View
21
Download
4
Category
Preview:
DESCRIPTION
Μαθηματικά προσανατολισμού Γ' Λυκείου. 20 συνδυαστικά θέματα επανάληψης. Τεύχος 4, σχολικό έτος 2015 - 2016. Ελεύθερη διάθεση για μη εμπορική χρήση.Προσφορά από: "Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!"
Citation preview
20 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου
(τεύχος 4 – σχολικό έτος 2015-2016)
Γράφουν οι μαθηματικοί: Βασιλόπουλος Κώστας
Βέρρας Οδυσσέας
Καρύμπαλης Νώντας
Κώνστας Χάρης
Λιτζερίνος Χριστόδουλος
Μπούζας Δημήτρης
Παπαπαναγιώτου Κώστας
Πετρόπουλος Βασίλης
ελεύθερη διάθεση για εκπαιδευτικούς σκοπούς από:
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
2
Θέμα 1ο
Δίνεται η συνάρτηση 2xf x e x x .
Α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένας αριθμός 1,0 τέτοιος ώστε: 2 1 0e .
Β. Να δείξετε ότι 2 1f x , για κάθε x R , όπου ο αριθμός του ερωτήματος 1.
Γ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2016
2015f x στο R .
Δ. Να αποδείξετε ότι: 2 2 2 21 2 3f x f x f x f x , για κάθε 0x .
Ε. Έστω ένα σημείο ,x t y t το οποίο διατρέχει τη γραφική παράσταση της f . Να
αποδείξετε ότι υπάρχει χρονική στιγμή ot , με 1,0ox t , ώστε ο ρυθμός μεταβολής της
τεταγμένης του Μ, ως προς το χρόνο t , να μηδενίζεται.
Θέμα 2ο
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R , με συνεχή πρώτη παράγωγο και 0 0f , για την
οποία ισχύει: 2f x
e e f x x , για κάθε x R .
Α. Να βρεθεί το 0f .
Β. Να δείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα.
Γ. Αν επιπλέον ισχύει ότι 0
0f x f
x
, για κάθε 0x , να δείξετε ότι η f είναι γνησίως
αύξουσα στο R .
Δ. Να αποδείξετε ότι 2 1 2ln 0f x f x , για κάθε 0x .
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
3
Θέμα 3ο
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f , με πεδίο ορισμού το R και 0f x , για κάθε x R , για
την οποία ισχύει: ln f x f x x , για κάθε x R .
Α. Να δείξετε ότι:
Α.1
1
f xf x
f x
, για κάθε x R .
Α.2 Η f είναι κυρτή.
Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο 1, 1f
Γ. Να αποδείξετε ότι 6 2
2 15f x dx dt
Δ. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 2,4 , τέτοιο ώστε
2
4
22
1
f xdx f f
f x
Θέμα 4ο
Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το διάστημα 1,4 .
Α. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, τότε να δειχθεί ότι:
1) η εξίσωση 0f x έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο R.
2) υπάρχει ένας τουλάχιστον R , τέτοιος ώστε f f
3) η εξίσωση 2xf x e x f x έχει μία τουλάχιστον ρίζα.
Β. Έστω επιπλέον συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το R, παραγωγίσιμη με παράγωγο g
συνεχή και γνησίως μονότονη. Αν ισχύει 1 xg f x e f x , για κάθε x R , να δειχθεί ότι:
1g x g .
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
4
Θέμα 5ο
Δίνεται η συνάρτηση ln 1x
g xx
, με 0x και η συνάρτηση 2f x x x g , με
x R και 0 .
Α. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Β. Για τις διάφορες τιμές του α, να βρεθεί πλήθος των ριζών της εξίσωσης 0f x .
Γ. Για 1 .
1) Να αποδειχθεί ότι από το σημείο 0, 2 άγονται ακριβώς δύο εφαπτομένες της fC .
2) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό σημείο ,x y της fC , με 0,1x , όπου κατά τη
χρονική στιγμή ot , ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του oy t είναι διπλάσιος από
αυτόν της τετμημένης του ox t , αν υποθέσουμε ότι , 0o ox t y t .
Δ. Να υπολογιστεί το όριο lim 1x
g x g x
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
5
Θέμα 6ο
Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση :f R R , με 0f x για κάθε x R , για την οποία
επιπλέον ισχύουν:
11
lim 20161x
fx
x
,
x
f xf x
, για κάθε x R .
Α. Να βρεθεί το 0f και στη συνέχεια να βρεθεί ο τύπος της f .
Β. Να βρεθεί το σημείο της fC που έχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο 1,0
Γ. Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη στο R.
Δ. Να αποδείξετε, ότι για κάθε 0x , ισχύει 2 2 2
x x xf x f f
.
Ε. Να αποδειχθεί ότι 2
02 2f x dx
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
6
Θέμα 7ο
Δίνεται κύκλος C με κέντρο το σημείο 1,2 και ακτίνα 2 . Έστω συνάρτηση f ,
παραγωγίσιμη στο R, της οποίας η γραφική παράσταση fC διέρχεται από τα σημεία του
επιπέδου Κ και 4,1 .
Α. Να βρεθούν οι διαστάσεις του εγγεγραμμένου, στον κύκλο C, ορθογώνιου
παραλληλογράμμου που έχει το μέγιστο εμβαδό.
Β. Να αποδειχθεί ότι η fC τέμνει τον κύκλο σε τουλάχιστον ένα σημείο με τετμημένη
1,4ox .
Γ. Έστω ότι η fC και ο κύκλος C έχουν δύο κοινά σημεία με τετμημένες 1x και 2x αντίστοιχα,
όπου 1 21 4x x . Να δειχθεί ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία της fC με τετμημένες
1 2, 1,4 στα οποία οι εφαπτομένες είναι μεταξύ τους κάθετες.
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
7
Θέμα 8ο
Έστω συνάρτηση f , παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύουν: 1 1f και
2
f xf x xe
, για κάθε x R .
Α. Να βρεθεί ο τύπος και τα σημεία καμπής της f .
Β. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: 21 ln 1e x για τις διάφορες τιμές
της παραμέτρου α, με R .
Γ. Να αποδειχθεί ότι: 1
00 ln 2f x dx
Δ. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 1
2
0x f x dx
Ε. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει 2015,2016 τέτοιο ώστε
2ln2
2
1 2016 1ln
2015 1e
ΣΤ. Έστω η συνάρτηση 1
g x f x fx
, με 0x . Να αποδειχθεί ότι:
2 4 3 5g g g
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
8
Θέμα 9ο
Έστω συνεχής συνάρτηση f , με πεδίο ορισμού το διάστημα 0, , για την οποία ισχύει
ότι f xf x e x , για κάθε x .
Α. Να δειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α.
Β. Να αποδειχθεί ότι: ln
2
xf x x , για κάθε 0x .
Γ. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f .
Δ. Να βρεθεί η αντίστροφη της f και να δειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των fC και 1fC
έχουν κοινή εφαπτομένη στο 0ox .
Ε. Να λυθεί η εξίσωση: 2 2ln 1f f e , αν 0 .
ΣΤ. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: 0
e
f x dx
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
9
Θέμα 10ο
Έστω συνάρτηση f , δυο φορές παραγωγίσιμη στο 2,2 , για την οποία ισχύει ότι:
2 2 3 0f x x f x x , για κάθε 2,2x .
Α. Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο x , με 0 2 , να αποδειχθεί ότι 2f και
στη συνέχεια να προσδιοριστεί το .
Β. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f , fC , δεν έχει σημεία καμπής.
Γ. Αν επί πλέον η f είναι συνεχής στο R, τότε:
1) Να δειχθεί ότι η εξίσωση 1 1
22 2 2
x x xf f f
είναι αδύνατη.
2) Να δειχθεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία
και τα ακρότατα και να βρεθεί το σύνολο τιμών της f .
3) Να αποδειχθεί ότι 2
04f x dx .
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
10
Θέμα 11ο
Έστω συνάρτηση f , παραγωγίσιμη στο R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:
1xf x f x e x f x f x , για κάθε x R .
Α. Αν επιπλέον ισχύει ότι 0 2f , να δειχθεί ότι ο τύπος της f είναι 1xf x e x .
Β. Αν 1 1
1f f
, με , R , να αποδειχθεί ότι 2 0f x dx
.
Γ. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί , ώστε να ισχύει 2x f x f x , για
κάθε x R .
Δ. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της
2
1x
xg x
e x
, την κατακόρυφη ευθεία 1x και τους άξονες x x και y y .
Ε. Να αποδειχθεί ότι 2 0xe xe e x για κάθε 0x .
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
11
Θέμα 12ο
Έστω συνάρτηση f , παραγωγίσιμη στο R, με f συνεχή και 0f x για κάθε x R .
Α. Έστω
1
ln lne x f xI dx
x
1) Να δειχθεί ότι 1
1 02
I f f .
2) Αν ισχύει ότι 1
2I , να αποδειχθεί ότι η f είναι κυρτή.
3) Αν επιπλέον ισχύει ότι 2016 0f , τότε να αποδειχθεί ότι 2015 2017 0f f .
Β. Επιπλέον ισχύει ότι
2
1
lnlim
1x
f x x x
x
, με R , τότε:
1) να βρεθεί το 1f
2) να βρεθεί το 1f
3) να δειχθεί ότι 1f x , για κάθε x R .
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
12
Θέμα 13ο
Έστω συνάρτηση : 0,f R για την οποία ισχύουν:
2 1 1f x y f x f y x y (1), για κάθε , 0,x y
Η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 με 1 2f .
Α. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, .
Β. Αν 4
2f xx
, με 0x , τότε να μελετήσετε την f ως προς:
1) τη μονοτονία και το είδος των ακροτάτων.
2) την κυρτότητα.
Γ. Να βρεθεί ο τύπος της f .
Δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη fC , τον x x και τις
κατακόρυφες ευθείες 1x , x με 0,1 .
Ε. Να υπολογιστεί το 0
limx
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
13
Θέμα 14ο
Έστω συνάρτηση f , δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύει:
1 3f x f x x , για κάθε x R .
Α. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν , 0,1ox τέτοια ώστε:
1) 0f
2) 3of x
Β. Να δειχθεί ότι 1
3x f x dx
.
Γ. Αν επιπλέον ισχύει 2
02f x dx , τότε να:
1) υπολογιστεί η τιμή του 1
0f x dx
2) δειχθεί ότι 24 1 4 6 1F x F x x , για κάθε x R , όπου F μια αρχική της f στο
R.
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
14
Θέμα 15ο
Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα 0,2fD . Δίδεται ότι:
η f είναι παραγωγίσιμη στο fD με f συνεχή.
0
lim ln 2016x
f x x x x
2
limx
f x
Έστω, επίσης, συνάρτηση
, 0,2
0 , 0
0 , 2
f xe x
K x x
x
Α.
1) Να βρεθεί το
0lim
f x
xe
2) Να δειχθεί ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον 0,2 ώστε 0f
Β. Αν επιπλέον η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,2 , 1f και
5
9 5
15 1 1x f x dx f f
, τότε να δειχθεί ότι:
1) 1
2) η g είναι κυρτή, όπου 3 3 2112 2 ln 6
3g x f x x x x x , με 0,2x
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
15
Θέμα 16ο
Δίνεται συνάρτηση :f R R με τύπο: 3
2 1
4, 0
1
2 3 , 0
x
x
x x
ef x x
ef x
e e x
Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η f είναι συνεχής στο ,0 τότε:
Α. Να δειχθεί ότι:
1) η f είναι γνησίως φθίνουσα και κυρτή στο 0, .
2) 0, 2,f
Β. Να δειχθεί ότι:
1) η f είναι γνησίως αύξουσα στο ,0
2) ,0 0,1f
Γ. Να αποδειχθεί ότι η f είναι "1 1" και να βρεθεί η 1f .
Δ. Να δειχθεί ότι η εξίσωση 3 2f x f x έχει ακριβώς δύο ρίζες.
Ε. Να αποδειχθεί ότι για κάθε 0x υπάρχει μοναδικό 0,1 τέτοιο ώστε:
2 1
22 2 2f x f x e e f f x f f x
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
16
Θέμα 17ο
Δίνονται οι συναρτήσεις ,f g για τις οποίες ισχύει: 1f x x x x , με , x R και
και 2
lng x
g x xx
για κάθε 1x .
Α. Αν 1 0f x , για κάθε x R , τότε να βρείτε την τιμή του α και τον τύπο της f .
Β. Αν 1g e να βρεθεί ο τύπος της g στο 1, .
Γ. Αν 2
lng x x σε όλο το διάστημα 0, , τότε να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδική
τιμή 0,1ox για την οποία η διαφορά f x g x να γίνεται ελάχιστη.
Δ. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό ζευγάρι σημείων 1 , f της fC και
2 , g της gC , με 0, , στα οποία οι ,f gC C να δέχονται παράλληλες
εφαπτομένες.
Ε. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις ,f gC C και τις κατακόρυφες
ευθείες 1x και x e .
ΣΤ. Να υπολογιστεί το όριο
1
1lim
1
x
x
x
g xx
f x
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
17
Θέμα 18ο
Έστω η συνάρτηση 1 31 12 2
3 3
xf x g x e x x , με τη συνάρτηση g παραγωγίσιμη και
κυρτή για κάθε x R .
Α. Δίνεται η συνάρτηση 1 22 2xw x e x . Να δειχθεί ότι:
1) η w είναι γνησίως αύξουσα στο R.
2) ισχύει 222 2
lnxx e
x xe e , για κάθε 0x .
Β. Επιπλέον για τη g ισχύει 2
1
3 1lim
1 2x
g x x
x
.
1) να υπολογιστούν τα 1g και 1g .
2) να δειχθεί ότι η f είναι κυρτή.
3) να δειχθεί ότι 3f x x , για κάθε x R .
4) Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη fC , τους άξονες ,x x y y και την
1x , να αποδειχθεί ότι 2 5 .
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2016)
18
Θέμα 19ο
Έστω οι συναρτήσεις ,f g παραγωγίσιμες και κυρτές σε όλο το R.
Α. Αν η g έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο την ευθεία y l , με l R , τότε να αποδειχθεί
ότι:
1) 0g x , για κάθε x R .
2) η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R.
3) g x l , για κάθε x R .
Β. Αν η f έχει πλάγια ασύμπτωτη στο την ευθεία : y x , με *R και R ,
τότε να αποδειχθεί ότι f x x για κάθε x R .
Θέμα 20ο
Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το 0, , για την οποία ισχύει
ότι: f είναι συνεχής , 0f x και 2
ln 0f x f x x f x , για κάθε x R .
Α. Να δειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί η 1f .
Β. Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό 1
1,ox ee
τέτοιο ώστε 2of x .
Γ. Να βρεθεί η ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο .
Δ. Να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 1ox και ότι 11 1 1f f
Ε. Να υπολογιστεί το όριο 1limx
f x f x
.
Recommended