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1
TRIGONOMETRIATRIÂNGULO RETÂNGULO
2
TRIGONOMETRIA
Triângulo Retângulo
sen =
cos =
tg =
b
a
c
ab
c
Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4 3e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo.
m
12m
34
3
3αtg
12
34αtg
= 30o
3
( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x
3 0 ° 6 0 °
A
B
CD
AD = x DC= x - 38 BD = y
tg 30o =
x x – 38
y
60o30o
y
x
3
3 yx
tg 60o = y
x – 38
3 =x – 38
y
(x – 38) 3 = y
=
3
3= (x – 38) 3
x
x = 3(x – 38)
x = 3x – 114
114 = 2x
57 = x
4
TRIGONOMETRIASENO COSSENO TANGENTE E
DEMAIS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
5
SENO E COSSENO E TANGENTE
SENO
+ 1
– 1
+ +__
COSSENO
+ 1– 1
+
+
_
_
TANGENTE
+
+
_
_
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen2x + cos2 x = 1
tg x = sen xcos x
x sen = x cossec
1
x cos = x sec
1x sen
x cos
x tg = x cotg
1
6
a) cos x
sen2x + cos2 x = 1
1cos25
16 2 x
25
161cos2 x
25
9cos2 x
5
3xcos
1xcos5
4 22
tg x = sen xcos x
53
54
xtg
3
4xtg
b) tg x
c) cotg x
Sendo sen = 5
4 e
22
3 , calcule:
4
3
xtg
1xcotg
d) sec x
3
5
xcos
1xsec
e) cossec x
4
5
xcos
1xcossec
SENO
+ +__
COSSENO
++
__
TANGENTE
++
__
7
Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
180o
x 225o 225o = x.180o
4
5x
01. A medida em radianos de um arco de 225º é rad6
11πF
02. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para 2 m 3
– 1 2m – 5 1
– 1 + 5 2m 1 + 5
4 2m 6
2 m 3
V
8
04. Se sen x > 0, então cossec x < 0
sen 30o = 1/2 cossec 30o = 2
sen 210o = - 1/2
F
FP180o
160o
200o
cossec 210o = - 2
08. Se tg 20º = a, o valor de 2- éo
oo
tg200tg340tg160
F
360o
340o
tg 160o =tg 200o =tg 340o =
– tg 20o = tg 20o = – tg 20o =
– a a – a
+
+
_
_
o
oo
tg200tg340tg160
aa)(a-
a2a
– 2
V
9
16. Para todo x 1o quadrante, a expressão (sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2x é igual a cos2x
(sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2x
xsenx
xsen
xx
xsen
x2
coscos
1.
coscos
1
xsenx
xsen
x
xsen 2
cos
1.
cos
1
xsenx
xsen 2
2
22
cos
1
xsenx
xsen 2
2
2
cos
1
xsenx
x 2
2
2
cos
cos
sen2x + cos2 x = 1
sen2x = 1 – cos2 x
cos2x = 1 – sen2 x
1 – sen2 x
cos2 x
V
10
6
6
5 32. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para 0 x 2 é
x = ou x =
2 sen2 x + 3 sen x – 2 = 0
= b2 – 4ac
= 32 – 4.2.(-2)
= 25
a
bx
2
4
53xsen
22
1 xsenouxsen
2
1xsen
++30o150o
6
5,
6
S
V
11
( UFSC ) Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é:
cossec x = 4
5
sen x = 5
4
sen2x + cos2 x = 1
1cos5
4 2
2
x
1cos25
16 2 x
25
161cos2 x
25
9cos2 x
5
3cos x
3
5sec x
tg x = sen xcos x
53
54
xtg
3
4xtg
9.(sec2 x + tg2 x)
22
3
4
3
59
9
16
9
259
9
419 41
12
TRIGONOMETRIAOPERAÇÃO COM ARCOS
13
Adição e Subtração de Arcos
sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a
cos (a b) = cos a . cos a sen a . sen b
sen 75º =
sen (30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30ºsen (a + b) = sen a . cos b + sen b. cos a
2
3.
2
2
2
2.
2
1
sen 75º =4
62
cos 15º =
cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30ºcos (a – b) = cos a . cos b + sen a. sen b
cos 15º =4
62
2
1.
2
2
2
3.
2
2
14
O valor de cos 10o cos 35o – sen 10o. sen 35º, é:
sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a
cos (a b) = cos a . cos a sen a . sen b
cos (a + b) = cos a . cos b - sen a. sen b
cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º cos (10º + 35o) =
cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º cos 45o =
= cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º
2
2
15
Seno e Cosseno do arco duplo
sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a
cos (a b) = cos a . cos a sen a . sen b
sen (2x) = 2sen x . cos x
cos (2x) = cos2 x - sen2 x
sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos xcos (x + x) = cos x . cos x – sen x . sen x
16
Cálculo do sen x
sen2x + cos2 x = 1
125
16xsen2
25
161xsen2
25
9xsen2
5
3xsen
15
4 xsen
22
Sendo cos x = 5
4e
22
3 x , calcule sen 2x e cos 2x:
sen (2x) = 2sen x . cos x
cos (2x) = cos2 x - sen2 x
sen (2x) =
5
4.
5
3.2
sen (2x) =25
24
cos (2x) =25
9
25
16
cos (2x) =25
7
17
TRIGONOMETRIAFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
GRÁFICOS
18
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO SENO y = sen x
sen x
2
2
3
20
0 + 1 0 - 1 0
0o 90o 180o 270o 360o
x
x IMAGEM:
DOMÍNIO: REAIS
[-1, 1]
CRESCENTE:
DECRESCENTE:
1º. e 4º. q
2º. e 3º. q
PERÍODO: 2
19
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO COSSENO y = cos x
cos x
2
2
3
20
+1 0 - 1 0 +1
0o 90o 180o 270o 360o
x
x IMAGEM:
DOMÍNIO: REAIS
[-1, 1]
CRESCENTE:
DECRESCENTE:
3º. e 4º. q
1º. e 2º. q
PERÍODO: 2
20
FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m xf(x) = a + b cos m x
Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto imagem de:
a) y = 2 + sen x
sen x
2
2
3
20
0 + 1 0 - 1 0
0o 90o 180o 270o 360o
x
x
2 + sen x 2 3 2 1 2
IMAGEM: [1, 3]
PERÍODO: 2
21
FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m xf(x) = a + b cos m x
Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto imagem de:
b) y = 3sen x
sen x
2
2
3
20
0 + 1 0 - 1 0
0o 90o 180o 270o 360o
x
x
3sen x 0 3 0 -3 0
IMAGEM: [-3, 3]
PERÍODO: 2
22
FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m xf(x) = a + b cos m x
IMAGEM DA FUNÇÃO SENO E COSSENO: [a – b; a + b]
CONCLUSÕES: a desloca o gráficob estica o gráfico
Determinar a imagem da função f(x) = 2 + 3sen x
f(x) = 2 + 3 sen xf(x) = 2 + 3 (-1)
f(x) = 2 + 3 (1)
= - 1
= 5
IMAGEM: [-1, 5]
Determinar a imagem da função f(x) = 5 + 2cos x
f(x) = 5 + 2 cos xf(x) = 5 + 2 (-1)
f(x) = 5 + 2 (1)
= 3
= 7
IMAGEM: [3, 7]
23
PERÍODO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO
m2π
TPeríodo
Determinar o período da função f(x) = sen 2x
FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m xf(x) = a + b cos m x
2
2πTPeríodo
Determinar o período da função f(x) = 3sen x/2
42
12π
TPeríodo
24
Determine o período da função f(x) = cos4x – sen4x é:
Um pouquinho de matemáticabásica
(a + b)(a – b) = a2 – b2
(x + 3)(x – 3) = x2 – 9
= x2 – 25(x + 5)(x – 5)
= cos4x – sen4x(cos2x + sen2x )(cos2x – sen2x)
= cos4x – sen4x(1)(cos2x)
f(x) = cos4x – sen4x
f(x) = cos 2x
2
2πTPeríodo
m2π
TPeríodo
= cos4x – sen4xcos2x
fórmulas do arco duplofórmulas do arco duplo
sen 2x = 2sen x.cos xsen 2x = 2sen x.cos xcos 2x = cos2 x – sen2 xcos 2x = cos2 x – sen2 x
25
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO TANGENTE y = tg x
tg x
2
2
3
20
0 não 0 não 0 existe existe
0o 90o 180o 270o 360o
x
x IMAGEM:
DOMÍNIO:
REAISCRESCENTE: SEMPREPERÍODO:
{x |x 2
+ k}
O domínio da função f(x) = tg 2x é:
24
22
22
kx
kx
kx
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