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Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 272
Festigkeit / Strackeljan
12. Satz von Castigliano Im Jahr 1873 veröffentlichte der italienische Baumeister und Eisenbahningenieur Alberto Castigliano (1847– 1884), ein Verfahren zur Bestimmung der Verschiebung und des Neigungswinkels von Punkten eines elastischen Körpers. Diese unter dem ersten Satz von Castigliano bekannte Methode wird nachfolgend behandelt.
Voraussetzungen für die Anwendung:
• linear-elastisches Materialverhalten ( Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes ) • keine Dehnungen infolge Temperaturänderungen
Satz von Castigliano:
• Die partielle Ableitung der gesamten Formänderungs-arbeit eines Systems nach einer äußeren Kraft ergibt die Verschiebungskomponente des Kraftangriffspunktes in Kraftrichtung infolge aller äußeren Lasten, die bei der Formulierung der Formänderungsarbeit berücksichtigt wurden.
• Die partielle Ableitung nach einem äußeren Moment ergibt die Verdrehwinkelkomponente des Momenten-angriffspunktes in Bogenmaß.
• Die partielle Ableitung nach einer statisch unbestimmten Größe ist immer Null.
KK
KK
K X
W
M
W
F
Wv
∂∂
∂∂ϕ
∂∂ === 0;;
W = Formänderungsarbeit des Gesamtsystems vK = Verschiebungskomponente des Angriffspunktes von FK in Richtung von FK
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 273
Festigkeit / Strackeljan
ϕK = Verdrehwinkel ( in Bogenmaß) der Momentenangriffs- stelle von MK in Richtung von MK
FK = äußere Kraft MK = äußeres Moment XK = statisch unbestimmte Größe ( Kraft oder Moment )
12.1 Darstellung der Idee des Satzes von Castigliano Im Abschnitt 10.2 war die Verschiebung an der Stelle i eines elastischen Körpers in Folge von n Kräften an den Stellen k über die Einflusszahlen definiert worden:
( )∑=
=n
kkiki Fv
1α
Die Arbeit einer äußeren Kraft an der Stelle k ist durch die Verschiebung des Kraftangriffspunktes an der Stelle k gegeben. Greift nur eine einzige Kraft an ergibt sich:
kkkka FFW α21=
Für die Arbeit aller Kräfte sind nun die Verschiebungen an allen n Angriffspunkten von Bedeutung:
αα
αα
=
nnnn
n
n F
F
F
v
v
v
M
L
MOM
MM
K
M
2
1
1
111
2
1
(11.24)
Es folgt für die Arbeit durch Summation über alle Angriffspunkte:
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 274
Festigkeit / Strackeljan
∑∑= =
α=n
i
n
kkikia FFW
1 12
1 . (11.25)
Unter den Voraussetzungen linearen Materialverhaltens und ohne Temperaturdehnung ist die infolge dieser Kräfte verrichtete äußere Arbeit gleich der im Körper gespeicherten Formänderungsenergie WWW aF == . Wird die Arbeit (Gl. 11.25) nach der Last Fj abgeleitet, so folgt:
∂∂+
∂∂α=
∂∂
∑∑j
kik
j
in
i
n
kik
j F
FFF
F
F
F
W
21
.
Wegen
=≠
=∂∂
ji
ji
F
F
j
i
1
0 und
=≠
=∂∂
jk
jk
F
F
j
k
1
0
folgt: (11.26) Diese Beziehung gilt wegen jiij αα = und da der
Summationsindex im 2. Summanden getauscht werden kann. Dieses Ergebnis entspricht der Verschiebung vj des Kraft-angriffspunktes der Kraft Fj
. 2
1
2
1
2
1
2
1
1 1 1
1 1
∑ ∑ ∑
∑ ∑
= = =
= =
= + =
+ = ∂
∂
n
k k jk
n
k
n
k k jk k jk
n
k
n
i i ij k jk
j
F F F
F F F
W
α α α
α α
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 275
Festigkeit / Strackeljan
∑= ∂
∂=α=n
k j
kjkj F
WFv
1
. (11.27)
und bestätigt den Satz von Castigliano. 12.2 Anwendungen des Satzes von Castigliano
Der Satz von Castigliano eignet sich gut zur Berechnung beliebiger allgemein belasteter statisch unbestimmter Systeme und zur Berechnung von Verformungsgrößen an diskreten Stellen. Die Berechnung der allgemeinen räumlichen Verschiebung eines Körperpunktes erfordert die Berechnung von drei unabhängigen Verschiebungskomponenten jeweils in Richtung einer äußeren Kraft im betrachteten Punkt. Sinngemäß gilt die Aussage für die Berechnung der allgemei-nen Verdrehung. In vielen ebenen Anwendungen ist aber nur eine Komponente je Modellpunkt zu berechnen. Anschauliche Darstellung der Formänderungsgrößen
v2
F1
F2
v1
22
11
F
Wv
F
Wv
∂∂=
∂∂= 1
1 M
W
∂∂=ϕ
11 M
W
∂∂=ϕ
F
ϕ1
q M1
ϕ1
M1
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 276
Festigkeit / Strackeljan
Hinweise:
• Die Aussage, dass die partielle Ableitung der Formänderungsenergie nach einer statisch unbestimmten Größe Null ist, ist für statisch unbestimmte Lagerreaktionen aus den ersten beiden Aussagen ableitbar, da dort die entsprechenden Lagerverschiebungen Null sein müssen.
Die Aussage gilt aber allgemein und kann als notwendige Bedingung für die Existenz des Minimums der potentiellen Energie angesehen werden, denn jedes physikalische System stellt sich im Gleichgewichtszustand so ein, dass die gespeicherte Energie ein Minimum annimmt.
• Die Schnittgrößen gehen in die Formänderungsenergie
quadratisch ein, das heißt, die Vorzeichendefinition der Schnittgrößen ist bei dieser Anwendung unerheblich. Die Verschiebungsgrößen sind immer in Richtung der äußeren Kraft bzw. des äußeren Momentes positiv. Es ist bei der Be-rechnung der Schnittgrößen vorteilhaft, immer mit dem positiven Schnittufer zu arbeiten und es stört bei der Anwendung des Satzes von Castigliano nicht, dazu gegebenenfalls gegenläufige Koordinaten einzuführen.
• Die Anwendung des Satzes von Castigliano erfordert nicht die vorherige Berechnung der Formänderungsarbeit
( )
∑ ∫
⋅⋅⋅+=i l
ii
ib
i
dzEI
MW
2
21
(11.28)
Bei stetigen Funktionen, die hier stets bereichsweise vorliegen, können partielle Differentiation und Integration getauscht werden.
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 277
Festigkeit / Strackeljan
( )
( )∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
⋅⋅⋅+∂∂
=
⋅⋅⋅+∂∂
∂∂=
⋅⋅⋅+
∂∂=
∂∂=
i li
K
ib
i
ib
ii
K
ib
i
ib
l ib
i li
i
ib
KK
K
i
i
i
dzF
M
EI
M
dzF
M
EI
M
M
dzEI
M
FF
Wv
2
)(
2
21
21
Da z.B. der Ausdruck ( Kbi FM ∂∂ / ) i. allg. wesentlich kürzer als Mbi selbst ist, erspart diese Vorgehensweise den Rechenaufwand nennenswert.
• Bei der Ausführung der partiellen Ableitungen der Schnitt-größen besteht eine Fehlerquelle darin, dass verdeckte Abhängigkeiten nicht erkannt werden. So sind z.B. die Lagerreaktionen von den äußeren Lasten abhängig. Zur Fehlervermeidung sind die statisch bestimmten Lagerreaktionen vor der Ableitung durch die aus den Gleichgewichtsbedingungen folgenden Ausdrücke zu ersetzen.
• Eine Ausnahme bilden statisch unbestimmte Größen, sie müssen nach ihrer Berechnung für nachfolgende Ver-formungsberechnungen nicht ersetzt werden, denn es gilt mit ,...),( KK XFfW =
K
K
KKK F
X
X
W
F
Wv
∂∂
∂∂
∂∂ ⋅+=
worin, wegen ∂W/∂XK = 0 , die Abhängigkeit der statisch Unbestimmten von der Kraftgröße, nach der abgeleitet wird, keine Rolle spielt.
0
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 278
Festigkeit / Strackeljan
• Die Bezeichnung der Lastgröße, nach der abgeleitet wird, muss eindeutig sein. Tritt z.B. eine Kraft, nach der abgeleitet werden soll, mehrfach am System auf, so ist diese bereits vor der Berechnung der Lagerreaktionen und der Schnittgrößen-verläufe umzubenennen. Nach der Ausführung der partiellen Ableitung kann noch vor der Integration die Umbenennung rückgängig gemacht werden.
Wird dieses nicht beachtet, so wird z.B. die Summe der Ver-schiebungen aller gleich bezeichneten Kräfte berechnet.
• Verformungsberechnungen für Punkte, an denen keine äußere Belastung angreift, sind möglich, wenn dort je eine Hilfskraft FHi bzw. ein Hilfsmoment MHi schon vor der Berechnung der Lagerreaktionen und der Schnittgrößen angebracht wird. Die Hilfsgrößen können nach der partiellen Ableitung vor der Integration Null gesetzt werden.
• Bei der Berechnung von statisch unbestimmt gelagerten Systemen dürfen als statisch Unbestimmte nur Kräfte oder Momente gewählt werden, die nicht allein aus Gleichgewichtsbedingungen ( GGB )berechnet werden können.
Beispiel:
Bei innerlich statisch unbestimmten Systemen dürfen ent-sprechend nur solche Schnittgrößen als statisch
Hier darf nur FAH oder FBH als statisch Unbestimmte gewählt werden. FAV und FBV lassen sich aus GGB berechnen.
F1
FAH FAV FBV FBH
F2
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 279
Festigkeit / Strackeljan
Unbestimmte gewählt werden, die nicht allein aus GGB berechnet werden können.
Beispiel:
Der obere geschlossene Rahmen ist innerlich dreifach statisch unbestimmt. Die Schnittgrößen FlC , FqC und MbC können als statisch Unbestimmte gewählt werden, sie sind nicht allein aus GGB zu berechnen. Die Schnittgrößen im Querschnitt D wären allein aus GGB berechenbar.
12.3 Festlegung einer sinnvollen Vorgehensweise zur Anwendung des Satzes von Castigliano auf statisch bestimmte und unbestimmte Tragwerke
Als Voraussetzung für die nachfolgend beschriebene Vor-gehensweise soll gelten:
- linear-elastisches Materialverhalten - keine Temperaturänderungen - System kann aus beliebigen starren und folgenden elastischen Elementen bestehen:
• Seile und Stäbe • gerade Balkenabschnitte • Schraubenfedern und Drehfedern
F1
FAH FAV FB
D
F2
C
Flc F1
FAH FAV FB
D
F2
Fqc
Mbc
Fqc
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 280
Festigkeit / Strackeljan
Satz von Castigliano in anwendungsorientierter Schreibweise mit verallgemeinerten Größen bei Vernachlässigung von Querkraftschub:
( )( )
( )( )
( )
( )∑
∑
∑ ∫
∑ ∫
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
+∂∂=
∂∂=
*4
*3
*2
*1
iK
F
d
F
iK
FF
li
iK
ll
i
iK
ll
l K
t
t
t
K
by
yy
by
K
bx
xx
bx
K
K
F
M
c
M
F
F
c
F
dzF
F
EA
F
dzF
F
EA
F
F
M
GI
M
F
M
EI
M
F
M
EI
M
F
Wv
i
i
1*) Summe über alle Balkenabschnitte 2*) Summe über alle Seile und Stäbe 3*) Summe über alle Federn 4*) Summe über alle Drehfedern
KF = äußere Kraft FK KK vv = Verschiebungskomponente in Richtung von FK
KF = äußeres Moment MK KKv ϕ= Verdrehwinkelkomponente in Richtung von MK
KF = stat. unbest. Größe XK 0=Kv Berechnungsgleichung für XK
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 281
Festigkeit / Strackeljan
Darstellung des prinzipiellen Lösungswegs:
1. Klarheit verschaffen, an welchen diskreten Stellen Verfor- mungsgrößen berechnet werden sollen. Dort müssen ein-deutige äußere Kräfte bzw. Momente in Verformungs-richtung angreifen. � evtl. Hilfskräfte und/oder -momente einführen
� evtl. vorhandene Lasten eindeutig umbenennen Dieses muss schon vor der Berechnung der Lager-reaktionen erfolgen.
2. Bei statisch unbestimmten Systemen statisch unbestimmte Kräfte bzw. Momente auswählen und festlegen.
� Diese Kräfte bzw. Momente dürfen nicht allein aus GGB berechenbar sein.
3. Lager- und Gelenkreaktionen berechnen. Bei nur ein-seitiger Einspannung kann auf die Berechnung der Lager-reaktionen i.allg. verzichtet werden.
4. Für alle elastischen Bereiche Schnittgrößenverläufe berechnen Seil, Zug- / Druckstab : Fl Balken, Welle : Mbx, Mby, Mt, (Fl) Feder : FF Drehfeder : MF
Es ist vorteilhaft, wenn die Schnittgrößenfunktionen einfache mathematische Ausdrücke sind
� Mit positivem Schnittufer arbeiten, dafür gegenläufige Koordinaten zulassen.
5. In den Schnittgrößenverläufen alle statisch bestimmten Lagerreaktionen ersetzen ( durch gegebene Belastung, Hilfsgrößen und statisch unbestimmte Größen ).
6. Berechnung der erforderlichen partiellen Ableitungen der Schnittgrößen.
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 282
Festigkeit / Strackeljan
7. Nach der Berechnung aller Ableitungen können Hilfs-größen Null gesetzt und evtl. umbenannte Lasten wieder gleich bezeichnet werden. Die Schnittgrößenfunktionen zweckmäßig unter Nutzung der eingeführten allgemeinen Lagerreaktionen verkürzt schreiben.
8. Falls erforderlich, Berechnung der statisch unbestimmten Größen
0=KX
W
∂∂
9. Falls erforderlich, Berechnung der Verformungsgrößen
K
KK
K M
W
F
Wv
∂∂ϕ
∂∂ == ;
10. Es ist zweckmäßig, für jede Schnittgröße die dazugehörige Steifigkeit, die Integrationsgrenzen und die partiellen Ab-leitungen in Tabellenform darzustellen. Schnittgrößen-funktionen zweizeilig in ausführlicher (nach Punkt 5) und in verkürzter Schreibweise (nach Punkt 7) eintragen.
Beispiel :
Element i
Integrations-grenzen
gi
Steifig-keit Bi
Schnittgröße
Si
k
i
F
S
∂∂
...∂∂ iS
1 0...2a EA1 Fl1 = ... ... ... 2.1 0...3a EIxx2 Mbx2 = ... ... ... 2.2 0...3a EIyy2 Mby2 = ... ... ... 2.3 0...3a GIt2 Mt2 = ... ... ... 3 0...a ... ... ... ... 4 - c FF = ... ... ... 5 - cd MF =... ... ...
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 283
Festigkeit / Strackeljan
( )( )
∑ ∫ ∂∂=
∂∂
*5 igi
K
i
i
i
K
dzF
S
B
S
F
W 5*) Summe über alle Zeilen
Beispiel 1: Einseitig eingespannter Balken mit Kraft- und
Momentenbelastung Gegeben: F1, M1, l, EI Gesucht: v1, ϕ1 (nur infolge Biegearbeit)
verformt: Lösung: Biegemomentenverlauf
11 MzFMb −−= Partielles Differenzieren Hierfür ist die Anordnung in Tabellenform geeignet:
F1
v1
φ1M1
F1
M1
Mb
z
F1
EI
l M1
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 284
Festigkeit / Strackeljan
i
Int.-grenzen
gi
Steifig-keit Bi
Schnittgröße
Si
1F
Si
∂∂
1M
Si
∂∂
1 0...l EI 11 MzF −− z− 1−
Hinweis zur Kontrolle: Da die Schnittgrößen immer linear von den äußeren Kräften und Momenten abhängen, ist die partielle Ableitung einfach immer gleich dem Faktor vor derjenigen Größe nach der differenziert wird.
Berechnung der gesuchten Verformungen
( )
,23
,2
1
3
111
,1
21
31
1
0
21
31
01
211
0 111
EI
lM
EI
lFv
zMzFEI
dzzMzFEI
v
dzF
MM
EIF
Wv
ll
lb
b
+=
+=+=
∂∂=
∂∂=
∫
∫
( )
.2
,1
,1
12
11
0111
0 111
EI
lM
EI
lF
dzMzFEI
dzM
MM
EIM
W
l
lb
b
+=ϕ
+=ϕ
∂∂=
∂∂=ϕ
∫
∫
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 285
Festigkeit / Strackeljan
Beispiel 2 Gegeben: F, a, EI Gesucht: v1 (Durchbiegung bei 1, nur infolge Biegearbeit) Lösung: Unterschiedliche Bezeichnung der Kräfte Nur bei eindeutiger Bezeichnung kann nach der bei 1 angrei-fenden äußeren Kraft differenziert werden Biegemomentenverlauf 11 zFMb −= ( ) 2122 zFzaFMb −+−=
a a
F F
1
EI
a a
F1 F
1 z1z2
FMb1
z1
F1Mb2
z2
F
a
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 286
Festigkeit / Strackeljan
Partielles Differenzieren und anschließendes Gleichsetzen der Kräfte
i
Int.-grenzen
gi
Steifigkeit Bi
Schnittgröße
Si
1F
Si
∂∂
1 0...a EI 1Fz− 0
2 0...a EI
( )
( )2
212
2zaF
zFzaF
+−
−+−
2z−
Berechnung der gesuchten Verschiebung
( )
.67
,3
22
2
,1
3
1
33
220
21
0 02
1
221
1
11
11
EI
Fav
aa
EI
Fdzzza
EI
Fv
dzF
MMdz
F
MM
EIF
Wv
a
a ab
bb
b
=
+=+=
∂∂+
∂∂=
∂∂=
∫
∫ ∫
Beispiel 3 Gegeben: q0, a, b, EI1, EI2
Gesucht: vc, ϕB
(nur infolge Biegearbeit)
q0
C
A B
aEI1
EI2
b
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 287
Festigkeit / Strackeljan
Lösung: Antragen von Hilfsbelastungen Das Einführen der Hilfskraft FH und des Hilfsmomentes MH vom Betrage Null ist notwendig, damit überhaupt die partielle Differentiation entsprechend den gesuchten Verformungen möglich ist. Die Hilfsbelastungen dürfen nach dem Differenzieren gleich Null gesetzt werden. Berechnung der Lagerreaktionen Die Berechnung von FA und FBH erübrigt sich, weil für die weitere Rechnung nur FBV benötigt wird. Die Hilfsbelastungen sind zu berücksichtigen! Es folgt:
++= HHBV MaFaqb
FA 202
11:
Biegemomentenverlauf
12101 2
1zFzqM Hb +=
HBVb MzFM −= 22
MH
Mb2FBH
FBV
z2
q0
a
b
FH
MHFA
FBH
FBV
z1
z2
A
Mb1
FH
z1
z1
2
q z0 1
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 288
Festigkeit / Strackeljan
Einsetzen der Lagerreaktionen in den Biegemomentenverlauf FBV ist von den Größen FH und MH, nach denen differenziert wird, abhängig und muss deshalb vorher in Mb2 eingesetzt werden:
HHHb Mb
zMaFaqM −
++= 2202 2
1
Partielles Differenzieren und anschließendes Nullsetzen der Hilfsbelastungen:
i Int.-
grenzen gi
Steifig-keit Bi
Schnittgröße
Si H
i
F
S
∂∂
H
i
M
S
∂∂
1 0 ... a EI1 12102
1zFzq H+ z1 0
2 0 ... b EI2 HHH Mb
zMaFaq −
++ 2202
1 2z
b
a 12 −
b
z
Berechnung der Verformungen
,68
,211
211
,11
2
30
1
40
20
222
3
02
10
310
1
0 02
22
21
11
1
EI
baq
EI
aqv
zdzb
aq
EIzdzq
EIv
dzF
MM
EIdz
F
MM
EIF
Wv
c
ba
c
a b
H
bb
H
bb
H
c
+=
+=
∂∂+
∂∂=
∂∂=
∫∫
∫ ∫
0
0 0 0
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 289
Festigkeit / Strackeljan
.12
,232
11
2
11
,11
2
20
222
2
02
2
02
2
02
02
22
201
11
1
EI
baq
bb
b
a
EI
qzd
b
zz
b
aq
EI
dzM
MM
EIdz
M
MM
EIM
W
B
b
B
b
H
bb
a
H
bb
H
B
−=ϕ
−=
−=ϕ
∂∂+
∂∂=
∂∂=ϕ
∫
∫∫
Anschauliche Deutung der Ergebnisse
vc ist die Summe von 1
40
1 8EI
aqvc =
infolge Biegung des vertikalen Trägers
und 2
30
2 6EI
baqvc =
infolge der Drehung der biegesteifen Ecke bei A. Das negative Vorzeichen bei ϕB bedeutet, dass der Richtungssinn von ϕB dem von MH entgegengesetzt ist.
C
vcvc2 vc1
A B-φB
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 290
Festigkeit / Strackeljan
Beispiel 4 Gegeben: F, R, EI. Der Träger sei schwach gekrümmt, d.h.
R >> Querschnittsabmessungen. Gesucht: vBH (Horizontalverschiebung des Lagers B, nur infolge Biegearbeit) Lösung: Lagerkräfte und Biegemomentenverlauf
Es wird nur FBV benötigt: ,0: =BVFA ϕ= sinFRMb
A BF
EI
R
F F
R
FAH
FAV FBV FBV=0
φ
s
Mb
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 291
Festigkeit / Strackeljan
l l
h
B
A C
F
S
EAEI2 EI1
Partielles Differenzieren
i
Int.-grenzen
Int.-grenzen Si
F
Si
∂∂
für s für ϕ
1 0...sA=πR 0 ... π FR sinϕ R sinϕ
Berechnung der gesuchten Verschiebungen
ϕ∂
∂=∂
∂= ∫∫π
dRF
MM
EIds
F
MM
EIv b
bb
s
bBH
A
00
11 .
Man beachte: ds = R dϕ !
∫π
ϕϕ=0
23
sin dEI
FRvBH ,
EI
FRvBH
3
2
π= .
Beispiel 5 Gegeben: F, l, EI1, EI2, EA Gesucht: vc
Vertikalverschiebung bei C infolge Biegung des Trägers AC und Dehnung des Stabes oder Seiles S
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 292
Festigkeit / Strackeljan
Lösung: Berechnung der Stabkraft FFA s 2: = Biegemomentenverläufe
11 FzMb −=
( ) 222 zFzlFM sb ++−=
Einsetzen von Fs in Mb2 und partielles Differenzieren
i Int.-
grenzen Steifig-
keit Si F
Si
∂∂
1 0 ... l EI1 -Fz1 -z1
2 0 ... l EI2 -F ( l - z2) - ( l – z2)
3 0 ... h EA 2F 2
l l
AC
F
FAH
FAV
z2 z1
FS
z1
Mb1
F
FSMb2
z2
Fl
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 293
Festigkeit / Strackeljan
Berechnung der gesuchten Verschiebung
∫ ∫ ∫ ∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂=
l l hs
sb
bb
bc dzF
FF
EAdz
F
MM
EIdz
F
MM
EIF
Wv
0 0 02
22
21
11
1
,111
( ) ,4111
02
0
2
20 2
121
1∫∫∫ +−+=hll
c FdzEA
zdzlFEI
zdzFEI
v
.
4113 21
3
+
+=
EA
h
EIEI
lFvc
Hinweis: Betrachtet man den Stab als Feder mit der Federsteifigkeit
h
EAc = , so gilt entsprechend
+
+=
∂∂+=
cEIEI
lF
F
FF
cv s
sc
4113
1...
21
3
.
Beispiel 6
Gegeben: F, a, EA Die Verformung ist durch die Gesucht: vv, vH Längenänderung der Stäbe infolge der Stabkräfte bedingt.
a
a
F
F
EA
(1)
(2)
vHvv
verformt
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 294
Festigkeit / Strackeljan
Antragen einer Hilfskraft und Berechnung der Stabkräfte
�: FFFF SS 2,02
222 −==+
: HSHSS FFFFFF +==−+ 121 ,022
Partielles Differenzieren und anschließendes Nullsetzen der Hilfskraft
i Bi
Si F
Si
∂∂
H
i
F
S
∂∂
l i
1 EA F+FH 1 1 a
2 EA F2− 2− 0 a2
Berechnung der gesuchten Verschiebungen
( )
( )
EA
aFv
lF
FF
EAF
Wv
EA
aFv
aFaFEA
lF
FF
EAF
Wv
H
ii H
SiSi
HH
v
ii
SiSiv
=
∂∂=
∂∂=
+=
+=∂∂=
∂∂=
∑
∑
=
=
,1
221
,2211
2
1
2
1
F
FS1
FS2
FH
45°
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 295
Festigkeit / Strackeljan
z2 az1
F
Mb2
Mt2
3a
z3
a
F
Mb3
Mt3
Beispiel 7 Gegeben: F, a, EI = konst., GIp = konst. Gesucht: vB (Verschiebung von B in Richtung F) Lösung: Es liegt ein räumliches Problem vor. Die Längskraft ist in allen 3 Bereichen Null. Jeder Balken- bereich wird nur einachsig auf Biegung beansprucht. Die Biege- achse liegt jeweils innerhalb der Zeichenebene. Bereiche 2 und 3 werden zusätzlich auf Torsion beansprucht. Schnittmomentenverläufe
0, 111 == tb MFzM
aFMFzM tb == 222 ,
( ) FaMzaFM tb 3, 333 −=+=
z1
F
Mb1
Mt1
2a
A
3a
z3
z2 a
z1
F
B
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 296
Festigkeit / Strackeljan
Partielles Differenzieren
i Int.-grenzen
gi Bi Si
F
Si
∂∂
1 0 … a EI Fz1 z1
2.1 0 … 3a EI Fz2 z2
2.2 0 … 3a GIp Fa a
3.1 0 … 2a EI ( )3zaF + ( )3za +
3.2 0 … 2a GIp -3Fa -3a
Berechnung der gesuchten Verschiebung
∑∫ ∑ ∫= = ∂
∂+∂
∂=∂∂=
3
1 0
3
1 0
,11
i
l
i
l
iti
ti
p
ibi
bi
i i
dzF
MM
GIzd
F
MM
EIF
Wv
( ) ,93
0
2
03
22
2
0
3
0
2
03
232
221
21
++
+++= ∫ ∫∫ ∫ ∫
a a
p
a a a
dzadzaGI
Fdzzadzzdzz
EI
Fv
32118Fa
GIEIv
p
+=
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 297
Festigkeit / Strackeljan
12.4 Anwendung des Satzes von Castigliano zur Berechnung von Einflusszahlen Da der Satz von Castigliano einzelne Verformungen liefert, ist er auch sehr gut für die Berechnung von Einflusszahlen geeignet. Es gilt für die Verschiebung infolge der Belastung durch Momente und durch Kräfte:
( )∑=
γ+α=n
kkikkiki MFv
1
, k
iik F
v
∂∂=α .
Mit i
i F
Wv
∂∂= folgt
ki
ik FF
W
∂∂∂=α
2
.
Entsprechend erhält man:
ikki
kiik FM
W
MF
W
∂∂∂=
∂∂∂=δ=γ
22
und ki
ik MM
W
∂∂∂=β
2
.
Auch hier empfiehlt sich die Ausführung der partiellen Ableitungen in allgemeiner Form. Dabei wird die erste Ableitung einer Schnittgröße infolge ihrer Linearität von allen äußeren Lasten unabhängig, wodurch die allgemeinen Beziehungen eine einfache Gestalt annehmen. Wird nur Biegearbeit berücksichtigt, so folgt z.B.
( )( )
( )( )
( )( )∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
=
=
=
∂∂
∂∂
=β
∂∂
∂∂
=δ=γ
∂∂
∂∂
=α
n
jj
k
bj
i
bj
l jik
n
jj
k
bj
i
bj
l j
kiik
n
jj
k
bj
i
bj
l jik
dzM
M
M
M
EI
dzM
M
F
M
EI
dzF
M
F
M
EI
j
j
j
1
1
1
.1
,1
,1
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 298
Festigkeit / Strackeljan
Beispiel Gegeben: a, EI Gesucht: Sämtliche Einflusszahlen für die Stellen 1 und 2 Lösung: Antragen geeigneter äußerer Lasten und Berechnung der Lagerkräfte Es werden nur FAV und FB benötigt:
( ) ( )2121 21
21
: MMa
FFFB AV +−−=
( ) ( )2121 21
321
: MMa
FFFA B +++= .
Biegemomentenverlauf
a aa
1 2EI
a aa
1 2
F1 F2
FB
FAH
FAVM1
M2
a
F2 F2
FB
FAH
FAV
M2 M2
Mb1 Mb2Mb3
z1 z2 z3
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 299
Festigkeit / Strackeljan
Angabe der Biegemomente in allen drei Bereichen:
11 zFM AVb = , ( ) 22222 MzaFzFM Bb −+−= , 2323 MzFMb −−= Einsetzen der Lagerreaktionen und partielles Differenzieren
i Int.- grenzen Si
1F
Si
∂∂
2F
Si
∂∂
1M
Si
∂∂
2M
Si
∂∂
1 0...a ( ) ( )[ ] 12121
2121 zMMFF a +−−
21z
21z−
a
z
21−
a
z
21−
2 0...a ( ) ( )[ ] 2222121
2121 MaFzMMFF a −−+++
22z a
z −22
a
z
22 1
22 −a
z
3 0...a 232 MzF −− 0 -z3 0 -1
Berechnung der Einflusszahlen Bei gleichen Integrationsgrenzen lässt sich die Rechnung durch Addition der Integranden vor der Integration vereinfachen.
∂∂+
∂∂+
∂∂=α ∫ ∫ ∫
a a abbb dz
F
Mdz
F
Mdz
F
M
EI 0 0 03
2
1
32
2
1
21
2
1
111
1,
EI
adz
z
EI
a
642 3
0
2
11 ==α ∫
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 300
Festigkeit / Strackeljan
Entsprechend ergibt sich:
EI
adza
z
EI
a
421 3
02112 −=
−=α=α ∫ ,
EI
azdazaz
EI
a
4231 3
0
2222 =
+−=α ∫ .
01111 =δ=γ ,
∫ −=
−=δ=γa
EI
adz
z
EI 0
2
2112 421
,
∫ −=
−=δ=γa
EI
adz
z
a
z
EI 0
22
1221 12221
,
∫ =
+=δ=γa
EI
adza
a
z
EI 0
22
2222 67
21
,
∫ ==βa
EI
adz
a
z
EI 0
2
11 642
,
∫ −=
−=β=βa
EI
adz
a
z
a
z
EI 02
2
2112 12221
,
∫ =
+−=βa
EI
adz
a
z
a
z
EI 02
2
22 35
22
1 .
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 301
Festigkeit / Strackeljan
12.5 Anwendung des Satzes von Castigliano auf äußerlich statisch unbestimmte Systeme
Die besondere Leistungsfähigkeit des Satzes von Castigliano ergibt sich erst bei der Anwendung auf statisch unbestimmte Systeme. Die Systeme der folgenden Beispiele seien im unbelasteten Zustand spannungsfrei ! Beispiel 1 Gegeben: q0, l, EI Gesucht: Lagerreaktionen (nur infolge Biege- arbeit) Lösung: Markieren der gewählten statisch unbestimmten Lager-reaktionen FB sei die statisch Unbestimmte Berechnung der übrigen Auflagerreaktionen in Abhängigkeit von FB
�: 0=AHF , �: BAV FlqF −= 0 , A: 202
1lqlFM BA −=
q0
A BEI
l
q0
EI
l
FAH
FAV
FB
MA
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 302
Festigkeit / Strackeljan
Biegemomentenverlauf
202
1zqzFM Bb −=
Partielles Differenzieren
Mb B
b
F
M
∂∂
202
1zqzFB − z
Berechnung der statisch Unbestimmten
∫ =∂∂=
∂∂=
l
B
bb
B
B dzF
MM
EIF
Wv
0
01
,
d.h.
0832
1 4
0
3
0 0
30
2 =−=
−=∂∂
∫ ∫l
ql
FdzzqzFdzF
MM B
l l
B
B
bb ,
lqFB 08
3= .
Endgültige Berechnung der übrigen Lagerreaktionen
200 8
1,
8
5,0 lqMlqFF AAVAH −=== .
q0
FB
Mb
z
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 303
Festigkeit / Strackeljan
Beispiel 2 Gegeben: q0, a, EI Gesucht: a) Lager- und Gelenk- reaktionen b) vGV (Vertikalverschiebung von G nur infolge Biege- arbeit) Lösung: Antragen einer Hilfskraft und Markieren der gewählten statisch unbestimmten Lagerkraft FBH sei die statisch Unbestimmte
q0
A
B
a
a
a
q0
MA
a
a
a
FAH
FAV
FH
FGH
FGH
FGV
FBV
FBH
FGV
z3
z2
z1
I
II
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 304
Festigkeit / Strackeljan
Berechnung der benötigten übrigen Lager- und Gelenk-reaktionen in Abhängigkeit von FBH
I G: aqFF BHBV 02
1+= ,
I �: BHGH FF = ,
I � : aqFaqFF BHBVGV 00 2
1+−=+−=
Biegemomentenverlauf
21011 2
1zqzFM VBb −=
22 zFM GHb = ( ) 33 zFFM HGVb +−=
q0Mb1
Mb2
Mb3FH
FGH
FGH
FGV
FBV
FBH
FGV
z3
z2
z1
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 305
Festigkeit / Strackeljan
Einsetzen der übrigen Lager- und Gelenkreaktionen, partielles Differenzieren und Nullsetzen der Hilfskraft
i Int.-
grenzen Si BH
i
F
S
∂∂
H
i
F
S
∂∂
1 0...a 21010 2
121
zqzaqFBH −
+ z1 0
2 0...a 2zFBH z2 0
3 0…a 302
1zFaqF HBH
++−− z3 -z3
Berechnung der statisch Unbestimmten
∑∫=
=∂∂=
∂∂=
3
1 0
01
i
a
i
BH
bibi
BH
BH dzF
MM
EIF
Wv ,
d.h.
08
1
2
13 4
03
0
30
2 =−=
−∫ aqaFdzzqzF BH
a
BH ,
aqFBH 08
1= .
Berechnung der gesuchten Verschiebung
∑∫= ∂
∂=∂∂=
3
1 0
1
i
a
i
H
bibi
H
GV dzF
MM
EIF
Wv ,
∫∫ =
+−=aa
BHGV dzzEI
aqdzzaqF
EIv
03
23
03
23
00 8
3211
,
EI
aqvGV 8
40= .
0
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 306
Festigkeit / Strackeljan
Berechnung der übrigen Lager- und Gelenkreaktionen Nach Einsetzen von FBH in die bereits ermittelten Ausdrücke folgt:
aqFaqFaqF GVGHBV 000 83
,81
,85 ===
Außerdem erhält man mit FH = 0
II : aqFF GHAH 08
1−=−= ,
II �: aqFF GVAV 08
3== ,
II A : 208
3aqaFM GVA −=−= .
Beispiel 3 Gegeben: q0, a, EI, vB0
Gesucht: Lagerreaktionen Lösung: Es wird zunächst angenommen, dass der belastete Balken bei B aufliegt. Dann ist der Balken statisch unbestimmt gelagert. Markieren der gewählten statisch unbestimmten Lagerkraft
q0
CABEI
a a
vB0
FAH
FAV
q0
CAFB FC
a a
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 307
Festigkeit / Strackeljan
FB sei die statisch Unbestimmte Berechnung der benötigten Lagerreaktionen
2
: 0B
AV
FaqFC −= ,
2
: 0B
C
FaqFA −= .
Biegemomentenverläufe
21011 2
1zqzFM AVb −= ,
22022 2
1zqzFM Cb −= .
Einsetzen der übrigen Lagerreaktionen und partielles Differenzieren
i Int.-grenzen Si B
i
F
S
∂∂
1 0...a 21010 2
1
2zqz
Faq B −
− 21z−
2 0...a 22020 2
12
zqzF
aq B −
− 22z−
FAH
FAV
Mb1z1
q0
FC
Mb2
z2
q0
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 308
Festigkeit / Strackeljan
Berechnung der statisch Unbestimmten
00
22
211
01
1B
a
B
bb
B
ba
b
B
B vdzF
MMdz
F
MM
EIF
Wv −=
∂∂+
∂∂=
∂∂= ∫∫
Das Minuszeichen bei vB0 berücksichtigt, dass vB0 und FB entgegengesetzt gerichtet sind. Es ist zu erkennen, dass beide Integrale auf Grund der Symmetrie des Systems übereinstimmen. Die Rechnung kann also von Anfang an auf eine Systemhälfte beschränkt werden. Es folgt
.442
220
0
3
0
22
011
01 B
a
B
B
ba
bB vdzz
qz
Fz
aqEI
dzF
MM
EIv −=
++−=∂
∂= ∫∫
Die Auswertung liefert
04
0
3
485
122
BB vaqa
FEI
−=
− , 030
645
BB va
EIaqF −= .
Diskussion Das Ergebnis gilt nur, wenn es ein 0≥BF liefert, d.h. für
0403.00 5246
54
BBGr va
EIv
a
EI
aqq ==≥ .
(Der Index Gr bedeutet: Grenzwert.) Sonst liegt der Balken bei B nicht auf und es gilt immer 00 =BF .
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 309
Festigkeit / Strackeljan
Berechnung der übrigen Lagerreaktionen Liegt der Balken nicht auf, so folgt aus den Beziehungen für FAV und FC nach Einsetzen von 00 =BF natürlich aqFF CAV 0
00 == . Gilt Grqq 00 ≥ , so ergibt sich
030
383
BCAV va
EIaqFF +== .
Das Ergebnis enthält auch den Sonderfall 000 == BB vv :
aqFB 045= , aqFF CAV 08
3== .
Beispiel 4 Gegeben: M0, a, EI Gesucht: Lagerreaktionen bei B (nur Biegearbeit) Lösung: Markieren der gewählten statisch unbestimmten Lagerreaktionen Das System ist zweifach statisch unbestimmt. FBV und MB seien die statisch Unbestimmten. Biegemomentenverlauf
A
B
aa
M0EI
M0
MB
FBV
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 310
Festigkeit / Strackeljan
Bb MM =1 022 MzFMM BVBb −+= Partielles Differenzieren
i Int.-
grenzen Si B
i
M
S
∂∂
BV
i
F
S
∂∂
1 0...a MB 1 0
2 0...a 02 MzFM BVB −+ 1 z2
Berechnung der statisch Unbestimmten
01
0 0
22
211
1 =
∂∂+
∂∂=
∂∂=ϕ ∫ ∫
a a
B
bb
B
bb
B
B dzM
MMdz
M
MM
EIM
W ,
Mb1
MB
FBV
M0
MB
FBV
Mb2
a
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 311
Festigkeit / Strackeljan
d.h.
( ) 02
122 0
2
0
0 =−+=−+∫ aMaFaMdzMzFM BVB
a
BVB ,
01
0 0
22
211
1 =
∂∂+
∂∂=
∂∂= ∫ ∫
a a
BV
bb
BV
bb
BV
BV dzF
MMdz
F
MM
EIF
Wv ,
d.h.
( ) 021
31
21 2
032
020
222 =−+=−+∫ aMaFaMdzzMzFzM BVB
a
BVB .
Auflösung des Gleichungssystems ergibt:
051
MM B = , a
MFBV
0
56= .
01 2 2
0 0 03
0
332
0
221
0
11
0
=
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
∫ ∫ ∫
a aa
q
bb
q
bb
q
bb
q
l dzF
MMdz
F
MMdz
F
MM
EIF
W
,022
2 2
0
002
0
00
2
=
++
+ ∫∫ dzaa
FMdzza
MF
a
a
02212
2
00
30
0 =
++
+ aaFM
a
a
MF qq
.47 0
0 a
MFq −=
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 312
Festigkeit / Strackeljan
Endgültige Berechnung des Biegemomentenverlaufes mit
grafischer Darstellung
a
zMMb
101 4
7−= , 02 81
MMb −= , a
zMMb
303 4
1−=
Mb-Verlauf
(-)
(-)
(-)
(+)
(+)
(+)
18
M0
78
M0-
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 313
Festigkeit / Strackeljan
12.8 Nichtlinearer Zusammenhang zwischen Verformung und Belastung
Schon bei den Federn war ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen Kraft und Verschiebung betrachtet worden. Auch Durchsenkung und Stabkräfte sind nicht immer eine lineare Funktionen der Belastung. Man kann die Stabkräfte alleine aus den Gleichgewichtsbedingungen mit den Methoden der Statik nicht ermitteln. Freischneiden und GGB für die unverformte Konstruktion an:
B : 2F
Cy = aber aus G : 0=yC .
Ein Krafteck lässt sich auch nicht zeichnen, denn die endliche senkrechte Kraft F bedingt zwei unendlich große Horizontalkräfte. Notwendig sind die Gleichgewichtsbedingung am verformten System (Theorie zweiter Ordnung). Aus dem Lageplan und dem Kräfteplan ergibt sich folgender Zusammenhang (∆l und v << l ).
( )
EA
F
l
l
ll
lll
ll
v
F
F s
s
22
2
22
=∆≈∆+
−∆+=∆+
=
BG
C
F
l l
Grundlagen der Festigkeitslehre
Satz von Castigliano 314
Festigkeit / Strackeljan
Daraus ergibt sich:
3 2
21
FAEFs ≈ und 32
2EA
Fl
EA
Flllv s ≈=∆≈
Es kann nun die Formänderungsarbeit und die Ergänzungsarbeit angegeben werden:
( )( ) ( ) 3
1
3
4
3
43
44
EA
Fl
l
EAvdvEA
l
vdvFW
v vF ==
== ∫ ∫
und
( )( ) ( ) 3
1
3
4
3
1
4
3
EA
FldF
EA
FldFvW
F FE =
== ∫ ∫ .
Wegen des nichtlinearen Verhältnisses gilt EF WW ≠ und nur
aus der Ableitung der Ergänzungsenergie F
WE
∂∂
folgt v.
v
F
l+ ∆ll+∆lF
Fs Fs
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