View
0
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Math1 By พทรตวเตอร
1
Chapter 4
อนพนธ 4.1 การใชสตรและกฎลกโซ
4.2 อนพนธอนดบสง
4.3 การหาอนพนธของฟงชนกโดยปรยาย
4.4 การหาอนพนธของสมการองตวแปรเสรม
4.5 การหาอนพนธโดยการใชเทคนคการใส ln ( take ln )
…………………………………………………………………………………..
อนพนธของ y = f (x) ทจด x = a เขยนแทนดวย 𝑑𝑦
𝑑𝑥|
𝑥=𝑎 , 𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥|
𝑥=𝑎 , 𝑓(𝑎)′
𝑓′(𝑎) = limx→𝑎
f(x) − 𝑓(𝑎)x − a
Ex. จาก 𝑦 = 𝑥2 − 4 จงหา 𝑑𝑦
𝑑𝑥|
𝑥=2
วธท า
จาก 𝑓′(𝑎) = limx→𝑎
f(x)−𝑓(𝑎)
x−a
𝑓′(2) = limx→2
(x2−4)−(22−4)
x−2 = lim
x→2
(x2−4)
x−2
= limx→2
(x − 2)(𝑥 + 2)x − 2
= lim
x→2 (𝑥 + 2)
= 4
บทนยาม
ให f เปนฟงกชนใด ๆ เราสามารถหา 𝑓′ โดย
𝑓′(𝑥) = 𝑑𝑦𝑑𝑥
= limΔ𝑥→0
Δ𝑦Δ𝑥
= limΔ𝑥→0
f(x + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥)
Δ𝑥
และเรยกฟงกชน 𝑓′ วาเปนอนพนธ (derivative) ของฟงกชน f
Math1 By พทรตวเตอร
2
Ex2. 𝑓(𝑥) = {𝑥2 , 𝑥 ≤ 12𝑥 , 𝑥 > 1
จงหา 𝑓′(1) และ f ตอเนองทจด x = 1 ไหม
วธท า
𝑓′(1) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1
𝑓(𝑥)−𝑓(1)
𝑥−1
พจารณา
𝑙𝑖𝑚𝑥→1−
𝑓(𝑥) − 𝑓(1)
𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
𝑥2 − 12
𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
(𝑥2 − 1)(𝑥2 + 1)
𝑥 − 1= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1− (𝑥2 + 1) = 2
𝑙𝑖𝑚𝑥→1+
𝑓(𝑥)−𝑓(1)
𝑥−1 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1+
2𝑥−1
𝑥−1 =
2−1
0 = ∞ = หาคาไมได
ดงนน 𝑓′(1) หาคาไมได
..................................................................................................................
วธท 2
พจารณา ความตอเนองของ f(x) ท x = 1
1. 𝑓(1) = 𝟏𝟐 = 𝟏
2. 𝑙𝑖𝑚𝑥→1
𝑓(𝑥) โดยพจารณาทางซายและขวา
𝑙𝑖𝑚𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 2𝑥 = 2
𝑙𝑖𝑚𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 𝑥2 = 1
𝑙𝑖𝑚𝑥→1
𝑓(𝑥) หาคาไมได
ดงนน 𝑓(1) ≠ 𝑙𝑖𝑚𝑥→1
𝑓(𝑥) จะไดวา f(x) ไมตอเนองท x = 1
จากทบ.กลบ 𝒇′(𝟏) หาคาไมได
ทบ : ถา 𝑓′(𝑎) หาคาได แลว f จะตอเนองท x = a
ทบ.กลบ : ถา f ไมตอเนองท x = a แลว 𝑓′(𝑎) หาคาไมได
ถา f ตอเนองท x = a แลว 𝑓′(𝑎) หาคาได หรอไม
Math1 By พทรตวเตอร
3
4.1 การใชสตรและกฎลกโซ
กฏการหาอนพนธ
ให u และ v เปนฟงกชนของตวแปร x นนคอ ( u = u(x) และ v = v(x) ) ซงหาอนพนธได
และ c เปนคาคงตวใด ๆ
1. d𝑐
dx= 0
2. d
dx(𝑢 ± 𝑣) =
d𝑢
dx±
d𝑣
dx
3. d
dx(𝑐𝑢) = 𝑐
d𝑢
dx
4. d
dx(𝑢𝑣) = 𝑢
d𝑣
dx+ 𝑣
d𝑢
dx
5. d
dx(
𝑢
𝑣) =
𝑣d𝑢
dx− 𝑢
d𝑣
dx
𝑣2
กฏลกโซ
ถา y เปนฟงกชนของ u คอ ( y = f(u) ) ทหาอนพนธได และ u เปนฟงกชนของ x คอ ( u = f(x) )
ทหาอนพนธไดเชนกน แลว y เปนฟงกชนของ x ทหาอนพนธได โดยท
dy
dx =
𝑑𝑦
𝑑𝑢 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
สตรการหาอนพนธ
1. d
dx𝑥𝑛 = 𝑛xn−1 , เมอ 𝑛 = จ านวนจรง 2.
d
dx𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
3. d
dx𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 ln 𝑎 4.
d
dxln 𝑥 =
1
𝑥
5. d
dxsin 𝑥 = cos 𝑥 6.
d
dxcos 𝑥 = − sin 𝑥
7. d
dxtan 𝑥 = sec2 𝑥 8.
d
dxcot 𝑥 = − ccsec2 𝑥
9. d
dxsec 𝑥 = sec 𝑥 tanc 𝑥 10.
d
dxcsc 𝑥 = − cosec 𝑥 cot 𝑥
11. d
dxsin−1 𝑥 =
1
√1− 𝑥2 12.
d
dxtan−1 𝑥 =
1
1 + 𝑥2
Math1 By พทรตวเตอร
4
จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
Ex1. 𝑦 = 4𝑥5 + 5𝑥 −5
𝑥+
𝑥
5+ 5 − 𝑒𝜋 + 4 sin 𝑥 จงหา
dy
dx
Ex2. 𝑦 = 𝑥2 ln 𝑥 จงหา dy
dx
Ex3. 𝑦 = 2𝑥+1
5𝑥2 จงหา dy
dx
Ex4. 𝑦 = (3𝑥2 + 2𝑥 + 5)(2𝑥 + 1) จงหา dy
dx
Ex5. 𝑦 = (𝑥2 + 2𝑥 + 2)3 จงหา dy
dx
Math1 By พทรตวเตอร
5
Ex 6. 𝑦 = (√1 + 𝑥2 + 5)3
จงหา dy
dx
Ex 6.1 𝑦 = arctan(𝑒𝑥 + 1) จงหา dy
dx
Ex 7. 𝑦 = sin2 𝑥 จงหา dy
dx
Ex 7.1 𝑦 = cos(tan3 𝑥) จงหา dy
dx
Math1 By พทรตวเตอร
6
Ex 8. 𝑦 = tan3(𝑥2) + tan−1 √1 − 𝑥2 จงหา dy
dx
Ex 9. 𝑦 = 𝑒tan−1 √𝑥2+1 จงหา dy
dx
Ex 10. 𝑦 = sin3(2𝑥) + cos (𝑥
3) จงหา
dy
dx
Ex 11. 𝑦 = ln(cos(3𝑥2 + 5)) จงหา dy
dx
Math1 By พทรตวเตอร
7
ขอสอบ ป 58 เทอม 2
ขอ 1 (12 คะแนน) จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
1.1 𝑦 = 7
√𝑥3 + 7𝑥𝑥7 + 77 (4 คะแนน)
1.2 𝑦 =arctan 𝑥
𝑒𝑥 (3 คะแนน)
1.3 𝑦 = arcsin(ln 𝑥 + 1) (2 คะแนน)
1.4 𝑦 = tan(cos3 𝑥) (3 คะแนน)
Math1 By พทรตวเตอร
8
ขอสอบ ป 58 เทอม 2
ขอ 2 (13 คะแนน) จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
1.1 𝑦 = 𝑥88𝑥 + 88 +8
√𝑥8 (5 คะแนน)
1.2 𝑦 =arcsin 𝑥
ln 𝑥 (3 คะแนน)
1.3 𝑦 = arctan(𝑒𝑥 + 1) (2 คะแนน)
1.4 𝑦 = cos(𝑡𝑎𝑛3 𝑥) (3 คะแนน)
Math1 By พทรตวเตอร
9
ขอสอบ ป 57 เทอม 1
ขอ 3 (13 คะแนน) จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
1.1 𝑦 =√𝑥8
𝑥2+ 𝜋33𝑥 + 𝑒𝜋/2 +
1
tan 𝑥 (5 คะแนน)
1.2 𝑦 = 𝑥2 cos 𝑥 + arcsin(3𝑥2) (4 คะแนน)
1.3 𝑦 = log3(𝑒2𝑥 + 3) −arctan 𝑥
𝑥2+1 (4 คะแนน)
Math1 By พทรตวเตอร
10
1.4 อนพนธอนดบสง
ถา 𝑦 = 𝑓(𝑥) แลว 𝑌 = dydx
จะไดวา dY
dx =
d
dx(
dy
dx) =
𝑑2y
d𝑥2 คออนพนธอนดบ 2 ของ 𝑦 = 𝑓(𝑥)
EX1. จงหาอนพนธอนดบสองของ 𝑦 = 4𝑥2 +7
𝑥+
5
𝑥2
EX2. 𝑦 = 1
√𝑥 จงหา
𝑑2y
d𝑥2
EX3. 𝑦 = 1
𝑥 จงหา
𝑑𝑛y
d𝑥𝑛
Math1 By พทรตวเตอร
11
ขอ 1 ก าหนดให 𝑦 =1
5𝑥+1 (ใบงาน LMS)
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = ………………………………………………………..
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 = ………………………………………………………..
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 = ………………………………………………………..
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛 = ………………………………………………………..
ขอ 2 ก าหนดให 𝑦 =1
(1−2𝑥)2 ขอสอบ ป 58 เทอม 2 (5 คะแนน)
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = ………………………………………………………..
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 = ………………………………………………………..
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 = ………………………………………………………..
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4 = ………………………………………………………..
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛 = ………………………………………………………..
ขอ 4 ก าหนดให y = ln(2 − x) ขอสอบ ป 52 (5 คะแนน)
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = ………………………………………………………..
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 = ………………………………………………………..
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 = ………………………………………………………..
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4 = ………………………………………………………..
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛 = ………………………………………………………..
Math1 By พทรตวเตอร
12
1.5 การหาอนพนธของสมการองตวแปรเสรม
ให y = f(t) และ 𝑥 = 𝑔(𝑡) จะไดวา
𝑑2y
dx2 =
𝑑
𝑑𝑥(
dy
dx) =
ddt
( dydx
)
dxdt
………………………………………………………………………………………………………..
Ex1. 𝑥 = 𝑡2 + 𝑒𝑡 , 𝑦 = 𝑡 + 𝑒𝑡 จงหา dy
dx และ
𝑑2y
dx2
dy
dt =
dy
dx ∙
dx
dt
dy
dx =
dy
dt
dx
dt
Math1 By พทรตวเตอร
13
Ex2. (6 คะแนน) ก าหนดสมการองตวแปรเสรม ขอสอบป 58 เทอม 2
𝑥(𝑡) = sec2 𝑡 , 𝑦(𝑡) = ln(tan 𝑡)
จงหา
dx
dt = …………………………………………………………………………………
dy
dt = …………………………………………………………………………………
dy
dx = …………………………………………………………………………………
d2y
dx2 = …………………………………………………………………………………
Ex2. (4 คะแนน) ก าหนดสมการองตวแปรเสรม ขอสอบป 58 เทอม 1
𝑥(𝑡) = sin(𝜋𝑒𝑡) , 𝑦(𝑡) = cos( 𝜋𝑒𝑡)
จงหา
dx
dt = …………………………………………………………………………………
dy
dt = …………………………………………………………………………………
dy
dx = …………………………………………………………………………………
d2y
dx2 = …………………………………………………………………………………
Ex2. (4 คะแนน) ก าหนดสมการองตวแปรเสรม ขอสอบป 57 เทอม 1
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑡 cos 𝑡 , 𝑦(𝑡) = 𝑒𝑡 sin 𝑡
dx
dt = …………………………………………………………………………………
dy
dt = …………………………………………………………………………………
dy
dx = …………………………………………………………………………………
d2y
dx2 = …………………………………………………………………………………
Math1 By พทรตวเตอร
14
4.2 การหาอนพนธของฟงชนกโดยปรยาย ( Implicit Differentiation )
อยในรปของ f(x, y) = C
Ex1 .จงหา dy
dx เมอ 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦3 = 7
ขนท 1 หาอนพนธทงสองขางของสมการ f(x, y) = C เทยบกบ x
ขนท 2 เขยนพจนตาง ๆ ทม dy
dx ไวขางหนงของสมการ และ
เขยนพจน ทเหลอไวอกขางของสมการ
ขนท 3 แกสมการทไดในขนท 2 เพอหา dy
dx
จ ำ
Math1 By พทรตวเตอร
15
Ex2 . จงหา dy
dx เมอ (𝑥 + 𝑦)3 = 𝑥3 + 𝑦3
Ex3 .จงหา dy
dx เมอ cos(𝑥 + 𝑦) = tan−1(
𝑦
𝑥 )
Math1 By พทรตวเตอร
16
4.3 การหาอนพนธโดยการใชเทคนคการใส ln ( take ln )
Ex1. 𝑥𝑦 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥+𝑦) จงหา dy
dx
Ex2. 𝑦sin 𝑥 = 𝑥cos 𝑦 จงหา dy
dx
โจทยตองอยในรป
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
Math1 By พทรตวเตอร
17
Ex3. 𝑥√𝑦+1 = (𝑦 + 1)√𝑥 จงหา dy
dx
Recommended