View
256
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial
pág. 80 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997
1.- CONTINUIDAD
1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO
Decimos que f es continua en a si:
Lim f x f ax a
( ) ( )
Para que una función sea continua en un punto se ha de cumplir:
)()(º3
),lim()(º2
)(º1
afxfLim
noperoigulesserquetienenlateralesiteslosxfLim
Daaf
ax
ax
f
Discontinuidad evitable Discontinuidad evitable
fDa punto desplazado
Discontinuidad de salto infinito Discontinuidad de salto finito
)(lim xfax
ax
xfNo
)(lim
1.2 - FUNCIÓN CONTINUA EN UN INTERVALO
Una función es continua en un intervalo abierto, si lo es en todos los puntos de ese intervalo
Una función es continua en el intervalo [a,b], si lo es en (a,b), en a por la derecha y en b por la
izquierda1
Cualquier función (polinómicas, trigonométricas, logarítmicas, irracionales…) es continua en
su dominio; por tanto, para estudiar la continuidad de una función es suficiente con calcular
su dominio.
El estudio de la continuidad de una función a trozos requiere:
o El estudio de la continuidad de cada función en su recinto de definición
o El estudio de la continuidad en los puntos de empalme de los intervalos de definición
EJERCICIOS:
1.- Estudia la continuidad de la función:
1Si en la definición de continuidad se sustituye x a porx a + tendremos la definición de continuidad
por la dech. Igualmente si se cambia por x a - dará lugar a la definición de continuidad por la izqui.
a
a
a
a
TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial
pág. 81 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997
2xx
2xx2xy
2
23
2.- Estudia la continuidad de estas funciones:
0xsi2
0xsix1)x(f)b
1xsixln
1xsie)x(f)a
1x
2x
3.- Calcula el valor que debe tener k para que la siguiente función sea continua:
2xsixk
2xsi1x)x(f
4.- Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea continua:
5.- Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones para los distintos valores del
parámetro a:
Selectividad nº 27
1.3 -TEOREMA DE LOS CEROS DE BOLZANO
HIPOTESIS TESIS
fcont en a b
signo f a signof bal menosc a b f c
1
20
º . ,
º . ( ) ( )( , ) ( )
Si una función es continua en [a,b] y toma valores
de signo contrario en los extremos del intervalo, la
función se anula al menos en un punto del intervalo
(a,b)
EJERCICIOS:
1.- Probar que la ecuación x3 – 3x+40 = 0 tiene alguna solución real. Aproximar su valor hasta las
décimas
2.- Observamos que f está definida en [0, 1] y que verifica f (0) = –1 < 0 y f (1) = e-1
> 0, pero no existe
ningún c (0, 1) tal que f (c) = 0. ¿Contradice el teorema de Bolzano? Razona la respuesta.
a b
f(a)
f(b)
c
TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial
pág. 82 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997
1x
2
1sie
2
1x0si
4x
4x
f(x)2x
3.- Demuestra que la ecuación x5 + x + 1 = 0 tiene, al menos, una solución real.
1.4 -TEOREMA DE LOS EXTREMOS ABSOLUTOS DE WEIERSTRASS
Si una función es continua en [a,b] alcanza al menos
una vez el máximo y el mínimo absoluto en dicho
intervalo
Si se trata de una función lineal alcanza el max. min.
en los extremos del intervalo.
HIPÓTESIS TESIS
EJERCICIOS:
1.- Justifica cuáles de las siguientes funciones tienen máximo y mínimo absoluto en el intervalo
correspondiente:
a) x2 – 1 en [–1, 1] b) x
2 en [–3, 4]
b) 1/(x – 1) en [2, 5] d) 1/(x – 1) en [0, 2]
c) 1/(1 + x2) en [–5, 10]
a bc d
f(a)
f(b)
TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial
pág. 83 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997
EJERCICIO2
1.-Selectividad nº 21
2.- Calcular las siguientes derivadas y simplifica el resultado
a) y (x 3)
b) y 3x
c) y lnx
(3x 4)
d) y lnx 1
x 1
e) y ln(x 3)
f) y x lnx x
g) y ln(x 1 x )
h) y arcsen(x x)
i) y arctg1 x
1 x
j) y lne 1
2e
k) y 2
l) y 2
2 4
23
4
2
2
2
2
3
x
x
x 3x 1
senx
2
m) y e
n) y sen x
o) y arcsen(lnx)
p) y arctg1 cosx
1 cosx
q) y ln(cos x )
r) y ln arctg lnx
s) y sen x 1
t) y x x 1 x
u) y arctg1
1 x
v) y arcsen1
x
x) y x sen1
x
tg x
3 2
2 5
2 2
2
2
2
SOLUCIONES
a) y ´= 8x (x2-3)
3 m) y´=
b) y ´=
n) y´=
c) y ´=
o) y´=
d) y ´=
p) y´=
e) y ´=
q) y´=
f) y ´=2x ln x + x – 1 r)
g) y ´=
s)
2 Hacerlos antes de límites
TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial
pág. 84 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997
h) y ´=
t)
i) y´= ) u)
j) y´= 1/(ex - 1)
k) 13xx2
2 v)
l) y´= x) y´=2xsen(1/x)-cos(1/x)
TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial
pág. 85 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997
TABLA DE FUNCIONES DERIVADAS
TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial
pág. 86 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997
2.-DERIVABILIDAD
2.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La derivada de una función f(x) en el punto x= a es un número que se representa por f ' (a), y que se
define como:
f a Limf a h f a
hLim
f x f a
x ah x a' ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 Cuando existe es la pendiente de la recta tangente3 a la gráfica en el punto
Ejercicios: Calcula, aplicando la definición, la derivada de las siguientes funciones en los puntos que
se indican:
a) f(x)=x2 en x= - 1
b) f(x)= 3 x en x0 =0
c) f(x)= 2
1
xen x0 =2
Selectividad: Resolución de Problemas nº 2, 6, 17,18,20, 31
2.2 DERIVADAS LATERALES
Como la derivada es un límite, se dice que f es derivable en a, cuando existe ese límite por la
izquierda, por la derecha, y ambos son iguales (no infinitos).
Correspondiéndose con el concepto de límites laterales, están las derivadas laterales, por la izquierda y
por la derecha. Y, de la misma manera, aparecen los conceptos de semitangentes en los puntos en los que
las derivadas laterales existen (una o ambas).
En la gráfica de la figura existen las derivadas laterales en a, pero no
coinciden las semitangentes laterales en x=a, por tanto, diremos que la
función no es derivable en x=a. Esto sucederá siempre en los puntos
angulosos de las funciones.
2.3 FUNCIÓN DERIVADA
Diremos que f es derivable en (a,b) si lo es x0(a,b)
Se llama función derivada f ' de la función f, en (a,b)Dom f, a una función que hace corresponder a
cada punto x0(a,b) el número real f ' (x0)
2.4 DERIVACIÓN Y CONTINUIDAD
Si una función f es derivable en un punto a, entonces es continua es dicho punto
De esta afirmación podemos extraer las siguientes consecuencias:
3 Definida como posición límite de las rectas secantes
a
TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial
pág. 87 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997
1) Si una función no es continua en x=a, entonces no es derivable en dicho punto.
2) Si f(x) es continua en x=a puede ser derivable en x=a o no derivable en x=a
3) Si f(x) es no derivable en x=a puede ser continua en x=a o no continua.
2.5. ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD
Distinguimos entre funciones simples y a trozos.
SIMPLES (dadas por una sola expresión): polinómicas, racionales logarítmicas,
exponenciales, seno, coseno…Todas ellas son derivables en su dominio, luego el estudio
de la derivabilidad queda reducido al cálculo del dominio. En la función irracional xy
es distinto, pues Dom= [0,+∞) y es derivable en (0, +∞)
Ante la duda siempre se puede derivar y estudiar el dominio de la función derivada.
A TROZOS. Se procede del siguiente modo:
1.- Se estudia la continuidad de cada función, por separado, en su recinto de definición
2.- Se estudia la continuidad en los puntos de empalme (si en alguno de ellos no es
continua, tampoco será derivable. Si es continua hay que seguir con el estudio
3.- Se halla la función derivada sin poner el signo igual en los intervalos de definición
4.- Se estudian las derivadas laterales en los puntos de empalme.
EJERCICIOS
1.- Estudia la derivabilidad de la función f. Dibuja su gráfica y la de f ´
284
224
2842
xsix
xsix
xsix
y
2.- a) Comprueba que la siguiente función es continua y derivable y halla f ' (0), f ' (3) y f ' (1):
b) ¿Cuál es su función derivada?
c) ¿En qué punto se cumple f ' (x) = 5?
3.- Comprueba que f (x) es continua pero no derivable en x = 2:
4.- Estudia la continuidad y derivabilidad de esta función:
5.- Esta es la gráfica de una función y = f (x). Calcula, observándola:
f ' (–1), f ' (1) y f ' (3)
¿En qué puntos no es derivable?
6.- Comprueba que la función y = 2x no es derivable en x=2
TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial
pág. 88 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997
7.- ¿Cuántos puntos hay en esta función que no tengan derivada? Y= 862 xx
8.- Considera la función
a) Calcula m y n para que f sea derivable en todo R.
b) ¿En qué puntos es f ' (x) = 0?
9.- Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo R:
10.- Sea la función f = x x
a) Halla f' (x).
b) Halla f'' (x).
c) Representa f' y f''.
11.- Estudia la derivabilidad de la función: f(x)=3 21 x y calcula f ´(1).
12.- a) Representa la función siguiente: f (x) = 31 xx . Observando la gráfica, di en qué puntos
no es derivable.
b) Representa f' (x).
13.- Observa las gráficas de las siguientes funciones
e indica en qué puntos no son derivables.
¿Alguna de ellas es derivable en todo R?
14.- Halla a y b para que la función f (x) sea continua:
Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad de f.
15.- Determina, si es posible, el valor del parámetro a para que la función f sea derivable en todo su
dominio de definición:
16.- Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones:
17.- Halla la función derivada de 3 xy
TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial
pág. 89 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997
18.- Demuestra, utilizando la definición de derivada, que la función: 1 xxy no es derivable en
x=1
Selectividad nº 6, 19
2.6. TEOREMA DE ROLLE
Si una función es continua en [a,b], derivable en (a,b),y f(a)=f(b) existe al menos un c perteneciente al
intervalo (a,b) en el que f ' (c)=0
EJERCICIOS
1.- ¿Es aplicable el teorema de Rolle a las funciones siguientes en los intervalos que se indican?. En
caso afirmativo calcular el valor/es de "c"
2.- Sea f (x) = 1 – x2/3
. Prueba que f (1) = f (–1) = 0, pero que f ' (x) no es nunca cero en el intervalo [–1,
1]. Explica por qué este resultado contradice aparentemente el teorema de Rolle.
3.- Calcula a, b y c para que la función:
cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, 4]. ¿En qué punto se cumple la tesis?
4.-Enuncia el teorema de Rolle. ¿Es posible asegurar, utilizando dicho teorema, que la función f (x) =
sen (x2) + x
2 es tal que su derivada se anula en algún punto del intervalo [–1, 1]? Justifica la
respuesta.
HIPOTESIS TESIS
1º .- f continua en [a,b]
2º .- f derivable en (a,b)
3º .- f(a) = f(b)
al menosunc a b f c, / '( ) 0
a b
f(a)=f(b)
1 1 0 2
2 1
3 1 0 0 1
23
3
. ( ) ( ) ,
. ( ) sen ,
. ( ) , ,
f x x en
f x x en
f x x x en y en
TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial
pág. 90 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997
5.- En cada uno de los ejemplos que se dan a continuación, es f (a) = f (b) y, sin embargo, no hay ningún
número z ∈(a, b) para el que sea f ' (z) = 0. Explica, en cada caso, por qué el ejemplo no va en contra
del teorema de Rolle.
a) f(x)=
b)
6.- Calcula b para que f (x) = x3 – 4x + 3 cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, b].
¿Dónde cumple la tesis?
7.- Si la derivada de una función f es positiva para todos los valores de la variable, ¿puede haber dos
números distintos, a y b, tales que f (a) = f (b)? Razónalo.
2.7 TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE LAGRANGE. TEOREMA DE LOS INCREMENTOS FINITOS
Sea f una función continua y definida en [a,b] y derivable en (a,b). Existe, al menos, un c(a,b) tal
que: f(b)-f(a)=f ' (c)(b-a)
HIPOTESIS TESIS
f continuaen a b
f derivableen a bal menos c a b
f b f a
b af c
1
2
ª. ,
ª. ,( ) , /
( ) ( )'( )
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Pendiente de la recta secante AB
f b f a
b a
( ) ( )
Pend. de la recta tangente t
f ' (c)
Como
f b f a
b af c
( ) ( )'( )
Ambas rectas son paralelas
El teorema expresa que existe, al menos, un punto
c(a,b), en el que la recta tangente es paralela a la
recta secante que pasa por los extremos del intervalo.
EJERCICIOS.
1.- Aplica el teorema del valor medio, si es posible, a la función: f (x) = x2 – 3x + 2 en [–2, –1] Calcula
el valor correspondiente a c.
2.- Demuestra que f (x) cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [2, 6]. ¿En qué
punto cumple la tesis?
3.- Se tiene la función f (x) Prueba que f satisface la hipótesis del teorema del valor medio en [–2, 0] y
calcula el o los puntos en los que se cumple el teorema.
f(b)-f(a)
a bc
A
B
b-a
t
D
TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial
pág. 91 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997
4.- Calcula a y b para que:
cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [2, 6]. ¿Dónde cumple la tesis?
Selectividad nº 30, 33, 28
2.8 NUEVAS TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
2.8.1 Derivación Implícita
Una función implícita es aquella en la que es difícil o imposible despejar la y. Para obtener
y ´ procederemos de la siguiente manera:
1) (Primer miembro) ´ = (Segundo miembro) ´4
2) Despejamos y ´en la igualdad anterior. El valor de y ´ se obtiene en función de x e y
EJERCICIOS:
1.- Calcula la derivada de estas funciones implícitas:
a) x2+y
2 = 9 b) x
2+y
2 – 4x – 6y+ 9 =0
c)
d)
e) x3+y
3+2xy = 0 f)
2.- Usando la derivación implícita, hallar la ecuación de la recta tangente a la
circunferencia: x2 + y2 - 2x + 3y - 17 = 0 , en el punto de abscisa 1 y ordenada
positiva.
3.- Comprueba que sen (x2 y) – y
2 + x = 2 –
16
2 pasa por el punto (2,
4
) y halla la ecuación
de la recta tangente en ese punto.
2.8.2 Derivación Logarítmica.
Se utiliza en las funciones exponencial-potencial y= [f(x)]g(x)
, aunque
en ocasiones, y en otro tipo de funciones tomando logaritmos y aprovechando sus
propiedades, se simplifica el cálculo de la derivada de una función. Consiste en:
1) Aplicar logarítmos a ambos lados de la igualdad (Ln y =Ln [f(x)]g(x)
)
4 ATENCIÓN, la derivada de x es 1, pero la derivada de y es y ´
TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial
pág. 92 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997
2) Utilizar todas las propiedades de logarítmos que se pueda
Ln y =g(x)·Ln (f(x))
3) Derivando de forma implícita la función obtenida, se obtiene:
yxf
xfxgxfxgy ·
)(
)()·()()·ln(
4) Sustituir el valor de y por [f(x)]g(x)
EJERCICIOS
1.- Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:
f (x) = (sen x)x
g (x) = x sen x
2.- Aplica la derivación logarítmica para derivar:
a) y= x3x
b) y= xx+1
c) y=
d) y=(ln x)x+1
e )
f) y= xtgx
3.- Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos que se
indican:
en x= /6
x2+y
2 – 2x - 8y+15=0 en x=2
4.- Halla un punto de la gráfica y = x2 + x + 5 en el cual la recta tangente sea paralela a
y = 3x + 8.
5.- Halla una recta que sea tangente a la curva: y = x2 – 2x + 3 y que forme un ángulo de
45° con el eje de abscisas. ¿Hay algún punto de la curva en el que la recta tangente sea
horizontal?
6.- Escribe las ecuaciones de las tangentes en los puntos que se indican:
, en x=0 y en x=
7.- Dada la parábola: y = x2 – 2x – 2, se traza la cuerda que une los puntos de la parábola
de abscisas x=1 y x=3. Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola que es
paralela a esa cuerda.
8.- Halla los puntos de la gráfica de y= x3 – 3x
2+x en los que la recta tangente forma un
ángulo de π/4 radianes con el eje de abscisas.
9.- Halla los puntos de la gráfica de la función f(x)= x2-5x+6, tales que sus rectas
tangentes se cortan en (1 , 1).
10.- Halla los puntos de la gráfica de la función f(x)=
, de modo que su recta tangente
pase por (0,1)
TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial
pág. 93 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997
Selectividad nº 38, 45, 50b
TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial
pág. 94 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997
EXERCICIS DE DERIVADES
FUNCIONS DERIVADES 1.- y = sin2x y'= 2 cos2x
2.- y = cos 5 3 2
2
2x x
x
y'= -
5 2
2
5 3 2
2
2
2
2x
xsin
x x
x
3.- y = sin2x y' = 2 sinx cosx
4.- y = sin x2 y' = 2x cosx
2
5.- y = sin2 x
2 y' = 4x sinx
2cosx
2
6.- y = 2 sinx cos x y' = 2( cos2x -sin
2x)
7.- y = sin(sinx) y' = cos(sinx) cosx
8.- y = 1/3 cos32x y' = -2 cos
2 2x sin 2x
9.- y = sin2(cos7x) y' = -14sin(cos7x)cos(cos7x)sin7x
10.- y = ( )2 3 7x y' = 7 2 3 2 32( )x x
11.- y = ( )5 32 23 x y' =23
20
3 (5 3)
x
x
12.- y = (x- 1 2 x )3 y' = 3(x- 1 2 x )
2(1+
1
1 2 x)
13.- y = 1
1
cos
cos
x
x y' =
2
1 2
sinx
x( cos )
14.- y = tan(x+1
x) y' =
x
x xx
2
2 2
1
1
cos ( )
15.- y = ln(x2+3x+1)
y' =2 3
3 12
x
x x
16.- y = ln2x +lnx2-(lnx)
2
y' =1 2 2ln 3 2lnx x
x x x x
17.- y = ln1
1
sinx
sinx
y' = sec x
18.- y = ln[(x+1). x2 1 ] y' =2
2 1
1
x
x
19.- y = lnx
x
2 y' =
2
2x x( )
20.- y = e3x
+ 4x y' =3 e
3x + 4
x ln4
21.- y = 3sinx
y' = 3sinx
cosx ln3
22.- y = ln(cosx2)
y' =
2
22
2
2x sinx
xx x
costg
23.- y = ln cos2 x y' = -2tgx
24.- y = e3x
cos(x2+1) y' = 3 e
3xcos(x
2+1) - 2x e
3xsin(x
2+1)
25.- y = arctg (x+1) y'
32xx
12
TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial
pág. 95 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997
FUNCIONS DERIVADES
26 y x x ln( 2 1 ) y'=1
12x
27 y=arc tag
1
1
x
x y'=
1
1 2 x
28 y=2arc tag
1
1
cos
cos
x
x
y'=1
29 y=arc sen(cosax) y'=-a
30 y=ln
1
1
x
x y'=
1
1 2 x
31 y=
1
1
x
x y'=
1
1 2x x( )
32 y=
12
xx
x
x ln
ln y'=
2 22 2x
x
x x
ln
33 y=
1
3
13cos cosx x
y'=sen
cos
3
4
x
x
34 y=
3 2
5
sen cosx x y'=
3 2
2 15 10
cos sen
sen cos
x x
x x
35 y= sen
cos
23
2
1x
x y'=
2
3
23 4
cos
sen
sen
cos
x
x
x
x
36 y= eax y'=a
eax
2
37 y= e xsen2
y'=sen 2x e xsen2
38 y=
12ln x
y'=2
3x xln
39 y= lncos
x
x
1 y'=-
1 12x
tagx
x
40 y= x
x
x
22
11 1
ln y'=1 2 x
x
41 y=
1
3
2 1
1
2
2ln
x x
x x
y'=
x
x
1
13
42 y = x tgx
y´=tgx. xtgx-1
+ xtgx
.lnx.sec2x
43 y=sinxcosx
y'=sinxcosx-1
cos2x - sinx
cosx +1
lnsinx
44 y= arcsin(2x 1 2 x ) y'=2/ 1 2 x
45 y= ln(x+1+ x x2 2 1 ) y'= 1/(x+1)
46 y=(x+1)x+1
y=(x+1)x+1
(ln((x+1)e)
47 y=arctg
1
1
x
x- arctgx
y'=0
Recommended