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teorie analiza
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Limite de funcii Analiza matematic, cls. a XI-a Virgil-Mihail Zaharia
1
Limite de funcii Notaii: f :DR, DR, - punct de acumulare a lui D;
1. Definiii ale limitei
Definiia 1.1. R,)(lim =
llxfx
, dac pentru orice vecintate V a lui l exist o vecintate
U a lui astfel nct xDU, x, s rezulte f(x)V. Definiia 1.2. R,)(lim =
llxf
x , dac pentru orice ir (xn)n0, xnD\{}, avnd
=
nn
xlim rezult lxfn
=
)(lim (criteriul cu iruri);
Definiia 1.3. R,)(lim =
llxfx
, dac >0, >0 astfel nct xD\{} i x - <
rezult f(x) - l< ; Definiia 1.4. lxf
x
=
)(lim
,dac ls= ld=l, unde )(lim xfl
xx
s
= .
2. Operaii cu limite de funcii
f :DR, g:DR, - punct de acumulare a lui D, 1)(lim lxfx
=
, 2)(lim lxgx
=
, l1,l2R;
1 2
1 2
1
12
2
1. ( ( ) ( )) ;
2. ( ) ( ) ;
3. ( ) ;
( )4.daca 0, .
( )
lim
lim
lim
lim
x
x
x
x
f x g x l l
f x g x l l
af x a l
lf xl
g x l
+ = +
=
=
=
3. Limite tip
nnn
nnn
x
aaaaxaxa +++=+++
...)...(lim.11
101
10
;lim)...(lim 01
10n
xn
nn
x
xaaxaxa
=+++
mmm
nnn
mmm
nnn
x bbb
aaa
bxbxb
axaxa
+++
+++=
+++
+++
...
...
...
...lim.2 1
10
110
110
110
;lim...
...lim
0
0
110
110
m
n
xmmm
nnn
x xb
xa
bxbxb
axaxa
=
+++
+++
2,,,lim.3 = +
nNnRx nn
x
; =
n
x
xlim , =+
12lim
n
x
x ;
4. }1{\,,lim*+
= RaRaa x
x
; =
x
x
alim , 0lim =
x
x
a , dac a > 1;
Limite de funcii Analiza matematic, cls. a XI-a Virgil-Mihail Zaharia
2
0lim =
x
x
a , =
x
x
alim , dac 0 < a < 1;
5. }1{\ finita, 0,logloglim*+
>= Rx aa
x
; =>
xa
xx
loglim
00
i +=
xax
loglim dac a
> 1; +=>
xa
xx
loglim
00
i =
xax
loglim dac 0
tgx
x
x
lim
2
2
;
=>
ctgx
xxlim
00
, ==
aZna
xx
n
x
10. ;)1(lim,1
1lim
1
0
exex
x
x
x
x
=+=
+
11. ;1)1ln(
lim0
=+
x
x
x
12. 0,ln1
lim0
>=
aa
x
a x
x
,
13. Rrrx
x r
x
=+
,
1)1(lim
0
.
Limite de funcii Analiza matematic, cls. a XI-a Virgil-Mihail Zaharia
3
LIMITELE FUNCIILOR ELEMENTARE
1) FUNCIA PUTERE RRf : , f(x) = xn, unde n numr natural nenul +=
+
n
xxlim +=
n
xx2lim =+
12lim nx
x
Exemple:
a) +=+
5lim xx
b) +=+
35lim xx
c) =
35lim xx
d) +=
45lim xx
c) =+
65lim xx
, pentru c ( ) =+ 55 6x
d) =+
210lim xx
, pentru c ( ) =+ 1010 2x
2) FUNCIA RADICAL ( DE ORDIN 2) f:[0,) R , f (x) = x +=
+x
xlim
Exemple:
a) +=++
102lim xx
, pentru c ( ) +=++=+++ 10102102x
b) +=
20lim 2xx
, pentru c ( ) +=+= 202020 22x
3) FUNCIA EXPONENIAL RRf : , f(x) = ax, unde a = baz, a > 0, a 1
+=+
x
xalim , dac a > 1 ( adic baz supraunitar)
0lim =+
x
xa , dac a ( )1,0 , ( adic baz subunitar )
Exemple:
a) +=+
x
x3lim , pentru c a = 3 > 1
b) +=
x
x
25,4lim , pentru c a = 4,5 > 1, iar -2x ( ) += 2
c) +=++
108lim xx
, pentru c a = 8 > 1 d) +=+
710lim xx
, pentru c a = 10 > 1
e) 07,0lim =+
x
x, pentru c a = 0,7 < 1 f) 0
2
1lim
5
=
+
+
x
x, pentru c a = 15,0
2
1=
g) 04
3lim
92
=
+
x
x, pentru c a = 175,0
4
3= , iar 2x-9 ( ) +=+=+ 992
4) FUNCIA LOGARITMIC ( ) Rf +,0: , f(x) = ln x ( logaritmul natural, n baza e=2,7..., numrul lui Euler ) +=
+x
xlnlim
Exemple:
a) +=++
)102ln(lim xx
, pentru c ( ) +=++=+++ 10102102x
b) +=+
)108ln(lim 5xx
, pentru c ( ) +=+=+ 10108108 5x
c) +=+
)102ln(lim xx
, pentru c -2x+10 ( ) +=++=+ 10102
Limite de funcii Analiza matematic, cls. a XI-a Virgil-Mihail Zaharia
4
d) +=
)12ln(lim 4xx
, pentru c 2x4-1 ( ) ( ) +=+=+= 11212 4
Exerciii: S se calculeze urmtoarele limite (explicnd rezultatul gsit):
1) +x
lim 3x+5
2) +x
lim 0,32x
3) +x
lim 4,53x-6
4) +x
lim
x5
4
1
5) +x
lim 2x10
6) +x
lim -30x4 7)
+xlim ln(x+2) 8)
+xlim ln(x-8)
9) +x
lim ( 1007293 )103ln(8,08,2102 xxx xx +++++ )
10) +x
lim 996 x 11) +x
lim 10026 x 12)
+xlim ( 2
x + 0,5
x + ln x + x )
13) x
lim 2-5x
14) x
lim 2x6 15)
xlim -2x
3 16)
xlim -3x
4
17) x
lim 0,2-3x+10
18) x
lim 0,368-x
19) x
lim
79
5
2+
x
20) x
lim 64 +x
21) x
lim 34-8x
22) x
lim 1,5-4x-7
23) x
lim 2,8-x
24) x
lim 3,87-x
25) x
lim ln(8-2x) 26) x
lim ln(-10x+10) 27) x
lim ln ( -7x5 +8)
28) x
lim ln( -20x21
-300) 29) x
lim 320 + x 30) x
lim 1023 + x
31) x
lim -2 x 32) +x
lim -3ln(x+10) 33) +x
lim -2 10+ x
34) +x
lim x
4
5 35)
+xlim
x
5
4 36)
+xlim ( )72ln
4
2+
x
37) +x
lim 98
7+
x 38)
+xlim
x
3 39) +x
lim -2x 40)
+xlim (-5)
2x
Limite de funcii Analiza matematic, cls. a XI-a Virgil-Mihail Zaharia
5
LIMITELE FUNCIILOR POLINOMIALE I A FUNCIILOR RAIONALE 1)LIMITE DE FUNCII POLINOMIALE
Exemple de funcii polinomiale:
f(x) = 2x+10, funcie polinimial de gradul I f(x) = x
2+5x-52, funcie polinimial de gradul II
f(x) = x3 x
2 +3x 7, funcie polinimial de gradul III
Deci gradul unei funcii polinomiale este cea mai mare putere la care apare necunoscuta x Fie f(x) = anx
n + an-1x
n-1 + ... + ao o funcie polinomial de gradul n , atunci
limita sa cnd x + este: ( )+=+
nx
axf )(lim
Exemple:
a) +x
lim 2x4-3x
2+6x-9 = 2 ( ) ( ) +=+=+ 24
b) +x
lim -3x5+6x
4+5x
3-7x
2-5x+8 = -3 ( ) ( ) =+=+ 35
2) LIMITE DE FUNCII RAIONALE
Exemple de funcii raionale: f(x) = 53
62
+
x
x, ( )
x
xxf
56
82
= , ( )2
83
+
=x
xxf
Fie f(x) = anxn + an-1x
n-1 + ... + ao o funcie polinomial de gradul n i
g(x) = bixi +bi-1x
i-1 +...+bo o funcie polinomial de gradul i, atunci:
+xlim
( )( )
=xg
xf
i
n
b
a, dac grad f = grad g
0 , dac grad g > grad f +, dac grad f > grad g i numerele an i bi au acelai semn -, dac grad f > grad g i numerele an i bi au semne diferite Exemple:
1) +x
lim3
2
73
62=
x
x, au gradele egale cu 1
2) +x
lim +=+
42
12
x
x, gradul de sus este mai mare, iar numerele 1 i 2 au acelai semn
3) +x
lim =x
x
3
12, gradul de sus este mai mare, iar numerele 1 i -3 au semne diferite
4) +x
lim 0103
52
=+
+
x
x, gradul celui de jos este mai mare
5) +x
lim =+
+403
992 2
x
xx, gradul celui de sus este mai mare, iar numerele -2 i 3 au
semne diferite
Limite de funcii Analiza matematic, cls. a XI-a Virgil-Mihail Zaharia
6
6) +x
lim2
5
32
652
2
=+
x
xx, au gradele egale cu 2
7) +x
lim 078
622
=
xx
x, gradul celui de jos este mai mare
Exerciii pentru munc independent
S se calculeze urmtoarele limite, explicnd rezultatul gsit:
1) +x
lim53
42
+
x
x 2)
+xlim (-2x
3+6x
2+5x-9) 3)
+xlim (4x
5-4)
4) +x
lim76
722 +
x
x 5)
+xlim
42
872
+
x
xx 6)
+xlim
62
5 2
+
x
x
7) +x
lim (6x3-6x
2+9) 8)
+xlim (-2x
2+6x-71) 9)
+xlim (-2x+9)
10) +x
lim793
8922
2
+
+
xx
xx 11)
+xlim
84
462 2
++
x
xx 12)
+xlim
96
52
x
xx
13) +x
lim3
2 6
x
x + 14)
+xlim
106
92
+
x
x 15)
+xlim
76
959 2
+
x
xx
16) +x
lim (6x4+8x-100) 17)
+xlim (-3x
3-6x
2 +6x+8) 18)
+xlim (-8x
2 +5)
19) +x
lim5
92
++
x
x 20)
+xlim
92
74
+
x
x 21)
+xlim
95
72
2
+
+
xx
xx
22) +x
lim65
792 2
++
x
xx 23)
+xlim
105
795 2
++
x
xx 24)
+xlim
776
9 2
+x
x
25) +x
lim86
102
+
x
x 26)
+xlim
752
262
3
+
+
xx
xx 27)
+xlim
724
915
+
x
x
28) +x
lim (-3x2+9x-55) 29)
+xlim (4x
3-9x
2+6x-40) 30)
+xlim (-3x
4-9x
2 +5x-9)
Limite de funcii Analiza matematic, cls. a XI-a Virgil-Mihail Zaharia
7
Nedeterminri :
S se calculeze limitele de funcii:
1) x
limxx
x
52
832 +
+ ; 2)
xlim
42
23
+
+
x
xx ; 3)
xlim
14
5372
2
+
x
xx;
4) x
lim23
23
24
++
xx
xx; 5)
xlim
643
115223
3
+
+
xx
xx; 6)
xlim
52
32
+
x
x;
7) x
lim1
1
+
x
x ; 8)
xlim
1
1
+
x
x ; 9)
xlim
42 +x
x ; 10)
xlim
42 +x
x;
11 ) x
lim1
1
4
2
+
++
x
xx ; 12)
xlim
1
1
4
2
+
++
x
xx ; 13)
xlim
12
2
+x
x;
14) x
lim12
2
+x
x 15)
xlim
5
32
2 +
+
x
x ; 16)
xlim
5
32
2 +
+
x
x ;
17) x
lim)2ln(
)ln(4
2
xx
xx
+
+ ; 18)
xlim
)1ln(
)1ln( 2
+
+x
x
e
e; 19)
xlim
( )xx
xx
52
12
33
+
+;
S se determine parametrii reali a i b, astfel nct :
xlim
+
+bax
x
x
1
12 = 0 ;
Nedeterminri : 0
0
S se calculeze limitele de funcii :
1) 0
limx 236
24
23
2
xxx
xx
++
; 2)
1lim
x 23
12
2
++
xx
x ; 3)
1limx 34
2324
3
+
+
xx
xx ;
4) 1
limx 23
322
24
+
+
xx
xx ; 5)
2limx 23
42
2
+
xx
x ; 6)
1limx 1
1223
2
+
+
xxx
xx;
7) 1
limx 122
3423
2
+
+
xxx
xx ; 8)
2limx 8
43
2
x
x ; 9)
0limx xx
xx
+4
4
;
Limite de funcii Analiza matematic, cls. a XI-a Virgil-Mihail Zaharia
8
10) 0
limx 3x
x ; 11)
0limx 4
34
x
xx + ; 12)
1limx 1
.......2
+++
x
nxxx n ;
13) 1
limx 2)1(
)1(1
x
xnx n; nN* ; 14)
1limx 1
1
n
m
x
x; m , n N* ; m n.
14) 2
3lim
x 1833204
183281223
23
+++
++
xxx
xxx ; 15)
2lim
x 86
4432
2
++
+
xx
xx ;
16)m i p fiind numere naturale, s se afle :
ax
limpp
mm
ax
ax
.
S se afle :
ax
limxaax
xaax22
33
)1()1(
)1()1(
.
Nedeterminri : 0
0
S se calculeze limitele de funcii :
1) 0
limx x
e x
3
12 ; 2)
0limx 1
15
3
x
x
e
e; 3)
1limx 1
13
22
x
e x; 4)
0limx xx
xx
ee
ee
3
2
;
5) 0
limx x
ex
132
; 6)
0limx xx
xx
ee
ee25
46
; 7)
3limx 3
273
x
x
; 8) 0
limx x
a x
1, ( >0);
9) 2
limx 2
42
x
x
; 10) 3
limx 3
644
x
x
; 11) 0
limx x
e x
4
1sin ; 12)
0limx x
e x
6
13sin .
S se calculeze limitele de funcii :
1) 0
limx x
x
7
)31(ln +; 2)
0limx )21(ln
)51(ln
x
x
++
; 3) 0
limx x
xx )31(ln 2+ ;
4) 1
limx x
xx
+
1
)1(ln 24; 5)
0limx )41(ln
)31(ln
x
x
++
; 6) 0
limx x
xe x
2
)21(ln1 ++;
7) 3
limx 3
)2(ln273
+
x
xx; 8)
0limx )5sin1(ln
)3sin1(ln
x
x
++
; 9) 0
limx x
xtg
5
)21ln( +;
Limite de funcii Analiza matematic, cls. a XI-a Virgil-Mihail Zaharia
9
10) 0
limx x
x
3sin
)arcsin1(ln +.
Nedeterminri : 0
0
S se calculeze limitele de funcii :
1) 0
limx x
x
7
13sin ; 2)
0limx x
x
9sin
2sin ; 3)
0limx 2
23
3
)(sin
x
xx ; 4)
0limx 2
2
5
2sinx
x ;
5) 0
limx x
xx 3sinsin ; 6)
0limx x
xx 3sin7sin + ; 7)
0limx x
xx
sin
3sin5sin ;
8) 2
limx 23
)2(arcsin2 +
xx
x ; 9)
0limx 2
)3sin(sin
x
xx ; 10)
2lim
x )23(sin
)2(sin2
2
++
+
xx
xx;
11)3
limx )6(arcsin
)9(sin2
2
+
xx
x ;12)
4limx 16
)45(arcsin2
2
+
x
xx;13)
1limx 1
)1(sin2
x
x.
S se calculeze limitele de funcii :
1) 0
limx
xtg
x
10
5 ; 2)
0limx
xtg
xtg
5
7 ; 3)
0limx
xtg
xtg
, 0.
4) 3
2limx
23
)23(2 +
xx
xtg ; 5)
0limx
xarctg
xarctg
5
2 .
S se calculeze limitele de funcii :
1) 0
limx
xtg
x
sin ; 2)
2
1limx
)14(
)21(arcsin2
xtg
x ; 3)
3limx )9(
)3(arcsin2
xarctg
x.
Nedeterminri : 0
0
S se calculeze limitele de funcii :
1) 0
limx x
x 11 + ; 2)
0limx x
xx + 11; 3)
1limx 1
25
x
x ;
Limite de funcii Analiza matematic, cls. a XI-a Virgil-Mihail Zaharia
10
4) 1
limx 1
1
x
x ; 5)
7limx 49
322
x
x ; 6)
0limx
234
5
+ x
x ;
7) 0
limx
x
x 283 + ; 8)
1limx
2
3532
2
+
++
xx
xx ; 9)
8limx 8
23
x
x ;
10) 64
limx
4
83
x
x ; 11)
8limx 2
529
3
+
x
x ; 12)
4limx
x
x
+
51
53 ;
13) 3
limx 34
62622
22
+
++
xx
xxxx ; 14)
0limx x
xxx ++ 11 2;
15) 1
limx 33 21
1
+
x
x ; 15)
0limx 11
112
3
3
+
+
x
x ; 16)
4limx x
x
+
51
35 ;
17) 2
limx
1514
232
+
+
xx
xx;18)
0limx 11
113
+
+
x
x ;19)
axlim
ax
babx
.
Nedeterminri :
S se calculeze limitele de funcii :
1) x
lim ( )xx 212 + ; 2) x
lim ( )112 22 ++ xxxx ;
3) x
lim ( )3 31 xx + ; 4) x
lim ( )3 233 23 11 +++ xxxx ;
5) x
lim ( )3683 2 xxx ++ ; 6) x
lim x ( )xx 359 2 ++ ;
7) x
lim ( )xxx ++ 32 ; 8) x
lim ( )232 2 + xxx ;
9) x
lim ( )12134 22 +++ xxx ; 10) x
lim ( )13 242 + xxx ;
11) x
lim ( )xxx 213 2 ++ ; 12) x
lim ( )3221 ++++ xxx ;
13) x
lim
+x
x
x
12
3
; 14) 1
limx
313
1
1
xx; 15)
2
lim
x
xx 2sin
1
cos
1;
Limite de funcii Analiza matematic, cls. a XI-a Virgil-Mihail Zaharia
11
16) 0
limx
xx sinsin22
1
2
1; 17)
xlim ( ) ( )
+ 3 23 2 11 xx ;
18) x
lim x ( )xx +12 ; 19) 2
limx
( )
+
231
2
122 xxxx
;
20)
xlim ( )( )xx ln1ln + ; 21)
xlim x ( )[ ]xx ln2ln + ;
Nedeterminri : 1
S se calculeze limitele de funcii :
1) x
lim
x
x
x
+
1
1; 2)
xlim
x
x
x
+ 1; 3)
xlim
x
x
1
1 ; 4) x
lim
12
2
3+
+
x
x
x;
4) 3
limx
( ) 31
413 xx ; 5) x
lim
2
1
12
2x
xx
xx
+
++; 6)
xlim
13
12
32+
++
x
x
x;
7) 0
limx
( )xx5
21 + ; 8) 6
limx
( ) 61
7 xx ; 9) x
lim
x
xx
xx
+
++
1
12
2
;
10) 0
limx
( ) xx 21
2sin1 + ; 11) 2
lim
x
( ) xx 21
sin ; 12) 0
limx
xx1
2
2
+;
13) 0
limx
xxx
1
2
82
+; 14)
0limx
xxx
x
ba1
+;15)
xlim
x
x
xx
4
22
2 x
x
x
++
5
3;
Aflai valorile parametrului a, pentru care :x
lim
x
xx
axx
+
++
23
12
2
= e
16) x
lim
4
2
22
1
1+
+
++x
xx
xxeste : a) e-2 ; b) e ; c) 1 ; d) e2 ; e) e
-1 .
17)1
limx
+
+ xx 11
1
33
este: a) 0 ; b) 1 ; c) 2 ; d) 3 ; e) .
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