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22 - INTRODUÇÃO A TEORIA DE FILAS (representação)
População
Proc. de chegada
Fila de Espera
Servidores
Disc. de serviço
Partida
nq
ns
n
sw
rTempo
2
INTRODUÇÃO A TEORIA DE FILAS
1.1 Notação de Kendal
A/S/m/B/K/SD;
A: Distribuição do Tempo entre chegadas;
S: Distribuição do Tempo de Serviço;
Distribuições mais comuns são:
M(exponencial),Ek(Erlang), Hk(Hiperexponencial),D(Determinística),G (Geral)
3
INTRODUÇÃO A TEORIA DE FILAS
m: Número de Servidores;
B:Capacidade do Sistema, ou número de buffers (se não for explicitado é considerada infinita);
K: Tamanho da População (se não for explicitado é considerada infinita);
SD: Disciplina de Serviço, comuns são: FIFO, LCFS, ... (se não for explicitado é considerada FIFO);
4
REGRAS GERAIS A razão média de chegada é dada por =1/E[]. Onde é o tempo entre duas chegadas sucessivas;
A razão média de partida é dada por =1/E[s]. Onde s é o tempo de serviço;
ns é o número de clientes em serviço;
nq é o número de clientes esperando por serviço;
5
REGRAS GERAIS n é o número médio de clientes no sistema, também chamado de comprimento da fila. Ele inclui os clientes em serviço e aqueles que estão esperando por serviço;
n=ns+nq E[n]= E[ns]+E[nq]
s é o tempo de serviço;
w é o tempo de espera por serviço;
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REGRAS GERAIS r é o tempo de resposta ou tempo no sistema. Ele inclui tempo de espera por serviço e o tempo de serviço;
r=s+w E[r]= E[s]+E[w]
Condição de estabilidade diz que a razão média de chegada deve ser menor que a razão com a qual o sistema as processa ou <m;
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REGRAS GERAIS Lei de Little ou fórmula de Little diz:
Número médio de clientes no sistema= razão de chegada X tempo médio de resposta
Se aplica a qualquer parte do sistema. Assim:
E[n]=E[t]
E[nq]=E[w]
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PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE
Caso especial de um Processo de Markov;
As transições somente ocorrem entre os estados adjacentes;
A chegada de um cliente aumenta a população do sistema (nascimento);
A partida de um cliente diminui a população do sistema (morte);
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PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE
0 N+121 NN-1N-2
0 NN-1N-2
1
1
2
N-1
N N+1
.... ....
Estados:
Equilíbrio:Fluxo de entrada = fluxo de saída
10
PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE
Estados fluxo de entrada = fluxo de saída
0 1p1 = 0p0
1 0p0 + 2p2 = (1 + 1) p1
2 1p1 + 3p3 = (2 + 2) p2
.... ...................
N-1 N-2pN-2 + NpN = (N-1 + N-1) pN-1
N N-1pN-1 + N+1pN+1 = (N + N) pN
.... ...................
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PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE
Estados:
0: p1 = (0 / 1) p0
1: p2 = (1 / 2) p1 + (1p1 - 0p0) / 2
= (1 / 2) p1 + (1p1 - 1p1) / 2
= (1 / 2) p1
=0
12
01 P
12
PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE
Estado n-1:
n-1: pn = (n-1 / n) pn-1 + (n-1pn-1- n-2pn-2) / n
= (n-1 / n) pn-1 + (n-1pn-1- n-1pn-1) / n
= (n-1 / n) pn-10
11-nn
02-n1-n P
13
PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE
N-ésimo estado:
N: pn+1 = (n / n+1) pn+ (npn - n-1pn-1) / n+1
= (n / n+1) pn
01n1n
01-nn P
,2,1,01
0 10
nppn
i i
in
14
PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE
0
1n
np
1
1
0 1
0
1
1
n
n
i i
i
p
Condição de estabilidade 0<p01
Implica que i/i+1<1. Assim, para que exista o equilibro, a razão com o qual os clientes chegam, deve ser menor que a razão com que o sistema os processa. Caso contrário, o sistema é instável
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A FILA M/M/1
A=Mtempo entre as chegadas é uma v.a distribuída exponencialmente;
S=M tempo de serviço é uma v.a distribuída exponencialmente
M=1 um servidor
B fila infinita; K população infinita;
SD FIFO;
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A FILA M/M/1
Diagrama de transição de estado
,2,1,0, nn
,2,1, nn
0 1 n..
.
.n+1
17
A FILA M/M/1
1
000
1
0 10 0
n
i
nn
i i
in npppp
n
nn
n
i i
i
p
11
1
0 1
0
1
1
1
1
Aplicando a solução do processo de nascimento e morte;
A série somente converge se <1, onde = /, ;
18
A FILA M/M/1
11
11
10p
nnp )1(
Probabilidade do estado de equilíbrio
é chamado intensidade de tráfego
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A FILA M/M/1
Número médio de clientes no sistema
)1()1(
)1(
)1()1(
)1(][
2
0
1
0
00
n
n
n
n
n
n
nn
nn
nnpnE
20
A FILA M/M/1
Lei de Little][][ tEnE
)1(
1
)1(
)1(
][][
nEtE Tempo de
resposta
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A FILA M/M/1-EXERCÍCIO As medidas mostram que em um gateway de uma rede, os pacotes chegam com uma razão média de 125 pps (pacotes por segundo), e o gateway gasta 2 milisegundos para processa-los. Usando o modelo M/M/1, analise o gateway. Qual é a prob. de ocorrer um transbordo no buffer se o gateway tem 13 buffers ? Quantos buffers são necessários para manter a perda de pacote abaixo de 1 pacote por milhão.
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A FILA M/M/1-EXERCÍCIO
Solução:
Razão de chegada =125 pps;
Razão de serviço =1/0.002 = 500 pps;
Utilização do gateway U== / =0.25;
Probabilidade de n pacotes no gateway=(1-) n=0.75(0.25)n
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A FILA M/M/1-EXERCÍCIO
Número médio de pacotes no gateway
= /(1- )=0.25/0.75=0.33;
Tempo de resposta do gateway
= /(1- )=(1/500)/(1-0.25)
=2.66 milisegundos;
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A FILA M/M/1-EXERCÍCIO Probabilidade de transbordo do buffer=P(ter mais que 13 pacotes no gateway)= 13
=1.49x10-8=15 pacotes por bilhão de pacotes
Para a prob de perda ser menor que 10-6, tem-se
13 10-6 ou n>log(10-6)/log(0.25)=9.96
Assim para a manter a probabilidade de perda abaixo de 10-6 é necessário 10 buffers
25
A FILA M/M/m
A=Mtempo entre as chegadas é uma v.a distribuída exponencialmente;
S=M tempo de serviço é uma v.a distribuída exponencialmente;
m=m m servidores;
26
A FILA M/M/m
m m
0 m+121 mm-1m-2
(m-1)
... ...3
,2,1,0, nn
mnnn ,2,1,
mnmn ,
27
A FILA M/M/m
;,...,1,!
;1,...,2,1!
)(
0
0
mmnm
mp
mnn
mp
pn
n
n
Aplicando a solução do processo de Nascimento e morte, tem-se:
= /m é chamado intensidade de tráfego
28
A FILA M/M/m
Novamente a condição de existência do equilíbrio <1 ou <m;Para que fila M/M/m seja estável, a razão com a qual os clientes chegam deve ser menor que a razão com que os m servidores podem processa-los;Caso contrário, o sistema é instável;
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00 1
1
!
)(
!
)(
m
n
nn
m
m
n
mp
29
A FILA M/M/m Medidas de pertinência:
1
1
!
)(][ 0 m
mpfilaP
m
Fórmula de Erlang C, largamente empregada no modelamento de sistemas de espera;
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A FILA M/M/m -EXERCÍCIOOs estudantes chegam em um centro de computação de uma universidade de forma Poissoniana com parâmetro 10 por hora. O tempo de serviço de cada terminal é dist. Exponencialmente. Cada estudante gasta na média 20 minutos em cada terminal. O centro atualmente tem 5 terminais. Alguns estudantes tem reclamado que os tempos de espera estão muito longos. Analise tal sistema, usando o modelo de fila adequado.
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A FILA M/M/m -EXERCÍCIO
O centro é uma fila M/M/5 com razão de chegada 1/6 minutos e razão de serviço 1/20 minutos
Intens. de tráfego =/m=0.167/(5x0.05)
p0=[1+(5X0.67)5/5!(1-0.67) + (5X0.67)1/1! +
(5X0.67)2/2!+ (5X0.67)3/3! (5X0.67)4/4!]-1
= 0.0318;
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A FILA M/M/m -EXERCÍCIO
A prob. de todos os terminais estarem ocupados = = p0(m )m/m!(1- )
=0.0318x(5x0.67)5/5!(1-0.67)=0.33;
Utilização média do terminal =0.67;
Número médio de estudantes em cada centro E[n]=m+ /(1-)=0.67x0.33/(1-0.67)=4.0
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A FILA M/M/m -EXERCÍCIOA média e a variância do tempo gasto no centro:
E[r]= 1/[1+ /m(1- )]=1/0.05[1+ 0.33/5(1-0.67)]=24
Var[r]=1/2[1+ (2- )/m2(1- )2]=1/0.052[1+ 0.33(2- 0.33)/52(1-0.67)2]=479
Cada estudante gasta 24 minutos no centro. Desses 20 minutos são em serviço, e 4 são esperando por serviço;
34
A FILA M/M/m -EXERCÍCIO
90% do tempo de fila é:
(E[w]/)x ln(10)=14 minutos;
35
A FILA M/M/m/B
A=Mtempo entre as chegadas é uma v.a distribuída exponencialmente;
S=M tempo de serviço é uma v.a distribuída exponencialmente;
m=m m servidores;
B buffer finito
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A FILA M/M/m/B
...
m
0 B21 mm-1
m
...3
1,,2,1,0, Bnn
1,2,1, mnnn
Bmmnmn ,...,1,,
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A FILA M/M/m/B
Bmmnm
mp
mnn
mp
pnm
n
n
,...,1,!
;1,...,2,1!
)(
0
0
Aplicando a solução do processo de Nascimento e morte, tem-se:
= /m é chamado intensidade de tráfego
38
A FILA M/M/m/B
Esse sistema é sempre estável para todo <infinito;Isso acontece pois essa fila tem capacidade limitada;Assim, uma vez que o sistema está cheio, ele não absorve mais clientes;
39
A FILA M/M/m/B
Para B=m, ou seja, a capacidade do sistema são os próprios servidores;Medida de relevância Fórmula de Erlang B. Largamente usada no modelamento de sistemas de perda como os as redes móveis 1.G e 2.G FDMA/TDMA;
!][ 0 m
ppbloqueioP
m
mnn
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A FILA M/M/m/B-EXERCÍCIO Considere o gateway do exemplo 31.1. Analise tal gateway considerando que ele tem somente 2 buffers.
Razão de chegada =125 pps;
Razão de serviço =1/0.002 = 500 pps;
m=1 e B=2;
Intensidade de tráfego = /m =0.25;
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A FILA M/M/m/B-EXERCÍCIO
As prob de estado são:
p1=p0=0.25p0
p2= 2p0=0.625p0
p0+p1+p2=1 p0=0.76 p1=0.19,p2=0.0476
Número médio de clientes no sistema29.00476.02191][1
B
nnnpnE
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A FILA M/M/m/B-EXERCÍCIO
Número médio de jobs na fila de espera
0476.00476.0)12()(][
B
mnnq pmnnE
Razão efetiva de chamadas
’=(1-PB)=125(1-p2)=125(1-0.0476)=119pps
Razão de pacotes perdidos - ’=
125-119=6pps
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