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General Thermodynamics Relations

Content

• Partial Derivatives• Maxwell Relations• Thermodynamic relations between measurable and non‐measurable properties

• Bridgman tables

Partial Derivatives

• Let

where

and

• It deriving M with respect to y and N with respect to x, you get

and

• Therefore

Maxwell Relations

• They are the equations that relate the partial derivatives of the properties p, v, T and s of a simple compressible system.

• They are obtained from the four Gibbs equations, exploiting the accuracy of the derived thermodynamic properties.

• Gibbs equations:

HelmholtzFunction ⇒ GibbsFunction ⇒

Maxwell Relations

• Simplifying the above equations:

• Since u, h, and g are thermodynamic properties, its total differential are accurate. Therefore, the Maxwell equations are:

Maxwell Relations

• Other relationships derived from the above equations are:

Maxwell Relations

• Equating equations we get:

Specific Heat

Specific Heat

Internal Energy, Enthalpy and Entropy

• General expressions to determine the differences in internal energy, enthalpy and entropy for a pure substance.

• Internal Energy

• Enthalpy

• Entropy

Bridgeman Equations

• The methodology used for previously submitted relations is by no means the only one that can be followed.

• Looking at the eight independent properties p, v, T, u, h, s, and g, it is possible to develop 168 independent partial derivatives.

• Tables developed by Bridgeman allow direct assessment of any relationship that involves p, v, T, u, h, s, and g, in terms of p, v, T, v/p)T, v/T)p, cp and s.

Bridgeman Equations

• Bridgeman tables ‐ University of Tennessee, Department of Chemical Engineering. http://utkstair.org/clausius/docs/che330/text/bridgman_table.html

• For a given pressure, cp, use Table 1• For a given pressure and cv, use Table 2• For a given volume and cp, use Table 3• For a given volume, cv, make your own tables.• Example use of the tables, example.

Examples (textbook)

EXAMPLE 12–1 Approximating Differential Quantities by DifferencesThe cp of ideal gases depends on temperature only, and it is expressed as  / . Determine the cp of air at 300 K, using the enthalpy data from Table A–17, and compare it to the value listed in Table A–2b.

≅∆∆

300K305K 295K305 295 K

305.22 295.17 kJ/kg305 295 K

. /

Examples (textbook)

EXAMPLE 12–2 Total Differential versus Partial DifferentialConsider air at 300 K and 0.86 m3/kg. The state of air changes to 302 K and 0.87 m3/kg as a result of some disturbance. Using Eq. 12–3, estimate the change in the pressure of air.

Data: Air,  = 300 K,  = 0.86 m3/kg,  = 302 K,  = 0.87 m3/kg,  = ?

; constant 0.287kPam3/kgK ⇒ ,

Examples (textbook)

⇒

Examples (textbook)≅ ∆ 302 300 K 2K

≅300 302 K

2 301K

≅ ∆ 0.87 0.86 m3/kg 0.01m3/kg

≅ ̅0.86 0.87 m3/kg

2 0.865m3/kg

0.287kPam3/kgK2K

0.865m3/kg301K 0.01m3/kg0.865m3/kg

.

Examples (textbook)

EXAMPLE 12–4 Verification of the Maxwell RelationsVerify the validity of the last Maxwell relation (Eq. 12–19) for steam at 250°C and 300 kPa.

Examples (textbook)

≅ΔΔ °

@ . @ . 400 200 kPa °

7.3804 7.7100 kJ/kgK400 200 kPa . /

°

Examples (textbook)

°

≅ΔΔ

@ ° @ °300 200 K .

0.87535 0.71643 m3/kg300 200 K . /

Examples (textbook)

≅

0.00165kJ

kgKkPa ≅ 0.00159m3

kgK

0.00165kJ

kgKkPa1kPam3

1kJ ≅ 0.00159m3

kgK

. ≅ .

% error  %

Homework 5

Problems from the textbook (Thermodynamics, Yunus, 8th ed.):• Answer the following conceptual problems:

• Chapter 12, problems: 1‐4, 31

• Choose 5 problems and answer them (those who you consider to provide better understanding to the subject seen in this section)• Chapter 12, problems: 5‐18, 32‐51

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