AGENTI CHE RAGIONANO LOGICAMENTE E.Mumolo mumolo@units.it

AGENTI CHE RAGIONANO LOGICAMENTE

E.Mumolomumolo@units.it

Un agente basato sulla conoscenza deve: Conoscere lo stato del mondo Conoscere come il mondo cambia nel tempo Saper fare inferenze per decidere le proprie azioni

L’agente conosce il mondo attraverso una base della conoscenza (KB)

La base della conoscenza è espressa mediante un Linguaggio formale chiamato Logica

La logica è formata da Sintassi = proposizioni ammissibili del linguaggio Semantica = verità di una proposizione (significato)

Agenti basati sulla conoscenza

Base di conoscenza

Motore inferenziale

Base di conoscenza

Algoritmi indipendenti dal dominio

Contenuto specifico del dominio

• Base di conoscenza (Knowledge Base o KB). Un insieme di rappresentazioni relative ad aspetti del mondo espresso in formule di un Linguaggio di rappresentazione della conoscenza.

• Livello dell’implementazione

• strutture dati

• algoritmi per manipolarle

Logica

• La logica è un linguaggio formale per rappresentare delle informazioni e per trarre delle conclusioni

• La sintassi definisce le proposizioni ammissibili del linguaggio

• La semantica definisce il “significato” delle proposizioni cioè la verità di una proposizione in un mondo

Es. il linguaggio dell’aritmetica:

x + 2 >= y è una proposizione

x2 + y > non è una proposizione

x + 2 >= y e’vera se e solo se x+2 non è minore di y

x + 2 >= y è vera in un mondo dove x = 7, y = 1

x + 2 >= y è falsa in un mondo dove x = 0, y = 6

Il mondo è visto secondo questi oggetti

Tipi di logica

Quello che un agente crede degli oggetti del mondo

Linguaggio

• Differenti tipi di logiche

Logica Proposizionale Fatti vero/falso/sconosciuto

Logica del prim'ordine Fatti, oggetti, relazioni vero/falso/sconosciuto

Logica temporale Fatti, oggetti, relazioni, tempi vero/falso/sconosciuto

Teoria delle probabilità Fatti noti secondo livelli di probabilità

Logica Fuzzy Fatti noti secondo gradi di appartenenza

Definizione di teoria assiomatica

Alfabeto (insieme finito di simboli) Stringa (sequenza di simboli) Fbf=Formule ben formate (sottoinsieme di stringhe) Assiomi (sottoinsieme di fbf) Regole di Inferenza (da insiemi di fbf nuove fbf)

Deve esistere un algoritmo per decidere se Una stringa è una fbf Una fbf è un assioma Una generica fbf è ricavabile da un insieme di fbf

Dimostrazione: sequenza finita di fbf Teorema: l’ultima fbf di una dimostrazione

Sintassi

Inoltre

Altre definizioni:

Definizione di teoria assiomaticaSemantica

Interpretazione: Alle fbf ed ai simboli delle fbf è associato un insieme di significati

Definizione di fbf vera Proprietà della inferenza:

fbf vere fbf vere

Modello di una teoria assiomatica: interpretazione per cui tutti gli assiomi della teoria sono veri

Corollario: i teoremi della teoria fbf veri

Ma: fbf vera in ogni modello della teoria) teorema? NON in generale

Ci sono fbf vere in ogni modello che non sono dimostrabili!

Componenti della Logica Proposizionale

Proposizioni: una qualunque espressione in lingua italiana (o inglese) di cui si possa dire se è vera o falsa Es. “303 è pari” “303” “esiste una soluzione a 3x=10” …

Compito della logica: Conoscere il valore di una proposizione dati i valori delle sue componenti Esaminare come dalla veritò di alcune proposizioni si possa derivare la

verità di altre proposizioni NON è stabilire se e perché sono vere e false!

Connettivi logici ~ negazione implicazione, equivalenza congiunzione disgiunzione ≡ uguaglianza ( ) parentesi

PROPOSIZIONI: una qualunque espressione di cui si possa dire se è vera o falsa

CONNETTIVI LOGICI:~ negazione, implicazione equivalenza,

congiunzione, disgiunzione, ≡ uguaglianza,

FORMULE BEN FORMATE == forme proposizionali (fp) REGOLA DI INFERENZA Modus Ponens (MP):

Da A e AB consegue B ASSIOMI. Se A,B,C sono fp, si possono condensare in tre forme

generali: A1 : (A(BA)); A2: ((A(BC))((AB)(AC))) A3 : ((~B ~A)((~BA)B))

Componenti della Logica Proposizionale

Componenti della Logica Proposizionale

Implicazione e equivalenza Implicazione: . Indica la formula (~)

Falsa solo quando è vera e è falsa. Equivalenza: Indica la formula

( (~) ) ( (~) )

Vera se e solo se e hanno gli stessi valori di verità.

Riepilogo delle Forme proposizionali

Le fbf della logica proposizionale sono forme proposizionali (fp)

Definizione ricorsiva: Ogni simbolo di proposizione è una fp Se A e B sono fp, lo sono anche

~A, AB, AB, A B, A B, A ≡ B

ASSIOMI. Se A,B,C sono fp, si possono condensare in tre forme generali:

A1 - (A(BA))A2 - ((A(BC))((AB)(AC)))A3 - ((~B ~A)((~BA)B))

Inferenza Regola di inferenza Modus Ponens (MP):

Da A e AB consegue B

Esempio: dimostrazione che DD (D è una fp)Partiamo da A1 - (A(BA))e A2 - ((A(BC))((AB)(AC)))Con A=D, B=(DD), C=D si ha:

(D((DD)D))((D((DD)D))((D(DD))(DD)))

Applichiamo MP a queste due fp. Si ha: § ((D(DD))(DD))D’altra parte, da A1 con A=D e B = DD =D si ha §§ (D(DD))Applichiamo MP a § e §§. Si ha (DD). (dimostrazione del Teorema)

Semantica

Simbolo di proposizione valore Vero/Falso Tabella di verità dei connettivi logici

A B ~A AB A B A B A ≡ B

V V F V V V VV F F F F V FF V V V F V FF F V V F F V

Abbreviazioni

I connettivi logici , , ≡ abbreviano alcune fp: (A B) abbrevia (~(A(~B)))

(A B) abbrevia ((~A)B)

(A ≡ B) abbrevia ((AB)

Infatti:

A B ~A ~B A B A B A ≡ B A B B A (A(~B)) (~A)B (AB)

V V F F V V V V V F V V

V F F V F V F F V V V F

F V V V F V F V F V V F

F F V F F F V V V V F V

Tautologie

Una tautologia è una fp vera sotto ogni interpretazione Esempio: gli assiomi sono tautologie. Infatti per il primo e terzo:

TeoremaOgni tautologia è un teorema

CorollarioOgni teorema è decidibile (tavola di verità con 2n

interpretazioni e n simboli)

A B ~A ~B A B B A(A(BA))

(primo assioma)

(~B ~A) (~B A) ((~BA)B)) ((~B ~A)((~BA)B))(terzo assioma)

V V F F V V V V V V V

V F F V F V V F V F V

F V V F V F V V V V V

F F V V V V V V F V V

Tautologie (esempio)

Proposizione: “se o piove o c’è il sole, e non piove, allora c’è il sole” Dimostrazione semantica: la traduco in fbf e verifico se è una

tautologia Fbf: ((P S) ~P) S

P S ~P P S (P S) ~P (P S) ~PS

V V F V F VV F F V F VF V V V V VF F V F F V

Componenti della Logica Proposizionale

Secondo riepilogo delle Forme proposizionali

PROPOSIZIONI: una qualunque espressione di cui si possa dire se è vera o falsa

CONNETTIVI LOGICI:

~ negazione, implicazione equivalenza,

congiunzione, disgiunzione, ≡ uguaglianza,

FORMULE BEN FORMATE == forme proposizionali (fp)

REGOLA DI INFERENZA Modus Ponens (MP): Da A e AB consegue B

ASSIOMI. Se A,B,C sono fp, si possono condensare in tre forme generali: A1 : (A(BA)); A2: ((A(BC))((AB)(AC))) A3 : ((~B ~A)((~BA)B))

Un Teorema è l’ultima fbf di una dimostrazione

Secondo riepilogo delle Forme proposizionali (cont.) Tabella di verità: enumera tutte le possibili interpretazioni della fp (n simboli

2n interpretazioni)

Gli assiomi sono tautologie.

Dimostrazione semantica: tabella di verità

Teorema: Ogni tautologia è un teorema

Corollario: Ogni teorema è decidibile (tavola di verità )

Una tautologia è una fp vera sotto ogni interpretazione.

Dimostrazione sintattica: sequenza finita di fbf a partire dagli assiomi e tautologie

Dimostrazione automatica di teoremi

Tautologie notevoli della Logica Proposizionale

Prop. Commutativa a b ≡ b a a b ≡ b a

Prop. Associativa (a b) c ≡ a b c) (a b) c ≡ a b c)

Prop. Distributiva a b c) ≡ (a b) (a c) a b c) ≡ (a b) (a c)

De Morgan 1,2: ~(a b) ≡ (~a ~b ); ~(a b) ≡ (~a ~b )

Contrapposizione a b ≡ ~b ~a

Risoluzione unitaria Da ~b e (a b) segue a

Eliminazione di Congiunzione a b a a b b (da a e b deriva a o b)

Aggiunta di Disgiunzione a a b b a b(da a o b deriva a b)

Esercizi

Dimostrare semanticamente e sintatticamente che

(~x ~(y ~z)) x ~(y z)) ≡ ~x ~y ~z Semanticamente:

Sintatticamente:(~x ~(y ~z)) x ~(y z)) ≡ (x (~y z)) ~x (~y ~z)) ≡~(x (~y z)) ~x (~y ~z)) ≡ ~(x ~y z) ~x ~y ~z) ≡(~x y ~z) ~x ~y ~z) ≡ (~x ~x ~y ~z) (y ~x ~y ~z) (~x ~x ~y ~z) ≡(~x ~y ~z) (~x ~y ~z) ≡ ~x ~y ~z

x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1

(~x ~(y ~z)) x ~(y z)) 1 1 1 1 1 1 1 0

Esercizi

Dimostrare sintatticamente e semanticamente che

(x ~(y z)) (x (y z)) è una tautologia

Semanticamente:

(x ~(y z)) (x (y z)) ≡ ~ (x (~y ~z)) (x (y z)) ≡

(~x ~(~y ~z)) (x (y z)) ≡ (~x (y z)) (x (y z)) ≡

~x (y z) (x (y z) ≡ (~x x) (y z) ≡ ~x xSemanticamente:

x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1

(x ~(y z) (x (y z)) 1 1 1 1 1 1 1 1

Verificare la seguente equivalenza: (a b) ~(a c) ≡ ~(a bc)

Per definizione: indica la formula (~) quindi

(a b) ~(a c) ≡ ~ (a b) ~(a c) ≡ per De Morgan: (~A ~B ) ≡ ~(A B) ≡ ~( (a b) (a c) ) ≡ ~( a b a c ) ≡ prop. Commutativa ≡ ~( a a b c ) ≡ ~( a b c )

Verificare se la fp (ab) ((a~b) ~a) è una tautologia(ab) ((a~b) ~a) per def. ≡ (~a b) ((~a ~b) ~a) ~(~a b) (~(~a ~b) ~a) ≡ ~(~a b) ( (a b) ~a) ≡ (a ~b) ((a b) ~a) ≡ (distributiva) (a ~b) ((a ~a)b ~a) ≡(a~b)b~a) ≡ (commutativa) (a~b)~ab) ≡ (DeMorgan) (a~b)ab) ≡ Vero

D’altra parte, con la tabella di verità

A B (A B ) (A~B) ( B) ~A ) fp

V V V F V V

V F F V F V

F V V V V V

F F V V V V

Esercizi

Dimostrare il seguente teorema:Se (c b) a (Prima Ipotesi ) e ~b (Seconda ipotesi ) allora: a

Dimostrazione:1- (c b) a prima ipotesi2- (c a) (b a) prop. Distributiva3- (b a) Eliminazione di congiunzione4- ~b a Equivalenza logica a (3)b seconda ipotesi6- a M.Ponens da (5) e (4)

Altra dimostrazione:1- ~ b seconda ipotesi2- ~ b (~ b ~ c) Aggiunta di disgiunzione3- ~ b ~ c M. Ponens da (1) e (2)4- ~(b c) De Morgan a (3)5- (c b) a prima ipotesi6- ~(c b) a equiv. logica a (5)7- a M. Ponens da (4) e (6)

Esercizi

Dimostrare il seguente teorema:Da (~a (b c)) (prima ipotesi) e (~a ~b) (seconda ipotesi) deriva c

Dimostrazione:(1) ~a ~b Ipotesi 2(2) ~a eliminazione di congiunzione(3) ~a (b c) Ipotesi 1(4) b c M. Ponens da (2) e (3)(5) ~ b c Definizione di implicazione (4)(6) ~ b Eliminazione di congiunzione da (1)(7) c M. Ponens da (5) e (6)

Nota: la tesi si trova solo nella conseguenza della 1a ipotesi un buon candidato è MP.

Esercizi

Dimostrare informalmente il seguente teorema:Da (a b c) (prima ipotesi) e (a b) c (seconda ipotesi) deriva c

La seconda ipotesi dice che c, la tesi, puo essere dedotta dalla proposizione(a b). La prima ipotesi, dice che c puo essere dedotta da ~(a b). Quindi, si può dire che c e vera indipendentemente dalla veridicita di a b.Quindi la tesi è vera per ogni possibile valore di a b.

Esercizi

Dimostrare il seguente teorema:Da a (prima ipotesi) e (~a c) ~b (seconda ipotesi) si deduce ~b.

Dimostrazione:(1) (~a c) ~b ipotesi 2(2) ~ (~a c) ~b Definizione di implicazione (1)(3) (a ~c) ~b De Morgan (2)(4) a ipotesi 1(5) a ~c Introd. di disgiunzione (4)(6) ~b Modus Ponens da (3) e (5)

Esercizi

Esempio: il robot Cartesiano CART Scopo: CART si muove in un ambiente. NON deve investire le

persone ma DEVE raccogliere del materiale Scenario:

Il mondo è diviso in caselle CART può muoversi solo secondo gli assi cartesiani, di casella in casella Ci sono delle caselle dove ci sono persone: CART non deve andare in quelle

caselle per motivi di sicurezza! Ci sono caselle con pavimento scivoloso: CART si perde in quelle caselle!

Percezioni: CART ha tre sensori S,P,M con i quali percepisce che:

S: Un quadrante adiacente in direzione orrizzontale o verticale è scivoloso

P: In un quadrante adiacente in orrizzontale o verticale c'è una persona

M: Nel quadrante attuale c'è materiale da raccogliere

Azioni: gira sinistra, gira destra, avanza, prendi

Inoltre: P! = c'è una persona, S!= pavimento scivoloso, OK = cella sicura.

V = cella visitata

1,4 2,4 3,4 4,4

1,3 2,3 3,3 4,3

1,2 2,2 3,2 4,2

4,13,12,11,1 A

OK OK

OK

1,4 2,4 3,4 4,4

1,3 2,3 3,3 4,3

1,2 2,2 3,2 4,2

4,13,12,11,1

OK S, OK

OK

V S ?

S ?

OK

V

OK

Alcuni passi di esplorazione...

Percezioni1,1

=[- - -] → (2,1) e (1,2) OK → vado in (2,1)

A

1,4 2,4 3,4 4,4

1,3 2,3 3,3 4,3

1,2 2,2 3,2 4,2

4,13,12,11,1

OK OK

OK

A

V V

Percezioni1,2

=[- P -] → (1,3) e (2,2) NON sicureMa 2,2 non P e non S → vado in (2,2)

a b

c

Percezioni2,1

=[S - -] → (2,2) e (3.1) NON OK→ vado in (1,2)

Ad ogni passo: L’agente percepisce l’ambiente Aggiunge le percezioni alla KB

La visita delle celle (1,1) (2,1) e (1,2) fornisce le seguenti percezioni: ~P1,1 ~S1,1

~P2,1 S2,1

P1,2 ~S1,2

Posizione persona: conoscenza racchiusa in 3 regole: R1: ~P1,1 ~P!1,1 ~P!1,2 ~P!2,1

R2: ~P2,1 ~P!1,1 ~P!2.1 ~P!2,2 ~P!3,1

R3: P1,2 P!1,3 P!1,2 P!2,2 P!1,1

Esempio: il robot Cartesiano CART

Cosa deve fare l’agente? Deve dimostrare dov'è la persona! Dalla KB non è in (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (3,1) L’agente si chiede se è in (1,3). Quindi deve dimostrare la tesi P!1,3

Dimostrazione semantica: 212 possibilità (12 variabili) Dimostrazione sintattica: applicando inferenza!

procedimento meccanico! (automatizzabile)1. ~P!1,1 ~P!1,2 ~P!2,1 (M.Ponens con ~P1,1 e R1)2. ~P!1,1 ~P!1,2 ;~P!2,1 (eliminazione di disgiunzione)

Analogamente si ottiene:1. ~P!2,2 ~P!2,1 ;~P!3,1 (M.Ponens con ~P2,1 e R2 e elim.di disgiun.)

2. (P!1,3 P!1,2 P!2,2) P!1,1 (MP con P1,2 e R3, associat.)

3. (P!1,3 P!1,2 ) P!2,2 (Risoluzione unitaria e 2., associat.)4. (P!1,3 P!1,2 ) (Risoluzione unitaria e 3.)5. P!1,3 (Risoluzione unitaria e 3.)

CVD

Esempio: il robot Cartesiano CART

d

1,4 2,4 3,4 4,4

1,3 2,3 3,3 4,3

1,2 2,2 3,2 4,2

4,13,12,11,1

OK OK

OK

A

V V

V

Percezioni2,2

=[- - -] → (3,2) e (2,3) sicure → vado in (2,3)

Esempio: il robot Cartesiano CART

Continua l'esplorazione in 2,2:

Percezioni2,3

=[S P M] → RACCOLGO MATERIALEContinua l'esplorazione in 2,3:

• Alla fine della esplorazione, CART si accorge che l'ambiente era il seguente:

1,4 2,4 3,4 4,4

1,3 2,3 3,3 4,3

1,2 2,2 3,2 4,2

4,13,12,11,1

start cellascivolosa

cellascivolosa

cellascivolosa

P

P

P, M, S

S S

S

S

S(S!)

(S!)

(S!)

(P!)

Esempio: il robot Cartesiano CART

Problemi dell’agente proposizionale Non riesce facilmente a rispondere a domande del tipo:

“cosa devo fare adesso?” esempio “non andare avanti se c’è una persona di fronte a te”

Non è impossibile, ma diventa troppo complesso: Per il robot cartesiano CART, ho 64 regole. Deve avere conoscenza del passato, es. 100 passi: 6400 regole!

Dovrei avere regole del tipo A1,1 Verso_Est W2,1Avanti

Dovrei avere variabili che rappresentano situazioni logica del prim’ordine: può ridurre 6400 regole a 1

Limiti della logica proposizionale (I)

Le regole che abbiamo scritto devono essere ripetute per ogni quadrato e per ogni orientamento dell’agente.

Se consideriamo una griglia 4*4 e 4 diverse orientazioni dell’agente abbiamo 4*4*4=64 copie della stessa regola.

Un secondo problema riguarda il tempo. Se per t = 0 l’agente

è in [1,1] e vale al tempo t = 1 andrà dimenticato

mentre sara vero se l’agente si sposta in quel quadrato. Dobbiamo cioè tenere conto del tempo.

Dovremo ricorrere a una logica più ricca: la logica dei predicati del primo ordine.

Limiti della logica proposizionale (II)

Logica dei predicati del primo ordineLa logica dei predicati del primo ordine permette di rappresentare:

•Oggetti: persone, cose, numeri etc.

•Relazioni: fratello, maggiore, parte di etc.

•Proprietà: rosso, primo, grande etc.

•Funzioni: successore, somma, padre di etc.

Esempi:

“Uno più due uguale tre” - uno,due,tre sono oggetti, più è una funzione, uguale è una relazione

“Il diabolico Re Giovanni imperversò in Inghilterra nel 1200”

Giovanni, Inghilterra e 1200 sono oggetti, imperversò è una relazione, re e diabolico sono proprietà

•Simboli di variabile: x, y, z

•Simboli di costante: A,B,C,Giovanni

•Simboli di predicato: Tondo, Fratello

•Simboli di funzione: Padre_di, Quadrato

•I soliti connettivi logici più la virgola più le parentesi ( )

•Il quantificatore esistenziale

•Il quantificatore universale Termini: variabile o costante o simbolo di funzione

Formule atomiche: fbf formata da un simbnolo di predicato seguito da una lista di termini es:

Fratello(Riccardo,Giovanni)

Sposati(Madre_di(Riccardo),Padre_di(Riccardo))

Logica dei predicati del primo ordine: sintassi

Formule complesse:

si ottengono dalle formule atomiche usando i connetivi logici

,,,~,

)30,(~)30,(

)30,()30,(

),(),(

GiovanniPiùGiovaneGiovanniPiùGrande

LuigiPiùGiovaneGiovanniPiùGrande

RiccardoGiovanniFratelloGiovanniRiccardoFratello

Logica dei predicati del primo ordine: sintassi

Per dare un significato a una formula bisogna interpretarla come una affermazione sul dominio del discorso.

Un dominio D è un insieme non vuoto (anche infinito) ad es. Insieme di persone, l’insieme dei naturali etc.

Una interpretazione si ottiene associando

•ad ogni simbolo variabile un elemento di D

•ad ogni simbolo costante un elemento di D

•ad ogni simbolo di funzione una funzione su D

•ad ogni predicato n-ario una relazione n-aria su D

Ad ogni formula atomica si assegna un valore vero o falso

Ad ogni formula complessa si assegna un valore vero o falso utilizzando le tavole di verita

Logica del primo ordine: semantica

Esempio di interpretazione

Sia data la formula P(a,f(b,c))

Una possibile interpretazione è:

D è il dominio degli interi

•a è l’intero 2

•b è l’intero 4

•c è l’intero 6

•f è la funzione addizione

•P è la relazione maggiore di

Questa formula ha valore falso

Se a è l’intero 11 la formula assume valore vero

Logica del primo ordine: semantica

)0,()(

)0,100(...)0,2()0,1()0,0(

xPx

PPPP

Quantificatore universale:

supponiamo che P sia la relazione MaggioreUguale

Quantificatore esistenziale:

supponiamo che Q sia una qualche proprietà

)()(

)...()()(

xQx

cQbQaQ

Logica del primo ordine: variabili e quantificatori

)()()()(~

)()()()(~

eequivalenz segeunti le Valgono

x)a dipende esiste chey elemento(l'

),())((

),())((

annidati toriQuantifica

xWxxWx

xWxxWx

yxPyx

yxPyx

Logica del primo ordine: variabili e quantificatori

),(

:inferisce si

),(),(

:da

y)),Genitore(px)(p,p)Genitore(yxy)o(x,y)(Fratell(x,

c)),Genitore(pp)(g,p)Genitore(c),c)(Nonno(g(g,

p)Figlio(c,c)(p,c)Genitore(p,

c),Genitore(mFemmina(m)c)c)Madre(m,(m,

PARENTELE

LucaMarioFratello

LucaGiovanniGenitoreMarioGiovanniGenitore

Logica dei predicati del primo ordine

Assiomi di una teoria del prim’ordine

Stessi della logica proposizionale

A1 - (A(BA))A2 - ((A(BC))((AB)(AC)))A3 - ((~B ~A)((~BA)B))

Poi:A4 – più tardiA5 - ((x)(AB)(A((x)B)))

Poi:

A6… gli assiomi propri della teoria

Assiomi di una teoria del prim’ordine

Regole di inferenza MP: da A e AB segue B Generalizzazione: da A segue ((x)(A)

Abbreviazioni; Stesse della logica proposizionale:

(A B) abbrevia (~(A(~B))) (A B) abbrevia ((~A)B) (A ≡ B) abbrevia ((AB)

Poi: ((x)A) abbrevia (~(((x)(~A)))

Esempio di teoria del prim’ordine

Teoria elementare dei numeri: Assiomi propri della teoria:

A6 - x1=x2 (x1=x3x2=x3)A7 - x1=x2 x1+1 = x2+1A8 - 0 (x1)+1A9 - (x1)+1=(x2)+1 x1=x2A10 - x1+0=x1A11 - x1+(x2+1)=(x1+x2)+1A12 - x1-0=x1A13 - x1*(x2+1)=(x1*x2)+x1A14 - A(0) ((x)(A(x) A(x+1)) (x)A(x)) //principio di induzione

Esempio di teoria del prim’ordine

Teoria elementare dei numeri: alcuni teoremi:A6’ - t = r (t = s r = s)…A10’ - t+0=t… Teorema 10.1: t=t

Dim. t+0=t; i) (t+0=t) (t+0=t t=t); con MP (da A e AB consegue B):(t+0=t t=t); ii)con MP da i) e ii): t=t cvd

Teorema 10.1: t=r r=t Dim. da A6’: t=r (t=tr=t) i)

Applicando MP alla tautologia (t=r(t=tr=t)) (t=t(t=rr=t)) e a i): t=r (t=rr=t) ii)

Applicando MP a 10.1 e ii):t=r r=t cvd

Esempio di applicazione robotica

Dal Teorema di completezza (Goedel 1930):Se tutte le nostre conoscenze su un argomento possono essere messe in forma di assiomi, tutti i teoremi (conseguenze) possono essere ricavate meccanicamente

Problema generale: la conoscenza non è sempre assiomatizzabile!

Metodo di risoluzione meccanica di Robinson

Poi: esempio di problema robotico: Robot esapodo Raccogliere oggetti ad una certa altezza

Metodo di risoluzione di Robinson

Conoscenza assiomi

Riduciamo gli assiomiforma normale(x)(y)(P(y)~(y)(Q(x,y)P(y))) prima riduzione: (x)(y)(~P(y) ~(y)(~Q(x,y) P(y))) seconda riduzione: (x)(y)(~P(y) (y)(Q(x,y) ~ P(y))) cambiamo i nomi delle variabili se conflitti: (x)(y)(~P(y) (z)(Q(x,z) ~ P(z))) spostiamo i quantificatori: (x)(y) (z)(~P(y) (Q(x,z) ~P(z))) e usiamo la associatività: (x)(y) (z)((~P(y) Q(x,z)) ~P(y)~P(z)))cambiamo l-effetto di (z( con una funzione z=g(x,y): (x)(y) (~P(y) (Q(x, g(x,y)) ~P(y)~P(g(x,y))))FORMA Normale: {~P(y) (Q(x, g(x,y), ~P(y)~P(g(x,y)}

Dimostrazione del teorema per assurdo: Insieme di fbf formato da assiomi speciali, ipotesi, negazione del teorema

Formula ottenuta per risoluzione da due formule date: Sostituzione di argomenti per rendere i due predicati uguali e si unisce al resto

Metodo di Robinson: tutte le coppie di bfb vengono risolte e vengono aggiunte all’insieme di fbf. Se si ottiene una fbf vuota il teorema è dimostrato

Esempio: Robot esapodo

Il robot si muove in un mondo dove c’è una scatole e ci sono oggetti appesi ad una certa altezza

Gli oggetti possono essere presi solo se il robot sale sulla scatola Il compito del robot è di raccogliere tutti gli oggetti appesi Teorema: qual è la sequenza di operazioni? Problema: il robot cambia il mondo assiomi variabili (stato del mondo) Azioni possibili: muovere un oggetto, arrampicarsi, afferrare

Variabili; M (il robot) S(stato) B (oggettp) P(punto) Operatori

muovi(M,B,P,S) Arrampicati(M,B,S) Afferra(M.B,S)

Assiomi: descrivono lo stato del mondo Predicati:

mobile(x) se x può essere spostato In(x,y,S) Scalabile(x,y,S) Raggiungibile(x,y,S) Ha(x,y,S) Sopra(s,y,S)

Teorema: (S) Ha(robot,oggetto,S)

Dimostrazione ottenibile con Robinson: Lo stato cercato è ottenuto da S0 dopo che

il robot ha mosso la cassa sotto l’ oggetto, si e’ arrampicato sull cassa, ha afferrato l’oggetto

Esempio: Robot esapodo