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1) Cinématique du point1) Cinématique du point
1/16
2) Dérivation vectorielle2) Dérivation vectorielle
zr
yr
xr
OM
y
z
1) Cinématique du point1) Cinématique du point1-1) Point mobile par rapport à un repère R :
OM Fonctions du temps
2/16
yxx
Soit le point M défini par ses trois coordonnées :
Rtz
ty
tx
M
=)(
)(
)(
(cartésiennes par exemple)
On définit le vecteur position OM : ztzytyxtxOMrrr
)()()( ++=
Cinématique du solide
Dérivation vectorielle
Cinématique Cinématique du pointdu point
zr
yr
xr
OM
y
z
1-2) Trajectoire du point M :
Trajectoire du point M
3/16
yxx
Le lieu de l’espace décrit par M quand t varie est appelé
la trajectoiredu point M.
Cinématique du solide
Dérivation vectorielle
Cinématique Cinématique du pointdu point
1-3) Vitesse du point M par rapport à un repère R :
RRM OM
dt
dV
//
=
Dérivation du vecteur position
4/16
Vecteur position : Cette barre signifie que l’on
L’une des trois méthodes que
nous utiliserons.
il s’agit d’une vitesse instantanéeet qui peut évoluer dans le temps.
O doit être un point fixedans R.
Cinématique du solide
Dérivation vectorielle
Cinématique Cinématique du pointdu point
Vecteur position :- le point O est l’origine du repère R.- le point M est le point dont on calcule la vitesse.
Cette barre signifie que l’on dérive par rapport à R et non pas que le résultat sera écrit dans R.
1-4) Accélération du point M par rapport à un repère R :
=
=ΓR
RMRM Vdt
d
///
R
OMdt
d
/2
2
Dérivation du vecteur vitesse
5/16
Seule méthode que nous utiliserons. Dérivée seconde du vecteur position.
il s’agit d’une accélération instantanée.
Rdt /
O doit être un point fixe dans R.
Rdt
/
Dérivation vectorielle par rapport au repère R.
Cinématique du solide
Dérivation vectorielle
Cinématique Cinématique du pointdu point
Dérivée première du vecteur vitesse.
zr
yr
xr
O
2) Dérivation vectorielle2) Dérivation vectorielle2-1) Dérivation d’un vecteur mobile par rapport à un repère R :
Soit le repère R : ( )zyxORrrr
,,,
Soit le vecteur U de composantes :
tz
ty
tx
U
=)(
)(
)(
U est écrit dansR
6/16
yxR
tz )(
=
R
Udt
d
/
zdt
tdzy
dt
tdyx
dt
tdx rrr ×+×+× )()()(
=×+×+× ztzytyxtxr
&r
&r
& )()()(=
Rtz
ty
tx
)(
)(
)(
&
&
&
Dérivation vectorielle par rapport au repère R.
Cinématique du point
Cinématique du solide
Dérivation Dérivation vectoriellevectorielle
Vecteur écrit dans R.
zr
yrx
rO
2-2) Changement de repère de
Soient deux repères :
Soit le vecteur U écrit dans R1 :
)(
)(
)()()( 111 ty
tx
ztzytyxtxU
=×+×+×= rrr
dérivation d’un vecteur mobile :
( )zyxORrrr
,,, ( )1111 ,,, zyxORrrr
et
O1
1xr
1yr
1zr
7/16
Vecteur écrit dans R1.
1)(
)()()()( 111
Rtz
tyztzytyxtxU
=×+×+×=
=
R
Udt
d
/
×
×+
×+RRR dt
tzdtz
dt
tydty
dt
txdtx
/
1
/
1
/
1 )()(
)()(
)()(
rrr
[ ]111 )()()( ztzytyxtxr
&r
&r
& ×+×+× 1/ R
Udt
d
V
Cinématique du point
Cinématique du solide
Dérivation Dérivation vectoriellevectorielle
Dérivation par rapport à R1.On va utiliser : (f x g)’= f’ x g + f x g’
VUdt
dU
dt
d
RR
+
=
1//
avec :
×
×+
×=RRR dt
tzdtz
dt
tydty
dt
txdtxV
/
1
/
1
/
1 )()(
)()(
)()(
rrr
Plaçons-nous dans le cas particulier où la position du repère R1
par rapport au repère R est définie par le seul angle αααα :
8/16
par rapport au repère R est définie par le seul angle αααα :
rotation autour de l’axe 1zzrr =
=1xr
=1yr
yxrr αα cossin +−
yxrr αα sincos +
=1zr
zr
yr
xrO
αααα
αααα1xr
1yr
1zzrr =
Cinématique du point
Cinématique du solide
Dérivation Dérivation vectoriellevectorielle
Calculons la dérivée de chaque vecteur unitaire du repère R1 :
d r dd αr rr d
=1xr
yxrr αα sincos +
yr
xrO
αααα
αααα1xr
1yr
1zzrr =α&
9/16
( ) =
R
xdt
d
/1
r ( ) =×
dt
dx
d
d
R
αα /
1
r ( ) αααα
&rr ×
+R
yxd
d
/
sincos
= ( ) =×+− ααα &rryx cossin
1yr
1yr
&α 11/
1 xzxdt
d
R
rr&
r ∧=
α
Cinématique du point
Cinématique du solide
Dérivation Dérivation vectoriellevectorielle
Notation qui aura son intérêt par la suite…
111 xzyrrr ∧=
d dd α d
=1yr
yxrr αα cossin +−
yr
xrO
αααα
αααα1xr
1yr
1zzrr =
10/16
=
R
ydt
d
/1r =×
dt
dy
d
d
R
αα /
1r ( ) ααα
α&
rr ×
+−R
yxd
d
/
cossin
= ( ) =×−− ααα &rryx sincos
1xr−
1xr
&α− 11/
1 yzydt
d
R
rr&
r ∧=
α
Cinématique du point
Cinématique du solide
Dérivation Dérivation vectoriellevectorielle
Notation qui aura son intérêt par la suite…
zzrr =1
yr
xrO
αααα
αααα1xr
1yr
1zzrr =
11/16
=
R
zdt
d
/1r =
R
zdt
d
/
r0
11/
1 zzzdt
d
R
rr&
r ∧=
α
Cinématique du point
Cinématique du solide
Dérivation Dérivation vectoriellevectorielle
Notation qui aura son intérêt par la suite…
VUdt
dU
dt
d
RR
+
=
1//
avec :
×
×+
×=RRR dt
tzdtz
dt
tydty
dt
txdtxV
/
1
/
1
/
1 )()(
)()(
)()(
rrr
11/
1 xzxdt
d
R
rr&
r ∧=
α 11/
1 yzydt
d
R
rr&
r ∧=
α 11/
1 zzzdt
d
R
rr&
r ∧=
α
12/16
( ) ( ) ( )111111 )()()( zztzyztyxztxVrr
&rr
&rr
& ∧×+∧×+∧×= ααα
[ ]1111 )()()( ztzytyxtxzVrrrr
& ×+×+×∧= α
1)(
)(
)(
Rtz
ty
tx
U
=
Uzr=
Cinématique du point
Cinématique du solide
Dérivation Dérivation vectoriellevectorielle
UzV ∧= r&α
En utilisant les angles d’Euler
et en généralisant le calcul
( ) UzuzV ∧++= 1r
&r&r
& ϕθψ
kzrr =
θθθθ
1zwrr =
ψψψψ1
3ϕϕϕϕ
précession
Rotationpropre
UzV ∧= r&α
On a donc :
(pour orienter R1 par rapport à R)
précédent on obtient :
13/16
yr
xr
uirr
=ϕϕϕϕ
ψψψψ
1xr
θθθθ2
nutation
VUdt
dU
dt
d
RR
+
=
1//
( ) UzuzUdt
dU
dt
d
RR
∧+++
=
1
// 1
r&
r&r& ϕθψ
Cinématique du point
Cinématique du solide
Dérivation Dérivation vectoriellevectorielle
( ) UzuzUdt
dU
dt
d
RR
∧+++
=
1
// 1
r&
r&r& ϕθψ
Définition :Définition : on appelle vecteur rotation de R1
par rapport à R le vecteurΩΩΩΩ
1/1zuzRRr
&r&r
& ϕθψ ++=Ω
Ce vecteur rotation caractérise à tout instantl’orientationdu repère Rpar rapport à R c’est-à-dire qu’il précise :
14/16
l’axe instantané autour duquel tourne R1 par rapport à R.
la valeur de la vitesse angulaire instantanée en rad/s (sa norme).
le sens de la rotation (son signe) :
du repère R1 par rapport à R c’est-à-dire qu’il précise :
Nota :Nota : est indépendant d’un quelconque point d’application.RR /1Ω
Cinématique du point
Cinématique du solide
Dérivation Dérivation vectoriellevectorielle
11 // RRRR Ω−=Ω
On obtient ainsi la formule de changement de repère de dérivation
11
R/RR/R/
UUdt
dU
dt
d Ω∧+
=
Formule de Bour
15/16
Vecteur rotation de R par rapport à R1.
Dérivation par rapport à R.
Dérivation par rapport à R1.
Cinématique du point
Cinématique du solide
Dérivation Dérivation vectoriellevectorielle
Ce qu’il faut avoir retenu(minimum « vital »…)
Ce qu’est le vecteur position.
Calculer un vecteur vitesse par dérivation du vecteur position.
16/16
Ce qu’est le vecteur rotation.
Calculer un vecteur accélération par dérivation du vecteur vitesse.
Connaître la formule de changement de repère de dérivation ou formule de Bour.
Avoir deux notations différentes pour écrire un vecteur (en colonne) dans une baseet pour dériver un vecteur (position ou vitesse) par rapport à une base.
Pour obtenir le vecteur vitesse
Pour obtenir le vecteur accélération
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