06 Solidos de Revolucion

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06 – Sólidos de revolución

Diego Andrés Alvarez MarínProfesor Asistente

Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales

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Sólidos de revolución

Son sólidos con simetría axial, en los que su geometría, propiedades mecánicas y cargas son independientes de θ.

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Ejemplos●Torres de depósito de agua

●Torres de enfriamiento●Muros cilíndricos●Pilotes cargados axialmente

●Silos●Cúpulas●Vasijas a presión●Fundaciones circulares●Problema de Boussinesq●Distribución de esfuerzos bajo una llanta en un pavimento

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Campo de deformaciones en coordenadas cilíndricas

0

0

Deformaciónradial

Deformacióncircunferencial

Deformaciónaxial

Deformacióntangencial

0

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Ley de Hooke

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Ley de Hooke en el caso axisimétrico

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Componentes de esfuerzos en coordenadas cilíndricas

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Fuerzas actuantes

Vector de fuerzas másicas [N/(m³ rad)]

Vector de fuerzas de superficie (debe tener simetría de revolución) [N/(m² rad)]Vector de fuerzas puntuales (debe tener simetría de revolución) [N/(m rad)]

El rad en el denominador solo es por consistencia dimensional (ver siguiente diapositiva)

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Principio de los trabajos virtuales

t

Haciendo uso de la simetría axial se integra sobre θ, para dar:

El 2π se podría eliminar pero se deja para recordar queq

i = N/(m rad) (es decir newtons por unidad de longitud

circunferencial)

r

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Elemento finito triangular de tres nodos

El elemento es un anillo de sección triangular, cuyas funciones de forma son las mismas del elemento bidimensional haciendoel cambio (x,y) por (r,z)

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Discretización del campo de desplazamientos (elem 3 nodos)

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Discretización del campo de deformaciones (elem 3 nodos)

La matriz de deformación del elemento ya no esconstante ya quedepende de r y z.

De hecho observe queexiste una singularidaden r=0

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Campo de esfuerzos

Observe que en el cálculo de los esfuerzos y las deformaciones en r=0 existe una indeterminación,

por lo tanto se debe calcular εθ en los puntos de

Gauss y luego se debe interpolar

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Matriz de rigidez del elemento triangular de 3 nodos

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K(e) analítica

Tarea: hacer un programa en MATLAB para calcular la matriz K(e) analíticamente, incluyendo la solución de la integral.

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Vector de fuerzas nodales equivalentes

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Vector de fuerzas nodales de equilibrio

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Elementos finitos isoparamétricos

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El cálculo con elementos isoparamétricos se realiza de forma similar a como se hizo en el caso de tensión y deformación plana.

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Resolver el problema de Boussinesq utilizando elementos finitos serendípitos rectangulares de 8 nodos. Comparar con la solución analítica.

TAREA

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