02 Relativnost Vremena i Prostora

Relativnost vremena i

prostora

S

x

y

z

S'

'x

'y

'z

v

M

Neka su S i S’ inercijalni sistemi i neka se S’ kreće uniformno, brzinom v, u odnosu na sistem S i to u pravcu njegove x – ose.

Galilejeve transformacije klasične mehanike definišu vezu koordinata tačke M u sistemima S i S’.

S

x

y

z

S'

'x

'y

'z

v

M

v t 'x

x

Ako su u trenutku t koordinate tačke u nepokretnom sistemu x, y, z,

onda su njene odgovarajuće koordinate u pokretnom sistemu x`, y`, z`.

'

'

y y

z z

t 't

Veza između koordinata i odgovarajućih vremena, prema klasičnoj mehanici:

'

'

'

'

x x vt

y y

z z

t t

odnosno

'

'

'

'

x x vt

y y

z z

t t

Ove transformacije nisu u saglasnosti sa postavkama specijalne teorije

relativnosti. Pokazalo sa da već ranije postavljene Lorencove transformacije jesu.

2

2

2

2

2

' '

1

'

'

' '

1

x vtx

v

c

y y

z z

vt x

ctv

c

2

2

2

2

2

'

1

'

'

'

1

x vtx

v

c

y y

z z

vt x

ctv

c

Lorentz, Hendrik Antoon

(1853 – 1928)

Holandski teorijski fizičar; profesor Univerziteta u Lajdenu; jedan od najvećih teorijskih fizičara svog vremena.

Zajedno sa P. Zemanom dobio Nobelovu nagradu za fiziku 1902. godine.

U slučaju kada je

v c

odnosno

2

21

v

c

Lorencove transformacije se svode na Galilejeve,

što znači da su Lorencove transformacije opštije.

Kada bi bilo v > c, imenilac za x’ i t’ bio bi imaginaran, što navodi na zaključak da tela ne mogu imati veće brzine od brzine svetlosti.

Dilatacija vremena

dilatacija (l. dilatatio) – rastezanje, širenje, proširivanje

Neka se u referentnom sistemu S’ dva događaja dese na istom mestu. Vreme trajanja događaja u pokretnom i u nepokretnom sistemu je:

S

x

y

z

S'

'x

'y

'z

v

' '2 1t t

2 1t t

Sa Δt obeležimo vreme trajanja nekog događaja u nepokretnom sistemu, a sa Δt0 vreme trajanja istog događaja u sistemu koji se kreće.

2 1t t t ' '

0 2 1t t t

Sopstveno vreme je vreme između dva događaja u onom referentnom sistemu u kojem se oni dešavaju na istom mestu.

0

2

21

tt

v

c

Izraz za dilataciju vremena

Vreme Δt0 naziva se sopstvenim vremenom.

Iz ove relacije se vidi da vreme sporije teče u sistemu koji se kreće.

GPS

GPS - Global Positioning System

Zbog relativističke korekcije greška određivanja pozicije na Zemljinoj površini je nekoliko metara. Da nema te korekcije greška bi bila oko

jednog kilometra.

Paradoks blizanaca

Paradoks blizanaca je često eksploatisana tema, kako u popularnoj

literaturi, tako i u naučnoj fantastici. Jedan od dva identična blizanca odlazi u svemir letelicom koja se kreće brzinom bliskom brzini svetlosti. Mnogo godina kasnije brat na Zemlji je starac dok se drugi, koji je leteo,

vraća mnogo mlađi od njega. Šira javnost smatra da je ovo paradoks.

Pravi paradoks je sledeći: ako su svi inercijalni sistemi ekvivalentni, sa tačke gledišta brata koji putuje letilicom Zemlja se od njega udaljava

brzinom bliskom brzini svetlosti u suprotnom smeru.

Prema tome, on bi trebao da ostari, a blizanac na Zemlji da ostane mlad.

Suština paradoksa je u tome što ova dva sistema nisu ekvivalentna. Naime, da bi se vratio na Zemlju, brat u letelici mora da koči ili da pravi

zaokret, u svakom slučaju da se kreće ubrzano, tako da je ovaj sistem neinercijalan!

Kontrakcija dužina

kontrakcija (l. contractio) – stezanje, skupljanje, skraćivanje

Neka se u odnosu na nepokretanog posmatrača štap kreće u pravcu svoje dužine stalnom brinom v.

Dužine štapa u pokretnom i u nepokretnom sistemu su:

S

x

y

z

S'

'x

'y

'z

v

2 1x x ' '2 1x x

'1x

'2x

1x 2x

Dužina štapa u sistemu koji se kreće stalnom brzinom v jeste

' '2 1ol x x

a u sistemu koji miruje ona je

2 1l x x

Sopstvena dužina tela je dužina u onom referentnom sistemu u kojem to telo miruje.

Dakle, ako se sa l0 obeleži sopstvena dužina, tj. dužina koju vidi posmatrač u pokretnom sistemu, onda se dužina l koju vidi posmatrač u

nepokretnom sistemu može odrediti iz relacije:

2

0 21

vl l

c

Iz relacije se vidi da štap ima najveću dužinu u sistemu referencije u odnosu na koga miruje.

Skraćuju se samo dimenzije u pravcu kretanja.

Objasnite pojavu prikazanu na slici.

Crteži prikazuju Ajnštajnov voz i peron onako kako ih vide posmatrači u vozu i na stanici. Na desnom crtežu peron je duži od voza, a na levom je

voz duži od perona.

Koji od posmatrača je u pravu?

Ako telo ima proizvoljan oblik skraćuju se samo dimenzije u pravcu kretanja. To znači da je i oblik tela relativan.

Na ovoj kompjuterskoj simulaciji sa leve strane je prikazan stojeći tunel, a sa desne isti tunel kako ga vidi posmatrač koji se kreće brzinom od

297000 km/s što je 99 % brzine svetlosti.

r 1 2v v v

Slaganje brzina

Ako se jedno telo kreće brzinom v1, a drugo brzinom v2 po istoj

pravolinijskoj putanji, ali u suprotnim smerovima, onda je, prema

klasičnoj mehanici, relativna brzina jednog tela u odnosu na drugo:

U teoriji relativnosti ne važi klasični zakon sabiranja brzina (inače bi brzina svetlosti zavisila od kretanja izvora).

1 2r

1 2

21

v vv

v v

c

Zadaci

1. Kolikom brzinom treba da se kreće štap, dužine l0 po pravcu svoje

duže ose, da bi mu se dužina smanjila za 50%?

0

0,5

________

?

l

l

2

0 21

vl l

c

2

20

1l v

l c

22

20

1v l

lc

22

20

1v l

lc

2

0

1l

v cl

0,866v c

2. U nepokretnom referentom sistemu vremenski događaj traje Δt.

Kolikom brzinom treba da se kreće drugi referentni sistem da bi isti vremenski događaj u njemu trajao dva puta kraće?

02

_________

?

t t

0

2

21

tt

v

c

02 t 0t2

21

v

c

2

22 1 1

v

c

2

24 1 1

v

c

2 2

2 2

1 11 1

4 4

v v

c c 2

2

3 30,866

4 2

vv c c

c

3. Dve čestice se kreću duž istog pravca brzinama 0,9c i 0,8c. Kolika je

brzina jedne čestice u odnosu na drugu ako se one kreću

a) u istom smeru;

b) u suprotnim smerovima?

1

2

0,9

0,8

__________

?r

v c

v c

1 2r

1 2

2

)

1

v va v

v v

c

r

0,9 0,8

0,91

c cv

c

0,8 c 2

c

r 0,357v c

1 2r

1 2

2

)

1

v vb v

v v

c

r

0,9 0,8

0,91

c cv

c

0,8 c 2

c

r 0,988v c

4. Dve čestice se kreću duž istog pravca jedna prema drugoj istim

brzinama. Naći tu brzinu, ako je brzina jedne čestice u odnosu na drugu 0,5c.

1 2

0,5

__________

?

r

v v u

v c

u

1 2r

1 2

21

v vv

v v

c

r

21

u uv

u u

c

r 2

2

2

1

uv

u

c

2

2

20,5

1

uc

u

c

Sad formiramo kvadratnu jednačinu.

2

2

11 2

2

uc u

c

1 1

2 2c c 2

2

u

c 2 u

Pomnožimo celu jednačinu sa 2c.

2 2 4c u u c

2 24 0u c u c I konačno dobijamo kvadratnu jednačinu.

1,2 2 3u c Rešenja kvadratne jednačine su

Rešenje

2 3u c nema fizičkog smisla jer je brzina veća od c.

Dakle, ostaje

2 3u c

5. Kolika greška nastaje ako se zbir brzina v1 = 2/3c i v2 = 1/3c, umesto

relativistički, razmatra klasično?

1

2

2

3

1

3

__________

?r

v c

v c

klr 1 2v v v

klr

2 1

3 3v c c

klrv c

rel

1 2r

1 2

21

v vv

v v

c

relr

2 1

3 32

31

c c

v

c

1

3c

2c

relr 21

9

cv

relr

9

11v c

r

r

9

11

9 21

11 11

c c

vc

v

r

r

0,1818

% 18,18%

v

v