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Béton armé aux EUROCODES
EI CESI OCEAN INDIEN
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COURS DE BETON ARME
AUX EUROCODES
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PARTIE 1
Année 2012-2013
Jean-François VIGNÉ
[Présentation de l’Eurocode 2] Page 1
HISTORIQUE
En 1975, la Commission des communautés européennes décida d'harmoniser les méthodes et règles decalcul des structures de génie civil en lançant la rédaction des Eurocodes.
En 1989, la Commission transféra au Comité européen de normalisation (CEN) la prise en charge de larédaction des Eurocodes. Une première version de l'Eurocode 2 concernant le matériau béton est parue en1992 sous forme de norme provisoire (ENV 1992-1) et fut reprise comme norme expérimentale par l'AFNOR.Elle devait pouvoir servir d'alternative aux Règles BAEL, mais fut très peu utilisée.
La version nouvelle, connue sous le nom de norme européenne EN 1992, ou EC2, est assez différente de laversion ENV. Elle est le résultat de nombreuses discussions entre les spécialistes des États membres, maisforme cependant un ensemble cohérent et complet.
L'Eurocode 2 comporte les parties suivantes :
Partie 1-1 Règles générales et règles pour les bâtiments Partie 1-2 Règles générales - Calcul du comportement au feu Partie 2 Ponts en béton - Calcul et dispositions constructives Partie 3 Silos et réservoirs
Bien que l'on trouve des similitudes : états limites de service, états limites ultimes, coefficients 1,35 et1,5 pour les charges permanentes et variables, 1,5 et 1,15 pour les matériaux béton et acier,diagramme parabole-rectangle pour la relation contrainte-déformation du béton, on n'y retrouvera pascertaines règles bien utiles du BAEL telles :
Le calcul des poutres et dalles avec les portées entre nus des appuis ;
Le calcul des poutres continues par la méthode de Caquot qui simplifiait les calculs en remplaçant larésolution d'un système de n équations à n inconnues (équation des trois moments) par un système den équations à une inconnue, et surtout la disparition de la méthode dite « Caquot minorée » quipermettait de réduire de façon sensible les moments sur appuis, très utile pour la vérification descontraintes du béton sur appuis des poutres en Té ;
Le calcul de la force portante des poteaux d'élancement inférieur à 70 par la formule
28. . / (0,9. ) . /u r c b s sN B f A fe L'EC2 n'offre que des méthodes compliquées et, au
minimum, un calcul en flexion composée, même en l'absence de moment du premier ordre ;
Le calcul simplifié des panneaux de dalles rectangulaires continues dans les deux directions, (article A8.2.32 du BAEL) en prenant une fermeture des moments à 1,25 M0.
Les changements importants par rapport au BAEL portent principalement sur :
Le calcul des poutres et dalles avec la portée entre axes et en retenant le moment au nu de l'appui ; Le calcul complexe des poteaux de bâtiment ne recevant qu'une charge axiale ; Les longueurs d'ancrage et de recouvrement compliquées et fastidieuses à déterminer ; La disparition du coefficient 0,85 dans le calcul de la contrainte du béton en ELU (AN).
Nous préciserons par la notation (AN) les prescriptions ou formules de PEC2 laissées à l'appréciation dechaque État membre qui peut, dans son Annexe nationale, modifier ou non les propositions faites.
[Présentation de l’Eurocode 2] Page 2
Un document guide (ou règles professionnelles) a été rédigé par la Commission miroir française de l'EC2.Il reprend certaines dispositions du BAEL qui ne sont pas en contradiction avec l'Eurocode.
L'utilisation de l'EC2 doit, pour être cohérente, être faite avec un ensemble de documents connexes,Eurocodes ou normes européennes :
[Présentation de l’Eurocode 2] Page 3
[Présentation de l’Eurocode 2] Page 4
UNITES Les unités sont celles du système international (SI), principalement : les longueurs en m ou mm ; les sections d'acier en cm ou mm (plus commode que le m ) ; les forces en kN ou MN ; les moments en kNm ou MNm ; les contraintes en MPa.
Béton armé aux EUROCODES
COURS DE BETON ARME
AUX EUROCODES
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Chapitre 1 : Les Matériaux
[Eurocode 2 – Matériaux] Page 1
LE BETON
I-RESISTANCE CARACTERISTIQUE A LA COMPRESSION
L'EC2 permet d'utiliser des bétons de 12 à 90 MPa de résistance sur cylindres.
Les bétons couramment utilisés en bâtiment ont une résistance de 25 MPa, rarement 40, voire 50 ou plus pourcertains éléments très sollicités tels que poteaux ou voiles de contreventement.
Cette valeur, notée fck, correspond à une valeur caractéristique de la résistance à 28 jours. Elle permetde déterminer les autres caractéristiques mécaniques des bétons (voir le tableau ci-après).
Elle correspond à un fractile de 5 %, ce qui signifie que l'on a une chance sur vingt d'avoir une résistanceinférieure à la valeur fck .
La valeur moyenne est notée fcm.
La résistance de calcul est donnée par : fcd cc.fck
c
Le coefficient cc , qui jusqu'à maintenant était pris égal à 0,85 dans la plupart des règlements de
calcul nationaux, est pris égal à 1 dans l'EC2.
En effet, il est censé représenter la diminution de résistance du béton sous charge soutenue. Si la chargerésistante d'un poteau est de 1 sous chargement instantané, elle n'est que de 0,85 pour un chargement delongue durée.Or, il est rare que la charge de calcul en combinaison rare soit de longue durée. On suppose ainsi que lerapport « charge de combinaison quasi permanente/charge de combinaison rare » est inférieur à 0,85.
De plus, la résistance du béton continue d'augmenter au-delà de 28 jours.
Si la résistance du béton est déterminée à plus de 28 jours, la valeur cc est remplacée par .t cck avec kt = 0,85 (AN)
Variation dans le temps
[Eurocode 2 – Matériaux] Page 2
cu2 2,8 3590 fck
100
4
50 fck 90
[Eurocode 2 – Matériaux] Page 3
II-RESISTANCE A LA TRACTION (art. 3.1.8)
La résistance moyenne à la traction fctm permet de déterminer la résistance caractéristique fctk,0,05 (fractile 5
%) et la résistance caractéristique fctk,0,95 (fractile 95 %).
On peut déduire la résistance à la traction fct, de la résistance par fendage par : fct 0,9. fct ,sp
Variation dans le temps
III- FLUAGE
L'EC2 développe en Annexe B une méthode de calcul du fluage avec de nombreuses équations (voir exempleci-après).
Pour une contrainte de compression c , constante inférieure à 00,45. ( )ckf t appliquée à l'âge du béton t0 et
un module tangent Ec (que l'on peut prendre égal à 1,05 Ecm), la déformation de fluage à l'instant t = infini estdonnée par :
IV- RETRAIT
Le retrait total est la somme du retrait endogène ca et du retrait de dessiccationcd : cs ca cd
L'EC2 donne un certain nombre de formules en son article 3.1.4 et en annexe B.2 pour le calcul du retrait àun instant t et à l'infini.
[Eurocode 2 – Matériaux] Page 4
V-DIAGRAMMES CONTRAINTE-DEFORMATION EN COMPRESSION
L'EC2, pour les calculs en ELU, propose quatre types de diagrammes :
pour les calculs d'analyse structurale non linéaires (principalement le calcul au flambement) :
pour les calculs des sections : le diagramme parabole-rectangle :
[Eurocode 2 – Matériaux] Page 5
ou le diagramme bi-linéaire ;
ou le diagramme rectangulaire simplifié de hauteur , et de résistance effective (ne pas
confondre ce avec le précédent) :
Si la largeur de la zone comprimée diminue dans la direction de la fibre extrême la plus comprimée
(section circulaire par exemple), la valeur . cdf est à réduire de 10%.
Dans le cas de sections rectangulaires, pour le calcul des efforts de compression repris par le béton et dumoment de ces efforts, on a besoin de connaître la surface de l'aire située sous la courbe au travers de soncoefficient de remplissage (remp) et la position du centre de gravité de cette même aire par rapport à la fibre laplus comprimée (cdg).
[Eurocode 2 – Matériaux] Page 6
On a ainsi :
effort de compression du béton = . . .cdremp f b x (pour une hauteur comprimée x) ;
moment résistant du béton comprimé par rapport à la fibre supérieure = 2. . . .cdremp f b x cdg
Valeurs des coefficients de remplissage (remp) et de la position du centre de gravité de la résultante de
compression du béton pour 1,5 1c ccet
VI-MODULE D’YOUNG (art. 3.1.3)
Ecm représente le module sécant entre les contraintes 0 et 0,4 fcm avec un correctif dépendant de la naturedes granulats
VII-AUTRES CARACTERISTIQUES (ART. 3.1.3)
• Coefficient de Poisson : 0,2 en section non fissurée et 0 en section fissurée.• Poids volumique : 2500 kg/ m3 , soit 24,5 kN/m3 .• Coefficient de dilatation thermique : 10-5 .• Joints de dilatation. Dans les bâtiments, les effets du retrait et de la dilatation peuvent être négligés dansl'analyse globale, si l'on dispose de joints de dilatation tous les 30 m maximum (art. 2.3.3(3)).
L'Annexe nationale française (ANF) reprend les valeurs utilisées auparavant en France, à savoir:
- 25 m dans les départements voisins de la Méditerranée (régions sèches à forte opposition detempérature) ;
- 30 à 35 m dans les régions de l'Est, les Alpes et le Massif central ;- 40 m dans la région parisienne et les régions du Nord ;- 50 m dans les régions de l'Ouest de la France (régions humides et tempérées).
Ces distances précédentes peuvent être augmentées, sur justifications spéciales, par des dispositionsconstructives appropriées permettant aux variations linéaires de se produire sans gêne (poteaux souples parexemple).
On peut ne pas tenir compte des autres effets de la température ainsi que du retrait sous réserve de lajustification de dispositions constructives appropriées, adaptées à l'ouvrage (ANF).
[Eurocode 2 – Matériaux] Page 7
LES ACIERS
Les aciers des armatures de béton armé utilisés avec l'EC2 sont dans la gamme 400/600 MPa (AN).En France, la limite élastique courante des aciers à haute adhérence (symbole HA) est de 500 MPa avec unfractile de 5 %.
Les aciers sont soit laminés à chaud et possèdent une certaine ductilité, soit profilés à froid avec une ductilitéplus faible.
Une bonne ductilité, aptitude à s'allonger sous contrainte constante, est nécessaire dans les calculsparasismiques.
La norme EN 10080 et l'annexe C de l'EC2 distinguent trois classes de ductilité : A (la moins ductile), B(normale) et C (la plus ductile).
En béton armé, on utilise des aciers en barres, en fils ou des treillis soudés.
I-RELATIONS CONTRAINTE-DÉFORMATION
Notations
ykf : limite élastique ;
ydf : contrainte de calcul en ELU :yk
syd
ff
s : coefficient de sécurité des aciers en ELU ;
s = 1,15 (sauf en combinaisons accidentelles pour lesquelles s = 1,0) ;
0 .
yk
s ss
f
E : allongement de l'acier à la limite du palier de plasticité.
[Eurocode 2 – Matériaux] Page 8
On peut utiliser, au choix (sauf pour un calcul au feu où seul le diagramme à palier est autorisé) :
soit un diagramme avec palier de plasticité, sans limitation d'allongement de l'acier ;
soit un diagramme avec droite inclinée en limitant l'allongement de l'acier à la valeur εud=0,9.εuk (AN).
Dans ce cas, pour un allongement εs, la contrainte est donnée par :
[Eurocode 2 – Matériaux] Page 9
II- LONGUEURS DEVELOPPEES DES CADRES, ETRIERS, EPINGLES ET U
III- LONGUEURS DEVELOPPEES DES BARRES AVEC CROCHETS
[Eurocode 2 – Matériaux] Page 10
IV- CARACTERISTIQUES DIVERSES
• Module d'Young : Es = 200 GPa.• Poids volumique : 7 850 kg/m3, soit 77 kN/m3.• Coefficient de dilatation thermique : 10-5.
Il existe aussi des aciers doux de limite élastique 235 MPa. Ces aciers ne sont pratiquement plusutilisés en béton armé sauf dans des cas très spécifiques lorsque de nombreux pliages ou dépliagessont à prévoir ou encore pour des crochets de levage de pièces préfabriquées comportant descontraintes élevées et concentrées dans des parties à faible rayon de courbure. Ils n'entrent pasdans le champ de l'EC2.
Caractéristiques matériaux 31 mars 2007
1 Béton
1.1 Caractéristiques à 28 jours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 Tableau 3.1
fck (MPa) résistance caractéristique en compression à 28 jours sur cylindre (fractile 5%)
fck < 90 MPa
fck,cube (MPa) résistance caractéristique en compression à 28 jours su cube
fcm (MPa) résistance moyenne en compression à 28 jours
fcm = fck +8
fctm (Mpa) résistance moyenne en traction à 28 jours
fctm =0,3 f 2/3
ck fck É 50
2,12ln
(1+ fck +8
10
)50 < fck É 90
fctk 0,05 (MPa) résistance caractéristique en traction à 28 jours (fractile 5%)
fctk0,05 = 0,7 fctm
fctk 0,95 (MPa) résistance caractéristique en traction à 28 jours (fractile 95%)
fctk0,95 = 1,3 fctm
fctm, f l (MPa) résistance caractéristique en traction à la flexion à 28 jours
fctm, f l = max[(1,6−h/1000) fctm ; fctm
]Ecm (MPa) module sécant d’élasticité moyen du béton
Ecm = 22000
(fck +8
10
)0,3
εc1 (‰) déformation au pic de la loi σ/ε complète du béton
εc1 = min(0,7(
fck +8)0,31 ; 2,8)
εcu1 (‰) déformation ultime de la loi σ/ε complète du béton
εcu1 =
3,5 fck É 50
2,8+27
(90− fck
100
)4
50 < fck É 90
εc2 (‰) déformation à la fin de la parabole de la loi σ/ε parabole rectangle du béton
εc2 ={
2,0 fck É 50
2,0+0,085(
fck −50)0,53 50 < fck É 90
εcu2 (‰) déformation ultime de la loi σ/ε parabole rectangle du béton
εcu2 =
3,5 fck É 50
2,8+35
(90− fck
100
)4
50 < fck É 90
n coefficient puissance de la parabole pour le béton
n =
2 fck É 50
1,4+23,4
(90− fck
100
)4
50 < fck É 90
εc3 (‰) déformation à la fin de la partie linéaire de la loi σ/ε bilinéaire du béton
εc3 =1,75 fck É 50
1,75+0,55fck −50
4050 < fck É 90
εcu3 (‰) déformation ultime de la loi σ/ε parabole bilinéaire du béton
εcu3 =
3,5 fck É 50
2,6+35
(90− fck
100
)4
50 < fck É 901
Caractéristiques matériaux 31 mars 2007
1.2 Caractéristiques à t jours
On déduit les caractéristiques à t jours des relations précédentes pour :
– fcm(t ), résistance moyenne à la compression à t jours (T◦ ≈ 20◦C) :
fcm(t ) =βcc (t ) fcm = es
1−√
28
t
fcm
s =
0,20 pour des CEM 42,5 R, CEM 52,5 N CEM 52,5 R
0,25 pour des CEM 32,5 R, CEM 42,5 N
0,38 pour des CEM 32,5 R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.2 (6)
– fctm(t ), résistance moyenne à la traction à t jours :
fctm(t ) = [βcc (t )
]α fctm
α={
1 pour t < 28
2/3 pour t Ê 28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.2 (9)
– fck (t ), résistance caractéristique à t jours :
fck (t ) ={
fcm(t )−8 pour 3 < t < 28
fck pour Ê 28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.2 (5)
– Ecm(t ), module sécant à t jours :
Ecm(t ) =[
fcm(t )
fcm
]0,3
Ecm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.3 (3)
1.3 Déformations instantanées
– ν, coefficient de Poisson :
ν={
0,2 béton non fissuré
0 béton fissuré
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.3 (4)
– Ec , module tangent à l’origine (σc = 0) :
Ec = 1,05Ecm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.4 (2)
– αT , coefficient de dilatation thermique :
αT = 10.10−6K−1 = 10−5°C−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.3 (4)
2
Caractéristiques matériaux 31 mars 2007
1.4 Déformations différées
1.4.1 Fluage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Annexe B
– RH , humidité relative en %
– to , âge d’application de la contrainte σc
– t =∞, âge où l’on calcule l’influence du fluage
– Ac , aire totale de béton,
– u, périmètre de la section de béton,
– ho , rayon moyen de la section :
ho = 2Ac
u
– to,T , temps corrigé, on peut prendre en compte l’influence de la température avant son char-gement, mais généralement il vaut to = 28 jours.
– α, paramètre :
α=
−1 ciment de classe S(low)
0 ciment de classe N(ormal)
1 ciment de classe R(apid)
– to , temps corrigé :
to = max
(to,T
(9
2+ t 1,2o,T
+1
)α; 0,5
)Rem : il semblerait que ce soit 0,5to et non 0,5...
– α1, α2, coefficients :
α1 =(
35
fcm
)0,7
α2 =(
35
fcm
)0,2
– ϕRH , coefficient de fluage tenant compte de l’humidité :
ϕRH =
1+ 1−RH/100
0,1 3√
ho
pour fck É 27 MPa
[1+ 1−RH/100
0,1 3√
ho
α1
]α2 pour fck > 27 MPa
– β( fck ), coefficient tenant compte de la résistance du béton :
β( fck ) = 16,8√fck +8
– β(to), coefficient tenant compte de l’âge du béton :
β(to) = 1
0,1+ t 0,20o
– ϕ(∞, to), coefficient de fluage :
ϕ(∞, to) =ϕRHβ( fck )β(to)
3
Caractéristiques matériaux 31 mars 2007
1.4.2 Retrait
– εcs(t ), retrait total au jour t :εcs(t ) = εcd (t )+εca(t )
– εcd (t ), retrait de dessiccation au jour t :
εcd (t ) =βd s(t , ts) kh εcd ,0
avec
βd s(t , ts) = t − ts
t − ts +0,04√
h3o
ho = 2Ac /u, ts fin de cure
kh = min(1;max(0,0000025h2o −0,00225ho +1,2;0,7))
εcd ,0 = 0.85
(220+110αd s1)e−αd s2
fcm
10
10−6βRH
βRH = 1,55
[1−
(RH
100
)0,3]
αd s1 =
3 ciment (S)
4 ciment (N)
6 ciment (R)
αd s2 =
0,13 ciment (S)
0,12 ciment (N)
0,11 ciment (R)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.4 (6), annexe B
– εcd (t ), retrait endogène au jour t :
εcd (t ) =βas(t )εca(∞)
avec
{βas(t ) = 1−e−0.2
pt
εca(∞) = 2.5( fck −10)10−6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.4 (6), annexe B
– εcs(∞), retrait total à l’infini :εcs(∞) = εcd (∞)+εca(∞)
– εcd (∞), retrait de dessiccation à l’infini :
εcd (∞) = khεcd ,0
– εcd (∞), retrait endogène à l’infini :
εcd (∞) = εca(∞)
4
Caractéristiques matériaux 31 mars 2007
2 Acier
fyk (MPa) limite d’élasticité
ft (MPa) résistance en traction
εuk (MPa) ductilité, déformation au picde contrainte
fyd (MPa) limite d’élasticité de calcul
fyd = fyk
γs
εud (%) limite de déformation
εud = 0,9εuk
Es (MPa) module d’élasticité de l’acier
Es = 200 000 MPa
ρs (kg/m3) masse volumique de l’acier
ρs = 7 850 kg/m3
s
e
f t = k f y k
f y d = f y k / g s
e u kf y d / E s e u d
k f y d
5
Béton armé aux EUROCODES
COURS DE BETON ARME
AUX EUROCODES
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Chapitre 2 : Durabilité
EC2 Durabilité Page 1
La durabilité est l'aptitude d'un matériau à résister aux différentes épreuves auquel il est soumisau cours de sa vie.
Un matériau entretenu peut avoir une durée de vie excédant la durée pour laquelle il a été conçu. À l'inverse, un matériaumal entretenu pourra présenter des désordres affectant sa disponibilité à satisfaire les exigences qu'on attend de luiavant la fin de la durée pour laquelle il été calculé.
Un matériau durable doit satisfaire aux exigences d'aptitude au service, de résistance et de stabilité pendant toute ladurée d'utilisation de projet, sans perte significative de fonctionnalité, ni maintenance imprévue excessive.
Il doit être tenu compte des conditions d'environnement pour définir les conditions à satisfaire pour la protection desaciers contre la corrosion, la compacité du béton en limitant la pénétration des chlorures et du gaz carbonique, lesenrobages et la maîtrise de la fissuration.
L'Eurocode NF EN 1990 définit des durées indicatives d'utilisation de projet (EC0-A1.1)(Tab.3.1)
I-LES CONDITIONS D'ENVIRONNEMENT (art. 4.2)
Elles sont définies dans la norme NF EN 206-1 et reprises dans FEC2 (Tab. 3.2)
Note :Un gel est considéré comme faible si l'on constate deux jours au plus à une température égale ouinférieure à - 5 °C. Un gel est considéré comme sévère pour au moins dix jours à une températureinférieure ou égale à -10 °C. Un gel modéré pour les autres cas.
EC2 Durabilité Page 2
EC2 Durabilité Page 3
Compléments de l'ANF
Note 1 :Si un béton non armé contient des pièces métalliques noyées et que l'environnement n'est pas classé très sec, laclasse ne peut être X0.
Note 2 :Les parties de bâtiment à l'abri de la pluie, clos ou non, sont en XC1 à l'exception des parties exposées à descondensations importantes à la fois par leur fréquence et leur durée qui sont alors à classer en XC3. C'est le casnotamment de certaines parties d'ouvrages industriels, de buanderies, de papeteries, de locaux de piscine...
Note 3 :Sont à classer en XC4 les parties aériennes des ouvrages d'art et les parties extérieures des bâtiments nonprotégées de la pluie, par exemple : façades, pignons et parties saillantes à l'extérieur, y compris retours de cesparties concernés par les cheminements et/ou rejaillissements de l'eau.
Note 4 :Ne sont à classer en XD3 que les parties d'ouvrages soumises à des projections fréquentes et contenant deschlorures dans le cas où il n'y a pas de revêtements d'étanchéité assurant la protection du béton. Ne sont donc àclasser en XD3 que les parties de parcs de stationnement de véhicules exposées directement aux sels contenantdes chlorures (par exemple, partie supérieures des dalles et rampes) et ne comportant pas de revêtementpouvant assurer la protection du béton pendant la durée de vie du projet.
EC2 Durabilité Page 4
Note 5 :Sont à classer en XS3 les éléments de structures en zone de marnage et/ou exposé aux embruns lorsqu'ils sontsitués à moins de 100 m de la côte, parfois plus, jusqu'à 500 m, suivant la topographie particulière. Sont àclasser en XS1 les éléments de structures situés au-delà de la zone de classement XS3 et situés à moins de 1 kmde la côte, parfois plus, jusqu'à 5 km, lorsqu'ils sont exposés à un air véhiculant du sel marin, suivant latopographie particulière.
Note 6 :En France, les classes d'exposition XF1, XF2, XF3 et XF4 (gel-dégel) sont indiquées sur la carte donnant leszones de gel, sauf spécification particulière notamment fondée sur l'état de saturation du béton (voir en E.2 del'Annexe de l’EC2-1-1 ou l'EN-206-1 en NA 4.1, figure NA.2 et note). Pour ces classes d'exposition XF, et sousréserve du respect des dispositions liées au béton (EN 206-1 et documents normatifs nationaux), l'enrobage seradéterminé par référence à une classe d'exposition XC ou XD.
*Pour les ponts corniches, longrines d'ancrage des dispositifs de retenue, solins des joints de dilatation.
Note 7 :Les exemples informatifs donnés pour les classes XA1, XA2, et XA3 sont à comprendre et préciser comme suit :
- éléments de structures en contact avec le sol ou un liquide agressif ;- ouvrages de génie civil soumis aux attaques chimiques, par exemple certains bâtiments de catégorie E),suivant les DPM (Documents particuliers du marché).
Note 8 :Les risques de lixiviation (entraînement de particules du matériau par l'eau) et d'attaque par condensation d'eaupure sont à traiter dans les classes d'exposition XA1, XA2 et XA3 suivant leur sévérité.
Carte des zones de gel en France
La carte des zones de gel en France a été établie suivant un classement : gel faible, gel modéré, gel sévère àpartir de données statistiques de stations météorologiques de Météo France couvrant le territoire national (voirnote en 1, ci-dessus).
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II- CLASSES INDICATIVES DE RÉSISTANCE POUR LA DURABILITÉ (Annexe E informative)
Si, pour des raisons de durabilité, on choisit une résistance de béton supérieure à la résistance nécessaire pour lescalculs de dimensionnement, on prendra comme valeur de fctm celle du béton qui a la plus grande résistance dans ladétermination du ferraillage minimal d'aciers longitudinaux et dans le contrôle de la largeur des fissures.
III-ENROBAGE (art. 4.4.1)
L'EC2 le définit comme la distance entre la surface de l'armature et la surface du béton la plus proche. On pourrait, pourêtre plus précis, donner la définition suivante : la distance entre l'axe de l'armature et la surface du béton la plus pro-che, diminuée de son diamètre nominal.Ce qui éviterait des contestations sur le diamètre réel de l'armature compte tenu des épaisseurs des nervureséventuelles.
L'enrobage nominal figurant sur les plans et devant être respecté sur le chantier est donné par :
EC2-1-1 de base :
fabrication sous assurance qualité avec mesures d'enrobage 5 mm ≤ ∆cdev ≤ 10 mm ; garantie d'utilisation d'un appareil de mesure très précis de l'enrobage avec rejet des éléments non conformes
0 ≤ ∆cdev ≤ 10 mm.
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L'ANF ajoute à ces deux cas 0 ≤ ∆cdev ≤ 10 mm:
existence d'un système d'assurance qualité couvrant toutes les phases de conception et d'exécution et prenant encompte ce qui suit, pour toutes les classes d'exposition :
en phase de conception et de dessin : dessins de détail à grande échelle des ferraillages sensibles (coupesur bandeau, lisse, parapet...) précisant enrobages et façonnages,
en phase de ferraillage : réception des aciers façonnés et contrôle de leurs dimensions,
en phase de mise en coffrage : élaboration des plans de calage des aciers (types, fréquence et fixation descales...) réception des ferraillages et contrôle des enrobages avant coulage,
en phase de mise en œuvre du béton : le cas échéant et en tant que de besoin, confection d'un élémenttémoin.
Cmin,b Enrobage minimal d'adhérence = diamètre de la barre ou diamètre équivalent du paquet (∅√n pour nbarres), à majorer de 5 mm si le plus gros granulat est > 32 mm.Pour des paquets de deux barres superposées, lorsque les « conditions d'adhérence sont bonnes », cesbarres ne sont pas considérées comme un paquet.
Cmin,dur Enrobage pour les conditions d'environnement (voir tableaux suivants).
∆Cdur,ߛ Marge de sécurité : 0 mm (AN).
∆Cdur,st Réduction pour acier inox : 0 mm en l'absence de spécifications supplémentaires. L'ANF précise quel'on peut donner la valeur de ∆Cdur,st dans les pièces du marché sous réserves de justification spéciales.
∆Cdur,add Réduction pour protection supplémentaire (revêtement par exemple) : 0 mm en l'absence despécifications supplémentaires. L'ANF précise que pour des revêtements adhérents faisant partieintégrante de la structure et justifiés pour la pénétration des agents agressifs pendant la durée d'utilisationde l'ouvrage, une valeur non nulle de ∆Cdur,add peut être retenue. L'enrobage minimal ne peut être inférieurà Cmin,b et à 10 mm.
Valeurs de Cmin,dur
En fonction de la classe d'exposition et de la classe structurale, on définit un enrobage Cmin,dur (AN).
L'EC2 a retenu six classes structurales S1 à S6. La classe structurale peut être modifiée en fonctiond'un certain nombre de paramètres (voir le tableau 3.4 de classification structurale recommandée).
Les classes structurales ne sont utilisées que pour définir l'enrobage des armatures.
La classe S4 recouvre les ouvrages de bâtiment et de génie civil courant (ANF de l'EC2-1-1). Lesponts sont en classe de durée d'utilisation de projet de 100 ans (voir les tableaux 3.6 et 3.6 bis).
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(1) Par souci de simplicité, la classe de résistance joue ici un rôle d'un indicateur de durabilité. On peut aussi seréférer au guide AFGC Conception des bétons pour une durée de vie donnée des ouvrages.
(2) S'applique pour des éléments pour lesquels une bonne compacité des enrobages peut être garantie :- face coffrée des éléments plans (assimilables à des dalles, éventuellement nervurées, coulé horizontalementsur des coffrages industriels) ;- éléments préfabriqués industriellement : éléments extradés ou filés, ou face coffrée des éléments coulés dansdes coffrages métalliques ;- sous face des dalles de pont, éventuellement nervurées, sous réserve de l'accessibilité du fond de coffrageaux dispositifs de vibration.
(3) Pour les classes XAi, cette correspondance est indicative sous réserve d'une justification de l'agent agressif.
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L'ANF attire l'attention sur les problèmes de fissuration auxquels risque de conduire un enrobage cmin supérieur à50 mm. Il est donc recommandé, en cas d'environnement agressif, d'utiliser des dispositions du tableau 3.5 oudes aciers inox ou la mise en place d'un système qualité. (Note de l'ANF 4.4 .1.2 (5)).
L'ANF précise également qu'un enrobage de dimension inférieure au plus gros granulat peut conduire à desdifficultés de bétonnage.
ExempleDalle intérieure de bâtiment avec fck = 25 MPa : classe structurale S4, classe d'exposition XC1, minoration de 1point (dalle), donc assimilable à une classe S3. L'enrobage Cmin,dur est de 20 mm.
Cas particuliers
Béton coulé en place au contact d'autres éléments en béton (préfabriqués ou coulés en place), l'enrobageminimal par rapport à l'interface peut être réduit à la valeur correspondant à celle requise par l'adhérence sousréserve que : fck ≥ 25MPa; l'exposition de la surface du béton à un environnement extérieur soit de courte durée (< 28 jours) ; l'interface ait été rendue rugueuse.
Pour des parements irréguliers (béton à granulats apparents par exemple), augmenter l'enrobage minimal de 5mm.
En cas d'abrasion du béton, augmenter l'enrobage (épaisseur sacrificielle) de ki mm.
Béton coulé en contact de surfaces irrégulières, l'enrobage minimal devient :
Correctifs à apporter en moins si :- entraîneur d'air supérieur à 4 % ;- armatures protégées ;- acier inox ;- béton coulé au contact d'un autre béton ;- maîtrise particulière de la qualité de production du béton ;- mise en œuvre soumise à un contrôle de la qualité incluant des mesures de l'enrobage des armatures.
Correctifs à apporter en plus si :- granulats apparents (+ 5 mm) ;- abrasion en site industriel (AN) : + 5 mm pour roues à bandage élastomère plein, + 10 mm pour roues
métalliques, + 15 mm pour chenilles.
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Armatures de béton précontraint
• Gaine circulaire : diamètre de la gaine, limité à 80 mm maximum ;• Gaine rectangulaire de côtés a x b avec a ≤ b : Max [a ; 0,5 b], limité à 80 mm maximum.
En résumé.Enrobages minimaux (mm) pour les bâtiments courants d'habitations, de bureaux, scolaires, hospitaliers,
sportifs, industriels... de classe structurale S4, tolérance ∆cdev de 10 mm incluse (AN).
1) À l'abri de la pluie, clos ou non, sans condensations importantes (faces extérieures de poteaux, poutres, voiles protégées pardes revêtements étanches, par exemple).(2) À l'abri de la pluie, clos ou non, avec condensations importantes en fréquence et durée (buanderies, papeteries, locaux depiscine...).(3) Y compris les retours des éléments concernés par les cheminements et rejaillissements d'eau.(4) Face supérieure de dalle de parking, rampe, non protégée par une étanchéité pendant la durée de vie de l'ouvrage sinonXC1, XC3 ou XC4/XF1.(5) Pour la face de la fondation sur béton de propreté, prévoir cnom = 40 mm, et 75 mm pour coulage contre le sol (EC2-1-1,art. 4.4.1.3 (4)). L'ANF a réduit ces valeurs à respectivement : cnom = 30 et 65 mm.(6) Cette distance peut être portée jusqu'à 5 km suivant topographie particulière exposée à un air véhiculant des sels marins.(7) Cette distance peut être portée jusqu'à 500 m suivant topographie particulière.
(8) Minorations possibles de ∆cdev de 0 à 10 mm, si assurance qualité, mesures des enrobages, si fck > aux valeurs du tableauci-dessus (voir aussi tableaux ci-dessous).
EN 1992-1-1 : 2004 (F)
56
4.4.1.2 Enrobage minimal, cmin (1)P Un enrobage minimal cmin doit être assuré afin de garantir :
- la bonne transmission des forces d'adhérence (voir également sections 7 et 8) - la protection de l'acier contre la corrosion (durabilité) - une résistance au feu convenable (voir EN 1992-1-2).
(2)P La valeur à utiliser est la plus grande valeur de cmin satisfaisant aux exigences à la fois en ce qui concerne l'adhérence et les conditions d'environnement.
cmin = max {cmin,b; cmin,dur + ∆cdur,γ - ∆cdur,st - ∆cdur,add; 10 mm} (4.2)
avec : cmin,b enrobage minimal vis-à-vis des exigences d'adhérence, voir 4.4.1.2 (3) cmin,dur enrobage minimal vis-à-vis des conditions d'environnement, voir 4.4.1.2 (5) ∆cdur,γ marge de sécurité, voir 4.4.1.2(6) ∆cdur,st réduction de l'enrobage minimal dans le cas d'acier inoxydable, voir 4.4.1.2
(7) ∆cdur,add réduction de l'enrobage minimal dans le cas de protection supplémentaire, voir
4.4.1.2 (8).
(3) Pour assurer à la fois une transmission sans risque des forces d'adhérence et un béton suffisamment compact, il convient que l'enrobage minimal ne soit pas inférieur à cmin,b donné dans le Tableau 4.2.
Tableau 4.2 : Enrobage minimal cmin,b requis vis-à-vis de l'adhérence
Exigence vis-à-vis de l'adhérence Disposition des armatures Enrobage minimal cmin,b*
Armature individuelle Diamètre de la barre Paquet Diamètre équivalent (φ n)(voir 8.9.1)
*: Si la dimension nominale du plus gros granulat est supérieure à 32 mm, il convient de majorer cmin,b de 5 mm
Note : En ce qui concerne l'enrobage des armatures de précontrainte pré-tendues et l'enrobage des gaines de précontrainte de section circulaire ou plates, pour armatures adhérentes, les valeurs de cmin,b à utiliser dans un pays donné peuvent être fournies par son Annexe Nationale. Les valeurs recommandées pour les gaines de précontrainte par post-tension sont les suivantes :
gaines de section circulaire : diamètre gaines plates : la plus petite dimension ou la moitié de la plus grande dimension, si celle-ci est supérieure
Il n'y a pas d'exigence supérieure à 80 mm pour les gaines de section circulaires ou les gaines plates. Les valeurs recommandées pour les armatures de précontrainte pré-tendues sont les suivantes :
1,5 x diamètre du toron ou du fil lisse 2,5 x diamètre du fil cranté.
(4) Il convient de retenir un enrobage minimal de l'ancrage des armatures de précontrainte conforme à l'Agrément Technique Européen concerné.
EN 1992-1-1 : 2004 (F)
57
(5) L'enrobage minimal des armatures de béton armé et des armatures de précontrainte dans un béton de masse volumique normale, qui tient compte des classes d'exposition et des classes structurales, est donné par cmin,dur.
Note : Les classes structurales et les valeurs de cmin,dur à utiliser dans un pays donné peuvent être fournies par son Annexe Nationale. La Classe Structurale recommandée (durée d'utilisation de projet de 50 ans) est la classe S4, pour les résistances indicatives du béton données à l'Annexe E ; le Tableau 4.3N donne les modifications de Classe Structurale recommandées. La Classe Structurale minimale recommandée est la classe S1.
Les valeurs recommandées de cmin,dur sont données dans le Tableau 4.4N (armatures de béton armé) et dans le Tableau 4.5N (armatures de précontrainte).
Tableau 4.3N : Classification structurale recommandée
Classe structurale Classe d'exposition selon Tableau 4.1
Critère X0 XC1 XC2 / XC3 XC4 XD1 XD2 / XS1 XD3 / XS2 / XS3
Durée d'utilisation de projet de 100 ans
majoration de 2
classes
majoration de 2
classes
majoration de 2
classes
majoration de 2
classes
majoration de 2
classes
majoration de 2
classes
majoration de 2
classes Classe de résistance 1) 2)
≥ C30/37 minoration
de 1 classe
≥ C30/37 minoration
de 1 classe
≥ C35/45 minoration
de 1 classe
≥ C40/50 minoration
de 1 classe
≥ C40/50 minoration
de 1 classe
≥ C40/50 minoration
de 1 classe
≥ C45/55 minoration
de 1 classe
Elément assimilable à une dalle (position des armatures non affectée par le processus de construction)
minoration de 1
classe
minoration de 1
classe
minoration de 1
classe
minoration de 1
classe
minoration de 1
classe
minoration de 1
classe
minoration de 1
classe
Maîtrise particulière de la qualité de production du béton
minoration de 1
classe
minoration de 1
classe
minoration de 1
classe
minoration de 1
classe
minoration de 1
classe
minoration de 1
classe
minoration de 1
classe
Notes relatives au Tableau 4.3N 1. On considère que la classe de résistance et le rapport e/c sont liés. Il est possible de considérer une composition particulière (type de ciment, rapport e/c, fines) afin d'obtenir une faible perméabilité.
2. La limite peut être réduite d'une classe de résistance si l'air entraîné est supérieur à 4%. Tableau 4.4N : Valeurs de l'enrobage minimal cmin,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des
armatures de béton armé conformes à l'EN 10080
Exigence environnementale pour cmin,dur (mm) Classe d'exposition selon Tableau 4.1 Classe
Structurale X0 XC1 XC2 / XC3 XC4 XD1 / XS1 XD2 / XS2 XD3 / XS3 S1 10 10 10 15 20 25 30 S2 10 10 15 20 25 30 35 S3 10 10 20 25 30 35 40 S4 10 15 25 30 35 40 45 S5 15 20 30 35 40 45 50 S6 20 25 35 40 45 50 55
EN 1992-1-1 : 2004 (F)
58
Tableau 4.5N : Valeurs de l'enrobage minimal cmin,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des armatures de précontrainte
Exigence environnementale pour cmin,dur (mm) Classe d'exposition selon Tableau 4.1 Classe
Structurale X0 XC1 XC2 / XC3 XC4 XD1 / XS1 XD2 / XS2 XD3 / XS3 S1 10 15 20 25 30 35 40 S2 10 15 25 30 35 40 45 S3 10 20 30 35 40 45 50 S4 10 25 35 40 45 50 55 S5 15 30 40 45 50 55 60 S6 20 35 45 50 55 60 65
(6) Il convient de majorer l'enrobage d'une marge de sécurité ∆cdur,γ .
Note : La valeur de ∆cdur,γ à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale. La valeur recommandée est ∆cdur,γ = 0 mm.
(7) L'enrobage minimal peut être réduit de ∆cdur,st lorsqu'on utilise de l'acier inoxydable ou que l'on prend d'autres dispositions particulières. Dans ce cas, il convient d'en considérer les effets pour l'ensemble des propriétés des matériaux concernées, y compris l'adhérence.
Note : La valeur de ∆cdur,st à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale. La valeur recommandée, en l'absence de spécifications supplémentaires, est ∆cdur,st = 0 mm.
(8) Dans le cas d'un béton bénéficiant d'une protection supplémentaire (revêtement, par exemple), l'enrobage minimal peut être réduit de ∆cdur,add.
Note : La valeur de ∆cdur,add à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale. La valeur recommandée, en l'absence de spécifications supplémentaires, est ∆cdur,add = 0 mm.
(9) Dans le cas d'un béton coulé en place au contact d'autres éléments en béton (préfabriqués ou coulés en place), l'enrobage minimal par rapport à l'interface peut être réduit à la valeur correspondant à celle requise pour l'adhérence (voir (3) ci-dessus), sous réserve que :
- le béton appartienne au moins à la classe de résistance C25/30, - l'exposition de la surface du béton à un environnement extérieur soit de courte durée (< 28
jours), - l'interface ait été rendue rugueuse.
(10) Il convient que l'enrobage minimal des armatures de précontrainte non-adhérentes soit conforme à l'Agrément Technique Européen. (11) Dans le cas de parements irréguliers (béton à granulats apparents, par exemple), il convient d'augmenter l'enrobage minimal d'au moins 5 mm. (12) Il convient de porter une attention particulière à la composition du béton (voir l'EN 206-1 Section 6) lorsqu'on prévoit que celui-ci sera exposé au gel-dégel ou à une attaque chimique (classes XF et XA). Dans des situations de ce type, un enrobage conforme à 4.4 sera normalement suffisant. (13) En ce qui concerne l'abrasion du béton, il convient de porter une attention particulière aux granulats, conformément à l'EN 206-1. Une option consiste à tenir compte de l'abrasion du béton en
EC2 Durabilité 31 mars 2007
1 Définition de cnom
L’enrobage est noté cnom, il est défini commela distance entre la paroi la plus proche et lepremier acier (peau, transversal, longitudinal).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1.1-2(P)
cnom
c n o m
2 Calcul de cnom
1. cmin,b, enrobage minimal d’adhérence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1.2-(3)
cmin,b =
∅ une barre∅n = min
(∅√nb ; 55 mm
)nb barres de diamètre ∅
∅n = min
(√∑i
∅2i ; 55 mm
)n barres de diamètres ∅i
+
{0 dg < 32 mm5 mm dg > 32 mm
avec dans un paquet le rapport des diamètres ∅i/∅j < 1, 7 dans le paquet considéré, dg
diamètre du plus gros granulat, nn, n < 3 en traction, flexion. . . . . . . . . . . . . . 8.9.1 (1)(2)
2. cmin,dur, enrobage minimal de durabilité : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1.2-(5)
– X ?, détermination de la classe X ? sur l’ensemble de la structure . Tab 4.1 et NF
– fck, détermination d’une résistance minimale du béton . . . . . . . . . . . . . . . . . . .AN6 F
– définition d’un projet de base : de classe structurale S4 et de durée de référencetref = 50 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1.2-(5)
– pondération des valeurs de cmin,dur en fonction des valeurs de fck défini et tref définidans le projet (cumulatif) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tab. 4.3NF
3. ∆cdur,γ = 0 mm, enrobage de marge de sécurité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1.2 (6)
4. ∆cdur,st = 0 mm, acier inoxydable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1.2 (7)
5. ∆cdur,add = 0 mm, protection supplémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1.2 (8)
6. cmin, enrobage minimal, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1.2
cmin = max
cmin,b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .cmin,dur + ∆cdur,γ −∆cdur,st + ∆cdur,add
10 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. ∆cdev = 10 mm, tolérances d’exécution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1.3 (1)P
8. cnom, enrobage nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1.2
cnom = cmin + ∆cdev
En pré-dimensionnement, on néglige le terme d’adhérence cmin,b
1
Béton armé aux EUROCODES
COURS DE BETON ARME
AUX EUROCODES
---------
Chapitre 3 : Adhérence
EC2 Adhérence Page 1
Adhérence - Ancrages - Recouvrements
Le matériau béton armé ne peut exister que parce que l'acier et le béton sont adhérents, c'est-à-dire que leurs
déformations sont les mêmes sous les sollicitations qui leur sont appliquées. L'acier ne glisse pas.
Les ancrages peuvent être rectilignes ou bien avec des crochets ou coudes à 90°, 135°, 150° ou 180°.
I-MANDRINS DE CINTRAGE (art. 8.3)
Les rayons des mandrins de cintrage doivent être tels que le pliage n'entraîne pas d'endommagement des armatures.
EC2 Adhérence Page 2
Il n'est pas nécessaire de justifier les diamètres du mandrin de cintrage vis-à-vis de la rupture du béton si les
conditions ci-après sont remplies :
le diamètre du mandrin de cintrage est ≥ aux valeurs du tableau 4.2 ;
l'ancrage nécessaire de la barre ne dépasse pas 5 au-delà de l'extrémité de la partie courbe ;
la barre n'est pas disposée près de la surface du béton, et il existe une barre transversale de diamètre ≥ à
l'intérieur de la partie courbe.
Dans le cas contraire, le mandrin de cintrage doit être augmenté pour satisfaire l’inéquation (art. 8.1) :
2
11
bcd
btm
af
F
btF est l'effort de traction ELU dans une barre ou un groupe de barres en contact à l'origine de la partie courbe
/ 2b noma c pour une barre (ou un groupe de barres) proche du parement ; ou bien / 2ba (demi entre
axes de deux barres)
II convient de limiter cdf à 55 / c (MPa). Cette vérification n'est pas exigée pour les cadres, étriers et
épingles.
EC2 Adhérence Page 3
II- ESPACEMENT DES ARMATURES (art. 8.2)
L'espacement minimal entre armatures doit permettre une bonne mise en place du béton (compactage et vibration) et
garantir un bon développement de l'adhérence acier-béton.
EC2 Adhérence Page 4
La distance entre nus des aciers, horizontalement et verticalement, est au minimum de : Max [k1. ; dg + k2 ; 20 mm] ;
avec k1= 1,0 (AN) et k2 = 5 mm (AN) ;
dg = dimension du plus gros granulat.
III-CONTRAINTE ULTIME D'ADHÉRENCE (art. 8.4.2)
La contrainte ultime d'adhérence est donnée par : 1 22,25. . .bd ctdf f avec,0,05
ct= ctkctd
c
ff
050 ,,ctkf est limité à 3,1 MPa ;
1ct (AN); c = 1,5
11 pour des « bonnes » conditions d'adhérence
701 , pour des conditions d'adhérence « médiocres » ainsi que pour les bétons coffrés avec des
coffrages glissants ;
12 pour ≤ 3 2;
1001322 /mm pour > 3 2 (soit 0,92 pour 40 et 0,76 pour 56).
Ainsi, les dalles (ou poutres) de moins de 25 cm de hauteur et toutes les barres relevées à plus de45° bénéficient de la condition « bonne adhérence ».
On notera que les barres verticales (poteaux, pieux, voiles) offrent de bonnes conditions
d'adhérence.
A
250
A
9045 a) c) mmh 250
A
b) mmh 250
h
A
d) mmh 600
300
a) et b) conditions d'adhérence "bonnes" pour toutes les barres
c) et d) zone non hachurée – conditions d'adhérence "bonnes" zone hachurée – conditions d'adhérence"médiocres"
EC2 Adhérence Page 5
IV-LONGUEUR D'ANCRAGE DES BARRES LONGITUDINALES (art. 8.4.3 et 8.6)
Un ancrage peut être réalisé au moyen de barres rectilignes (ancrages droits) ou de barres courbées avec des angles de90°, 135°, 150° ou 180° (ancrages courbes). Dans ces derniers cas, la longueur droite au-delà de la courbe doit auminimum être de 5. .
Fig.4.4
bdl
rqd,bl
eq,bl
15090
5
SF
a) Longueur d'ancrage de calcul bdl mesurée le long de l'axe
quelle que soit la forme du tracé
b) Longueur d'ancrage équivalente pour un coude
normal
5
eq,bl
150
SF SF
eq,bl
SF
c) Longueur d'ancrage équivalente pour un crochet normal d) Longueur d'ancrage équivalente pour une boucle normale
eq,bl
5
60,t SF
e) Longueur d'ancrage équivalente avec barre transversale soudée
On définit :
la longueur d'ancrage de référence : , 4sd
b rqdbd
Lf
la longueur d'ancrage minimale égale à :
,min ,0,3 ; 10 ; 100b b rqdL Max L mm pour barres tendues,
,min ,0,6 ; 10 ; 100b b rqdL Max L mm pour barres comprimées ;
la longueur d'ancrage de calcul : 51 2 3 4 , ,min. . . . .bd b rqd bL L L
Le produit 52 3. . . ne peut être inférieur à 0,7.
Dans les cas courants et pour éviter que les frais d'étude de calcul de la longueur d'ancrage coûte plus cher quel'économie d'acier réalisée, on pourra retenir la valeur 1,0 pour tous les coefficients .
EC2 Adhérence Page 6
Cependant, pour des dalles, pour des gros diamètres ou pour des cas répétitifs, on pourra prendre les valeurs suivantesdes coefficients « ».
où : 0,25 poutre une poutre et pour une dallest st
s s
A A
A A
stA aire de la section des armatures transversales le long de bdl (longueur d'ancrage de calcul)
sA aire de la section d'une barre ancrée individuelle de diamètre maximal
K valeurs apparaissant sur la Figure 4.7
p pression transversale à l'état-limite ultime le long de bdl en MPa
Figure 4.5 donnant le produit 1 2. en fonction du rapport /dC
EC2 Adhérence Page 7
Figure 4.6 donnant la valeur de Cd
Figure 4.7 donnant la valeur de K pour la détermination de 3
Exemples de cas courants (tableau 4.5)
EC2 Adhérence Page 8
1 ; / 2dC Min C a ;
1C = enrobage latéral des armatures de la poutre dans le poteau ;
a = espace entre nus des barres. Les barres le long des bords sont supposées être à une distance du bord ≥
/ 2a ;
G = charges permanentes non majorées apportées par le voile ou le poteau au-dessus ;
VEd = effort tranchant à l'appui.
Méthode pratique pour les cas courants
On calcule , 4sd
b rqdbd
Lf
On détermine les valeurs 1 2et d'après le tableau 4.5.
Si 1 2 ,. .bd b rqdL L est jugé trop important et si 2 > 0,7, on peut :
utiliser 5 = 1 - 0,04.p (sauf sans le cas de poutre suspendue avec retombée insuffisante) avec
.EdG V
pt e
(Fig. 1 du tableau 4.5) ;
utiliser des armatures transversales non soudées (les barres transversales soudées ne sont pas
d'usage courant en France) de section stA avec 5 1 .k (Tab. 4.5 et Fig. 4.7) ;
EC2 Adhérence Page 9
vérifier que 52 3 0,7. . ;
Si 1 2 ,. .bd b rqdL L est encore jugé trop important, on pourra disposer d'une barre transversale
soudée de diamètre ≥ 0,6, située à plus de 5 du point de départ de l'ancrage (Fig. 4.4e).
Enfin, on vérifiera que Lbd obtenu est supérieur à ,0,3 ; 10 ; 100b rqdMax L mm
V- ANCRAGES DES ARMATURES D'EFFORT TRANCHANT ET AUTRES ARMATURESTRANSVERSALES
VI- ANCRAGES PAR BARRE SOUDEE TRANSVARSALE (art. 8.6)
Dans certains cas, il peut être intéressant d'ancrer des barres par une (ou deux) barre(s) transversale(s) soudée(s) de
longueur Lt (nez de balcon, appuis de dalles courts...).
1- Pour des barres transversales de diamètre compris entre 14 et 32 mm (Fig.4.10)
On définit :
la force de traction dans la barre à ancrer de section : .s s ydAs F A f ;
la résistance de la soudure : 0,5. .swd ydF A f (AN) (ce qui nécessite deux barres transversales pour un
ancrage complet) ;
la résistance à l'entraînement de la barre transversale : . .td t tdbtdF L (AN);
EC2 Adhérence Page 10
EC2 Adhérence Page 11
2-Pour des barres transversales de 12 mm et moins
La résistance de l'ancrage dépend principalement de la résistance de la soudure :
16. . . tsbtd wd cd
L
F F A f
t = diamètre de la barre transversale et L = diamètre de la barre à ancrer.
Si l'on utilise deux barres soudées espacées d'au moins 0t, la force d'ancrage est multipliée par 1,41.
VII- RECOUVREMENT (art. 8.7)
1-Longueur de recouvrement L0
Désignons par 1 la proportion d'acier en recouvrement dans une section donnée. On distingue des barres au contact ou
proches et des barres éloignées (Fig. 4.12).
Pour des recouvrements de barres voisines, on intercalera un décalage de 00,3.L (Fig.4.13).
Dans un même lit, on peut procéder à un recouvrement 1 = 100 % de la section des armatures, sur plusieurs lits de
seulement 50 % :
0,min 6 ,50 1 2 3 4 6 ,. . . . . 0,3. . ; 15. ; 200. b rqdb rqd L Max L mmL L
Les coefficients 51 à sont lus dans le tableau (longueur d’ancrage des barres longitudinales).
Pour 3 , on prendra yd
sds,minst
fAA
avec As = section d'une barre en recouvrement.
Le coefficient 6 vaut : 16 1; 1,5
25
ou bien peut être lu dans le tableau 4.5
EC2 Adhérence Page 12
2- Armatures transversales dans les zones de recouvrement de barres tendues
Si < 20 mm ou si la proportion de barres en recouvrement dans une même section 1 ≤ 25 % : pas de barres
transversales à prévoir en plus de celles existant par ailleurs (flexion transversale).
Si ≥ 20 mm, disposer sur la longueur de recouvrement L0 (Fig. 4.15) une section totale d'armatures
transversale stA (à répartir moitié-moitié dans les tiers extérieurs de L0) au moins égale à la section As de la
barre (ou d'une seule s'il y en a plusieurs Fig. 4.16) : st sA A .
EC2 Adhérence Page 13
Si 1 ≥ 50 % et si la distance « a » entre recouvrements adjacents est ≤ 10, les armatures transversales seront
des cadres, étriers ou épingles à répartir moitié-moitié dans les tiers extérieurs de L0 (Fig. 4.17).
3- Armatures transversales dans les zones de recouvrement de barres comprimées
(Mêmes dispositions que pour les barres tendues avec une barre supplémentaire située à l'extérieur de la longueur L0 età moins de 4 (Fig. 4.18).
Les exigences des figures ci-dessus sont fort peu réalistes et on peut se demander quelles sont les expériences dechantier que peuvent avoir leurs auteurs.
EC2 Adhérence Page 14
4-Recouvrement des treillis soudés en armatures à haute adhérence
• Décaler de 1,3 L0 les jonctions des différents panneaux.• Aucune armature transversale n'est requise dans les zones de recouvrement.• Le diamètre transversal est au moins égal à 60% du diamètre principal.• La longueur d'ancrage n'est valide que si elle va au-delà de 5 du premier acier transversal (Fig. 4.19).
VIII- PAQUETS DE BARRES (art. 8.9)
Un paquet de nb barres dont le rapport des diamètres ne dépasse pas 1,7 est à considérer comme une barre fictive
équivalente de même section2. / 4 et de même centre de gravité que le paquet et de diamètre : .n bn
avec nb ≤ 4 pour des barres comprimées ou à l'intérieur d'une jonction de recouvrement et nb ≤ 3 dans tous les autrescas.
Pour deux barres disposées l'une au-dessus de l'autre et lorsque les conditions d'adhérence sont bonnes, il n'est pasnécessaire de traiter ces barres comme un paquet.
Ceci ne peut donc pas s'appliquer aux aciers supérieurs des poutres et dalles de hauteur supérieure à 0,25 m.
104
On admet que la transmission des efforts d’une barre à l’autre s’effectue par compression des « bielles » de béton découpées par des fissures inclinées à 45° sur la direction des barres.
Cette transmission n’est donc effective que sur la longueur :
7.1.2 Longueur de recouvrement l0
Chaque barre doit être totalement ancrée d’où42 :
(8.10)
avec :
, , , et comme pour les ancrages droits (voir § 3.8) en prenant ici :
où = aire de la section d’une des barres comportant un recouvrement (voir § 7.1.3 pour ou remarque du § 3.8 si les coutures des recouvrements ne sont pas imposées),
où = pourcentage de barres avec recouvrements dont l’axe se situe dans la plage d’amplitude par rapport à l’axe du recouvrement considéré :
l l cbd = −0
42. EC 2 – 8.7.3 (1)
l
lb rqd
0
1 2 3 4 5 6
1 4 60 7= Max
α α α α α α
α α α
. . . . . .
, . . . .
,
ll
l
b rqd,
, min0
⎧
⎨⎪
⎩⎪
α1 α2 α3 α4 α5
A Afst s
sd
yd, min∑ =
σ
AsAst∑
αρ
61
251 1 5= ∈[ ]; ,
ρ1± , .0 65 0l
l0
0,65.l0 0,65.l0
1,30.l0
barre I
barre IV
barre IIbarre III
Béton armé aux EUROCODES
COURS DE BETON ARME
AUX EUROCODES
---------
Chapitre 4 : Les actions
EC2 Actions Page 1
Actions
Les actions agissant sur une structure sont dues :
aux charges permanentes, principalement le poids propre des éléments de la structure et deséquipements (maçonnerie, corps d'état secondaires, etc.), poids ou poussées des terres...
aux charges d'exploitation (ou charges de services) ; aux charges climatiques (vent, neige, variations de température...) ; au séisme (voir EC8 = EN NF 1998).
I- ÉTATS LIMITES ULTIMES ELU (ECO)
On distingue :
EQU : perte d'équilibre statique de la structure ou d'une partie de celle-ci (bas-feulement, flambement,déversement...) ;
STR : défaillance interne ou déformation excessive de la structure (résistance de matériaux atteinte) ;
GEO : défaillance ou déformation excessive du sol ;
FAT : défaillance due à la fatigue.
Pour la prise en compte des eaux souterraines sur les structures, les documents particuliers du marché
doivent préciser, s'il y a lieu, les trois niveaux d'eau :
le niveau EB des basses eaux ;
le niveau EH des hautes eaux ;
le niveau EE des eaux exceptionnelles (prévoir un dispositif d’écoulement empêchant l’eau d’exercer
une action plus haut).
Niveau de l’eau →en dessous du
niveau EBentre EB et
EHentre EB et EE
Types de charges permanentes variablesaction accidentelle
physiquement bornée
Action [EB] [EH – EB] [EE - EB]
EC2 Actions Page 2
Valeurs de calcul d’actions (EQU)
Situations deprojet
durables ettransitoires
Actions permanentes Actionvariable
dominante
Actions variablesd'accompagnement
défavorables favorables Principale Autres
Éq.6.10 del’EC0
NF EN 1990
Gj,sup
Gkj,sup
Gj,inf
Gkj,inf
Q,1
Qk,1
le cas Q,i
o,i
Qk,i
1,10 Gkj,sup
0,9 Gkj,inf
1,5 Qk,1
échéant 1,5 o,i
Qk,i
Pour EQU, si l’eau souterraine est l’action dominante : la vérification de l’équilibre statiquedoit être faite avec le niveau des eaux exceptionnelles (EE) avec les coefficients suivants :
Gj,sup
Gkj,sup
Gj,inf
Gkj,inf
Q,1
Qk,1
1,10 Gkj,sup
0,95 Gkj,inf
1,0 Qk,1
(EE)
Valeurs de calcul d’actions (STR et GEO).
En France, on utilisera l’ensemble B
Situationsde projet
durables ettransitoires
Actions permanentes Actionvariable
dominante
Actions variablesd'accompagnement
défavorables favorables Principale Autres
Éq.6.10 Gj,sup
Gkj,sup
Gj,inf
Gkj,inf
Q,1
Qk,1
le cas Q,i
o,i
Qk,i
Ensemble B 1,35 Gkj,sup
1,0 Gkj,inf
1,5 Qk,1
(ou 0 sidéfavorable)
échéant1,5
o,iQ
k,i
(ou 0 sidéfavorable)
Éq.6.10 Gj,sup
Gkj,sup
Gj,inf
Gkj,inf
Q,1
Qk,1
le cas Q,i
o,i
Qk,i
Ensemble C 1,0 Gkj,sup
1,0 Gkj,inf
1,3 Qk,1
échéant 1,3 o,i
Qk,i
EC2 Actions Page 3
Note 1. Les valeurs de toutes les actions permanentes d’une même origine sont multipliées par le même
coefficient, soit Gj,sup
, soit Gj,inf
Note 2. Lorsqu’une action variable est réellement bornée par un dispositif physique, le coefficient 1,5
est remplacé par 1,35 et le coefficient 1,30 est remplacé par 1,20.
Note 3. Lorsque l’action dominante est due à l’eau souterraine, on prend en STR et GEO :
. si elle est défavorable : 1,35 [EB] comme action permanente et
Min{ 1,5[EH-EB] ; 1,35 [EE-EB]} comme action variable
. si elle favorable : [EB] comme action permanente et 0 comme action variable
Valeurs de calcul d’actions accidentelles et sismiques
Situationsde projet
Actions permanentes Actionsismique ouaccidentelledominante
Actions variablesd'accompagnement
défavorables favorables PrincipaleAutre
AccidentelleÉq.6.11 a/b de
l’EC0
Gkj,sup
Gkj,inf
Ad (*)
2,i
Qk,i
SismiqueÉq.6.11 a/b de
l’EC0
Gkj,sup
Gkj,inf
iA
Ekou A
Ed
2,iQ
k,i
(*) L’action variable principale est prise avec sa valeur fréquente 11
Qk1
lorsque l’action accidentelle est
un incendie, avec sa valeur quasi-permanente 21
Qk1
dans les autres cas.
Note 4. Lorsque l’action dominante est due à l’eau souterraine, en combinaison accidentelle ou sismique,
on prend le niveau [EE].
En résumé, en bâtiment, pour les cas avec une seule action variable, on aura à vérifier :
1,35. 1,5.
1,00. 1,5.
G Q
G Q
EC2 Actions Page 4
Nouveau zonage sismique
EC2 Actions Page 5
II- ÉTATS LIMITES DE SERVICE ELS (ECO)
On distingue :
la combinaison caractéristique normalement utilisée pour des états limites irréversibles ;
les combinaisons fréquentes normalement utilisée pour des états limites réversibles (principalementen béton précontraint) ;
les combinaisons quasi permanentes normalement utilisée pour des effets à long terme et l'aspect
de la structure.
CombinaisonActions permanentes G
dActions variables Q
d
Défavorables Favorables Dominante Autres
Caractéristique Gkj,sup
Gkj,inf
Qk,1
o,i
Qk,i
Fréquente Gkj,sup
Gkj,inf
1,1
Qk,1
2,i
Qk,i
Quasi-permanente Gkj,sup
Gkj,inf
2,1
Qk,1
2,i
Qk,i
En résumé, en bâtiment, pour les cas d’une seule action variable, on aura à vérifier : G + Q
III- COEFFICIENTS (ECO, Tab. A.1.1)
Charges d’exploitation des bâtiments (voir NF EN 1991-1-1) o
1
2
Catégorie A : habitation, zones résidentiellesCatégorie B : bureauxCatégorie C : lieux de réunion
0,70,70,7
0,50,50,7
0,30,30,6
Catégorie D : commercesCatégorie E : stockageCatégorie F : zone de trafic, véhicule de poids ≤ 30 kNCatégorie G : zone de trafic, véhicules entre de 30 à 160 kNCatégorie H : toits
0,71,00,70,70
0,70,90,70,50
0,60,80,60,30
Charges de neige sur les bâtiments (voir NF EN 1991-1-3)- pour les lieux à une altitude > 1000 m + St-Pierre & Miquelon- pour les lieux à une altitude ≤ 1000 m
0,70,5
0,50,2
0,20
Charges dues au vent sur les bâtiments (voir NF EN 1991-1-4) 0 ,6 0,2 0
Actions de la température (hors incendie) dans les bâtiments (voir NFEN 1991-1.5) 0,6 0,5 0
EC2 Actions Page 6
IV- CHARGES DE CALCUL
Dans les combinaisons d’actions, le poids propre de tous les éléments structuraux et non-structuraux sont àconsidérer comme une action unique, donc même coefficient
G
Quand les charges d’exploitation agissent en même temps que d’autres actions variables (neige, vent, …),elles sont à considérer comme une action unique. [EC1-§3.2 et §3.3.1]
Charges permanentes
• Lorsque le poids propre est susceptible de varier dans le temps, on prendra en compte les valeurscaractéristiques supérieure et inférieure. [EC1-§2.1]
• Les cloisons mobiles sont à considérer comme des charges d’exploitation. [EC1-§2.1]• Le poids des terres sur les toits et terrasses est à considérer comme une action permanente. [EC1-
§2.1]
Charges d’exploitation
• Pour un plancher, on doit considérer séparément, sauf indication contraire, l’action d’une chargeconcentrée et celle des charges réparties. [EC1-§6.2.1]
• Sur les toitures, on ne prend pas en compte simultanément les charges d’exploitation et les chargesdues au vent et à la neige. [EC1-§3.3.2]
Charges d’exploitation de bâtiments [EC1] (ANF)
Nature deslocaux
Catégorie de la surface chargéeq
k
(kN/m2
)
Qk
(kN)(3)
Habitation,résidentiel
A
Planchers
Escaliers(1)
Balcons
1,52,53,5
222
Bureaux B2,5 4
Lieux de
réunions(2) C
C1 Espaces avec tables (écoles, cafés, salles de réception, …)C2 Espaces avec sièges fixes (théâtres, églises, salles d’attente, …)C3 Espaces sans obstacles à la circulation des personnes (salles de
musée, hôtels, hôpitaux, gares, accès des bâtiments publics,…)
C4 Espaces avec activités physiques (dancing, scènes, salles degym)C5 Espaces avec foules importantes (salles de concert, de sport,quais de gares, …)
2,544
5
5
344
7
4,5
Commerces DD1 Commerces de détail courantsD2 Grands magasins
55
57
(1) Sauf pour les marches indépendantes qui relèvent d’une approche dynamique
(2) À l’exception des surfaces des catégories A, B et D.
(3) La charge concentrée peut être prise sur un carré de 50 x 50 mm
EC2 Actions Page 7
Pour le calcul des bâtiments lorsque la catégorie n’est pas précisée, on appliquera la catégorie D1(commerces de détail courant).
Cloisons mobiles qk
(par m2
de plancher)
Cloisons mobiles de poids propre ≤ 1 kN/m linéaire de mur 0,5 kN/m2
Cloisons mobiles de poids propre ≤ 2 kN/m linéaire de mur 0,8 kN/m2
Cloisons mobiles de poids propre ≤ 3 kN/m linéaire de mur 1,2 kN/m2
Coefficients de réduction horizontale A
pour planchers et toitures
Planchers (A, B, C3, D1 et F et terrasses (catégorie I) pour une aire chargée A.
A
(m2)
≤15,2
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
A
1 0,945 0,910 0,887 0,870 0,858 0,848 0,840 0,834 0,828 0,824 0,820
Coefficients de réduction verticale n
pour poteaux et murs
• S’applique à la totalité de la charge des niveaux situés au-dessus.• n est le nombre d’étages (> 2) au-dessus des éléments structuraux chargés et de la même
catégorie.
EC1 de base § 6.3.1.2(11) ANF
Surfaces de catégorie A
n=[2n + (n-2)
o]/n
n
= 0,5 + 1,36/n
Surfaces de catégorie B et F n
= 0,7 + 0,8/n
EC2 Actions Page 8
Coefficients de réduction pour poteaux et murs (pour n niveaux au-dessus et de même
catégorie) (ANF)
Cat. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A n
= 1 1 0,953 0,84 0,772 0,727 0,694 0,67 0,651 0,636 0,624 0,613 0,605 0,679 0,591
B
& F
n= 1 1 0,967 0,9 0,86 0,833 0,814 0,8 0,789 0,78 0,773 0,767 0,762 0,757 0,753
Apar
plancher1 1 0,86 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
B
& F
par
plancher1 1 0,9 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7
Aires de stockage et locaux industriels
Cat. Usage spécifiqueq
k
(kN/m2)
Qk
(kN)(3)
E1Surfaces susceptibles de recevoir une accumulation demarchandise, y compris aires d’accès (aires de stockage, ycompris livres)
7,5 7,0
E2 Usage industriel (AN) 7,5 7,0
Chariots élévateurs
La charge statique à l'essieu kQ est à majorer par le coefficient dynamiqueφ :
φ = 1,40 pour les bandages pneumatiques ;
φ = 2 pour les bandages pleins.
Les charges horizontales dues à l'accélération et au freinage sont prises égales à 30 % de la charge verticale
kQ (sans coefficient dynamique).
La charge kQ est appliquée en deux charges 0,5. kQ sur deux surfaces (les roues) de 0,2 x 0,2 m dont les
centres sont espacés de la longueur a.
EC2 Actions Page 9
Garages et aires de circulation accessibles aux véhicules : charges d’exploitation hors ponts
Catégorie Usage spécifiqueq
k
(kN/m2)
Qk
(kN)
Aire chargée(m)
F
Aires de circulation et stationnement pour véhiculeslégers(PTAC ≤ 30 kN et nombre de places assises ≤ 8 +conducteur) (garages, parkings,…)
2,3 15 0,1 x 0,1
G
Aires de circulation et stationnement pour véhiculesde poids moyen(30 kN ≤ PTAC ≤ 160 kN à deux essieux) (zonesd’accès, de livraison, lutte incendie)
5 90 0,2 x 0,2
Le modèle de charge comporte un essieu unique avec une charge kQ .
Ces valeurs couvrent les effets dynamiques lorsque la vitesse de circulation est inférieure à 20 km/h encatégorie F et 10 km/h en catégorie G (AN).
Toitures : charges d’exploitation
Catégorie Usage spécifique Type de la toitureq
k
(kN/m2
)(1)
Qk
(kN)(2)
HToitures inaccessibles sauf pourentretien et réparations courants
Toitures de pente < 15 %recevant une étanchéité
0,8 1,5
Autres toitures 0 1,5
IToitures accessibles pour les usages
des catégories A à D
Si non défini
précédemment3
KTerrasses accessibles pour usages
particuliers (héliostat par exemple)
Pour héliostat voir Tab
suivant
(1) qk
agit sur une aire rectangulaire de 10 m2
dont la forme et la localisation sont choisies de la façon la
plus défavorable sans que le rapport longueur/largeur dépasse 2 (AN)
(2) La charge répartie et la charge concentrée ne sont pas à appliquer simultanément. (AN)
Les charges réparties et concentrées ne sont pas à prendre en même temps que les chargesclimatiques (vent, neige).
Toitures de catégorie K pour Hélistations : charges d’exploitation
EC2 Actions Page 10
Charges horizontales sur garde-corps et murs de séparation agissant comme barrières à unehauteur ≤ 1,20 m - q
k(kN/m)
Catégorie ACatégories B et C1Catégories C2 à C4 et DCatégories C5Catégories E (une valeur supérieure si nécessaire)
0,60,61,03,02,0
Pour les espaces susceptibles de supporter une foule importante (manifestations publiques, stades, scènes,amphithéâtres, salles de conférence, …), on prendra une charge linéique correspondant à la catégorie C5.
V- BARRIÈRES DE SÉCURITÉ ET GARDE-CORPS POUR PARKINGS (EC1-1-1 Annexe B)
Force horizontale à prendre en compte :21 .
.2 c b
m vF
Les barrières des rampes d’accès doivent résister à 0,5 F définie, appliquée à 610 mm au-dessus du niveaude la rampe
En face des extrémités de rampes rectilignes destinées à la descente et de longueur 20 m, la barrière doitrésister à 2 F.
VI- EFFETS THERMIQUES [§2.3.3 (3) et 2.6 (2)]
En ELS : en tenir compteEn ELU, on ne les prend en compte que dans des cas particuliers (fatigue, effets significatifs
du 2e
ordre sur la stabilité…)
VII- RETRAIT (§2.4.2.1)
Lorsque la prise en compte des effets du retrait est requise en ELU, on prend un coefficient partiel γSH
= 1
EC2 Actions Page 11
VIII- JOINTS DE DILATATION [§2.3.3(3)]
• Dans les bâtiments, les effets du retrait et de la dilatation peuvent être négligés dans l'analyse globale,si l’on dispose de joints de dilatation tous les 30 m maximum.
• L’annexe nationale française (ANF) reprend les valeurs utilisées auparavant, à savoir:
- 25 m dans les départements voisins de la Méditerranée (régions sèches à forte opposition de
température),
- 30 à 35 m dans les régions de l'Est, les Alpes et le Massif Central,
- 40 m dans la région parisienne et les régions du Nord,
- 50 m dans les régions de l'Ouest de la France (régions humides et tempérées).
• Ces distances peuvent être augmentées, sur justifications spéciales, par des dispositions constructivesappropriées permettant aux variations linéaires de se produire sans gêne (poteaux souples parexemple).
• On peut ne pas tenir compte des autres effets de la température ainsi que du retrait sous réserve de lajustification de dispositions constructives appropriées, adaptées à l'ouvrage (ANF). Cependant, dans lecas des ouvrages particulièrement sensibles : dallages, radiers, dalles de parking enserrées dans lesparois, ... on prendra des dispositions constructives adaptées à l'ouvrage portant sur tout ou partie despoints suivants :
- la qualité du béton,
- la conception des ouvrages (type de plancher, sens de portée, préfabrication, ...
- le phasage de mise en oeuvre du béton (zones alternées en damier, ...
- les procédures de cure,
- les joints de reprise de bétonnage et/ou de clavetage ainsi que leur position,
- les joints de pré-fissuration ainsi que leur position,
- les dispositions constructives de ferraillage (position, altitude, espacement, pourcentage, ...
COURS DE BETON ARME
AUX EUROCODES
---------
Chapitre 5 : Les sollicitations
EC2 Sollicitations Page 1
Sollicitations
Les éléments de structure sont calculés en fonction des sollicitations qu'ils subissent : moment, effort normal,effort tranchant, moment de torsion.
Les sollicitations permettent de déterminer les contraintes et les déformations des déments, sauf dans le casd'utilisation de méthodes aux éléments finis qui donnent les contraintes et déformations permettant dedéterminer les sollicitations.
Deux types de sollicitations sont envisagés :
En état limite de service (ELS) comportement élastique-linéaire : la « résistance desmatériaux » élastique classique (correspondant aux charges courantes et permettant de vérifier queles conditions de déformations (flèches, aspect esthétique) ou de limitation des risque de corrosionsont satisfaites ;
En état limite ultime (ELU) correspondant aux charges de service majorées de coefficients desécurité en vérifiant que les matériaux béton et acier, avec des insistances minorées par d'autrescoefficients de sécurité, permettent à la structure de résister, d'être stable (flambement, basculement,renversement).
Des analyses locales particulières peuvent être nécessaires lorsque l'hypothèse d’une distribution linéaire desdéformations unitaires ne s'applique plus, pare exemple :
à proximité des appuis ; localement, au droit des charges concentrées ; aux nœuds poteaux-poutres ; dans les zones d’ancrage ; aux changements de section transversale.
Dans les bâtiments, les déformations dues à l’effort tranchant et à l’effort normal peuvent ne pas êtreprise en compte, dans la détermination des sollicitations, si l’on prévoit qu’elles seront inférieures à 10% des déformations de flexion. Ce qui est le cas pour les dalles, pour les poutres dont la hauteur < L/5
I-CAS DE CHARGES ET COMBINAISONS [art 5.1.3]
Pour les bâtiments, on peut limiter les combinaisons aux trois cas suivants pour les charges variables :• les travées paires chargées• les travées impaires chargées• deux travées adjacentes quelconques chargées
Sinon : lignes d’influence
• ANF : « les simplifications dans les dispositions de charges à utiliser sont fondées sur le principesuivant : les cas de charge à utiliser sont ceux que l'on utiliserait si les éléments portés reposaientisostatiquement sur les éléments porteurs ; les actions ainsi obtenues sur les éléments porteurs sontforfaitairement majorées ou minorées en fonction de l'hyperstaticité ainsi négligée. »
• En clair, cela permet d'utiliser la méthode simplifiée française qui consiste à majorer forfaitairementles réactions d'appuis sur éléments porteurs de 10 % pour les appuis intermédiaires despoutres continues de plus de 2 travées et de 15 % pour l'appui central d'une poutre de 2travées.
Exemple pour une poutre sur 5 appuis (n appuis = n combinaisons)
EC2 Sollicitations Page 2
i
Hi Na
Nb
LNa
Nb
Hi
/2/2
/2
b) Système decontreventement
c1) Plancher decontreventement
c2) Diaphragmede toiture
II-IMPERFECTIONS GÉOMÉTRIQUES [art.5.2]
• À ne prendre en compte qu’en ELU.• Valeurs associées à des tolérances normales d’exécution (classe 1 de l’EN 13670)
1-Inclinaison
0
0
. .
1/ 200 ( )
2 2avec 1
3
10,5.(1 )
i mh
h h
m
AN
L
m
Exemple de l’effet des imperfections géométriques
EC2 Sollicitations Page 3
III-MODÉLISATION DE LA STRUCTURE [art. 5.3]
1-Définition des éléments (art. 5.3.1 et 9.6.1)
Poutre si L > 3 h longueur L et hauteur h
Dalle si b > 5 h largeur b et épaisseur h
Poteau si b < a < 4 bet H > 3 b
côtés a et b, hauteur H
Voile si L > 4 h épaisseur h, longueur L
Dalle portant dansdeux directions
si 0,5 L1≤ L
2≤ 2 L
1L
1et L
2dimensions horizontales
de la dalle
EC2 Sollicitations Page 4
2- Largeurs participantes des tables de compression des poutres en Té
Une table de compression située en partie supérieure d'une poutre confère à celle-ci une résistance plusélevée pour toutes les sections comprises entre les points de moments nuls (moments positifs).
La largeur efficace effb (ou participante) des tables dépend de la largeur réelle de la table, mais aussi de la
portée et de la distance de la section étudiée par rapport au point de moment nul (mise en charge progressivede la compression dans la table).
Par simplification, l'EC2 n'a pas pris en compte ce dernier paramètre, mais cela a peu d'importance du fait queles moments y sont faibles et que la nervure peut à elle seule reprendre le moment.
Par simplification aussi, l'EC2 définit des positions forfaitaires des points de moments nuls (qui, en
réalité, varient pour chaque combinaison de cas de charges) : à 0,15 L0 pour des appuis intermédiaires ou
appui de rive avec console .
Lo = 0,85 L1
L1
Lo = 0,15 L1
+ 0,15 L2 Lo = 0,7 L2
L2 L3
Lo = 0,15 L2 + L3
b1 b1 b2 b2
b
bw
beff,1 bw beff,2
beff
Débord participant (efficace) de table :
à gauche : beff,1
= Min[b1
; 0,2 b1
+ 0,1 Lo
; 0,2 Lo]
à droite : beff,2
= Min[b2
; 0,2 b2
+ 0,1 Lo
; 0,2 Lo]
La largeur participante de la table : beff
= bw
+ beff,1
+ beff,2
3- Portées de calcul des dalles et poutres
Les calculs sont à effectuer avec la portée entre axes des poutres avec un correctif pour le cas des appuis
très larges et en tenant compte de la participation du béton de l’appui dans le calcul des aciers nécessaires.
EC2 Sollicitations Page 5
Lna1 a2
Leff
Ma1
Ma2
Mn2
Mn1
Moments nuls
Moment max
Pour des poutres ou dalles appuyées sur des éléments en béton (poutre, poteau, voile) qui leur sont liésmonolithiquement, on peut considérer l’existence d’une diffusion de l’effort de compression de la partieinférieure (moment négatif) dans l’appui.
En général, la section d'acier au nu de l'appui est plus grande que dans l'axe de l'appui. C'est pourquoi, l’EC2permet de prendre le moment au nu de l'appui en s'assurant cependant qu'il est au moins égal à 65 %du moment d'encastrement.
A défaut d’être monolithe : La réaction d’appui FEd,sup
correspond à une charge répartie (uniforme,
trapézoïdale ou triangulaire) sur la largeur « t » de l’appui dont la moyenne vaut : q = FEd,sup
/ t.
A toute charge uniforme appliquée sur une longueur « t » correspond une amplitude de moment :
∆M = q . t2
/ 8 = FEd,sup
. t / 8
Cette réduction de moment existe dans tous les cas et est appelée « écrêtage du moment sur appui ».
Moments aux nus pour une charge uniforme « p » sur toute la travée :
Mn1
= (1 – 1) M
a1+
1.M
a2+ 4
1(1 –
1) . M
o
Mn2
= (1 – 2) M
a2+
2.M
a1+ 4
2(1 –
2) . M
o
avec : 1
= a1
/ Leff
; 2
= a2
/ Leff
Mo
= p.Leff
2
/ 8
L’EC2 permet de prendre un moment au nu de l’appui en s’assurant qu’il est au moins égal à 65% du moment
d’encastrement .
EC2 Sollicitations Page 6
t
h
Ln
Leff
a1 = Min[0,5 h ; 0,5 t]
a) Éléments isostatiques
t
h
Ln
Leff
ai = Min[0,5 h ; 0,5 t]
b) Éléments continus
t
h
Ln
Leff
ai = Min[0,5 h ; 0,5 t]
c) Appuis considérés commes desencastrements parfaits
t
h
Ln
Leff
a1 = Min[0,5 h ; 0,5 t]
d) Présence d'un appareil d'appui
axe
d'a
pp
ui
t
h
Ln
Leff
ai = Min[0,5 h ; 0,5 t]
e) Console
EC2 Sollicitations Page 7
d = - i1(x) 1x
L i1
.
dx
E.Ii1(x)0
L i1
et g = i(x)x
Li
.dx
E.Ii (x)0
L i
IV- CALCUL DES MOMENTS SUR APPUIS DES POUTRES CONTINUES
1- Équation des trois moments
L'équation des trois moments entre dans le cadre de la méthode de calcul élastique à comportementlinéaire de l’EC2.
Li
i-1
Li+1
i i+1
dg
Rappel des coefficients de souplesse de la travée « i »
ai = 1x
Li
2
.dx
E.Ii(x)0
L i
bi =x
Li
1x
Li
.
dx
E.Ii(x)0
L i
ci =x
Li
2
.dx
E.Ii(x)0
L i
E = module d'Young ;Ii = moment d'inertie constante de la travée « i » ;Ii(x) = moment d'inertie variable de la travée « i » ;L = portée identique pour toutes les travées ;Li = portée de la travée « i » ;Mi = moment sur l'appui « i »;
Pi = charge répartie uniforme sur la totalité de la travée « i » ;
μi(x) = moment de la travée « i » rendue isostatique sous le même chargement ;
d = rotation à droite de l'appui « i » de la travée « i+1» rendue isostatique sous le mêmechargement ;
g = rotation à gauche de l'appui « i » de la travée « i » rendue isostatique sous le mêmechargement .
Mêmes portées et mêmes inerties.Charges uniformes totales
Mi-1
+ 4 Mi+ M
i+1= - 0,25 (p
i+ p
i+1) L
2
Mêmes inerties.Charges uniformes totales
Mi-1
Li+ 2(L
i+ L
i+1) M
i+ L
i+1M
i+1= - 0,25 (p
iL
i
3
+ pi+1
Li+1
3
)
Inerties constantes.Charges uniformes totales
(Li/ I
i) M
i-1+ 2 [(L
i/ I
i) +(L
i+1/ I
i+1)] M
i+ (L
i+1/ I
i+1) M
i+1= - 0,25 [p
i.L
i
3
/ Ii+ p
i+1.L
i+1
3
/ Ii+1
]
Inerties constantes.Charges quelconques
(Li/ I
i) M
i-1+ 2 [(L
i/ I
i) + (L
i+1/ I
i+1)] M
i+ (L
i+1/ I
i+1)] M
i+1= - 6E (I
i
g- I
i+1
d)
Inerties variablesCharges quelconques
biM
i-1+ (a
i+1+ c
i) M
i+ b
i+1M
i+1= -
g+
d
EC2 Sollicitations Page 8
2-Redistribution limitée des moments (en ELU seulement) [art. 5.5]
Une redistribution limitée des moments peut être effectuée, en général pour diminuer les moments sur appuis
qui sont souvent déterminant pour le dimensionnement des poutres ou dalles.
L'EC2 l'autorise sous les conditions suivantes :
le rapport des portées est compris entre 0,5 et 2
les éléments sont sollicités principalement en flexion (donc pas pour les poteaux)
le coefficient de redistribution = Maprès
/Mavant
est fonction de l’état de sollicitation de la
section (plus la section est sollicitée, moins on peut redistribuer) par l’intermédiaire de la hauteur
comprimée xu
Classe d’acier fck≤ 50 MPa f
ck> 50 MPa
A(peu ductile
= 0,44 + 1,25 (xu/d) ≥ 0,8 = 0,54 + 1,25 (0,6 + 1,4/
cu2) (x
u/d) ≥ 0,8
B ou C
(ductile ou très ductile)
= 0,44 + 1,25 (xu/d) ≥ 0,7 = 0,54 + 1,25 (0,6 + 1,4/
cu2) (x
u/d) ≥ 0,7
Le coefficient de redistribution peut être choisit de tel sorte que le moment en valeur absolue sur
appui, déterminé par les cas (c) (voir page 2) soit diminué pour être rapproché du moment des cas a
et b.
On ne connaît le coefficient de redistribution que si l'on connaît le moment redistribué (soit μaprès
exprimé en moment réduit : 2/ ( . . )cdM b d f ). On procède alors par itérations successives ou bien on utilise
l'abaque de la figure suivante ou tableau.
avant0,480,372
aciers
comprimés
conseillés
0,294
pas de
redis-
tribution
posible
0,255
après
class
eA
(0,8
)
class
es Bet C
(0,7)
0 0,05 0,1 0,150,2 0,25 0,30
0,05
0,15
0,1
0,2
0,25
0,3
EC2 Sollicitations Page 9
Coefficient de redistribution δ en fonction de μavant avant redistribution (fck ≤ 50MPa)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
≤ 0,2 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7
0,21 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7001 0,7024
0,22 0,7046 0,7069 0,7092 0,7115 0,7138 0,7162 0,7186 0,721 0,7234 0,7259
0,23 0,7284 0,7309 0,7334 0,7360 0,7386 0,7412 0,7438 0,7465 0,7492 0,7519
0,24 0,7547 0,7575 0,7603 0,7632 0,7661 0,7690 0,7720 0,7750 0,7781 0,7812
0,25 0,7843 0,7875 0,7907 0,7939 0,7972 0,8006 0,8040 0,8074 0,8109 0,8145
0,26 0,8181 0,8218 0,8255 0,8293 0,8331 0,8370 0,8410 0,8450 0,8492 0,8533
0,27 0,8576 0,8620 0,8664 0,8709 0,8756 0,8803 0,8851 0,8900 0,8951 0,9002
0,28 0,9055 0,9109 0,9165 0,9222 0,9280 0,9341 0,9403 0,9467 0,9533 0,9601
0,29 0,9672 0,9746 0,9822 0,9902 0,9985 1 1 1 1 1
≥ 0,3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A retenir : Pas de distribution si µ > 0,294
Exemple : Poutre continue sur 3 appuis
L=6m L=6m
g=27 KN/mq= 9 KN/m
1,35g+1,5q 1,35g
cas (a)
cas (b)
cas (c)
1,35g+1,5q1,35g
1,35g+1,5q 1,35g+1,5q
EC2 Sollicitations Page 10
Résultats avant redistribution
0,25 ; 0,52 ; 0,47
: 225 0,246 ; 0,359
w
uappui avant
b m h m d m
xAvant redistribution M KNm
d
μavant < 0,294, la redistribution est possible
Si on ramène le moment sur appui à 194 KNm (> 65%) (de « c » à « a ou b ») ; on obtient :
: 194 0,213 ; 0,302uappui après
xAprès redistribution M KNm
d
0, 2130,865 0,7
0,246
Le tableau autorise jusqu’à 0,772 soit M=173,7 KNm
EC2 Sollicitations Page 11
Moment de plastification limite
=d
xu 0,15 0,25 0,35 0,45
=
cd2 f.d.b
M0,113 0,180 0,241 0,294
Rappel = 0,8 (1 – 0,4 )
3-Analyse plastique des poutres, portiques et dalles (en ELU seulement)
Les méthodes basées sur l’analyse plastique ne doivent être utilisés qu’en ELU.
On peut utiliser une méthode cinématique (borne supérieure de la plasticité) ou une méthode statique(borne inférieure de la plasticité).
On pourra négliger les chargements antérieurs et admettre un chargement progressif monotone.
Pour un chargement monotone croissant, la contrainte de l’acier augmente progressivement jusqu’àatteindre
so= f
yd/ E
s, seuil à partir duquel la rotule plastique commence à fonctionner.
On devra vérifier que les sections critiques (rotules plastiques) ont une capacité de rotation suffisantepour que le mécanisme envisagé puisse se produire (voir tableau ci-dessous)
Non requise Requise : s ≤ k . pl,d
Si :d
xu ≤ 0,25 pour fck ≤ 50 MPa
Ou si :d
xu ≤ 0,15 pour fck > 50 MPa
et si les aciers sont de classe B ou C
et si : 0,5 ≤appui
travée
M
M≤ 2
Si : 0,25 ≤d
xu ≤ 0,45 pour fck ≤ 50 MPa
Ou si : 0,15 ≤d
xu ≤ 0,35 pour fck > 50 MPa
La capacité de rotation se traduit par la vérification suivante ,.s pl dk avec :
s = rotation calculée sur une longueur 0,6 h de part et d’autre de la rotule plastiquepl,d = rotation plastique admissible lue sur abaque EC2k = coefficient de correction dépendant de l’élancement vis-à-vis de l’effort tranchant
k =3
= distance entre le point de moment nul et le point de moment maximal après redistribution rapporté
à la distance utile d (que l’on peut prendre, pour simplifier, égal à =d.V
M
Sd
Sd )
Calcul de θs
La rotation sur la longueur (2*0,6.h) est donnée par :
0,6
0,6
1.
h
h
dxr
avec 01,2. .1
soit( ). ( ).s
yd yds
u u s u s
f h f
r d x d x E d x E
EC2 Sollicitations Page 12
Valeurs de base de ,pl d pour armatures de classes B et C
0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,4 0,45
0
5
10
15
20
25
30
35
pl,d (mrad)
xu/d
classe B
classe C
<= C50/60
C90/105
<= C50/60
C90/105
On procèdera par interpolation pour des bétons 50 90ckf MPa
Méthode cinématique (borne supérieure de la plasticité)
Cette méthode énergétique consiste à écrire que le travail des sollicitations résistantes (travail interneWi) est égal au travail des sollicitations agissantes (travail externe We) :
. .j j i iM P
avec :
Mj = moment de plastification dans la rotule ;
ωj = angle de rotation ;Pj - charge extérieure (ou charge répartie * longueur de la charge) ;δi= déplacement de la charge (ou de la résultante de la charge répartie).
Cette méthode est utilisée pour les dalles sous le nom de « méthode des lignes de rupture » .
Avec cette méthode, il faut rechercher, parmi tous les mécanismes de rupture possibles, celui qui,
pour une charge donnée, conduit au moment le plus élevé, ou bien pour un moment résistant donné,
conduit à la charge la plus petite.
Pour les poutres, en général, le mécanisme à retenir est celui qui comporte une rotule dans chaque
travée et sur chaque appui.
EC2 Sollicitations Page 13
Exemple :
Nous supposons qu'il se forme une rotule plastique sur chaque appui et en chaque travée, créant ainsiun mécanisme.
Nous admettons que le moment maximal de plastification peut être différent sur appui et en travée.
Par exemple pour une section en Té, le moment résistant est plus important en travée et l'on estsouvent limité sur appui car l'on ne dispose que d'une section rectangulaire.
On peut retenir un moment résistant maximal 2. . .Rda cdM b d f sur appui et
2 ( ). . .( / 2). . . w f cd fRdt cd b b h f d hM b d f en travée d'une poutre en Té.
Le coefficient μ dépend de la nature du béton et de la vérification ou non de la capacité de rotationou non de la section .
Le moment résistant est fonction de la quantité d'acier.
Travée de rive :
EC2 Sollicitations Page 14
On recherche la valeur de la charge la plus petite qui entraîne un moment de plastification Ma1 sur
appui et Mt en travée en écrivant que la dérivée de cette expression par rapport à est nulle.
EC2 Sollicitations Page 15
Travée intermédiaire :
Méthode statique (borne inférieure de la plasticité)On suppose une rotule plastique sur chaque appui et une rotule plastique au point de moment maximalen travée.
Une charge répartie « p » conduit à un moment parabolique dont l'équation, pour une origine prise au
sommet de la parabole, est de la forme2
.2x
M p
EC2 Sollicitations Page 16
Travée de rive :
A partir de2
.2x
M p , on obtient :
2
1
2 2.et
( . ) (1 ). .2 2t t a
LM
LM p M p
Si l’on se fixe deux paramètres, on peut déduire les autres paramètres inconnus.
Travée intermédiaire :
EC2 Sollicitations Page 17
A partir de2
.2x
M p , on obtient :
2
21
2 2.et
( . ) (1 ). .2 2t t aa
LMM
LM p M p
Si l’on se fixe trois paramètres, on peut déduire les autres paramètres inconnus.
Exemple numérique
EC2 Sollicitations Page 18
V- PRISE EN COMPTE DES DEFORMATIONS DUES A L’EFFORT TRANCHANT
EC2 Sollicitations Page 19
La rotation de la section est constante et vaut :1
' 'V
GS LGS
Application au calcul des moments sur appuis d’une poutre continue
Action de l’effort tranchant sur les moments sur appuis
Le deuxième membre de l'équation des 3 moments reste inchangé, car les rotations des sections dues à
l'effort induit par les charges extérieures sont nulles.
En posant : 1 2
1 1 2 2
et1 1
' 'd d
LGS L GS
EC2 Sollicitations Page 20
L’équation des 3 moments complète devient :
1 1 0 2 1 1 2 1 2 2 2( ). ( ). ( ). g db d M a c d d M b d M
Pour une poutre continue à un nombre infini de travée identiques
Dans l'équation précédente, tous les moments sont égaux, les coefficients d sont tous égaux ets'annulent. On est ramené à l'équation classique des 3 moments classique.
1 0 2 1 1 2 2( ). ( ). ( ). g db M a c M b M
Il n’y a donc pas d’influence des déformations d’effort tranchant sur le calcul des momentssur appuis.
Pour une poutre de deux travées identiques
L’équation 1 1 0 2 1 1 2 1 2 2 2( ). ( ). ( ). g db d M a c d d M b d M devient :
2 1 1 2 1 12( ). (2 ).g gd da c d d M a d M
Le moment sur appui est donc multiplié par :1
1a
a d k
avec 2
1 3 6 .(1 ).
' '
d EI Ik
a LGS L L S
Pour une section rectangulaire :2
20,6 (1 )
3,2
h
Lk
avec
2
21,92.(1 ).
h
L
Par exemple, pour une poutre-cloison de hauteur égale à la moitié de la portée, le moment sur appui
intermédiaire, sans tenir compte des déformations d'effort tranchant, vaut :2
8
pL . En tenant compte des
déformations dues à l'effort tranchant, le moment est2 1
.8 1
pL
k
avec : k = 0,6 x 0,25 = 0,15 (avec h = 0,5.L
et = 0), soit2
0,87. (-13%)8
pL
Pour une poutre de trois travées identiques
L'équation 1 1 0 2 1 1 2 1 2 2 2( ). ( ). ( ). g db d M a c d d M b d M devient :
1 2(2 2 ). ( ). g da d M b d M
Soit : 0,94 (-6%)1
1 / 25k
1 32
L L
EC2 Sollicitations Page 21
Prescriptions de l’EC2 :
Dans les bâtiments, les déformations des éléments linéaires et des dalles dues à l'effort tranchant et àl'effort normal peuvent être négligées lorsqu'on prévoit qu'elles seront inférieures à 10 % desdéformations de flexion.
Ce qui revient, pour les poutres et dalles sans effort normal, à ne pas prendre en compte les effets des
déformations dues à l'effort tranchant si 0,10 .
Pour des sections rectangulaires, ceci mène à la condition :
2 2
2 21,92. 1 . 0,1 ou encore à 19,2. 1h L
L h
Le coefficient de Poisson prend la valeur 0 pour des sections fissurées et 0,2 pour des sections nonfissurées (EC2-1-1, art. 3.1.3 (4)).
Donc, le cas le plus défavorable ( = 0,2) conduit à ne pas tenir compte des déformations d'effort tranchant
tant que le rapportL
hest supérieur à 4,8.
Par contre, pour les poutres-cloisons, cette condition peut conduire à des moments sur appuis
intermédiaires de poutres continues notablement inférieurs à ceux trouvés par l'application habituelle
de l'équation des 3 moments ( 2 3et ).
Pour n = 0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7L/h
j
m2
m3
Poutre-cloison : L/h < 3
Coefficient réducteur du moment sur appui :
2
pour 2 travées, 3
pour 3 travées identiques
Déformations non prises en compte si rapport des déformations < 0,10
COURS DE BETON ARME
AUX EUROCODES
---------
Chapitre 6 : Les tirants
Eurocode 2 – Les Tirants Page 1
1. - TRACTION SIMPLE - LES TIRANTS
1.1. - DEFINITION
Lorsque dans une pièce en BA, les sollicitations se réduisent uniquement à un effort normal de traction, la pièce en BAest appelée tirant. Si le tirant est vertical, on le nomme suspente.Pour les tirants horizontaux, si le poids propre est de quelque importance (non négligeable), il introduit un moment de flexion quicombiné avec l’effort normal de traction donne la flexion composée avec effort normal de traction.
1.2. - JUSTIFICATION A L’E.L.U.
1.2.1. - HYPOTHESES :
Hypothèses communes à l’E.L.U. et l’E.L.S.- Bernoulli ;- Adhérence parfaite Acier-Béton ;- Le béton tendu est supposé fissuré et négligé.
Hypothèse spécifique à l’ELU (voir cours sur Matériaux page 8)
- A l'E.L.U l'allongement unitaire s des aciers est limité à :
Pour le diagramme bilinéaire avec branche supérieure inclinée : 45 ‰. (31045
)
3 30 9 0 9 50 10 45 10ud uk, ,
La contrainte qui lui correspond : 466s ud MPa constitue la contrainte max.
Pour le diagramme élasto-plastique parfait : pas de limitation de la déformation
Pour une déformation supérieure à :3
510172
102
8434 ,,
E
f
s
yd;
500434 8
1 15
yk
yd
S
ff , MPa
,
Le centre de gravité des aciers tendus est confondu avec celui de la section droite (béton + armatures)et par conséquent avec le point d'application de Nu.
1.2.2. - SOLLICITATION DE CALCUL : EduN
Combinaison de base la plus couranteQ,GG, minmax 51351
1.2.3. - DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES LONGITUDINALES :
L'effort de traction n'est équilibré que par les armatures longitudinales.
y
x
x
Coupure Section droite
GG
1sN
2sA
1sA
2sNEduN
La connaissance du diagramme des déformations entraîne la connaissance du diagramme des contraintes.
Par hypothèse, nous allons fixer la déformation de la section droite à31045 su .
A..4.3,3.
Eurocode 2 – Les Tirants Page 2
Coupure
G
y
Coupure
G
y
31045 .uds
31045 .uds
diagramme des déformations diagramme des contraintes
efforts normaux dans la section
Coupure
G
y
N
13
1 1045 suds A..N
23
2 1045 suds A..N
N Sdu = effort normal en E.L.U
suA = aire totale d'acier tendu
La contrainte à l'E.L.U, pour un allongement unitaire = 45 ‰,
est notée 31045 s : elle est supérieure ou égale à
yk
S
f
Si les armatures sont disposées symétriquement par rapportau plan Gxz :
N Rdu étant appliqué en G et 21 ssRdu NNN avec
21 ss NN
21 sssu AAA avec 21 ss AA
Condition de résistance : Ed ,u Rd ,uN N l’effort normal
appliqué doit être inférieur à l’effort normal résistant avec
yk
Rd ,u su
S
fN A
ou 345 10Rd ,u su sN A
d'oùEd ,u
suyk
S
NA
f
ou
345 10
Ed ,u
su
s
NA
-
Eurocode 2 – Les Tirants Page 3
1.3. JUSTIFICATION A L'E.L.S :
La fissuration est normale dans les structures en béton armé (Cracking is normal in reinforced concrètestructures) soumises à des sollicitations de flexion, d'effort tranchant, de torsion ou de traction résultantsoit d'un chargement direct, soit de déformations gênées ou imposées (art. 7.3.1 (2)).
Les fissures peuvent être admises sans que l'on cherche à en limiter l'ouverture sous réserve qu'elles nesoient pas préjudiciables au fonctionnement de la structure (art.7.3.1 (4)).
(1) Pour les classes d'exposition X0 et XC1, l'ouverture des fissures n'a pas d'incidence sur la durabilité et cette limiteest fixée pour garantir un aspect acceptable (art. 7.3.1 (5)). En l'absence de conditions sur l'aspect, cette limite peutêtre traitée de manière moins stricte.
(2) Pour ces classes d'exposition, il convient de vérifier la décompression sous combinaison quasi permanente descharges.
(1) L'attention est attirée sur le fait que wmax est une valeur conventionnelle servant pour le calcul.
(2) Sauf demande spécifique des Documents particuliers du marché (DPM), la maîtrise de la fissuration est supposéeassurée par des dispositions constructives minimales données dans l'article 7.3 de l’EC2-1-1 (section minimaled'armatures), le calcul de wmax n'est pas alors requis.
(3) Dans le cas des bâtiments de catégorie et d'usage A et D (voir cour EC2 Actions page 6) , (tous les bâtiments
exceptés les bâtiments de stockage et industriels, dans les classes d’exposition 2XC , 3XC et 4XC ) sauf
demande spécifique des Documents particuliers du marché, la maîtrise de la fissuration est supposée assurée par desdispositions constructives minimales données ailleurs que dans l'article 7.3, le calcul de wmax n'est pas alors requis.
(4) Pour ces classes d'exposition, en outre, il convient de vérifier la décompression sous combinaison quasipermanente des charges.
.7.3.1
Eurocode 2 – Les Tirants Page 4
(5) Pour la classe XD3, en l'absence de dispositions particulières, ce sont ces valeurs qui s'appliquent.
(6) La décompression impose que le béton situé à moins de 25 mm des armatures de précontrainte adhérente ou deleurs gaines, soit comprimé sous combinaison de charges spécifiée.
1.3.1.- HYPOTHESES : Hypothèses communes à l’ELU et l’ELS
- Bernoulli ;- Adhérence parfaite Acier-Béton ;- Le béton tendu est supposé fissuré et négligé.
Hypothèses spécifiques à l’ELS - L'acier possède un comportement linéaire élastique.
- La contrainte normale s dans les aciers est limitée à s en fonction des conditions de
fissuration. s est fixée par le projeteur ou déterminée.
Limitation des contraintes (art. 7.2)
Il peut être pertinent de limiter, mais ce n'est pas une obligation, (art. 7.2.2), la contrainte de compression du béton
σc afin d'éviter les fissures longitudinales, les microfissures ou encore des niveaux élevés de fluage en classed'exposition XD (chlorures), XF (exposé à la pluie et au gel) et XS (eau de mer) :
1 1. avec 0,6c ckk f k (AN) en ELS, combinaison caractéristique.
Le fluage peut être considéré comme linéaire si la contrainte de compression du béton ne dépasse pas :
2 2. avec 0,45c ckk f k (AN) en ELS, combinaison quasi permanente.
Le niveau de fissuration et de déformation est considéré comme inacceptable si la contrainte de l'acier dépasse la
valeur 3 3. avec 0,8ykk f k (AN) ou 4 4. avec 1ykk f k (AN) si cette contrainte est due à des
déformations imposées en ELS, en combinaison caractéristique.
Le centre de gravité des aciers tendus est confondu avec celui de la section droite (béton + armatures)
et par conséquence avec le point d'application de serN .
1.3.2.- SOLLICITATION DE CALCUL : serN (voir cour EC2 Actions)
Combinaison caractéristique des chargesQG
Combinaison quasi-permanente des chargesQG 2
1.3.3.Méthodes
Les ouvertures de fissures peuvent être calculées conformément à 7.3.4.
Une option simplifiée consiste à limiter le diamètre ou l'espacement des barres comme indiqué en7.3.3.
.7.2.5
Eurocode 2 – Les Tirants Page 5
1.3.4. : Calcul de l’ouverture des fissures conformément à 7.3.4
L'ouverture k des fissures peut être calculée en fonction de l'espacement maximal entre fissures, de la déformation
moyenne cm du béton entre les fissures et de la déformation moyenne sm des aciers : ,max .( )r sm cmk s
avec :
,,
,
. .(1 . )
0,6.
ct effs t e p eff
p eff ssm cm
s s
fk
E E
sers
s
NA
= contrainte de l'acier en supposant la section fissurée ;
se
cm
EE
= rapport des modules d'Young (coefficient d'équivalence);
,,
sp eff
c eff
AA
0,6tk pour un chargement de courte durée ; 0, 4tk pour un chargement de longue durée ;
, . 2,5.( ); ;3 2c eff
h x hb Min h dA
= aire de la section effective de béton autour de l'armature tendue
sauf pour les aciers de précontrainte (ANF) : , . 2,5.( );2c eff
hb Min h dA
x = hauteur du béton comprimé ;d=0,9.h hauteur utile ;h = hauteur totale ;
Valeurs de sr max
Si l'espacement des armatures tendues est faible, c'est-à-dire 5.( )2
c
c'est le cas des poutres en
général :
1 2,max
,
0,425. . .3, 4.r
p eff
k kS c
pour deux diamètres différents :
2 21 1 2 2
1 1 2 2
. .
. .
n n
n n
;
c = enrobage au nu des armatures ;
1 0,8k pour des aciers à haute adhérence et 1 1,6k pour des aciers lisses ;
2 0,5k en flexion et 2 1k en traction pure
Pour les autres cas 1 2
12 2.
k
; 1 2et étant la plus grande et la plus petite déformation
du béton supposé fissuré
.7.3.4
Eurocode 2 – Les Tirants Page 6
Si l'espacement des armatures tendues est grand, c'est-à-dire 5.( )2
c
c'est le cas des dalles en
général : ,max 1,3.( )rS h x
Cette formule ne s’applique que si sa valeur est supérieure à celle de la formule précédente et si l’espacement
des armatures est 5.( )2
c
1.4. Armatures minimales
1.4.1. Pour la maîtrise de la fissuration art. 7.3.2 et 9.2.1.1)
Si la maîtrise de la fissuration est requise par les documents du marché (ANF, art. 7.3.1 (5), on disposera d'un
minimum d'armature tel que :,
,min
. . .c ctct effs
s
k k f AA
avec :
.wct b hA = section droite de béton tendu juste avant l'apparition de la 1ère fissure pour la contrainte
maximale ,ct eff ctmf f Act = 0,5. b.h (aire de béton tendu avant la première fissuration d’une section
rectangulaire)
s ykf sauf utilisation des tableaux 7.2 N et 7.3N
..7.3.2
Eurocode 2 – Les Tirants Page 7
1.4.2. Pour la condition de non-fragilité (rupture fragile) (art. 9.2.1.1) : yks f
Le béton résistant mal à la traction, on doit éviter une rupture fragile lorsque la résistance à la traction est
atteinte. On doit disposer des armatures travaillant à la contrainte ykf capables de reprendre l'effort de traction (à
la contrainte ctmf ) repris par le béton tendu venant à faire défaut (art. 9.2.1.1 (1)).
,min 0,26. . . 0,0013. .ctmt t
yk
s b d b df
fA pour une largeur moyenne ( )t t wb b b
La section d'armature d'une poutre ne doit pas dépasser 4 % (AN) (sauf en zone de recouvrement 8 %)(art. 9.2.1.1 (3)), sinon ce n'est plus du béton armé, mais de l'acier bétonné.
1.4.3. Armatures transversales
Armatures transversales 83l max
t max mm ;
Avec espacement maxs a ( a = petite dimension de la section droite)
1.4.4. Armatures de peau (art. 7.3.3 (3))
Pour la maîtrise de la fissuration des poutres de hauteur > 1 m, on prévoira des aciers à répartir dans la partietendue située entre l'axe neutre et les aciers de flexion, à l'intérieur des cadres, de section :
,. . .c ctct effs
s
k k f AA
Avec :
et 0,5; 0,4 en flexion simples cykf k k
1 en traction pureck
Soit un pourcentage :
Eurocode 2 – Les Tirants Page 8
1.5. Maîtrise de la fissuration sans calcul direct
(1) Dans le cas des dalles en béton armé ou précontraint dans les bâtiments, sollicitées à la flexion sanstraction axiale significative, aucune disposition particulière n'est nécessaire pour la maîtrise de lafissuration lorsque l'épaisseur totale de la dalle n'excède pas 200 mm et que les spécifications de 9.3sont respectées.
(2) Comme simplification, les règles données en 7.3.4 peuvent être présentées sous la forme de tableauxlimitant le diamètre ou l'espacement des armatures.
Note : Lorsque les éléments comportent le ferraillage minimal donné en 7.3.2, on peut estimer que lesouvertures des fissures ne seront pas excessives :
si pour des fissures principalement dues aux déformations gênées, les diamètres des barres nedépassent pas les valeurs données dans le Tableau 7.2N, la contrainte de l'acier étant égale à la
valeur obtenue juste après la fissuration (c.-à-d. sߪ dans l'Expression (7.1))
si pour des fissures principalement dues aux charges, les dispositions du Tableau 7.2N ou biencelles du Tableau 7.3N sont satisfaites. Il convient de calculer la contrainte de l'acier sur la based'une section fissurée sous la combinaison d'actions considérée.
Dans le cas du béton précontraint par pré-tension, lorsque la maîtrise de la fissuration est essentiellementassurée par les armatures de précontrainte adhérentes, les Tableaux 7.2N et 7.3N peuvent être utilisés enprenant la contrainte totale dans ces armatures diminuée de la pré-tension. Dans le cas du béton précontraintpar post-tension, lorsque la maîtrise de la fissuration est essentiellement assurée par des armatures passives,les tableaux peuvent être utilisés en prenant la contrainte dans ces armatures, calculée en incluant l'effet desforces de précontrainte.
..7.3.3
Eurocode 2 – Les Tirants Page 9
,* .
. .2,9 2.
ct eff c crs s
f K h
h d
COURS DE BETON ARME
AUX EUROCODES
---------
Chapitre 7 :
La compression - Le flambement
EC2 Compression Page 1
Compression simple – Poteaux
Les poteaux (si h / 4 ≤ b ≤ 4 h, sinon voiles) sont calculés en tenant compte des effets du 2e ordre
(flambement) du fait d'une excentricité non négligeable, au moins l'imperfection géométrique « » à laquelle
s'ajoute une déformation due au moment correspondant à la charge excentrée .
Excentricité d’imperfection géométrique ei= Max[L
0/400 ; 0,02 m] (ANF voir cours sollicitations)
charge éventuellement excentrée de eo
= MEd0
/ NEd
excentricité du 1er ordre : e1
= e0
+ ei→ M
Ed1= N
Ed. e
1
L0
= longueur efficace (longueur de flambement, voir çi après)
Cette déformation complémentaire entraîne un moment complémentaire qui lui-même génère unedéformation, etc.
La relation moment-courbure conduit à l'équation différentielle :
Colonne d’EULER
On en déduit la déformation de la section :
EC2 Compression Page 2
I- LONGUEUR DE FLAMBEMENT ET ELANCEMENT (ART. 5.8.3)
La longueur de flambement (dite efficace) d'un poteau (ou d'un voile) dépend de ses conditions d'extrémités
et, en particulier, des conditions d'encastrement. Pour un poteau bi-articulé, la longueur de flambement est
égale à celle de l'élément, mais pour d'autres cas, elle peut varier, en théorie, de 0 à l'infini .
EC2 Compression Page 3
Pour des éléments de portiques (art. 5.8.3.2 (3)), l’EC2 donne les formules suivantes :
Eléments contreventés :
Eléments non contreventés :
k1 = et k2 =
Élancement
C'est un coefficient sans dimension qui est défini par où « » , rayon de giration vaut :
pour un moment d'inertie « » et une aire de section droite « ».
Pour une section rectangulaire, on a :
Pour une section circulaire de rayon r, on trouve :
EC2 Compression Page 4
Remarque. On peut appliquer le même coefficient réducteur de 0,85 sur la longueur de flambement pourles voiles armés que pour les voiles non armés (art. 5.8.3.2(7) et 12.6.5.1(4)), lorsque le voile est lié surses bords haut et bas de manière rigide par du béton coulé en place et un ferraillage approprié de sorteque les moments sur ses bords peuvent être complètement équilibrés.
II-LES EFFETS DU SECOND ORDRE PEUVENT ETRE NEGLIGES
Les effets du second ordre peuvent être négligés (art. 5.8.2 (6), 5.8.3.1 (1), 5.8.3.3 (1)), si :
a) S'ils représentent moins de 10 % des effets du 1er ordre correspondants.
b) Si, pour un élément isolé, l'élancement est inférieur à (AN)
avec :
(si le coefficient de fluage effectif n'est pas connu, on peut prendre A = 0,7) ;
(si le ratio mécanique d'armatures n'est pas connu, B=1,1);
(si le rapport des moments d'extrémités du 1er ordre n'est pas connu :
C = 0,7) avec |M02| ≥ |M01| ;
= effort normal relatif =
Si les moments d'extrémités provoquent des tractions sur une même face, on prendra positif donc
C ≤ 1,7), sinon < 0 (et C > 1,7).
Par ailleurs, pour les cas suivants, on prendra (soit C = 1,7) :
éléments contreventés, avec moments du 1er ordre uniquement ou bien moments dus demanière prépondérante à des imperfections ou aux charges transversales ,
éléments non contreventés en général.
Dans la pratique courante, on pourra retenir :
lim
= 20 x 0,7 x 1,1 x 0,7 . (fcd
/ c)0,5
= 10,8 (fcd
/ c)0,5
pour une contrainte de compression du béton c
Dans le cas de flexion déviée, le critère d'élancement peut être vérifié séparément dans
chaque direction. Selon le résultat de la vérification :
- il est possible de négliger les effets du 2e ordre dans les deux directions ;- on doit les prendre en compte dans une direction et les négliger dans l'autre ;- on doit les prendre en compte dans les deux directions.
Cas où la section ou l'effort normal varie le long de l'élément (art. 5.8.3.2 (6))
On vérifiera le critère avec une longueur de flambement établie sur la
EC2 Compression Page 5
base de la charge de flambement où NB est la charge de flambement
correspondant à la rigidité de flexion EI
c) Si pour une structure de bâtiment, on peut vérifier l'inéquation suivante :
Avec :
Fv,Ed
= charge verticale totale (sur tous les éléments contreventés et non contreventés)
ns
= nombre d’étages
L = hauteur totale du bâtiment au-dessus du niveau d’encastrement du moment
Ecd
= valeur de calcul du module d’élasticité du béton = Ecm
/ γcE
avec γcE
= 1,2
Ic
= moment d’inertie (non fissuré) des éléments de contreventement
k1
= 0,31. Cette valeur peut être remplacée par k2
si l’on peut montrer que les éléments de
contreventement sont non fissurés à l’ELU : k2
= 0,62
sous toutes les conditions suivantes :
l’instabilité de torsion n’est pas dominante (la structure est raisonnablement symétrique)
les déformations globales dues au cisaillement sont négligeables (ce qui est le cas dans un
système de contreventement constitué de voiles de contreventement sans grandes ouvertures)
les éléments de contreventement sont fixés rigidement à la base (les rotations sontnégligeables)
la rigidité des éléments de contreventement est raisonnablement constante sur toute la hauteur
la charge verticale totale augmente approximativement de la même quantité à chaque étage.
Exemple (Flambement global)
Bâtiment de 8 étages sur rez-de-chaussée et un sous-sol, de 2,80 m de hauteur d’étage, avec une charge
ELU de 12 kN/m2
en moyenne (dont 4 de charges permanentes de plancher non majorées), de dimensions
hors tout 14 m x 25 m , contreventé par deux voiles pignons de 0,20 m x 14 m et un béton
fck
= 25 MPa (Ecm
= 31 GPa).
On peut prendre k1= 0,31 à défaut de savoir si les voiles sont non fissurés.
Fv,Ed
= 14 m x 25 m x 12 kN/m2
x 10 niveaux = 42 MN
Ic
= 2 x 0,2 x 143
/ 12 = 91,47 m4
Fv,Ed
= 42 ≤ 0,31 x (10 / 116) . (91,47 x 31000 / 1,2) / (10 x 2,8)2
= 805 MN
Ce qui est (largement) vérifié
On peut donc négliger les effets globaux du second ordre dans ce bâtiment
EC2 Compression Page 6
III- LE FLUAGE (art. 5.8.4)
La déformation du second ordre correspond à des charges de courte et de longue durée. On doit prendre encompte l'amplification de cette déformation due au fluage au prorata des charges de longue durée surles charges totales et de leur durée d'application.
Le coefficient de fluage effectif , intervenant par l'expression dans le calcul des déformations, peut
être calculé de façon simplifiée par :
est la valeur finale du coefficient de fluage (voir chap. Matériaux) ;
= moment fléchissant du 1er ordre en combinaison quasi permanente ELS ;
moment fléchissant du 1er ordre en combinaison de calcul ELU.
Si le rapport varie dans l'élément ou dans la structure, on peut soit calculer le rapport pour
la section de moment maximal, soit utiliser une valeur moyenne représentative.
L'effet du fluage peut être ignoré (donc ( = 0) si les trois conditions suivantes sont satisfaites :
(coefficient de fluage) ;
(élancement) ;
(h = hauteur de la section dans la direction correspondante).
IV- LES METHODES DE CALCUL
L'EC2-1-1, art. 5.8.5 propose trois méthodes de calcul :
une méthode générale ; une méthode simplifiée d'analyse du 2e ordre basée sur la rigidité nominale ; une méthode simplifiée basée sur une estimation de la courbure.
1. Méthode générale (art. 5.8.6)
Analyse non linéaire : non-linéarité géométrique, non-linéarité des comportements des matériaux,effet du fluage à prendre en compte.
Le principe consiste à rechercher parmi toutes les déformations de sections possibles qui satisfontl'équilibre : excentricité agissante = excentricité résistante
EC2 Compression Page 7
celle qui donne l'effort normal résistant maximal, en utilisant les deux paramètres déformations et tels
que la déformation en fibre supérieure soit égale à et la déformation en fibre inférieure
On supposera que :
la déformée à l'équilibre est sinusoïdale (demi-onde sur la hauteur L0) ;
le moment du premier ordre est constant sur toute la hauteur (conséquence de l'hypothèse
précédente), l'excentricité du 1er ordre valant
EC2 Compression Page 8
Pour cette méthode (non-linéaire), on utilisera comme diagramme contrainte-déformation du
béton celui qui est indiqué par l’EC2 (voir chapitre sur Matériaux) :
avec = c/
c1; k = 1,05 E
cm.
c1/ (
cE. f
cd) ;
cE= 1,2
Pour l’acier, au choix : diagramme avec palier ou diagramme avec droite inclinée.
En l’absence de modèle plus fin, on pourra prendre une déformation du béton après fluage
multipliée par le facteur (1 + ef
)
On peut prendre en compte l’effet favorable du béton tendu (compliqué car inertie desection non fissurée entre deux fissures), mais par simplification, on peut aussi le négliger.
Normalement, les conditions d’équilibre et de compatibilité des déformations relatives sontsatisfaites dans plusieurs sections. Pour simplifier, on peut ne considérer que la (ou les)
section critique en supposant une variation appropriée de la courbure, semblable à celle du
1er
ordre par exemple (ou sinusoïde).
Pour des charges principalement statiques, les effets des chargements antérieurs peuventgénéralement être négligés et on peut admettre une croissance monotone de l’intensité des
actions .
Notations
ei
excentricité due aux imperfections géométriques
e1
excentricité du 1e
ordre
e2
excentricité du 2e
ordre = (1/r) . (L0/)
2= (
h–
b) / h . (L
o/ )
2
h épaisseur du poteau dans le sens du flambement
RH humidité relative en %
EC2 Compression Page 9
L0
longueur de flambement
MEd
moment agissant en ELU
NEd
effort normal agissant en ELU
MRd
moment résistant de la section critique
NRd
effort normal résistant de la section critique
r rayon de courbure de la section critique et 1/r = (h
– b) / h = courbure
h
déformation en fibre la plus comprimée
b
déformation en fibre tendue ou la moins comprimée
n
déformation au point C (voir schéma de déformation de la section)
m
déformation de rotation telle que la déformation en fibre supérieure soit égale à :
h
= n
+ m
ef
coefficient de fluage effectif
Dans le prolongement de la pratique française pour les poteaux élancés, il est possibled’utiliser une méthode dérivée de la méthode Faessel, avec les hypothèses suivantes :
imperfection géométrique ei= Max[L
0/400 ; 0,02 m] (Annexe Nationale Française)
les sections planes restent planes
le béton tendu est négligé ; l’EC2 autorise de prendre éventuellement en compte le bétontendu,
les effets du retrait du béton sont négligés
on adopte pour le béton le diagramme contrainte-déformation donné par l‘équation (formule de
Sargin simplifiée) de l’EC2-1-1, avec une affinité de l’axe des déformations pour tenir
compte des effets du fluage, et pour l’acier, au choix, un diagramme bilinéaire à palier deplasticité horizontal ou incliné
en choisissant l’option simplifiée de ne considérer les conditions d’équilibre que dans la (les)section(s) critique(s)
2. Méthode de la rigidité nominale
Utilisable pour des éléments isolés ou pour la structure complète, mais ne s’applique pas aux
structures hyperstatiques.
La rigidité nominale (béton + aciers) peut être estimée par :
avec :
Ecd
= valeur de calcul du module d’élasticité du béton = (AN)
Ic
= moment d’inertie de la section droite du béton
Es
= module d’élasticité de l’acier (200 GPa)
EC2 Compression Page 10
Kc
= coefficient tenant compte des effets de la fissuration, du fluage,
Si n’est pas défini, on prendra k2 = 0,3 et n ≤ 0,20
On pourra prendre : pour deux aciers de section As, chacun espacés de
Sous réserve que le pourcentage d’acier , on peut adopter : Ks
= 0 et
(au moins pour le 1er
cas d’itération).
Majoration des Moments
Le moment de calcul total (incluant l’excentricité du 2e
ordre) peut être calculé par :
Avec :
MoEd
= moment du premier ordre (y compris les effets des imperfections géométriques)
= NEd. Max[L0/400 ; 0,02 m]
NB
= charge de flambement basée sur la rigidité nominale = charge critique d’Euler =
NEd
= effort normal agissant de calcul
= coefficient dépendant de la distribution des moments du 1er
et du 2e
ordre
= pour un élément isolé de section constante et effort normal constant (distribution
sinusoïdale)
co
= coefficient dépendant de la distribution de la courbure du 1er
ordre = 8 pour une courbure
constante
EC2 Compression Page 11
Diagramme d’interaction
EC2 Compression Page 12
3. Méthode de la courbure nominale
Convient aux éléments isolés, à effort normal constant en donnant une valeur approchée par
excès de la déformée du 2e
ordre.
Le moment de calcul vaut :
avec :
MoEd
= moment du premier ordre (y compris les effets des imperfections géométriques)
NEd
= effort normal agissant de calcul
Lo
= longueur de flambement (efficace)
c = coefficient dépendant de la distribution de la courbure totale (c = 10 pour une section constante,et 8 pour une courbure constante)
Des moments du 1er
ordre différents aux extrémités peuvent être remplacés par :
MoEd
= 0,6 Mo2
+ 0,4 Mo1
≥ 0,4 Mo2
(avec ), les deux moments sont de même signe s’ils
provoquent une traction sur la même face.
La courbure
Pour des éléments de section droite constante et symétrique (y compris le ferraillage), on peut adopter :
Avec :
= coefficient de fluage effectif
Si toutes les armatures ne sont pas concentrées sur les faces opposées, mais qu’une partie est distribuée
parallèlement au plan de flexion, d est défini par :
Avec = rayon de giration de la section totale d’armatures =
EC2 Compression Page 13
V- DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES (art. 9.5)
Résistance de calcul du béton et de l'acier , effort normal agissant , section de
béton Ac, petit côté b et grand côté h (b ≤ h ≤4b) :
pourcentage minimal (sinon ce n'est pas du béton armé) :
pourcentage maximal : , sauf dans les zones de recouvrement ( ) (AN);
au moins une barre dans chaque angle et, pour les poteaux circulaires, au moins 4 barres ;
diamètre minimal des aciers longitudinaux : (AN) ;
diamètre minimal des aciers transversaux : et 6 mm, sauf les treillis soudés (5 mm) ;
recouvrement des aciers longitudinaux (attentes): et 200 mm, ce qui donne
pour un béton fck = 25 MPa et des aciers travaillant à 435 MPa :
écartement maximal des aciers transversaux (Fig. suivante):
valeur multipliée par 0,6 :
dans les zones de hauteur h au-dessus et au-dessous des planchers,
dans les zones de recouvrement si en y prévoyant au moins 3 cadres.
EC2 Compression Page 14
Dans les zones de changement de direction des barres (pratique peu courante France), prévoir desarmatures transversales pour reprendre l'effort associé si pente du changement de direction est > 1/12 ;
Une barre longitudinale non tenue par des armatures transversales ne peut être plus de 150 mm d'une
barre longitudinale tenue .
ARMATURES TRANSVERSALES :
Elles sont disposées en cours successifs plans et normaux à l'axe longitudinal du poteau.
Chaque cours forme une ceinture sur le contour du poteau et entoure toutes les armatures
longitudinales pour éviter leur déplacement éventuel vers la ou les parois les plus voisines.
Le tracé de l'armature transversale ne comporte ni angle rentrant, ni recouvrement parallèle à la
paroi.
EC2 Compression Page 15
VI-COMPRESSION CENTREE - DIMENSIONNEMENT DES POTEAUX RECTANGULAIRES ETCIRCULAIRES (Méthode THONIER)
La formule simple du BAEL de la force portante d'un poteau soumis à des charges centrées d'élancement
inférieur à 70, n'existant pas dans l'EC2, M. THONIER propose de
dimensionner les poteaux avec les formules suivantes :
[1]
Ou encore : [2]
Ou encore : [3]
Avec :
b = largeur du poteau rectangulaire ;D = diamètre de la section circulaire ;h = épaisseur du poteau dans le sens du flambement ;L0 = longueur de flambement ;
;
As = section totale des aciers situés à la distance d' des parois, disposés en deux lits pour une sectionrectangulaire ou en au moins six barre pour une section circulaire ;
enrobage relatif ≤ 0,3 ;
élancement pour une section rectangulaire de côté h dans le sens du flambement ;
EC2 Compression Page 16
élancement pour une section circulaire de diamètre D dans le sens du flambement ;
% d'acier total pour une section rectangulaire ≤ 3 % ;
% d'acier total pour une section circulaire ≤ 3 % ;
Limites d'emploi : élancement
En identifiant NRd =NEd dans l’équation [3], on définit ainsi une équation du 1er ou du 2e degré
avec inconnue
Remarque :
Si l'on ne connaît pas les valeurs de et , on peut prendre :
EC2 Compression Page 17
VII-EXEMPLE
TD1
Soit un poteau définit comme suit :Dimensions : 0,20 x 0,40 mLongueur de flambement : L0=2,60 mBéton : fck=25 MPaAcier : fyk=500 MPa ; Es= 200 000 MPa
Charges :
Permanentes : NG=0,36 MN ; Exploitation : NQ=0,16 MN
Coefficient de combinaison quasi permanente : =0,3
Classe d’exposition : XC1 – durée de vie 50 ans
Pour le calcul du coefficient de fluage, on supposera un chargement t0= 28 jours et un taux d’humidité
RH=70% ; ciment de classe Normal
En admettant une compression centrée, déterminer la section d’armature par la méthode simplifiée de
M. THONIER, puis vérifier si les effets du 2e ordre peuvent être négligés. Si , rechercher le
moment de 2e ordre par :
La méthode de la rigidité nominale
La méthode de la courbure nominale
TD2
Reprendre le poteau du cours « 4-Compression simple BAEL » et dimensionner les armatures par la méthodesimplifiée (THONIER) à l’EC2 en considérant les hypothèses suivantes :
Béton : fck=25 MPaAcier : fyk=500 MPa ; Es= 200 000 MPa
Coefficient de combinaison quasi permanente : =0,3
Classe d’exposition : XC1 – durée de vie 50 ans
Pour le calcul du coefficient de fluage, on supposera un chargement t0= 28 jours et un taux d’humidité
RH=70% ; ciment de classe Normal
EC2 Fluage 26 décembre 2006
Cette fiche synthèse donne le déroulement pour le calcul courant du coefficient de fluage àl’infini ϕ(∞, to) à partir de l’annexe B de l’EC2.
– entrées :
– RH, humidité relative en %– fck, résistance caractéristique du bé-
ton– b, h, dimensions de la section rectan-
gulaire
– to, âge d’application de la contrainteσc
– t = ∞, âge où l’on calcule l’influencedu fluage
– rayon moyen de la section ho :– Ac, aire totale de béton,– u, périmètre de la section de béton,– ho, rayon moyen de la section :
ho =2Ac
u– temps corrigé to :
– temps corrigé to,T , on peut prendre en compte l’influence de la température avantson chargement, mais généralement il vaut to = 28 jours.
– paramètre α :
α =
−1 ciment de classe S(low)0 ciment de classe N(ormal)1 ciment de classe R(apid)
– temps corrigé to :
to = max
(to,T
(9
2 + t1,2o,T
+ 1
)α
; 0, 5
)Rem : il semblerait que ce soit 0, 5to et non 0, 5...
– facteur tenant compte de l’humidité ϕRH :– coefficients α1, α2 :
α1 =
(35
fcm
)0,7
α2 =
(35
fcm
)0,2
– coefficient de fluage tenant compte de l’humidité ϕRH :
ϕRH =
1 +
1−RH/100
0, 1 3√
ho
pour fck 6 27 MPa
[1 +
1−RH/100
0, 1 3√
ho
α1
]α2 pour fck > 27 MPa
– coefficient tenant compte de la résistance du béton β(fck) :
β(fck) =16, 8√fck + 8
– coefficient tenant compte de l’âge du béton β(to) :
β(to) =1
0, 1 + t0,20o
– coefficient de fluage ϕ(∞, to) :
ϕ(∞, to) = ϕRHβ(fck)β(to)
1
INSTABILITÉS –IMPERFECTION)
– fcd : contrainte de dimensionnement du béton ;– fyd : contrainte de dimensionnement de l’acier ;– l : longueur libre de l’élément ;– m : nombre d’élément contribuant à l’effort total, vaut
1 pour un élément isolé ;– Ac = bh : aire de béton non fissurée ;
– Ic =bh3
12: moment d’inertie de la section non fissurée ;
– i =
√Ic
Ac
: rayon de giration de la section non fissurée ;
Détermination de la longueur efficace lo (5.8.3.2)
Élancement λ =loi
θi = θ0αhαm
θ0 =1
200rad
αh = max
(2
3; min
(2√l
; 1
))αm =
√0, 5
(1 +
1
m
)
ei = max
(θi
lo2
; 20 mm)
ϕef = ϕ(∞, to)M0Eqp
M0Ed
ϕ(∞, t0) : coefficient de fluage à l’infini (3.1.4)M0Eqp = MEqp + NEqp ei : moment fléchissant du premier ordre sous
sollicitations quasi permanente aux ELSM0Ed = MEd + NEd ei : moment fléchissant du premier ordre aux ELU
ω =Asfyd
Acfcd
: ratio mécanique d’armatures
As : aire totale d’armatures
rm =M01
M02
: rapport des moments d’extrémités
du premier ordre pour un poteau isolé.
A =1
1 + 0, 2ϕef
B =√
1 + 2ωC = 1, 7− rm
n =NEd
Acfcd
λlim = 20ABC√
n
λ?
>λlim
Chance, pas devérification ausecond ordre
Non
OuiIl y a le choixentre 3 mé-thodes ! ! !
INSTABILITÉS –COURBURE NOMINALE
– fck : contrainte caractéristique du béton ;– ϕef : coefficient de fluage effectif (cf. algorithme im-
perfections) ;– λ : élancement du poteau (cf. algorithme imperfec-
tions) ;– m : nombre d’élément contribuant à l’effort total, vaut
1 pour un élément isolé ;– Ac = bh : aire de béton non fissurée ;
– Ic =bh3
12: moment d’inertie de la section non fissurée ;
– i =
√Ic
Ac
: rayon de giration de la section non fissurée ;
Kϕ = max(1 + βϕef ; 1)
β = 0, 35 +fck
200− λ
150
Kr = min
(nu − n
nu − nbal
; 1
)n =
NEd
AcfEd
ω =Asfyd
Acfcd
nu = 1 + ωnbal = 0, 4
εyd =fyd
Es
1
ro
=εyd
0, 45d
1
r= KrKϕ
1
ro
Le coefficient de courbure c vaut en général 10
e2 =1
r
l2oc
M2 = NEde2
MEd = M0Ed + M2
INSTABILITÉS –RIGIDITÉ NOMINALE
– Ecd : module de déformation d’élasticité du béton ;– Ic : moment d’inertie de la section droite de béton
(bh3/12 pour une section rectangulaire) ;– Es : module de déformation d’élasticité de l’acier ;– Is : moment d’inertie de la section des armatures en
centre de gravité des aciers ;
– ρ =As
Ac
: ratio géométrique d’armatures
Ks =
{1 si 0, 002 6 ρ 6 0, 01
0 si ρ > 0, 01
Kc =
k1k2
1 + ϕef
si 0, 002 6 ρ 6 0, 01
0, 3
1 + 0, 5ϕef
si ρ > 0, 01
– k1 =
√fck
20
– n =NEd
Acfcd
: effort normal relatif ;
– k2 = min
(n
λ
170; 0, 20
)en vérification ;
– k2 = min (n0, 30 ; 0, 20) en dimensionnement ;
EI = KcEcdIc + KsEsIs
NB = π2EI
l2o
– β = 1 en dimensionnement ;
– β =π2
co
en vérification ;
– co coefficient de chargement :– 8 : moment de premier ordre constant– 9,6 : distribution parabolique...
MEd = M0Ed
1 +β
NB
NEd
− 1
COURS DE BETON ARME
AUX EUROCODES
---------
Chapitre 8 : La flexion aux ELU
EC2 Flexion ELU Page 1
Flexion à l’état limite Ultime
L'EC2 reprend les mêmes hypothèses sur la flexion en ELS, à l'exception de la proportionnalité contrainte-déformation qui n'existe plus, car on est dans le domaine élastoplastique des matériaux béton et acier.
une section plane reste plane après déformation avec conservation des sections planes et non-gauchissement (principe de Navier-Bernoulli) ;
non-glissement entre l'acier et le béton, d'où un certain nombre de conditions "à vérifier sur ceque l'on appelle l'adhérence ;
non-prise en compte de la résistance du béton tendu, ce qui est prudent compte tenu de safaible résistance à la traction et du fait que des fissures ont pu se produire avant sa mise enchargement sous l'action du retrait, des variations de température et d'humidité.
C'est en ELU que l'on détermine les aciers de flexion, quitte à vérifier ensuite les contraintes en ELS sicela est exigé.
Principe du calcul
• En ELU : détermination des aciers de flexion• En ELS, vérification éventuelle des contraintes• Pour les aciers, intérêt à utiliser le diagramme avec droite inclinée à la place du palier
(économie non négligeable)
Aciers à palier : pas de limite d’allongement
Aciers à droite inclinée : εud
= 22,5 ‰, 45 ‰ ou 67,5 ‰ (au lieu de 10 ‰ pour le BAEL)
Rappel de la maîtrise de la fissuration
La fissuration est normale dans les structures en béton armé (Cracking is normal in reinforced concrète
structures) soumises à des sollicitations de flexion, d'effort tranchant, de torsion ou de traction résultant soit
d'un chargement direct, soit de déformations gênées ou imposées (art. 7.3.1 (2)).
Les fissures peuvent être admises sans que l'on cherche à en limiter l'ouverture sous réserve qu'elles
ne soient pas préjudiciables au fonctionnement de la structure (art.7.3.1 (4)).
(1) Pour les classes d'exposition X0 et XC1, l'ouverture des fissures n'a pas d'incidence sur la durabilité et cette limite est
fixée pour garantir un aspect acceptable (art. 7.3.1 (5)). En l'absence de conditions sur l'aspect, cette limite peut être traitée
de manière moins stricte.
(2) Pour ces classes d'exposition, il convient de vérifier la décompression sous combinaison quasi permanente des charges.
.7.3.1
EC2 Flexion ELU Page 2
(1) L'attention est attirée sur le fait que wmax est une valeur conventionnelle servant pour le calcul.
(2) Sauf demande spécifique des Documents particuliers du marché (DPM), la maîtrise de la fissuration est supposée assurée
par des dispositions constructives minimales données dans l'article 7.3 de l’EC2-1-1 (section minimale d'armatures), le calcul
de wmax n'est pas alors requis.
(3) Dans le cas des bâtiments de catégorie et d'usage A et D (voir cour EC2 Actions page 6) , (tous les bâtiments exceptés les
bâtiments de stockage et industriels, dans les classes d’exposition 2XC , 3XC et 4XC ) sauf demande spécifique des
Documents particuliers du marché, la maîtrise de la fissuration est supposée assurée par des dispositions constructives
minimales données ailleurs que dans l'article 7.3, le calcul de wmax n'est pas alors requis.
(4) Pour ces classes d'exposition, en outre, il convient de vérifier la décompression sous combinaison quasi permanente des
charges.
(5) Pour la classe XD3, en l'absence de dispositions particulières, ce sont ces valeurs qui s'appliquent.
(6) La décompression impose que le béton situé à moins de 25 mm des armatures de précontrainte adhérente ou de leurs
gaines, soit comprimé sous combinaison de charges spécifiée.
I-REGLES DES PIVOTS
Cas du diagramme avec pente – limitation de à 45‰uk
1a
A
B
C
45 10-3
2 10-3
3,5 10-3
raccourcissements allongements
section droite avant déformation
1b
section droite après déformation
paraboleux
31020 ccdf
cdf
ul
AB AB AB
3,50,0721 ; = 0,8. .(1-0,4. )=0,056
3,5 45c
ABc s
EC2 Flexion ELU Page 3
En conséquence :
si2
0,056. .
uu AB
w cd
M
b d f ; c’est la capacité portante de l’acier qui est épuisée : PIVOT A ; Sinon PIVOT B et
cette fois c’est la capacité du béton qui est épuisée. Il faut alors comparer àu l ; si
: pas d'aciers comprimés sinon aciers comprimésu ul
La démarche de calcul est similaire à celle du BAEL
Cas du diagramme avec palier – pas de limitation de uk
Le pivot A n’a pas de sens, on est automatiquement au pivot B
Le palier commence à 0 2,17‰s (plastification de l’acier)
2a
A
B
C
45 10-3
2 10-3
3,5 10-3
raccourcissements allongements
section droite avant déformation
2b
section droite après déformation
parabole
rectangle
h73
ux
310172 ,E
f
E
f
ss
yk
s
yd
ul
s
cdf
AB AB AB
3,50,617 ; = 0,8. .(1-0,4. )=0,371
3,5 2.17c
ABc s
En conséquence :
si2
0,371 2,17 ‰. .
uu AB s
w cd
M
b d f ; c’est la capacité portante du béton qui est épuisée : PIVOT B ,
l’acier est bien utilisé ; Sinon 2,17 ‰s = mauvaise utilisation de l’acier donc soit Aciers comprimés ou revoir la
section de béton .
II- SECTION RECTANGULAIRE
Compte tenu du fait qu'il n'y a pas de limite d'allongement à prendre en compte dans les calculs pourdes aciers avec palier ou bien, que les aciers à droite inclinée ont une limite de calcul
0,9.ud uk (AN) avec un uk minimum de 2,5 % soit 25 ‰, (2,5 fois plus que la limite du BAEL),
le pivot 1 du BAEL n'a plus de sens et on peut considérer, même pour de petites hauteurs de la partiecomprimée du béton, que celui-ci a une déformation de 3,5 % en section partiellement tendue.
EC2 Flexion ELU Page 4
On retrouve les formules classiques de la flexion ELU des sections rectangulaires avec :
EC2 Flexion ELU Page 5
III- SECTIONS RECTANGULAIRES - ORGANIGRAMMES DE RESOLUTION
Cas du diagramme avec pente – limitation de à 45‰uk
EC2 Flexion ELU Page 6
Cas du diagramme avec palier – pas de limitation de uk
EC2 Flexion ELU Page 7
Aciers comprimés
Même démarche qu’au BAEL
EC2 Flexion ELU Page 8
Correctif : remplacer .(1 0,4. )u ul ulz par z d et'
par ..
lusc
uu u
lu yd yd
M AA A
z f f
III-FLEXION SIMPLE ET COMPOSÉE - SECTION EN TÉ -DÉTERMINATION DES ACIERS
La flexion simple n'étant qu'un cas particulier de la flexion composée avec 0EdN
On supposera que l'axe neutre est dans l'âme, sinon on est ramené au cas d'une sectionrectangulaire bh.
On doit utiliser la largeur utile de la table telle que définie au chapitre « 6-EC2 Sollicitations ».
On suppose que la table est entièrement comprimée à la contrainte cdf (diagramme rectangulaire
simplifié). On déterminera le moment résistant de la partie extérieure de la table que l'on déduira du
moment agissant pour connaître le moment qui sera repris par l'âme.
EC2 Flexion ELU Page 9
x
b
dh
As
c
s
z
Fs
Fc
axe neutre
bw
hfd' F's
fcd (pour fck <= 50)
0,8 x (pour fck <= 50)A's
NEd
EC2 Flexion ELU Page 10
IV-APPLICATIONS
TD1 :
Soit la poutre suivante sollicitée comme suit : mkNM g 150 ; 260 et =0,3qM mkN
Caractéristiques géométriques mmhmmbw 600300
Classe structurale : 4S (durée d’utilisation du projet = 50 ans)
Poutre à l’intérieur d’un bâtiment : Environnement :Classe d’exposition 1XC Matériaux :
béton 3730 /C MPafck 30 ;
acier S500 MPaf yk 500 classe B Es= 200 000 MPa ; diagramme avec palier
Humidité relative RH = 70% - chargement t0=28 jours
Déterminer les aciers aux ELU et faire la vérification aux ELS
EC2 Flexion ELU Page 11
TD2 :
Soit la poutre suivante sollicitée comme suit : 240gM mkN ; 296 et =0,3qM mkN
Caractéristiques géométriques mmhmmbw 600300
Classe structurale : 4S (durée d’utilisation du projet = 50 ans)
Poutre à l’intérieur d’un bâtiment : Environnement :Classe d’exposition 1XF Matériaux :
béton 3730 /C MPafck 30 ;
acier S500 MPaf yk 500 classe B Es= 200 000 MPa ; diagramme avec palier
Humidité relative RH = 70% - chargement t0=28 jours
Déterminer les aciers aux ELU et faire la vérification aux ELS
TD3 :
Reprendre le TD1 en considérant le diagramme de l’acier avec pente
TD4 :
Reprendre le TD1 en considérant une section de 250 x 400 mm
COURS DE BETON ARME
AUX EUROCODES
---------
Chapitre 9 : La flexion aux ELS
EC2 Flexion ELS Page 1
Flexion à l’état limite de service
La flexion peut être simple en l'absence de compression axiale, ou bien composée en présence d'un effort
normal excentré sur un des axes principaux de la section, ou bien déviée avec un effort excentré en dehors
d'un des deux axes principaux.
Pour une section en matériau homogène, les contraintes de compression ou de traction dues à de la flexion
simple sont calculées par les formules classiques :.M y
I pour un point situé à une distance y de la fibre
neutre (contrainte nulle)
En béton armé, il est nécessaire de faire un certain nombre d'hypothèses rappelées par l'EC2 :
a) une section plane reste plane après déformation avec conservation des sections planes et
non-gauchissement (principe de Navier-Bernoulli) ;
b) non-glissement entre l'acier et le béton, d'où un certain nombre de conditions à vérifier sur ce que l'on
appelle l'adhérence (qui est plutôt un blocage de bielles de béton sur les verrous des barres) ;
c) non-prise en compte de la résistance du béton tendu, ce qui est prudent compte tenu de sa faible
résistance à la traction et du fait que des fissures ont pu se produire avant sa mise en chargement
sous l'action du retrait, des variations de température et d'humidité ;
d) les matériaux ont des comportements élastiques en état limite de service (ELS).
L'EC2 donne quelques précisions sur les contraintes du béton et de l'acier (art. 7.2) en ELS.
Pour éviter les fissures longitudinales, il peut être pertinent de limiter la contrainte du béton (ce n'est
donc pas une obligation) à la valeur : 1 1. avec 0,6c ckk f k (AN) en classe XD, XF et,,XS, sous
combinaison caractéristique.
Quand on prend en compte le fluage du béton dans les calculs (en combinaison quasi permanente) :
- celui-ci est linéaire si 2.c ckk f ;
- celui-ci est non linéaire si 2 2. avec 0,45c ckk f k (AN).
Pour éviter des allongements inélastiques et avoir des déformations et fissurations acceptables, onlimite la contrainte de l'acier en combinaison caractéristique à :
3 3. avec 0,8s ykk f k en général;
4 4. avec 1s ykk f k (AN) sous les combinaisons comportant une déformation imposée ;
Pour le contrôle de la fissuration et à défaut d'avoir à calculer l'ouverture des fissures, une méthodealternative est proposée par l'EC2 qui consiste à limiter les contraintes, le diamètre et les espacementsdes aciers. VOIR chapitre : 7- EC2 Tirant.pdf
I-FLEXION SIMPLE - SECTION RECTANGULAIRE -DÉTERMINATION DES CONTRAINTES
La formule vue plus haut pour un matériau homogène s'applique au béton armé à condition d'homogénéiser
la section en assimilant la section d'acier sA à une section équivalente de béton (tendu ou comprimé
selon le cas) égale à a fois sa valeur et à négliger le béton tendu ; est appelé couramment coefficientd'équivalence (n dans l'ancienne notation).
EC2 Flexion ELS Page 2
L'égalité des déformations, pour un béton et un acier situés à un même niveau, résulte de l'hypothèse b) ci-
dessus : ce qui donnes c s ss c
s c c c
EE E E
L'EC2 prend une valeur dépendant de chaque projet en fonction du module d'Young1
cmc
e
EE
, du
coefficient de fluage à long terme qui dépend lui- même du rapport des charges quasi permanentes :
( ; 0). Epe
Ed
Mt
M avec 0( ; )t = coefficient de fluage à l'infini (Annexe B de EEC2-1-1) et une mise en
chargement à l'instant t0, un moment ELS dû aux charges quasi permanentes MEqp et un moment de calculELS MEd
Calcul des contraintes
x
b
dh
As
c
s
c
s/n
z
Fs
Fc
axe neutre
EC2 Flexion ELS Page 3
lre méthode. Formule classique de la résistance des matériaux :.M y
I
Le béton tendu étant négligé, on détermine le centre de gravité de la section composée du bétoncomprimé et de l'acier tendu au moyen des moments statiques
2
. .( )2 s
bxA d x , équation du 2e degré :
2
. .( ) 02 s
bxA d x dont la racine vaut :
2( . ) 2. . . . .s s sA A b d Ax
b
puis le moment d'inertie : 23
. .( )3 sI
bxA d x
D'où les contraintes : béton.
c
M xI
et acier. .( )
s
M d xI
2e méthode. Équilibre des forces
Effort de compression du béton :1
. . .2c cN b x et de l'acier : .s ss AN
En l'absence d'effort normal extérieur (flexion simple), l'équilibre des forces s'écrit : sc NN
La contrainte de l'acier peut être déduite de celle du béton (Thalès) par :
. .s cd x
x
, d’où 0,5. . . .sb x
d xA
x
On retrouve bien l'équation du 2e degré de la méthode ci-dessus.
Le moment du couple résistant équilibre le moment extérieur : . .s c EdF z F z M
Avec / 3z d x , d'où : 0,5. . . . . .c s sEdM b x z A z , soit :. .
Edc
Mb x z
et. s
Eds
Mz A
EC2 Flexion ELS Page 4
EC2 Flexion ELS Page 5
II-FLEXION SIMPLE - SECTION EN TÉ - CALCUL DES CONTRAINTES (vérification)
On distingue deux cas suivant que la fibre neutre est :
dans la table. On est alors ramené au cas d'une section rectangulaire de section bh, car le
béton situé en dessous, étant tendu, est ignoré ;
dans l'âme. On procède de la même façon qu'en section rectangulaire, une section en Té
étant la différence de deux rectangles b.x et (b - bw). (x - hf) .
x
b
dh
As
c
s
c
s/n
z
Fs
Fc
axe neutre
bw
A's hfd' F's
's/n
0,5 bw . x2
+ [( As + A’s) + (b – bw) hf] . x – As d – A’s d’ – 0,5 (b – bw) hf2
= 0
I =bx3
3-
(b bw)(x hf )3
3+ As (x – d)
2+ A’s (x – d’)
2
D’où la contrainte dans le béton :.
cM x
I et dans l’acier :
.( ).sM d x
I
III-FLEXION SIMPLE - SECTION EN RECTANGULAIRE -DETERMINATION DES ARMATURES POUR UNE CONTRAINTE LIMITE DONNEE(dimensionnement)
EC2 Flexion ELS Page 6
IV-FLEXION COMPOSÉE - SECTION RECTANGULAIRE OU EN TÉ - CALCUL DESCONTRAINTES (vérification)
En présence d'un effort normal NEd, d'aciers tendus et d'aciers comprimés, on peut utiliser la formule
dite de la circulaire de 34 (règlement de calcul des marchés de l'État de 1934) qui conduit à la
résolution d'une équation du 3e degré : 3 . 0y p y q
c = excentricité de l'effort normal NEd par rapport à la fibre supérieure de la section
(voir Fig. suivante où c est positif).
EC2 Flexion ELS Page 7
x
b
dh
As
c
s
z
Fs
Fcaxe neutre
bw
A's hfd' F'c
NEd
-
c+
0
c
Les contraintes sont alors données par :
c =NEd.x
0,5bwx2 0,5(b bw)(2x hf )hf As (d x) As( d x)
s = . c .d x
xet s = . c .
x d
x
V-FLEXION COMPOSÉE - SECTION RECTANGULAIRE - DETERMINATION DES ARMATURESTENDUES ((dimensionnement)
On peut ramener le calcul à celui de la flexion simple, en prenant le moment par rapport aux aciers tendus.
Pour MEd et NEd donnés, on calcule le moment 1 .Ed EdM M N si représente la distance de l'effort
normal aux aciers tendus, positivement si l'effort normal est au-dessus des aciers .
Le moment 1M permet de calculer la section d'acier correspondante. La section finale doit prendre en
compte l'effort normal appliqué au même point, soit :
1Ed
syd
MN
zAf
M1 = MEd + NEd . → =cd
21
f.d.b
M → z = )211(d5,0 → As =
yd
Ed1
f
Nz
M
x
b
dh
As
NEd
EC2 Flexion ELS Page 8
VI- CALCUL DES FLÈCHES DES POUTRES ET DALLES
L'EC2-1-1 définit dans l'article 7.4 les conditions à satisfaire pour limiter les flèches : valeurs limites desflèches, règles simplifiées de détermination de la hauteur des poutres et dalles, méthode de calcul des flèchesen tenant compte du caractère fissuré du béton.
Limitation des flèches
Pour des raisons de bon fonctionnement (rupture de revêtement rigides tels que carrelages ou decloisons fragiles) ou d'aspect (esthétique), on limitera les déformations.
Sous combinaisons quasi permanentes en ELS, la flèche calculée ne devra dépasser les valeurssuivantes en fonction de la portée utile L.
Dispense de calcul des flèches
L'EC2 propose des valeurs des rapports portée/hauteur utile pour un certain nombre de cas simples
qui sont censés satisfaire les limites définies ci-dessus.
L = Leff
= portée utile = portée de calcul
d = hauteur utile
0
= pourcentage de référence = fck
0,5
/1000
= pourcentage d’aciers longitudinaux tendus à mi-travée = As/(b.d)
’ = pourcentage d’aciers longitudinaux comprimés
à mi-travée = A’s/(b.d)
K = coefficient dépendant du type de structure
EC2 Flexion ELS Page 9
Rapport maximal L / d
(Pour fck = 25 ou 30 MPa)
K Béton fortement sollicité ≥ 1,5 %
Béton faiblement sollicité ≤ 0,5 %
Poutre sur appuis simples 1,0 14 20Dalle sur appuis simples portant dans 1 direction 25 30Travée de rive d'une poutre continue 1,3 18 26Travée de rive d'une dalle continue portant dans 1 direction,ou continue le long d'un grand côté et portant dans 2 directions
30 35
Travée intermédiaire d'une poutre 1,5 20 30Travée intermédiaire d'une poutre ou d'une dalle portant dans1 ou 2 directions
1,3 18 26
Travée intermédiaire d'une dalle portant dans 1 ou 2 directions 35 40Dalle sans nervure sur poteaux (plancher-dalle),pour la portée la plus longue
1,2 17 24
Poutre en console 0,4 6 8Dalle en console 0,4 10 12Note 1. Les valeurs proposées vont dans le sens de la sécurité. Un calcul peut montrer fréquemment que des éléments demoindre hauteur peuvent convenirNote 2. Les limites indiquées pour les planchers-dalles correspondent à une limite moins sévère que L / 250 pour la flèche àmi-portée. L'expérience a montré que ceci est satisfaisant.
Correctifs
multiplier L/d par 310/s
si la contrainte en ELS diffère notablement de 310 MPa
multiplier par 0,8 pour les poutres en Té si beff
> 3 bw
multiplier par 7/Leff
pour les poutres ou dalles (autres que planchers-dalles) si L > 7 m et supportantdes cloisons fragiles
multiplier par 8,5/Leff
pour des planchers-dalles si L > 8,5 m et cloisons fragiles
Exemple.
Travée de rive d’une dalle continue L = Leff
= 5,20 m de longueur portant dans une direction
fck
= 25 MPa ; avec 0,5 % d’acier, on lit : L / d = 35 ,
soit d = 5,2 / 35 = 0,149 m qui correspond à h = 0,15 m.
APPLICATION
TD 1
Soit la poutre suivante sollicitée comme suit : mkNM g 150 ; 260 et =0,3qM mkN
Caractéristiques géométriques mmhmmbw 600300
Classe structurale : 4S (durée d’utilisation du projet = 50 ans)
Poutre à l’intérieur d’un bâtiment : Environnement :Classe d’exposition 1XC
Matériaux : béton 3730 /C MPafck 30 ; acier S500 MPaf yk 500 classe B Es= 200 000 MPa
Humidité relative RH = 70% - chargement t0=28 jours
3 HA 8 en montage
EC2 Flexion ELS Page 10
bw = 300
h=
60
0
de
ff=
55
5
6épinglecadre
mmcnom
20
203 HAG
12142 HAHA
Vérifier les contraintes dans la section de béton et dans la section d’acier tendue en supposant :
Environnement :Classe d’exposition 1XC
Environnement :Classe d’exposition 1XF
La maîtrise de la fissuration n’est pas requise
Peut-on se dispenser de vérifier la flèche ?
COURS DE BETON ARME
AUX EUROCODES
---------
Chapitre 10 : Le cisaillement
EC2 Effort tranchant Page 1
Effort tranchant
On distingue les éléments sans armatures d'effort tranchant (principalement dalles) et les élémentsavec armatures d'effort tranchant (poutres).
Les charges sont supposées être appliquées en face supérieure des éléments. Dans le cas d'une chargeREd appliquée sur la hauteur de l'élément (poutre croisées par exemple) ou en face inférieure (poutre ou dalleen allège), on relèvera cette charge par des armatures (suspentes) de section Asr (cadres, étriers ou épingles)dans la zone comprenant la partie commune aux deux éléments et définie sur les figures suivantes avec
Edsr
yd
RA
f
h1
coupe verticale
poutreporteuse
poutreportée
h2
<= h1
h2 h1
poutreportée
poutreporteuse coupe verticale
<= h2/3
<= h1
vue en plan
poutreporteuse
poutreportée
zonecommuneaux deux
autres
zone autoriséepour mise en place
des suspentes
<=
h2/2
EC2 Effort tranchant Page 2
Vccd
Vtd
I-NOTATION
Composantes d'effort tranchant dans le cas d'éléments de hauteur variable.
EC2 Effort tranchant Page 3
II-VERIFICATIONS DES EFFORTS TRANCHANTS (6.1)
,Ed ccd td Rd cV V V V pour des éléments non armées à l'effort tranchant :
,Ed ccd td Rd sV V V V Pour des poutres armées à l'effort tranchant ;
,maxEd ccd td RdV V V V Pour la résistance du béton des bielles (sans réduction due à la
transmission directe aux appuis).
Compte tenu de l'inclinaison des bielles, II convient que les armatures longitudinales tendues soient
capables de résister à l'effort de traction tdF supplémentaire généré par l'effort tranchant.
La force de traction des armatures principales est donc représentée par l’expression :
,max ( ) ( ) 1min ; ; cot cot
2EdEd L
td td td Ed
MM M x a M xF F F V g g
z z z
avec z d 0 9, {6.18} . Ces armatures longitudinales doivent être prolongées en direction de
l'appui (ce qui revient au même que d'augmenter, au point de calcul, la valeur de l'effort dans les
armatures longitudinales) :
d'une longueur La d pour les éléments non armés à l'effort tranchant (dalles principalement) ;
d'une longueur 0,5. .(cot cot )La z g g pour les éléments armés (poutres principalement).
si 45 et 90° 0,5. .(cot cot ) 0,5.La z g g z (décalage de la courbe des moments)
s
d z=0,9d
EdM
z EdV
EdV
cotVEd
sin
VEd
EdV
sin
VEd
cotVEd
EdN
tdF
cdF
tdF
tdcd FF
cotVEd2
1
cotVEd2
1
cotVEd
2
1
effort
dans la bielle
cotcotVF Edtd 2
1
cotVEd2
1
effort dans
l'armature
d'effort tranchant
cdF
tdF
EdV EdMEdN
EdV
2z
2z
cotcotVEd
cotcotVF Edtd 2
1
A B
CD
A B
C D
membrure comprimée
membrure tendue
bielles
armatures
d'effort tranchant bw bw
EdV
cotcotVEd
EC2 Effort tranchant Page 4
III- TRANSMISSION DIRECTE DES CHARGES AUX APPUISLorsque des charges sont appliquées sur la face supérieure de l'élément, à une distance va du nu
de l'appui telle que 0,5 2vd a d , la contribution de cette charge à l'effort tranchant agissant EdV peut être
minorée pard
av
2 .
d d
1
0,25
va
Transmissions directes : cas des charges ponctuelles : coefficient .
Pour la valeur de l’effort tranchant EdV ainsi calculé, il convient de satisfaire swEd ywdV A f sin , swA
représente la section des armatures d’effort tranchant dans la partie centrale sur une longueur de
va,750 . Cette réduction est uniquement valable lorsque les armatures longitudinales sont
complètement ancrées au droit de l’appui.
ywdf est la limite d'élasticité de calcul des armatures d'effort tranchant
va,750
va
va,750
va
(Fig.6.6 de l’EN 1992-1-1) : Armatures d'effort tranchant dans des travées courtes, avec bielle de transmission directe.
Pour 0,5va d , il convient de prendre la valeur 0,5va d . 250,
Pour la valeur de EdV calculée sans appliquer le facteur de réduction , il convient de satisfaire la
condition : max,RdEd VV
EC2 Effort tranchant Page 5
IV- ÉLEMENTS SANS ARMATURES D'EFFORT TRANCHANT (PRINCIPALEMENT DALLES)
on devra vérifier :
et 0,5. . . .cd wEdV f v b d (toujours vérifié pour une dalle non armée)
minv c,RdC 1k
Valeurs recommandées par la norme: NF
EN 1992-1-1
21230350/
ckmin fk,v
C
,
180 150,
Annexe nationale NF EN 1992-1-1/NA minv c,RdC 1k
Pour les dalles bénéficiant d’un effet deredistribution transversale sous le cas decharge considéré.
21340 /
ck
C
f,
C
,
180
150,
Pour les poutres et pour les dalles autres
que celles ci-dessus.21230530 /
ck
C
fk,
Pour les voiles 21350 /
ck
C
f,
1/31, , min. .(100. . ) ; . . .cp wLEd Rd c Rd c ckV V Max C k f v k b d
EC2 Effort tranchant Page 6
45°45°
section considérée
section considéréeA
A
section considéréeA
45
EdVbd
lsl
A
d
bdl bd
lEdV
EdV
slAsl
A
d
Définition de Asl
Asl : aire de la section des armatures tendues, prolongée d’une longueur supérieure à bdld au delà de la
section considérée.( bdl étant la longueur d’ancrage de calcul)
V- ÉLEMENTS AVEC ARMATURES D'EFFORT TRANCHANT (PRINCIPALEMENT LESPOUTRES)
On modélise le fonctionnement d'une poutre en béton armé comme celui d'une poutre treillis (treillisdit de Ritter-Môrsch) avec bielles et tirants.
sens d'apparition des fissures
membrure comprimée
biel
led'ab
out
biel
le2
bielle
3
biel
le1
=45°
sens d'apparition des fissures
bielle
4
L'EC2 reprend ce principe avec la possibilité de choisir l'inclinaison des bielles sur l'horizontale dans
les limites : 1 cot 2,5g (AN) ou encore 21,8 45 pour des éléments soumis à la flexion
simple ou composée de compression.
En flexion composée de traction ou traction pure, les limites sont les suivantes :
1 cot 2,5. 1ct ct
ctm ctmf fg
avec ct = contrainte de traction au centre de gravité.
EC2 Effort tranchant Page 7
L'utilisation de bielles à 45° ou à une autre inclinaison a des avantages et des inconvénients : les bielles très inclinées nécessitent moins d'acier d'effort tranchant mais conduisent à allonger un peu
plus les armatures longitudinales.
En général, la solution la plus économique correspond aux bielles à 45° .
z
z cotg z cotg
z (cotg + cotg)
bielle
cadre
acier inf.
Le bras de levier utilisé dans les formules peut être pris égal 0,9.d pour les éléments en béton armé (fissurés).
Pour les éléments non fissurés (béton précontraint ou flexion composée de compression), on adoptera la
formule de la résistance des matériauxI
zm
ou I représente le moment d'inertie de la section et m le
moment statique de la partie de la section située du même côté du centre de gravité.
Cas des Armatures droites 90
on devra vérifier :
, ,max, ; ;0,5. . . .wRd s Rd cdEd Rd cV V Min V V b d v f
EC2 Effort tranchant Page 8
Résultats comparatifs pour fck=25 MPa
On remarque que ce que l'on gagne en aciers transversaux, on le perd en partie en
allongements des aciers longitudinaux.
EC2 Effort tranchant Page 9
Cas des Armatures inclinées 45 90
Quantité minimale d'acier d'effort tranchant et espacements maximaux
À l'exception de certains éléments, on disposera d'un minimum d'armatures transversales :
. .sin 0,08. .sinsww w w
Ab b
s
En conséquence de la théorie du treillis, l'espacement des cadres ne doit pas laisser de manque
d'armatures entre deux nœuds situés en partie basse de la poutre et distants de .(cot cot )z g g .
L'EC2 a retenu les conditions suivantes :
0,75. .(1 cot )s d g (AN) pour les cadres, étriers et épingles ;
0,6. .(1 cot )s d g (AN) pour l'espacement entre les barres relevées. ;
0,75. et 600s d mm pour l'espacement transversal entre brins d'un même cadre.
Les armatures comprimées de diamètre doivent être maintenues par des cadres espacés de
moins de 15.
EC2 Effort tranchant Page 10
Epure des espacements des armatures d’effort tranchant
Pour des éléments principalement soumis à des charges réparties :
pas de vérification de l’effort tranchant à une distance à l’appui inférieure à d § 6.2.1(8),donc : V
Ed(x=d) (valable pour éléments armés et non armés)
poutres (§6.2.3 (5)) : on peut prendre l’effort tranchant le plus petit sur une longueur
.cotl z g donc : VEd
(x-l) pour le calcul des armatures (décalage)
Décalage des armatures longitudinales : 0,5. .(cot cot )La z g g soit entre 0,5 z et
1,25 z si 45 21,8ou
Dispositions constructives
Les armatures d'effort tranchant peuvent être constituées de cadres (2 brins) fermés ou ouverts,
d'étriers (2 brins) ou d'épingles (1 brin) ou de barres
1cadre
fermé à 135°
2étrier
3épingle
5cadreouvert
4cadre
fermé à plat
6cadre
fermé à 90°
7cadre
fermé à plat
La forme 7 est interdite en cas de torsion
EC2 Effort tranchant Page 11
Dalles avec armatures d’effort tranchant (art 9.3.2)
• Épaisseur minimale : 0,20 m• Même pourcentage minimal que pour les poutres :
,min 0,08. ck
yk
sww
f
f
As
• Si effort tranchant de calcul,max
3Rd
Ed
VV , les armatures pour reprendre l’effort tranchant peuvent
être entièrement composées de barres relevées ou bien de cadres, d’étriers et d’épingles (§ 9.3.2.3)(au choix).
• VRd,max
= cw
.bw. z . . f
cd(cotg + cotg)
• = 0,6 (1 - fck
/ 250)
• = inclinaison des bielles par rapport à l’horizontale•
cw= 1 en béton armé
• Sinon, on applique le cas général : au moins 50% de l’effort tranchant repris par cadres,étriers ou épingles
• Si = 90°, et θ = 45°, l’équation devient : VRd,max
= cw
. bw
. z . . fcd
.
• Espacement maximal : s ≤ 0,75 d pour cadres, étriers et épingles
s ≤ d pour les barres relevées
Aciers de glissement
Les aciers inférieurs sur appuis doivent pouvoir reprendre les efforts des bielles d'appui.Sur appui de rive (6.2.3)
L'effort dans le tirant inférieur est déterminé par l'équilibre du nœud inférieur sur appui :
(compression positive)cot EdEd Ed Ed NF V g N
Cette force conditionne la section droite du 1er lit d’armatures longitudinale et son ancrage.
La longueur d'ancrage de ces armatures doit être assurée à partir du nu de l'appui .
EC2 Effort tranchant Page 12
b
bdl
b
bdl
S'il existe une compression transversale p , la longueur d'ancrage peut être diminuée par lecoefficient∝5 = 1 - 0,4.p (∝5 compris entre 0,7 et 1).
C'est le cas de la composante verticale (VED) de l'effort de compression de la bielle d'appui et de laréaction d'appui qui l'équilibre et éventuellement de l'effort de compression du poteau ou du voilesitué au-dessus.
On peut aussi rencontrer ce cas dans le croisement avec une autre poutre perpendiculaire encastrée
dans l'appui. Le moment négatif de cette dernière comprime horizontalement la partie inférieure de la
première poutre.
Sur appui intermédiaire
L'effort dans l'armature inférieure est la somme des composantes de la bielle d'appui, de l'effortnormal agissant NED éventuel et de la compression de flexion (pour un moment négatif surappui).
Pour l'acier à droite de l'appui , on trouve :
2 2.cot Ed
E Ed Ed
M
zF V g N
EC2 Effort tranchant Page 13
Ces armatures doivent être ancrées dans l'appui d'au moins 10. pour des barres rectilignes,
du diamètre du mandrin de cintrage pour des crochets avec 16 et deux fois ce diamètrepour les crochets de barres de diamètre < 16.
10L
b)
bdl
c)
10L
m
d
mdl
a)
bdl
La section de ces armatures doit être d'au moins 25 % (AN) de la section d'acier à mi-travée
pour les poutres et de 50 % pour les dalles.
Vérification de la bielle d’about (6.5)Si on admet que les charges sont transmises par une bielle inclinée à ' par rapport à l'axe de
la poutre. Cela conduit au schéma mécanique suivant:
wb
EdVR
nomc 02s
0s
a
bdl
h
0s
pb
'l
'sin'cotsaab
0
2
'cotsa 02
z
cotz
2
cotz
2,Rd
EC2 Effort tranchant Page 14
EdV : valeur de l'effort tranchant au nu de l'appui pour x 0 (effort tranchant non réduit) = action de
contact ou réaction d’appui.
EdV effort tranchant au nu de l’appui
EdF représente l’action de l’armature inférieure sur le tronçon de bielle, transmis par adhérence.
bF l’effort de compression dans la bielle
Ce tronçon est soumis à 3 forces, elles sont concourantes, traduisons géométriquement que larésultante est nulle.
cotcot '
2Ed
Ed
F gg
V
EdVR
'sin'cotsaab
0
2
1,Rd
2,Rd 'sin
VF Ed
b
'
'cotVFEdEd
EdVR
'cotVFEdEd
'sin
VF Ed
b
'
EC2 Effort tranchant Page 15
L’équilibre donne :
L’armature doit être capable de reprendre un effort normal égal à : cot 'Ed EdF V g
2
cot'cot
On peut en déduire l’effort normal de compression dans la bielle d’about
La bielle est soumise à un effort égal à :
'sin
VF Ed
b 2 2
b Ed EdF V F
Vérification de la bielle en compression :
Pour une bielle inclinée à ' , l’effort normal dans celle-ci est.'sin
VF Ed
b
Nous devons vérifier que la contrainte de compression soit inférieure à :
2,max '. 0,85 1 .250
ckRd cd cd
fk f f
, {6.61}
La largeur de la bielle de béton est égale à :, 02 cot ' sin 'ba a s g
La section droite de la bielle =02 cot ' sin '. wa s g b
.
pb largeur du poteau wb largeur de la poutre soit pwb b;bMinb
La vérification s'écrit :
Soit ,Rd bielle ou ,2Rd la contrainte dans la bielle = ,max02 cot ' sin '.
bRd
b
F
a s g b
en remplaçant'sin
VF Ed
b
,max202 cot ' .sin ' .
EdRd
b
V
a s g b
Vérification de l’appui constitué par le poteau :
La valeur de EdV à considérer = l’effort tranchant au nu de l’appui + les charges appliquées
sur l’appui.
pb largeur du poteau wb largeur de la poutre soit pwb b;bMinb
La compression sur la surface d’appui doit aussi vérifier ,Rd a ou :
,1 ,max.Ed
Rd Rdb
V
a b
EC2 Effort tranchant Page 16
Cas ou la bielle d’about est trop comprimée
Toutefois en cas de poutre haute, on pourra superposer plusieurs bielles d’about suivant le principe ci
dessous illustré pour 2 bielles. Les bielles et ses tirants seront calculés comme ci-avant, chacun avec sa
part de charge (ici 0,5. VEd).(BAEL)°
Pour soulager la bielle d’about, nous pouvons utiliser un réseau croisé d’armatures reprenant
une partie de l’effort tranchant.
Si la largeur d’appui est insuffisante pour permettre le passage de Vu (bielle trop comprimée), nous
pouvons faire intervenir une largeur de bielle supérieure en disposant des armatures horizontales
réparties sur la hauteur de la poutre et ancrées au-delà de la ligne AB ; Il ne faut cependant pas oublier
de « remonter » la part d’effort tranchant Vu2 par l’intermédiaire de cadres et d’étrier situés tout près du
voisinage de l’appui.
Aw3
Ast2
Ast1
a(z-a)/2
z~~0,9d
A
B=Ast2
a
z+Lb,net
isolons la seconde bielle
C
Vu2
21 uuu VVV ;
Vu1 effort tranchant repris par la première bielle, on peut la faire travailler à sa valeur limite soit 1uV .
D’après le règlement BAEL, il faut que VV
u
u
1 3 , cela suppose que V
Vu
u
2
2
3 ; or les règles de
bonne construction conseillent de ne pas compter exagérément sur ces bielles secondaires au
risque de désordres graves VV
u
u
2 4 .
Pour les armatures Ast 2 , on peut utiliser des boucles disposées à plat comme indiqué sur le
schéma ci-contre.
Ast2boucle disposée à plat
EC2 Effort tranchant Page 17
VI- CISAILLEMENT TABLE-NERVURE (9.31)
Table comprimée
L'effort de compression dans la partie extérieure de la table est transmis par cisaillement le long d'un
plan vertical de longueur x et de hauteur hf.
VEd
x
yx
fh
x
FEd
fh
Edv
Edv
Edv
FEd
sf
Asf
bw
hf
beff
barre longitudinale ancréeau-delà du point obtenu parconstruction avec (voir 6.2.4(7):
f
B
A bielles de béton:
x
f
+bdl FEd
FEd
FEd
FEd
+ FEdFEd
Effort total de compression du béton : MEd
/ z
Part reprise par le débord de l’âme : (beff
– bw) / (2 b
eff) si l’axe neutre est dans la table ou inférieure à
cette valeur si la fibre neutre est dans âme.
Effort de compression du débord : FEd
= MEd
(beff
– bw) / (2 z . b
eff)
Pour une longueur x , la contrainte de cisaillement moyenne vEd est telle que :
. . .2.
eff wEdEd f
eff
b bMv h x
z b
d’où le cisaillement : vEd
1. .
. 2weffEd
Edf eff
b bMv
h x z b
EC2 Effort tranchant Page 18
Cet effort doit être repris par des armatures dont la section dépend de l’obliquité f des bielles de la
table :
V
z (cotg + cotg)
hf
z
h
M/z
bw beff b
F/cos
f
f
Ftg
f
bw/2
(beff+bw)/4
Mz
beff-bw
2beff
Mz
beff-bw
2beff
Mz
bw
beff
F =
Il convient de disposer d'une quantité minimale d'acier pour éviter une rupture fragile :
0,08. . ckf
f yk
sf f
f
Ah
s
Si, dans la table, il existe déjà des armatures transversales de section As par unité de largeur, pour une autreraison (flexion transversale par exemple), deux cas sont à envisager :
. . . .1 . .
. 2sf
yd f Ed f ff
weffEd
f eff
Af tg v h tg
s
b bMx zh b
EC2 Effort tranchant Page 19
Si le cisaillement,0,05.
. ( )ct ctkEd ctd ctd
c
fv k f f
avec k = 0,5 en cas de surface verticale de
reprise de bétonnage et k = 1 lorsqu’il n’y a pas de surface verticale de reprise de bétonnage (AN) », il
n'est pas nécessaire de disposer d'aciers en plus de ceux qui existent (pas même le minimal
défini ci-dessus) ;
sinon, on devra disposer de la section d'acier = ;0,5.sf sfs
f f
A AMax A
s s
Pour éviter d'avoir des écartements variables à chaque abscisse et compte tenu d'une certaine
plastification des sections, on peut considérer une contrainte constante sur une certaine longueur.
Certains règlements admettent une valeur constante sur toute la longueur de moment positif.
L'EC2 considère quatre plages entre les points de moments nuls en retenant la section moyenne d'acier.
i;nL
i;effL
i;a
2i;a
1
1iM
iM
ip
i;nM
1
i;nM
2
max;tiM,750
max;tiM,750
charge uniformément répartie
max;tiM,750
4i
a
4ia
4ia
4ia
max;tiM,250
,maxtiM
i,effiL,a 70
zone 1
zone 3
zone 2 zone 1
zone3
La longueur de table comprimée peut être celle qui donne forfaitairement la largeur de table efficace :0,70 L
effpour travée intermédiaire
0,85 Leff
pour travée de rive sans console
Pour simplifier, on peut considérer pour longueur de la table comprimée ia : figure 5.2 NF EN 1992-1-1
Soit4
iax pour la membrure comprimée et effL,x 150 pour la membrure tendue.
EC2 Effort tranchant Page 20
• Vérification de la contrainte de la bielle
La contrainte de compression de la bielle doit être limitée, ce qui conduit à vérifier :
avec 0,6.(1- / 250). .sin .cos ckEd cd f f v fV v f
EC2 Effort tranchant Page 21
EC2 Effort tranchant Page 22
Table tendue
Pour les moments négatifs et bien que le béton tendu ne soit pas pris en compte, les tables de poutresen Té jouent un rôle en permettant de tenir compte des aciers longitudinaux situés dans latable, à l'extérieur de l'âme.
On peut ainsi étaler les aciers de chapeaux sur toute la largeur utile beff de la table, de les disposer enun seul lit et ainsi gagner sur le bras de levier (art. 9.2.1.2(2)).
Si As2 représente la section d'acier longitudinal situé d'un côté de l'âme et As la section totale d'acier
longitudinal, en suivant le même raisonnement que pour les tables comprimées , l'effort longitudinal se
transmet par des bielles inclinées de f par rapport à l'axe longitudinal (l’EC2 donne la latitude de
variation d'angle entre 38,6° et 45° soit 1 cot 2,5g (AN).
On a besoin d'une section d'acier transversal égale à :
Avec0,15.
appui
eff
MM
x L
La vérification de non-écrasement de la bielle s’écrit :
2 1. .
.. .sf s
fsf ywd
A Atg
s A z f
Mx
2 . .sin .cos1
.. .
d sEd cd f f
f s f
Av f
A
F
x h z hV
Mx
EC2 Effort tranchant Page 23
EC2 Effort tranchant Page 24
EC2 Effort tranchant Page 25
ORGANIGRAMME SIMPLIFIE de calcul des armatures d’effort tranchant pour θ = 45°
EC2 Effort tranchant Page 26
COURS DE BETON ARME
AUX EUROCODES
---------
ANNEXES
Examen CCV109 – STI Génie Civil
Année 2010-2011 1
Conservatoire National des Arts et Métiers de la Réunion
RNCP - Titre Professionnel niveau II – Travaux Publics / BâtimentBéton Armé
Le 10/03/2011
CCV109 –Béton Armé
2eme session
Durée : 3hCalculatrice et tous documents autorisés
I- ETUDE D’UNE POUTRE DE PLANCHER - Voir annexes (12 points)
Objectif de l’étude :
L’étude porte sur le calcul du ferraillage de la poutre axée sur la file 3 (250 x 400 mm) duplancher haut du 1er étage d’un bâtiment à usage de bureaux (voir plan en annexe).
Données :
Béton : Classe de résistance 3025 /C MPaf ck 25
Le bâtiment est de catégorie B - 2 0,3
Classe d’exposition 1XC - durée de vie = 50 ans
Armatures HA : Classe B500 MPaf yk 500 Palier plastique
Ouverture de fissure : Wmax = 0,4 mm
200 000sE MPa
31476cmE MPa
Coefficient d’équivalence acier-béton : 16,26
Charges permanentes à prendre en compte :
Poids volumique du béton armé : 25 kN/m3
Cloisons fixes, chape et Revêtement de sol: 1,4 kN/m2
Charges d’exploitation à prendre en compte : kq
Plancher courant : 2,5 kN/m2
Examen CCV109 – STI Génie Civil
Année 2010-2011 2
Travail demandé:
A partir des recommandations professionnelles pour l’application dela norme NF EN 1992-1-1 :
1. Déterminer la largeur de la table de compression en travée pour la poutre de la file 3.(0,5 point)
2. Donner les cas de charge permettant d’obtenir les moments maxi en travée et sur appuis ;Calculer la valeur de ces moments et tracer le diagramme des courbes enveloppes.(1,5 points)
3. Détermination des armatures longitudinales de la poutre file « 3 »:a. Déterminer le ferraillage longitudinal en travée :
Pour cette question, on prendra : la largeur de la table de compression « beff » égale à 1,355 m ; le moment maxi en travée Mtmax= 54,31 KNm
(1,5 points)
b. Déterminer le moment « Mn » au nu de l’appui de la file « a » .Pour cette question, on prendra : les résultats RDM donnent pour une charge pu= 37,35 KN/m: le moment à l’axe de l’appui de la file « a » : Mapp= -42,02 KNm le moment à l’axe de l’appui de la file « b » : Mapp= -18,68 KNm
(0,5 point)
c. Déterminer le coefficient « » de redistribution et le moment après
redistribution sur l’appui de la file « a » .(0,5 point)
d. Quelle est la valeur du moment à retenir au niveau de l’appui de la file « a » ?Calculer la section d’armature longitudinale sur cet appui.Contrôle de la fissuration : Déterminer la section minimale d’armature.(2 points)
4. Vérifier les contraintes dans les matériaux acier et béton au niveau de l’appuide la file « a ». Pour cette question, on prendra Mser car = -29 KNm.
Sous combinaison caractéristique, on limitera la contrainte du béton à 0,6.fck et celle del’acier à 0,8.fyk.(1,5 points)
5. Effectuer toutes les vérifications nécessaires vis-à-vis de l’effort tranchant à droite del’appui de la file « a », c’est à dire : Nécessité d’avoir ou non des armatures transversales (6.2.2); Vérification de la résistance de la bielle de béton (6.2.3); Détermination du premier espacement des armatures transversales (6.8); Vérification du non-écrasement de l’appui ; Vérification complémentaire en présence d’un moment sur appui.
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Les résultats de la RDM donnent les efforts tranchants et moment non-réduits:VEd droite=-80,54 KN, VEd gauche=56,02 KN et Mapp= -42,02 KNm.
On prendra des armatures transversales à 90° et l’inclinaison de la bielle de béton à 45°.(2,5 points)
6. Déterminer la section d’armature nécessaire à la jonction dalle-nervure dans la travée dela poutre de la file « 3 ». Rappel : Mtmax= 54,31 KNm(1 point)
7. Représenter en coupe et en élévation toutes les sections d’armatures calculéesprécédemment.(0,5 point)
II- VERIFICATION D’UN POTEAU EN BETON ARME (250 x 300 mm)(8 points)
Objectif:
Dans cette seconde partie, l’objectif est de vérifier la section d’armature d’un poteauisolé, compte tenu des effets du second ordre suivant la norme NF EN 1992.
Données :
béton : Classe de résistance 3025 /C MPaf ck 25
Le bâtiment est de catégorie B Classe d’exposition 1XC - durée de vie = 50 ans
Armatures HA : Classe B500 MPaf yk 500 Palier plastique
200 000sE MPa
31476cmE MPa
Poids volumique : 325 m/kN
Sous combinaison quasi permanente 2 0,3 Humidité relative RH = 80% - chargement t0=28 jours Ciment : classe de résistance 42,5N
Coefficient de distribution de la courbure : 8oC pour un moment constant
Effort normal sollicitant: 0,07 ; 0,028G QN MN N MN
Moment sollicitant en tête: 02 0,042zM MNm
Moment sollicitant en pied : 01 0,042zM MNm Longueur libre L= 3 m Longueur de flambement L0 : à déterminer
Excentricité due aux imperfections, par simplification : 0 ; 2400
maxi
Lcme
Supplément d’excentricité : 0 0e
Section transversale : 250 300 mm Section d’armatures longitudinales : 6HA16 maintenus à l’aide de cadres
et étriers en HA8
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Année 2010-2011 4
Travail demandé :
1. Montrer que les effets du second ordre ne sont pas négligeables(prendre ef = 1,141 ). Les coefficients A, B et C ne seront pas pris en valeursforfaitaires mais calculés. (0,5 point)
2. Par la méthode de la rigidité nominale, déterminer le moment de second ordre.(3 points)
3. Par la méthode de la courbure nominale, déterminer le moment de second ordre.(2,5 points)
4. Vérifier si la section d’armature proposée (6HA16) est suffisante (abaqued’interaction à armatures symétriques en annexe). (2 points)
Lli
bre
Mz=42 KNm
Mz=42 KNm
z
y
250 mm
30
0m
m
NEd
6HA16
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ANNEXES
Classe d’acier fck
≤ 50 MPa fck
> 50 MPa
A(peu ductile
= 0,44 + 1,25 (xu/d) ≥ 0,8 = 0,54 + 1,25 (0,6 + 1,4/
cu2) (x
u/d) ≥ 0,8
B ou C
(ductile ou très ductile)
= 0,44 + 1,25 (xu/d) ≥ 0,7 = 0,54 + 1,25 (0,6 + 1,4/
cu2) (x
u/d) ≥ 0,7
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1
2
3
4
a b
3000
mm
3500
mm
2900
mm
1500 mm 4000 mm 1000 mm
250 x 400 mm
250 x 400 mm
250 x 400 mm
250 x 400 mm
300 mm 300 mm
300 mm 300 mm
160
PLAN DE COFFRAGE PARTIEL PLANCHER HAUT 1er ETAGE
400
mm
COUPE AA
A
A
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METHODE DE LA RIGIDITE NOMINALE
M1sd
M2sd
L libre
h
b
DONNEES:
Largeur b = 30,00 cmHauteur h = 25,00 cmEnrobage cnom = 25 mm
Hauteur poteau H = 3,00 m
Coef de flambement β1 = 2,00
Coefficient de distribution du moment c = 8,00
Humidité relative RH = 80,00 %Age béton t0 = 28 jours
Coef charge quasi permanente ψ2 = 0,30
Nbre de barres nb = GEW("EC2JF/AcierLong" ; n ; ) = 6
Ferraillage adopté Choix = SEL("EC2JF/AcierLong" ; Choix; n=nb;) = 6 HA 16Diamètre Long dL = TAB("EC2JF/AcierLong" ; ds ; Choix=Choix; ) = 16 mm
Diamètre Transv dT = SEL("EC2JF/AcierLong" ; ds ; ) = 8 mm
Hauteur utile d = h -(cnom + dT + dL/2) * 0,1 = 20,90 cm
Section d'armature As_vor = TAB("EC2JF/AcierLong" ; As ; Choix=Choix; ) = 12,060 cm²
SOLLICITATIONS:
Effort normal NG = -70,00 kN
Effort normal NQ = -28,00 kN
Effort normal NSd = 1,35*NG + 1,5*NQ = -137 kN
Effort normal quasi permanent Nqp = NG + ψ2*NQ = -78,40 kN
Remarque :M2sd > M1sd
Moment en pied M1Sd = 42 kNm
Moment en tête M2Sd = 42 kNm
MATERIAUX:
Beton = GEW("EC2JF/CarBeton" ; Choix; fck≤90) = C25/30fck = TAB("EC2JF/CarBeton"; fck ; Choix = Beton) = 25 MN/m²
fcd = 1*TAB("EC2JF/CarBeton"; fck ; Choix = Beton)/1,5 = 16,67 MN/m²
fcm = TAB("EC2JF/CarBeton"; fck ; Choix = Beton) + 8 = 33,00 MN/m²
Ecm = 22000*(fcm/10)0,3 = 31475,806 MN/m2
Acier = GEW("EC2JF/CarAcier"; Choix;) = B 500fyk = TAB("EC2JF/CarAcier"; fyk; Choix=Acier) = 500,00 MN/m²
fyd = TAB("EC2JF/CarAcier"; fyk; Choix=Acier)/1,15 = 434,78 MN/m²
Es = 200000,00 MN/m²
AN valeur de γγγγCE = 1,20
AN valeur de ks = 1,0
Ecd =Ecm
γγγγCE= 26229,838 MN/m²
CALCULS PRELIMINAIRES
Ac = b*h = 750,00 cm²
Rayon moyen de la section h0 = 10 * *2Ac
*2 ( )+b h= 136,36 mm
Coefficient α1 = ( )35
fcm
1/2
= 1,03
Coefficient α2 = (35 / fcm )^(7/10) = 1,04
ρRH27 = 1+(1-RH/100)/(0,1*h0^0,333) = 1,389
ρRH27plus = (1+((1-RH/100)*α1)/(0,1*h0^0,333))*α2 = 1,457
Coeff fluage ϕRH = IF (fck ≥ 27; ρRH27plus ; ρRH27) = 1,389
βfck = 16,8 / (fck+8)^0,5 = 2,92
βt0 =1
+0,1 t02/10
= 0,49
Coefficient de fluage à l'infini ρ∞1 = ϕRH *βt0 * βfck = 1,987
Valeur retenue d coef de fluage à l'infini ρ∞ = IF (ρ∞1 ≥ 2; 2 ; ρ∞1) = 1,987
Imperfections ei = MAX (2 ; 100*β1*H/400) = 2,00 cm
ea= 100 * ( 0,4 * M1Sd + 0,6 * M2Sd ) / -NSd = 30,66 cm
eb = 100 * ( 0,4 * M2Sd ) / -NSd = 12,26 cm
e0 = MAX ( ea; eb) = 30,66 cm
Exencentricité premier ordre e1 = ei + e0 = 32,66 cm
Moment 1er ordre M0Ed= ABS(NSd) * e1/100 = 44,744 kNm
Moment quasi permanent Mqp = - *Nqpe1
100= 25,605 kNm
Coefficient de fluage ρρρρef = ρ∞ ∗ ρ∞ ∗ ρ∞ ∗ ρ∞ ∗ Mqp / M0Ed = 1,137
CALCUL DE l'ELANCEMENT :
Longueur de flambement L0 = β1*H = 6,00 m
Elancement λ λ λ λ =*100 *ββββ1 H
*0,289 h= 83,04
CALCUL DE l'ELANCEMENT LIMITE :
rm = IF ( M1Sd =0; 0;M1Sd /M2Sd ) = 1,000
ω =*As_vor fyd
*Ac fcd= 0,419
A = 1 / (1 + 0,2 * ρef ) = 0,815
B = (1 + 2*ω )^(1/2) = 1,356
C = 1,7 -rm = 0,700
n = ABS(NSd)*10/(Ac*fcd) = 0,110
λλλλlim = 20 * A *B * C / (n0,5) = 46,650
RIGIDITE NOMINALE :
Ic = *( )*bh3
1210
- 8= 39062,500*10-8 m4
n = ABS(NSd)*10/(Ac*fcd) = 0,110
k1 = ( )fck
20
0,5
= 1,1180
k2 = MIN((n*λ / 170) ; 0,2) = 0,0537
kc = k1 * k2 / (1 + ρρρρef ) = 0,0281
d1 = d - (cnom + dT + dL/2) * 0,1 = 16,80 cm
Is = *( )*As_vor
d12
4
10- 8
= 850,954*10-8 m4
Module EI = (kc * Ecd * Ic ) + (ks * Is * Es) = 1,9898 MNm2
NB = *ππππ2 EI
L02
= 0,5455 MN
β = π2 / c = 1,2337
Moment 2ème ordre Rigidité M2r = M0Ed * 10-3 * β * (1 / ((NB / ((-NSd) * 10
-3)) - 1)) = 0,0185 MNm
Moment total MEdc = +( )M0Ed
1000M2r = 0,063 MNm
CALCUL DES ARMATURES:
νSd = ABS(NSd )* 10 / ( b * h * fcd ) = 0,11
µSd = ABS(MEdc) * 106 / ( b * h² * fcd ) = 0,20
LECTURE ABAQUE
ωtot = 0,40
As = *ωωωωtot *b *hfcd
fyd= 11,50 cm²
Diamètre ds = GEW("EC2JF/AcierLong" ; ds ; ds>6 ) = 16,00 mm
Nbre de barres n = SEL("EC2JF/AcierLong" ; Choix ; ds=ds ; As≥≥≥≥As/2 ) = 3 HA 16
Choix As = 2*TAB("EC2JF/AcierLong" ; As; Choix = n ) = 12,06 cm²
METHODE DE LA COURBURE NOMINALE
M1sd
M2sd
L libre
h
b
DONNEES:
Largeur b = 30,00 cmHauteur h = 25,00 cmEnrobage cnom = 25 mm
Hauteur poteau H = 3,00 m
Coef de flambement β1 = 2,00
Coefficient de distribution du moment c = 8,00
Humidité relative RH = 80,00 %Age béton t0 = 28 jours
Coef charge quasi permanente ψ2 = 0,30
Nbre de barres nb = GEW("EC2JF/AcierLong" ; n ; ) = 6
Ferraillage adopté Choix = SEL("EC2JF/AcierLong" ; Choix; n=nb;) = 6 HA 16Diamètre Long dL = TAB("EC2JF/AcierLong" ; ds ; Choix=Choix; ) = 16 mm
Diamètre Transv dT = SEL("EC2JF/AcierLong" ; ds ; ) = 8 mm
Hauteur utile d = h -(cnom + dT + dL/2) * 0,1 = 20,90 cm
Section d'armature As_vor = TAB("EC2JF/AcierLong" ; As ; Choix=Choix; ) = 12,060 cm²
SOLLICITATIONS:
Effort normal NG = -70,00 kN
Effort normal NQ = -28,00 kN
Effort normal NSd = 1,35*NG + 1,5*NQ = -137 kN
Effort normal quasi permanent Nqp = NG + ψ2*NQ = -78,40 kN
Remarque :M2sd > M1sd
Moment en pied M1Sd = 42 kNm
Moment en tête M2Sd = 42 kNm
MATERIAUX:
Beton = GEW("EC2JF/CarBeton" ; Choix; fck≤90) = C25/30fck = TAB("EC2JF/CarBeton"; fck ; Choix = Beton) = 25 MN/m²
fcd = 1*TAB("EC2JF/CarBeton"; fck ; Choix = Beton)/1,5 = 16,67 MN/m²
fcm = TAB("EC2JF/CarBeton"; fck ; Choix = Beton) + 8 = 33,00 MN/m²
Ecm = 22000*(fcm/10)0,3 = 31475,806 MN/m2
Acier = GEW("EC2JF/CarAcier"; Choix;) = B 500fyk = TAB("EC2JF/CarAcier"; fyk; Choix=Acier) = 500,00 MN/m²
fyd = TAB("EC2JF/CarAcier"; fyk; Choix=Acier)/1,15 = 434,78 MN/m²
Es = 200000,00 MN/m²
CALCULS PRELIMINAIRES
Ac = b*h = 750,00 cm²
Rayon moyen de la section h0 = 10 * *2Ac
*2 ( )+b h= 136,36 mm
Coefficient α1 = ( )35
fcm
1/2
= 1,03
Coefficient α2 = (35 / fcm )^(7/10) = 1,04
ρRH27 = 1+(1-RH/100)/(0,1*h0^0,333) = 1,389
ρRH27plus = (1+((1-RH/100)*α1)/(0,1*h0^0,333))*α2 = 1,457
Coeff fluage ϕRH = IF (fck ≥ 27; ρRH27plus ; ρRH27) = 1,389
βfck = 16,8 / (fck+8)^0,5 = 2,92
βt0 =1
+0,1 t02/10
= 0,49
Coefficient de fluage à l'infini ρ∞1 = ϕRH *βt0 * βfck = 1,987
Valeur retenue d coef de fluage à l'infini ρ∞ = IF (ρ∞1 ≥ 2; 2 ; ρ∞1) = 1,987
Imperfections ei = MAX (2 ; 100*β1*H/400) = 2,00 cm
ea= 100 * ( 0,4 * M1Sd + 0,6 * M2Sd ) / -NSd = 30,66 cm
eb = 100 * ( 0,4 * M2Sd ) / -NSd = 12,26 cm
e0 = MAX ( ea; eb) = 30,66 cm
Exencentricité premier ordre e1 = ei + e0 = 32,66 cm
Moment 1er ordre M0Ed= ABS(NSd) * e1/100 = 44,744 kNm
Moment quasi permanent Mqp = - *Nqpe1
100= 25,605 kNm
Coefficient de fluage ρρρρef = ρ∞ ∗ ρ∞ ∗ ρ∞ ∗ ρ∞ ∗ Mqp / M0Ed = 1,137
CALCUL DE l'ELANCEMENT :
Longueur de flambement L0 = β1*H = 6,00 m
Elancement λ λ λ λ =*100 *ββββ1 H
*0,289 h= 83,04
CALCUL DE l'ELANCEMENT LIMITE :
rm = IF ( M1Sd =0; 0;(M1Sd /M2Sd )) = 1,000
ω =*As_vor fyd
*Ac fcd= 0,419
A = 1 / (1 + 0,2 * ρef ) = 0,815
B = (1 + 2*ω )^(1/2) = 1,356 C = 1,7 -rm = 0,700
n = ABS(NSd)*10/(Ac*fcd) = 0,1096
λλλλlim = 20 * A *B * C / (n0,5) = 46,735
COURBURE NOMINALE :
nu = 1+ω = 1,419
nbal = 0,400
β = 0,35 + fck/200 - λ/λ/λ/λ/150 = -0,079
Kr = MIN ((nu-n)/(nu-nbal);1) = 1,000
Kϕ= MAX (1+β ∗ρρρρef ; 1) = 1,000
εεεεyd = fyd / Es = 0,00217
r0 = **0,45 d
εεεεyd0,01 = 43,34
r = r0 / (Kr*Kϕ) = 43,34
Excentricité second ordre e2 = *( )1r ( )L0
2
c
= 0,104 m
Moment du second ordre courbure M2c = -NSd * e2 /1000 = 0,014 MN*m
Moment total MEdc = +( )M0Ed
1000M2c = 0,059 MN*m
CALCUL DES ARMATURES:
νSd = ABS(NSd )* 10 / ( b * h * fcd ) = 0,11
µSd = ABS(MEdc) * 106 / ( b * h² * fcd ) = 0,19
LECTURE ABAQUE
ωtot = 0,40
As = *ωωωωtot *b *hfcd
fyd= 11,50 cm²
Diamètre ds = GEW("EC2JF/AcierLong" ; ds ; ds>6 ) = 16,00 mm
Nombre de barres n =SEL("EC2JF/AcierLong" ; Choix ; ds=ds ; As≥≥≥≥As/2 ) = 3 HA 16
Choix As = 2*TAB("EC2JF/AcierLong" ; As; Choix = n ) = 12,06 cm²
Recommended