Affine transformations 2

표준 Affine 변환

PowerSaw( 전기톱 )

분류• 강체 변환 (Rigid Transformations)

거리과 각도를 보존 : 이동 , 회전• 변형 (Deformations)

거리 또는 각도가 보존안됨 : 확대 / 축소 , 반사 ,Shear

이동 (Translation)

10Tt

tIT

3 차원에서

1000

100

010

001

z

y

x

t

t

t

y

x

(x’, y’)

(x, y)

rθ

φ

회전 (Rotation)

cossin

sincos

cossinsincos

sinsincoscos

)sin(

)cos(

yxy

yxx

rry

rrx

ry

rx

zz

yxy

yxx

cossin

sincos

기본 (basis) 벡터 i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) 을 대입

100

0cossin

0sincos

zR

cossin0

sincos0

001

xR

cos0sin

010

sin0cos

yR

100

0cossin

0sincos

cos0sin

010

sin0cos

cossin0

sincos0

001

zyx RRR

100

0cossin

0sincos

100

0)cos()sin(

0)sin()cos(1

zR

T(v)

T(v⊥)

v∥ V

r̂

θ

w

v⊥r̂

임의의 축 회전

vrvrw

rrvvvvv

rrvv

ˆˆ

ˆ)ˆ(

ˆ)ˆ(

||

||

T(v⊥)

θ

w

v⊥

10

0T

R

순수 회전 Affine 변환

확대 / 축소• 균등 / 불균등• 점을 확대 / 축소 ?

1000

000

000

000

c

b

a

S

1000

000

000

000

1

1

1

1

c

b

a

S

반사

n̂

v∥

v⊥-v∥-v∥

-v∥v

T(v)

nnvv ˆ)ˆ(||

nnvv

vvvT

ˆ)ˆ(2

2)( ||

vnnI

vnnvvT

)]ˆˆ(2[

)ˆˆ(2)(

10

0)ˆˆ(2Tn

nnIF

Shear Plane

x

z

y

s

1^ n

Shear

P0

P P’

v

s s

vn̂

v)sn̂( v)sn̂(

n̂

Shear Plane

))(ˆ(

)ˆ(

)ˆ()(

0PPnsP

vnsP

svnPPT

•P0 가 원점이라고 가정한다면

110

0)ˆ(

))ˆ((

))ˆ((

)ˆ()(

PnsI

PnsI

OPnsI

OPnsOPPT

T