2. Multiplier par le nombre d'or

Numeration en base de FibonacciDynamique

ChaosPavages et numeration

Multiplier par le nombre d’or

Pierre Arnoux et Anne Siegel

Aout 2004, Bordeaux

Pierre Arnoux et Anne Siegel Multiplier par le nombre d’or

DefinitionAlgorithme gloutonSuites admissiblesTheoreme fondamental

Rappel : developpement des entiers

Rappel. Le developpement de 8529 en base de Fibonacci est

8529 = (1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0)F .

TheoremeTout entier k ∈ N peut s’ecrire de facon unique k =

∑Nn=2 εnFn,

ou (εn)n∈N est une suite finie de zeros et de uns qui ne contientpas deux 1 consecutifs.

Comment peut-on developper des nombres reels dans une base lieeau nombre d’or ?

Rappel : developpement des entiers

Rappel. Le developpement de 8529 en base de Fibonacci est

8529 = (1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0)F .

TheoremeTout entier k ∈ N peut s’ecrire de facon unique k =

∑Nn=2 εnFn,

ou (εn)n∈N est une suite finie de zeros et de uns qui ne contientpas deux 1 consecutifs.

Comment peut-on developper des nombres reels dans une base lieeau nombre d’or ?

Definition du developpement d’un reel

Soit φ = 1+√

52 le nombre d’or

DefinitionSoit x ∈ [0, 1[. Une suite (εn)n∈N∗ d’entiers est un developpementde x en base φ si

x =+∞∑n=1

εnφ−n x = 0, ε1ε2 . . .φ (notation).

Exemples.1φ = 0, 1φ

1φ2 + 1

φ3 = 0, 011φ∑n≥0

1φ2n+1 = 0, 10101010101010 . . .φ

NotationLorsque le developpement est periodique, on place une barre audessus de la periode: 0, 10φ = 0, 10101010101010 . . .φ

Soit φ = 1+√

52 le nombre d’or

x =+∞∑n=1

1φ2 + 1

φ3 = 0, 011φ∑n≥0

1φ2n+1 = 0, 10101010101010 . . .φ

Soit φ = 1+√

52 le nombre d’or

x =+∞∑n=1

1φ2 + 1

φ3 = 0, 011φ∑n≥0

1φ2n+1 = 0, 10101010101010 . . .φ

Algorithme glouton

Une methode pour trouver un developpement

1. x = x0 un element de [0, 1[ ;

2. calculer n0 le plus petit entier tel que φ−n0 ≤ x0 ;

3. poser ε1 = 0, ε2 = 0, . . . , εn0−1 = 0 et εn0 = 1 ;

4. soit k = 1 et x1 = x0 − φ−n0 ;

5. calculer nk = min {n ∈ N, φ−n ≤ xk} ;

6. poser εnk−1+1 = 0, εnk−1+2 = 0, . . . , εnk−1 = 0 et εnk= 1 ;

7. definir xk+1 = xk − φ−nk ;

8. poser k := k + 1 et revenir a l’etape 5 ;

Algorithme glouton

3. poser ε1 = 0, ε2 = 0, . . . , εn0−1 = 0 et εn0 = 1 ;

4. soit k = 1 et x1 = x0 − φ−n0 ;

Algorithme glouton

3. poser ε1 = 0, ε2 = 0, . . . , εn0−1 = 0 et εn0 = 1 ;

4. soit k = 1 et x1 = x0 − φ−n0 ;

Algorithme glouton

3. poser ε1 = 0, ε2 = 0, . . . , εn0−1 = 0 et εn0 = 1 ;

4. soit k = 1 et x1 = x0 − φ−n0 ;

Algorithme glouton

3. poser ε1 = 0, ε2 = 0, . . . , εn0−1 = 0 et εn0 = 1 ;

4. soit k = 1 et x1 = x0 − φ−n0 ;

Algorithme glouton

3. poser ε1 = 0, ε2 = 0, . . . , εn0−1 = 0 et εn0 = 1 ;

4. soit k = 1 et x1 = x0 − φ−n0 ;

Algorithme glouton

3. poser ε1 = 0, ε2 = 0, . . . , εn0−1 = 0 et εn0 = 1 ;

4. soit k = 1 et x1 = x0 − φ−n0 ;

Algorithme glouton

3. poser ε1 = 0, ε2 = 0, . . . , εn0−1 = 0 et εn0 = 1 ;

4. soit k = 1 et x1 = x0 − φ−n0 ;

Existence d’un developpement

ProprietePour tout reel x ∈ [0, 1[, la suite ε definie a partir de l’algorithmeglouton est telle que x =

∑+∞n=1 εnφ

I φ−nk ≤ xk < φ−(nk−1) =⇒ 0 ≤ xk+1 < (φ− 1)xk .I 0 ≤ xk+1 = xk − φ−nk < φ−nk+1 − φ−nk = (φ− 1)φ−nk ≤

(φ− 1)xk .

I 0 < φ− 1 < 1 =⇒ xk ≥ 0 et xk → 0.I x =

∑∞k=0 φ−nk . (car x −

∑nk=0 φ−nk = xn+1 → 0)

I La suite nk est strictement croissante: nk+1 > nk + 1.I xk+1 < φ−nk =⇒ nk+1 > nk

I Si nk+1 = nk + 1I φ−n ≤ xk < φ−n+1 φ−n−1 ≤ xk+1 = xk − φ−n < φ−n.I xk ≥ φ−n−1 + φ−n = φ−n−1(1 + φ) = φ−n−1φ2 = φ−n+1

I x =∑+∞

n=1 εnφ−n

∑+∞n=1 εnφ

(φ− 1)xk .

I 0 < φ− 1 < 1 =⇒ xk ≥ 0 et xk → 0.I x =

∑∞k=0 φ−nk . (car x −

∑nk=0 φ−nk = xn+1 → 0)

I x =∑+∞

n=1 εnφ−n

∑+∞n=1 εnφ

(φ− 1)xk .

I 0 < φ− 1 < 1 =⇒ xk ≥ 0 et xk → 0.I x =

∑∞k=0 φ−nk . (car x −

∑nk=0 φ−nk = xn+1 → 0)

I x =∑+∞

n=1 εnφ−n

∑+∞n=1 εnφ

(φ− 1)xk .

I 0 < φ− 1 < 1 =⇒ xk ≥ 0 et xk → 0.I x =

∑∞k=0 φ−nk . (car x −

∑nk=0 φ−nk = xn+1 → 0)

I x =∑+∞

n=1 εnφ−n

∑+∞n=1 εnφ

(φ− 1)xk .

I 0 < φ− 1 < 1 =⇒ xk ≥ 0 et xk → 0.I x =

∑∞k=0 φ−nk . (car x −

∑nk=0 φ−nk = xn+1 → 0)

I x =∑+∞

n=1 εnφ−n

∑+∞n=1 εnφ

(φ− 1)xk .

I 0 < φ− 1 < 1 =⇒ xk ≥ 0 et xk → 0.I x =

∑∞k=0 φ−nk . (car x −

∑nk=0 φ−nk = xn+1 → 0)

I x =∑+∞

n=1 εnφ−n

Non uniciteCertains nombres ont plusieurs developpements !

I Relation algebrique sur φ: 1 + φ = φ2

φ= 0, 1φ = 0, 011φ

I Developpement impropre de 1, analogue a l’egalite1 = 0, 9999 . . . en base 10. 6

1 = 0, 10φ

DefinitionOn dit qu’une suite (εn)n∈N∗ d’entier est un developpementadmissible si les εn valent 0 ou 1, s’il n’y a jamais deux 1 de suite,et si la suite ne termine pas par 10.

φ= 0, 1φ = 0, 011φ

1 = 0, 10φ

φ= 0, 1φ = 0, 011φ

1 = 0, 10φ

φ= 0, 1φ = 0, 011φ

1 = 0, 10φ

Unicite sous la condition d’admissibilite

TheoremeL’algorithme glouton etablit une bijection entre l’intervalle [0, 1[ etl’ensemble des developpements admissibles.

Preuve aussi difficile que la preuve du fait que le developpementdecimal propre caracterise les reels.

Unicite sous la condition d’admissibilite

Preuve aussi difficile que la preuve du fait que le developpementdecimal propre caracterise les reels.

Demonstration

1. Tout x ∈ [0, 1[ admet un developpement admissible :l’algorithme glouton fournit des developpements admissibles.1.1 Les developpements donnes par l’algorithme glouton n’ont pas

deux 1 consecutifs (car nk+1 > nk + 1).1.2 Les developpements gloutons ne finissent pas par 10.

2. Unicite: Technique !! Deux developpements distincts donnentdeux reels differents2.1 (εn)n∈N∗ 7→ 0, ε1ε2 . . .φ est strictement croissante pour l’ordre

lexicographique.2.2 Si (εn)n∈{1,...,N} est une suite finie de 0 et de 1 qui ne contient

pas deux 1 de suite, elle verifie:∑N

n=1 εnφ−n < 1.

Demonstration

n=1 εnφ−n < 1.

Demonstration

n=1 εnφ−n < 1.

Demonstration

n=1 εnφ−n < 1.

Demonstration

n=1 εnφ−n < 1.

Demonstration

n=1 εnφ−n < 1.

Demonstration

n=1 εnφ−n < 1.

φ-expansionCodageCodage et expansionPartition de MarkovGraphe de la partition

Calculer le developpement d’un nombre ?

I Algorithme gloutonI comparer x a des puissances decroissantes de φ

I Methode dynamiqueI multiplier x par φ,I retrancher 1 quand on depasse φ.

φ-expansion

x ∈ [0, 1[→ φx mod 1 ∈ [0, 1[

I Formule expliciteTφ : [0, 1[→ [0, 1[

x 7→ φx si x < 1φ

x 7→ φx − 1 si x ≥ 1φ .

I Lineaire par morceaux ;discontinue en 1

I Continue surI I0 = [0, 1

I I1 = [ 1φ , 1[.

φ-expansion

x ∈ [0, 1[→ φx mod 1 ∈ [0, 1[

x 7→ φx − 1 si x ≥ 1φ .

I I1 = [ 1φ , 1[.

φ-expansion

x ∈ [0, 1[→ φx mod 1 ∈ [0, 1[

x 7→ φx − 1 si x ≥ 1φ .

I I1 = [ 1φ , 1[.

φ-expansion

x ∈ [0, 1[→ φx mod 1 ∈ [0, 1[

x 7→ φx − 1 si x ≥ 1φ .

I I1 = [ 1φ , 1[.

Codage naturel

On retient le numero de l’intervalle auquel un nombre appartient

I Formule expliciteν : [0, 1[→ {0, 1}

x 7→ 0 si x ∈ I0 = [0, 1φ [

x 7→ 1 si x ∈ I1 = [ 1φ , 1[.

I Exemple de codage

Codage naturel

x 7→ 0 si x ∈ I0 = [0, 1φ [

x 7→ 1 si x ∈ I1 = [ 1φ , 1[.

I Exemple de codage

Codage naturel

x 7→ 0 si x ∈ I0 = [0, 1φ [

x 7→ 1 si x ∈ I1 = [ 1φ , 1[.

I Exemple de codage0

Codage naturel

x 7→ 0 si x ∈ I0 = [0, 1φ [

x 7→ 1 si x ∈ I1 = [ 1φ , 1[.

I Exemple de codage0 1

Codage naturel

x 7→ 0 si x ∈ I0 = [0, 1φ [

x 7→ 1 si x ∈ I1 = [ 1φ , 1[.

I Exemple de codage0 1 0

Codage naturel

x 7→ 0 si x ∈ I0 = [0, 1φ [

x 7→ 1 si x ∈ I1 = [ 1φ , 1[.

I Exemple de codage0 1 0 0

Codage naturel

x 7→ 0 si x ∈ I0 = [0, 1φ [

x 7→ 1 si x ∈ I1 = [ 1φ , 1[.

I Exemple de codage0 1 0 0 0

Lien avec la φ-expansion

ProprieteLe developpement (εn)n∈N∗ de x ∈ [0, 1[ est donne parεn = ν(T n−1

φ (x)).

Plan de la preuve (cf details dans le poly)

1. Le codage donne le premier chiffre du developpementI ν(x) = ε1 ;

2. La φ-expansion decale le developpement d’un rangI Tφ(x) =

∑n≥1 εn+1φ

φ (x)).

∑n≥1 εn+1φ

φ (x)).

∑n≥1 εn+1φ

φ (x)).

∑n≥1 εn+1φ

Signification

Le developpement en base φ est l’histoire du deplacement de xsous l’action de la φ-expansion, reduite a savoir dans lequel desdeux intervalles I0 et I1 tombe les images successives.

Partition Markovienne

ProprieteTφ(I0) = I0 ∪ I1Tφ(I1) = I0.

I Si x ∈ I1, Tφ(x) est n’importe ou dans I0.

I Si x ∈ I0, Tφ(x) est n’importe ou dans I0 ou I1.deux 1 ne peuvent pas etre consecutifsdans le developpement en base φ

(Si T nφ (x) ∈ I1 alors T n+1

φ (x) ∈ I0)

I Si x ∈ I0, Tφ(x) est n’importe ou dans I0 ou I1.deux 1 ne peuvent pas etre consecutifsdans le developpement en base φ

φ (x) ∈ I0)

I Si x ∈ I0, Tφ(x) est n’importe ou dans I0 ou I1.

deux 1 ne peuvent pas etre consecutifsdans le developpement en base φ

φ (x) ∈ I0)

Graphe de la partition

ProprieteSont equivalentes

I (εn)n∈N∗ est un chemin dans le graphe de la partition qui nese termine pas par 10.

I (εn)n∈N∗ code la trajectoire d’un point pour la φ-expansion

I (εn)n∈N∗ est le developpement en base φ d’un point x ∈ [0, 1[.

Graphe de la partition

ProprieteSont equivalentes

I (εn)n∈N∗ est un chemin dans le graphe de la partition qui nese termine pas par 10.

I (εn)n∈N∗ code la trajectoire d’un point pour la φ-expansion

I (εn)n∈N∗ est le developpement en base φ d’un point x ∈ [0, 1[.

Preuve

Provient de deux points

I Les developpements en base φ sont donnes par les iterationsde φ

∀ n, εn = ν(T n−1φ (x))

I Il y a egalite dans la partition de MarkovTφ(I0) = I0 ∪ I1Tφ(I1) = I0.

I Remarque : s’il n’y avait que simple inclusion, les chemins del’automate ne seraient pas necessairement desdeveloppements.

Preuve

∀ n, εn = ν(T n−1φ (x))

Preuve

∀ n, εn = ν(T n−1φ (x))

Developpements impropres

Inevitables pour des raisons topologiques

I En decimal, 1 et 0,9999 sont proches mais pas leursdeveloppements.

I Quand on “digitalise”, on introduit des sauts.

I [0, 1[ est connexe ; l’ensemble des developpements possibles nel’est pas.

Pour une correspondance continue entre [0, 1[ et lesdeveloppements possibles ; il faut les developpements impropres.

Points periodiquesImprevisibiliteMesurer le chaosEntropie

Points periodiques

La φ-expansion est chaotique: premier indice, nombre de pointsperiodiques.

ProprieteL’ensemble des points periodiques de l’application Tφ est densedans [0, 1[.

I x periodique pour Tφ ssi son developpement est periodique

I Si x et y ont meme developpement jusqu’au rang n,|x − y | ≤ 1

φN−1 .

I Pour tout x ∈ [0, 1[ et d > 0, il existe n tel que φ1−N < d etεN(x) = 0.

I Alors y = 0, ε1(x) . . . εn(x) est admissible, periodique pour Tφ

et |x − y | < d .

Points periodiques

φN−1 .

et |x − y | < d .

Points periodiques

φN−1 .

et |x − y | < d .

Points periodiques

φN−1 .

et |x − y | < d .

Points periodiques

φN−1 .

et |x − y | < d .

Points periodiques

φN−1 .

et |x − y | < d .

Imprevisibilite a long terme

Deuxieme caracteristique des systemes chaotiques: imprevisibilite

I Exemple de la meteo.

I Meme si les conditions meteos sont proches deux joursdonnes, le temps changera dans le futur.

I L’infime difference entre les conditions meteo des deux joursconsideres va donner de tres grosses differences dans le futur.

I Dans le futur, rien ne permettra de presumer que les deuxpoints ont ete proches dans le passe.

Imprevisibilite de la φ-expansion

ProprieteSi x et y sont deux points de [0, 1[ qui sont tous les deux dans lememe intervalle I0 ou I1, alors |Tφ(y)− Tφ(x)| = φ|y − x |.

I Assez rapidement, les images des deux points de depart seretrouvent dans deux intervalles differents.

I Quand on a calcule n termes du developpement, on n’est pasplus avance pour calculer le suivant.

I Semblable a un jeu de pile ou face: 10 tirages facen’impliquent pas que le 11eme sera face.

Mesurer le chaos

I L’entropie mesure le comportement chaotique d’uneapplication.

I Compter le nombre d’itineraires de longueur n possibles

I Compter le nombre de debuts de longueur n differents pourdes developpements admissibles.

I Pour le developpement decimal, il existe 10n debuts delongueur n possibles.

I Pour le developpement binaire, il existe 2n debuts de longueurn possibles.

Mesurer le chaos

Debuts en base φ

ProprieteSoit n un entier. Pour le developpement en base φ, il existe Fn+2

debuts de longueur n possibles.

I Hn le nombre de debuts possibles en base φ.

I Les developpements qui commencent par 0 sont suivis de n− 1termes verifiant la conditions deux 1 non consecutifs: Hn−1.

I Ceux qui commencent par 1 sont suivis d’un 0 et de n − 2termes qui verifient la condition d’admissibilite : Hn−2.

I Hn+2 = Hn+1 + Hn ; H1 = 2 ; H2 = 3.

Debuts en base φ

I Hn+2 = Hn+1 + Hn ; H1 = 2 ; H2 = 3.

Debuts en base φ

I Hn+2 = Hn+1 + Hn ; H1 = 2 ; H2 = 3.

Debuts en base φ

I Hn+2 = Hn+1 + Hn ; H1 = 2 ; H2 = 3.

Debuts en base φ

I Hn+2 = Hn+1 + Hn ; H1 = 2 ; H2 = 3.

Entropie

DefinitionSoit Hn le nombre d’itineraires de longueur n ; on appelle entropiedu systeme le nombre limn→∞

log Hn

I Independant de la partition choisie.I Plus l’entropie est importante, plus son comportement est

indeterminable.I Multiplication par 2 modulo 1 (developpement binaire)

entropie = log 2.I Multiplication par 10 modulo 1 (developpement decimal)

entropie = log 10.

Le developpement decimal est plus chaotique que le binaire: unchiffre supplementaire donne plus d’information en base 10 qu’en

base 2.Pierre Arnoux et Anne Siegel Multiplier par le nombre d’or

Entropie

log Hn

entropie = log 10.

Entropie

log Hn

entropie = log 10.

Entropie

log Hn

entropie = log 10.

Entropie

log Hn

entropie = log 10.

Entropie

log Hn

entropie = log 10.

Entropie de la φ-expansion

TheoremeL’entropie de la φ-expansion est log φ.

limn→∞log Fn+2

n = limn→∞log

(φn+2√

5−φ

n+2√

)n = limn→∞

(φn+2√

= limn→∞(n+2) log φ−log

n = log φ

Entropie plus faible qu’en base 2: les 1 n’apportent aucunrenseignement.

limn→∞log Fn+2

n = limn→∞log

(φn+2√

5−φ

n+2√

)n = limn→∞

(φn+2√

n = log φ

limn→∞log Fn+2

n = limn→∞log

(φn+2√

5−φ

n+2√

)n = limn→∞

(φn+2√

n = log φ

Suite de pavagesCodage des pavagesLongueurs d’intervallesRegularite statistique

Decoupages successifs de l’intervalle

I ε1 decoupe [0, 1[ en 2:I un long (0)I un petit (1)

I ε1ε2 decoupe en 3I deux longs (00 et 10)I un petit (01)

I ε1ε2ε3 decoupe en 5I trois longs (000, 100, 010)I deux petits (101, 001)

I ε1ε2ε3ε4 decoupe en 8I cinq longsI trois petits

ProprieteLes developpements finis de longueurn decoupent l’intervalle [0, 1[ enFn+1 paves de taille 1

φn et Fn paves

de taille 1φn+1 .

Preuve: cf poly

φn et Fn paves

de taille 1φn+1 .

Preuve: cf poly

φn et Fn paves

de taille 1φn+1 .

Preuve: cf poly

φn et Fn paves

de taille 1φn+1 .

Preuve: cf poly

φn et Fn paves

de taille 1φn+1 .

Preuve: cf poly

Codage de pavages

Suite de longs et courts ? ?

I Etape 1: L. C.

I Etape 2: L. C. L.

I Etape 3: L. C. L. L. C

I Etape 4: L. C. L. L. C. L. C. L

I Chaque etape commence par la precedente.

I Rechercher la regle qui permet de passer du pavage d’ordre nau pavage d’ordre n + 1 ?

Codage de pavages

I Etape 1: L. C.

I Etape 2: L. C. L.

Codage de pavages

I Etape 1: L. C.

I Etape 2: L. C. L.

Codage de pavages

I Etape 1: L. C.

I Etape 2: L. C. L.

Codage de pavages

I Etape 1: L. C.

I Etape 2: L. C. L.

Codage de pavages

I Etape 1: L. C.

I Etape 2: L. C. L.

Mesure et developpement en base φ

I L’ensemble des points x ∈ [0, 1[ qui ont un 0 au rang n deleur developpement binaire est toujours de longueur 1

I L’ensemble des points x ∈ [0, 1[ qui admettent un 4 au rang nde leur developpement decimal est toujours de longueur 1

ProprieteL’ensemble des points x ∈ [0, 1[ qui admettent un 0 au rang n deleur developpement en base φ est de longueur Fn+1

φn .Les points qui admettent un 1 au rang n de leur developpementforment un ensemble de longueur Fn

φn+1 .

Preuve: additionner les mesures dans la prop. precedente.

φn+1 .

Application...

I le rapport entre les deux longueurs Fn+1

φn et Fnφn+1 tend

rapidement vers φ2.

I En tirant au hasard dans [0, 1[, on a environ φ2 fois plus dechance que ce nombre ait un 0 plutot qu’un 1 au rang n deson developpement.

I Asymptotique: le developpement d’un point x tire au hasarddans [0, 1[ contient presque surement φ2 fois plus de 0 que de1.

I La proportion de 1 dans le developpement en base φ d’unpoint x est presque surement 1

1+φ2 .

Attention: ces derniers resultats sont non triviaux !!!

Application...

φn et Fnφn+1 tend

1+φ2 .

Application...

φn et Fnφn+1 tend

1+φ2 .

Application...

φn et Fnφn+1 tend

1+φ2 .

Application...

φn et Fnφn+1 tend

1+φ2 .

Regularite statistique

I Le developpement binaire de x ∈ [0, 1[ contient en moyenneautant de 0 que de 1.

I En tirant une infinite de fois a pile ou face avec une pieceequilibree, presque surement, la proportion de face existe etvaut 1

I Outil indispensable : loi forte des grands nombres.

I Autres outils: mesure, probas, chaıne de Markov...

TheoremePresque surement, la frequence de 1 dans le developpement enbase φ d’un point x tire au hasard dans [0, 1[ est egale a 1

1+φ2 .

Mais...

La multiplication par φ...

I Chaos apparent.

I Regularites a long terme.

I Mais ces regularites ne sont que statistiques !

I Contre-exemple: 0, 100φ.

I Montrer que π verifie cette propriete donnerait la medailleField...

Mais...

I Chaos apparent.

Mais...

I Chaos apparent.

Mais...

I Chaos apparent.

Mais...

I Chaos apparent.

Annexes

I Preuve de la regularite statistique avec des chaınes de Markov(Terminale ES, specialite).

I Densite invariante pour la φ-expansion.

I Pavage de la demi-droite reelle avec les parties entieresassociees a la β-numeration.

Annexes

2. Multiplier par le nombre d'or

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Llibre d'or

Dynamique du nombre d'or

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Dossier de Presse Le Nombre D'Or 2012