หน่วยกำรเรียนรู้ที่ 2 -...

2.1 ศนยและจ ำนวนเตมบวก 0 ไมใชจ านวนนบเพราะเราไมนยมพดวามสมอย 0 ผล หรอมดนสอ 0 แทง เราพดวา ไมมสม ไมมดนสอ เมอเราไมมสงของ เรากไมนบ ในกรณน 0 แทนความไมม แต 0 ไมไดแทนความไมมเสมอไป เชน เมอเราพดวาอณหภมของน าแขงเปน 0 องศาเซลเซยส เราไมไดหมายความวา น าแขงไมมอณหภม แตความหมายวา น าแขงมความเยนระดบหนง ซงก าหนดวา เปน 0 องศาเซลเซยส 1 เปนจ านวนนบนอยทสด จ านวนนบอนๆเกดจาก 1 ดงน 1,1+1แทนดวย 2,2+1แทนดวย3 ฯลฯ การเพมทละ1ท าใหเกดจ านวนนบทไมมทสนสดและแสดงบนเสนจ านวนดงน 1 1+1 2+1 3+1 1) ใหนกเรยนนบเพมทละหนงใหมากทสดทจะมากได นกเรยนนบถงจ านวนอะไร 2) น า 1 ไปบวกจ านวนทนกเรยนนบได ผลลพธจะมากกวาหรอไม 3) จ านวนทนกเรยนนบไวตอนแรกจะเปนจ านวนทมากทสดหรอไม 4) มจ านวนนบทมากทสดหรอไม 2.2 จ านวนเตมลบ

ในชวตประจ าวน จ านวน 1 , 2 , 3 ,........เปนจ านวนชนดเดยวทนกเรยนจะใชในการนบใช

เศษสวน เชน 1 2, ,......

2 3และใชทศนยม เชน 0.5 , 1.75 ,.......ในการบอกปรมาณทไมเปนจ านวน

เตม อยางไรกตามวชาคณตศาสตรไมใชวชาทสอนการนบและการหาปรมาณเทานน ในการ

เรยนวชาคณตศาสตรนกเรยนจะตองรจกจ านวนชนดอน ๆ ทจ าเปนส าหรบวชาน ในหวขอนนกเรยนจะตองรจก จ านวนเตมลบ

นกเรยนเคยไดยนค าวา จ านวนเตมลบ มากอนหรอไม

3 5 7 1 0 2 4 6 8

จ านวนนบ เรยกอกอยางหนงวา จ านวนเตมบวก

ค21101 ม.1 ครสมจตร ส.ส.ป.

หนวยกำรเรยนร ท 2

จ ำนวนเตม

นกเรยนเคยไปเทยวเมองหมะหรอไม นกเรยนทราบไหมวาอณหภมในเมองทมหมะเปนอยางไร นกเรยนคงเคยไดยนอณหภม -4° ทภกระดงหนาหนาวในเมองไทย และอณหภม -26.5° ทเมองอลาสกา ประเทศสหรฐอเมรกา นนคอ นกเรยนไดรจกจ านวนเตมลบมาบางแลว

เราจะเรมจากปญหางาย ๆ ตอไปน ก าธรมเงนอย 4 บาท ถาเขาใหนอง 1 บาท จงหาวาก าธรเหลอเงนเทาไร นกเรยนมวธหา

ค าตอบอยางไร ใหนกเรยนเขยนวธหาจ านวนเงนทเหลอ ถาก าธราใหเงนนอง 1. 2 บาท 2. 3 บาท 3. 4 บาท นกเรยนสงเกตเหนหรอไมวา ในสญลกษณแสดงการลบตอไปน ตวลบมคาเพมขน 4 - 1 4 - 2 4 - 3 4 - 4 ถาตวลบมคาเพมขนเรอย ๆ เราอาจเขยนเปนสญลกษณได เชน 4 - 5 4 - 6 4 - 7 4 - 8 ฯลฯ นกเรยนทราบหรอไมวา การลบขางตนมค าตอบอยางไร เราอาจแสดงการหาค าตอบโดย

ใชเสนจ านวนดงน 4 – 8 4 – 7 4 – 6 4 - 5 4 – 4 4 – 3 4 - 2

4 – 1

1 3 0 2 4

ค าตอบส าหรบ 4 – 5 , 4 – 6 ,.....เปนจ านวนทนกเรยนคณตศาสตรสรางขนเรยกวา จ านวนเตมลบ ให 4 – 5 เปนจ านวนซงแทนดวยสญลกษณ – 1 อานวา ลบหนง 4 – 6 เปนจ านวนซงแทนดวยสญลกษณ – 2 อานวา ลบสอง นกเรยนคดวา 4 – 7 , 4 – 8 , 4 – 9 จะเปนจ านวนอะไร จ านวนเตมลบ -1 , -2 , -3 ,........แทนดวยจดทอยทางซายมอของ 0 บนเสนจ านวนดงน ดงนน จ านวนเตมแบงออกเปน 3 พวก คอ

1. จ านวนเตมบวก ไดแก 1 , 2 , 3 , 4 ,...... 2. จ านวนเตมศนย ไดแก 0 3. จ านวนเตมลบ ไดแก -1 , -2 , -3 , -4 ,....... ดงแสดงดวยเสนจ านวนดงน

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4

2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-1 1 3 -3 -4 -2 0 2 4

เมอกลาวถงจ านวนเตมจะหมายถงจ านวนเตมบวกหรอจ านวนเตมลบหรอศนยกได

2.3 การเปรยบเทยบจ านวนเตม สมมตวานกเรยนหนก 35 กโลกรม เพอนหนก 38 กโลกรม นกเรยนจะตอบไดหรอไมวา เพราะเหตใด จงทราบวาเพอนหนกกวา ถาเราตองการทราบวาในเดอนเมษายน จงหวดแถบภเขา เชน เชยงใหมกบจงหวะแถบชายทะเล เชน สงขลา โดยเฉลยแลวจงหวดใดรอนกวากน นกเรยนจะวดไดอยางไร ถานกเรยนทราบวาอณหภมเฉลยในเดอนเมษายนทจงหวดเชยงใหมประมาณ 36 องศาเซลเซยส และทจงหวดสงขลา 30 องศาเซลเซยส นกเรยนจะตอบไดหรอไมวา จงหวดใดรอนกวากน ถานกเรยนทราบวา อณหภมเฉลยในฤดหนาวของจงหวดแมฮองสอนประมาณ 5 องศาเซลเซยส และทจงหวดเลยประมาณ 0 องศาเซลเซยส นกเรยนจะตอบไดหรอไมวาจงหวดใดหนาวกวากน และถานกเรยนไดยนวทยประกาศวา ปนทจงหวดเลย อณหภมต าสดเปน -5 องศาเซลเซยส นกเรยนคดวาทจงหวดเลยปนหนาวกวาอณหภมปกต นกเรยนจะพบวา ถาอากาศยงรอน อณหภมจะยงสงขน ถาอากาศยงหนาว อณหภมจะยงตดลบมากขน ในท านองเดยวกน ในการเปรยบเทยบเพอดดวา จ านวนใดนอยกวา จ านวนใดมากกวา เราจะเหนไดงายจากเสนจ านวน

บนเสนจ านวนน นกเรยนทราบวาแลววา ส าหรบทางดานขวามอของศนย จ านวนทอยทางซายจะนอยกวาจ านวนทอยทางขวา เชน 2 < 3

นกเรยนจะเหนวา -1 , -2 , -3 ,.....ไดจากการลดลงทละหนง ดงนนส าหรบดานซายมอของศนย จ านวนทอยทางซายมอกจะนอยกวาจ านวนทอยทางขวามอเชนกน

ดงนน -2 นอยกวา -1 ใชสญลกษณ -2 < -1 -3 นอยกวา -2 ใชสญลกษณ -3 < -2

ฯลฯ ใหนกเรยนดเสนจ านวนขางตนแลวตอบค าถามตอไปน

1. -4 และ -5 จ านวนใดนอยกวากน 2. เมอนบไปทางซายของศนยทละหนงจะไดจ านวนทนอยลงหรอมากขน 3. นกเรยนคดวามจ านวนทนอยทสดหรอไม เพราะเหตใด 4. จงเขยนจ านวนเตมลบตงแต -10 ถง -20 ตามล าดบจากนอยไปมาก 5. จงเรยงล าดบจ านวนตอไปนจากมากไปนอย

5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

-2 , -5 , -7 , -10 , -6 , -1 6. จงเตมจ านวนตามทก าหนดใหตอไปอก 3 จ านวน -1 , -4 , -7 , -10 ,.....

แบบฝกท 1 1) 0.5 เปนจ านวนเตมหรอไม............................................................................................................

2) 13

4 เปนจ านวนเตมหรอไม.........................................................................................................

3) 4

2 เปนจ านวนเตมหรอไม............................................................................................................

4) 1.2

4 เปนจ านวนเตมใชหรอไม......................................................................................................

5) - 5.8 เปนจ านวนเตมลบใชหรอไม................................................................................................. 6) -9.6 เปนจ านวนเตมลบใชหรอไม..................................................................................................

7) 38

8 เปนจ านวนเตมลบใชหรอไม.................................................................................................

8) จ านวนใดบางเปนจ านวนเตมลบ -1 , -3.4 , 15

2 , 6 7

, 6.0,3 8

............................................................................................................................................................. 9) -333 อยบนซายมอหรอขวามอของศนยบนเสนจ านวน................................................................. 10) 25 อยทางซายมอหรอขวามอของศนยบนเสนจ านวน................................................................. 11) -20 มคามากกวาหรอนอยกวา 0................................................................................................... 12) 40 มคามากกวาหรอนอยกวา 0.................................................................................................... จงเตมเครองหมาย > หรอ < หรอ = ลงในชองวางใหถกตอง 13) -60………. -16 14) -72.................-71 15) 80...............-80 16) -1001..............-1011 จงเรยงจ านวนตอไปนจากมากไปนอย 17) -19 , 10 , -14 , 0 , 18 , -13 , 9 ..................................................................................................... 18) -1171 , -1717 , -1771 , -1777 , -1117 , - 1171 ........................................................................... จงเรยงจ านวนตอไปนจากนอยไปหามาก 19) -49 , -37 , -47 , -31 , -35 , -46 …................................................................................................ 20) -792 , -297 , -729 , -972 , -279 , -927 ........................................................................................

2.4 คาสมบรณของจ านวนเตม

2 อยหางจาก 0 เปนระยะ 2 หนวย เรากลาววา คาสมบรณของ 2 เทากบ 2

-2 อยหางจาก 0 เปนระยะ 2 หนวย เรากลาววา คาสมบรณของ -2 เทากบ 2

ใหนกเรยนท าแบบฝกหดตอไปน 1. จงหาคาสมบรณของ 5 , -5 , 9 , -9 , 10 , -10 , 11 , -11 2. คาสมบรณของจ านวนเตมบวกเปนจ านวนบวกหรอลบ 3. คาสมบรณของจ านวนเตมลบเปนจ านวนบวกหรอลบ 4. คาสมบรณของจ านวนใดบางทเปนจ านวนลบ นกเรยนสงเกตหรอไมวา มจ านวนเตมบวกและจ านวนเตมลบเปนค ๆ ทมคาสมบรณ

เทากนใหนกเรยนยกตวอยางมาสก 2 ค จ านวนเตมบวกและจ านวนเตมลบทมคาสมบรณเทากนจะอยคนละขางของ 0 และอยหาง

จาก 0 เปนระยะเทากน เชน -1 และ 1 เรากลาววา -1 เปนจ านวนตรงขามของ 1 และ 1 เปนจ านวนตรงขามของ -1 สวน 0 เปนจ านวนตรงขามของตวเอง ใหนกเรยนหาจ านวนตรงขามของจ านวนตอไปน 1. 3 ………………… 3. 45 ………………… 2. -7 ………………… 4. -350 …………………

-2 -1 2 1 0

5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

ถา a เปนจ านวนใด ๆ จ านวนตรงขาม ของ a มเพยงจ านวนเดยว และเขยนแทนดวย -a

แบบฝกท 2 1) คาสมบรณของ 48 คอ.................................................................................................................. 2) คาสมบรณของ -120 คอ............................................................................................................... 3) 8 เปนคาสมบรณของจ านวนใด.................................................................................................... 4) 124 เปนคาสมบรณของจ านวนใด................................................................................................ 5) คาสมบรณของ 56 คอ.................................................................................................................. 6) คาสมบรณของ -56 คอ................................................................................................................. 7) 56 เปนคาสมบรณของจ านวนใด................................................................................................. 8) 19 เปนคาสมบรณของจ านวนใด.................................................................................................. 9) จ านวนตรงขามของ 148 คอ........................................................................................................ 10) จ านวนตรงขามของ -3537 คอ.................................................................................................... 11) 2496 คอ................................................................................................................................ 12) 76 คอ.................................................................................................................................... 13) - 35 คอ.....................................................................................................................................14) - 12 คอ................................................................................................................................... 15) 919 คอ................................................................................................................................... จงเตมเครองหมาย > หรอ < หรอ = 16) 81 .................... 18 17) 25 ...................... 25 18) 102 .................. 120 19) 1011 .................. 1101 20) 28 .................. 28 2.5 สมบตของ 0 และ 1 สมบตของ 1

1. จ านวนใด ๆ คณกบ 1 จะไดจ านวนนน เชน 1 32 = 32 1 = 32 1 32 = ( 32) 1 = -32 1 ( 1) = ( 1) 1 = -1

สมบตขอนเขยนเปนสญลกษณไดดงน

1 1a a a เมอ a แทนจ านวนใด ๆ

2. จ านวนใด ๆ หารดวย 1 จะไดจ านวนนน เชน 27

271

2727

1

สมบตขอนเขยนเปนสญลกษณไดดงน สมบตของศนย

1. จ านวนใด ๆ บวกกบ 0 จะไดจ านวนนน เชน 5 + 0 = 0 + 5 = 5 ( -7 ) + 0 = 0 + ( -7) = -7

สมบตขอนเขยนเปนสญลกษณไดดงน

2. จ านวนใด ๆ คณกบ 0 ได 0 เชนกน

2 0 0 2 0 ( 5) 0 0 ( 5) 0 สมบตขอนเขยนเปนสญลกษณไดดงน 3. 0 หารดวยจ านวนใด ๆ ทไมใช 0 จะได 0 เชน

0

5 = 0

0

9 = 0

สมบตขอนเขยนเปนสญลกษณไดดงน

1

aa เมอ a แทนจ านวนใด ๆ

a + 0 = 0 + a = a เมอ a แทนจ านวนใด ๆ

0 0 0a a เมอ a แทนจ านวนใด ๆ

00

a เมอ a แทนจ านวนใด ๆ ทไมใช 0

4. ถาผลคณของจ านวนสองจ านวนใด ๆ เทากบ 0 จ านวนใดจ านวนหนงอยางนอยหนงจ านวนตองเปน 0 เขยนเปนสญลกษณไดดงน สมมตวาหาจ านวนใด ๆ ดวย 0 จะมปญหาอยางไร ใหนกเรยนท าแบบฝกหดตอไปน

1. ก าหนดให 0

0a ใหนกเรยนเปลยนเปนประโยคการคณ

2. จงหาคา a ทจะท าใหประโยค 0 0a เปนจรง 3. นกเรยนหาคา a ในขอ 2 ไดมากกวาหนงค าตอบหรอไม

4. จากหวขอ 3 นกเรยนจะบอกไดแนนอนหรอไมวา 0

0 เปนเทาไร เพราะเหตใด

5. ใหนกเรยนหา 9

0 โดยวธเดยวกน ไดกค าตอบ

ถาหารจ านวนใด ๆ ดวย 0 จะเกดปญหา คอ มจ านวนใดเปนค าตอบกได หรอไมมค าตอบเลย เนองจากการหารดวยศนยมปญหาเชนน นก คณตศาสตรจงไมใชศนยเปนตวหาร นกเรยนเคยทราบวาจ านวนนบทม 2 เปนตวประกอบ หรอจ านวนนบท 2 หารลงตว เรยกวาจ านวนค สวนจ านวนนบทไมม 2 เปนตวประกอบหรอไมม 2 เปนตวประกอบหรอจ านวนนบท 2 หารไมลงตว เรยกวา จ านวนค ในทางคณตศาสตรบทนยามของจ านวนคและค อาจเขยนไดดงน ใหนกเรยนตอบค าถามตอไปน 1. นกเรยนคดวา 0 เปนจ านวนคหรอจ านวนค.................................................................................. 2. จ านวนเตมใดบาง ทเปนจ านวนค.................................................................................................. 3. จ านวนเตมใดบาง ทเปนจ านวนค..................................................................................................

ถา 0a b ดงนน a = 0 เมอ a , b แทนจ านวนใด ๆ

ไมใช 0 เปนตวหาร

บทนยาม จ านวนค คอ จ านวนคท 2 หารลงตว และจ านวนค คอ จ านวนเตมท 2 หารไมลงตว

แบบฝกท 3 จงหาคาของ 1. 0 ( 83) ..................................... 2. 22 1 ...................................... 3. ( 14) ( 18) 0 ………………….. 4. 1 ( 88) ……………………. 5. 0a ………………………….. 6. 1c ………………………… 7. 0 ( 88) ……………………. 8. 0 46 ……………………….

9. ( 21) 0 ……………………. 10. 0

21

………………………….

จงหาคาของตวแปรทแทนประโยคแลวเปนจรง 1. 5 0a ...................................... 2. 1c c ........................................... 3. 8 0x ………………………. 4. 4 0y …………………………. 5. 12 1a ……………………..... 6. 1c c …………………………… 7. 1a a ………………………… 8. 12 1c ………………………...... 9. 12 12x ……………………… 10. 8 0y …………………………. 11. 3a = 0 ....................................... 12. 7 7x ......................................... 13. 5 0x ………………………. 14. 6 1a …………………………… 15. ( 4)a a = 0…………………… 16. ( 5)( 3) 0a a ………………… 17. 0 0a ………………………. 18. 0a a ………………………….. 19. 0a a ………………………. 20. a a a ………………………….. 2.6 สมบตการเทากน สมบตการบวกและการคณของจ านวนเตมบวก เมอนกเรยนบวกจ านวนสองจ านวน เชน 27 กบ 48 นกเรยนจะใชจ านวนใดเปนตวตงกไดเพราะผลลพธเทากน นนคอ 27 + 48 = 48 + 27 จ านวนเตมบวกทกจ านวนและศนยมสมบตการบวกดงกลาวขางตน เราเรยกสมบตนวา สมบตการสลบทส าหรบการบวก ในท านองเดยวกนเมอคณจ านวนเตมบวก ( หรอศนย ) สองจ านวนใด ๆ เชน 62 กบ 100 จะได 62 100 = 100 62 สมบตขอนเรยกวา สมบตการสลบทการคณ พจารณาการบวกจ านวนมากกวาสองจ านวนขนไป เชน ในการหาผลบวกของ 5 + 15 + 32 สมมตวาจะไมเปลยนแปลงล าดบของจ านวนทงสามทเรยงไว

ถาจะหา 5 + 15 กอน เขยน 5 + 15 ไวในวงเลบแลวหาผลบวกดงน ( 5 + 15 ) + 32 = 20 + 32 = 52 ถาจะหา 15 + 32 กอน เขยน 15 + 32 ไวในวงเลบแลวหาผลบวกดงน 5 + ( 15 + 32 ) = 5 + 47 = 52 จะเหนวา ( 5 + 15 ) + 32 = 5 + (15 + 32 ) จ านวนเตมบวกทกจ านวนและศนยมสมบตดงกลาว เรยกวาสมบตนวา สมบตการสลบทการบวก นกเรยนคดวา จ านวนเตมบวกทกจ านวนและศนยมสมบตการเปลยนกลมส าหรบการคณหรอไม ใหยกตวอยาง ในการเขยนสมบตตาง ๆ ของจ านวนเตมบวกเพอใหสนและกะทดรด เราใชประโยคทมตวแปรแทนจ านวนเตมบวกใด ๆ ประโยคขางลางเปนจรงส าหรบทกจ านวนทแทน a , b และ c สมบตการแจกแจงเปนสมบตทเชอมระหวางการบวกและการคณดงในตวอยาง 3 (7 5) = (3 7) (3 5) (10 3) 4 = (10 4) (3 4)

ให a และ b แทนจ านวนเตมบวกใด ๆ

( ab ) c = a ( bc )

ให a และ b แทนจ านวนเตมบวกใด ๆ

(a + b) + c = a + ( b + c )

ให a และ b แทนจ านวนเตมบวกใด ๆ

ab = ba

ให a และ b แทนจ านวนเตมบวกใด ๆ

a + b = b + a

การบวก การคณ

สมบตการสลบท

สมบตการสลบท

ให a , b และ c แทนจ านวนเตมบวกใด ๆ

( ) ( ) ( )a b c ab ac ( ) ( ) ( )b c a ba ca

สมบตการแจกแจง

อนทจรงแลว สมบตการสลบทส าหรบการบวกและการคณ สมบตการเปลยนกลมส าหรบการบวกและการคณ และสมบตการแจกแจงส าหรบการคณบนการบวก เปนสมบตของจ านวนทกจ านวน ซงนกเรยนจะไดพบในตอนตอไป จากประโยคทเขยนแสดงสมบตตาง ๆ ขางตน นกเรยนควรสงเกตไดวามการใชวงเลบเพอแสดงล าดบของการค านวณ เชน เมอเขยน ( )a b c หมายความวา ตองหาผลบวกของ b กบ c กอน แลวจงน าผลบวกมาคณกบ a แตถาเขยน ( ) ( )a b a c หมายความวา a b และ a c เสรจแลวน าผลคณมาบวกกน

แบบฝกท 4 จงบอกวาแตละขอตอไปนใชสมบตการเทากนในขอใด ( สมบตการสลบท , สมบตการ

เปลยนกลม , สมบตการแจกแจง ) 1) ( ) 2 2 ( )a b a b ......................................................... 2) ( ) ( )mn xy pq mn xy pq ......................................................... 3) (3 50) (3 20) (3 10) 3 60 ......................................................... 4) 2 2 2 2( )x y z x y z ......................................................... 5) ( )a b c ac bc ......................................................... 6) [( 2) ( 3)] ( 4) ( 2) [( 3) ( 4)] ......................................................... 7) (3 ) (2 ) (2 ) (3 )m n n m ......................................................... 8) 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c a b c ......................................................... 9) ( 21) ( 12) ( 12) ( 21) ......................................................... 10) ( ) ( )a b c c a b ......................................................... จงเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง 1) 35 + 38 = ....................................................(ใชสมบตการสลบท ) 2) 25 ( 36) = ....................................................(ใชสมบตการสลบท ) 3) ( ) ( )a b x y = ....................................................(ใชสมบตการสลบท ) 4) mx my = ....................................................(ใชสมบตการสลบท ) 5) 24 + (36 + 48 ) = ....................................................(ใชสมบตการเปลยนกลม ) 6) [( 32) ( 18)] ( 7) = ....................................................(ใชสมบตการเปลยนกลม ) 7) ( )abc pqr xyz = ....................................................(ใชสมบตการเปลยนกลม ) 8) 2 (3 4 )a b c = ....................................................(ใชสมบตการเปลยนกลม ) 9) 4 (5 9) = ....................................................(ใชสมบตการแจกแจง ) 10) (8 2) 7 = ....................................................(ใชสมบตการแจงแจง ) 11) (8 7 6)a = ....................................................(ใชสมบตการแจกแจง )

12 ) ( ) 3x y z = ....................................................(ใชสมบตการแจกแจง ) จงเตมค าตอบลงในชองใหถกตอง พรองทงบอกสมบตการเทากนทใชในแตละขอ 1) 2 ( )a b =............................. (2 )b ใชสมบต................................................................ 2) ( 2) [( 3) 4] =............................. 4 ใชสมบต................................................................ 3) (15 4) 8 = (15 8) ............................. ใชสมบต................................................................ 4) ( 14) ..................= ( 17) ( 14) ใชสมบต................................................................ 5) ( 2) [( 3) ( 4)] = [( 2) .............] [( 2) .............] ใชสมบต................................................................ 6) (8 4) (.............) (8 ) 8 (............ 5 6)a a b a ใชสมบต................................................................ 7) ( 5) 10 ........................... ( 5) ใชสมบต................................................................ 8) ( ) ................................................a b m m ใชสมบต................................................................ 9) ( ) (.................)ab c a ใชสมบต................................................................ 10) ( ) 4 ( 4)a b c a ..................-………………….. ใชสมบต................................................................ 2.7 การบวกจ านวนเตม การบวกระหวางจ านวนเตมลบกบจ านวนเตมลบ นกเรยนเคยแสดงการหาผลบวกของจ านวนเตมบวกบนเสนจ านวนแลว เชน 3 + 2 ลกศรทแสดงบวกดวย 2 ชไปทางไหน ซายหรอขวา เราจะใชหลกเกณฑอยางเดยวกนในการแสดงการหาผลบวกระหวางจ านวนเตมลบกบจ านวนเตมลบเสนจ านวนดงตวอยาง

6 5 4 3 2 1 0 -1 -2

1) หาผลบวก (-3) + (-2) แสดงไดดงน ลกศรทแสดงการบวกดวย -2 ชไปทางไหน นกเรยนคดวาจะอานค าตอบไดอยางไร 2) หาผลบวก (-3) + (-5) แสดงไดดงน เพอจะหาวธบวกระหวางจ านวนเตมลบกบจ านวนเตมลบ ใหนกเรยนตอบค าถามตอไปน

1. จงแสดงการหาผลบวกตอไปนบนเสนจ านวน

( 4) ( 1),( 2) ( 4),( 7) ( 2) 2. นกเรยนคดวา ผลบวกระหวางจ านวนเตมลบสองจ านวนจะเปนจ านวนเตมลบเสมอไปหรอไม 3. ใหนกเรยนหาผลบวก (-4) + (-1 ) โดยน าคาสมบรณของ -4 และ -1 มาบวกกนแลวตอบเปนจ านวนเตมลบ นกเรยนไดค าตอบเทากบทหาไดในขอ 1 หรอไม 4. ใหนกเรยนใชวธการเชนเดยวกบในขอ 3 หาผลบวก ( -2 ) + ( -4 ) , (-7 ) + ( -2 ) นกเรยนไดค าตอบเทากบทหาไดในขอ 1 หรอไม โดยทวไปการหาผลบวกระหวางจ านวนเตมลบกบจ านวนเตมลบ จะใชวธการเชนเดยวกบในขอ 3 ใหนกเรยนใชวธดงกลาวหาผลบวกตอไปน 1) ( -25 ) + ( -3) =................................... 2) ( -3 ) + ( -25) =................................... 3) ( -12 ) + ( -8) =................................... 4) ( -8 ) + ( -12) =...................................

-5 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -6

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

ในการหาผลบวกระหวางจ านวนเตมลบกบจ านวนเตมลบ ใหน าคาสมบรณของจ านวนเตมลบแตละจ านวนมาบวกกน แลวตอบเปนจ านวนเตมลบ

ตวอยางท 1 จงหาผลบวก ( -14 ) + ( -16 ) วธท า ( -14 ) + ( -16 ) = -30 ตอบ ตวอยางท 2 จงหาผลลพธโดยบวกสองจ านวนทอยในวงเลบใหญกอน ( -7 ) + [ ( -5 ) + ( -26 ) ] วธท า ( -7 ) + [ ( -5 ) + ( -26 ) ] = ( -7 ) + ( -31 ) = -38 ตอบ การบวกระหวางจ านวนเตมบวกกบจ านวนเตมลบ ใหนกเรยนพจารณาการแสดงหาผลบวกระหวางจ านวนเตมบวกกบจ านวนเตมลบบนเสนจ านวน ในกรณจ านวนทเปนจ านวนเตมบวกมคาสมบรณมากกวา ดงตวอยาง

1) หาผลบวก 6 + ( -4 ) แสดงไดดงน

6 + ( -4 ) = 2 2) หาผลบวก ( -2 ) + 5 แสดงไดดงน เพอจะหาวธบวกระหวางจ านวนเตมบวกกบจ านวนเตมลบ ใหนกเรยนตอบค าถามตอไปน

1. จงแสดงการหาผลบวกตอไปนบนเสนจ านวน 5 + ( -3 ) , ( -4 ) + 7 2. ค าตอบในขอ 1 เปนจ านวนเตมบวกหรอจ านวนเตมลบ 3. ใหนกเรยนหาผลบวก 5 + ( -3 ) โดยน าคาสมบรณของ 5 และของ -3 มาลบกน แลว

ตอบเปนจ านวนเตมบวก นกเรยนไดค าตอบเทากบทหาไดในขอ 1 หรอไม 4. ใหนกเรยนใชวธการเชนเดยวกบในขอ 3 หาผลบวก ( -4 ) + 7 นกเรยนไดค าตอบเทากบท

หาไดในขอ 1 หรอไม 5. ใหนกเรยนหาผลบวกตอไปนโดยน าคาสมบรณมาลบกน แลวตอบเปนจ านวนเตมบวก

ใหนกเรยนสงเกตวาจ านวนทเปนจ านวนเตมบวกมคาสมบรณมากกวา 1) 10 + (-5 ) ............................ 5) (-5 ) + 10 ............................ 2) 12 + (-4 ) ............................ 6) 5 + ( -4 ) ............................ 3) ( -4 ) + 12 ............................ 7) 29 + (-3) ............................ 4) ( -4 ) + 5 ............................ 8) ( -3 ) + 29 ............................

7 6 5 4 3 2 1 0 -1

6 4 3 2 1 0 -1 -2 -3

ใหนกเรยนพจารณาการแสดงการหาผลบวกระหวางจ านวนเตมบวกกบจ านวนเตมลบบนเสนจ านวน ในกรณจ านวนทเปนจ านวนเตมลบมคาสมบรณมากกวา ดงตวอยาง 1) หาผลบวก 3 + ( -5 ) แสดงไดดงน

3 + ( -5 ) = -2 2) หาผลบวก ( -6 ) + 2 แสดงไดดงน เพอจะหาวธบวกระหวางจ านวนเตมบวกกบจ านวนเตมลบ ใหนกเรยนตอบค าถามตอไปน

1. จงแสดงการหาผลบวกตอไปนบนเสนจ านวน ( -8 ) + 5 , 4 + ( -9 ) 2. ค าตอบทไดในขอ 1 เปนจ านวนเตมบวกหรอจ านวนเตมลบ 3. ใหนกเรยนหาผลบวก ( -8 ) + 5 โดยน าคาสมบรณของ -8 และของ 5 มาลบกน แลวตอบ

เปนจ านวนเตมลบ นกเรยนไดค าตอบเทากบทหาไดในขอ 1 หรอไม 4. ใหนกเรยนใชวธการเชนเดยวกบในขอ 3 หาผลบวก 4 + ( -9 ) นกเรยนไดค าตอบเทากบท

หาไดในขอ 1 หรอไม 5. ใหนกเรยนหาผลบวกตอไปนโดยน าคาสมบรณมาลบกน แลวตอบเปนเปนจ านวนเตมลบ

ใหนกเรยนสงเกตวาจ านวนทเปนจ านวนเตมลบ มคาสมบรณมากกวา 1) (-7 ) + 4 ............................ 5) ( -10 ) + 2 ............................ 2) (-12 ) + 6 ............................ 6) 3 + ( -16 ) ............................ 3) 3 + (-9 ) ............................ 7) (-23 ) + 13 ............................ 4) 2 + ( -11 ) ............................ 8) 15 + ( -28 ) ............................

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4

1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

ในการหาจ านวนเตมบวกกบจ านวนเตมลบทมคาสมบรณไมเทากน ใหน าคาสมบรณมาลบกน แลวตอบเปนจ านวนเตมบวกหรอลบ ตามจ านวนทมคาสมบรณมากกวา

หลกเกณฑการบวกจ านวนเตมมดงน 1. การหาผลบวกระหวางจ านวนเตมบวก ใหน าคาสมบรณมาบวกกน แลวตอบเปนจ านวน

เตมบวก 2. การหาผลบวกระหวางจ านวนเตมลบ ใหน าคาสมบรณมากบวกกน แลวตอบเปนจ านวน

เตมลบ 3. ใหหาผลบวกระหวางจ านวนเตมบวกกบจ านวนเตมลบทมคาสมบรณไมเทากน ใหน าคา

สมบรณมาลบกน แลวตอบเปนจ านวนเตมบวกหรอลบ ตามจ านวนทมคาสมบรณมากกวา

จงหาผลบวกโดยใชหลกเกณฑทสรปไวขางตน 1) 15 + 5 ............................ 6) (-1 ) + ( -19 ) ............................ 2) 5 + 15 ............................ 7) 4 + ( -7 ) ............................ 3) 21 – ( -8 ) ............................ 8) ( -7 ) + 4 ............................ 4) ( -8 ) + 21 ............................ 9) 1 + ( -5 ) ............................ 5) ( -19 ) + ( -1 ) ............................ 10) ( -5 ) + 1 ............................ ตวอยางท 3 จงหาผลบวก 32 + ( -7 ) วธท า 32 + ( -17 ) = 15 ตอบ ตวอยางท 4 จงหาผลบวก [ ( -19) + 8 ] + 2 = ( -11 ) + ( -2 ) = -13 ตอบ

ใหนกเรยนพจารณาการแสดงการหาผลบวกระหวางจ านวนเตมบวกกบจ านวนเตมลบบนเสนจ านวน ในกรณจ านวนทงสองมคาสมบรณเทากน ดงตวอยาง

1) จงหาผลบวก 5 + ( -5 ) แสดงไดดงน

5 + ( -5 ) = 0 2) หาผลบวก ( -3 ) + 3 แสดงไดดงน

( -3 ) + 3 = 0

ใหนกเรยนสงเกตวา -5 เปนจ านวนตรงขามของ 5

6 5 4 3 2 1 0 -1 -2

3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

และ 3 เปนจ านวนตรงขามของ -3 ผลบวกทไดคอ 5 + ( -5 ) = 0 และ ( -3 ) + 3 = 0 ซงเปนตามสมบตทวา ผลบวกของจ านวนใด ๆ กบจ านวนตรงขามของจ านวนนนตองเปน 0 ใหนกเรยนท าแบบฝกหดตอไปน 1. จงหาผลบวก2. ถา a เปนจ านวนใด ๆ จงหาผลบวก 1) a + ( -a ) ………………… 2) ( -a ) + a …………………

แบบฝกท 5 จงหาผลบวกบนเสนจ านวนตอไปน

1) ( -3 ) + ( -4 )

2) ( -1 ) + ( -5 )

3) 7 + ( -3 )

4) 4 + ( -9 )

5) ( -2 ) + 7 6) ( -4 ) + 10

7) ( -5 ) + ( -3 )

6 7 8 9 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

6 7 8 9 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

6 7 8 9 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

6 7 8 9 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

6 7 8 9 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

6 7 8 9 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

6 7 8 9 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

8) 4 + ( -11 ) 9) ( -8 ) + 13 10) 9 + ( -4 ) 11) ( -9 ) + 5 12) 8 + ( -8 )

2.8 การลบจ านวนเตม ในการลบจ านวนเตมนน เราอาศยการบวกตามขอตกลงดงน ตวอยางเชน 6 – 2 = 6 + ( -2 ) 2 - 6 = 2 + ( -6 ) ( -15 ) – 3 = ( -15 ) + ( -3 ) 4 – ( -9 ) = ( -15 ) + ( -3 ) ( -13 ) – ( -11 ) = ( -13 ) + 11 ใหนกเรยนเขยนการลบตอไปนในรปการบวกดวยจ านวนตรงขามของตวลบ ตามตวอยางขางตน 1) 8 – 5 ………………… 7) 3 – ( -7 ) ………………… 2) 3 – 4 ………………… 8) 20 – ( -9 ) ………………… 3) 7 - 12 ………………… 9) 16 – ( -30 ) ………………… 4) ( -2 ) – 4 ………………… 10) ( -3 ) – ( -8 ) ………………… 5) ( -9 ) -5 ………………… 11) ( -5 ) – ( -2 ) ………………… 6) ( -10 ) -12 ………………… 12) (-4 ) – ( -16 )…………………

6 -4 -5 -6 -7 -8 -9 7 8 9 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3

6 7 8 9 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

6 7 8 9 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

6 7 8 9 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

6 7 8 9 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

ตวตง – ตวลบ = ตวตง + จ านวนตรงขามของตวลบ

เมอเขยนการลบใหอยในรปการบวกแลวจงหาผลบวกของจ านวนของจ านวนเตมตามวธการบวกทเคยสรปไว ดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 1 จงหาผลลบ ( -3 ) -4 วธท า ( -3 ) -4 = ( -3 ) + ( -4 ) = -7 ตอบ ตวอยางท 2 จงหาผลลบ 2 – ( -3 ) วธท า 2 – ( -3 ) = 2 + 3 = 5 ตอบ ตวอยางท 3 จงหาผลลบ ( -2 ) – ( -6 ) วธท า ( -2 ) – ( -6 ) = ( -2 ) + 6 = 4 ตอบ

แบบฝกหดท 6 1) 3 – 12 =……………………. 2) 18 -23 =…………………………… 3) -9 + 16 =……………………. 4) 132 – 184 =…………………………... 5) 336 + 363 =…………………..... 6) -75 + 199 =…………………………… 7) 48 – 32 – 64 =……………………. 8) 15 – 18 =…………………………… 9) -12 + 15 -17 +18 =…………………. 10) 25 – 36 + 17 –35 =…………………….. 11) 42 – 50 - 17 – 8 =………………… 12) -19 -18 -17 – 16 =…………………….. 13) -76 + 77 – 79 + 72 =……………… 14) 35 – 32 – 38 + 30 =…………………….. 15) ( -5 ) + 8 =……………………. 16) 12 – 9 =…………………………… 17) ( -4 ) + (-8) =…………………….. 18) (-12 ) + ( -15 ) + (-9 ) =…………………. 19) -12 + 7 =……………………. 20) ( -18 ) + 11 =…………………………… 21) 24 – ( - 19 ) =…………………… 22) ( -8 ) – ( -4 ) =…………………………… 23) ( -21) + ( -13 ) =……………….. 24) (-41 ) – ( -8 ) =…………………………. 25) [(-12 ) + ( -13 )] – 15 =………… 26) -8 – [ 4 – ( -9 )] =………………………. =…………. =……………………….. =…………. =……………………….. 27) 3 – [ ( -7 ) + ( -8 ) ] =…………. 28) ( -12 – 15 ) – ( 15 – 19 ) =……………… =…………. =………………

=…………. =………………

ให a = -1 , b = -3 , c = -5 จงหาคาของ 29) a + b + c =…………………… 30) a – b – c =…………………… =…………………… =…………………… 31) a + ( b – c ) =…………………... 32) ( a – b ) + c =…………………… =………………….. =…………………… ให a = 3 , b = -2 , c = -1 จงหาคาของ 33) a – b + c =………………….. 34) ( a + b ) – c =…………………… =…………………. =…………………… 35) a – ( b + c ) =………………….. 36) c – ( a – b ) =…………………… =…………………. =…………………… ให p = 2 , q = -2 , r = 1 , s = 1 จงหาคาของ 37) p + q – r + s =…………………. 38) ( p- q ) + ( r – s ) =…………………… =…………………. =…………………… 2.9 การคณจ านวนเตม การคณจ านวนเตมมสมบตการสลบท การเปลยนกลม และการแจกแจงบนการบวก ซงเราจะใชสมบตเหลานในการหาผลคณ การคณจ านวนเตมบวกกบจ านวนเตมลบ ใหนกเรยนพจารณาดงน

4 2 2 2 2 2

2 5 5 5

5 7 7 7 7 7 7

ตวอยางเหลานแสดงความหมายของการคณ ในท านองเดยวกน

3 ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) = -12 ใหนกเรยนเขยนการคณจ านวนตอไปนในรปการบวกแลวหาผลลพธ 1. 5 ( 2) ......................................... 3. 12 ( 3) ................................... 2. 3 ( 1) .........................................

เพอจะหาวธคณจ านวนเตมบวกกบจ านวนเตมลบใหรวดเรวขน ใหนกเรยนตอบค าถามตอไปน

1. ใหนกเรยนหาผลคณ 6 ( 5) โดยเขยนการคณใหอยในรปการบวกกอน 2. ค าตอบทไดในขอ 1 เปนจ านวนเตมบวกหรอจ านวนเตมลบ

3. ใหนกเรยนหาผลคณ 6 ( 5) โดยน าคาสมบรณของ 6 ไปคณกบคาสมบรณของ -5 แลวตอบเปนจ านวนเตมลบ นกเรยนไดค าตอบเทากบค าตอบในขอ 1 หรอไม

4. ใหนกเรยนใชวธการเชนเดยวกนในขอ 3 หาผลคณตอไปน 1) 3 ( 2) 2) 7 ( 3) 3) 4 ( 6) 4) 15 ( 4)

การคณจ านวนเตมลบกบจ านวนเตมบวก ใหนกเรยนพจารณาผลคณตอไปน 1. 5 ( 2) 2. ( 2) 5 นกเรยนจะหาผลคณในขอ 1 โดยเขยนเปนรปการบวกของ -2 ไดหรอไม นกเรยนจะหาผลคณในขอ 2 โดยเขยนเปนรปการบวกของ 5 ไดหรอไม ในการหาผลคณ ( 2) 5 เราจะใชสมบตการสลบทส าหรบการคณจ านวนเตม ดงน ( 2) 5 5 ( 2) = -10 ใหนกเรยนหาผลคณตอไปน โดยอาศยวธคณจ านวนเตมบวกกบจ านวนเตมลบ ตามตวอยางขางตน 1. ( 3) 7 ......................................... 2. ( 10) 4 ......................................... 3. ( 15) 8 ......................................... 4. ( 32) 41 ......................................... ใหนกเรยนหาผลคณของจ านวนเตมลบคณจ านวนเตมบวกไดอยางไร เพอจะหาวธคณของจ านวนเตมลบกบจ านวนเตมบวก ใหนกเรยนตอบค าถามตอไปน

1. ใหนกเรยนหาผลคณ ( 4) 6 โดยอาศยการคณจ านวนเตมบวกกบจ านวนเตมลบ 2. ค าตอบทไดในขอ 1 เปนจ านวนเตมบวกหรอจ านวนเตมลบ

จ านวนเตมบวกคณกบจ านวนเตมลบ ไดค าตอบเปนจ านวนเตมลบทมคาสมบรณเทากบผลคณของคาสมบรณของสองจ านวนนน

3. ใหนกเรยนหาผลคณ ( 4) 6 โดยน าคาสมบรณของ -4 ไปคณกบคาสมบรณของ 6 แลวตอบเปนจ านวนเตมลบ นกเรยนไดค าตอบเทากบค าตอบในขอ 1 หรอไม

4. ใหนกเรยนใชวธเชนเดยวกบในขอ 3 หาผลคณตอไปน 1) ( 5) 4 ......................................... 2) ( 11) 9 ......................................... 3) ( 13) 6 ......................................... 4) ( 15) 8 .........................................

วธคณจ านวนเตมบวกกบจ านวนเตมลบ และวธคณจ านวนเตมลบกบจ านวนเตมบวกเหมอนกนไม ตวอยางท 1 จงหาผลคณ 38 ( 5) วธท า 38 ( 5) 190 ตอบ ตวอยางท 2 จงหาผลคณ ( 26) 20 วธท า ( 26) 20 520 ตอบ การคณจ านวนเตมลบกบจ านวนเตมลบ ในการหาผลคณของจ านวนเตมลบกบจ านวนเตมลบ เชน ( 3) ( 2) เราจะใชสมบตการแจกแจงดงน เนองจาก ( 2) 2 = 0 ฉะนน ( 3) [( 2) 2] = ( 3) 0 = 0 จากสมบตการแจกแจง ( 3) [( 2) 2] [( 3) ( 2)] [( 3) 2] ฉะนน [( 3) ( 2)] [( 3) 2] 0 เราทราบวา ( 3) 2 6 ฉะนน [( 3) ( 2)] ( 6) 0 ประโยคขางตนกลาววา ( 3) ( 2) เปนจ านวนทบวกกบ ( -6 ) แลวได 0 แตจ านวนทบวกกบ -6 แลวได 0 มอยจ านวนเดยวคอ 6

จ านวนเตมลบคณจ านวนเตมบวก ไดค าตอบเปนจ านวนเตมลบ ทมคาสมบรณเทากบผลคณของคาสมบรณของสองจ านวนนน

ดงนน ( 3) ( 2) = 6 โดยทว ๆ ไปเราสามารถพสจนไดวา ผลคณของจ านวนเตมลบกบจ านวนเตมลบเปนจ านวนเตมลบเสมอ ใหนกเรยนหาผลคณ ( 3) ( 2) โดยน าคาสมบรณของ -3 ไปคณกบคาสมบรณของ -2 แลวตอบเปนจ านวนเตมบวก นกเรยนไดค าตอบเทากบทท ามาขางตนหรอไม ใหนกเรยนหาผลคณตอไปน โดยใชวธหาผลคณของคาสมบรณ 1. ( 1) ( 2) ......................................... 3) ( 9) ( 5) ......................................... 2) ( 1) ( 1) ......................................... 4) ( 36) ( 4) ......................................... หลกการคณจ านวนเตมสรปยอ ๆ ไดดงน

1. จ านวนเตมบวกคณจ านวนเตมบวก ผลลพธเปนจ านวนเตมบวก เชน 9 7 63 2. จ านวนเตมลบคณจ านวนเตมลบ ผลลพธเปนจ านวนเตมบวก เชน ( 9) ( 7) 63 3.จ านวนเตมบวกคณจ านวนเตมลบ หรอจ านวนเตมลบคณจ านวนเตมบวก ผลลพธเปนจ านวนเตมลบ เชน 9 ( 7) 63

( 9) 7) 63 ตวอยางท 3 จงหาผลคณ ( 15) ( 12) วธท า ( 15) ( 12) 180 ตอบ ตวอยางท4 จงหาผลคณ [9 ( 13)] ( 7) ( 117) ( 7) = 819 ตอบ 2.10 การหารจ านวนเตม นกเรยนตอบไดหรอไมวาเพราะเหตใด 24 หารดวย 8 จงได 3 ใหนกเรยนพจารณาประโยคทงคขางลาง

ตวตง 24

8 = 3 ผลหาร

ตวหาร 8 3 24

จ านวนเตมลบคณจ านวนเตมลบ ไดค าตอบเปนจ านวนเตมบวก ทมคาสมบรณเทากบผลคณของคาสมบรณของสองจ านวนนน

ประโยค 8 3 24 เปนตวอยางหนงทแสดงวา ตวหาร × ผลหาร = ตวตง เราจะใชหลกขอนหาผลหารของจ านวนเตมดงตอไปน

1. หาผลหาร 30

5

ให 30

5a

ดงนน 5 30a เนองจาก 5 ( 6) 30 ฉะนน 6a

ดงนน 306

5

2. หาผลหาร 30

5

ให 30

5a

ดงนน ( 5) 30a เนองจาก ( 5) ( 6) 30 ฉะนน 6a

ดงนน 306

5

3. หาผลหาร 30

5

ให 30

5a

ดงนน ( 5) 30a เนองจาก 6a

ฉะนน 306

5

ใหนกเรยนท าแบบฝกหดตอไปน 1. ให a แทนผลลพธ จงเปลยนประโยคตอไปนใหอยในรปของการาคณ แลวหาค าตอบ

ของ a

1) 14

7a 4) 7

7a

2) 18

2a

5) 1

1a

3) 5

1a

2. จากขอ 1 ใหนกเรยนหาผลลพธ a ในแตละขอ โดยน าคาสมบรณของตวตงและตวหารมาหารกน ถาทงตวตงและตวหารเปนจ านวนเตมบวกทงคหรอจ านวนเตมลบทงคกตอบเปนจ านวนเตมบวก ถาตวตงหรอตวหารตวใดตวหนงเปนจ านวนเตมลบโดยทอกตวหนงเปนจ านวนเตมบวกกตอบเปนจ านวนเตมลบ

4. ค าตอบทไดในแตละขอทไดจากขอ 1 และขอ 2 เทากนหรอไม ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 444 ( 12) วธท า 444 ( 12) 37 ตอบ ตวอยางท2 จงหาผลหาร [{( 7) ( 9)} ( 11)] ( 13) วธท า [{( 7) ( 9)} ( 11)] ( 13) [63 ( 11)] ( 13) 52 ( 13) 4 ตอบ

แบบฝกท 7 1) 2 ( 4) =……………………. 2) ( 6) 3 =…………………………… 3) ( 5) ( 1) =……………………. 4) ( 7) ( 8) =…………………………... 5) 3 ( 4) ( 1) =…………………..... 6) ( 8) ( 2) 2 =……………………….. 7) ( 4) ( 3) ( 2) =………………… 8) ( 1) ( 1) ( 1) =……………………… 9) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) =………… 10) [( 3) 4 ( 8) ( 1)] 0 =…………. 11) (3)( 4)( 2) =………………… 12) 2( 5)( 6) =…………………………… 13) 18 2 =………………………….. 14) 20 ( 5) =…………………………….

การหารจ านวนเตมใหน าคาสมบรณของตวตงและตวหารมาหารกน

ถาทงตวตงและตวหารเปนจ านวนเตมบวกทงคหรอจ านวนเตมลบทงคจะไดค าตอบเปนจ านวนเตมบวก ถาตวตงหรอตวหารตวใดตวหนงเปนจ านวนเตมลบโดยทอกตวหนงเปนจ านวนเตมบวกจะไดค าตอบเปนจ านวนเตมลบ

15) 16

18

=……………………. 16) 15

3

=……………………………

17) 14

2 =…………………….. 18) ( 25) ( 1) =………………………….

19) 0 ( 18) =……………………. 20) ( 20) 0 =…………………………… ให m = -18 , n = -3 , p = 2 จงหาคาของ 21) m n =……………………. 22) p m =…………………….......... 23) n p =……………………. 24) m p =…………………….......... 25) n m =……………………. 26) ( )n p m =…………………….......... ให x = 1 , y = 1 ,z = -2 จงหาคาของ

27) xyz =……………………. 28) xz

y =…………………….........

................................... ........................................... 29) yz x =……………………. 30) y xy =……………………........ ................................... ..........................................

แบบฝกท 8 จงหาคาของตวแปรทแทนประโยคแลวเปนจรง 1) a a a 2) a a a 3) 0 0c 4) 0c c 5) ( 1)x x 6) 1 1x 7) 7 0y 8) 7y =0 9) 7 7a a 10) ( 2) 0a a จงตอบค าถามในแตละขอ 11) [2 ( 3)] ( 1) 12) (3 8) (2 3) 13) (4 6)(6 4) 14) (9 11)(3 6) 15) ( 2 8) ( 1 1) 16) [3 ( 2)][2 ( 3)] 17) 3( 1) 2( 4) 18) ( 1)( 1) 3( 2) 19) ( 1 2)(3 5)( 4 5) 20) 12 ( 4)( 3) ให [( ) ]T P Q M k จงหาคาของ T เมอ 21)P = 1 , Q = -2 , M = 0 , k = 1 22) P = -2 ,Q = 3 , M = 2 , k = -1 ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

23)P = 3 , Q = -1 , M = 0 , k = -3 24) P = 1 ,Q = -1 , M = 1, k = -1 ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..…………………………… ให a = -1 , b = 2 , c = -2 จงหาคาของ 25) ( )a b c 26) ( ) ( )a b a c ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..…………………………… 27) ( )b c a 28) ( ) ( )a b a c ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..…………………………… 29) ( )a c b 30) ( )a c b ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

กราฟ นกเรยนเคยใชเสนจ านวนเฉพาะสวนทแสดงศนยและจ านวนบวกสองเสนเปนแกนในการเขยนกราฟมาแลว ตอไปนเราจะใชเสนจ านวนทแสดงจ านวนเตมทงสองเสนเปนแกนในการเขยนกราฟ เสนจ านวนทงสองนนถอวาอยบนระนาบเดยวกน เราเรยกระนาบนวา ระนาบจ านวน จดแตละจดทอยบนระนาบจ านวนนจะแทนคอนดบเพยงคเดยวเทานนและเมอเขยน ( a , b ) เราหมายความวา a และ b เปนจ านวนใด ๆ กได ใหนกเรยนพจารณาระนาบจ านวนตอไปน

บนระนาบจ านวน เสนจ านวนทอยในแนวนอนเรยกวา แกน x และเสนจ านวนทอยในแนวตงเรยกวา แกน y เมอแทนคอนดบใด ๆ ดวยจดบนระนาบจ านวน สมาชกตวทหนงของคอนดบแทนดวยจ านวนทอยบนแกนนอน และสมาชกตวทสองของอนดบแทนดวยจ านวนทอยบนแกนตง โดยทวไปเราเขยนคอนดบใด ๆ ในรป ( x , y ) ดงนน แทน x ดวยจ านวนทอยบนแกน x และแทน y ดวยจ านวนทอยบนแกน y เมอ P เปนจดจดหนงบนระนาบจ านวนทเปนกราฟของ ( x , y ) จะกลาววาจด P มพกดเปน ( x , y ) และเขยนแทนดวย P( x , y )

18

16

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25

18

16

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25

18

16

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25

18

16

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25

Y

X

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

Q

(-3,-4)

S

p

(2,2)

จงพจารณารปขางตนแลวหาพกดของจด P , Q , R ,S และ T ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Y

X

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

จตภาคท 4จตภาคท 3

จตภาคท 1จตภาคท 2

E

A

CD

G

H

J

K

I

B

F

จงหาพกดของจด A , B , C , D , E , F , G , H , I , และ K จากรปทก าหนดใหขางตน ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... นกเรยนจะเหนวาแกน x และ y แบงระนาบจ านวนออกเปน 4 สวน แตละสวนเรยกวา จลภาค และก าหนดใหมล าดบเปนจลภาคท 1 , จลภาคท 2 , จลภาคท 3 , จลภาคท 4 ดงในรปขางบน

แบบฝกท 9 จากกราฟทก าหนดใหในแตละขอ จงเขยนพกดของจลภาคตาง ๆ บนระนาบจ านวน 1) 2)

Y

X

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 X X

Y Y

3) 4) 5) 6) แบบฝกท 10 จงท าใหเปนผลส าเรจ

1. -3+(-5)-6-(-1)+(-2)-4 2. 7-(-6)+(-3)-1+(-6)-(-8) ……………………………. …………………………….

……………………………. ..…………………………… 3. -4-(-3)-(-5)+3-(-6)+7 4. -6-(-3)+4-(-5)+(-2)-(-6) ……………………………. ……………………………. …………………………… ..…………………………… 5. 9-(-7)+3-(-6)-(-5)+(-1) 6. 3-5-6-7-(-8)+9-(-10) ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

7.10-12+(-6)-7+(-1)-2 8. 3-(-6)+7-(-5)-(-3)+4 ……………………………. …………………………….

……………………………. ..……………………………

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20

X X

X X

Y Y

Y Y

9. 6-(-9)+3-(-4)+(-1)-5 10. 10-6-(-7)+4-(-5)+(-2) ……………………………. ……………………………. …………………………… ..…………………………… 11. 3-(-6)+7-(-8)-9+(-1) 12. 6+(-1)-(-5)-(-4)+3-7 ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

13. 8-(-1)+2+(-5)-9+(-4) 14. 3-6+(-7)-(-4)+5-(-2)+1 ……………………………. ……………………………. …………………………… ..…………………………… 15. 1-(-3)+4+(-6)-(-2)-(-5) 16. 9-7-(-3)+(-1)-4+(-9) ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

17. 4-8-(-1)-(-2)+(-3)-6 18. -5-9+(-1)-(-10)+(-2)-7 ……………………………. …………………………….

……………………………. ..…………………………… 19. 4-6-(-3)-1+(-2)-(-4)-6 20. -5+3-(-4)+1-(-3)+(-6) ……………………………. ……………………………. …………………………… ..……………………………

21. 7+(-2)-3+(-1)-(-4)+1 22. 16-7-(-2)+1-(-3)-9+(-2) ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

23. [-3+(-1)]+[-1-(-2)]+3 24. [5-(-6)]+[-4-(-2)]+(-1) ……………………………. ……………………………. …………………………… ..…………………………… 25. [-6-(-3)]-[10+(-5)]-3 26. [-3+5]-[2+(-6)]+[-2-(-1)] ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

27. [-4-1]+[4-6]-[3+(-2)] 28. [-5+6]-[-3+7]+[4-(-6)]-1 ……………………………. …………………………….

……………………………. ..……………………………

29. [-7-(-2)]-[-4-(-5)]-[-5-(-1)]-(-1) 30. [-8+(-9)]-[-2+(-1)+[-1+(-3)]+(-2) ……………………………. ……………………………. …………………………… ..……………………………

31. [-3+(-2)-1]-[-2-(-3)+1] 32. [-4+(-5)-(-3)-1]+[-6+1-3-(-4)] ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

ให A = -2 , B = 3 , C = -3 , D = -4 ,E = 6 33. A+B–C–D+E 34. –B+A–C+D-E

……………………………. ……………………………. …………………………… ..…………………………… 35. E+A–C+D–B 36. ( A–B)+(B–C)+(C–D) ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

37. (B–D)–(D–A )–(C–B)-E 38. (C-A)+(B+D)-(B-A) ……………………………. …………………………….

……………………………. ..…………………………… 39. (A-B+D)+(B-C-E) 40. (E-C)+(D-A+B) ……………………………. ……………………………. …………………………… ..……………………………

41. (B-A+E)-(C-E-D)-(-E) 42. [-B-A-(-B)]-[A-C-(-E)] ……………………………. …………………………….

……………………………. ..…………………………… 43. [A-B-D-E]-(-C) 44. [B-A+(-D)]-[B-D] ……………………………. ……………………………. …………………………… ..…………………………… 45. [D-E]-[B-A+C]-D 46. D-[-B+A-C]-[A-D] ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

47. [B-A-E]-[E-A+D] 48. (A-D)-(D-A)-(C-E)-E ……………………………. …………………………….

……………………………. ..……………………………

49. (A-B-C)-(-D+B-E) 50. –B+(-D)-(-E)-(-C) ……………………………. ……………………………. …………………………… ..……………………………

51. A-(-A)+(-D)-(-C) 52. (-A+B)-(-B-C)-E ……………………………. …………………………….

……………………………. ..…………………………… 53. A+B-D-[-B-E]-C 54. C-A-[-A+D]-[B-C] ……………………………. ……………………………. …………………………… ..…………………………… 55. (A-D)-(-B)+[A-C+E] 56. A+B-(A-D)-(D-C) ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

57. [-(-3+D)-(A-(-2))] 58. [-(A+B)-(C-D)]-(-E) ……………………………. …………………………….

……………………………. ..…………………………… 59. –[-(A+E-D)+(C+D-B)] 60. B-[-(A-E-D)-(-B)] ……………………………. ……………………………. …………………………… ..……………………………

61. –C+D-(A+B-E)-(-E) 62. (A-B-(-D)-(-B+E-C) ……………………………. …………………………….

……………………………. ..…………………………… 63. [-A+(-D)+C-E+B]-(A-D) 64. (A+B+C)-(E-D+C)-(-A) ……………………………. ……………………………. …………………………… ..…………………………… จงท าใหเปนผลส าเรจ

1. ( 2) ( 3) 4 2.3 ( 1) ( 2) 5 ……………………………. …………………………….

……………………………. ..…………………………… 3. 4 ( 2) ( 3) ( 1) 4. 2 ( 3) 6 ( 1) 3 ……………………………. ……………………………. …………………………… ..……………………………

5.10 ( 2) 3 ( 1) 6. ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

7. ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 8. ( ( 2) ( 3)) ( 1) ……………………………. …………………………….

……………………………. ..…………………………… 9. ( 6) 7 ( 1) ( 2) 10. 4 ( 1) ( 4) ( 3) ……………………………. ……………………………. …………………………… ..…………………………… 11. ( 72) 6 12. ( 144) ( 4) ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

13. (2 3) ( 6) 14. ( 20 8) ( 4) ……………………………. ……………………………. …………………………… ..…………………………… 15. ( 9 ( 10)) ( 1) 16.[ 3 ( 2) 1] ( 1) ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

17.[( 3) ( 8)] ( 2) 18.[( 1)( 2)( 3)] (1 2) ……………………………. …………………………….

……………………………. ..…………………………… 19. ( 3 4) ( 4 3) 20.[ 3 ( 6)] [3 ( 4)] ……………………………. ……………………………. …………………………… ..……………………………

21.[ 1 ( 6)] [ 10 ( 25)] 22.[ 1 ( 1) 1] [ 3 3] ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

23.[ 3 ( 1)] [ 20 5] 24.[ ( 2) 1] [( 2) ( 1)] ……………………………. ……………………………. …………………………… ..……………………………

25. [ 3 4] [ 2 ( 1)] 26. ( 6) [( 1) ( 2) 3] ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

27. [ 3 ( 1)] [ 6 ( 1)] 28.4 ( 5 ( 6)) ( 3 ( 2)) ……………………………. …………………………….

……………………………. ..…………………………… 29.[ 8 ( 6) 1] [( 10) 2] 30.[ 3 2 ( 6)] [2 ( 3)] ……………………………. ……………………………. …………………………… ..……………………………

31.[ ( 3 4) 1] ( 4) 32. [ ( 5 ( 2 1) ( 6)) 1] ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

33. 3 ( 1) 6 ( 5) 1 34. ( 3 2) (2 ( 3)) ……………………………. ……………………………. …………………………… ..…………………………… 35. 4 (5 ( 1)) ( 6) 36.[ (5 ( 4)) ( 1)] ( 1) ……………………………. ……………………………. ……………………………. ..……………………………

37.[2 ( 1)] [( 3) ( 1)] 38. [ [ (3 ( 1)) ( 2)] 1] ……………………………. …………………………….

……………………………. ..…………………………… 39. 2 [ ( 3 (4 ( 1)) 1) 2] 1 40. 3(2 1) 2( 3 1) ( 1) ……………………………. ……………………………. …………………………… ..……………………………

41.[3 ( 3 5)] ( 6) 42.4 ( 3) 1 (( 2) 3) ……………………………. …………………………….

……………………………. ..…………………………… 43. (8 ( 5)) ( 3 2) (6 3) 44. [ 3 4] [6 ( 3)] ……………………………. ……………………………. …………………………… ..……………………………