07 - DM prvog reda - · PDF file,qhuflrql wudqvodwruqlhohphqw whorpdvhp 3rvpdwudpr whorpdvh...

3. DETERMINISTIČKI MODELI PRVOG REDA

3.2 MEHANIČKI SISTEMI I NJIHOVI ELEMENTI

Mehanički sistemi

Posmatramo samo najjednostavnije mehaničke sisteme koji vrše pravolinijsko (translatorno) i obrtno (rotaciono) kretanje.

Definisaćemo osnovne translatorne i rotacione elemente koristeći analogiju sa električnim elementima.

Inercioni translatorni element:telo mase m

Posmatramo telo mase m koje miruje ili se kreće pravolinijski brzinom v0 u odnosu na neki inercioni koordinatni sistem.

II Njutnov zakon glasi:

0, v(0)=vdvF ma mdt

Inercioni translatorni element:telo mase m

Analogija:sila F napon u

brzina v struja i

masa m induktivnost L

Inercioni translatornielement telo mase m može se interpretirati kao jedan linearni i stacionarni kaleminduktivnosti L=m.

dvF mdtdiu Ldt

Inercioni rotacioni element: zamajac

Posmatramo zamajac momenta inercije I koji se obrće oko ose Okonstantnom ugaonom brzinom w.

II Njutnov zakon glasi:

0, (0)dM Idt

Inercioni rotacioni element: zamajac

Analogija: moment sile M napon u

ugaona brzina w struja i

moment inercije I induktivnost L

Inercioni rotacioni element zamajac momenta inercije I može se interpretirati kao jedan linearni i stacionarni kalem induktivnosti L=I.

dv

dM Id

F mdtd

t

iu Ldt

Translatorni element naprezanja:opruga

Posmatramo oprugu koeficijenta elastičnosti kkoja je opterećena silomF.

Izduženje opruge x je:

Fxk

F x k

Translatorni element naprezanja:opruga

Analogija:

sila F napon u

izduženje Dx naelektrisanje q

brzina v struja i

koeficijent elastičnosti k recipročna vrednostkapacitivnosti 1/C

,

,

dxF x k vdt

q dqu iC dt

Rotacioni element naprezanja:torziona opruga

Posmatramo torzionuoprugu torzione konstante ckoja je opterećena momentom sile M.

Poprečni preseci 1 i 2 uvrću za uglove q1i q2

prema Hukovom zakonu za mala uvrtanja važi:

1 2Mc

M c

Rotacioni element naprezanja:torziona opruga

Analogija:

Moment sile M napon u

Ugao uvrtanja q naelektrisanje q

Ugaona brzina w struja i

Torziona konstanta c recipročna vrednostkapacitivnosti 1/C

, =

,

dM cdt

q dqu iC dt

Translatorni element trenja

Ovaj element se uvodi za modelovanje pojavetrenja koje zavisi od brzine (kinetičkog ili viskoznogtrenja) između kliznih površina koje su odvojenenekom viskoznom tečnošću (npr. trenja izmeđuklipa i cilindra motora) ili između nekog tela kojese kreće kroz neki fluid (npr. raketa koja se krećekroz guste slojeve atmosfere, brodski propeler, i sl.)

Translatorni element trenja

Pomeranje klipa u odnosu na cilindar pokreće ulje iz jedne komore u drugu.

1 2

t

t

v v vF B v

FvB

Translatorni element trenja

Analogija:

sila F napon u

brzina v struja i

konstanta prigušenja za translatorno kretanje Bt otpornost R

tF B vu RI

Rotacioni element trenja(torziono trenje)

Manji cilindar vezan zaosovinu 1 okreće seunutar većeg cilindra kojije vezan za osovinu 2.Prostor između cilindaraispunjen je nekimviskoznim fluidom, npr.uljem. Obrtanje manjegcilindra se prenosiposredstvom siletorzionog trenja na većicilindar.

Rotacioni element trenja(torziono trenje)

Ako se ograničimo na male relativne brzine obrtanja:

w = w1 – w2

veza sa torzionimmomentom:

M=Br wili

w =M/Br

Rotacioni element trenja(torziono trenje)

Analogija

torzioni moment M napon u

ugaona brzina wstruja i

konstanta prigušenjaza rotaciono kretanje Br otpornost RrM B

u RI

Nezavisni mehanički izvori

Ako je sila F ili moment M poznata funkcija vremena koja nezavisi od brzina ili koordinata kretanja kažemo da imamo modelizvora sile ili izvora momenta.

Nezavisni mehanički izvori

Ako linijska ili ugaona brzina ne zavise od sila, momenata ili ko-ordinata kretanja kažemo da imamo model izvora linijske brzine ili izvora ugaone brzine.

Zadatak 6 Dat je zamajac momenta inercije I koji se kreće rotaciono u

sredini čija je konstanta prigušenja za rotaciono kretanje Br. U trenutku t=0, telo ima ugaonu brzinu w0.

1. Napisati diferencijalnu jednačinu koja određuje vremenskupromenu ugaone brzine zamajca kao i analitičku zavisnost w(t).

2. Koristeći Ojlerov metod numeričke integracije diferencijalnihjednačina napisati program za numeričko izračunavanjefunkcije wn(t). Program treba da sadrži i izračunavanjenumeričkih vrednosti analitičke funkcije w(t).

3. Za zadate vrednosti I, Br i w0, izvršiti program te dobijenerezultate prikazati i uporediti u obliku grafika.