B x yx y
G G=
G +(8.179)
の関係がある。この応用として、(8.154)式を得るのであるが、
( ) ( )( ) ( )
111 2 1
20 0
, 12
yx x
x y x yx y
B x y t t tdt dta b b a b t b at
-- ¥ -
+ +
-= =
+ -é ù +ë ûò ò (8.180)
がわかる(問題26)。
Appendix7:光子の自己エネルギーのテンソル構造
光子の自己エネルギーは、(8.93)より
( ) ( ) ( )2q q q q qmn m n mnP = - Pg (8.181)
で表わされる。ここで、qは光子の運動量である。従って、 x表示に移すと・・・
( ) ( ) ( )22 2q q q i i im nm n mn mn m n mn- Þ ¶ ¶ - ¶ = -¶ ¶ + ¶g g g (8.182)
と期待される。これが、
( ) ( )F x F xmnmn (8.183)
に対応する表示になることを見てみる。つまり、
( )qmnP は ( ) ( )F x F xmnmn への補正 (8.184)
である。
まず、対応する振幅として
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 142 1
1: : 1, 24
s sI p d x F x F x p s smnmn= - =ò光子 光子 横波成分 (8.185)
を考える。2 ここに
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
1 † 21 21 2
1 21 2
0 , 02 2
s ss sa a
p pK Kw w
= =光子 光子p pp p
(8.186)
ここで
2 ここは対応を調べるために便宜的に考えるだけで、 ( ) ( )F x F xmn
mn は 0inH に含まれ、 IinH には含まれていないの
でS行列(8.1)には含まれていないことに注意する。
42/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4††
1 1
2 1 †
2
1 2
30†
,
, 2
exp exp2 2
2
s s s s
a e a a e a
a a K
d ipx ipxA x A a a A
F x F x A A A
cK
A A A A A
l l l lm m a m
l l
m m m
mn m n n m m n n mmn m n n m m n m n
d
m
w d
w p
*
= =
= =
é ù¢ ¢= -ë û
æ öæ ö æ ö= - + Ü =ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø
= ¶ - ¶ ¶ - ¶ = ¶ ׶ - ¶ × ¶
å å
ò
p p p p p p
p p p p p
p p pp
(8.187)
より
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 142 1
2 142 1
242
2
†
†
1: :4
1 : :21 02 2
exp exp2
exp exp2
:
s s
s s
s
I p d x F x F x p
p d xG x A A A A p
a pd x
K
Ad ipx ipxa a
Ad ipx ipxa a
mnmn
m n n mm n m n
m n n
m n n
w
w
w
= -
= - ¶ ¶ - ¶ ׶
= -
æ öæ ö æ ö¶ - +ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø
æ öæ ö æ ö׶ - +ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø
ò
ò
ò
ò
ò
光子 光子
光子 光子
p
p p pp
p p pp
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
1 †1
† 1
†
: 02exp exp
2
exp exp2
sa pKAd ipx ipxa a
Ad ipx ipxa a
n m m
m n n
ww
w
æ öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷æ öæ ö æ öç ÷-¶ - +ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷è ø è øè øç ÷
æ öæ ö æ öç ÷׶ - +ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷è ø è øè øè ø
ò
ò
pp p pp
p p pp
(8.188)
この計算を更に続けて
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
1 142 2 1
1 1 1 2 12 3 30 2 1
1 22 2 2 2 2
1 s se eI p p p p p
cm mn m n np d
e p w p w
*
= - - -
p p
p pg (8.189)
を得る(問題27)。従って
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 142 1
1 141 2 1
1 1 1 2 12 3 30 1 1
1: :4
1 22 2 2 2 2
1
s s
s s
p d x F x F x p
e ep p p p p
c
mnmn
m mn m n np de p w p w
*
-
= - - -
ò
光子 光子
p p
p pg
(8.190)
を得る。つまり、 ( ) ( )F x F xmnmn は 2
1 1 1p p pmn m n-g に比例する項になっていることがわかる。従っ
て、(8.181)より(8.184)が確認できた。
43/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
第8章問題
0)(8.3)の理由を示せ。
1)(8.8)を示せ。
2)(8.13)より(8.14)を導け。
3)(8.15)を導け。
4) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2,x x N A x A xm n=A のときに、どのような始状態と終状態が、寄与するかを示せ。
5)(8.29)において ( )2
Fi cS p
p=
mc ie- +
を導け。
6)A)(8.30)の4・5・8項目)のファイマン図を示せ。
B)(8.24)の ( )3縮約 に対応するファイマン図を示せ。
7) ( ) ( ) ( ) ( )†,i ib b ¢ ¢p p の項が効かないことを証明せよ。
8)(8.44)が(8.41)に等しいことを示せ。
9)A)(8.46)の ( )pS の次元を次元解析により求めよ。
B)参考グラフの 2 カ所の´点で運動量保存則を加味したグラフから(8.46)を導け。
10)(8.57)を示せ。
11)(8.66)に習って4 1
2
12lim nn
n
A® -
æ öG -ç ÷è øを計算せよ。(8.176)を用いる。
12)A)(8.78)を導け。
B)(8.80)を導け。
13)(8.88)を示せ。
14)(8.89)を示せ。
15)(8.91)を(8.34)~(8.42)に習って ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 1 1 2 2 2 1 2F F FN K x x K x x x x x xwa br r s mny y- - -D を
実際に計算して導き出せ示せ。
16)(8.92)を導け。
【使う公式】
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
1
1
20
4
2
24 4
2 2
1 1
2 1 12 2 2
4 , 4
0, 0
1
n
dxab b a b x
n n n
Tr Tr
kTr d k
k A
k k kd k d knk A k A
m n r s mn rs ms nr mr ns m n mn
mmma
g
m nmna a
g g g g g g
g g
=+ -
æ ö æ ö æ öG - = - G -ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø
= + - =
= =-
=- -
ò
ò
ò ò
奇数個の
g g g g g g g
g
p p
1 eic
mg´
1
ei
cng
´
i mn- g
kk p+
44/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
【途中経過】
( )
4
42
Tr kd kp
kmg{ }( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
22 2 2
2 42 22
4
4
28 2 12 2
1
2
n
n
ni A A m c x x qnk A i A
Tr x qd k
n mng ppe
p
-
æ öG -ç ÷è ø= = + - -
-- +
-
òg
( )mc x qmg+ -( ){ }( )
( )( ) ( ) ( )
22
22 2 2
4 22
24 2 1 22
n
n
mc
k A i
ni x x q q q m
A
n
m n mn mn
g
e
pp -
+
- +
æ öG -ç ÷è øé ù= - - - +ë û
ò
g c g
17)A)(8.96)を導け。【ヒント】 q k= q+ mc i ke- + - ( )mc ie- + を使うと良い。
B)i)次の積分: ( ) ( ) ( ))a dx f x a f x¥
-¥
D = + -é ùë ûò を ( )f x a+ のテーラー展開を用いて、
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2aa a f f f f¢ ¢D = ¥ - -¥ + ¥ - -¥ +é ù é ùë û ë û
を示せ。
ii)通常は変数の置き換えにより ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 0a dx f x a f x dyf y dxf x¥ ¥ ¥
-¥ -¥ -¥
D = + - = - =é ùë ûò ò ò で
あるが、この結果と比較して変数変換が許される場合を説明せよ。
iii)ii)の結果と異なる積分の例として i)を用いて
( )( ) ( )( ) ( )
4
4 2 2 22 2 2 22 2 322d k k a k aa i
k m ck a m c
m m m mm
pp
é ù+ê úD = - = -ê ú-+ -ê úë û
ò
を導け。変数変換が許される場合があるので注意をする。
【ヒント】xx
nmn
m
¶=
¶g 及び(8.173)
18)(8.102)を導け。
19)(8.104)を導け。
20)(8.105)を導け。
【使う公式】16)参照
( ) ( )( )1
30
1 12
2 , 4
dxydyabc c b c y a b xy
abc cba ab abm mm mg g g g
=+ - + -
= - =
ò
【途中経過】
( )
4
42d k kngp
kmg
( ) ( )( )( )
( )
2 223 22 2
2
42
4
22
4
2
n
ni A qx p y
k A i Apd k
mn
n
g gpe
g
p
-
æ öG -ç ÷è ø= = -
- +ò
q+ 2x p-( )( ) 1y mc pmg+ q+ 2x p-( )( )( )
( )
32
1
2 4
y mc
k A i
piA
ng
e
p
+
- +
=
ò
q+ 2x p-( )( ) 2y pmg q+ 2x p-( )( )( )( ) 2 2
1 2 22 2
y
mc p p qx p y m cm mg
é ùê úê ú- + + - +ë û
45/45 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 27 分 第八章 ファイマン図:量子クーロン散乱(次元あり)
【安江正樹@東海大学理学部物理学科】
21)(8.136)の導出の仕方にならって、(8.139)を導け。
22)(8.145)を導け
23)(8.147)に対応するをファイマン図描け
24)(8.167)において、 ( ) ( )1t
tf t
AG +
= を導け
25)(8.168)を導け
26)(8.180)について
A)1tst
=-
の変数変換を用いて、(8.180)の tを sで置き換えた積分を導け。
B) 2 2at bT= の変数変換を用いて、(8.180)の 積分をT積分で表し(8.178)と比較して(8.180)の左辺のベータ関数の表式を導け。
27)(8.189)を導け。
t
Recommended