AC M1 Sistemas Digitais - Algebra de Boole e Circuitos Logicos

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Um sistema digital electrónico também admite estas flutuações da tensão de alimentação de acordo com as características dos componentes electrónicos com que foi construído.

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Em 1938, na altura em que se davam os primeiros passos para o nascimento doscomputadores digitais.

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Também à semelhança do que acontece na escrita de expressões aritméticas, considera-se que o produto lógico (AND) tem prioridade sobre a soma lógica (OR) e podem serutilizados parêntesis para alterar essa prioridade “natural” dos operadores.Não esquecer que os operadores da álgebra de Boole podem ser representadosgraficamente e que é através das portas lógicas que se constroem os circuitos lógicosprojectados.

Com base nos axiomas pode-se construir um conjunto de teoremas que são relaçõesque, uma vez demonstradas com recurso aos axiomas ou outros teoremas, pode seraplicados na manipulação de expressões algébricas.

Propriedades que podem ser utilizadas na simplificação de expressões:

•ComutativaA + B + C = A + C + B = C + A + B = …A . B . C = A . C . B = C . A . B = …

•Associativa(A + B) + C = A + (B + C)(A . B) . C = A . (B . C)

•DistributivaA . (B + C) = (A . B) + (A . C)A + (B . C) = (A + B) . (A + C)

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Prova de que A.0 = 0:A . 0 = A.0 + 0 (A + 0 = A)

= A.0 + A.A (A.A = 0)= A.(0+A) (Prop. Distributiva)= A.A (A + 0 = A)= 0

Prova de que A+A = A:A + A = (A+A) . 1 (A . 1 = A)

= (A+A) . (A+A) (A + A = 1)= A + (A.A) (Prop. Distrib.)= A + 0= A

Prova de que A.A = A:A . A = (A.A) + 0 (A + 0 = A)

= (A.A) + (A.A) (A . A = 0)= A . (A+A) (Prop. Distrib.)= A . 1= A

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Nesta tabela apresentam-se os teoremas por ordem crescente de complexidade, o que permite fundamentar os teoremas maiscomplexos através dos teoremas mais simples devidamente comprovados.

Exemplo:_

Simplifique a seguinte expressão: X . Y . Z + ( Z . Y + Y . X ) . X + X . X + Y + Y + 1 . X . X

Note-se que na resolução vai-se sublinhando a expressão à qual está a ser aplicado o teorema e colocando a negrito o resultado da aplicação do teorema.

RESOLUÇÃO: _X . Y . Z + ( Z . Y + Y . X ) . X + X . X + Y + Y + 1 . X . X =

_APLICANDO T7’ = X. ( Y . Z ) + ( Z . Y + Y . X ) . X + X . X + Y + Y + 1 . X . X =

_APLICANDO T8 = X. ( Y . Z ) + ( Y. (X + Z ) ). X + X . X + Y + Y + 1 . X . X =

APLICANDO T5’ = X. ( Y . Z ) + ( Y. (X + Z ) ). X + 0 + Y + Y + 1 . X . X =

APLICANDO T3 = X. ( Y . Z )+ ( Y . (X + Z ) ). X + 0 + Y + 1 . X . X =

APLICANDO T1’ = X. ( Y . Z ) + ( Y. (X + Z ) ). X + 0 + Y + X . X =

APLICANDO T3’ = X. ( Y . Z )+ ( Y. (X + Z ) ). X + 0 + Y + X =

APLICANDO T8 = X. ((Z .Y) + Y . (X + Z ) ) + 0 + Y + X =

APLICANDO T1 = X . ((Z . Y) + Y . ( X + Z ) ) + Y + X =

APLICANDO T8 = X. ( Y . ( Z + ( X + Z ) ) ) + Y + X =

APLICANDO T6 = X. ( Y . ( Z + Z + X ) ) ) + Y + X =

APLICANDO T3 = X. ( Y . ( Z + X ) ) + Y + X =

APLICANDO T6’ = Y . ( X . ( Z + X ) ) + Y + X =

APLICANDO T9’ = Y . X + Y + X =

APLICANDO T9 = Y + X

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Note-se que isto apenas é verdade quando aplicado a relações de igualdade entre expressões booleanas enão a expressões isoladas.

Os Teoremas têm 3 regras de Absorção:

1ª Regra da Absorção• A + (A . B) = A

A + (A.B) = (A.1) + (A.B) = A . (1+B) = A.1 = A

• A . (A + B) = AA . (A+B) = (A.A) + (A.B) = A + (A.B) = A

2ª Regra da Absorção• A + (A . B) = A + B

A + (A.B) = (A+A) . (A+B) = 1 . (A+B) = A + B

• A . (A + B) = A . BA . (A+B) = (A.A) + (A.B) = 0 + (A.B) = A . B

3ª Regra da Absorção• (A . B) + (A . B) = A

(A.B) + (A.B) = A . (B+B) = A . 1 = A

• (A + B) . (A + B) = A(A+B) . (A+B) = A + (B.B) = A + 0 = A

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Esta regra pode ser generalizada a uma função qualquer com N variáveis, permitindo obter a sua negação apenas substituindo cada variável pela sua negação, e trocando entre si os operadores AND e OR.

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O conjunto de axiomas e teoremas apresentados constituem um conjunto de regras que permitem manipular expressões booleanas.

Estas operações são importantes, no contexto do projecto de sistemas digitais, e consistem na simplificação de expressões de forma a construircircuitos electrónicos que realizem uma função pretendida e que naturalmente, sejam o mais simples possível, melhorando o desempenho e diminuindo os custos de uma implementação.

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Observe como uma expressão pode ser simplificada, melhorando sem dúvida odesempenho e o custo necessário para a construção do sistema digital electrónico.

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Cada uma destas representações tem o seu objectivo e as suas vantagens e desvantagens.

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A expressão assim obtida é chamada de soma canónica ou expressão canónica soma-de-produtos e pode ser tomada como o ponto de partida para construir um circuito lógicoque implemente essa função.

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A expressão assim obtida é chamada de produto canónico ou expressão canónica produto-de-somas e pode ser tomada como o ponto de partida para construir um circuito lógico que implemente essa função.

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