คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 2 · คณิตศาสตร์ ม.5...

คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 2 โครงการพัฒนาอัจฉริยภาพของเด็กไทย http://www.168tutoronline.com นายกรณ ์สมจิตร (พีก่รณ)์

The Petroleum and Petrochemical College, Chulalongkorn University.

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ 1.1 ประโยชน์ของกราฟ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

บานเช้าเป็นลูกสาวของกุหลาบ เธอมีน้องสาวชื่อบานเย็น พายัพเป็นพี่ชายของบานบุรีซึ่งเป็นฝาแฝดผู้พี่ของ บานเช้า พายัพเป็นลูกเขยของทักษิณ ทักษิณมีลูกเป็นลูกสาวเพียงคนเดียวชื่อบูรพา เธอมีลูกชายหัวแก้วหัวแหวนชื่อ อาคเนย ์ จงหาว่ากุหลาบมีลูกกี่คน เป็นลูกสาวกี่คน ลูกชายกี่คน, ภรรยาของพายัพคอืใคร จากข้อความดังกล่าว ในการที่จะหาค าตอบ การเขียนแผนภาพ จะช่วยให้เห็นความสัมพันธ์ของคนในกลุ่ม นี้ชัดเจนขึ้น จึงจะหาค าตอบที่ต้องการได้ แผนภาพที่เขียนในที่นี้จะถูกเรียกว่า กราฟ

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ 1.2 นิยามของกราฟ

กราฟที่จะกล่าวถึง ไม่ได้หมายถึง กราฟของความสัมพันธ์ หรือกราฟของฟังก์ชัน แต่กราฟในที่นี้หมายถึง แผนภาพที่ใช้แทนเซตของจุดและเส้นเชื่อมระหว่างจุดใดๆ โดยมีข้อตกลงว่า จุดมุมทุกจุดที่ปรากฏในแผนภาพ เรียกว่า จุดยอด (vertex) และเส้นที่เชื่อมระหว่างจุดยอดสองจุด เรียกว่า เส้นเชื่อม (edge) โดยทั่วไปจะเรียกแผนภาพดังกล่าวนี้ว่า กราฟ หรือ กราฟ G สังเกตไต้ว่า กราฟที่เกิดขึ้น ต้องมีจุดอย่างน้อย 1 จุดแน่นอน แต่เส้นเชื่อมอาจมีหรือไม่มีก็ได้ ดังนั้น จึงให้บทนิยามของกราฟ G

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ 1.2 นิยามของกราฟ

กราฟ G คือ แผนภาพที่ประกอบด้วยเซตจ ากัด 2 เซต คือ เซตของจุดยอด ที่ไม่ใช่เซตว่าง แทนเซตนี้ด้วย V(G) เซตของเส้นเชื่อมที่เชื่อมระหว่างจดุยอด แทนเซตนี้ด้วย E(G)

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ 1.2 นิยามของกราฟ

ตัวอย่างที่ 1 จากกราฟ G ที่ก าหนด จงหา V(G),E(G), |V(G)| และ |E(G)| ของกราฟ 1. G1

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ 1.2 นิยามของกราฟ

ตัวอย่างที่ 1 จากกราฟ G ที่ก าหนด จงหา V(G),E(G), |V(G)| และ |E(G)| ของกราฟ 2. G2

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ 1.2 นิยามของกราฟ

ตัวอย่างที่ 1 จากกราฟ G ที่ก าหนด จงหา V(G),E(G), |V(G)| และ |E(G)| ของกราฟ 3. G3

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ 1.2 นิยามของกราฟ

ตัวอย่างที่ 1 จากกราฟ G ที่ก าหนด จงหา V(G),E(G), |V(G)| และ |E(G)| ของกราฟ 4. G4

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ 1.2 นิยามของกราฟ

ตัวอย่างที่ 1 จากกราฟ G ที่ก าหนด จงหา V(G),E(G), |V(G)| และ |E(G)| ของกราฟ 5. G5

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ 1.2 นิยามของกราฟ

ตัวอย่างที่ 1 จากกราฟ G ที่ก าหนด จงหา V(G),E(G), |V(G)| และ |E(G)| ของกราฟ 6. G6

1.3 กราฟแบบเดียวกัน กราฟใดๆ ที่มี V(G) เท่ากัน และ E(G) เท่ากันด้วย จะให้ถือเป็นกราฟเดียวกัน เช่น จากกราฟ

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

บทที่6 จ านวนเชิงซ้อน 1.3 กราฟแบบเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนภาพแทนกราฟที่มีจดุและเส้นที่ก าหนดให้ 1. จุด a, b, c, d เส้น ab, be, bd, cd 2. จุด a, b, c, d, e เส้น ab, ac, ad, ae 3. จุด m, m, o, p, q เส้น mn, op, no 4. จุด a, b, c, d เส้น ab, cd, dd, bb

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

1.4 ชื่อเส้นเชื่อม การเรียกเส้นเชื่อมที่อยู่ระหว่างจดุสองจดุ อาจใช้ชื่อแทนเส้นเชื่อมนั้นๆ ได้เลย เช่น

เมื่อให้ e1 แทนเส้นเชื่อมเส้นแรกจากจุดยอด A ไปจดยอด B

เมื่อให้ e2 แทนเส้นเชื่อมเส้นที่สองจากจุดยอด A ไปจดยอด B

เมื่อให้ e3 แทนเส้นเชื่อมจากจุดยอด B ไปจดยอด C

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

บทที่6 จ านวนเชิงซ้อน 1.5 เส้นขนาน และ เส้นเชือกวงวน

นิยาม เส้นเชื่อมตั้งแต่ 2 เส้นขึ้นไปที่เชื่อมระหว่างจุดยอดคู ่เดียวกัน จะเรียกว่า เส้นเชื่อมขนาน (parallel edges) เส้นเชื่อมที่เชื่อมจุดยอดเพียงจุดเดียว เรียกว่า วงวน (loop)

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

บทที่6 จ านวนเชิงซ้อน 1.5 เส้นขนาน และ เส้นเชือกวงวน

ตัวอย่างที่ 3 ก าหนดกราฟแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาจ านวนจุดยอด จ านวนเส้นเชื่อม จ านวนเส้นเชื่อมขนาน และจ านวนวงวน

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

บทที่6 จ านวนเชิงซ้อน 1. จ านวนจินตภาพ 1.5 เส้นขนาน และ เส้นเชือกวงวน

ตัวอย่างที่ 3 ก าหนดกราฟแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาจ านวนจุดยอด จ านวนเส้นเชื่อม จ านวนเส้นเชื่อมขนาน และจ านวนวงวน

บทที่6 จ านวนเชิงซ้อน 1.5 เส้นขนาน และ เส้นเชือกวงวน

ตัวอย่างที่ 3 ก าหนดกราฟแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาจ านวนจุดยอด จ านวนเส้นเชื่อม จ านวนเส้นเชื่อมขนาน และจ านวนวงวน

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

บทที่6 จ านวนเชิงซ้อน 1.5 เส้นขนาน และ เส้นเชือกวงวน

ตัวอย่างที่ 3 ก าหนดกราฟแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาจ านวนจุดยอด จ านวนเส้นเชื่อม จ านวนเส้นเชื่อมขนาน และจ านวนวงวน

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

บทที่6 จ านวนเชิงซ้อน 1.5 เส้นขนาน และ เส้นเชือกวงวน

ตัวอย่างที่ 3 ก าหนดกราฟแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาจ านวนจุดยอด จ านวนเส้นเชื่อม จ านวนเส้นเชื่อมขนาน และจ านวนวงวน

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

บทที่6 จ านวนเชิงซ้อน 1.5 เส้นขนาน และ เส้นเชือกวงวน

ตัวอย่างที่ 3 ก าหนดกราฟแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาจ านวนจุดยอด จ านวนเส้นเชื่อม จ านวนเส้นเชื่อมขนาน และจ านวนวงวน

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

1.6 กราฟเชิงเดี่ยวและกราฟหลายเชิง กราฟที่ไม่มวีังวนและไม่มเีส้นเชื่อมขนาดจะเรียกว่า กราฟอย่างง่าย หรือ กราฟเชิงเดี่ยว ส่วนกราฟที่มีวังวนและเส้นเชื่อมขนาดเราจะเรียกว่ากราฟหลายเชิง

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณากราฟต่อไปนี้ว่าเป็นกราฟเชิงเดี่ยวหรือกราฟหลายเชิง

1.6 กราฟเชิงเดี่ยวและกราฟหลายเชิง บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณากราฟต่อไปนี้ว่าเป็นกราฟเชิงเดี่ยวหรือกราฟหลายเชิง

1.6 กราฟเชิงเดี่ยวและกราฟหลายเชิง บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณากราฟต่อไปนี้ว่าเป็นกราฟเชิงเดี่ยวหรือกราฟหลายเชิง

1.6 กราฟเชิงเดี่ยวและกราฟหลายเชิง บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณากราฟต่อไปนี้ว่าเป็นกราฟเชิงเดี่ยวหรือกราฟหลายเชิง

1.6 กราฟเชิงเดี่ยวและกราฟหลายเชิง บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณากราฟต่อไปนี้ว่าเป็นกราฟเชิงเดี่ยวหรือกราฟหลายเชิง

1.6 กราฟเชิงเดี่ยวและกราฟหลายเชิง บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณากราฟต่อไปนี้ว่าเป็นกราฟเชิงเดี่ยวหรือกราฟหลายเชิง

1.6 กราฟเชิงเดี่ยวและกราฟหลายเชิง บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณากราฟต่อไปนี้ว่าเป็นกราฟเชิงเดี่ยวหรือกราฟหลายเชิง

1.6 กราฟเชิงเดี่ยวและกราฟหลายเชิง บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณากราฟต่อไปนี้ว่าเป็นกราฟเชิงเดี่ยวหรือกราฟหลายเชิง

1.6 กราฟเชิงเดี่ยวและกราฟหลายเชิง บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณากราฟต่อไปนี้ว่าเป็นกราฟเชิงเดี่ยวหรือกราฟหลายเชิง

1.7 จุดประชิดและจุดเกิดกับ บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

1.7 จุดประชิดและจุดเกิดกับ บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 1. กราฟ

2.1 ดีกรีของจุดยอด นิยาม ดีกรีของจุดยอด คือ จ านวนครั้งที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดนั้น

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 2. ดีกรีของจุดยอด จุดยอดคู่ และจุดยอดคี่

2.1 ดีกรีของจุดยอด บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 2. ดีกรีของจุดยอด จุดยอดคู่ และจุดยอดคี่

ตัวอย่างที่ 5 จงบอกดีกรีของจุดยอดแต่ละจดุ ผลรวมของดีกรี และจ านวนเส้นเชื่อมของกราฟต่อไปนี้

2.1 ดีกรีของจุดยอด บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 2. ดีกรีของจุดยอด จุดยอดคู่ และจุดยอดคี่

ตัวอย่างที่ 5 จงบอกดีกรีของจุดยอดแต่ละจดุ ผลรวมของดีกรี และจ านวนเส้นเชื่อมของกราฟต่อไปนี้

2.1 ดีกรีของจุดยอด บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 2. ดีกรีของจุดยอด จุดยอดคู่ และจุดยอดคี่

ตัวอย่างที่ 5 จงบอกดีกรีของจุดยอดแต่ละจดุ ผลรวมของดีกรี และจ านวนเส้นเชื่อมของกราฟต่อไปนี้

2.1 ดีกรีของจุดยอด บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 2. ดีกรีของจุดยอด จุดยอดคู่ และจุดยอดคี่

ตัวอย่างที่ 5 จงบอกดีกรีของจุดยอดแต่ละจดุ ผลรวมของดีกรี และจ านวนเส้นเชื่อมของกราฟต่อไปนี้

2.2 ผลรวมของดีกรี จากตัวอย่าง จะเห็นว่า ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ มีค่าเป็นสองเท่าของจ านวนเส้นเชื่อม เนื่องจากเส้นเชื่อมแตล่ะเส้นในกราฟเกิดกับจุดยอดเป็นจ านวน 2 ครั้งเสมอ (เส้นเชื่อมเป็นเส้นที่เชื่อมระหว่างจุด ยอด 2 จุด) ดังนั้น เส้นเชื่อมแตล่ะเส้นจะถูกนับเป็นดีกรีของจุดยอด 2 ครั้งด้วย เช่น เส้นเชื่อม AB จะต้องถูกนับที่จุด ยอด A 1 ครั้ง และที่จุดยอด B อีก 1 ครั้ง นั่นคือ เส้นเชื่อมเพียงเส้นเดียวจะถูกน าไปนับดีกรี 2 ครั้ง ค่าผลรวมของดีกรีท้ังหมดจึงเป็น 2 เท่าของเส้นเชื่อม

บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 2. ดีกรีของจุดยอด จุดยอดคู่ และจุดยอดคี่

2.2 ผลรวมของดีกรี บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 2. ดีกรีของจุดยอด จุดยอดคู่ และจุดยอดคี่

ตัวอย่างที่ 6 ก าหนดกราฟมีดีกรีของจุดยอดต่างๆ ในแต่ละข้อ จงหาจ านวนเส้นเชื่อมของกราฟ

1. 1,2,2,3,3,3 2. 0,1,2,2,3,4 3. 5 3 3 4 4 4

2.2 ผลรวมของดีกรี บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 2. ดีกรีของจุดยอด จุดยอดคู่ และจุดยอดคี่

ตัวอย่างที่ 7 จงตอบค าถามต่อไปนี้ 1. ก าหนดจุดยอดและเส้นเชื่อมของกราฟ G จงเขียนแผนภาพของกราฟ G และหาผลรวมของดีกรีของจดุยอดและจ านวนเส้นเชื่อมในกราฟ V(G) = {A, B, c, D} E(G) = {AA,AB,BC,BD, CD}

2.2 ผลรวมของดีกรี บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 2. ดีกรีของจุดยอด จุดยอดคู่ และจุดยอดคี่

ตัวอย่างที่ 7 จงตอบค าถามต่อไปนี้ 2. กราฟที่มีเส้นเชื่อม 30 เส้น และจุดยอดแต่ละจุดมีดีกรีเป็น 4 จะมีจุดยอดกี่จุด

2.2 ผลรวมของดีกรี บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 2. ดีกรีของจุดยอด จุดยอดคู่ และจุดยอดคี่

ตัวอย่างที่ 7 จงตอบค าถามต่อไปนี้ 3. กราฟ G มีจุดยอด 12 จุด แตล่ะจุดมีดีกรีเท่ากับ 5 แล้ว เส้นเชื่อมทั้งหมดของกราฟนี้มทีั้งหมดกี่เส้น

2.2 ผลรวมของดีกรี บทที่7 ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น 2. ดีกรีของจุดยอด จุดยอดคู่ และจุดยอดคี่

ตัวอย่างที่ 7 จงตอบค าถามต่อไปนี้ 3. กราฟ G มีจุดยอด 12 จุด แตล่ะจุดมีดีกรีเท่ากับ 5 แล้ว เส้นเชื่อมทั้งหมดของกราฟนี้มทีั้งหมดกี่เส้น