4. Matemātiskie spriedumi, izteikumi un pierādījumi

4. MATEMĀTISKIE SPRIEDUMI, IZTEIKUMI UN PIERĀDĪJUMI76. lpp

Ik dienas mēs vērojam , analizējam, vērtējam, secinām

Pamatot savu viedokli mums palīdz ne tikai informācija (zināšanas un fakti), bet arī prasme loģiski spriest.

SPRIEŠANAS PAŅĒMIENI Empīriskā spriešana Induktīvā spriešana Deduktīvā spriešana

EMPĪRISKĀ SPRIEŠANA

Spriedumus, kas tiek izdarīti, balstoties uz iepriekš gūtu pieredzi, sauc par empīriskiem spriedumiem.

Piemēri: Dienu pirms algas nekad nav brīvu naudas

līdzekļu Bankās pusdienlaikā ir visvairāk rindas Teksta uzdevumi parasti ir grūtāki par citiem

uzdevumiem

Cilvēku gūtā pieredze var būt pilnīgi atšķirīga Tieši tāpēc empīriski pierādījumi nevar kļūt

par loģisko pierādījumu pamatu. Tie ne vienmēr ir patiesi un attiecināmi uz

visiem gadījumiem. Tomēr tie var palīdzēt pierādījumu veidošanā

INDUKTĪVIE SPRIEDUMI Spriešanas paņēmienu, kad secinājumi tiek

iegūti, balstoties uz vairāku eksperimentu vai vērojumu laikā gūtiem rezultātiem, sauc par induktīvo spriešanu.

Šādā ceļā gūtos spriedumus sauc par induktīviem spriedumiem.

PIEMĒRI:Klasisks induktīvo spriedumu piemērs ir tautas

ticējumi: Ja ap Ziemassvētkiem auksts - vasara būs

karsta; Ja slapja Māras diena - būs slapjš jūlijs. Tomēr ne vienmēr ticējumi piepildās.

PIEMĒRI:Interesants induktīvās spriešanas piemērs: "Fiziķis pārbauda pirmos 99 skaitļus,

pārliecinās, ka tie visi ir mazāki nekā 100, un secina, ka vispār visi skaitļi ir mazāki nekā 100, jo ar 99 eksperimenti  ir pilnīgi pietiekami, lai veiktu zinātnisku secinājumu".

Induktīvos spriedumus, tāpat kā empīriskos vienus pašus par pamatu pierādījumiem izmantot nevar.

DEDUKTĪVIEM SPRIEDUMI

Spriešanas paņēmienu, kad katrs nākamais secinājums tiek balstīts uz iepriekš pamatotu spriedumu, sauc par deduktīvo spriešanu.

Šādā ceļā iegūtos spriedumus sauc par deduktīviem spriedumiem.

SHĒMAS PARAUGS, KĀ MATEMĀTIKĀ TIEK IEGŪTA JAUNA TEORĒMA:

Eksperiments (mērījumi, aprēķini) Induktīvā spriešana (spriedumi par atsevišķiem gadījumiem) Hipotēze Deduktīvā spriešana (izmanto tikai iepriekš pierādītus faktus) Hipotēzes apstiprinājums ( ir iegūts jauns

patiess spriedums) vai noliegums  

IZTEIKUMI

Domāšanas un spriešanas procesā cilvēki formulē un izsaka dažādus apgalvojumus.

Tie var būt gan patiesi, gan aplami, gan arī tādi, kuru patiesumu nav iespējams novērtēt.

IZTEIKUMI 

Apgalvojumus, par kuriem viennozīmīgi var pateikt, vai tie ir patiesi vai aplami, matemātikā sauc par izteikumiem.

PIEMĒRI: Ir izteikumi Nedēļā ir 7 dienas (patiess izteikums); Skaitlis 101 dalās ar 9 (aplams izteikums).

Tālāk dotie apgalvojumi nav izteikumi.  Dzīve ir skaista. x < 9. Pasākumu apmeklēja ļoti daudz skatītāju.

IZTEIKUMUS IEDALA Vispārīgie izteikumi

Mūsu skolas 10. klasē visi skolēni ir sekmīgi

Visi pāra skaitļi dalās ar divi

Atsevišķie izteikumi 10. klases skolniece

Inga ir sekmīga. 10. klases skolnieks

Andris ir sekmīgs. 

4 dalās ar divi. 206 dalās ar divi.

VISPĀRĪGAIS IZTEIKUMS Izteikumus, kas nav attiecināmi tikai uz konkrētu

piemēru vai situāciju un kuri vispārināti (parasti ar mainīgo vai parametru palīdzību) apraksta kādu faktu vai procesu, sauc par vispārīgiem izteikumiem.

Vispārīgais izteikums ir patiess tad un tikai tad, ja patiesi ir visi tam atbilstošie atsevišķie izteikumi. 

Ja kaut viens no atsevišķiem izteikumiem ir aplams, tad arī vispārīgais izteikums ir aplams.

Šādu atsevišķo izteikumu, kas pierāda, ka vispārīgais izteikums nav patiess, sauc par pretpiemēru

PIEMĒRS Vispārīgs izteikums: Mūsu skolā visiem patīk

matemātika

Pretpiemērs: Mūsu skolas 5. klases skolēnam Kārlim matemātika nepatīk

Secinājums: Vispārīgais izteikums ir aplams

IEVĒRO DIVUS LOĢIKAS PAMATLIKUMUS: 

1) katrs izteikums ir vai nu patiess, vai aplams (trešā izslēgtā likums);

  2)neviens izteikums nevar būt vienlaikus

patiess un aplams ( pretrunas likums).

SALIKTIE IZTEIKUMI UN VIENKĀRŠIE IZTEIKUMI