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3 Regras de Derivação
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3.6 Derivadas de Funções
Logarítmicas
3
Derivadas de Funções Logarítmicas
Nesta seção vamos usar a derivação implícita para achar
as derivadas das funções logarítmicas y = logax e, em
particular, da função logarítmica natural y = ln x. [É
possível demonstrar que as funções logarítmicas são
deriváveis: com certeza isso é plausível a partir dos seus
gráficos (veja a Figura 12 Seção 1.6).]
Figura 12
4
Derivadas de Funções Logarítmicas
De forma geral, se combinarmos a Fórmula 2 com a Regra
da Cadeia, obtemos
ou
5
Exemplo 2
Encontre ln(sen x).
SOLUÇÃO: Usando temos
6
Derivação Logarítmica
7
Derivação Logarítmica
Os cálculos de derivadas de funções complicadas
envolvendo produtos, quocientes ou potências podem
muitas vezes ser simplificados tomando-se os logaritmos.
O método usado no exemplo a seguir é chamado
derivação logarítmica.
8
Exemplo 7
Derive
SOLUÇÃO: Tome o logarítmo em ambos os lados da
equação e use as Propriedades do Logaritmo para
simplificar:
ln y = ln x + ln(x2 + 1) – 5 ln(3x + 2).
Derivando implicitamente em relação a x, temos
9
Exemplo 7 – Solução
Isolando para dy/dx, obtemos
Como temos uma expressão explícita para y, podemos
substituí-lo por ela e escrever
continuação
10
DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA
11
O Número e como um Limite
12
O Número e como um Limite
Já mostramos que se f (x) = ln x, então f (x) = 1/x. Agora,
f (1) = 1. Agora, usamos esse fato para expressar o
número e como um limite.
Da definição de derivada como um limite, temos
13
O Número e como um Limite
Por causa de f (1) = 1, temos
Assim, pela continuidade da função exponencial, temos
14
O Número e como um Limite
A Fórmula 5 está ilustrada pelo gráfico da função
y = (1 + x)1/x na Figura 4 e na tabela para os valores
pequenos de x. Isso ilustra o fato de que, com precisão
até a sétima casa decimal,
e 2,7182818.
Figura 4
15
O Número e como um Limite
Se colocarmos n = 1/x na Fórmula 5, então n como
x 0+ e uma expressão alternativa para e é
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3 Regras de Derivação
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3.9 Taxas Relacionadas
3 3
Taxas Relacionadas
Quando bombeamos ar para dentro de um balão, tanto o
volume quanto o raio do balão crescem, e suas taxas de
crescimento estão relacionadas. Mas é muito mais fácil
medir diretamente a taxa de crescimento do volume do que
a do raio.
Em um problema de taxas relacionadas, a ideia é calcular
a taxa de variação de uma grandeza em termos da taxa de
variação da outra (que pode ser medida mais facilmente).
O procedimento é achar uma equação que relacione as
duas grandezas e então usar a Regra da Cadeia para
derivar ambos os lados em relação ao tempo.
4 4
Exemplo 1
Ar está sendo bombeado para um balão esférico de modo
que seu volume aumenta a uma taxa de 100 cm3/s. Quão
rápido o raio do balão está aumentando quando o diâmetro
for 50 cm?
SOLUÇÃO: Vamos começar identificando duas coisas:
a informação dada:
a taxa de crescimento do ar é 100 cm3/s
e a incógnita:
a taxa de crescimento do raio quando o
diâmetro é 50 cm
5 5
Exemplo 1 – Solução
Para expressarmos matematicamente essas grandezas,
introduzimos alguma notação sugestiva:
Seja V o volume do balão e seja r seu raio.
A chave está em lembrar que taxas de variação são
derivadas. Neste problema, o volume e o raio são
funções do mesmo tempo t. A taxa de crescimento do
volume em relação ao tempo é a derivada dV/dt, e a taxa
de crescimento do raio é dr /dt.
continuação
6 6
Exemplo 1 – Solução
Podemos, portanto, reapresentar o que foi dado e a
incógnita como a seguir:
Dada: = 100 cm3/s,
Incógnita: quando r = 25 cm.
Para ligar dV/dt e dr/dt, primeiro relacionamos V e r pela
fórmula para o volume de uma esfera:
V = r 3
continuação
7 7
Exemplo 1 – Solução
Para usarmos a informação dada, derivamos cada lado
dessa equação em relação a t. Para derivarmos o lado
direito precisamos usar a Regra da Cadeia:
Agora, isolamos a incógnita:
continuação
8 8
Exemplo 1 – Solução
Se colocarmos r = 25 e dV/dt = 100 nessa equação,
obtemos
O raio do balão está crescendo a uma taxa de
1/(25 ) ≈ 0,0127 cm/s.
continuação
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3.11 Funções Hiperbólicas
3
Funções Hiperbólicas
Certas combinações das funções exponenciais ex e e–x
surgem frequentemente em matemática e suas aplicações
e, por isso, merecem nomes especiais. Elas são análogas,
de muitas maneiras, às funções trigonométricas e
possuem a mesma relação com a hipérbole que as
funções trigonométricas têm com o círculo.
4
Funções Hiperbólicas
Por essa razão são chamadas coletivamente de funções
hiperbólicas e, individualmente, de seno hiperbólico,
cosseno hiperbólico e assim por diante.
5
Funções Hiperbólicas
As funções hiperbólicas satisfazem diversas identidades
que são análogas às bem conhecidas identidades
trigonométricas. Listaremos algumas aqui, deixando a
maioria das demonstrações para os exercícios.
6
Exemplo 1
Demonstre (a) cosh2x – senh2x = 1 e
(b) 1 – tanh2x = sech2x.
SOLUÇÃO:
(a) cosh2x – senh2x =
= . = = 1.
7
Exemplo 1 – Solução
(b) Vamos começar com a identidade demonstrada na
parte (a):
cosh2x – senh2x = 1.
Se dividirmos ambos os lados por cosh2x, obtemos
ou
continuação
8
Funções Hiperbólicas
As derivadas das funções hiperbólicas são facilmente
calculadas. Por exemplo,
9
Funções Hiperbólicas
Vamos listar as fórmulas de derivação para as funções
hiperbólicas na Tabela 1.
10
Exemplo 2
Qualquer uma dessas regras de derivação pode ser
combinada com a Regra da Cadeia. Por exemplo,
11
Funções Hiperbólicas Inversas
12
Funções Hiperbólicas Inversas
O senh e tgh são funções injetoras; logo, elas
têm funções inversas denotadas por senh–1 e tgh–1. A
Figura 2 mostra que cosh não é injetora, mas quando
restrita ao domínio [0, ) torna-se injetora. A inversa da
função cosseno hiperbólico está definida como a inversa
dessa função restrita.
13
Funções Hiperbólicas Inversas
Podemos esboçar os gráficos de senh–1, cosh–1 e tgh–1
nas Figuras 8, 9 e 10.
Figura 8
domínio = ra, imagem =
Figura 9
domínio = [1, ) imagem = [0, )
14
Funções Hiperbólicas Inversas
Figura 10
domínio = (–1, 1), intervalo =
15
Funções Hiperbólicas Inversas
Uma vez que as funções hiperbólicas estão definidas em
termos das funções exponenciais, não é surpreendente
descobrir que as das funções hiperbólicas inversas podem
ser expressas em termos de logaritmos. Especificamente,
temos:
16
Exemplo 3
Mostre que senh–1x =
SOLUÇÃO: Seja y = senh–1x. Então
Logo ey – 2x – e–y = 0
ou, multiplicando por ey,
e2y – 2xey – 1 = 0.
17
Exemplo 3 – Solução
Isso é realmente uma equação quadrática em ey:
(ey)2 – 2x(ey) – 1 = 0.
Resolvendo com a fórmula quadrática, obtemos
Observe que ey > 0, mas
continuação
18
Exemplo 3 – Solução
Assim, o sinal de menos é inadmissível e temos
Portanto,
continuação
19
Funções Hiperbólicas Inversas
As funções hiperbólicas inversas são todas deriváveis,
pois as funções hiperbólicas são deriváveis.
20
Exemplo 4
Demonstre que
SOLUÇÃO: Seja y = senh–1x. Então senh y = x. Se
derivarmos essa equação implicitamente em relação a x,
obtemos
21
Exemplo 4 – Solução
Uma vez que cosh2y – senh2y = 1 e cosh y 0, obtemos
cosh y = logo
continuação
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