สนามแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetic Field · 1.2...

1

สนามแมเหลกไฟฟา

(Electromagnetic Field)

บทท 1 การวเคราะหเวกเตอร

(Vector Analysis)

3

สเกลลาร คอปรมาณทมขนาดเพยง อยางเดยว เชน • มวล • เวลา

• อณหภม • พนท

เวกเตอร คอปรมาณททงมขนาดและ ทศทาง เชน • แรง • ความเรว • ความเรง

A

สญลกษณของเวกเตอร คอ ใชอกษรตวหนา หรอใชลกศรวางดานบนชอ เชน A หรอ A

A

หรอ

1.1 เวกเตอรและสเกลาร (scalars and vectors)

4

- ปรมาณเวกเตอร( Vector quantities )

- เวกเตอรหนงหนวย (Unit vector )

A

AaA

AaAA

1.1 เวกเตอรและสเกลาร (scalars and vectors)

คอ ขนาดของเวกเตอร A A

คอ เวกเตอรแสดงทศทางของเวกเตอร Aa

A

5

ABBA

CBACBA

1.2 พชคณตเวกเตอร (Vector algebra)

- การบวกเวกเตอร(Vector addition)

6

A

B

A+B

1.2 พชคณตเวกเตอร (Vector algebra)

กฎรปสเหลยมดานขนาน (parallelogram rule)

- การบวกเวกเตอร (Vector addition)

7

B

A+B

AA

1.2 พชคณตเวกเตอร (Vector algebra)

กฎหวตอหาง (Head-to-tail rule)

- การบวกเวกเตอร (Vector addition)

8 8

B

A

B-BA

-B

1.2 พชคณตเวกเตอร (Vector algebra)

- การลบเวกเตอร (Vector subtraction)

BABA

B

9

A

AkB

ขนาดเพมขนแตทศทางคงเดม

1.2 พชคณตเวกเตอร (Vector algebra)

-การคณเวกเตอรดวยปรมาณสเกลาร (Multiplication of a vector by scalar) ตวอยาง AkB

10

ระบบพกดตางๆ

พกดฉาก พกดทรงกระบอก พกดทรงกลม

11

1.3 ระบบพกดฉาก(The Cartesian coordinate system)

ในระบบพกดฉาก มแกนพกด 3 แกน ตงฉากกนและกน ก าหนดใหเปนแกน x y และ z ดงรป

x

y

z

12 12

x

y

z

P(x,y,z)

1.3 ระบบพกดฉาก(The Cartesian coordinate system)

จดในระบบพกดฉาก (Cartesian Coordinate System)

13

x

y

z

P(x,y,z)

- เวกเตอรต าแหนง (Position vectors)

เปนเวกเตอรทเรมทตนก าเนด ไปยงต าแหนงพกด P(x,y,z)

1.3 ระบบพกดฉาก(The Cartesian coordinate system)

14 14 x

y

z

P1(x1,y1,z1)

P2(x2,y2,z2)

- เวกเตอรระยะทาง (Distance vectors)

เปนเวกเตอรเรมจากเวกเตอรต าแหนงหนง ไปยงอกเวกเตอรต าแหนงหนง หรอการกระจดจากจดหนงไปยง อกจดหนง

15 15 x

y

zP2(x2,y2,z2)

P1(x1,y1,z1)

- เวกเตอรระยะทาง (Distance vectors)

16 16 16

1.4 องคประกอบเวกเตอรและเวกเตอรหนงหนวย (Vector components and unit vector)

zzyyxx aAaAaAA

ก าหนดเวกเตอรในระบบพกดฉาก คอ

เรยกวาเวกเตอรหนงหนวย ในทศทาง x, y และ z ตามล าดบ

zyx aaa

, และ

เรยกวาองคประกอบสเกลลารของ เวกเตอร ในทศทาง x, y และ z ตามล าดบ

zyx AAA , และ A

x

y

z

A

เรยกวาองคประกอบเวกเตอรของ เวกเตอร ในทศทาง x, y และ z ตามล าดบ

zzyyxx aAaAaA

, และ A

17 17

18 18

x

y

z

A

องคประกอบเวกเตอร เวกเตอรหนงหนวย

x

y

z

xa ya

za

1.4 องคประกอบเวกเตอรและเวกเตอรหนงหนวย (Vector components and unit vector)

zzyyxx aAaAaAA

19 19 19

222

zyx BBBB

คาสมบรณของเวกเตอร ขนาดของเวกเตอร

222

zyx

B

BBB

Ba

เวกเตอรหนงหนวย

B

B

zzyyxx aBaBaBB

ก าหนดเวกเตอร

1.4 องคประกอบเวกเตอรและเวกเตอรหนงหนวย (Vector components and unit vector)

วธท ำ

ตวอยำง ก าหนดใหเวกเตอร จงหา 1) คาสมบรณของเวกเตอร 2) เวกเตอรหนงหนวย

zyx aaaB

32

1.4 องคประกอบเวกเตอรและเวกเตอรหนงหนวย (Vector components and unit vector)

21

22

เวกเตอรสนาม (Vector Field)

สนาม (Field) ความหมายทางคณตศาสตร คอ เปนฟงกชนของกลมตวแปรในสเปซ (space)

- สนามสเกลลาร (Scalar Field) เปนสนามของตวแปรสเกลลารทจดใดๆในสเปซ (space) อาจใชแทนการกระจายของอณหภม ศกยไฟฟา ความดน เปนตน

- สนามสเวกเตอร (Vector Field) เปนฟงกชนเวกตอร อาจใชแทนความเรวลม ความยาวของเวกเตอรแสดงถงขนาดของความเรว สวนทศทาง แสดงถงทศทางการไหลของลม

22 32,, zyxzyxF

zzyyxx azyxFazyxFazyxFzyxF

,,,,,,,,

1.6 การคณเวกเตอรแบบจด (Dot Product)

การคณเวกเตอร

-การคณเชงสเกลารหรอแบบจด (Scalar or Dot product) -การคณเชงเวกเตอรหรอแบบไขว (Vector or Cross product)

24

ABBA

กฎของการสลบท

ABBABA cos

กำรคณแบบจดของเวกเตอรหนงหนวย

x

y

z

x

ya

za

a

zzyyxx aaaaaa

yx aa

xy aa

zx aa

xz aa

zy aa

yz aa

คณดวยตวมนเอง

1.6 การคณเวกเตอรแบบจด (Dot Product)

1

0

25 25

ABn BAaBA sin

BAAB

x

y

z

x

ya

za

a

การคณแบบไขวของเวกเตอรหนงหนวย

การคณตวมนเอง

yx aa

zy aa

xz aa

za

xa

ya

0 zzyyxx aaaaaa

1.7 การคณเวกเตอรแบบไขว (Cross Product)

สตร

26

zzyyxx aAaAaAA

zzyyxx aBaBaBB

ก าหนดเวกเตอรดงตอไปน คอ

และ

1.7 การคณเวกเตอรแบบไขว (Cross Product)

ก. การคณตามเขมนาฬกา ข.การคณทวนเขมนาฬกา

27

zxzxyxyxxxxx aaBAaaBAaaBA

zyzyyyyyxyxy aaBAaaBAaaBA

zzzzyzyzxzxz aaBAaaBAaaBA

zzyyxxzzyyxx aBaBaBaAaAaABA

ya

)( xa

za

)( ya

xa

)( za

)0(

)0(

)0(

x

y

z

zxyyx

yzxxzxyzzy

aBABA

aBABAaBABABA

จะได

1.7 การคณเวกเตอรแบบไขว (Cross Product)

28

1.7 การคณเวกเตอรแบบไขว (Cross Product)

zzyyxxzzyyxx aBaBaBaAaAaABA

zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA

yx

yx

yx

BB

AA

aa

BA

xyzzy aBABA

. yzxxz aBABA

.

zxyyx aBABA

.

29

zyx aaaA

12625

zyx aaaB

304

ตวอยำง ก าหนดเวกเตอรดงตอไปน คอ และ

จงหา BA

AB

และ

30

31

32

33

ทดสอบยอยครงท 3 จงหา A B

x y z x y zA B a a a a a a

34

35

การหาองคประกอบของเวกเตอรในทศทางทก าหนด

36

การหาองคประกอบของเวกเตอรในทศทางทก าหนด

จากรป a สามารหาองคประกอบสเกลารของเวกเตอร ในทศทางของเวกเตอรหนงหนวย ได

B

a

37

1.6 การคณเวกเตอรแบบจด (Dot Product)

ตวอยาง ก าหนดใหเวกเตอร zyx aaaA

4912

จงหาองคประกอบของเวกเตอรในทศทางแกน y

วธท า yy aAA

yzyx aaaa

4912

yzyyyx aaaaaa

4912

9yA

38

ระบบพกดฉาก (Cartesian Coordinate System)

39

x

y

z

ระนาบ x=0

x

y

z

ระนาบ y=0

x

y

z

ระนาบ z=0

ระนาบ x y และ z ตงฉากกนและกน

1.3 ระบบพกดฉาก(The Cartesian coordinate system)

40 40 zzyyxx aAaAaAA

ก าหนดเวกเตอรในระบบพกดฉาก คอ

อธบายต าแหนง จด P ดวยระนาบ

41

อนพนธเชงเสน (Differential Length)

อนพนธเชงผว (Differential Surface)

อนพนธเชงปรมาตร (Differential Volume)

คณสมบตเชงอนพนธของระบบพกดฉาก

42 x

y

z

P

P x

dxx

y

z

dyy

dzz

1.3 ระบบพกดฉาก(The Cartesian coordinate system)

43

P

dy

dx

dzdxdy

dydz

dxdz

x

y

z

1.3 ระบบพกดฉาก(The Cartesian coordinate system)

44

1.3 ระบบพกดฉาก(The Cartesian coordinate system)

x

y

zอนพนธเชงเสน (Differential Length)

zyx adzadyadxld

dxdy

dz

45

Sd

xx adydzSd

yy adxdzSd

zz adxdySd

x

y

z อนพนธเชงผว (Differential Surface)

46

x

y

z

dxdy

dz

อนพนธเชงปรมาตร Differential Volume

dxdydzdv

47

ระบบพกดทรงกระบอก (Circular Cylindrical Coordinates)

48

x

y

z

x

y

z

z

ระบบพกดทรงกระบอก

zP ,,r

1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)

49

x

y

z

คงท z

คงท x

y

z

คงท

y

x

z

- ต าแหนงของจด P อธบายดวยระนาบ

1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)

50

51

z

1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)

P

z

zP ,,

- ต าแหนงของจด P

52

z

a

a

za

เวกเตอรหนงหนวยของพกดทรงกระบอก

1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)

53

1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)

54

zdl d a d a dza

อนพนธเชงเสน (Differential Length)

55

อนพนธเชงผว (Differential Surface

Sd

adzdSd

zz addSd

adzdSd

56

อนพนธเชงปรมาตร (Differential Volume

dzdddv

57

x

y

z

022 yx

x

y1tan

z

z z

cos

sin

การแปลงจากพกดฉากเปนพกดทรงกระบอก

การแปลงจากพกดทรงกระบอกเปนพกดฉาก

1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)

x

y

z

A

58

100

0cossin

0sincos

z

y

x

z

a

a

a

aaa

aax

sin

aay

sin

1 zz aa

ตวอยางการใชตาราง

1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)

- ความสมพนธระหวางระบบทรงกระบอกกบพกดฉาก

59

z

a

a

za

A

1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)

za

a

aA

60

zzyyxx aAaAaAA

ก าหนดเวกเตอรดงตอไปน คอ

ถาตองการหาองคประกอบเวกเตอรในพกดทรงกระบอก จะได

zzaAaAaAA

เปนฟงกชนของ x,y และ z

1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)

เปนฟงกชนของ และ z,

61

zzyyxx aAaAaAA

ก าหนดเวกเตอรดงตอไปน คอ

ตองกำรหำองคประกอบเวกเตอรในพกดทรงกระบอก

องคประกอบในทศทางของ a

องคประกอบในทศทางของ a

องคประกอบในทศทางของ za

aAA

aAA

zz aAA

za

a

aA

1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)

62

aaAaaAaaA zzyyxx

aAA

องคประกอบในทศทางของเวกเตอร a

100

0cossin

0sincos

z

y

x

z

a

a

a

aaa

cos )0(sin

zzyyxx aAaAaAA

a

1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)

63

100

0cossin

0sincos

z

y

x

z

a

a

a

aaa

zzyyxx aAaAaAA

a

องคประกอบในทศทางของเวกเตอร a

aAA

aaAaaAaaA zzyyxx

)sin( cos )0(

1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)

64

100

0cossin

0sincos

z

y

x

z

a

a

a

aaa

zz aAA

zzyyxxz aAaAaAA

องคประกอบในทศทางของเวกเตอร za

za

zzzzyyzxx aaAaaAaaA

)0( )0( )1(

1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)

65 65

ดงนนเวกเตอรพกดฉาก

อยในรปพกดทรงกระบอก จะได

cylA

zzyyxx aAaAaAA

aAA xy

sincos zzaA

aAA yx

sincos

1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)

66 66

ตวอยาง ก าหนดเวกเตอร จงหาแปลงเวกเตอร ใหอยในระบบพกดทรงกระบอก

1.8 ระบบพกดทรงกระบอก(Circular Cylindrical Coordinates)

zyx azaxayB

วธท า

67

ระบบพกดทรงกลม (Spherical Coordinates)

68 x

y

z

r

,,r

P

1.9 ระบบพกดทรงกลม (Spherical Coordinates System)

69

y

x

z

r คงท

x

y

z

คงท

x

z

คงท

1.9 ระบบพกดทรงกลม (Spherical Coordinates System)

70

71

y

x

z

P

r

a

ra

a

เวกเตอรหนงหนวยของ ระบบพกดทรงกลม

1.9 ระบบพกดทรงกลม (Spherical Coordinates System)

72

เมอพกดตางในทรงกลมเปลยนไปในรปอนพนธ คอ

จะไดระยะทาง

จะไดระยะทาง

จะไดระยะทาง

dr

rd

dr sin

drrr

dr

dr

1.9 ระบบพกดทรงกลม (Spherical Coordinates System)

73

y

x

z

rd

drsin

dr

1.9 ระบบพกดทรงกลม (Spherical Coordinates System)

74

adrardadrdl r

sin

อนพนธเชงเสน (Differential Length)

rd

drsin

dr

75 75

อนพนธเชงผว

ds

rdrd

ddr sin2

drdr sinrd

drsin

dr

อนพนธเชงผว (Differential Surface

76

rd

drsin

dr

อนพนธเชงปรมาตร dv

ddrdr sin2

อนพนธเชงปรมาตร(Differential Volume

77

x

y

z

cossinr

sinsinr

cosr

การแปลงจากพกดทรงกลมเปนพกดฉาก

การแปลงจากพกดฉากเปนพกดทรงกลม

r

0;222 rzyx

222

1coszyx

z

1tany

x

x

y

z

P

r

,,r

1.9 ระบบพกดทรงกลม (Spherical Coordinates System)

78

0sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

z

y

x

r

a

a

a

aaa

ตวอยางการใชตาราง rx aa

cossin

aay

sincos

0 aaz

1.9 ระบบพกดทรงกลม (Spherical Coordinates System)

- ความสมพนธระหวางระบบทรงกลมกบพกดฉาก