View
238
Download
5
Category
Preview:
Citation preview
PENENTUAN PERCEPATAN GRAVITASI BUMI DENGAN METODE
AYUNAN MATEMATIS
A. TUJUAN
1. Memahami asas ayunan matematis
2. Menentukan besar percepatan gravitasi ditempat percobaan yang dilakukan
dengan analisis yang berbeda-beda
3. Menggambarkan grafik hubungan panjang tali dengan periode kuadrat
B. ALAT DAN BAHAN
1. Bandul sederhana
2. Mistar
3. Tali
4. Stopwatch
C. DASAR TEORI
1. Gerak Harmonik
Setiap gerak yang terjadi secara berulang dalam selang waktu yang sama
disebut gerak periodik. Karena gerak ini terjadi secara teratur maka disebut juga
sebagai gerak harmonik/harmonis. Apabila suatu partikel melakukan gerak
periodik pada lintasan yang sama maka geraknya disebut gerak osilasi/getaran.
Bentuk yang sederhana dari gerak periodik adalah benda yang berosilasi pada
ujung pegas. Karenanya kita menyebutnya gerak harmonis sederhana. Banyak
jenis gerak lain (osilasi dawai, roda keseimbangan arloji, atom dalam molekul,
dan sebagainya) yang mirip dengan jenis gerakan ini, sehingga pada
kesempatan ini kita akan membahasnya secara mendetail.
Dalam kehidupan sehari-hari, gerak bolak balik benda yang bergetar
terjadi tidak tepat sama karena pengaruh gaya gesekan. Ketika kita memainkan
gitar, senar gitar tersebut akan berhenti bergetar apabila kita menghentikan
petikan. Demikian juga bandul yang berhenti berayun jika tidak digerakan
secara berulang. Hal ini disebabkan karena adanya gaya gesekan. Gaya gesekan
menyebabkan benda-benda tersebut berhenti berosilasi. Jenis getaran seperti ini
disebut getaran harmonik teredam. Walaupun kita tidak dapat menghindari
gesekan, kita dapat meniadakan efek redaman dengan menambahkan energi ke
dalam sistem yang berosilasi untuk mengisi kembali energi yang hilang akibat
gesekan, salah satu contohnya adalah pegas dalam arloji yang sering kita pakai.
Pada kesempatan ini kita hanya membahas gerak harmonik sederhana secara
mendetail, karena dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak jenis gerak yang
menyerupai sistem ini.
2. Gerak Harmonik Sederhana
Gerak harmonis sederhana yang dapat dijumpai dalam kehidupan sehari-
hari adalah getaran benda pada pegas dan getaran benda pada ayunan
sederhana. Kita akan mempelajarinya satu persatu.
Gerak Harmonik Sederhana dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu :
1. Gerak Harmonik Sederhana (GHS) Linier, misalnya penghisap dalam
silinder gas, gerak osilasi air raksa / air dalam pipa U, gerak horizontal /
vertikal dari pegas, dan sebagainya.
2. Gerak Harmonik Sederhana (GHS) Angular, misalnya gerak bandul/
bandul fisis, osilasi ayunan torsi, dan sebagainya.
Beberapa contoh Gerak Harmonik Sederhana yaitu: gerak harmonik pada
bandul, dan gerak harmonik pada pegas.
3. Gerak Harmonik Sederhana Pada Ayunan
Gambar 1. Ayunan sederhana bandul
Ketika beban digantungkan pada ayunan dan tidak diberikan gaya maka
benda akan diam di titik kesetimbangan B (lihat gambar 1). Jika beban ditarik
ke titik A dan dilepaskan, maka beban akan bergerak ke B, C, lalu kembali lagi
ke A. Gerakan beban akan terjadi berulang secara periodik, dengan kata lain
beban pada ayunan di atas melakukan gerak harmonik sederhana.
Benda yang bergerak harmonis sederhana pada ayunan sederhana
memiliki periode alias waktu yang dibutuhkan benda untuk melakukan satu
getaran secara lengkap. Benda melakukan getaran secara lengkap apabila benda
mulai bergerak dari titik di mana benda tersebut dilepaskan dan kembali lagi ke
titik tersebut.
Pada gambar 1, benda mulai bergerak dari titik A lalu ke titik B, titik C
dan kembali lagi ke B dan A. Urutannya adalah A-B-C-B-A. Seandainya benda
dilepaskan dari titik C maka urutan gerakannya adalah C-B-A-B-C.
Jadi periode ayunan (T) adalah waktu yang diperlukan benda untuk
melakukan satu getaran (disebut satu getaran jika benda bergerak dari titik di
mana benda tersebut mulai bergerak dan kembali lagi ke titik tersebut ). Satuan
periode adalah sekon atau detik.
Frekuensi (f)
Selain periode, terdapat juga frekuensi alias banyaknya getaran yang
dilakukan oleh benda selama satu detik. Yang dimaksudkan dengan getaran di
sini adalah getaran lengkap. Satuan frekuensi adalah 1/sekon atau s-1. 1/sekon
atau s-1 disebut juga hertz, menghargai seorang fisikawan. Hertz adalah nama
seorang fisikawan tempo doeloe. Silahkan baca biografinya untuk mengenal
almahrum eyang Hertz lebih dekat.
Hubungan antara Periode dan Frekuensi
Frekuensi adalah banyaknya getaran yang terjadi selama satu
detik/sekon. Dengan demikian selang waktu yang dibutuhkan untuk melakukan
satu getaran adalah :
1getaranf getaran
1 sekon=1f
sekon (1)
Selang waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran adalah
periode. Dengan demikian, secara matematis hubungan antara periode dan
frekuensi adalah sebagai berikut :
T=1f
f = 1T (2)
T = Periodef = frekuensi
Amplitudo (A)
Pada ayunan sederhana, selain periode dan frekuensi, terdapat juga
amplitudo. Amplitudo adalah perpindahan maksimum dari titik kesetimbangan.
Pada contoh ayunan sederhana sesuai dengan gambar di atas, amplitudo
getaran adalah jarak AB atau BC.
Gambar 2. Gaya-gaya yang bekerta pada bandul sederhana
Gambar 2 memperlihatkan sebuah bandul yang panjang L dengan massa
partikelnya m, membentuk sudut θ dengan vertical. Gaya yang bekerja pada m
adalah mg, yaitu gaya gravitasi, dan T, tegangan Tali. Uraikan mg atas
komponen radial, dengan besar mg cos θ dan komponen tangensial, dengan
besar mg sin θ. Komponen radial dari gaya tersebut member sumbangan pada
gaya sentripetal yang dibutuhkan agar benda tetap bergerak pada busur
lingkaran. Komponen tangensialnya bertindak sebagai gaya pemulih yang
bekerja pada m untuk mengembalikannya ke titik setimbang. Jadi gaya
pemulihnya adalah
F=−mg sin θ (3)
Perhatikan bahwa gaya pemulih ini tidaklah sebanding dengan
simpangan sudut , melainkan dengan sin θ; karena itu gerak yang terjadi
bukanlah gerak harmonic sederhana. Tetapi jika sudut θ kecil, maka sin θ
hampir sama dengan θ bila dinyatakan dalam radian. Pergeseran sepanjang
busur adalah x=lθ, dan untuk sudut yang kecil keadaannya mendekati gerak
dalam garis lurus. Jadi, dengan menganggap
sin θ≅ θ (4)
Maka diperoleh
F=−mgθ=−mg xl=−(mg
l ) x (5)
Untuk simpangan yang kecil gaya pemulihnya sebanding dengan
simpangan dan berlawanan arah. Ini tidak lain daripada criteria gerak harmonic
sederhana. Konstanta mg/l menyatakan k dalam F=-kx. Maka periode bandul
sederhana jika amplitudonya kecil adalah
T=2 π √ mk=2 π √ m
mg / l atau T=2 π √ l
g (6)
Dengan metode ini memberikan cara pengukuran harga g, percepatan
gravitasi, yang cukup sederhana. Dengan hanya mengukur l dan T saja.
4. Percepatan Gravitasi
Percepatan gravitasi g adalah percepatan yang dialami oleh benda karena
beratnya sendiri. Berat benda adalah gaya trik bimi pada benda tersebut. Gaya
ini adalah gaya gravitasi yaitu gaya tarik menarik antara dua massa.
Hukum gaya gravitasi jagat raya menurut Newton dirumuskan dengan
persamaan :
F=G m m'❑
r2 (7)
Dimana :
F = gaya saling tarik mena Ik antara massa m dengan m’
m = massa benda pertama
m’ = massa benda kedua
r = jarak antara kedua pusat massanya
G = tetapan gaya gravitasi
Hukum ini berlaku untik semua massa di jagat raya ini. Jadi menurut
hokum ini berat suatu benda di bumi adalah
w=G Mmr 2 (8)
Dimana :
M = massa bumi
m = massa benda
r = jarak benda samapai pusat bumi
Menurut hukum II Newton bahwa F = m.a yang dalam hal ini adalah
w = m.g , maka percepatan gravitasi :
g=G Mr2 (9)
Pernyatan gravitasi di permuaan bumi adalah :
g0=G MR2 (10)
dimana R dalah ruji bumi.
Karena bumi tidak berbentuk bola maka besar g tidaklah samuntuk setiap
tempat permukaan bumi. Hubungan antara g di suatu tempat yang jaraknya = r
dari pusat bumi dengan g0 diperoleh :
g=g0R2
r2 (11)
Untuk suatu tempat setinggi h dari permukaan bumi
g=g0R2
(R+h)2 (12)
Untuk h yang jauh lebih kecil dari R, maka berlaku :
g=g0[1−2 hR ] (13)
D. PROSEDUR PERCOBAAN
1. Susun alat seperti tampak pada gambar 3. Bandul berada dalam keadaan
setimbang,
Gambar 3. Susunan alat percobaan
2. Hitung panjang tali yang digunakan. Catat pada tabel hasil pengamatan.
3. Bandul kemudian diberi simpangan kecil kemudian dilepaskan, diusahakan
agar ayunan mempunyai lintasan dalam bidang dan tidak berputar.
4. Selanjutnya dicatat waktu yang dibutuhkan untuk 10 kali ayunan (untuk satu
periode).
5. Selanjutnya dilakukan pengambilan data dengan cara bervariasi:
a. Data pertama, panjang tali dukur satu kali pengukuran dengan panjang tali
90cm sedangkan periode satu kali pengukuran
b. Data kedua, panjang tali diukur satu kali pengukuran dengan panjang tali
90cm, sedangkan periode lima kali pengukuran
c. Data ketiga, panjang tali diukur sebanyak lima kali pengukuran dengan
panjang tali berbeda-beda yaitu 90cm, 80cm, 70cm, 60cm, dan 50cm.
sedangkan periodenya lima kali pengukuran setiap panjang tali.
E. DATA HASIL PERCOBAAN
a. Percobaan 1
Tabel 1. Data hasil percobaan dengan satu kali pengukuran
l (cm) N t T
50 10
b. Percobaan 2
l = 50 cm (tetap)
N = 5 kali
Tabel 2. Data hasil percobaan dengan 5 kali pengukuran waktu ayunan dengan
panjang tali tetap
NO t T
1
2
3
4
5
c. Percobaan 3
N = 5 kali
Tabel 3. Data hasil percobaan dengan variasi panjang tali
NO l(cm) t(s) T
1 90
2 70
3 50
F. ANALISIS DATA
1. Untuk data dengan panjang tali 1 kali pengukuran dan waktu ayunan 1
kali pengukuran , maka:
l=0,5 m
T=¿s
T 2=¿
T 3=¿
Sl = 12
x=¿
ST=12
x=¿
g= 4 π 2lT 2 =
4 (3,14)2 x 0 ,5………….
………….
=√(4 π2
T 2 sl)2
+(8 π2 lT 3 sT )
2
sg=√(∂ g∂ l
sl)2+( ∂ g
∂TsT )
2
= √¿¿¿
= ......................
Sehingga diperoleh nilai g=( g±sg )=( .. .. . .. .. . .. .. .±. . .. .. . .. .. . .. .. .)m /s2
2. Pada percobaan panjang tali tetap dengan 1 kali pengukuran dengan
waktu ayunan 5 kali pengukuran
l=0 ,5 0 m
N = 5 kali
Tabel 4. Data hasil percobaan dengan 5 kali pengukuran waktu ayunan dengan
panjang tali tetap
NO t T
1
2
3
4
5
Dicari nilai g dari masing-masing data
g1=4 π2 ℓ
T 2 =4 x (3 ,14 )2 x 0,5.. . .. .. . .. .. . .. .
=. .. .. . .. .. . .. .. m /s2
g2=4 π2 ℓ
T 2 =4 x (3 ,14 )2x 0,9.. . .. .. . .. .. . .. ..
=. .. .. . .. .. . .. . m/ s2
g3=4 π2 ℓ
T 2 =4 x (3 ,14 )2 x0,9. .. .. . .. .. . .. .. . .
=. .. . .. .. . .. .. . m /s2
g4=4 π2 ℓ
T 2 =4 x (3 ,14 )2 x 0,9.. .. . .. .. .. . .. .. .
=.. .. . .. .. . .. .. m /s2
g5=4 π2 ℓ
T 2 =4 x (3 ,14 )2x 0,9. .. .. . .. .. . .. .. ..
=. .. . .. .. .. . .. . m /s2
selanjutnya nilai percepatan gravitasi yang sudah diperoleh dimasukkan ke tabel
seperti berikut ini:
Tabel 5. Analisis Data panjang tali tetap dengan lima kali pengukuran waktu
ayunan
No gi gi− g ( gi−g )2
12345Σ
g=∑ gi
N=.. .. . .. .. . .. .
5=. .. . .. .. . .. .. . m /s2
S g=√∑ (g i− g )2
n(n−1)=√ .. . .. .. . .. .. . ..
5 (5−1 )=√. . .. .. . .. .. . .. .. . .
20=. .. .. . .. .. . .. .m/ s2
Sehingga diperoleh nilai g=( g±s g )=( .. .. . .. .. .±. . .. .. . .. .. .)m /s2
3. Analisis Data Rata-rata berbobot
Data yang diperoleh untuk analisis data rata-rata berbobot dari beberapa
kelompok yang telah dianalisis data panjang tali tetap dengan lima kali
pengurun waktu ayunan, maka diperoleh data sebagai berikut:
Kelompok 1
( g±sg )=( .. .. . .. .. . .±. .. .. . .. .. . .. .. )
Kelompok 2
( g±sg )=( .. .. . .. .. . .±. .. .. . .. .. . .. .. )
Kelompok 3
( g±sg )=( .. .. . .. .. . .±. .. .. . .. .. . .. .. )
Kelompok 4( g±sg )=( .. .. . .. .. . .±. .. .. . .. .. . .. .. )
Kelompok 5( g±sg )=( .. .. . .. .. . .±. .. .. . .. .. . .. .. )
Maka :
g=
g1
sg1
2 +g2
sg2
2 +g3
sg3
2 +g4
sg4
2 +g5
sg5
2
1sg1
2 + 1sg2
2 + 1sg3
2 + 1sg4
2 + 1sg5
2
g=
……… ..……… ..
+ ……… ..……… ..
+ ……… ..……… ..
+ ………..………..
+ ……… ..……… ..
……… ..……… ..
+ ……… ..……… ..
+ ……… ..……… ..
+ ………..………..
+ ……… ..……… ..
g= ...........
sg= 1
√ 1sg1
2 +1sg2
2 +1sg3
2 +1sg4
2 +1sg5
2
sg= 1
√ 1… … …… ..
+ 1… …… …..
+ 1…… …… ..
+ 1… …… …..
+ 1…… … …..
sg = ...................
Sehingga diperoleh nilai g=( g±sg)=( .. .. . .. .. . .. .±. .. . .. .. . .. .)m /s2
4. Regresi linier tanpa bobot, dengan panjang tali divariasikan dengan 1 kali
pengukuran waktu ayunan
Tabel 6. Data hasil percobaan dengan variasi panjang tali
NO l(cm) t(s) T
1 90
2 70
3 50
Dengan memisalkan x =ℓ , y=T 2,a=4 π2
g maka diperoleh persamaan garis
lurus y=ax i+b sehingga dapat dibuat data seperti tabel berikut:
Tabel 7. Analisis Data dengan variasi panjang tali
No x i y ix
i2 x i y i y=ax+b y− y ( y− y )2
1 0,9 m
2 0,7 m
3 0,5 m
Σ ....
a=N ∑ x i y i−∑ xi∑ y i
N∑ xi2−(∑ x i )
2 =(3)( . .. .)−( . .. .)( . .. .)
(3 )( .. . .)−( .. . .)2 =. .. .. . ..
b=∑ x
i2∑ y i−∑ x i y i∑ x i
N∑ xi2−(∑ x i )
2 =( . .. .)( . .. .)−( .. . .)( . .. .)
( .. . .)( .. . .)−( .. .. )2 =. .. ..
s y=√∑ ( y i− y )2
N−2=√. .. .
3−2=√. .. .
1=. . .. .
sa=s y √ N
N∑ x2−(∑ x )2=( .. . .. )√ 3
( .. . .)( .. . .)−( .. .. . )2=.. . ..
g= 4 π 2
a=
(4 )(3 , 14 )2
. .. .=. .. . .. m /s2
sg=√(∂ g∂ a
sa)2=√(−4 π2
a2 sa)2
=4 π2
a2 sa=( 4 )(3 , 14 )2
( .. .. .)2 ( . .. .. )=. .. .. .m /s2
Sehingga diperoleh nilaig=( g±sg )=( .. .. . ..±.. .. . .)m /s2
G. PEMBAHASAN
Pada percobaan ini, bertujuan untuk memahami asas ayunan matematis,
menentukan besar percepatan gravitasi ditempat percobaan yang dilakukan dengan
berbagai analisis, dan menggambarkan grafik hubungan panjang tali dengan
periode kuadrat ayunan.
Agar diperoleh data yang cukup teliti , tali penggantung harus lebih ringan
dari bola, simpangan harus kecil, gesekan dengan udara harus sngat kecil, dan gaya
puntiran tidak boleh ada.
Pengambilan data pada percobaan ini dilakukan tiga variasi. Pengambilan
data pertama, pengukuran panjang tali dan waktu ayunan bandul satu kali
pengukuran. Pengukuran kedua, dengan panjang tali sama dengan pengukuran
pertama dengan satu kali pengukuran dan waktu ayunan lima kali pengukuran.
Pengukuran ketiga, memvariasikan panjang tali.
Berdasarkan hasil analisis data diperoleh masing-masing percepatan
gravitasi (g). Pada analisis pertama, dengan cara mengukur panjang tali satu kali
pengukuran kemudian periode diukur satu kali pengukuran, diperoleh nilai
percepatan gravitasi bumi sebesar g= ( .. . .. .±. .. . .. )m / s2.
Pada analisis kedua, dengan mengukur panjang tali satu kali pengukuran
dan periode diukur lima kali pengukuran yang kemudian dianalisis dan diperoleh
nilai percepatan gravitasi bumi sebesar g=( .. . .. .. .±. . .. .. . .)m /s2.
Selain itu dilakukan analisis berbobot, dengan sumber data hasil analisis
kelompok lain dari hasil mengukur panjang tali satu kali pengukuran dan periode
diukur lima kali pengukuran. Setelah dilakukan analisis dan diperoleh percepatan
gravitasi bumi sebesar g=( .. . .. .. . .±. .. .. . .. )m /s2 .
Berdasarkan tiga analisis diatas yang memiliki panjang tali yang sama
sebesar 90 cm, diperoleh hasil percepatan gravitasi (g) yang berbeda-beda. dapat
kita lihat hasil analisis berbobot menghasilkan percepatan gravitasi (g ) yang lebih
baik daripada hasil analisis pengukuran tunggal dan berulang. Akan tetapi, antara
hasil analisis pengukuran berulang diperoleh lebih baik daripada pengukuran
tunggal. Ini membuktikan lebih banyak data yang diperoleh dari suatu percobaan
memperoleh hasil yang lebih baik.
Pada analisis data keempat, dengan ukuran panjang tali yang bervariasi dan
periode diukur lima kali pengukuran sesuai dengan panjang tali masing-masing,
Selanjutnya data yang diperoleh dianalisis dengan regresi linier tanpa bobot,
diperoleh nilai percepatan gravitasi bumi sebesar g=( .. . .. .. .±. . .. .. )m/ s2. Dari hasil
percobaan diperoleh grafik hubungan antara periode (T2) dan panjang tali(ℓ )
seperti berikut ini:
Contoh grafik
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.51
1.52
2.53
3.54
hubungan panjang tali dengan periode kuadrat ayunan
hubungan panjang tali den-gan periode kuadrat ayunanLinear (hubungan panjang tali dengan periode kuadrat ayunan)
Panjang Tali (m)
perid
e ku
adra
t
Grafik 1. grafik hubungan antara periode (T2) dan panjang tali (L)
Berdasarkan grafik 1, dapat diartikan semakin panjang tali ayunan semakin
besar periode yang diperoleh. Nilai gravitasi yang diperoleh memiliki
kecenderungan yang relatif sama atau mirip. Data yang diambil dilakukan pada
panjang yang tetap dan panjang yang diubah-ubah sehingga dapat diperoleh akurat
perhitungan yang diperoleh.
H. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil percobaan dapat disimpulkan:
1. Nilai percepatan gravitasi bumi dapat ditentukan dengan berbagai macam
pengukuran dan metode analisis yang digunakan.
2. Analisis berbobot memperoleh hasil percepatan gravtasi (g) yang lebih baik dari
ke empat analisis lain. Dikarenakan analisis regresi berbobot didasarkan dari
data yang banyak.
3. Hubungan kuadrat periode ayunan sebanding dengan panjang tali. Semakin
panjang tali semakin besar periode yang diperoleh.
4. Besar nilai percepatan gravitasi bumi yang diperoleh dengan berbagai macam
pengukuran dan metode analisis adalah sebagai berikut:
Analisis ke Nilai g (m/s2)
1 g= ( .. . ..±.. .. .)m /s2.
2 g= ( .. . ..±.. .. .)m /s2.
3 g= ( .. . ..±.. .. .)m /s2.
4 g= ( .. . ..±.. .. .)m /s2.
I. DAFTAR PUSTAKA
Halliday dan Resnick. 1991. Fisika Jilid I (Terjemahan). Jakarta : Penerbit
Erlangga.
Recommended