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5.3 Derivadas parciales de orden superior. Matriz hessiana.
5.3.1 Derivadas parciales de orden superior.
Comenzamos definiendo las derivadas parciales de orden superior para una función de dos variables:
Sea → y sea ( ) ( )
Las derivadas parciales
( ) y
( ) se llaman derivadas parciales de primer orden o derivadas
parciales primeras. Estas derivadas parciales son, a su vez, funciones de dos variables. A partir de
( ) se
pueden construir dos nuevas funciones tomando las derivadas parciales con respecto a x e y. De la misma manera se
puede hacer con
( ). Las cuatro funciones así obtenidas se llaman derivadas parciales de segundo orden o
derivadas parciales segundas, de ( ) y se denotan:
( )
{
(
) ( )
( ) ( )
(
) ( )
( ) ( )
( )
{
(
) ( )
( ) ( )
(
) ( )
( ) ( )
Nota: Para funciones de más de dos variables las derivadas de segundo orden se definen de forma análoga, en general
se define
(
) ( )
Ejercicio: Dada ( ) , calcular las derivadas parciales de segundo orden en el punto ( )
1
( ) {
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) {
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
En el ejemplo vemos que las derivadas parciales cruzadas
y
coinciden, esto no es casualidad:
( ) (
)
Nota: La 1ª, 2ª y 3ª columnas son respectivamente:
2
Teorema de schwarz: Sea → y ( ) tales que
( )
( )
( ) existen en
( ) y
( ) es continua en entonces existe
( ) y se verifica:
( )
( )
Nota: (sobre la notación), sea por ejemplo →
Si queremos derivar primero respecto a la tercera variable y después respecto a la primera, se puede denotar:
( ) ( )
5.3.2 Matriz hessiana.
Sea → y ( ) tal que admite todas las derivadas parciales de segundo orden en ,
definimos matriz hessiana de f en como:
( )
(
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ))
(
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
)
2
Ejercicio: Obtener la matriz hessiana de ( )
Solución
( ) ( )
{
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
{
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
{
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
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