View
8
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1 Kinematika
Kinematika se zabývá vyšetřováním pohybu tělesa a zjišťuje jejich dráhy, rychlosti, zrychlení
v závislosti na čase.
Důležitost kinematiky je při navrhování strojů a zařízení s pohybujícími se částmi a při
vyšetřování kinematických závislostí jednotlivých mechanických převodů a mechanizmů.
1) přímočarý pohyb rovnoměrný
- po přímce
- konstantní velikost rychlosti v každém časovém úseku
tj. v = s
t = konst.
s = v . t v = s
t popř. t =
s
v
vztah s = v . t je dána jako funkce času
2) přímočarý pohyb nerovnoměrný
- ve směru přímky
- proměnná velikost rychlosti
a) rovnoměrně zrychlený
b) rovnoměrně zpožděný
poměr změny rychlosti pohybu v za určitý časový úsek je stálý
tj. a = v
t = konst.
a = 2 1 2 1
2 1
v v v vv v at t
t a
Výpočet dráhy z plochy obrazce – jde o lichoběžník: s = 1 2 .2
v vt ,
kde 1 2
2
v v = vstř.
můžeme tedy psát: s = vstř . t
pokud dosadíme za t = 2 1v v
a, dostaneme jiný vztah pro výpočet dráhy:
s = 2 2
1 2 2 1 2 1.2 2
v v v v v v
a a a z tohoto výrazu můžeme vytáhnout, že v2
2 = 2 .s.a+ v1
2
Abychom dostali známý vztah pro výpočet dráhy při známém zrychlení a čase, je třeba si
uvědomit, že lze lichoběžník, který představuje plochy dráhy – rozdělené na dvě části a to na
obdélník a trojúhelník.
Dostávám: s = v1 . t + 2 1 .2
v vt
vezmeme – li a = 2 1
2 1 .v v
v v a tt
nyní dostaneme: s = v1 . t + .
.2
a tt = v1 . t +
2
2
at
je – li v2 v1 a 0 – zde jde o rovnoměrně zrychlený pohyb
je – li v2 v1 a 0 – zde jde o rovnoměrně zpožděný pohyb
2 Kinematika
pokud v1 = 0 pak máme pouze rychlost koncovou, v tom případě je obecné řešení: s = 2
2
at
3) Volný pád – svislý vrh
směr pohybu dolů - a = g = 9,81 m.s-2
směr pohybu nahoru – a = - g = - 9,81 m.s-2
použití vztahů z předchozí kapitolky
4) Rotační pohyb
- po kružnici – směr se pohybuje
a) rychlost pohybu konstantní – v tomto případě je rotační pohyb
rovnoměrný
b) rychlost pohybu není konstantní – v tomto případě jde o rotační
pohyb nerovnoměrný
je zde analogie: s (dráha – úhlová dráha)
v (rychlost – úhlová rychlost )
a ( zrychlení – úhlové zrychlení)
převodní vztahy mezi veličinami přímočarého pohybu (s; v; a) a veličinami rotačního pohybu
( ; ; ):
s = . r
v = . r
a = . r
Kromě úhlové rychlosti zde užíváme u rotačního pohybu otáčky n:
1 otočení odpovídá dráze 2 , což odpovídá vztahu = 2 n - n [ot..s-1
]
nebo = .
30
n - n [ot.min
-1]
ad.a) konstantní velikost úhlové rychlosti
výpočet úhlové dráhy = . t, potom můžeme mít i vztah pro úhlovou rychlost = t
,
případně výpočet času t =
Pozn. 1) Všechny body ležící na kružnici určitého poloměru mají stejnou rychlost obvodovou.
2) Obvodová rychlost se mění podle přímky z nulové hodnoty ve středu kružnice do
hodnoty maximální ( na obvodu kružnice) v = . r
ad.b) proměnná velikost úhlové rychlosti
Budeme uvažovat, že změna rychlosti za určitý časový úsek t je stejná.
tj. t
= konst.,
kde - úhlové zrychlení (zpoždění)
analogicky s pohybem přímočarým nerovnoměrným platí:
2 1
t 2 = 1 + . t
t = 2 1 ,
3 Kinematika
kde 2 – velikost konečné úhlové rychlosti [s-1
]
1 – velikost počáteční úhlové rychlosti [s-1
]
= 2 1
2. t,
kde 2 1
2 = stř - střední úhlová rychlost
- úhlová dráha [rad]
= stř . t
dosadíme – li za čas a střední úhlovou rychlost, dostaneme:
= 2 1
2. 2 1 =
2 2
2 1
2
na základě funkční závislosti úhlové dráhy na čase můžeme odvodit výpočet úhlové dráhy
v závislosti na úhlovém zrychlení a čase.
= 1 .t + 2 1
2 . t
dosadíme – li následující vztah: 2 - 1 = . t
dostaneme = 1 .t + 2.
2
t
Je – li 2 1 0 – jde o pohyb zrychlený
Je – li 2 1 0 – jde o pohyb zpomalený
Pozn. pohyb z klidu 1 = 0; 2 =
5. Složený pohyb
a) složený pohyb ze dvou přímočarých pohybů
aa) směry obou pohybů jsou rovnoběžné – výsledný pohyb je algebraický součet (rozdíl) obou
pohybů
ab) směry obou pohybů jsou různoběžné – výsledný pohyb je geometrický součet obou pohybů
b) šikmý vrh – složený pohyb ze dvou přímočarých pohybů a to ve směru svislém a vodorovném
ve směru vodorovném jde o pohyb přímočarý rovnoměrný (rychlost pohybu se nemění)
ve směru svislém jde o pohyb přímočarý nerovnoměrný – zde jde o volný pád, za zrychlení
(zpoždění) dosazujeme tíhové zrychlení (zpoždění) g
c) složený pohyb z pohybu rotačního a přímočarého
- patří sem valení těles
- rychlost pohybu bodu A lze zjistit jako výslednici rychlosti rotačního pohybu vr a
rychlosti přímočarého pohybu rychlostí vp
- valení je však také rotační pohyb kolem okamžitého pólu P, který mění neustále svou
polohu. Rychlost bodu A proto musí směřovat kolmo na spojnici PA :
vA = ρ . ω
pro všechny body ležící na spojnici PR , tedy i pro střed S platí, že rychlosti musí být
rovnoběžné se směrem valení. Vyjádříme – li nejdříve rychlost středu S jako rychlost
složenou z rychlostí přímočarého pohybu vp a rychlosti rotačního pohybu vr, dostaneme
vs = vp,
protože rychlost rotačního pohybu vr je pro střed S nulová.
Pokud vyjádříme rychlost středu S jako rychlost rotačního pohybu kolem okamžitého pólu
P, dostaneme následující vztahy: vs = r . ω
4 Kinematika
Protože pro střed S je ρ = r
Porovnáním vztahů vs = vp a vs = r . ω dostaneme, že vp = r . ω
Maximální rychlost koná bod R: vR = 2. r. ω,
kdežto rychlost pólu P je nulová, tj. vp = 0
5 Kinematika
Mechanické převody
- jsou to strojní zařízení sloužící k přenosu a přeměně rotačního pohybu a kroutícího
momentu, a to od motoru k pracovnímu stroji
- mechanické převody přesné (řetězové nebo ozubenými koly) – závislost velikosti otáček
výstupních je na velikosti vstupních otáček
- mechanické převody nepřesné (řemenové) – otáčky výstupní závisí jednak na velikosti
vstupních otáček a jednak na silovém zatížení převodů
Nejdůležitější kinematickou charakteristikou všech mechanických převodů je tzv.
převodový poměr i, který vypočteme ze vztahu: i = 1
2
n
n,
kde n1 – otáčky vstupní , tj. otáčky hnacího kola
n2 – otáčky výstupní, tj. otáčky hnaného kola
převodový poměr lze určit geometrických charakteristik mechanických převodů tj.
z průměrů kol nebo počtu zubů
pro převody přesné platí: i = 2 2
1 1
D z
D z,
kde D1 – průměr roztečné kružnice hnacího kola [mm]
D2 – průměr roztečné kružnice hnaného kola [mm]
z1 – počet zubů hnacího kola
z2 – počet zubů hnaného kola
Výše uvedený vztah lze zjistit na základě podmínky rovnosti obvodových rychlostí obou
kol na roztečných kružnicích.
Pro převody nepřesné platí vztah: i = 2
1 .
D
D,
kde -součinitel, zahrnující vliv skluzu ( 1)
D1 – průměr hnacího kola
D2 – průměr hnaného kola [mm]
U převodů složených z několika dílčích převodů se celkový převodní poměr
ic = i1 . i2 . i3 . … . in,
kde ii jsou převodové poměry jednotlivých dílčích převodů
obdobný vztah platí i pro celkový převodový poměr složeného převodu:
ic = 1
n
n
n,
kde n1 – jsou otáčky vstupní tj. otáčky prvního kola složeného převodu
n2 – jsou otáčky výstupní tj. otáčky posledního kola složeného převodu
je – li ic 1, jde o převod dorychla, tzn. že otáčky výstupní (posledního kola) jsou větší než
otáčky vstupní (prvního kola)
je – li ic 1, jde o převod dopomala, tzn. že otáčky výstupní (posledního kola) jsou menší
než otáčky vstupní (prvního kola).
Převodový poměr je číslo bezrozměrné.
6 Kinematika
Převody řemenové
Nepřesný převod
Vzdálenost hřídelů příliš veliká
Řemeny ploché nebo klínové Hnací pásy – kožené, bavlněné, pryžové n. ocelové
Max. délka 60 cm, dlouhé pásy se slepují n. sešívají
Řemen se maže na vnitřní straně lojem n. tukem – řemen se zkrátí, větší přilnavost,
ohebnost a trvanlivost
Převody s plochým řemenem
a) otevřené opásání
b) zkřížené
c) polozkřížené ad.a)
-hřídele jsou rovnoběžné a smysl otáčení
je stejný
-nejvýhodnější je pohon vodorovný
ad.b)
-hřídele se otáčí v opačných smyslech
-vzdálenost hřídelů je přiměřená tj.
a ≥20b, kde b je šíře řemene
-nevhodné pro velké rychlosti a široké
řemeny
ad.c)
- pro pohon mimoběžných hřídelů
- řemen má nabíhat na obě řemenice v jejich středních rovinách – při odvinování řemenu se může
řemen odchylovat od střední roviny nejvýše o 30° - vzdálenost středu hřídelů závisí na b; je-li b≤100 mm nemá být a menší než 3 m
Převody klínovým řemenem
-přenášejí poměrně velké silové zatížení
7 Kinematika
Stavba: dvě litinové řemenice s klínovými drážkami a jeden n. více klínových řemenů
Klínové řemeny: uzavřené lichoběžníkového průřezu; pryžové se zalitou ztužovací vložkou
zvětšující pevnost řemenu; na užší straně zuby (méně trpí ohybem). Normalizovány b x h např.
6x4, 10x6 apd.
Převody řetězové
Pro přesné převody;
pro vlhké a prašné prostory
Pružný, neztrácí v čase účinnost
Menší tlak na ložiska ve srovnání s řemenovými převody (řetěz nemusí být napnutý)
Stavba převodu: pastorek, velké řetězové kolo a řetěz
Rozdělení řetězů: článkové (svařované), zubové, kloubové
Článkové řetězy
A, B, C – pro článkové řetězy, D –řetězová kladka,
tzv. ořech, se čtyřmi zuby, opatřená krytem ke
správnému vedení řetězu
Zubové řetězy - (bezhlučný – Renoldův řetěz)
Řetězy kloubové
Ewartovy řetězy -Obdélníkový tvar –na jednom konci čep a
na druhém hákovitě otevřenou objímku
8 Kinematika
Používané pro pohony o malé rychlosti (do 1m/s)
Gallovy řetězy – složen z článků, které jsou otočně uloženy na
čepech,lehké řetězy mají dva pásy, těžké až 10 pásů.
Použití: ke zdvíhání a přenosu břemen u kladkostrojů,
jeřábů a nákladných výtahů
Převody ozubenými koly
- patří mezi převody přesné
- přenos otáčivého pohybu nebo přenos mechanické energie bezprostředním stykem
- stavba převodu: velké kolo a pastorek (případně ochranný kryt)
- podle vzájemné polohy rozeznáváme: rovnoběžná, různoběžná a mimoběžná
- podle relativního vzájemného pohybu základních
těles:valivá, šroubová
Šroubové mimoběžné soukolí
Valivá soukolí:
Čelní vnější ozubení čelní vnitřní ozubení
9 Kinematika
10 Kinematika
11 Kinematika
12 Kinematika
13 Kinematika
Příklady z kinematiky
Př.1:
Zjistěte rychlost automobilu, jestliže za čas t ujel dráhu s.
(t = 5 hod; s = 300 km)
Př. 2:
Zjistěte celkovou dráhu pohybu vozidla, jede-li p dobu t1 rychlostí v1 a po dobu t2 rychlostí v2.
(t1 = 1,5 h; v1 = 60 km.h-1
; t2 = 2 h; v2 = 90 km.h-1
)
Př. 3:
Ze stanoviště A bylo nutné doručit zprávu do stanoviště B.Jelikož nebylo možné použít ani
rádiového ani telefonického spojení, bylo rozhodnuto, doručit zprávu pomocí motospojky. Dále
bylo rozhodnuto, že ze stanoviště B bude vyslán automobil, který pojede motospojce naproti.
Průměrná rychlost motospojky je vm a automobilu va. Vzdálenost obou stanovišť je s. Proveďte
analýzu dané situace pro tři alternativní případy:
vm va
vm = va
vm va
14 Kinematika
Př. 4:
Odvoďte obecný vztah pro výpočet průměrné rychlosti v , jede-li vozidlo v určitém úseku s1
rychlostí v1, v úseku s2 rychlostí v2, v úseku s3 rychlostí v3 atd., to znamená, že v libovolném
úseku si jede vozidlo rychlostí vi, přičemž těchto úseků může být libovolný počet, obecně n.
Př. 5:
Vypočtěte průměrnou rychlost v případě, že vozidlo jede ze stanoviště A do stanoviště B
rychlostí v1 a zpět rychlostí v2.
(v1 = 40 km.h-1
, v2 = 60 km.h-1
)
Př. 6:
Kosmická raketa startující ze Země a letící na Měsíc dosáhla za čas t1 první kosmickou rychlost
v1k. Touto rychlostí se pohybuje po čas t2. Potom je znovu zapnut hlavní motor a během času t3
dosáhne raketa druhou kosmickou rychlost v2k. Touto rychlostí se raketa pohybuje v čase t4.
V určité vzdálenosti od povrchu Měsíce jsou zapnuty brzdící motory, které pracují po čas t5, až
přistávací modul rakety dosedne na povrch Měsíce. Určete celkovou dráhu s, kterou raketa
proletí.
(t1 = 120 s; t2 = 1,5h; t3 = 90 s; t4 = 10 h; t5 = 4 min; v1k = 7,9 km.s-1
; v2k = 11,2 km.s-1
)
Př.7: Zjistěte celkovou dráhu automobilu, je –li t1 doba rozjezdu, t2 doba rovnoměrného pohybu
rychlostí v a t3 doba brzdění.
(t1 = 20s; t2 = 50s; t3 = 15 s; v = 100 km.h-1
)
Př. 8:
Z povrchu Země je vystřelen kolmo vzhůru dělostřelecký granát. Výstřelná rychlost je v1. Určete:
a) maximální výšku výstřelu hmax
b) rychlost granátu při dopadu zpět na zem vd.
c) celkovou dobu letu granátu t. Odpor vzduchu neuvažujte.
Př. 9:
Setrvačník průměru D koná n otáček za minutu. Vypočtěte dráhu s, kterou urazí bod na obvodu
setrvačníku za čas t. a jeho obvodovou rychlost v.
Př. 10:
Mezi telekomunikační zařízení, určené k přenosu rádiových a televizních signálů na velké
vzdálenosti, patří i tzv. stacionární družice, „zavěšené“ v určité výšce nad povrchem Země. Jsou
to družice, které vzhledem k povrchu Země nemění svou polohu. Pohybují se tak, jakoby byly
pevně spojeny se zeměkoulí. Analyzujte pohyb této družice z hlediska kinematiky.
Př. 11:
Setrvačník se rozbíhá z klidu a za čas t dosáhne otáček n. Zjistěte jeho úhlové zrychlení ,
úhlovou rychlost , a obvodovou rychlost v na průměru D na konci rozběhu a počet otočení i,
které vykoná během rozběhu.
(d = 2 m; r = 10s; n = 50s-1
)
Př. 12:
15 Kinematika
Zjistěte otáčky n2 a n3 řemenového převodu dle obr.
(n1 = 1000 min-1
; D1 = 100 mm; D2 = 200 mm; d2 = 150 mm; D3 = 300 mm; = 0,9)
Př. 13:
Zjistěte celkový převodový
poměr ic složeného převodu
ozubenými koly, který je na
obr.
(z1 = 26; z2 = 72; z3 = 30; z4 =
96.)
Př. 14:
Pokud se dvě tělesa pohybují proti sobě, zmenšuje se vzdálenost mezi nimi o 16m za každých 10
s. Když se tatáž tělesa budou pohybovat stejnými rychlostmi jako v prvním případě, ale v jednom
směru, bude se zmenšovat vzdálenost mezi nimi o 3 m za každých 5 s. Jak velké jsou rychlosti?
Př. 15:
Dva cyklisté jsou od sebe vzdáleni 130 m. Jeden z nich se pohybuje rychlostí 18 km.h-1
a nahoru
do vrchu stoupá se zrychlením – 20 cm.s-2
, druhý má rychlost 5,4 km.h-1
a spouští se z vrchu se
zrychlením 0,2m.s-2
. Za jak dlouho se setkají a jakou vzdálenost ujedou do setkání?
Př. 16
Hnací řemenice má průměr D1 = 200 mm; a její otáčky jsou n1 = 12,4 s-1
. Otáčky hnané řemenice
je třeba snížit na n2 = 4,7 s-1
. Jaký průměr bude mít řemenice?
Př. 17.
Hnací řemenice má průměr D1 = 250 mm, hnaná řemenice má průměr D2 = 350 mm a její otáčky
jsou n2 = 6 s-1
. Vypočítejte převodový poměr a otáčky hnací řemenice.
Př. 18.
Počet zubů ozubených kol je z1 = 16, z2 = 40, modul těchto kol je m = 3 mm. Otáčka hnaného
kola jsou 8 s-1
. Vypočítejte převodový poměr kol, otáčky hnacího kola a průměry obou
ozubených kol.
Př. 19.
Celkový převodový poměr třístupňové převodovky je 20. Navrhněte dílčí převodové poměry.
16 Kinematika
Př. 20.
Hřídel elektromotoru koná n1 = 48 s-1
otáček. Je na něm naklínováno ozubené kolo, počet zubů z1
= 20. Určete převodový poměr a počet zubů ostatních ozubených kol, je – li průměr kola D3 =
1,5. D1. Hnaný hřídel má mít n2 = 4 s-1
otáček. Jde o dvoustupňový převod, kde převodový stupeň
jednoho soukolí nemá být větší než 4.
17 Kinematika
18 Kinematika
19 Kinematika
20
Kinematika
Recommended