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Função Exponencial
Função Exponencial
Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras.
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Função Exponencial
Alguns exemplos de aplicações desta função na vida real são:
• o decaimento radioativo;
• a lei de crescimento de uma população;
• a determinação da idade de fósseis;
• o cálculo de juros.
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Função Exponencial
Chama-se função exponencial de base a à função:
f : IRIR
x b · ax
Comecemos por estudar, por exemplo, a função definida por:
f (x) = 3x
Função Exponencial
Graficamente, temos: 2,5
2
1,5
1
0,5
-1 1
B
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Quanto maior é a base da exponencial, mais rápido é o seu
crescimento.
No entanto todas apresentam as seguintes características:
Função Exponencial
Qualquer função exponencial de base a superior a 1, tem:
• D = IR;
• D’ = IR+;
• não tem zeros;
• f(0) = 1;
• é positiva em IR;
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Função Exponencial
• é contínua em IR;
• é estritamente crescente;
• é injetiva;
• o gráfico tem uma assíntota horizontal de equação y = 0
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Função Exponencial
2,5
2
1,5
1
0,5
-1 1 2
B
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Função Exponencial
Alguns exemplos de aplicações desta função na vida real são:
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Função Exponencial
Cálculo de juros.
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Função Exponencial
Uma instituição bancária oferece juros de t% ao ano, contabilizados m vezes por ano (em períodos de igual duração) e adicionados em cada instante ao capital inicial Q. Ao fim de a anos, o valor do montante C é dado por:
Cálculo de juros:
ma
m
tQaC
.
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Função Exponencial
Um capital de 200000 € é aplicado a juros compostos de 10% ao ano.Calcule o montante após 4 anos.
2928201
10,012000001
1
C
Ao fim de um ano o capital é 292820€
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Função Exponencial
Lei de crescimento de uma população
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Lei de crescimento de uma população:
Função Exponencial
N(t)=Noert
onde No é a população presente no instante inicial t = 0 e r é
uma constante que varia com a espécie de população.
Seja N=N(t) o número de indivíduos de uma certa população no instante t.
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Função Exponencial
Admita que o número de elementos de uma população de aves, t anos após o início de 1970, é dado aproximadamente por:
P(t) = 5,2 x 107 x e ( N- M ) t , t > 0
em que N e M são duas constantes, denominadas, respetivamente, taxa de natalidade e taxa de mortalidade da população.
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Função Exponencial
No início de 2000, a população era metade da que existia no início de 1970.
Sabendo que a taxa de natalidade é 7,56 determine a taxa de mortalidade.
Apresente o resultado arredondado às centésimas.
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P(0) = 5,2 x 107
Função Exponencial
2000-1970=30
P(0) = 5,2 x 107 x e ( 7,6- M )x0
P(30) = (5,2 x 107)
0,5 (5,2 x 107) = 5,2 x 107 x e ( 7,56- M )*30 0,5 = e ( 7,56- M)*30
30 (7,56 –M) = ln 0,5 (7,56 –M ) = 300,5 ln
M = 7,56 – 300,5 ln M = 7,58
A taxa de mortalidade é aproximadamente 7,58%
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Função Exponencial
Decaimento radioativo
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Função Exponencial
Decaimento radioativo:
Modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No o número de átomos no instante
t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento, então:
N(t) = No e-k.t
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Função Exponencial
em que A e B são constantes reais positivas e t é o tempo em
horas, com t 0.
A atividade R, de qualquer substância radioativa, é dada, numa
certa unidade de medida pela expressão: R(t) = A x e -Bt
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= e –B
Função Exponencial
Sabendo que o valor inicial da atividade de uma certa substância radioativa é 28
unidades e que R(1) = 26, determina os valores de A e B para essa substância:
R(1) = 26 26 = 28 x e –Bx1
28
26
- B = ln 28
26 B = 0,07
O valor de A é 28 e B é 0,07.
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Função Exponencial
Dosagem de um medicamento
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Função ExponencialDoses terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira vez, a duas pessoas: a Ana e o Carlos.
Admita que, durante as doze primeiras horas após a tomada simultânea do medicamento pela Ana e pelo Carlos, as concentrações de antibiótico, medidas em miligramas por litro de sangue, são dadas, respetivamente, por
A variável t designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o medicamento é tomado (t [ 0,12]).
A(t) = 4 t3 e –t
C(t) = 2 t3 e –0,7t
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Função ExponencialNo instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentrações são iguais (por serem nulas). Determine quanto tempo depois as concentrações voltam a ser iguais. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).
A(t) = 4 t3 e –tC(t) = 2 t3 e –0,7t
A(t) = C(t) 4 t3 e –t = 2 t3 e –0,7t 4 t3 e –t -2 t3 e –0,7t = 0
2 t3 (2e –t - e –0,7t ) = 0 2 t3 e –t = 0 (2 - e 0,3t ) = 0
t = 0 e –t = 0 e 0,3t = 2 0,3 t = ln 2
t = 2, 3 t = 2h 19 min
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