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E-Learning: superfici matematiche in 3D
E-Learning: superfici matematiche in 3D
Nicla PalladinoDottorato di Ricerca in Matematica Applicata e Informatica
XVI ciclo
Università degli Studi di Napoli “Federico II”
29 Settembre 2004
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Tra la seconda metà del XIX secolo e i primi decenni del ‘900 la costruzione di modelli matematici ebbe grande rilievo.
Oggi le antiche collezioni di modelli possono ancora suscitare interesse, perché forniscono concretezza ai risultati e sono accessibili all’esperimento.
Con un modello matematico si rendono auto-evidenti proprietà che altrimenti sarebbero chiare –forse- solo a menti esercitate.
I modelli realizzati permettevano di vedere proprietà notevoli e mostrare i risultati di diversi settori della Matematica, Fisica ed Ingegneria, usando la percezione.
Tutto ebbe inizio da ...
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Come riutilizzare quei vecchi modelli dell’Ottocento …?Come riutilizzare quei vecchi modelli dell’Ottocento …?
Molte di queste collezioni –come accaduto per tutti i materiali didattici - sono state trasformate in repository di Modelli 3D.
The summation of human experience is being expanded at a prodigious rate,
but the means we use for threading through the consequent
maze to the momentarily important item is the same as was used in the days of square-
rigged ships.
Vannevar Bush , “As we may think”, 1945
Come renderle facilmente reperibili ?Come riusarle nel contesto dell’E-Learning ?
E-Learning e modelli matematici in 3D
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- decostruzione dei saperi - l'apprendimento come costruzione enattiva
-le conoscenze aumentano in modo esponenziale -incompletezza delle didattiche tradizionali -"il sistema non è tutto“
-Problema Ipercomplessità tecnologica
-reti di computer -il virtuale come spazio antropologico esser “ci” diventa inessenziale de-territorializzazione
Perché L’E-Learning
E-LEARNINGSoluzione
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Obiettivo:Obiettivo:Dai concetti di “decostruzione” e “apprendimento enattivo” nasce l’idea dello sviluppo di tool per “ricontestualizzare” le antiche collezioni di modelli matematici, e di creare le basi per la costruzione di un corso in cui la conoscenza su uno specifico campo del sapere (la geometria delle quadriche) viene impartita nell’ambito dell’E-Learning.
G. Minichiello, “Didattica ed Ipertesti”, Bibliopolis, Napoli, 1994
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Capitolo Primo: L'E-Learning•I Learning Object•Un Learning Object per la classificazione delle quadriche•La rappresentazione di oggetti 3D nel Web SemanticoCapitolo Secondo: algoritmi di approssimazione •3D-Resource brokering con algoritmi basati su Nurbs•NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati
Capitolo Terzo: Le collezioni virtuali di modelli matematici•Estensione di un LMS con un’applet 3D
La tesi è il risultato di un’attività di ricerca in un ambito che coinvolge il settore della computer grafica e quello dell’E-Learning.
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Ontologia : rappresentazione del dominio di conoscenza Instructor : esperto nel dominio di conoscenza. Definisce l’Ontologia e costruisce le risorse didattiche.Mediatore Didattico –Facilitatore- Tutor: filtra la conoscenza che permea l’ambiente esterno, popola l’ontologia con le risorse didattiche.Learning Management System: piattaforma per la didattica a distanza. Implementa l’ontologia preparata dall’instructor e fornisce al tutor gli strumenti per preparare i corsi on line e per seguire gli studenti;Studente: costruisce le proprie conoscenze con l’aiuto del tutor che gli fornisce i “Learning Object” ed un’interpretazione personalizzata dell’Ontologia costruita dall’Instructor.
Entropia
Mediatore didattico
Studente
LearningManagement
System
Ontologia
Instructor
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Le conoscenze sono diventate complesse e rendono ugualmente complessi i materiali didattici; per costruire strutture complesse, è necessario che i loro componenti siano “riutilizzabili”.
Learning Object
L‘E-Learning è alla ricerca di uno standard comune che consente l’accessibilità, l'interoperabilità e la condivisione delle risorse. Disporre di uno standard comune significa poter trasferire i contenuti da un'architettura all'altra, poterli integrare tra loro, saperli scegliere in base a caratteristiche e classificazioni univoche, poterli certificare. Lo standard SCORM (Sharable Content Object Reference Model) prevede la realizzazione di risorse didattiche modulari, che si possano riusare senza la necessità di modificarne i componenti.
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Learning Object
Esiste un nuovo modo per fare didattica caratterizzato dai Learning Object;
I Learning Object sono gli strumenti che popolano le ontologie;
I Learning Object sono rappresentati con metadata;
I metadata di un Learning Object sono una successione ordinata (array) di attributi
Esistono diversi standard per rappresentare i metadata; il più affermato sembra essere lo standard SCORM.
I Learning Object si propongono di dare una risposta al problema della riusabilità dei materiali didattici.
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Definizione: Un Learning Object è un’entità -digitale o
non digitale- che può essere usata, ri-usata o referenziata durante l’apprendimento supportato dalla tecnologia.
D.A.Wiley, “The Instructional Use of Learning
Objects’’, pp. 10-11, AIT Editions, 2002.
Learning Object
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Definizione2: Un Learning Object è la più piccola unità di apprendimento indivisibile rispetto alla sua valenza didattica.
A. Vanni -F. Formato, Una nuova definizione di Learning Objects. Atti del Convegno “Sviluppo cognitivo e qualità della formazione’’, Ravello, Ottobre 2003.
Learning Object
Strutture “molecolari” dotate di diversi gradi di “granularità”
I componenti di un Learning Object possono essere di due tipi
1) asset: una risorsa elementare -per esempio, un file-
2) altri Learning Object più semplici
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Problemi principali per il riutilizzo dei LO:
Ricerca dell’informazione: i sistemi di ricerca attuali sono basati su parole chiave (conseguenze: silenzio, rumore);
Estrazione dell’informazione: ad oggi, l’estrazione di informazioni rilevanti è dominio quasi esclusivo degli esseri umani, mediante la navigazione “manuale” e la lettura dei documenti;
Manutenzione dell’informazione: aggiornare documenti è un’attività difficile che richiede un notevole investimento in tempo e risorse umane, soprattutto quando tali sorgenti diventano grandi.
Il recupero efficiente dei LO è simile al problema della ricerca di documenti attraverso motori di ricerca.
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Nel World Wide Web l’informazione è machine-representable: i dati contenuti sul Web si rappresentano con metadati.
Soluzione: il Web Semantico
Il Web Semantico si propone come una soluzione al problema del sovraccarico cognitivo del World Wide Web. Attualmente l'informazione disponibile sul Web risulta difficilmente reperibile perché i Metadati sono una pura e semplice combinazione di stringhe, indipendente dal contesto.
T. Berners Lee, Semantic Web Roadmap, September 1998
Nel Web Semantico
l’informazione diventa machine-
processable.
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Il Web Semantico: l’RDF
Tutti i livelli sono
codificati in XML.
La novità fondamentale introdotta dal Web Semantico è l’RDF (Resource Description Framework). E’ un modello di rappresentazione della conoscenza che estende i metadati; può essere utilizzato in diverse aree di applicazione: nella ricerca delle risorse, nella catalogazione, per la condivisione e lo scambio di conoscenza, nella valutazione di contenuto,…
L’URI è in corrispondenza biunivoca
con la locazione
della risorsa
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Una delle finalità di RDF è quella di estendere le semantiche per dati conservando la codifica nel formato XML, secondo modalità standardizzate che mirano all'interoperabilità del formalismo di rappresentazione.
Il Web Semantico: l’RDF
I metadati limitano la semantica, la sintassi e la struttura a quanto esprimibile con un array.
L’RDF è costituito da due componenti:
•RDF Data Model, che fornisce un modello per descrivere le risorse;•RDF Schema, che definisce un modello per descrivere le relazioni tra le risorse.
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Un dominio di conoscenza è una coppia ordinata di insiemi D = (R,T) tali che R T = . R e T sono, rispettivamente le relazioni e i termini del dominio D.Associamo ad R una funzione : R N+ chiamata arità.Un elemento r R tale che (r)= 1 si chiama classe. Chiamiamo C l’insieme delle classi. Un elemento r R tale che (r)= 2 si chiama relazione binaria. Chiamiamo RDF DATA Model di D l’insieme dei termini del dominio D.L’RDF schema di D è un grafo G = (V, E) in cui V ed E sono sottoinsiemi, rispettivamente, delle classe e delle relazioni binarie in D.
L’RDF di D è un grafo G’ = (V’,E’) in cui V’ ed E’ sono, rispettivamente,sottoinsiemi di C T e delle relazioni binarie, e tutti i nodi terminali, detti istanze di classe , sono elementi di T in relazione E’ con una classe in C
Il Web Semantico: l’RDF
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Per illustrare il concetto di apprendimento come filtraggio dell'informazione fornita dall'ambiente, si è messo a punto un Learning Object in cui lo studente deve classificare una superficie quadrica secondo un metodo che non si basa sulla tradizionale classificazione delle quadriche, ma è un processo enattivo, in cui l'utente deve classificare la quadrica mediante effettiva manipolazione, usando un robot che sonda informazioni di tipo locale: tipo di punti, molteplicità, limitatezza …
Nell’E-Learning svanisce la figura del docente che trasmette le conoscenze e l’apprendimento si può vedere come costruzione interpretata da parte dello studente.
Un Learning Object
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati Grazie alla loro particolare flessibilità ed all’accuratezza che offrono nel processo di approssimazione, le superfici NURBS possono essere usate in molti settori, dalla grafica 3D al disegno industriale.
u,v [0,1]
)()()( ,,, uNuu
uuuN
uu
uuuN 1h1i
1i1hi
1hi1hi
ihi
ihi
con
altrimenti 0
uuu se 1uN 1ii
0i )(,
Si definiscono funzioni di base B-Spline di grado hN sul vettore dei nodi U=(u0,…,up), le funzioni costruite mediante la formula ricorrente
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Dove u, v [0,1] sono i parametri della rappresentazione, le Ni,h(u) e le Nj,k(v) sono le funzioni di base B-Spline.
I pij sono detti punti di controllo. Sussiste una relazione che lega il grado, il numero dei punti di controllo ed il numero dei nodi nelle due direzioni u e v:
p=m+h+1 e q=n+k+1
1n
0i
1m
0jjijikjhi1n
0iihi
pwvNuNwuN
1vuS ,,,,
,
)()()(
),(
Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati
Assegnati mn punti pi,jR3, dei pesi wijR, un vettore di nodi U=(u0,…,up), un vettore di nodi V=(v0,…,vq), un grado h ed un grado k, si definisce “superficie NURBS” una superficie la cui rappresentazione parametrica è data da
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati
Il problema dell'approssimazione mediante superfici NURBS può essere formulato come segue:
di gradi h e k, con punti di controllo opportuni pij=(xij, yij, zij) R3, pesi associati wij R, ed opportuni vettori dei nodi U=(u0,…,up) e V=(v0,…,vq), tale che risulti minima la distanza tra i punti assegnati Qij e la superficie NURBS S(u,v) determinata:
21m
0i
1n
0jjiji QtsS
,),(
per opportuni valori si e tj dei parametri.
Assegnati mn punti Qij=(aij, bij, cij) R3, e mn pesi rij R, con i=0,…,m-1 e j=0,…,n-1, bisogna determinare una superficie NURBS
1n
0i
1m
0jjijikjhi1n
0iihi
pwvNuNwuN
1vuS ,,,,
,
)()()(
),(
E-Learning e modelli matematici in 3D
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L’algoritmoPer risolvere il problema, si è applicata la tecnica di approssimazione mediante curve B-Spline.
Si definisce curva B-Spline di grado h una funzione la cui rappresentazione parametrica in R2 è
con u[0,1] parametro della rappresentazione
parametrica; pi=(xi, yi)R2, i=0,…,n sono i punti di
controllo; Ni,h(u) sono le funzioni di base B-Spline sul
vettore dei nodi U=(u0,…,um). Una relazione lega il grado
della curva B-Spline, il numero dei punti di controllo ed il numero dei nodi:
m=n+h+1.
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Passo 1: Considerata la matrice di dimensioni mn costituita dai punti Qij dati, si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle colonne di punti Qi,j ottenute fissando l'indice j. Facendo variare j tra 0 ed n-1, si effettuano in tutto n approssimazioni mediante curve B-Spline di grado h. I risultati ottenuti formano colonne di punti intermedi Pi,j. Passo 2: Si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle righe di punti Pi,j ottenute fissando l'indice i; facendo variare i tra 0 ed m-1, si effettuano in tutto m approssimazioni mediante curve B-Spline di grado k. I risultati ottenuti formano le righe dei punti di controllo cercati pi,j.
L’algoritmo
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L’algoritmo
Ad ogni approssimazione, l’algoritmo si riconduce alla risoluzione del sistema lineareNTNP=NTQ dove
Dato un insieme di n punti Qi=(ai,bi)R2 i= 0,…,n, ed assegnato un grado h, si cercano n punti di controllo pi=(xi,yi)R2, tali che sia minima la distanza euclidea tra i punti assegnati Qi e la curva B-Spline definita dai punti di controllo calcolati e da un opportuno vettore dei nodi U=(u0,…,un+h+1)
1
0
2)(
n
kkk tCQ
per opportuni valori tj del parametro.
1n
1
0
p
p
p
P...
1n
1
0
q
q
q
Q...
nn1nh1n1nh11nh0
1h11h0
0h1n0h10h0
tNtNtN
tNtN
tNtNtN
N
)(...)()(
.........
)()(
)(...)()(
,,,
,,
,,,
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4. Calcola il prodotto NTN (matrice simmetrica definita positiva);
5. Applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice NTN ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che NTN=LLT;
6. Calcola i prodotti NTa, NTb, NTc;
7. Risolve i tre sistemi finali LLTx=NTa, LLTy=NTb, LLTz=NTc mediante forward e back substitution.
L’algoritmo
1. Costruisce due opportune parametrizzazioni (s0,s1,
…,sm), (t0,t1,…,tn);
2. Costruisce i vettori dei nodi U=(u0,u1,…,um+h) e
V=(v0,v1,…,vn+k) ;
3. A partire dalle colonne della matrice Q=(Qij), dai
parametri (s0,s1,…,sm), dai nodi U=(u0,u1,…,um+h),
costruisce la matrice dei coefficienti N=(Nj,h(si)) i,j=0,
…,m-1;
Presi in input i gradi h e k per la superficie NURBS approssimante, e la matrice dei punti Qij del problema, i=0,…,m, j=0,…,n, l’algoritmo
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L’algoritmo8. Si ottengono così le coordinate dei punti provvisori pij=(xij,yij,zij) i=0,…,m-1, j=0,…,n-1;9. Su ogni riga della matrice P=(pij) i=0,..,m-1,j=0,…,n-1, a partire dai parametri (t0,t1,…,tn), dai nodi V=(v0,v1,…,vn+k), effettua l’approssimazione mediante curve B-Spline, costruendo la matrice dei coefficienti M=(Mj,k(ti)) i,j=0,…,n-1; 10. Calcola il prodotto MTM (matrice simmetrica definita positiva);
11. Applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice MTM ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che MTM=LLT;
12. Calcola i prodotti MTx, MTy, MTz;
13. Risolve i tre sistemi finali LLTx=MTx, LLTy=MTy, LLTz=MTz mediante forward e back substitution;14. Si ottengono così le coordinate dei punti di controllo pij=(xij,yij,zij) i=0,…,m-1, j=0,…,n-1.
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Risultati dell’algoritmo
File di input
Gradi della NURBS
3 3
Dimensioni della griglia
5 5
Punti appartenenti al modello da costruire
(-2,-2,8) (-2,-1,5) (-2,0,4) (-2,1,5) (-2,2,8) (-1,-2,5) (-1,-1,2) (-1,0,1) (-1,1,2) (-1,2,5) (0,-2,4) (0,-1,1) (0,0,0) (0,1,1) (0,2,4) (1,-2,5) (1,-1,2) (1,0,1) (1,1,2) (1,2,5) (2,-2,8) (2,-1,5) (2,0,4) (2,1,5) (2,2,8)
Pesi Tutti uguali ad 1
Paraboloide parabolico
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Risultati dell’algoritmoParaboloide parabolico
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Risultati dell’algoritmoIperboloide iperbolico Sfera
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Resource DiscoveryUn Learning Object composto da un insieme di asset;Ad esempio questo Learning Object 3D, in cui il robot
deve riconoscere una superficie disturbato da due mostri. La superficie S, i due robot e i mostri si possono modellare come asset di LO;
I due mostri introducono l’inatteso necessario nell’apprendimento enattivo (Minichiello 94, Varela & Maturana, 79 )
E-Learning e modelli matematici in 3D
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3D Resource discovery con Shape Descriptor
Un algoritmo di ricerca di oggetti 3D deve essere i) Corretto ii) Efficiente
Esistono diverse metriche di insiemi di R3 in grado di confrontare oggetti 3D
Nessuna di queste è efficiente per l’uso in algoritmi di 3D resource Discovery sul Web.
Invece di indicizzare l’intero oggetto 3D, si indicizza il suo shape descriptor
E-Learning e modelli matematici in 3D
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3D Resource discovery con Shape Descriptor
Intuitivamente, lo shape descriptor è un’astrazione del modello 3D, che ne cattura le informazioni rilevanti in una struttura adatta alle comparazioni.
3D Shape descriptor di un ellissoide
Oggetti trovati dallo shape descriptor in una directory 3Dhttp://shape.cs.princeton.edu/search.html
E-Learning e modelli matematici in 3D
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3D Resource discovery con Shape Descriptor
Nello stadio di preprocessing si computa lo shape descriptor di ciascun modello del Database. Poi, in presenza di una query Q, viene dapprima calcolato lo shape descriptor Sh(Q) della query Q. Infine, Sh(Q) viene confrontato con lo shape descriptr di tutti i modelli del database e ne vengono estratti i matching migliori.
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Definizione: Uno shape descriptor è un applicazione di uno spazio metrico (S,d) in uno spazio di Banach S’ a dimensione finita
IDEA: 1)Definire uno shape descriptor s, tale che due
oggetti X e Y sono simili nella misura in cui lo sono s(X) e s(Y);
2)Codificare s con una opportuna RDF del web semantico.
In questo modo lo shape descriptor è memorizzato nel database e usato nel linguaggio di query come una stringa XML.
Shape Descriptor e Web Semantico
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Soluzione: 1) Come linguaggio di query consideriamo un linguaggio
sufficientemente potente per esprimere un insieme di punti S (SQL);
2) Rappresentiamo l’insieme S con un RDF;3) Come shape descriptor (S) consideriamo la NURBS
generata con l’algoritmo di approssimazione.
Calcoliamo la distanza –che è anche il grado di similarità -tra (S) e lo shape descriptor (S’) della risorsa sul web S’.
Nel caso delle NURBS, sia (S) che (S’) possono essere espressi con una semplice RDF.
Resource Discovery
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RDF
RDF
LO
RDF
LO
RDF
LO
RDF
LO
RDF
LO
NURBS -basedShape
descriptor
NURBS -basedShape
descriptor
Resource broker
3D repository
Learning Object
Resource Discovery
Mondo web
Componenti del Learning Object
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Supponiamo di voler associare una RDF al Learning Object http://www.dma.unina.it/~nicla.palladino/catalogo/iperboloide_ellittico.wrl
1) Si dichiara lo schema XML dell'RDF.<?xml version="1.0" encoding="ISO-8859-1" ?>
<xs:schema xmlns:xs="http://www.w3.org/2001/XMLSchema">
......
</xs:schema>
2) Si mette questo file nel URL http://www.dma.unina.it/nicla/quadriche.xsd
che è l'URI del "namespace" delle quadriche.
3) Per la superficie in questione, si crea il nuovo file RDF:<?xml version="1.0" encoding="ISO-8859-1" ?>
<xs: xlns = quadriche
uri = URL: http://www.dma.unina.it/nicla/quadriche.xsd
<quadriche : equazione> x^2 + y^2 ....</quadriche:equazione>
<quadriche: determinante>30 </quadriche:determinante>
chiamato superficie_2305352.xml
Resource Discovery
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4) Quando il broker prende il file “superficie_2305352.xml", va a fare il parsing in base al template dichiarato che trova http://www.dma.unina.it/nicla/quadriche.xsd.
5) Successivamente, calcola lo shape descriptor e poi calcola una distanza tra questa matrice e la matrice dello shape descriptor della query, che è stata calcolata con una NURBS.
Se la distanza è minore di una certa soglia, allora l'iperboloide ellittico viene trasferito in un altro sito oppure vengono attivati dei metodi remoti per interagire con esso a distanza
Resource Discovery
Quadrica PianoTangente
Intersezione Cdet(Quadrica)
det=0
det>0
C immaginaria C reale nondegenere C degenere
C 2 rettereali C 1 retta
C 2 retteimmaginarie
det<0
ConoReale
ConoImmaginario
Ellissoide
CilindroIperbolico
CilindroParabolico
CilindroEllittico
IperboloideEllittico
IperboloideIperbolico
det0
ParaboloideEllittico
ParaboloideIperbolico
Esempio di RDF per la rappresentazione delle superfici quadriche
3x2+4y2+2xy+9z2-1=0
det=-99<0
IperboloideEllittico
C reale nondegenere
45
<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<rdf :
xmlns:rdf =“http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#”
xmlns :xsd =“http://www.w3.org/2001/XMLSchema#”
xmlns : quadriche = “http://www.dma.unina.it/quadriche-ns” >
<rdf: Description>
<quadrica: determinante>
<quadrica: R_neg value= “-99” >
</quadrica:determinante>
<quadrica:equazione>
3*x^2+4*y^2+2*x*y+9*z^2-1=0
</quadrica:equazione>
<quadrica: intersezione_piano_improprio>
<quadrica: Conica_reale_non_degenere>
<quadrica: discriminante>
<quadrica: R+ value = “99”/>
</quadrica: discriminante>
</quadrica: Conica_reale_non_degenere
</quadrica: intersezione_piano_improprio>
</rdf: Description>
Codifica dell’RDF in XML
E-Learning e modelli matematici in 3D
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Stato dell’arte della Ricerca
Ho definito un modello di e-learning in the large in cui riusare le collezioni matematiche.
Ho costruito un Learning Object in base alle didattiche eleborate per l’e-learning.
Ho sviluppato un algoritmo di approssimazione di superfici con NURBS
Ho costruito un 3D-resource broker con l’algoritmo di approssimazione mediante NURBS.
E-Learning e modelli matematici in 3D
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1. E-learning 1.1 I Learning Object 1.2 Un learning object 3D? 1.3Trasposizione on-line delle lezioni di Luigi Campedelli? 1.3.1 Storicizzazione 1.3.2 Completezza della geometria 1.4.1 Lo standard SCORM 1.5. Semantic Web 1.5.2 Un RDF per l'ambiente 3D 1.5.3 Una RDF per i modelli matematici 1.6 L'algoritmo NURBS 1.6.1 riuso dei modelli matematici con NURBS approximation 1.6.2 Il paraboloide a sella NURBS riusato per l'ambiente 3D
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1.7.1 3D shape descriptors 1.7.2 Il smapling set come shape descriptor 1.7.3 Una RDF per il sampling set 1.7.4 Una RDF per le NURBS 1.7.5 Proposta: Le NURBS come resource brokers 1.7.6 Nuovi scenari per la didattica con il riuso NURBS-based dei modelli matematici 1.7.6. 1 --Il 4D Modelling 1.7.6.1 --Il filtraggio collaborativo 1.8 Concusioni
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