10 11 проф-баз!!е

Алгебра Алгебра

и начала и начала

математического математического

анализаанализа

10 –11 классы10 –11 классы

Авторы:Авторы:Ю. М. КолягинЮ. М. КолягинМ. В. ТкачёваМ. В. Ткачёва

Н. Е. Н. Е. ФёдороваФёдорова

М. И. М. И. ШабунинШабунин

1

О ФЕДЕРАЛЬНОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ СТАНДАРТЕ СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО)ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

 Методологической основой Стандарта является

 системно-деятельностный подход, который обеспечивает:

формирование готовности обучающихся к саморазвитию и непрерывному образованию;

проектирование и конструирование развивающей образовательной среды образовательного учреждения;

активную учебно-познавательную деятельность обучающихся;

построение образовательного процесса с учётом индивидуальных, возрастных, психологических, физиологических особенностей и здоровья обучающихся.

Стандарт устанавливает требования к результатам освоения обучающимися основной образовательной программы:

личностным, включающим готовность и способность обучающихся к саморазвитию и

личностному самоопределению, сформированность их мотивации к обучению и

целенаправленной познавательной деятельности, системы значимых социальных и межличностных отношений, ценностно-смысловых установок, отражающих личностные и гражданские позиции в деятельности, правосознание, экологическую культуру,

способность ставить цели и строить жизненные планы, способность к осознанию российской гражданской

идентичности в поликультурном социуме;

 Стандарт устанавливает требования к результатам освоения обучающимися основной образовательной программы:

метапредметным, включающим освоенные обучающимися межпредметные понятия и

универсальные учебные действия (регулятивные, познавательные, коммуникативные), способность их использования в познавательной и социальной практике,

самостоятельность в планировании и осуществлении учебной деятельности и организации учебного сотрудничества с педагогами и сверстниками,

способность к построению индивидуальной образовательной траектории, владение навыками учебно-исследовательской, проектной и социальной деятельности;

 Стандарт устанавливает требования к результатам освоения обучающимися основной образовательной программы:

предметным, включающим освоенные обучающимися в ходе изучения

учебного предмета умения, специфические для данной предметной области, виды деятельности по получению нового знания в рамках учебного предмета, его преобразованию и применению в учебных, учебно-проектных и социально-проектных ситуациях,

формирование научного типа мышления, владение научной терминологией, ключевыми понятиями, методами и приёмами.

 Предметные результаты освоения основной образовательной программы устанавливаются для учебных предметов на базовом и углубленном уровнях.

Предметные результаты освоения основной образовательной программы для учебных предметов на базовом уровне ориентированы на обеспечение преимущественно общеобразовательной и общекультурной подготовки.

Предметные результаты освоения основной образовательной программы для учебных предметов на базовом и углубленном уровнях

на углубленном уровне ориентированы преимущественно на подготовку к последующему профессиональному образованию, развитие индивидуальных способностей обучающихся путем более глубокого, чем это предусматривается базовым курсом, освоением основ наук, систематических знаний и способов действий, присущих данному учебному предмету.

 Предметные результаты освоения основной образовательной программы устанавливаются для учебных предметов на базовом и углубленном уровнях.

Предметные результаты освоения интегрированных учебных предметов ориентированы на формирование целостных представлений о мире и общей культуры обучающихся путем освоения систематических научных знаний и способов действий на метапредметной основе.

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» (базовый уровень) – требования к предметным результатам освоения базового курса математики должны отражать:

1) сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;

2) сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

3) владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

4) владение стандартными приёмами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» (базовый уровень) – требования к предметным результатам освоения базового курса математики должны отражать:

5) сформированность представлений об основных понятиях, идеях и методах математического анализа;

6) владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;

7) сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;

8) владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» (углубленный уровень) – требования предметным результатам освоения углубленного курса математики должны включать требования к результатам освоения базового курса и дополнительно отражать:

1) сформированность представлений о необходимости доказательств при обосновании математических утверждений и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений;

2) сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач;

3) сформированность умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат;

4) сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;

5) владение умениями составления вероятностных моделей по условию задачи и вычисления вероятности наступления событий, в том числе с применением формул комбинаторики и основных теорем теории вероятностей; исследования случайных величин по их распределению.

 Индивидуальный проект представляет собой особую форму организации деятельности обучающихся (учебное исследование или учебный проект).

Индивидуальный проект выполняется обучающимся самостоятельно под руководством учителя (тьютора) по выбранной теме в рамках одного или нескольких изучаемых учебных предметов, курсов в любой избранной области деятельности (познавательной, практической, учебно-исследовательской, социальной, художественно-творческой, иной).

Результаты выполнения индивидуального проекта должны отражать:

сформированность навыков коммуникативной, учебно-исследовательской деятельности, критического мышления;

способность к инновационной, аналитической, творческой, интеллектуальной деятельности;

сформированность навыков проектной деятельности, а также самостоятельного применения приобретённых знаний и способов действий при решении различных задач, в том числе внеучебных, используя знания одного или нескольких учебных предметов или предметных областей;

способность постановки цели и формулирования гипотезы исследования, планирования работы, отбора и интерпретации необходимой информации, структурирования аргументации результатов исследования на основе собранных данных, презентации результатов.

Индивидуальный проект

выполняется обучающимся в течение одного или двух лет в рамках учебного времени, специально отведённого учебным планом, и должен быть представлен в виде завершённого учебного исследования или разработанного проекта: информационного, творческого, социального, прикладного, инновационного, конструкторского, инженерного.

Содержательные и структурные

особенности УМК по и алгебре и началам

математического анализа для 10-11 классов

Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева,

Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин

17

Авторский коллектив УМК

Колягин Юрий Михайлович – академик РАО, доктор педагогических наук, профессор, заслуженный учитель, заслуженный деятель науки

Ткачёва Мария Владимировна – доктор педагогических наук, профессор, главный научный сотрудник Федерального института развития образования

Фёдорова Надежда Евгеньевна – кандидат педагогических наук, доцент Московского городского педагогического университета

Шабунин Михаил Иванович – доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института (МФТИ)

fedorovan@yandex.ru

УМК включает в себя: Учебники для 10 и 11

классов Книги для учителя Дидактические материалы Тематические тесты

18

 Преемственность со всеми действующими учебниками алгебры 7—9 классов. Наилучшая преемственность с учебниками алгебры авторов Алимова Ш.А. и др. ,Колягина Ю.М. и др.

19

на базовом уровне на профильном уровне 1. Формирование представлений— об универсальности математического языка для науки;— о математическом моделировании явлений и процессов.2. Овладение математическими знаниями и умениями— необходимыми для овладения смежными дисциплинами и практической деятельности;— для продолжения образования в областях,

Цели, реализуемые УМК:

требующих математической подготовки на продвинутом уровне

не требующих специальной математической подготовки

20

3. Развитие— логического мышления — научной интуиции— алгоритмической культуры— творческих способностей— критичности мышления— стохастической культуры  4. Воспитание— отношения к математике как к части общей культуры— самостоятельности мышления— качеств личности, значимых для дальнейшего обучения и трудовой деятельности

Цели, реализуемые УМК:

21

  Первая глава учебника 10 класса посвящена повторению и углублению содержания курса алгебры 7—9 классов

  Ведущей является числовая линия, которая развивается параллельно с функциональной линией, но опережая её

  Изучение элементов математического анализа происходит в 11 классе после усвоения теории элементарных функций

  Ведущий дидактический принцип — оптимальная взаимосвязь научности и доступности

  Уровнево-концентрическое изложение теоретического материала (на 3 уровнях сложности)

  Практико-ориентированная система изложения

ориентированы на самостоятельную работу учащихся с книгой

Концептуальные особенности курса

22

Уровнево-концентрическое изложение теоретического материала

базовый уровень для всех учащихся профильный уровень для учащихся естественнонаучных, технических и экономических направлений математический уровень для учащихся математических и физико-математических направлений

содержательное ядро базового

уровня

П ММ П

23

24

Система упражнений

Структура на 4 уровнях сложности к каждому параграфу учебника к каждой главе ко всему курсу задания для контроля и самоконтроля по каждой теме

Состав:(около 20 000 заданий)

в Учебниках

в Дидактических материалах

в Тематических тестах

около 700 задач с образцами решений

около 7000 вопросов и заданий

порядка 10 000 задач и упражнений для работы в классе и дома

более 300 примеров с решениями

более 2000 заданий для самостоятельной работы

около 700 задач с образцами решений

25

26

Система упражнений

Функции: обучение математической деятельности формирование УУД развитие логических, алгоритмических и др. качеств мышления обучение элементам математического моделирования воспитание (через организацию деятельности, содержание, общение)

27

Задачи

Задача1. Найти последнюю цифру числа

Задача 2. Доказать, что натуральное число а, записанное в виде

делится на 11 тогда и только тогда,когда делится на 11 сумма

3872

nn

nn aaaaaaaaa 10...1010... 22

10011

nnaaaa )1(...210

Решение.

Так как 10-1(mod 11),

то

при любом k;

при любом k. По свойствам сравнений

)11(mod110...1010 242 k

)11(mod110...1010 123 k

)11(mod)1(...210 nnaaaaa

Задачи

1. Доказать, что уравнение 42х+66у=13 не имеет целочисленных решений.

2.Найти все целочисленные решения уравнения 7х+15у =3.

3.Найти все целочисленные решения уравнения х²=у²+7.

4.Доказать, что уравнение х²-у²=1994 не имеет целочисленных решений

Доказательство:Запишем уравнение в виде (х – у)(х + у) = 1994.а) Если числа х и у являются одновременно четными или нечетными, то числа х – у и х + у четные, и поэтому левая часть равнения в этом случае делится на 4. Но правая часть не делится на 4. Поэтому в рассматриваемом случае уравнение не имеет целочисленных решений.б) Если одно из чисел х, у четное, а другое нечетное, то х – у и х + у - нечетные числа, и поэтому левая часть уравнения – число нечетное, тогда как правая часть уравнения – четное число. Следовательно, и в этом случае уравнение не имеет целочисленных решений

Теорема. Если рациональное число m\n является корнем целочисленного многочлена

то делится на m, а делится на n Задача. Найти все корни многочлена

,... 011

1 axaxaxa kk

kk

0a ka

.12 234 xxxx

Решение задачи

Делители свободного члена 1 и -1, делители старшего коэффициента . Следовательно, рациональными корнями

могут быть числа . Проверка показывает, что корнями являются числа

. Разделив многочлен на (2х-1)(х+1), получим х2+1. Значит, 2х4+х3+х2+х-1=(2х-1) (х+1)(х2+1) и других

корней, кроме найденных, нет.

2,1

2

11 и

2

11и

Задача

Функция спроса на некоторый товар задана формулой

Найти: 1) область определения и множество значений функции спроса;

2) объем спроса при цене

3)функцию, обратную функции спроса, которая описывает зависимость цены за единицу продукции от объема спроса.

.72

1891

pq

.;80.,50.,20 321 едpедpедp

Вычислить sin180

Sin360=cos540

Sin360=2sin180cos180, cos540 =4cos3 180-3cos 180, 2sin180cos180= 4cos3 180-3cos 180, 2sin180=4(1-sin2180)-3, пусть sin180=x, тогда

4x2+2x-1=0, т.е. и sin180=4

512,1

х

4

15

Доказать, что

Обозначим Пусть 20 + 14 √2 =а, 20 - 14 √2 =в, тогда Докажем, что А = 4. По формуле куба суммы А3 =( )3= а+в+ =40 + 3 = 40+ 3∙2 ∙А = 40+6А. Левая часть А этого равенства является корнем уравнения

х3-6х-40=0, которое запишем в виде

(х-4)(х2+4х+10)=0. Второй множитель не имеет действительных корней,

следовательно, х=4 – единственный действительный корень уравнения, т.е. А=4.

Aba 33

33 ba

42142021420 33

)(3 333 baab

A3 2196400

А 33 2142021420

Свойство функции у=х3

Докажем, что функция не является ограниченной. Т.е. докажем, что для любого С>0 найдется значение

хс, такое, что lf(xc)l>C.

Пусть ,например, ,где С-любое положительное число,

тогда f(xc)=( )3=2C>С.3 2С

3 2Схс

Задачи

§1. Задача 8. Доказать, что функция y=x sinx не является ограниченной на множестве R.

§2. Задача 8. Доказать, что функция y=sin не является периодической.

§3. Задача 5. Построить график функции y=x cosx. §4. Задача 3. Исследовать функцию

и построить график §6. Задача 5.Построить график функции y=arcsin(sinx)

xy sinlog2

x

1

Доказать, что функция y=x sinx не является ограниченной на множестве R.

Пусть С>0- произвольное. Тогда найдется произвольное натуральное число n, такое, что

Так как то функция не является ограниченной на

множестве R.

.22

Cnxn

,sin)( Cxxxxy nnnnn

Доказать, что функция y=sin не является периодической.

Область определения функции – все действительные числа, кроме 0.

Пусть Т-произвольное число, Т>0. Так как Т0, то х0=-Т принадлежит области

определения. Но точка х0+Т=-Т+Т=0 не принадлежит области определения.

Итак, для любого Т>0 существует число х=х0(из области определения функции), что точка х+Т не принадлежит области определения.

У=sin не является периодическойх

1

x

1

Задача 9.

Решить уравнение Решение: Уравнение равносильно системе

Преобразуем первое уравнение к виду

откуда х=

Но это число не удовлетворяет условиям x>1,xN, т.е. корней нет.

22553 хх

.1,

,225531

xNх

х

21

1515 х

2

1

Задачи

Сколько различных шифров можно набрать в автоматической камере хранения, если шифр составляется с помощью любой из тридцати букв русского алфавита с последующим трехзначным числовым кодом?

Решение.30 ·1000 = 30000. Сколько экзаменационных комиссий,

состоящих из 5 членов, можно образовать из 10 преподавателей?

Решение. 252!5!5

!105

10С

1.В лотерее участвуют 15 билетов, среди которых 3 выигрышных. Наугад вынуты 2 билета. Какова вероятность того, что: 1) оба вынутых билета выигрышные; 2)выигрышного билета не оказалось;

Решение Число всех возможных исходов

1) Выигрышных всего Вероятность равна отношению

2) Не выигрышных Вероятность равна отношению

215С

212С

23С

215

23

С

С

215

212

С

С

Прикладная направленность курса

  Демонстрация полученных знаний:— в различных научных областях— в реальной действительности— в смежных учебных предметах

44

45

46

47

Прикладная направленность курса

  Построение универсальных математических моделей реальных процессов и явлений

48

49

Развитие общекультурное

Средствами Учебников:исторические сведения по всем темам курса

50

51

Развитие общекультурноеСредствами Учебников:  высказывания великих мыслителей

о математике

51

Развитие общекультурноеСредствами Учебников:  использование вычислительной техники

52

Развитие общекультурноеСредствами Учебников:  демонстрация решения прикладных задач средствами математического моделирования

53

Развитие общекультурноеСредствами Учебников:  формирование стохастической грамотности

54

55

Развитие общекультурноеСредствами Учебников:  корректность высказываний

Развитие общекультурноеСредствами Учебников:  различные приёмы и методы доказательств

56

Развитие общекультурноеСредствами Учебников:  представление о логике развития науки

57

Развитие общекультурноеСредствами Учебников:  алгоритмическая и вычислительная культура

58

Развитие общекультурное

Средствами Книги для учителя:1.Выбор рациональных способов решения задач2.Приёмы классификации, систематизации и обобщения знаний3.Расширение кругозора (через чтение дополнительной литературы)

59

Актуализация знаний

В Учебниках обеспечивается1.Материалом главы I, посвящённой повторению курса алгебры 7—9 классов

60

Актуализация знаний

В Учебниках обеспечивается2.Справочным материалом

на форзацах3.Дополнительными задачами и упражнениями к главам

61

Актуализация знаний

В Учебниках обеспечивается4.Обзорным повторением теории в начале глав («Напомним…», «Вспомним…», «Было рассмотрено…»)

62

в Книгах для учителя обеспечивается— специальной системой вводных заданий— средствами наглядности— занимательной информацией

Актуализация знаний

63

Возможность выявления через работу с текстами Учебника когнитивных стилей:— полезависимость / поленезависимость— глобальность / специфичность— абстрактный / конкретный— сложный / простой Возможность выбора индивидуальной траектории обучения с помощью— ориентиров Учебника, обозначающих уровни изложения теории и практики— многоуровневой системы заданий в Учебниках и Дидактических материалах (при работе в зоне ближнего развития)— диагностики уровня сформированности умений

средствами:• разноуровневых заданий Учебников и Дидактических материалов• блоков заданий Учебников «Проверь себя!»• Тематических тестов

Индивидуализация обучения

65

  В Учебнике— теоретические вопросы к каждой главе— задания «Проверь себя!» с ответами  В Книге для учителя— тематические контрольные работы на 2—3-х уровнях сложности для общеобразовательных и профильных классов— контролирующие самостоятельные работы по материалу параграфов— подробные решения всех сложных задач учебника  В Дидактических материалах1)  каждое задание (в 2-х вариантах с ответами) имеет балловую оценку, что позволяет:— определить уровень знаний и умений по теме— сконструировать разноуровневые самостоятельные работы2)  тематические контрольные работы в 2-х вариантах на 2-х уровнях сложности только для профильных классов  В Тематических тестах задания (в 4-х вариантах с ответами) на двух уровнях сложности готовят к сдаче ЕГЭ

Контроль и самоконтроль (рефлексия)

66

67

В Книге для учителя формулируются:— концептуальные особенности изложения содержания каждой главы учебника— требования к результатам обучения на базовом и профильном уровнях— цели изучения каждого параграфаприводятся:— конкретные рекомендации по конструированию уроков каждой темы— распределение теоретического и задачного материала по урокам в классах базового и профильного уровней, а также в классах с углублённым изучением математики— самостоятельные и контрольные работы по каждой теме— подробные решения трудных задач учебника— рекомендации по проведению уроков обобщения и систематизации знаний— тематическое планирование для базового и профильного вариантов обучения

Методическая поддержка курса

68

Методические рекомендации

В Учебниках и Дидактических материалах  система упражнений соответствует требованиям Стандартов образования  избыточность и многоуровневость задачного материала способствует формированию практических и интеллектуальных действий от обязательных до творческих

Подготовка к ЕГЭ

71

Примеры задач

Задача 11. Решить уравнение

Задача 12. При каких значениях a уравнение

имеет два различных корня?

.1)3( 3103 2

xxx

013)12(3)1( 2 xx aa

Задача

На координатной плоскости Оху дана точка М(2;4). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины, симметричные относительно оси Оу, лежат на параболе у = 3х², -1 x 1, а точка М является серединой одной из сторон каждого треугольника. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Решение уравнения sin6x+cos8x=1

.,2

,02sin..,0cos,0sin,1cossin

.1cossin

,.1cos0cos

,coscos,coscos,

.1sin0sin,,sinsin

,.sinsin,sin

.10

,2,,10

86

86

2828

26

262

Znn

xоткуда

xетxлибоxлибоеслиxx

Rхприxxполучаем

анеравенствСкладываяxиx

еслиxxпричемxxАналогично

xиxеслитолькоxx

ПричемxxполучаемxaПолагая

аиапритолькоосправедливaапричем

kNkлюбогодляaатоаЕслиk

k

Задачи к главе У111

§1. Задача 6. Пусть М – множество точек плоскости с координатами (х;у) таких, что числа 3х, 2у, 9-у являются длинами сторон некоторого треугольника. Найти площадь фигуры М.

Задача 7. Найти все пары целых чисел х и у, для которых верны неравенства 3y-x<5, x+y>26, 3x-2y<46.

§2.Задача 2. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:1)х2+у2+4х-6у-3=0; 2) 8х3у=у4.

1)(х+2)2+(у-3)2=0; 2)8х3у-у4=0, у(2х-у)((х+у)2+3х2)=0. Так как (х+у)2+3х2=0 только

при х=0 и у=0, то решение – совокупность прямых у=0 и 2х-у=0.

Задача 13. Дана система неравенств

Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют: 1)первому неравенству системы; 2) первым двум неравенствам системы; 3) всем трем неравенствам системы.

1)Первое неравенство равносильно совокупности неравенств (х-2)2+у24, )(х+2)2+у24. Круги с r=2 с центрами (-2;0) и (2;0). 2)Второму неравенству соответствует квадрат с вершинами

(-2;0), (0;2), (2;0), (0;-2). 3)Третье неравенство запишем в виде (х-4)2-у20, или

(х+у-4)(х-у-4) 0.

.0816

,2

,4

22

22

xyx

yx

xyx

§3. Задача 1.Найти все значения а, при которых существует ровно одна пара действительных чисел (х;у), удовлетворяющих уравнению .

Решение. Запишем уравнение в виде

2(х+1)² + 2(у-2)²= a, откуда следует, что исходное уравнение имеет единственное решение (-1;2) при a = 0.

0108242 22 ayyxx

Тематические тесты  позволяют проверить уровень сформированности элементарных знаний и умений учащихся по каждой теме курса

Подготовка к ЕГЭ

78

Реализуется через:— социально- учебную мотивацию

при демонстрации приложений математики

Деятельностный подход

79

Реализуется через:— неразрывную связь теории с практикой

Деятельностный подход

80

Реализуется через:— поэтапность формирования интеллектуальных и практических умений

Деятельностный подход

81

82

Деятельностный подход

Реализуется через:— уровнево-дифференци-рованную

систему упражнений

Реализуется через:— установку на рефлексию и самоконтроль (с помощью ответов)

Деятельностный подход

83

Спасибо за внимание!