electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul...

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2

II. FELADAT (30p) – Varianta 051

1. Adott a

)( mátrix, ahol 0.a >

5p a) Számítsd ki minden 0a > esetén a ( )( )det H a determinánst!

5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( ) , , 0.H a H b H a b a b⋅ = ⋅ ∀ >

5p c) Számítsd ki a ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2008H H H H+ + + +… mátrix determinánsát!

2. A ( )2,G = ∞ halmazon értelmezzük az ( )2 6x y xy x y= − + + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( )( )2 2 2, ,x y x y x y G= − − + ∀ ∈ .

5p b) Igazold, hogy ,x y G∈ , .x y G∀ ∈

5p c) Igazold, hogy a G halmaz minden eleme invertálható a „ ” műveletre nézve!

1. Az ( )2M halmazban adott az 1 1

mátrix. Jelölje ...n

n szer

A A A A−

= ⋅ ⋅ ⋅ , ahol n ∗∈ .

5p a) Igazold, hogy 2 3A A= .

5p b) Számítsd ki a ( )10det A determinánst!

5p c) Számítsd ki a 2B A I= + mátrix inverzét, ahol 2

2. A ( ) { }0, \ 1G = ∞ halmazon értelmezzük az 3ln ,yx y x= ,x y G∀ ∈ műveletet.

5p a) Határozd meg az 8x e = egyenlet valós megoldásainak halmazát, ahol e a természetes logaritmus alapja!

5p b) Igazold, hogy x y G∈ , , .x y G∀ ∈

5p c) Igazold, hogy a „ ” művelet asszociatív a G halmazon!

1. Adott a ( )1 1

= determináns, ahol a valós szám.

5p a) Számítsd ki a determinánst 1a = − esetén!

5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )21 2D a a a= − − + , bármely a valós szám esetén!

5p c) A valós számok halmazán oldd meg a ( ) 4D a = − egyenletet!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )10 110x y xy x y= − + + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( )( )10 10 10x y x y= − − + , bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) Számítsd ki: 1 110 20C C .

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az ( )1 10x x − = egyenletet!

1. Adott a , , ,

c a b a b c

∆ = ∈

determináns.

5p a) Számítsd ki a ∆ determináns értékét, ha 1, 0a b= − = és 1.c =

5p b) Igazold, hogy ( )( )2 2 2 , , ,a b c a b c ab ac bc a b c∆ = + + + + − − − ∀ ∈ .

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán a

1 2 1 0

egyenletet!

2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 3, 3x y x y x y ax y∗ = + + = + − műveleteket, ahol

a ∈ , valamint az ( ): , 6f f x x→ = + függvényt.

5p a) Számítsd ki: ( ) ( )1 2 0 3∗ ∗ .

5p b) Határozd meg azt az a egész számot, amelyre a „ ” művelet asszociatív!

5p c) Igazold, hogy 1a = esetén az f függvény morfizmus a ( ),∗ és ( ), csoportok között!

1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az ( )0,0O és ( ), 2 , nA n n n+ ∀ ∈ pontok.

5p a) Határozd meg az 0 1A A egyenes egyenletét!

5p b) Igazold, hogy az 0 1 2, ,A A A pontok kollineárisak!

5p c) Bizonyítsd be, hogy az 1n nOA A + háromszög területe nem függ az n természetes számtól!

2. Az [ ]X gyűrűben adott az 3 5f X X= − − polinom, amelynek gyökei 1 2 3, , .x x x

5p a) Számítsd ki az 1

2f −

értéket!

5p b) Számítsd ki azt az a ∈ számot, amelyre az f polinom X a− polinommal való osztási

maradéka 5− .

5p c) Számítsd ki az 1 2 3

determinánst!

1. Adott az

mx y z

− + = − + + = − + =

egyenletrendszer, ahol m egy valós paraméter.

5p a) Igazold, hogy bármely m valós szám esetén a ( )0;3;1 számhármas megoldása az

egyenletrendszernek!

5p b) Határozd meg az m valós paramétert úgy, hogy az egyenletrendszernek egyetlen megoldása legyen!

5p c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha 3.m ≠

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2 6 6 21x y xy x y∗ = − − + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( )( )2 3 3 3x y x y∗ = − − + bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) Oldd meg az 5 5 11x x∗ = egyenletet a valós számok halmazán!

5p c) Határozd meg az invertálható elemeket a „ ∗ ” műveletre nézve!

1. Adott az 2 3

mátrix.

5p a) Számítsd ki a ( )det A determinánst!

5p b) Igazold, hogy 3 7A A= , ha 3A A A A= ⋅ ⋅ .

5p c) Igazold, hogy ,A B A⋅ = ahol 226B A I= − és 2A A A= ⋅ .

2. Adottak az [ ] 4 3 2 3 2, , 1 1f g X f X X X X és g X X X∈ = + + + + = + + + polinomok.

5p a) Igazold, hogy 1f X g= ⋅ + .

5p b) Számítsd ki a g polinom valós gyökeit!

5p c) Számítsd ki az ( )f a értékét, ha a a g polinom egyik gyöke!

SUBIECTUL II (30p) – Varianta 059

1. Adottak az 3

1 1 0 1 0 0

1 0 0 és 0 1 0

0 1 0 0 0 1

− − = =

mátrixok.

5p a) Számítsd ki az A mátrix determinánsát!

5p b) Számítsd ki az 2A mátrixot, ha 2 .A A A= ⋅

5p c) Számítsd ki az 3I A+ mátrix inverzét!

2. Adott az [ ] 3 2, f X f X pX qX r∈ = − + − polinom, amelynek gyökei 1 2 3, , .x x x ∈

5p a) Számítsd ki az ( ) ( )0 1f f− különbséget!

5p b) Számítsd ki az ( )( )( )1 2 31 1 1x x x− − − kifejezést , ,p q r függvényében!

5p c) Igazold, hogy a 3 2 1g X X X= + + − polinomnak nem minden gyöke valós!

1. Adottak az 3 3

1 1 3 1 0 0

2 2 6 , 0 1 0 és

3 3 9 0 0 1

A I B A I

− = − = = − −

mátrixok.

5p b) Számítsd ki az 2 2A B− mátrixot, ahol 2 2 és A A A B B B= ⋅ = ⋅ .

5p c) Igazold, hogy a B mátrix inverze a 13

9B A I− = − mátrix!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3 3 6x y xy x y= + + + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( )( )3 3 3x y x y= + + − , bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) Határozd meg a semleges elemet a „ ” műveletre nézve!

5p c) Határozd meg az , 2n n∈ ≥ számot, ha 2 2 13n nC C = .

70 1. Adott az 0 0

mátrix, ahol a ∈ . Jelölje 2A A A= ⋅ .

5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot 1a = esetén!

5p b) Számítsd ki a ( )2det A determinánst a ∈ esetén!

5p c) Igazold, hogy 23A I≠ , bármely a ∈ esetén!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )2 2 6 és 3 12x y xy x y x y xy x y∗ = − − + = − + +

műveleteket.

5p a) Igazold, hogy ( ) ( )2 3 1, .x x x∗ − = − ∀ ∈

5p b) Ha 1e a semleges elem a „ ∗ ” műveletre nézve 2e pedig a a semleges elem a „ ” műveletre

nézve, számítsd ki az 1 2 1 2e e e e∗ + összeget!

5p c) Adott az :f → , ( ) 1f x ax= + függvény. Határozd meg az a ∈ számot, ha

( ) ( ) ( )f x y f x f y∗ = , bármely ,x y ∈ esetén!

1. Az ( )2M négyzetes mátrixok halmazában adott az 4 6

− = −

mátrix.

Jelölje ...n

n szer

A A A A−

= ⋅ ⋅ ⋅ , ahol .n ∗∈

5p a). Igazold, hogy 2 2A A A+ = .

5p b) Határozd meg azon ( )20

M mátrixokat, amelyekre ( )det 2X A+ = .

5p c) Ha , nA A n ∗= ∀ ∈ , igazold, hogy ( )2 1

n n nA A nA A n ∗+

+ + + = ∀ ∈… .

2. Adott az [ ]3 2 1, f X X mX f X= + + + ∈ polinom, amelynek gyökei 1 2 3, , .x x x

Jelölje 1 2 3n n n

nS x x x= + + , ahol n ∗∈ .

5p a) Számítsd ki azt az m valós számot, amelyre 1 2x = .

5p b) Igazold, hogy 3 2 1 3 0S S mS+ + + = .

5p c) Igazold, hogy bármely m∈ páros számra, az f polinomnak nincs racionális gyöke!

1. Adott az

4 2 16

x ay z

− − = + − = − + = −

egyenletrendszer, ahol a ∈ és A =

a− − − −

az egyenletrendszer

mátrixa.

5p a) Határozd meg azokat az a valós számokat, amelyekre az A mátrix invertálható!

5p b) Számítsd ki az 2A mátrixot, ahol 2A A A= ⋅ .

5p c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha 1a = .

5p a) Igazold, hogy ( ) ( ) , bármely , ,x y z x y z x y z= ∈ esetén!

5p b) Bizonyítsd be, hogy ( 4) 4x y− = − , bármely ,x y ∈ esetén!

5p c) Számítsd ki: 1 ( 2) 3 ( 4) 5 ( 6).− − −

1. Adottak az 24 1 1 0

, 4 1 0 1

mátrixok és a ( ) ( ){ }2 és G X a a X a I aA= ∈ = + halmaz.

5p a) Igazold, hogy 2I eleme a G halmaznak!

5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )5 , ,X a X b X a b ab a b⋅ = + + ∀ ∈ .

5p c) Igazold, hogy 1

5a ≠ − esetén az ( )X a mátrix inverze az

mátrix!

2. Adottak az [ ] 3 2 25

ˆ ˆ ˆ ˆ, , 3 4 3 2 2f g X f X X X és g X X∈ = + + + = + polinomok.

5p a) Számítsd ki ( ) ( )ˆ ˆ1 0f g⋅ .

5p b) Igazold, hogy ˆ ˆ ˆ ˆ(3 3) 2 2f X g X= + ⋅ + + .

5p c) Határozd meg az f polinom 5 halmazban levő gyökeinek számát!

1. Az ( )2M halmazban tekintsük az ( ) 1 5 2,

10 1 4

x xA x x

+ − = ∈ −

mátrixokat.

5p a) Számítsd ki az (1) ( 1)A A⋅ − szorzatot!

5p b) Igazold, hogy ( )( ) ( )( )2 21 1A x A x= + − , bármely valós x esetén, ahol ( )( ) ( )( ) ( )( )2

A x A x A x= ⋅ .

5p c) Számítsd ki az ( )1A mátrix inverzét!

2. Adott a { }2 23 , , 3 1G a b a b a b= + ∈ − = halmaz.

5p a) Vizsgáld meg, hogy 0 és 1 eleme-e a G halmaznak!

5p b) Igazold, hogy ,x y G⋅ ∈ bármely ,x y G∈ esetén!

5p c) Igazold, hogy ha x G∈ , akkor 1

1. Adottak az 2 4

= − − 2 2 2

1 0 0 0, és

0 1 0 0I O B I A

= = = +

mátrixok. Jelölje

A A A B B B B−

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅… , ahol *n ∈ .

5p a) Igazold, hogy 2

20A = .

5p b) Számítsd ki a B mátrix inverzét!

5p c) Határozd meg x ∈ számot, ha 3 2B B xA− = .

2. Adott az 4 22 1f X X= − + polinom, amelynek gyökei 1 2 3 4, , ,x x x x ∈ .

5p a) Igazold, hogy az f polinom osztható a 2 1g X= − polinommal!

5p b) Számítsd ki az S P⋅ szorzatot, ahol 1 2 3 4S x x x x= + + + és 1 2 3 4P x x x x= ⋅ ⋅ ⋅ .

5p c) Számítsd ki a 4 4 4 41 2 3 4T x x x x= + + + összeget!

1. Adott az 2

4 16 0

ax y z

a x y z

+ + = + + =

egyenletrendszer, ahol a ∈ , és 2

a rendszer mátrixa.

5p a) Számítsd ki az A mátrix determinánsát 1a = esetén!

5p b) Határozd meg azon a valós számok halmazát, amelyekre det 0A ≠ .

5p c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha { }\ 2,4a ∈ .

2. Adott az 4 3f X aX bX c= + + + polinom, ahol , , .a b c ∈ .

5p a) Számítsd ki a c valós számot, ha (1) ( 1) 2009.f f+ − =

5p b) Számítsd ki az , ,a b c valós számokat, ha (0) (1) 2f f= = − , és a polinom egyik gyöke 2x = .

5p c) Számítsd ki az f polinom valós gyökeit, ha 2, 1a b= − = és 2c = − .

1. Adottak az 3

1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 3 0 , 2 3 0 , 0 1 0

0 0 5 3 7 5 0 0 1

mátrixok.

Jelölje 3X X X X= ⋅ ⋅ , X ∈ 3( )M .

5p a) Számítsd ki az 1A− mátrixot!

5p b) Oldd meg az 33A X I⋅ = mátrixegyenletet, ahol ( ) .X ∈ 3M

5p c) Számítsd ki a ( )3B A− mátrixot!

2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 3 7 7 14x y xy x y∗ = + + + műveletet.

5p a) Határozd meg a semleges elemt a „ ∗ ” műveletre nézve!

5p b) Oldd meg az egész számok halmazán az 1x x∗ ≤ − egyenlőtlenséget!

5p c) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!

5p a) Számítsd ki a 2009 1 1

1 2009 1

− −

determinánst!

5p b) Számítsd ki az 1 2

x x− determinánst, ha 1x és 2x az 2 4 2 0x x− + = egyenlet megoldásai!

5p c) Adottak az

− = −

mátrixok. Igazold, hogy 3 23A A A O+ + = , ahol

2 A A A= ⋅ és 3 2A A A= ⋅ .

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2 8 8 36x y xy x y= − − + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( )( )2 4 4 4, bármely , .x y x y x y= − − + ∈ esetén!

5p b) Oldd meg a valós számok halmazán az 36x x = egyenletet!

5p c) Számítsd ki 1 2 3 ... 2009 , ha a „ ” művelet asszociatív.

1. Adott az 0 3

és az 21 0

mátrix, valamint a ( ) ( ){ }2 C A X XA AX= ∈ =M halmaz.

5p a) Határozd meg az a és b valós számokat, ha 20

5p b) Igazold, hogy ,A B A⋅ = ahol 222B A I= − és 2A A A= ⋅ .

5p c) Igazold, hogy ha ( )X C A∈ , akkor létezik ,a b ∈ úgy, hogy 3

2. A ( )1,1G = − halmazon értelmezzük az

x yx y

+∗ =+ műveletet.

5p a) Oldd meg G halmazban az 4

5x x∗ = egyenletet!

5p b) Igazold, hogy ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

1 1 1 1

x y x yx y

x y x y

+ + − − −∗ =

+ + + − − bármely ,x y G∈ esetén!

5p c) Igazold, hogy bármely ,x y G∈ esetén x y G∗ ∈ .

1. Adott a

2 5 4 0

− + =− + + = − − =

a ∈ egyenletrendszer, és jelölje A az egyenletrendszer mátrixát.

5p b) Oldd meg az egyenletrendszert 1a = esetén!

5p c) Határozd meg azt a legkisebb a természetes számot, amelyre az egyenletrendszer megoldása egy természetes számokból álló számhármas!

2. A halmazon értelmezzük a 1x y x y= + + asszociatív műveletet.

5p a) Számítsd ki a 2008 2009 értékét!

5p b) Oldd meg az halmazon az 2 3x x ≤ egyenlőtlenséget!

5p c) Adott az { }0 1 22 és 6n n nA n n C C C n∗= ∈ ≥ = + halmaz. Határozd meg az A halmaz

elemeinek számát!

rianta 081

1. Adott az 2

A k x x

= − −

, { }0,1,2k ∈ mátrix, ahol 0 1x = , valamint 1x és 2x pedig az

2 2 0x x+ − = egyenlet gyökei, 1 2x x< .

5p a) Számítsd ki az (0)A mátrix determinánsát!

5p b) Számítsd ki az (1) (2)A A+ mátrixot!

5p c) Számítsd ki az ( )A k mátrix elemeinek összegét, minden { }0,1,2k ∈ esetén!

2. A ( ) { }0, \ 1G = ∞ halmazon értelmezzük az 2ln yx y x= műveletet.

5p a) Számítsd ki a 3 e számot, ahol e a természetes logaritmus alapja!

5p b) Igazold, hogy x y G∈ , bármely ,x y G∈ esetén!

5p c) Igazold, hogy a „ ” művelet asszociatív a G halmazon!

1. Adott az

x y mz

+ + = − + = + + =

egyenletrendszer, ahol m valós paraméter és A az egyenletrendszer

mátrixa.

5p a) Számítsd ki az A mátrix determinánsát, ha 1m = .

5p b) Határozd meg az m valós paramétert, ha az egyenletrendszer mátrixának determinánsa nulla!

5p c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha 1.m ≠ −

2. Adott az 3 23 3 1f X X X= + + + polinom, amelynek gyökei 1 2 3, , ,x x x ∈ és a 2 2 1g X X= − +

polinom, amelynek gyökei 1 2,y y ∈ .

5p a) Számítsd ki az S S ′− különbséget, ha 1 2 3 1 2 és S x x x S y y′= + + = + .

5p b) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási maradékát és hányadosát!

5p c) Számítsd ki az ( ) ( )1 2f y f y⋅ szorzatot!

1. Adottak az 1 2

, 20 0

és 21 0

mátrixok, ahol , , ,x y z t ∈ .

5p a) Számítsd ki a ( )2det A determinánst, ha 2 .A A A= ⋅

5p b) Határozd meg az , , ,x y z t ∈ számokat, ha 2A B I⋅ = .

5p c) Számítsd ki az 1 2( )S B A−= − mátrixot, ha 2A B I⋅ = .

2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 3x y x y∗ = + − és az ( )3 12x y xy x y= − + +

műveleteket.

5p a) Oldd meg az egész számok halmazán az 12x x = egyenletet!

5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 1 3∗ = ∗ .

5p c) Oldd meg az ( )( )

− ∗ =

− = egyenletrendszert, ahol ,x y ∈ .

1. Adott a

x ay z

+ + = + + = − + =

egyenleterendszer, ahol a valós szám, és 2 11 1 11 1 2

a rendszer mátrixa.

5p a) Számítsd ki 0a = esetén az 2A mátrixot, ahol 2A A A= ⋅ .

5p b) Határozd meg azokat az a valós számokat, amelyekre az A mátrix invertálható!

5p c) Oldd meg az egyenletrenszert a valós számok halmazán, ha { }\ 4a ∈ .

2. A ,p q ∈ számok esetén értelmezzük az egész számok halmazán 2x y px y∗ = + + és

2x y x y= + − műveleteket, valamint az :f → , ( ) 3f x x q= + függvényt.

5p a) Határozd meg a p egész számot úgy, hogy a „ ∗ ” művelet kommuntatív legyen!

5p b) Oldd meg az egész számok halmazán az ( ) ( ) 2 2x x x x x∗ ∗ = + egyenletet, ha 1.p =

5p c) Határozd meg a q egész számot úgy, hogy az f függvény morfizmus legyen a ( ),∗ és ( ),

csoportok között, ha 1.p =

1. Adott az

− = − −

mátrix. Értelmezzük a 3B aA I= + mátrixot az a ∈ rögzített szám esetén.

5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot, ahol 2 A A A= ⋅ .

5p b) Igazold, hogy 232B B I− = .

5p c) Számítsd ki a 1B− mátrixot!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3 3 3 2x y xy x y= + + + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( )( )3 1 1 1x y x y= + + − , bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) Határozd meg az x valós számot úgy, hogy teljesüljön az ( )2 5 6 1x − = − egyenlőség!

5p c) Adj példát két olyan , \a b ∈ számra, amelyekre .a b ∈

1. Adott a

2 3 4 5

− + = − + + = − + =

egyenletrendszer, ahol ,α β ∈ , A az egyenletrendszer mátrixa,

valamint

2 3 4 5

B αβ

− − = −

. Jelölje ( ),S α β a B mátrix elemeinek összegét.

5p a) Számítsd ki: ( )0,0 .S

5p b) Határozd meg az és α β valós számokat, ha az A mátrix determinánsa nulla és ( ), 2S α β = − .

5p c) Ha 0α = és 0β = , oldd meg az egyenletrendszert!

2. A polinomok [ ]X halmazában adott az 3 2 6f X mX nX= + + + és a ( ) 2 2g X X X= − − polinom.

5p a) Oldd meg a valós számok halmazán az 2 2 0x x− − = egyenletet.

5p b) Határozd meg az ,m n ∈ számokat úgy, hogy az f polinom osztható legyen a g polinommal.

5p c) Számítsd ki a ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2008 2009P f f f f= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅… szorzatot, ha 4 és 1m n= − = .

1. Adott az 3 1

− = −

mátrix, ahol x ∈ és 21 0

Jelölje 2A A A= ⋅ .

5p a) Határozd meg azt az x valós számot, amelyre ( )det 0A = .

5p b) Igazold az ( ) ( )2 222 6 6 8A x A x x I= − − − + ⋅

egyenlőséget!

5p c) Határozd meg azt az x valós számot, amelyre 2 2A A= .

5p a) Igazold, hogy ( )( )2 2 2, , .x y x y x y= − − + ∀ ∈

5p b) Igazold, hogy 2 2,x = bármely x ∈ esetén!

5p c) Számítsd ki az ( ) ( ) ( ) ( )2009 2008 2 1 0 1 2 2008 2009E = − − − −… … kifejezést, ha a

„ ” művelet asszociatív.

1. Az ( )2M halmazban adottak a 2

4 2 1 0,

2 4 0 1A I

mátrixok

5p a) Számítsd ki a 2det( )A determinánst, ahol 2A A A= ⋅ .

5p b) Igazold, hogy 3 3 14 132

13 14A

, ahol 3 2A A A= ⋅ .

5p c) Igazold, hogy az A mátrix teljesíti az 22 28 12A A I O− + = egyenlőséget!

2. Adott az [ ] ( )36 , 2 1 4f X f X a X a∈ = + + + + polinom.

5p a) Igazold, hogy 36, bármely b b b= ∈ esetén!

5p b) Határozd meg 6a ∈ értékét, ha ( )2 0.f =

5p c) Oldd meg a 6 halmazban az ( ) 0̂f x = egyenletet!

1. Adott az 2 0

+ =∈ + =

egyenletrendszer, 2

az egyenletrendszer mátrixa, valamint az

és az 21 0

mátrix. Jelölje 2 .A A A= ⋅

5p a) Oldd meg az egyenletrendszert 1a = − esetén!

5p b) Igazold az ( ) ( )22 21 8A a A a I O− + + − = egyenlőséget!

5p c) Határozd meg az a ∈ értékét, ha az A mátrix teljesíti az 229A I= egyenlőséget!

2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 11x y x y= + + műveletet.

5p a) Igazold, hogy a „ ” művelet asszociatív!

5p b) Oldd meg az 6

...szor x

x x x−

= 1 egyenletet az egész számok halmazán!

5p c) Igazold, hogy ( ), kommutatív csoport!

1. Adottak az

mátrixok, és a { }{ }1 2 3nG X n , ,= ∈ halmaz, ahol

n szer

X X X X n ∗

−= ⋅ ⋅ ⋅ ∈… .

5p a) Igazold, hogy 33X I= .

5p b) Számítsd ki a ( )23det I X X+ + determinánst!

5p c) Igazold, hogy ha Y G∈ , akkor 1Y G− ∈ .

2. Adott a { }2 23 , , 3 1G a b a b a b= + ∈ − = halmaz!

5p a) Igazold, hogy 2 3 G+ ∈ .

5p b) Igazold, hogy a valós számok szorzására nézve a G halmaz minden elemének van inverze a G –ben!

5p c) Igazold, hogy x y G⋅ ∈ , bármely ,x y G∈ esetén!

1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az : 2 4 0AB x y+ − =

:3 2 0BC x y+ − =

egyenesek.

5p a) Határozd meg a B pont koordinátáit!

5p b) Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái ( ) ( ) ( )4,0 , 0,2 , 1, 1A B C − . Határozd meg az ABC

háromszög C pontból húzott oldalfelezőjének az egyenletét!

5p c) Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái ( ) ( ) ( )4,0 , 0,2 , 1, 1A B C − . Számítsd ki az ABC

háromszög területét!

2. Legyen ( )8, ,+ ⋅ a maradékosztályok gyűrűje modulo 8.

5p a) Számítsd ki a 8 gyűrűben az ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 2 3 4 5 6 7S = + + + + + + összeget!

5p b) Számítsd ki a 8 gyűrű invertálható elemeinek a szorzatát!

5p c) Oldd meg a 8 gyűrűben a ˆ ˆˆ2 5 2

ˆ ˆ ˆ3 2 5

+ = egyenletrendszert!

1. Az ( )2M halmazban adottak az

, 20 0

és 21 0

mátrixok.

5p a) Számítsd ki az A B⋅ mátrixot!

5p b) Oldd meg az A X B⋅ = mátrixegyenletet, ahol ( )2X ∈ M .

5p c) Bizonyítsd be, hogy az A mátrix teljesíti az 22 24 5A A I O− + = egyenlőséget, ahol 2A A A= ⋅ .

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 14x y x y= + − műveletet.

5p a) Oldd meg a a valós számok halmazán az 2x x = egyenletet!

5p b) Igazold, hogy a „ ” művelet asszociatív!

5p c) Igazold, hogy ( ), kommutatív csoport!

1. Adott az ( )

2 1 3 1

x ay z

x a y z

x ay a z

+ + = + − + = + + − =

egyenletrendszer, ahol a ∈ és

1 2 1 3

= − −

egyenletrendszer mátrixa.

5p a) Igazold, hogy 2det 6 5A a a= − + .

5p b) Oldd meg a det 0A = egyenletet!

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletrendszert 0a = esetén!

2. A valós számok halmazán értelmezett az 6 6 42x y xy x y∗ = − − + asszociatív művelet.

5p a) Igazold, hogy ( )( )6 6 6, bármely ,x y x y x y∗ = − − + ∈ esetén!

5p b) Oldd meg a valós számok halmazán az x x x x x∗ ∗ ∗ = egyenletet!

5p c) Számítsd ki: 1 2 3 ... 2009∗ ∗ ∗ ∗ .

1. Adottak az 2

2 2 1 0, ,

0 2 0 1 0 6

x yA I B

mátrixok, ahol ,x y ∈ .

5p a) Határozd meg az x valós számot, ha .A B B A⋅ = ⋅

5p b) Igazold, hogy 224( )A A I= − , ahol 2A A A= ⋅ .

5p c) Határozd meg az a valós számot úgy, hogy teljesüljön az 3 224A aA A O− + = egyenlőség, ahol

3A A A A= ⋅ ⋅ .

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3x y x y= + + és ( )3 12x y xy x y∗ = − + + műveleteket.

5p a) Igazold, hogy ( )( )3 3 3x y x y∗ = − − + bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) A valós számok halmazán oldd meg az ( ) ( )( 1 ) ( 1 ) 11x x x x+ + ∗ + = egyenletet!

5p c) Oldd meg az ( )

( ) ( )1 0

, ,1 1

x yx y

x y x y

− = ∈ + ∗ = ∗ +

egyenletrendszert!

1. Adott az ( )3:f →M , ( )21 2 2

függvény.

5p a) Számítsd ki az ( ) ( )0 1f f+ összeget!

5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) 31 1f f I⋅ − = , ahol 3

5p c) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = ⋅ , bármely x, y ∈ esetén!

2. Adott a ( )6 , ,+ ⋅ gyűrű, ahol { }6ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0, 1, 2, 3, 4, 5= .

5p a) Oldd meg a 6 gyűrűben az ˆ ˆˆ2 5 1x + = egyenletet!

b) Számítsd ki a

ˆ ˆ ˆ 1 2 3

ˆ ˆ ˆ 2 3 1

ˆ ˆ ˆ 3 1 2

determinánst 6 -ban!

5p c) Oldd meg a ˆ ˆ2 4

ˆ ˆ2 5

+ = egyenletrendszert, ahol 6, .x y ∈

1. Adott az ( )24 7

− = ∈ −

mátrix.

5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot, ahol 2 .A A A= ⋅

5p b) Igazold, hogy ( ) 12 2A I A I

−+ = − , ahol 21 00 1

5p c) Határozd meg azokat az x valós számokat, amelyekre ( ) ( )2 2det detx A x A= .

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3 , ,x y xy x ay b a b∗ = + + + ∈ műveletet.

5p a) Határozd meg a ∈ számot úgy, hogy a „ ∗ ” művelet kommutatív legyen!

5p b) Igazold, hogy 3a = és 6b = esetén a „ ∗ ” műveletre nézve van semleges elem!

5p c) Határozd meg az a és b számokat, ha ( 3) 3,x− ∗ = − bármely x ∈ esetén!

1. Adottak az

− − = − − − −

− − − = − − − − − −

mátrixok. Jelölje 2X X X= ⋅ .

5p a) Számítsd ki az AB szorzatot!

5p b) Igazold, hogy 2 2 2 2( ) ( )A B A B A B+ = − = + .

5p c) Számítsd ki az ( )2A B− mátrix inverzét!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3 3 3 2x y xy x y∗ = + + + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( )3 1 ( 1) 1, bármely ,x y x y x y∗ = + + − ∈ esetén!

5p b) Határozd meg azokat a valós számokat, amelyekre ( )2 2 5 1.x − ∗ = −

5p c) Számítsd ki: ( 2009) ( 2008) ... ( 1) 0 1 ... 2008 2009− ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ , ha a „ ∗ ” művelet asszociatív!

1. Adottak az

és 21 0

mátrixok, valamint a ( ){ }22G X X I= ∈ = −2M halmaz, ahol

2 .X X X= ⋅

5p a) Igazold, hogy A G∈ .

b) Igazold, hogy ( )2

2 2X I X

, bármely X G∈ esetén!

c) Igazold, hogy ha X másodrendű, valós számokból álló négyzetes mátrix, amely teljesíti az

A X X A⋅ = ⋅ összefüggést, akkor x y

alakú, ahol ,x y ∈ .

2. Adott az 4 3f X aX bX c= + + + polinom, ahol , ,a b c ∈ .

5p a) Igazold, hogy 501c = esetén (1) ( 1) 1004f f+ − = .

5p b) Számítsd ki az f polinom valós gyökeit, ha 2, 2a b= − = és 1.c = −

5p c) Igazold, hogy nincsenek olyan valós , ,a b c számok, amelyekre az f polinom osztható a 3g X X= −

polinommal.

1. Adottak az

= − −

és 21 0

mátrixok, valamint a ( ){ }2G X X X= ∈ =2M halmaz,

ahol 2X X X= ⋅ .

5p a) Igazold, hogy A G∈ .

5p b) Számítsd ki a ( )3 2det 2A A A− + determinánst, ahol 3A A A A= ⋅ ⋅ .

5p c) Igazold, hogy ( )22 22X I I− = , bármely X G∈ esetén!

2. A valós számok halmazán értelmezzük a ( )2009 2009 2009x y xy x y∗ = − + + + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( )( )2009 2009 2009x y x y∗ = − − + , bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) Határozd meg a semleges elemet „ ∗ ” műveletre nézve!

5p c) Számítsd ki: ( ) ( ) ( ) ( )2009 2008 ... 0 ... 2008 2009 ,− ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ha a „ ∗ ” művelet

asszociatív.

1. Adott az 1

, mátrix, ahol x ∈ és az 2

mátrix. Jelölje 2 .x x xA A A= ⋅

5p a) Határozd meg azokat az x valós számokat, amelyekre ( )det 0.xA =

5p b) Határozd meg az x valós számot, ha 22xA I= .

5p c) Igazold, hogy 2 222 (1 ) .x xA xA x I= + − ⋅

2. Adott a [ ]3 X polinomgyűrű.

5p a) Határozd meg az 3,a b ∈ értékeket, ha 1 és 2 az [ ] 23 ,f X f X a X b∈ = + + polinom

gyökei!

5p b) Számítsd ki az [ ] 3 23 , 2 2 1f X f X X X∈ = + + + polinomnak a [ ]3 , 1g X g X∈ = +

polinommal való osztási hányadosát és maradékát!

5p c) Igazold, hogy ha [ ]3f X∈ , ( )3 2ˆ ˆ ˆ2 2 1f a a X aX= + + + , akkor ( )ˆ ˆ ˆ1 2 1f a= + .

1. Adottak az

1 1 0 0 1 0

0 1 1 , 0 0 1

0 0 1 0 0 0

mátrixok.

5p a) Igazold, hogy 3A B I= + .

5p b) Igazold, hogy az A mátrix invertálható, és határozd meg az 1A− mátrixot!

5p c) Határozd meg az a valós számot, ha az ( ) 3X a I aA= + mátrix esetén ( )( ) ( )3det 2 1X a a= − .

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2x y xy x y∗ = − − + műveletet.

a) Igazold, hogy ( )( )1 1 1,x y x y∗ = − − + bármely ,x y ∈ esetén!

b) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!

c) Számítsd ki: 1 2 2009

.2 2 2

∗ ∗ ∗…

1. Az ( )3M halmazban adottak az

4 2 2 2 2 2

2 4 2 , 2 2 2

2 2 4 2 2 2

− − − − − = − − = − − − − − − − −

és C A B= + mátrixok.

Jelölje 2 .X X X= ⋅

5p a) Számítsd ki az A B⋅ szorzatot!

5p b) Számítsd ki a ( ) ( )det detA B⋅ szorzatot!

5p c) Igazold, hogy ( )2 2 6A B A B− = + .

2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 2x y x y∗ = + + és 2 2 2x y xy x y= + + + műveleteket.

5p a) Igazold, hogy ( )( )2 2 2,x y x y= + + − bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) Számítsd ki az 3x = − elem inverzét a „ ” műveletre nézve!

5p c) Oldd meg az 2 2

= egyenletrendszert, ahol ,x y ∈ .

1. Adott az

mátrix, ahol x és y valós számok. Az xOy derékszögű koordináta-

rendszerben tekintsük az ( ) ( ) ( )1,2 , 0,3 , O 0,0A B és ( )1,2nC n n+ − pontokat, ahol n ∗∈ .

5p a) Számítsd ki az M mátrix determinánsát!

5p b) Igazold, hogy az ,A B és 2C pontok kollineárisak!

5p c) Határozd meg az n nullától különböző természetes számot úgy, hogy az nAOC háromszög

területe minimális legyen!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )( )3 3 3x y x y⊥ = − − + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( ) 13 3 4,x

x + ⊥ + =

bármely x ∗∈ esetén!

5p b) Igazold, hogy 4e = semleges elem a „ ⊥ ” műveletre nézve!

5p c) Határozd meg az halmaz invertálható elemeit a „ ⊥ ” műveletre nézve!

1. Adott a ,a b

G a bb a

mártixhalmaz.

5p a) Igazold, hogy bármely ,A B G∈ esetén A B G+ ∈ .

5p b) Igazold, hogy ha C G∈ az 5a = és 3b = értékekre kapott mátrix, akkor teljesül a

2210 16C C I= − egyenlőség, ahol 2C C C= ⋅ és 2

5p c) Adj példát egy olyan D G∈ mátrixra, amelyre det 2008D = .

2. Adott az [ ] ( ) ( )2009 2009, ( ) 1 1f X f X X X∈ = + − − polinom, amelynek algebrai

alakja 2009 20082009 2008 1 0...f a X a X a X a= + + + + .

5p a) Számítsd ki az 0a értékét!

5p b) Igazold, hogy (1)f + ( 1)f − páros egész szám!

5p c) Határozd meg az f polinom valós gyökeinek számát!

1. Adottak az

, ,a ∈ 3

mátrixok, és a ( ){ }G X AX XA= ∈ =3M

halmaz.

5p a) Számítsd ki a det A determinánst!

5p b) Igazold, hogy 2 2A X XA= , bármely ( ) X ∈ 3M esetén, ahol 2A A A= ⋅ .

5p c) Igazold, hogy ha , ,a b ∈ akkor az 3aI bA G+ ∈ .

2. Adott az ( )10042 20091f X X X= + + + polinom, amelynek algebrai alakja

2 20090 1 2 2009...f a a X a X a X= + + + +

5p a) Számítsd ki az ( )1f − értéket!

5p b) Igazold, hogy 0 1 2 2009...a a a a+ + + + páros egész szám!

5p c) Számítsd ki az f polinomnak az 2 1X − polinommal való osztási maradékát!

1. Adott a ( )1

D a b x a bx

= determináns, ahol ,a b és x valós számok.

5p a) Számítsd ki a ( )1;1;0D determinánst!

5p b) Igazold, hogy ( ); ;D a b x nem függ az x valós számtól!

5p c) Oldd meg a ( ); ; 0D a b x = egyenletet, ahol a és b pozitív valós számok!

2. Adottak az [ ],f g X∈ , 3 3f X X a= − + és 2( ) 3 2g x X X= − + polinomok, ahol a ∈ .

5p a) A valós számok halmazán oldd meg az ( ) ( )f x g x= egyenletet 2a = esetén!

5p b) Számítsd ki az f polinom gyökeit, ha a polinomnak van egy kétszeres pozitív gyöke!

5p c) Oldd meg az ( ) 3 5

2f xe g

egyenletet, ha 2.a =

1. Az ( )2M halmazban adottak az 20 1 0 0

és 0 0 0 0

mátrixok.

5p a) Számítsd ki a 2det( )A determinánst, ha 2A A A= ⋅ .

5p b) Igazold, hogy ha ( )2X ∈ M és XA AX= , akkor létezik ,a b ∈ úgy, hogy 0

5p c) Igazold, hogy az 2Y A= egyenletnek nincs ( )2Y ∈ M megoldása!

2. Adott a ( )6 , ,+ ⋅ gyűrű.

5p a) Számítsd ki az invertálható elemek számát a ( )6 , ,+ ⋅ gyűrűben értelmezett szorzási műveletre

nézve!

5p b) Legyen S a ˆ ˆ ˆ2 1 5x + = egyenlet megoldásainak összege, és P az 2 ,x x= 6x ∈ egyenlet

megoldásainak szorzata. Számítsd ki az S P+ összeget!

5p c) Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a ( )6 , ,+ ⋅ gyűrű valamely eleme megoldása legyen az

3 0̂x = egyenletnek!

1. Az ( )2M halmazban adottak az 2

4 8 1 0,

2 4 0 1A I

és ( ) 2X a I aA= + mátrixok, ahol a ∈ .

5p a) Igazold, hogy 2 8 ,A A= ahol 2A A A= ⋅ .

5p b) Számítsd ki a ( )det X a determinánst!

5p c) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )8X a X b X a b ab⋅ = + + , bármely ,a b ∈ esetén!

2. Adott az ( ) [ ]6703 20101f X X X X= + + − ∈ polinom, amelynek algebrai alakja

20092009 1 0... .f a X a X a= + + +

5p a) Számítsd ki az (1) ( 1)f f+ − összeget!

5p b) Igazold, hogy az 0 1 2 2009...a a a a+ + + + összeg páros szám!

5p c) Számítsd ki az f polinomnak az 2 1X − polinommal való osztási maradékát!

1. Adottak az 1 1

− = ∈

, , és 4

xX x y B

= ∈ =

mátrixok.

5p a) Határozd meg a ∈ értékét, úgy hogy ( )det 0A = .

5p b) Igazold, hogy 3a = esetén 1 2 1

3 2A− −

= − .

5p c) Oldd meg az A X B⋅ = mátrixegyenletet 3a = esetén!

2. A ( )1,1G = − halmazon értelmezzük az

x yx y

+∗ =+

műveletet.

5p a) Számítsd ki: 1 1

2 2∗ .

5p b) Adott az ( ) ( ): 1,1 0,f − → ∞ , ( ) 1

függvény. Igazold, hogy ( ) ( ) ( ) ,f x y f x f y∗ = ⋅

bármely ,x y G∈ esetén!

5p c) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!

1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (2,1), (1,2)A B és ( ),nC n n− pontok, ahol .n ∈

5p a) Határozd meg a 4 2C C egyenes egyenletét!

5p b) Igazold, hogy az 1, ,n nO C C + pontok kollineárisak, bármely n ∗∈ esetén!

5p c) Számítsd ki az 3ABC háromszög területét!

2. Adottak az

2009 0 0

, x ∈ , mátrixok, valamint a { } 3( )xG A x= ∈ ⊂ M halmaz.

a) Igazold, hogy 3I G∈ , ahol 3

0 1 0 .

5p b) Igazold, hogy x y x yA A A +⋅ = bármely ,x y ∈ esetén!

5p c) Igazold, hogy { }xG A x= ∈ a mátrixok szorzásával csoportot alkot!

32 II. FELADAT (30p) – Varianta 032

1. Adottak az ( )2,nA n n pontok, ahol .n ∈

5p a) Határozd meg az 0 1A A egyenes egyenletét!

5p b) Számítsd ki az 0 1 2A A A háromszög területét!

5p c) Igazold, hogy bármely, páronként különböző , ,m n p ∈ számok esetén az m n pA A A háromszög területe

természetes szám! 2. Adott az ( )4 3 2 24 4 7 4 4f X mX m X mX= + + + + + polinom, ahol m ∈ .

5p a) Határozd meg az m ∈ számot, ha 1x = gyöke a polinomnak! 5p b) Határozd meg az m ∈ számot, ha a polinom gyökeinek összege 0. 5p c) Ha 5m = − , oldd meg a valós számok halmazán az ( ) 0f x = egyenletet!

1. Adott a 1 2 3

d x x x

= determináns, ahol 1 2 3, ,x x x ∈ az 3 2 0x x− = egyenlet megoldásai.

5p a) Számítsd ki: 1 2 3x x x+ + .

5p b) Számítsd ki: 2 2 21 2 3x x x+ + .

5p c) Számítsd ki a d determináns értékét!

2. Adottak az 4 3 228 96f X aX X bX= + − + + , 2 2 24g X X= + − és 2 2( 2 24)( 4)h X X X= + − − valós

együtthatójú polinomok.

5p a) Határozd meg a h polinom algebrai alakját!

5p b) Határozd meg az ,a b ∈ értékeket úgy, hogy az f és h polinomok egyenlők legyenek!

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán a 16 2 8 28 4 8 2 96 0x x x x+ ⋅ − ⋅ − ⋅ + = egyenletet!

1. Adott a 2

( ) 1 3 9

= determináns, ahol a valós szám.

5p a) Számítsd ki a (9)D determinánst!

5p b) Oldd meg a valós számok halmazán a ( ) 0D a = egyenletet!

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán a ( )3 0xD = egyenletet!

2. Adott az [ , ) ,M k= ∞ ⊂ k ∈ halmaz és értelmezzük az 2( )x y xy k x y k k∗ = − + + + műveletet,

bármely ,x y ∈ esetén.

5p a) Határozd meg a k ∈ értékét úgy, hogy 2 3 2∗ = .

5p b) 2k = esetén oldd meg az M halmazon az 6x x∗ = egyenletet!

5p c) Igazold, hogy ,x y M∗ ∈ bármely ,x y M∈ esetén!

1. Adott a 1 2 3

d x x x

= determináns, ahol 1 2 3, ,x x x ∈ az 3 3 2 0x x− + = egyenlet megoldásai.

5p a) Számítsd ki: 1 2 3x x x+ + .

5p b) Igazold, hogy 3 3 31 2 3 6x x x+ + = − .

5p c) Számítsd ki a d determináns értékét.

5p a) Igazold, hogy ( 4)( 4) 4x y x y= + + − , bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) Számítsd ki az x valós szám esetén az ( 4)x − értékét!

5p c) Számítsd ki a ( 2009) ( 2008) 2008 2009− − értékét, ha a „ ” művelet asszociatív!

1. Adott az

mx y z

− + = − + + = − + =

egyenletrendszer, ahol .m ∈

5p a) Határozd meg az m ∈ azon értékét, amelyre a (2,1, 1)− megoldása az egyenletrendszernek!

5p b) Oldd meg az 2

2 1 1 3

−= −

− egyenletet, ahol .m ∈

5p c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha 5.m = −

2. Adott az 3 2( 1) 3 3f X m X X= − + − + , [ ]f X∈ polinom.

5p a) Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy a polinom gyökeinek összege 1 legyen!

5p b) Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy az 1 3x = gyöke legyen a polinomnak!

5p c) Ha 0m = bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára a [ ]X halmazon!

II. FELADAT (30 p) – Varianta 019

1. Az xOy derékszögű koordináta rendszerben tekintsük az 2 31

log , log 92

és ( ,2 ),nB n n−

n ∗∈ pontokat.

5p a) Határozd meg a 1B és 2B pontokon átmenő egyenes egyenletét!

5p b) Igazold, hogy n nA B= , bármely n ∗∈ esetén!

5p c) Bizonyítsd be, hogy az nA pont rajta van az 1 2A A egyenesen bármely n ∗∈ esetén!

2. Az [ ]X halmazban adottak az 4 3 2 1f X X X X= + + + + és 2 1g X X= − − polinomok.

5p a) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási hányadosát és maradékát!

5p b) Igazold, hogy ha y gyöke a g polinomnak, akkor 3 2 1y y= + .

5p c) Igazold, hogy ha y gyöke a g polinomnak, akkor ( )f y nem racionális szám!

1. Adott az

x y z b

x y az

+ + = − + = + + =

egyenletrendszer, ahol a,b ∈ .

5p a) Számítsd ki az egyenletrendszer mátrixának determinánsát!

5p b) Ha 1a = − és 2b = , oldd meg az egyenletrendszert!

5p c) Határozd meg a b valós számot, ha ( )0 0 0x ,y ,z az egyenletrendszer megoldása és 0 0 0 4x y z+ + = .

2. Adottak az 2 12 35f X X= − + és ( )20096 6g X X= − + − polinomok. A g polinom algebrai alakja

2009 20082009 2008 1 0...g a X a X a X a= + + + + , ahol 0 1 2009, ,...,a a a ∈ .

5p a) Számítsd ki az ( ) ( )5 5f g+ összeget!

5p b) Igazold, hogy az 0 1 2009...a a a+ + + szám negatív!

5p c) Számítsd ki a g polinomnak az f polinommal való osztási maradékát!

1. Adott az

( 1) 2 3 2

mx y z m

m x y z

+ + = −

− + = − + + + = −

egyenletrendszer, ahol m valós paraméter.

5p a) Határozd meg az m ∈ értékét, ha

5 2 1 12

− = −+

5p b) Határozd meg az m ∈ értékét, ha (1,2, 3)− megoldása az egyenletrendszernek.

5p c) Oldd meg az egyenletrendszert 1m = − esetén!

2. Az 3 29 9f X X X= − − + polinom gyökei 1 2 3, , .x x x ∈

5p a) Határozd meg az f polinomnak az 2 1X − polinommal való osztási maradékát és hányadosát!

5p b) Igazold, hogy 3 3 3 2 2 21 2 3 1 2 39( ) 18x x x x x x+ + = + + − .

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az (3 ) 0xf = egyenletet!

1. Adottak az 1

alakú mátrixok, ahol a ∈ .

5p a) Számítsd ki a ( )1 2det M M+ determinánst!

5p b) Számítsd ki az 2aM mátrixot, ahol 2

a a aM M M= ⋅ .

5p c) Határozd meg azokat az ( )2X ∈ M mátrixokat, melyekre teljesül az a aM X X M⋅ = ⋅ egyenlőség,

bármely a ∈ esetén.

2. A halmazon értelmezzük az 3 33x y x y∗ = + műveletet.

5p a) Számítsd ki: 0x ∗ .

5p b) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!

5p c) Igazold, hogy ha 0x ∈ és 0 1n nx x x −= ∗ , bármely n ∗∈ esetén, akkor 3x ∉ .

1. Az ( )3 ZM halmazban adott az

és az

mátrix.

5p a) Határozd meg az ,a b és c számokat úgy, hogy

5p b) Igazold, hogy az 0a c= = és 1b = − értékekre az A mátrix az F mátrix inverze!

5p c) Oldd meg az

egyenletet, ahol ( )3 .X ∈ M Z

2. Az halmazon értelmezzük az 2 1x y xy x y∗ = − − + műveletet.

5p a) Bizonyítsd be, hogy ( )( )1 1x y xy x y∗ = + − − , bármely x,y ∈ .

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az ( )1 0x x∗ − = egyenletet!

1. Az ( )3 RM halmazban adott az 3

és az

mátrix. Jelölje

n XXXX−

⋅⋅⋅= ... bármely n ∗∈ esetén.

5p a) Számítsd ki az 2X mátrixot!

5p b) Határozd meg az X mátrix inverzét!

5p c) Határozd meg az r valós számot úgy, hogy teljesüljön az 3 233X X rX I= + + egyenlőség!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2x yx y += műveletet.

5p a) Számítsd ki: ( )2009 2009− .

5p b) Oldd meg az halmazban az 2 64x x = egyenletet!

5p c) Igazold, hogy ha ( ) 12zx y z += , akkor x y= − .

1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (7,4), ( , )A B a a és (3, 2)C − pontok, ahol a ∈ .

5p a) 0a = esetén számítsd ki az ABC háromszög területét!

5p b) esetén határozd meg a B és C pontokon átmenő egyenes egyenletét!

5p c) Határozd meg az a ∈ számot, ha a B, C és ( , 2)M x − pontok kollineárisak, bármely x ∈ esetén!

2. Az 4 3 2( 3) 6 4f X aX a X X= + + + + − , [ ]f X∈ polinom gyökei 1 2 3 4, , , .x x x x

5p a) Határozd meg az a ∈ értékét úgy, hogy 1 2 3 4 3x x x x+ + + = legyen!

5p b) Határozd meg az a ∈ értékét úgy, hogy a polinom osztható legyen az 2X − polinommal!

5p c) 3a = − esetén bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az [ ]X halmazon!

1. Adott az

x ay a z a

x by b z b

x cy c z c

+ + = + + = + + =

egyenletrendszer, ahol , ,a b c ∈ páronként különböző számok.

5p a) Ha 0a = , 1b = és 2c = , oldd meg az egyenletrendszert!

5p b) Igazold, hogy ( )( )( )det( A ) a b b c c a= − − − , ahol A az egyenletrendszer mátrixa!

5p c) Igazold, hogy az egyenletrendszer megoldása nem függ az ,a b és c valós számoktól!

2. A valós számok halmazán értelmezzük a x y x y m∗ = + + műveletet, ahol m valós szám.

5p a) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!

5p b) Határozd meg az m számot úgy, hogy az 6e = − semleges elem legyen a „ ∗ ” műveletre nézve!

5p c) Határozd meg az m számot úgy, hogy teljesüljön a ( ) ( )3 2 3 3 2m− ∗ − ∗ ∗ = egyenlőség!

1. Adott az 1 1

és az 21 0

mátrix.

5p a) Igazold, hogy 222A I= , ahol 2A A A= ⋅ .

5p b) Határozd meg az x valós számot úgy, hogy ( )2det 0A xI− = legyen.

5p c) Igazold, hogy 4 4A X X A⋅ = ⋅ , bármely ( )2X ∈ M esetén. ahol 4A A A A A= ⋅ ⋅ ⋅ .

2. Adott a { }2 22 2 1G a b a,b , a b= + ∈ − = halmaz.

5p a) Igazold, hogy 3 2 2 G+ ∈ .

5p b) Igazold, hogy ,x y G⋅ ∈ bármely ,x y G∈ esetén!

5p c) Igazold, hogy a G halmaz bármely elemének van inverze a G halmazban a valós számok szorzására nézve!

5p 1. Adott a 2 , , 1a b b

G A a b ab a b

+ = = ∈ = − − halmaz.

5p a) Vizsgáld meg, hogy az 21 0

és az 20 0

mátrixok elemei-e a G halmaznak!

5p b) Határozd meg a 2 ( )B ∈ M mátrixot, ha 2

a b baI bB

+ = + − −

, bármely ,a b ∈ esetén!

c) Igazold, hogy a G halmaz bármely mátrixának az inverze is a G halmaz eleme!

2. Adott az 3 2 5 14f X aX X= + − + racionális együtthatójú polinom és az 1 2 3

n n nnS x x x= + + összeg, ahol

n ∗∈ és 1 2 3, ,x x x az f polinom gyökei.

5p a) Határozd meg az a racionális számot úgy, hogy az f polinomnak az egyik gyöke 1 2x = − legyen!

5p b) Oldd meg az ( ) 0f x = egyenletet, ha 4.a = −

5p c) Igazold az 3 2 142 4 5S S S+ = + egyenlőséget, ha 4.a = −

1. Adott az

a cM a,b,c,d

b d∗ = ∈

halmaz és az

mátrix. Jelölje tX az X mátrix

transzponáltját.

5p a) Számítsd ki az tA A⋅ mátrixszorzatot!

5p b) Igazold, hogy az M halmaz bármely a c

mátrixa esetén ( ) ( )2det tX X ad bc⋅ = − .

5p c) Igazold, hogy ha az a c

X Mb d

mátrix esetén ( )det 0tX X⋅ = , akkor a c

b d= .

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2x y xy x y= − − + műveletet.

5p a) Igazold hogy a „ ” művelet asszociatív!

5p b) Igazold, hogy bármely ( )1x,y ,∈ + ∞ esetén ( )1x y , .∈ + ∞

5p c) Határozd meg az a ∈ számot, ha teljesül az x a a= egyenlőség bármely x ∈ esetén!

1. Az ( )2M halmazban adottak az a b

Ac d =

, t a cA

, 21 00 1

és 20 00 0

mátrixok.

5p a) Számítsd ki az , , ,a b c d egész számokat, ha 2 22A I O+ = .

5p b) Számítsd ki a tB A A= − mátrix determinánsát!

5p c) Igazold, hogy ha 22tA A I+ = , akkor az tA A− mátrix determinánsa egy 4-gyel osztható szám.

2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )( )4 4 4x y x y= − − + műveletet.

5p a) Határozd meg a művelet semleges elemét!

5p b) Oldd meg a valós számok halmazán az x x x x= egyenletet!

5p c) Adj példát olyan , \a b ∈ számokra, amelyek esetén .a b ∈

1. Adott az 2

és az a b

mátrix az ( )2 RM halmazban. Jelölje tA az A mátrix

transzponáltját.

5p a) Ha 4ad = és 3bc = , számítsd ki ( )det A értékét!

5p b) Számítsd ki az tA A⋅ mátrixszorzatot!

5p c) Igazold, hogy ha az tA A⋅ mátrix elemeinek összege 0, akkor ( )det 0.A =

2. Adott az [ ]4 3 22f X X aX bX c X= + + + + ∈ polinom, amelynek gyökei 1 2 3 4, , , .x x x x

5p a) Számítsd ki az 1 2 3 4x x x x+ + + összeget!

5p b) Ha 1, 2a b= − = − és 0c = , számítsd ki az f polinom gyökeit!

5p c) Ha az f polinom gyökei számtani haladványt alkotnak, igazold, hogy 1b a= − .

1. Az 2 ( )M halmazban tekintsük az 21 0

− = −

és 2( )X a I aA= + mátrixokat, a ∈ .

5p a) Számítsd ki az 3A mátrixot, ahol 3A A A A= ⋅ ⋅ .

5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )X a X b X a b ab⋅ = + + , bármely ,a b ∈ esetén!

5p c) Számítsd ki az (1) (2) (3) ... (2009)X X X X+ + + + összeget!

2. Tekintsük a ( )6 , ,+ ⋅ gyűrűt, ahol { }6ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0, 1, 2, 3, 4, 5 .=

5p a) Oldd meg a 6 halmazon a ˆ ˆˆ2 5 1x + = egyenletet!

b) Számítsd ki a 6 halmazban az

ˆ ˆ ˆ 1 2 3

ˆ ˆ ˆ 2 3 1

ˆ ˆ ˆ 3 1 2

determinánst!

5p c) Oldd meg a 6 halmazon a

ˆ ˆ2 4

ˆ ˆ2 5

+ = egyenleterendszert!

1. Adott az ( )( )

4 4 15

3 4 5 22

3 2 3 16

x a y z

x y a z

+ + = + + + = + + − =

egyenletrendszer, ahol a ∈ R .

5p a) Ha 1a = számítsd ki a rendszer mátrixának a determinánsát!

5p b) Igazold, hogy a ( )7,1,1 számhármas nem lehet a rendszer megoldása, bármely a ∈ esetén!

5p c) Határozd meg az egyenletrendszer azon ( )0 0 0, ,x y z megoldását, amelyre 0 0 3y z+ = .

2. A Z halmazon értelmezzük az 1x y x y⊥ = + + , 1x y ax by= + − műveleteket, ahol ,a b ∈ Z ,

valamint az :f →Z Z , ( ) 2f x x= + függvényt.

5p a) Igazold, hogy ( ) ( )1 1x x x⊥ − = − ⊥ = , bármely x ∈ Z esetén!

5p b) Határozd meg az ,a b ∈ Z számokat úgy, hogy a „ ” művelet asszociatív legyen!

5p c) Ha 1a b= = igazold, hogy az f függvény morfizmus a ( ),⊥ és ( ), csoportok között!

1. Adottak az 3

3 1 1 0 3 4 1 0 0

0 3 1 , 0 0 3 , 0 1 0

0 0 3 0 0 0 0 0 1

mátrixok, valamint az

3 3: ( ) ( ),f →M M 23( ) 3f X X X I= − + függvény, ahol 2X X X= ⋅ .

5p a) Számítsd ki: 3det( )I B+ .

5p b) Bizonyítsd be, hogy 3( )f A I B= + .

5p c) Igazold, hogy ( )3 23( ) 3 3f A I B B= + + , ahol ( )3( ) ( ) ( ) ( )f A f A f A f A= ⋅ ⋅ .

2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 3x y x y∗ = + − és ( )( 3) 3 3x y x y= − − + műveleteket.

5p a) Oldd meg az egész számok halmazán az x x x x= ∗ egyenletet!

5p b) Határozd meg az a egész számot úgy, hogy teljesüljön az 3x a= egyenlőség bármely x egész szám esetén!

5p c) Oldd meg az ( 1) 4

( ) 1 5

∗ + = − =

egyenletrendszert, ahol ,x y ∈ .

1. Adott az 25 0

( )0 1

M mátrix. Legyen ... .n

n szer

A A A A−

= ⋅ ⋅ ⋅

5p a) Számítsd ki az 2A A+ mátrixot!

5p b) Oldd meg a ( )det 2 5 125n nA = ⋅ − egyenletet, ha ismert, hogy 5 0

, , 2.n n∀ ∈ ≥

5p c) Határozd meg a 2 2009...B A A A= + + + mátrix transzponáltját!

2. Adott az 4 2f X mX n= + + polinom, , .m n ∈ A polinom gyökei 1 2 3 4, , ,x x x x .

5p a) Határozd meg ,m n ∈ értékeket, ha 1 0x = és

2 1x =

az f polinom gyökei!

5p b) Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy a polinom gyökeire teljesüljön az 2 2 2 21 2 3 4 2x x x x+ + + =

összefüggés!

5p c) Bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az [ ]X halmazon, ha 1m = és 1.n =

1. Az xOy derékszögű koordináta rendszerben adottak az (0,0)O és ( ,2 )nnA n pontok, .n ∈

5p a) Igazold, hogy az 1 2, ,O A A pontok kollineárisak!

5p b) Hány egyenes megy át legalább két ponton az 0 1 2, , ,O A A A pontok közül?

5p c) Számítsd ki az 1 2, ,n n nA A A+ + pontok által meghatározott háromszög területét, n ∈ .

2. Tekintsük a { }xG A x= ∈ halmazt, ahol

0 1 0 , .

0 1xA x

5p a) Igazold, hogy ,x y x yA A A +⋅ = ahol ,x y ∈ .

5p b) A G halmaz a mátrixok szorzásával csoportot alkot. Határozd meg a ( ),G ⋅ csoport semleges elemét!

5p c) Igazold, hogy az : , ( ) xf G f x A→ = függvény csoportmorfizmus a ( ),+ és ( ),G ⋅ csoportok között!

1. Adottak az ( )0 0U = , ( )X x y= és 9

mátrixok, ahol , ,v x y ∈ .

5p a) Igazold, hogy ha X V U⋅ = , akkor 2( 9) 0x v⋅ − = .

5p b) Határozd meg a v valós szám azon értékeit, amelyekre a V mátrix determinánsa zérótól különböző!

5p c) Határozd meg a

+ = + =

egyenletrendszer három különböző megoldását!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3 33 1x y x y= + − műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( ) 1x x− = − , bármely x valós szám esetén.

5p b) Igazold, hogy a „ ” művelet asszociatív!

5p c) Számítsd ki: ( ) ( )4 3 ... 3 4.− −

1. Adott az

x y z a

+ + = + − = − + =

egyenletrendszer, ahol a ∈ .

5p a) Számítsd ki az egyenletrendszer mátrixának determinánsát!

5p b) Ha 0a = , oldd meg az egyenletrendszert!

5p c) Határozd meg az a ∈ számot úgy, hogy az egyenletrendszer megoldása teljesítse az x y z= +

összefüggést!

2. Adott az [ ]f X∈ , 3 22 8f X X aX= − + − polinom.

5p a) Határozd meg az a valós számot úgy, hogy az f polinom egyik gyöke 2 legyen!

5p b) Ha 4a = , számítsd ki az f polinomnak a 2 2 4g X X= − + polinommal való osztási hányadosát és

maradékát!

5p c) Igazold, hogy ha ( )2,a ∈ +∞ , akkor az f polinom nem minden gyöke valós!

1. Az ( )2M halmazban az A mátrix transzponáltját jelöljük tA -vel.

5p a) Számítsd ki az 2 2tI I+ mátrixot, ahol 2

5p b) Bizonyítsd be, hogy bármely ( )2A ∈ M és m ∈ esetén ( )t tmA mA= .

5p c) Határozd meg azokat az ( )2A ∈ M mátrixokat, amelyekre 2tA A O+ = , ahol 2

2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )( )2 2 2x y x y∗ = − − + műveletet.

5p a) Oldd meg az x x x∗ = egyenletet, ahol x ∈ .

5p c) Határozd meg a semleges elemet a „ ∗ ” műveletre nézve!

1. Adott az 3

és az

mátrix.

5p a) Határozd meg az 2A mátrixot, ahol 2A A A= ⋅ .

5p b) Igazold, hogy 3 234 5 2A A A I= − + , ahol 3 2A A A= ⋅ .

5p c) Határozd meg az , ,m n p valós számokat, ha 1 23A mA nA pI− = + + , ahol 1A− az A mátrix inverze!

2. Adottak az 1 2 3, ,x x x valós számok, amelyekre teljesülnek az

1 2 3 1 2 2 3 3 11 2 3

1 1 1 12; ; 2

2x x x x x x x x x

x x x+ + = + + = + + = − egyenlőségek.

5p a) Számítsd ki az 1 2 3x x x szorzatot!

5p b) Határozd meg , ,a b c ∈ számokat úgy, hogy 1 2 3, ,x x x az 3 2 0x ax bx c+ + + = egyenlet gyökei

legyenek!

5p c) Bontsd fel az 3 22 2 4f X X X= − − + polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az [ ]X

halmazban!

1. Adott az ( ),a b

M A a b a,bb a b

= = ∈ − − halmaz és az 2

mátrix.

5p a) Számítsd ki az (1,1)A mátrix determinánsát!

5p b) Bizonyítsd be, hogy ha ,A B M∈ akkor A B M+ ∈ .

5p c) Igazold, hogy ( )( )2det 0, 0I A b− ≠ , bármely b ∈ esetén!

2. Adott a [ ]3 XZ polinomgyűrű.

5p a) Ha [ ] ( ) ( )2

3 , 2 1g X g X X∈ = + +Z , számítsd ki ( )0̂g értékét!

5p b) Ha [ ]3f X∈ Z , 3 2f X X= + , igazold, hogy ( ) 0f x = , bármely 3x ∈ esetén!

5p c) Határozd meg az összes olyan [ ]3h X∈ harmadfokú polinomot, amelyekre

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ0 1 2 0h h h= = = .

II. FELADAT (30 p) – Varianta 017

1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (0,0)O és ( ,2 1)nA n n + pontok, ahol .n ∈

5p a) Határozd meg az 21 AA egyenes egyenletét!

5p b) Számítsd ki az 21 AOA háromszög területét!

5p c) Bizonyítsd be, hogy az ( ,2 1),nA n n + n ∈ pontok kollineárisak!

2. Adott az

( ) 0 0 0

M A a a

= = ∈

halmaz.

5p a) Igazold, hogy ( ) ( ) (2 )A a A b A ab⋅ = , bármely a és b valós szám esetén!

5p b) Igazold, hogy az

semleges elem a mátrixok szorzására nézve az M halmazon!

5p c) Számítsd ki az (1)A M∈ elem inverzét a mátrixok M halmazon tekintett szorzására nézve!

12 II. FELADAT (30p) – Varianta 012

1. Adottak az

0 1 1 ,

mátrixok. Legyen 2.X X X⋅ =

5p a) Igazold, hogy 3A I B= + .

5p b) Számítsd ki az 2 2A B+ összeget! 5p c) Határozd meg az 2A mátrix inverzét! 2. A valós számok halmazán értelmezzük az 7( ) 42x y xy x y= + + + műveletet.

5p a) Számítsd ki: 2 ( 2)− .

5p b) Igazold, hogy ( 7)( 7) 7x y x y= + + − , bármely ,x y ∈ esetén!

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az x x x x= egyenletet, ha a ismert, hogy a „ ” művelet asszociatív.

1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (0,0)O és az ( 2,3 2)nA n n+ − pontok, n ∈ .

5p a) Határozd meg az 1A és 2A pontokon átmenő egyenes egyenletét!

5p b) Számítsd ki az 0 1OA A háromszög területét!

5p c) Bizonyítsd be, hogy az 1 2, A A és nA pontok kollineárisak bármely ,n ∈ 3n ≥ esetén!

2. Adottak az 5 353 3 3 4 [ ]f X X X X= + + + ∈ és 3 2

53 3 2 3 [ ]g X X X X= + + + ∈ polinomok.

5p a) Számítsd ki az (0) (1)f f+ összeget!

5p b) Oldd meg a 5 halmazban az ( ) 0f x = egyenletet!

5p c) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási hányadosát!

1. Adottak az

− = −

, 21 0

, 20 0

mátrixok, valamint a

( ) ( ){ } ( )2 2, , , ,G M x y M x y xI yA x y= = + ∈ ⊂ M halmaz.

5p a) Igazold, hogy 22A O= , ahol 2A A A= ⋅ .

5p b) Határoz meg az ( )1,1M mátrix inverzét!

5p c) Határozd meg a G halmaz invertálható mátrixait!

2. Az [ ]X halmazban adott az 3 2 1f X pX= + + polinom, ahol p ∈ . Az f gyökei 1 2 3, ,x x x .

5p a) Számítsd ki ( )f p− értékét!.

5p b) Határozd meg a p ∈ számot úgy, hogy az f polinom osztható legyen az 1X − polinommal!

5p c) Számítsd ki az 4 4 41 2 3x x x+ + összeget a p ∈ függvényében!

1. Adott a 2 22 , , 3 1 ( )

a bG a b a b

= ∈ − = ⊂

M halmaz.

5p a) Igazold, hogy 21 0

0 1I G

és 20 0

0 0O G

5p b) Igazold, hogy bármely két ,A B G∈ mátrix esetén teljesül az A B B A⋅ = ⋅ egyenlőség!

5p c) Igazold, hogy a G bármely mátrixának inverze is a G halmaz eleme!

2. Adott az 3 211 7f mX X X m= + + + , [ ]f X∈ polinom.

5p a) Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy az f polinom osztható legyen a 1g X= − polinommal!

5p b) Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy ( )2f ∈ legyen!

5p c) Számítsd ki az f polinom gyökeinek négyzetösszegét, ha 9.m = −

1. Adottak az 1 1

− = −

és 20 0

mátrixok.

5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot, ahol 2A A A= ⋅ .

5p b) Igazold, hogy 22AB B O− = .

5p c) Igazold, hogy ha ( )2X ∈ M és 2A X B O⋅ ⋅ = , akkor az X mátrix elemeinek összege zéró.

2. Adottak az [ ]2,f g X∈ , 2 1f X= + és 1g X= + polinomok, valamint a

{ }22, ,H a bX cX a b c= + + ∈

halmaz.

5p a) Igazold, hogy 2g f= .

5p b) Határozd meg az f g+ polinomnak az f polinommal való osztási maradékát és hányadosát!

5p c) Határozd meg a H halmaz elemeinek számát!

1. Adott az

0 1 , ,

M b a b c

halmaz.

5p a) Ha

, számítsd ki az AB mátrixot!

5p b) Igazold, hogy bármely ,X Y ∈ M esetén XY ∈ M .

5p c) Igazold, hogy ha U ∈ M és VU UV= , bármely V ∈ M esetén, akkor létezik p ∈ úgy, hogy

2. Adott az ( )22 22 1f X X a= − + − polinom, ahol a ∈ .

5p a) Ha 0a = , oldd meg az ( ) 0f x = egyenletet!

5p b) Igazold, hogy ( )( )2 22 1 2 1f X X a X X a= − + + − + − .

5p c) Határozd meg azon a ∈ számokat, amelyekre az f polinom minden gyöke valós!

1. Adott az { }2M aI bV a,b= + ∈ halmaz, ahol 21 0

és 1 1

− = −

5p a) Igazold, hogy 2I M .∈

5p b) Igazold, hogy ha A M∈ és A invertálható, akkor 0a ≠ .

5p c) Ha A,B M∈ igazold, hogy AB M∈ .

2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )5 30x y xy x y∗ = − + + műveletet.

5p a) Bizonyítsd be, hogy ( )( )5 5 5x y x y∗ = − − + , bármely x, y ∈ esetén!

5p b) Határozd meg a semleges elemet a „ ∗ ” műveletre nézve!

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az x x x x∗ ∗ = egyenletet, ha ismert, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!

1. Adott az ( ) tf A A A= + összefüggéssel értelmezett ( ) ( )2 2:f →R RM M függvény, ahol tA az A

mátrix transzponáltja.

5p a) Számítsd ki az 2( )f I .mátrixot!

5p b) Igazold, hogy ( )t t tA B A B+ = + , bármely ( )2,A B ∈ RM esetén!

c) Határozd meg azokat az ( )2A ∈ RM mátrixokat, melyekre det 1A = és 2( )f A O= , ahol

2. Adott az 4 3 1 0x ax ax− − + = egyenlet, melynek megoldásai 1 2 3 4, , ,x x x x , ahol a ∈ .

5p a) Határozd meg az a ∈ számot, ha 1 2 3 4 5x x x x+ + + = .

5p b) Ha 1a = , határozd meg az egyenlet valós megoldásait!

5p c) Határozd meg az a egész szám azon értékeit, amelyekre az egyenletnek legalább egy megoldása egész szám!

1. Adott az 0 , . .

M a d a b c d

R halmaz és az 3

mátrix.

5p a) Igazold, hogy 3O M∈ .

5p b) Igazold, hogy az M halmaz két tetszőleges mátrixának a szorzata benne van az M halmazban!

5p c) Ha A M∈ és ( )det 0A = , igazold, hogy 33A O= , ahol 3A A A A= ⋅ ⋅ .

2. Adott az 4 3 2f X X aX bX c= − + + + polinom, ahol , ,a b c ∈ .

5p a) Ha 1a c= = és 1b = − határozd meg az f polinomnak az 2 1X + polinommal való osztási

maradékát és hányadosát!

5p b) Határozd meg az a, b, c számokat, ha az f polinomnak az 2 1X + -gyel való osztási maradéka

X , valamint az f polinomnak 1X − -gyel való osztási maradéka 1− .

5p c) Igazold, hogy ha 1

a ∈ + ∞

akkor az f polinomnak nem minden gyöke való!

1. Adottak az 3 4

és 21 0

mátrixok.

5p a) Számítsd ki a 2B mátrixot, ahol 2B B B= ⋅ .

5p b) Igazold, hogy 1 3 4

2 3A− −

= − .

5p c) Igazold, hogy 4 426C I= ⋅ , ahol 2 1C B A−= + és 4 .C C C C C= ⋅ ⋅ ⋅ .

2. Adottak az 3 2 1f X aX X= + + + és 3g X= + polinomok a 5[ ]XZ gyűrűben.

5p a) Határozd meg az 5a ∈ értékét úgy, hogy az f polinom osztható legyen g polinommal!

5p b) Igazold, hogy 1a = esetén 2( 1)( 1)f X X= + + .

5p c) Oldd meg a 5( , , )+ ⋅Z gyűrűben az ( ) 0f x = egyenletet, ha 1.a =

1. Adott az 2

x y az

x y a z

+ + = + + =

egyenletrendszer, valamint az 32

( ) 1 2 ( )

M mátrix.

5p a) Számítsd ki a det( (4))A determinánst!

5p b) Határozd meg az a ∈ azon értékeit, melyekre az ( )A a mátrix invertálható!

5p c) Ha \{1,2}a ∈ , oldd meg az egyenletrendszert!

2. Adott az 3 2 4f X aX aX= + − − , [ ]f X∈ polinom.

5p a) Határozd meg az a ∈ számot úgy, hogy 1 2 3 2x x x+ + = − legyen, ahol 1 2 3, ,x x x az f

polinom valós gyökei!

5p b) Határozd meg az a ∈ számot úgy, hogy az f polinom osztható legyen az 2 2X − polinommal!

5p c) Határozd meg az a ∈ számot úgy, hogy az f polinomnak legyen egy pozitív racionális gyöke!

1. Az ( )2 RM halmazban adott az 21 0

és az a b

mátrix. Jelölje 2A A A= ⋅ .

5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot!

5p b) Igazold, hogy ( ) ( )22A a d A ad bc I= + − − .

5p c) Igazold, hogy ha 0a d+ ≠ és az ( )2M ∈ M mátrix esetén 2 2A M MA= , akkor AM MA= .

2. Adott az [ ]f X∈ , 3 22f X X aX b= − + + polinom, melynek gyökei 1 2 3, ,x x x .

5p a) Ha 1a = és 0b = , számítsd ki az 1 2 3, ,x x x gyököket!

5p b) Ha 2 2 21 2 3 2x x x+ + = igazold, hogy 1a = .

5p c) Határozd meg az a és b valós számokat, ha 2 2 21 2 3( )( )( )f X x X x X x= − − − .

1. Adottak az

mátrixok. Legyen tA X Y= ⋅ és

3( )B a aA I= + , ahol a ∈ és tY az Y mátrix transzponáltja.

5p a) Igazold, hogy

− = − −

5p b) Számítsd ki az A mátrix determinánsát!

5p c) Igazold, hogy a ( )B a mátrix invertálható, bármely 1

esetén!

2. Adottak az 5, [ ]f g X∈ , 2(3 3 ) 2 2 3f a b X X a b= + + + + és 22 2 3 2g X X a b= + + + polinomok.

5p a) Határozd meg az 5,a b ∈ értékét úgy, hogy a két polinom egyenlő legyen!

5p b) Számítsd ki az (0) (1) (2) (3) (4)f f f f f+ + + + összeget, ha 2.a b= =

5p c) Oldd meg a 5 halmazban az ( ) 0f x = egyenletet, ha 2.a b= =

1. Adott az , ,a b

M a b cb c

halmaz és az 21 0

mátrix.

5p a) Igazold, hogy 2I M∈ .

5p b) Ha ,A B M∈ igazold, hogy A B M+ ∈ .

5p c) Igazold, hogy ( ) 0det AB BA− ≥ , bármely ,A B M∈ esetén!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2 2 2x y xy x y∗ = − + + − műveletet.

5p a) Oldd meg a valós számok halmazán az 4 10x ∗ = egyenletet!

5p b) Határozd meg az a ∈ számot úgy, hogy teljesüljön az x a a x a∗ = ∗ = egyenlőség bármely x ∈ esetén!

5p c) Számítsd ki az 1 2 4018

2009 2009 2009∗ ∗ ∗… értékét, ha tudjuk, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!

1. Adottak az 20 0

, 21 0

és az 0 1

mátrixok, ahol ,a b ∈ . Legyen 2A A A.= ⋅

5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot!

5p b) Igazold, hogy 22A aI bA= + , ahol 2A A A= ⋅ .

5p c) Ha ( )2X ∈ M és AX XA= , igazold, hogy létezik m,n ∈ úgy, hogy 2X mI nA= + .

2. Adott az 4 3 1f X aX X= + − − polinom, ahol a ∈ .

5p a) Határozd meg az a számot, ha 1x = gyöke az f polinomnak!

5p b) Ha 1a = , határozd meg az f polinom valós gyökeit!

5p c) Igazold, hogy ( ) 0f x ≠ , bármely x \∈ .

1. Adott az 3 1

− = ∈ −

mátrix. Jelölje 2A A A= ⋅ és 21 0

5p a) Határozd meg az x valós szám értékét, ha ( )det 0A = .

5p b) Igazold az ( ) ( )2 222 6 6 8A x A x x I= − − − + ⋅ egyenlőséget!

5p c) Határozd meg az x ∈ azon értékét, amelyre teljesül az 2 2A A= egyenlőség!

5p a) Igazold, hogy ( )( )2 2 2, bármely ,x y x y x y= − − + ∈ esetén!

5p b) Igazold, hogy 2 2,x = bármely x ∈ esetén!

5p c) Számítsd ki az ( ) ( ) ( )2009 2008 1 0 1 2 2009E = − − −… … kifejezés értékét, ha a „ ”

művelet asszociatív!

1. Adott az , ,a b

M a b cc a

halmaz, valamint az 21 0

mátrix.

5p a) Igazold, hogy 2I M∈ .

5p b) Ha ,A B M∈ , igazold, hogy A B M+ ∈ .

5p c) Bizonyítsd be, hogy ( )det 0AB BA− ≤ , bármely ,A B M∈ esetén!

2. Adott az [ ]{ }23M f X f X aX b= ∈ = + + halmaz.

5p a) Számítsd ki ( )1f értékét, ha 1a b= = .

5p b) Határozd meg 3,a b ∈ értékét úgy, hogy ( ) ( )0 1 1.f f= =

5p c) Határozd meg az M halmaz elemeinek számát!

1. Adott a ,

G b a b a b

halmaz, valamint a

mátrix.

5p a) Igazold, hogy 2 3B B= , ahol 2B B B= ⋅ .

5p b) Igazold, hogy 3mI nB G+ ∈ , bármely ,m n ∈ esetén!

5p c) Igazold, hogy ha A G∈ és 23A O= , akkor 3A O= , ahol 3

és 2 .A A A= ⋅

2. Adott az [ ]4 212 35,f X X f X= − + ∈ polinom.

5p a) Bizonyítsd be, hogy ( )22 6 1f X= − − .

5p b) Igazold, hogy a polinomnak nincsenek egész gyökei!

5p c) Bontsd fel a polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az [ ]XR halmazon!

1. Adott az 22 6

( )1 3

= ∈ − M mátrix. Legyen 2

0 00 0

és szern

n AAAA−

⋅⋅⋅= ... , bármely n ∗∈ .

5p a) Számítsd ki az .A mátrix determinánsát!

5p b) Igazold, hogy 2 32A A O+ = .

5p c) Számítsd ki az 2 102 10A A A+ ⋅ + + ⋅ összeget!

2. Adottak az , [ ]f g X∈ , 10 10( 1) ( 2)f X X= − + − és 2 3 2g X X= − + polinomok.

5p a) Bontsd fel a g polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az [ ]X halmazon!

5p b) Igazold, hogy az f polinom nem osztható a g polinommal!

5p c) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási maradékát!

1. Az 2 ( )M halmazban adottak az 1 2

− = −

és 21 0

mátrixok.

5p a) Igazold, hogy AB BA= .

5p b) Számítsd ki az 2 2A B+ mátrixot ha 2A A A= ⋅ és 2B B B= ⋅ .

5p c) Bizonyítsd be, hogy 4 425 ,C I= ⋅ ahol C A B= + és 4 .C C C C C= ⋅ ⋅ ⋅

2. Adottak az 4 3 2 5 6f X aX bX X= + + − + és 3 2g X X= + − racionális együtthatójú polinomok.

5p a) Határozd meg ,a b ∈ értékét úgy, hogy az f polinom osztható legyen a g polinommal!

5p b) Bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára a [ ]X halmazon, ha 3a = − és 1.b =

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán a 13 23 3 3 5 6 3 0x x x x+ −− + − + ⋅ = egyenletet!

1. Adott a

d c a b

= determináns, ahol , ,a b c ∈ .

5p a) Számítsd ki a d determinánst, ha 2a = , 1b = és 1.c = −

5p b) Igazold, hogy ( )2 2 21

( ) ( ) ( ) ( )2

d a b c a b b c c a= + + − + − + − , bármely , ,a b c ∈ esetén!

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán a 8 27 125 3 (2 3 5) 0x x x x+ + − ⋅ ⋅ ⋅ = egyenletet!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2 6 6 21x y xy x y= − − + műveletet.

5p a) Igazold, hogy 2( 3)( 3) 3,x y x y= − − + bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) Oldd meg a valós számok halmazán az 11x x = egyenletet!

5p c) Számítsd ki az 1 2 3 2009… értékét, ha a „ ” művelet asszociatív!

electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul...

Documents

MANAGEMENTUL INOVĂRII · Web viewMANAGEMENTUL INOVĂRII Ştefan IANCU Prin Decizia nr.1350/16.12.2008 a Parlamentului şi a Consiliului European, anul 2009 a fost declarat „An

ROM ÂNIA MINISTERUL EDUCAŢIE I CERCETĂRII ŞI INOVĂRII

Comisia de Atestare a cadrelor ştiinţifice şi ştiinţifico ... · nominală definitivă a comisiilor specializate de evaluare a organizaţiilor din sfera ştiinţei şi inovării

ţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru … bac 2009/Variante pe grupe...Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi

1- 4. · 2016. 5. 3. · şi educaţie care se adapteazăpermanent cerinţelorregionale, naţionale şi europene în privinţa educaţiei, cercetării, inovării şi transferului

MINISTERUL EDUCAŢIEI CERCETĂRII ŞI INOVĂRII - ctas.ro · mişcării (arbori, roţi dinţate, curele şi de lanţuri); Asamblări nedemontabile (nituite, sudate, asamblări lipite);

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul ... · PDF fileCentrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul ... b. lucrul mecanic efectuat de for

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului 3 avansat_anul I_Analist programator.pdf · ministerul educaŢiei cercetĂrii Şi inovĂrii centrul naŢional de dezvoltare a ÎnvĂŢĂmÂntului

2009 – Anul European al Creativităţii şi Inovării ... · 2009 – Anul European al Creativităţii şi Inovării “Imaginează. Creează. Inovează.” Obiectivul global al

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului 3 avansat...MINISTERUL EDUCAŢIEI CERCETĂRII ŞI INOVĂRII CENTRUL NAŢIONAL DE DEZVOLTARE A ÎNVĂŢĂMÂNTULUI PROFESIONAL ŞI

STIMU laREa aCTIvITĂţII CREaTIvE, PROCESUl INOvĂRII ŞI … · 2011-10-20 · Stimularea activităţii creative, procesul inovării şi integrarea europeană | 27 A. CE ESTE CREATIVITATEA

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului 3 avansat_anul II...MINISTERUL EDUCAŢIEI CERCETĂRII ŞI INOVĂRII CENTRUL NAŢIONAL DE DEZVOLTARE A ÎNVĂŢĂMÂNTULUI PROFESIONAL

MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII · 2016-05-04 · bilingv sau clase în învăţământul vocaţional; graficul susţinerii probelor de aptitudini şi a probelor

PLANUL NAŢIONAL PENTRU CERCETARE – … Modul 5...ştiinţei, tehnologiei şi inovării în România, în vederea creşterii competitivităţii şi reducerii decalajelor economice,

REVISTA DE ADMINISTRAłIE PUBLICĂ ŞI POLITICI …revad.uvvg.ro/files/revad_1_2009.pdf · 1 romÂnia ministerul educałiei, cercetĂrii şi inovĂrii universitatea de vest “vasile

ÎNTREPRINDEREA ŞI PROCESUL INOVĂRII

Lucrările Salonului Inovării şi Cercetării UGAL …...Universitatea „Dunărea de Jos” din Galaţi Lucrările Salonului Inovării şi Cercetării UGAL INVENT 2019 Ediţia a

MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII de... · Web viewMINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII Proiectul Phare TVET RO 2006/018-147.04.01.02.01.03.01 AUXILIAR

MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII · Web viewcunoştinţe care le vor permite să-şi dezvolte abilităţi practice şi creative privind tipurile de echipamente şi

MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII … · Prezentul document conţine Programele şcolare de Istorie şi se adresează profesorilor care predau această disciplină,