10.1 Türev Kavramı - tolgaguyer.com daha basit olarak sembolü ile gösterilebilir. Kapalı...

1    

10.1 Türev Kavramı

fonksiyonu için ’in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. ’in bu aralıktaki

bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x0 + noktasında fonksiyonun değeri

olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı ile gösterilirse,

olur. Bu eşitliğin her iki tarafını ile bölersek,

bulunur. limit halde sıfıra yaklaştığında bu ifadenin reel değerli bir limiti varsa, bu limite fonksiyonun x0 noktasındaki türevi denir ve

olarak gösterilir.

fonksiyonunun türevi

, f ‘(x),

veya daha basit olarak

sembolü ile gösterilebilir. Kapalı fonksiyonlarda her iki tarafın türevi alınarak eşitlikten türevi çözülür.

Geometrik Açıklama

fonksiyonun eğrisine deyip türevin geometrik açıklamasını yapalım. A bu eğri üzerinde

koordinatları , B ise olan iki nokta olsun. ABD dik üçgeninden ,

yazılabilir.

2    

Bu oran A ve B noktalarını birleştiren doğrunun (kirişin) eğimidir. x = x – x0’in sıfıra yaklaşımı halinde bu oran,

=

olur. Bu ise eğrisine noktasında teğet olan doğrunun eğimi olup tanıma göre fonksiyonun bu noktadaki türevidir. Yani ;

dir.

Bu sonuca göre, fonksiyonunun eğrisine noktasında teğet olan doğrunun denklemi ise,

olarak veya daha basit bir gösterimle,

şeklinde yazılabilir.

3    

10.1.1 Türev Kavramı İle İlgili Tanım, Teorem ve Örnekler

Tanım :

Eğer bir fonksiyonun tanım aralığının bir noktasında türevi varsa yani mevcutsa fonksiyona bu noktada türevi alınabilir fonksiyon denir.

Teorem :

fonksiyonu tanım aralığının herhangi bir noktasında türevi alınabilir bir fonksiyon ise fonksiyonu bu noktada süreklidir.

İspat :

yazabiliriz.

Her iki tarafın için limitini alırsak,

elde edilir. Burada,

bulunur. Yani fonksiyonu noktasında süreklidir.

Bu teoremin tersi doğru değildir. Yani bir fonksiyon tanım aralığının herhangi bir noktasında sürekli olduğu halde bu noktada türevi alınamayabilir.  

4    

i)

ii)

iii)

10.2 Türevi Alma Kuralları

10.2.1 Toplamın Türevi

ve tanım aralığının her noktasında türevi alınabilir fonksiyonlar olsun.

Toplamın Türevi:

ise dir.

5    

İspat :

’te meydana gelen artma miktarına karşılık ve de meydana gelen artma miktarları ve

, ’de meydana gelen artma miktarı ise ile gösterilirse,

yazılabilir.

yani,

bulunur. Eşitliğin her iki tarafını ile bölersek,

ve için limitleri alınırsa,

bulunur.

10.2.2 Çarpımın Türevi

ve tanım aralığının her noktasında türevi alınabilir fonksiyonlar olsun.

Çarpımın Türevi:

ise dur.

İspat :

6    

fonksiyonu türevi alınabilir bir fonksiyon olup

dır. Dolayısıyla,

elde edilir.

10.2.3 Bölümün Türevi

ve tanım aralığının her noktasında türevi alınabilir fonksiyonlar olsun.

Bölümün Türevi:

ise dir.

İspat :

dır. Buna göre,

bulunur.

7    

10.2.4 Fonksiyon Fonksiyonunun (Bileşke Fonksiyonu) Türevi

ve ise bileşik fonksiyonun türevi,

veya

ya da diğer bir gösterimle,

İspat :

ve yazılabilir. u ve y fonksiyonları türevi

alınabilir fonksiyonlar olduğuna göre için ve dır. Buna göre,

olup dir.

yazılabilir. Burada , ile birlikte sıfır olan sonsuz küçük bir büyüklüktür. Yani,

dır. Böylece

veya diğer bir gösterimle yazılabilir. Bu kurala zincir kuralı denir.

10.2.5 Ters Fonksiyon Türevi

ise ters fonksiyonunun türevi dir.

8    

İspat :

bağıntısından yararlanılarak

bulunur.

10.2.6 Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri (I)

y = cos x Fonksiyonun Türevi

ise dir.

İspat :

bağıntısından

bulunur. Yani ise dir.

10.2.7 Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri (II)

y = tan x Fonksiyonunun Türevi

ise dir.

9    

İspat :

olarak yazılırsa bölümün türevinden,

veya olduğundan,

yazılabilir.

10.2.8 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri (I)

y = arcsin x Fonksiyonunun Türevi

ise dir.

İspat :

ise yazılabilir. Buradan,

ve ters fonksiyonun türevinden; ( zira dir.)

bulunur.

ve olduğundan bulunan değerler yukarıdaki türev ifadesinde yerine

yazılırsa bulunur. Yani, ise dir.

10.2.9 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri (II)

y = arccos x Fonksiyonunun Türevi

ise dir.

10    

İspat :

ise ve dir. Ters fonksiyonun türevinden,

bulunur. ( çünkü )

ve olduğundan bulunan değerler yukarıdaki türev ifadesinde yerine yazılırsa

bulunur. Yani,

ise dir.

10.2.10 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri (III)

y = arctanx Fonksiyonunun Türevi

ise dir.

İspat :

ise ve

dir. Ters fonksiyonun türevinden

bulunur. ( ) olduğuna göre,

bulunur. O halde,

dir.

11    

10.2.11 Logaritma Fonksiyonunun Türevi

y = logax Fonksiyonunun Türevi

ise dir.

İspat :

yazılabilir. Logaritmanın özelliklerinden,

eşitliğin sağ tarafını x ile çarpıp bölersek,

ve buradan olup

denirse için olacağından;

olup

bulunur. Yani,

ise dir.

y = ln x Fonksiyonunun Türevi

ise dir.

12    

İspat :

’in türev ifadesi olan ifadesinde a = e konursa,

bulunur. olduğuna göre,

bulunur. O halde,

ise dir.

10.2.12 Üstel Fonksiyonların Türevi

y = ax Üstel Fonksiyonunun Türevi

ise dır.

İspat :

ifadesinin her iki tarafının logaritmasını alırsak,

bulunur. Bu ifadenin her iki tarafının türevi alınırsa,

elde edilir.

ifadesi bu eşitlikteki yerine yazılırsa, bulunur.

10.2.13 Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri (I)

y = shx Fonksiyonunun Türevi

ise dir.

13    

İspat :

ifadesinin türevi alınırsa, bulunur. Yani,

ise dir.

10.2.14 Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri (II)

y = chx Fonksiyonunun Türevi

ise dir.

İspat :

ifadesinin türevi alınırsa, bulunur. Yani,

ise dir.

10.2.15 Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri (III)

y = thx Fonksiyonunun Türevi

ise dir.

İspat :

yazılabilir. Bölümün türevinden,

bulunur. Buna göre,

ise dir.

14    

10.3 Bazı Elemanter Fonksiyonların Türev Tablosu

Buraya kadar incelediğimiz türev ifadeleri yardımıyla özel fonksiyonların türevlerini bir tablo halinde verebiliriz. Aşağıda verilen tablodaki ifadelerde u’nun x’e bağlı ve türevi alınabilir bir fonksiyon olduğu kabul edilmiştir. u = x halinde u' = 1 olacağı açıktır. Bölüm sonundaki soruların çözümü için aşağıdaki tablo bilgileri yeterli olacaktır.

y y'

0

u u'

a.u'

un nun-1 u'

eu eu. u'

au(a > 1, a1)

au.lna.u'

logau(a > 1, a1) .logae.u'

sin u cos u. u'

cos u -sin u. u'

15    

tan u (1 + tan2 u). u' = . u' = sec2u. u'

cotan u -(1 + cotan2 u). u' = . u' = -

cosec2u. u'

sh u chu.u'

ch u shu.u'

th u (1 - th2 u). u' = . u' = sech2u. u'

coth u . u' = -cosech2u. u'

arcsin u

arccos u

arctan u

arccotan u

16    

10.4 Kapalı Fonksiyonların Türevi

f(x,y) = 0 denklemiyle belirtilen kapalı fonksiyonlarda denklemin y = φ(x) şeklinde y’nin x’e bağlı bir

ifadesi elde edilebiliyorsa türev φ' (x) = olarak bulunabilir. Ancak bu tür fonksiyonlarda y’nin x cinsinden ifadesini hesaplamak çoğu kez mümkün olmaz. Bu durumda y’nin x’in fonksiyonu olduğu göz önünde bulundurularak zincir kuralı uygulanıp türev hesaplanır.

10.5 Ardışık Türev ve Yüksek Mertebeden Türevler

fonksiyonu aralığında türevi alınabilir bir fonksiyon ise, bu fonksiyonun türevine yani

y'=f '(x)= ifadesine f(x)’in birinci mertebeden türevi denir.

Eğer f '(x) = g(x) fonksiyonu da aralığında türevi alınabilir bir fonksiyon ise buna yani, g(x)’e f(x) fonksiyonunun ikinci mertebeden türevi denir ve

y'', f ''(x),

sembollerden biri ile gösterilir. Benzer şekilde eğer mevcutsa f(x)’in (n)’inci mertebeden türevi,

yn, f n(x),

sembollerinden biri ile gösterilir. Bu ifadedeki n(n N)’ye türevin mertebesi denir.

17    

f (x) =

f '(x) =

f '' (x) =

f ''' (x) =

...

f (n) (x) =

Bir Toplamın Yüksek Mertebeden Türevi

u ve v n’inci mertebeden x’e bağlı türevi alınabilir iki fonksiyon ise,

(u + v)(n) = u(n) + v(n)