View
424
Download
20
Category
Preview:
DESCRIPTION
Analoge Regeltechniek. Ing. Jan W. Bollen. Inhoudsopgave. Doelstellingen Voorkennis Activiteitenplan Studiestof Toetsing. Doelstellingen. Kennismaking met alle elementen die nodig zijn voor een begrip van de analoge regeltechniek - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
1
Analoge Regeltechniek
Ing. Jan W. Bollen
2
Inhoudsopgave
DoelstellingenVoorkennisActiviteitenplanStudiestofToetsing
3
Doelstellingen
Kennismaking met alle elementen die nodig zijn voor een begrip van de analoge regeltechniek
Het gebruik van ontwerp regels van een analoog geregeld systeem in het
s-domein
4
Voorkennis
Een gezond boeren verstand
(Basis)kennis van de wiskunde
Netwerktheorie 1 en 2
5
Activiteitenplan
Theorie afgewisseld met oefeningenAfsluiten met een schriftelijk tentamen (8 punten) en een individueel simulatie rapport (2 punten)Gebruik van 20-sim demo als hulpmiddel
6
StudiestofBasisbegrippen page 1
Modelvorming en blokschema’s page 15
Beschrijving en afbeelding van proceseigenschappen page 49
Basissystemen page 67
Terugkoppeling en stabiliteitpage 89
Poolbanen page 105
Ontwerpcriteria page 139
Ontwerpen van geregelde systemen page 151
7
Hulpmiddelen
Dictaat: RegeltechniekHand-out: PowerPoint presentatieSite: lesmateriaal.saxion.nl/bll (zonder www !)
Dan naar analog control systemsSoftware: 20-sim demo
8
Toetsing
Schriftelijk individueel tentamen (8 punten)
Schriftelijk individueel simulatie rapport (2 punten)
9
1 Basisbegrippen
Ing. Jan W. Bollen
Pagina 1
10
InleidingModerne regeltechnici zijn voornamelijk bezig met het leren begrijpen en het leren beheersen van delen van hun omgeving (systemen).
De systemen hebben een uitstraling- en inwerkingeffect op de gehele omgeving.
11
InleidingDe huidige uitdaging voor regeltechnici is: Het zo natuurgetrouw modelleren en het zo goed mogelijk beheersen van moderne, complexe, samengestelde systemen in allerlei vakgebieden.
B.v. automatisering, verkeer, industrie, maar ook economisch systemen
12
InleidingWat betekent regelen voor technische systemen?
Het ontwerpen van een systeemconfiguratie welke zorgt voor een zo klein mogelijke afwijking (fout) {error (E)} tussen de:
- Ingestelde waarde(n) {request value (R)} en de - Werkelijke waarde(n) {controlled value ( C)}.
13
Inleiding
Regelaar
Regelaar
Proces
ProcesIngestelde waarde
Ingestelde waarde Werkelijke waarde
Geregelde waarde
Gemeten waarde
Vergelijkingsorgaan
Open regelsysteem = sturen
Gesloten regelsysteem = regelen
CER
VB. Vullen van meelzakken
Pagina 4
14
Voor automatische Voor automatische bebeïnvloedingnvloeding
van processen en systemen met als doel:
1.1.KwaliteitsverbeteringKwaliteitsverbetering 2.2.ProcesbeheersingProcesbeheersing
dus geen mensWat is regeltechniek en
Waarom wordt regeltechniek toegepast?
Wat en waarom
15
yproces/systeem
eisen
xx
beperking (= vereenvoudiging): 1 in- en 1 uitgang
Sturen
Kern regeltechniek
Page xxx
Pagina 4
16
T = Temperatuurhardingsoven
eis:
T verlooptvia een gewenst patroon
warmte
T
tijdt1 t2 t3 t4
SturenKern regeltechniek
17
T = Temperatuuroven
eis:
T heeft hooguit een ‘speling’ van 1 graad
warmtetoevoer
T
tijd
omgevingstemperatuur
Sturen
Kern regeltechniek(Externe variabel)
18
T = Temperatuurcollegezaal
eis: T heeft hooguit een ‘speling’ van 1 graad
Airco
T
tijd
aantal mensen lampen
Sturen
Kern regeltechniek
19
Samenvattend:Het doel van de meet- en regeltechniek:
Het laten verlopen van processen volgens een bepaald schema :
1. Zonder terugkoppeling is dit sturen
2. Met terugkoppeling is dit regelen
Procesbeheersing: wat en waarom ?
20
Technische redenen:
• Sommige processen zijn niet zelf regelend (bv versnellen steeds)
• In een bepaald proces kunnen vaak storingen optreden
• Er moet een ingestelde waarde gevolgd worden
Waarom automatiseren ?
21
Economische redenen: • Vaak is het goedkoper• Er wordt betere (constantere) kwaliteit behaald
Sociale redenen:
• Veiligheid, bij gevaarlijke processen• Vermindering van geestdodend en eentonig werk • Comfortabeler bediening
Waarom automatiseren ?
22
Noodzakelijk:1. Informatie uit het proces2. Mogelijkheid om het
proceste kunnen veranderen
METEN
‘REGELEN'
Kern regeltechniek
23
de te sturen grootheidproces/
systeem
eisenJe moet het signaal dus meten
signaal-versterker
meetsysteem
Meten
24
de te sturen grootheidproces/
systeem
eisenJe moet dus ook kunnen ingrijpen:
actuator
signaal-versterker
meetsysteem
vermogens-versterker
actuator
Ingrijpen
25
geregelde grootheid
proces/systeem
eisen
signaal-versterker
meetsysteem
vermogens-versterker
actuator
regelaar
terugkoppelin
terugkoppelingg
automatische
automatische regelkring
regelkring
Regelen met terugkoppeling
26
geregelde grootheid
proces/systeem
eisen
signaal-versterker
meetsysteem
vermogens-versterker
actuator
zoek een passende regelaarregelaa
r
Zoek een passende regelaar
27
geregelde grootheid
proces/systeem
eisen
signaal-versterker
meetsysteem
vermogens-versterker
actuator
regelaar
Automatische regelkring met passende regelaar
Automatische regelkring
met passende regelaar
28
te
Voorbeeld warmte procesOliebadT = temperatuurT0= buitentemperatuurR = warmteweerstandC = warmtecapacitiet
Pagina 10
29
te
P(t) Q(t)
Warmte proces “Statisch”
P = toegevoerd vermogenQ = afgevoerd vermogen
0
0
T TP Q ofwel : P
RT T RP
Statisch gedrag
Pagina 11
30
0
0
T(t) TdT(t) dT(t)P(t) Q(t) C P(t) Cdt R dt
dT(t)RC T(t) RP(t) Tdt
T
T0
T(t)
P(t)
tijd0
Warmte proces “Dynamisch”
P QProcesRoeren
Pagina 13
31
Extra: Lineairisatie en Wiskunde toolbox
Ing. Jan W. Bollen
32
Lineairisatie verantwoordingDe regeltechniek houdt zich bezig met het dynamische gedrag van systemen.
In de praktijk zijn deze systemen niet-lineair.
Indien mogelijk wordt gebruik gemaakt van gelineairiseerde systemen
33
Voordelen :1. Proces benadering2. Eenvoudig rekenen (hand)3. Superpositiebeginsel toepassen
Nadelen :Niet te grote afwijkingen toestaan bij
benadering van de werkelijkheid
1.3.3. LineairiserenPagina 7
34
LINEARIZED MODELS
y
x
y0
x0
0 f(x)
small variations: x x xy y y
0
0
xdxxdfy
x
0
y K x
Lineairiseren benaderingEchte charackterestiek
35
P
U
P0
U0
0
RUP
20
0
Lineairisatie
RU
UP 02
Relatieve fout < 1% oo
UU 100
oo
UU 330
Relatieve fout < 10%
Lineairiseren benadering
Vermogenop werkpunt
36
Om de Laplace transformatie technieken goed te kunnen toepassen moeten wij de berekeningen met integralen “onder de knie” hebben.
Daarnaast kunnen wij deze techniek alleen toepassen op gelineairiseerde systemen
In de eerste sheets volgt een korte samenvatting van de integraal en differentiaal-rekening
Later het hoe en wat van de laplace transformatie
Toolbox Verantwoording
37
k k 1
at at
tt
1t (k 1) t
k+11
ln tt1
2 tt
1e e
ab
b l
f (t) f (t)dt (op constante term na)
n b
Primitieven en integraal
3 4
6t 6 t
tt
1t t
41
ln 441
2 55
1e e
67
7 ln 7
38
2
2
2
sin t -cos t
cos t sin t
1 tan t
cos t1
arcsin t1 t
1 arctan t
1 t
f (t) f (t)dt (op constante term na)
Primitieven en integraal
2
2
2
sin 3 - cos 3
cos 4 sin 4
1 tan 5
cos1
arcsin 61 6
1 arctan 6
1 6
5
39
'h(x) dx f (g(x)g (x))dxf (g(x))dg(x)
substitueren t voor g(x)f (t)dt F(t) C F(g(x)) C
Substitutie methodeBij de substitutiemethode wordt een nieuwe variabele gedefinieerd om zo op een eenvoudige manier tot een oplossing te komen
40
3
2 3
2 3 2
4
2
3
4 2
x( ) dx1 (5 x ) 2x dx21 (5 x ) d(5 x )21 (t) d(t)21 1t C (5 x ) C8 8
5 x
Substitutie methode voorbeeld 1
5+x2 wordt als nieuwe variabele gebruiktDe afgeleide van 5+x^2 daarvan is 2xDie wordt expliciet geschreven zodat de totale formule weer klopt
De nieuwe variable wordt ingevoerd als tDe integraal wordt nu eenvoudig opgelost
t wordt weer vervangen door 5+x2
41
2
22
2
2
x 1 1dx 2x dx1 x 2
1 1 1 1d(1 x ) d(t)2 1 x 2 t
1 1ln(t
1 x
) C ln(1 x ) C2 2
Substitutie methode voorbeeld 2
42
2 2
sin(x) cos(x) dxsin(x) d(sin(x))t dt1 1t C sin (x) C2 2
Substitutie methode voorbeeld 3
43
2 2
1dx ln(x) dxx x
ln(x) d(ln(x))t dt1 1t C (ln(x)) C2
ln(x)
2
Substitutie methode voorbeeld 4
44
BreuksplitsenBij breuksplitsen gaat het erom om een samengestelde functie zodanig op te splitsen in bekende factoren. Eigenlijk is breuksplitsen de omgekeerde bewerking van gelijknamig maken.
Breuksplitsen wordt toegepast om van het S-domein naar het tijd domein te gaan.
Gelijknamig maken
Breuksplitsen
45
Breuksplitsen, rekenregels
46
22
2
2
4t 1 dt waarbij geldt: t t 2 t 1 t+2 t t 24t 1 A B A (t 2) B (t 1)
t t 2 t-1 t 2 t 1 t+2
tellers gelijk: A (t 2) B (t 1) 4t 1 geeft A 1 en B 3
4t 1 1 3toepassen dt dtt t 2 t 1 t 2
ln t 1 3ln t 2 C
Breuksplitsen voorbeeld 1
47
Breuksplitsen oefening 12 verschillende factoren in de noemer
Bereken nu zelf A en B
48
Breuksplitsen oefening 22 samenvallende factoren in de noemer
Bereken nu zelf A en B
49
Breuksplitsen oefening 3Samengestelde factoren in de noemer
Bereken nu zelf A B en C
50
Kwadraat afsplitsenKwadraten hebben de volgende algemene vorm ax2+bx+c=0Soms zijn deze te splitsen in een twee term m.b.v. de ABC formule, maar lang niet altijdMet kwadraat afsplitsen maken we een bekende twee term en een restwaarde en is zo toch op te lossen
2
2
2
2 2
2
2
8 12 0
( 4)
8 16
8 ( 4) 16
12 0
( 4) 28 0
4 28 4 28
( 4)
4 28 4
16
28
x x
te herkennen x
maar dat is x x
zodat x x x
substitueren
geeft x
x of x
x o
x
f x
51
Kwadraat afsplitsen voorbeeld 1
52
Kwadraat afsplitsen voorbeeld 2
53
Kwadraat afsplitsen voorbeeld 3
Complexe rekenwijze toepassen:
3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
x of x
x j of x j
x j of x j
TI-89:Csolve(x^2+6*x+12=0,x)
54
2
'f f 'g g 'fg g
Differentiëren: Quotiënt-regelDe quotiëntregel bij differentiëren wordt later gebruikt voor functieonderzoek in het zogenaamde S-vlak t.b.v. stabiliteit van een regelsysteem
55
Diff. Met Quotiënt-regel voorbeelden
d ((a^2-x^2)/(a^2+x^2),x)
Bollen/Witteveen 56
'f .g f 'g g 'f
Differentiëren: Product-regelDe productregel bij differentiëren wordt later gebruikt voor functieonderzoek in het zogenaamde S-vlak t.b.v. stabiliteit van een regelsysteem
57
DifferentiaalvergelijkingEerste orde RC
Ing. Jan W. Bollen
58
Differentiaalvergelijking
differentiaalvergelijkindifferentiaalvergelijkingg
xKyya '
Een differentiaalvergelijking (afk.: DV) is een functie waarin, naast eventueel de functie zelf, een of meer van de afgeleiden van die functie voorkomen.
59
Een lineaire DV is op te lossen in 2 stappenStap 1;Geen signaal op de ingang X=0karakteristieke oplossing of homogene oplossing (deze oplossing beschrijft het overgangsverschijnsel of het dynamisch gedrag)
Lineaire DV oplossen in 2 stappen
0' yyakarakterisiteke karakterisiteke oplossingoplossing
60
Een lineaire DV is op te lossen in 2 stappenStap 2; Wel signaal op de ingang aanbieden, dit geeft de specifieke of particuliere oplossing (deze oplossing beschrijft het stationaire gedrag)
Lineaire DV oplossen in 2 stappen
xyya 'particuliere particuliere oplossingoplossing
61
Bekende ingangssignalen
Spanning of stroom X(t)
Periode T 1fT 21 2Tf
Frequentieen Periode
A
De sinus X(t) A cos( t )A = Amplitude
= hoekfrequentie = fase hoek
t
62
Bekende ingangssignalen
Sprong- of stapfunctieX(t)
t
0 voor t 0X(t)
A voor t 0
Voor A = 1 spreken we van een stapfunctie
A
63
Bekende ingangssignalenImpuls- of Dirac functie
Dirac functie t
X(t)
0
Impuls functie0
t
X(t)
tT
(t) 0 voor t ongelijk aan 0(t) = 1 voor t gelijk aan 0
F(t) x(t) x(t T)met x(t) is stapfunctie
64
Bekende ingangssignalenTalud of rampfunctie
AX(t)=At
X(t)
t0
x(t) At voor t 0
65
Een lineaire DV is op te lossen in 2 stappenDe totale oplossing is de :
som van beide deeloplossingen (superpositiebeginsel)
Lineaire DV oplossen in 2 stappen
0' yyaxyya '
karakterisiteke karakterisiteke ooplossingplossingparticuliere particuliere oplossingoplossing
66
DV voorbeeld RC filter tijdsdomein
)()()( tutudttduRC inout
out Let op de vorm notatie
67
Karakteristieke opl.
0)()( tu
dttduRC out
out
dtRCtu
tdu
out
out 1)()(
RCt
out ebtu
)(
Oplossing :Dit is het Overgangsverschijnselof inschakelverschijnsel
)()()( tutudttduRC inout
out
Karakteristieke opl.
68
Particuliere opl.)(1 siestapresponuin
1outdan ustationaire gedrag
Dit is het stationaire gedrag, dus het uitgangssignaal na een lange tijd is gelijk aan het ingangssignaal, in dit geval een DC level van 1 volt
)()()( tutudttduRC inout
out
Particuliere opl.
1outu 0dtduen out
69
Superpositie )()()( tutudttduRC inout
out
Op t=0 geldt Uout=0, daaruit volgt b = -1
1)( RCt
out ebtu
RCt
out etu
1)(
70
Simulatie )()()( tutudttduRC inout
out
RC=1.2 sec na 1 RC-tijd Uout = 63%
Ingang signaal
Uitgang signaal
71
Opgave om zelf te doen
Bepaal van deze schakeling zelf de differentiaalvergelijking en los die op
72
simulatie
Ingang signaal
Uitgang signaal
73
Analogie
Ing. Jan W. Bollen
74
Analogie
Iin
Iout
Oppervlakte A
R
Hoogte H
dtdHAII outin
inoutout IIdtdIRA Eerste orde DV
outHIR
75
Analogie
dtdUCII out
outin inoutout IIdtdICR
Eerste orde DV
outout
out out
UIR
U I R
76
Analogie
inoutout IIdtdICR
Beide processen volgens een eerste orde DV
inoutout IIdtdIRA
77
Analogie
78
Component
Condensator
Weerstand
Inductor
dttdv
Cti
tdtiC
tvt
)()(
)()(1)(0
Vergelijkingen Complexeimpedantie
Cs1
)(1
)(
)()(
tvR
ti
tRitv
R
t
dttvL
ti
dttdi
Ltv
0
)(1
)(
)()( Ls
Analogie
79
Spanning
Stroom
Vermogen
Weerstand
Zelfinductie
Capaciteit
Snelheid
Kracht
Vermogen
Demper
Veer
Massa
U V mvs
I A
P I U VRA
Vs dIL ;V LA dt
As dVC ; I CV dt
F N
P F v 1 mb Ns
1 21 m ;F k (v v )dtk N
2Ns dvm ;F m
m dt
Analogie
80
2 Modelvorming en blokschema’s Laplace rekenregels
Ing. Jan W. Bollen
Pagina 16
81
Het model
Probleemin tijdsdomein
Oplossingin tijdsdomein
Probleem in complexe vlak
Oplossing in complexe vlak
Directe berekeningvia differentiaal vergelijking
Moeilijk!!!
Complexe berekeningMakkelijk!!!
Transformatie(codering)
Terugtransformatie(decodering)
Mathematisch model
82
Laplace - Inverse Laplace
83
Mathematisch Laplace modelDe differentiaal vergelijking
n n 1 1 m m 1 1
n n 1 1 0 m n 1 0n n 1 1 m m 1 1
d y(t) d y(t) d y(t) d x(t) d x(t) d x(t)a a .......a a y(t) b b .......b b x(t)dt dt dt dt dt dt
De coëfficiënten zijn tijdsonafhankelijk en reëelVoor de oplossingen in het tijdsdomein moeten we eerst de homogene oplossing bepalen en vervolgens de particuliere oplossing.Om de oplossing eenvoudiger te vinden passen we de Laplace transformatie toe.n n 1 1 m m 1 1
n n 1 1 0 m m 1 1 0(a s a s .........a s a )Y(s) (b s b s ...........b s b )X(s)
84
Mathematisch Laplace model
In het s-domein ziet de differentiaal vergelijking er vriendelijk uit.De eigenschappen zijn behouden Bij terug transformatie ontstaan weer de homogene en particuliere oplossingWij zijn geïnteresseerd in de stationaire toestand (particuliere oplossing) Voor analyse van de systemen kijken wij in het frequentie domein
85
Laplace / watWaar dient dit voor? In alle elektrische systemen komen differentiaal-vergelijkingen voor. Dit komt door de spanning/stroom relatie bij spoelen u = L di/dt en bij condensatoren i = C du/dt.Als je vooraf niets weet over het ingangs-signaal u en i moet je differentiaal-vergelijkingen oplossen!Om het oplossen van differentiaalvergelijkingen te vergemakkelijken is door Laplace aangetoond dat je de afgeleiden gewoon als operatoren kan en mag schrijven. Bollen/
Witteveen
86
Laplace / hoeHoe gebruik je het?
Voor d/dt schrijf je dan S, d2/dt2 wordt s2 enzovoorts.Differentiaalvergelijkingen worden dan vergelijkingen met s, s2, s3 enz. waaruit je s moet oplossen.
Bij elektrische netwerken kan je schrijven u = sLi en
i = sCu en gewoon netwerkvergelijkingen (Ohm, Kirchhoff enz) gebruiken.
87
Van frequentie naar Laplace domein
functie t-domein s-domein
stapfunctie A.1(t) A/sdiracstoot (t) 1demping eat.1(t) 1/(s-a)
sinus sin(at) a/(s2+a2)cosinus cos(at) s/(s2+a2)
Laplace-getransformeerden
88
1sx x y
xsdtdxy
s y
xysdtdy
Dus S geeft de bewerking differentieren weer
1/S geeft dan de bewerking integreren weer
Differentiëren en Integreren met s-notatie
89
Inverse LaplaceDe inverse laplacetransformatie is een functie die, in combinatie met de laplacetranformatie, wordt gebruikt om technische tijdsafhankelijke problemen op te lossenDifferentiaalvergelijkingen worden eerst via de laplacetransformatie omgezet in wiskundig eenvoudiger functies. Deze beeldfuncties van de oorspronkelijke tijdsfuncties kunnen in veel gevallen opgelost worden via gekende algebraïsche methoden.
90
Als f(t) een gegeven tijdsfunctie is, dan wordt per definitie de beeldfunctie, F(s), via de Laplacetransformatie bepaald door :
De oorspronkelijke tijdsfunctie kan bepaald worden door de Inverse Laplacetransformatie toe te passen op deze beeldfunctie :
Laplace en Inverse Laplace
91
Van Laplace naar frequentie-domein
Het frequente domein is eenvoudig uit de Laplace getransformeerde af te leiden:
Wij stellen het reële deel nul en wij belanden in het frequentie domein voor sinusvormige signalen
s jreële deel aanwezige dempingcomplexe deel harmonische trillingen
92
differentiaalvergelijking in de s-differentiaalvergelijking in de s-notatienotatie
x proces/systeem y
Soms heb je als wiskundig model Soms heb je als wiskundig model een differentiaalvergelijkingeen differentiaalvergelijking
3 2 5 6
3 2 5 63
3
2
2
y y y y x
d ydt
d ydt
dydt
y x
93
differentiaalvergelijking in de s-differentiaalvergelijking in de s-notatienotatie
xy6dtdy5
dtyd2
dtyd3
xy6y5y2y3
2
2
3
3
d sdt
Met de S-notatie
3 23 2 5 6y ys ys sy x
Dus S geeft de bewerking differentieren weer1/S geeft de bewerking integreren weer
94
ddifferentiaalvergelijkingifferentiaalvergelijking in de s-in de s-notatienotatie
6s5s2s31
xy
xy6s5s2s3
23
23
6s5s2s3123
xy6y5y2y3
overdrachts-functie
95
Werken met laplace operatorenWerken met laplace operatoren
y
15 8 22
2d ydt
dydt
y x
x1s8s15
22
X1s5
2
x u y1s3
1
x2udtdu5 uy
dtdy3
gewoon het product
2 DV’s
1 DV
96
Van Laplace naar tijd-domein
Voor de overgang naar het tijddomein gebruiken we de inverse laplace tabel.
Middels breuksplitsen proberen we de complexe overdracht te schrijven in bekende vormen, die ook in de tabel voorkomen.
Dan kunnen de inverse laplace getransformeerden worden toegepast.
Zodoende kan makkelijk worden overgegaan naar het tijddomein.
97
Van Laplace naar tijd-domein
functie s-domein t-domein
stapfunctie A/s A.1(t) diracstoot 1 (t) demping b/(s-a) eat.b(t)
sinus a/(s2+a2) sin(at) cosinus s/(s2+a2) cos(at)
Inverse Laplace tabel
98
Van Laplace naar tijd-domein voorbeeld
Stap 1Breuksplitsen
Stap 2K1 en K2Berekenen
Stap 3Inverse LaplaceTranformatietoepassen
Er wordt uitgegaan van de overdrachtsformule inclusief de laplace getransformeerde van het ingangssignaal
99
Van Laplace naar tijd-domein voorbeeld
Stap 1Breuksplitsen
Stap 2InverseLaplaceTranformatietoepassen
Er wordt uitgegaan van de overdrachtsformule inclusief de laplace getransformeerde van het ingangssignaal
tetC
sssB
sA
ssssC
5
53
52)(
55/35/2
5)5(2)(
100
Van Laplace naar tijd-domein voorbeeld
Na enig rekenwerk…..
Inverse Laplace transormatie
101
Zelf thuis doen
Bepaal de tijdresponsie van de volgende laplace getransformeerden:
2
2
2
2
1( 1)
33 2
4 12 93
8 16
ss
ss
s ss
s s
102
2.5 Blokschema’s
Ing. Jan W. Bollen
Pagina 38
103
Blokschema’s
+-+
104
VerbindingslijnSignaalwaarde blijft onveranderd.Signaal richting volgens pijl.
x y
X Y
BlokH in het blok geeft het verband aan tusseningangssignaal X en uitgangssignaal Y
YHX
Hx y
Blokschema afspraken en rekenregels
105
Cascade schakelingBlokken in serie beïnvloeden elkaar niet.Voor de overdrachtsfunctie geldt:
1 2Y H HX
H2H1xx y
OptelpuntSommatie van 2 signalen
1 2Y X X
x1
x2
y+
+
Blokschema afspraken en rekenregels
106
AftrekpuntVerschil van 2 signalen
1 2Z X X x2
zx1 +
-
AftakpuntOp alle vertakkingen is dezelfde signaalwaarde aanwezig
x x
x
Blokschema afspraken en rekenregels
107
ParallelschakelingBij parallelle blokken kunnen de overbrengingsverhoudingen worden opgeteld of afgetrokken
H1
H2
x +
+/-y
VereenvoudigingsmethodeBij optellen, aftrekken of vermenigvuldigenvan de afzonderlijke blokeigenschappentot één overdrachtsfunctie, kan het overeenkomstigeblokschema ook vereenvoudigd worden tot een blok.
H1H2x y
1 2Y H HX
Bewerkte overdrachtsfunctie H1H2
Blokschema afspraken en rekenregels
108
Tegengekoppeld systeem
Meegekoppeld systeem
H1
H2
x y+-
H1
H2
x y++
Gesloten systeem metnegatieve terugkoppeling
Gesloten systeem metpositieve terugkoppeling
1
1 2
HYX 1 H H
1
1 2
HYX 1 H H
Blokschema afspraken en rekenregels
109
-G1-G2
G2
G1
+
G1 G2 G1*G2
Blokschema afspraken en rekenregels
110Sheet 09
-G1 + + -
G1
G-11
+ -G1
G1
G1
-+
Vereenvoudiging
111
+G
H1
H2
+
-G
H1-H2
+
-
Vereenvoudiging
112
G2
+
-
outin
Transfer function closed-loop system:
H
G1
in out21
21
1 GHGGG
inout
G GHG G
1 2
1 21
Closed Loop
113Sheet 11
+
-G2
H2
+ -G1
R
H1
C
+
-G2
H2
+ -G1
R
H1
C
G2-1
Manipulatie
114
+ -G2
H2
+ -G1
RG3
H1
CM
Gevraagd: Geef een uitdrukking in letters voor de overdracht c/r
Opdracht
115
+ -G2
H2
+ -G1
RG3
H1
CM
232
32
1 HGGGG
MC
Opdracht
116
+ -G1
H1
PCMR
11
1
1 PHGPG
RC
232
32
1 HGGGG
MCP
Opdracht
117
+ -G1
H1
PCMR
1321232
321
1 HGGGHGGGGG
RC
Antwoord
118
Manipulatie
Y(s)+ G2
H1
-
R(s)+
-
H2
G1
Y(s)G2
1/G1
-
R(s)+
-
H2
G1
H1
Y(s)+ G2
H1
-
R(s)+
-
H2
G1
1/G2
119
Manipulatie
Y(s)G2
1/G1
-
R(s)+
-
H2
G1
H1
Y(s)+ G2
H1
-
R(s)+
-
H2
G1
1/G2
Y(s) G2 .1+ H1G2
R(s)+
-
H2
G1
1/G2
Y(s)G2
1/G1
-
R(s)+
G1 .1+G1H2
H1
120
Manipulatie
Y(s)
G2
1/G1
-
+ G1 .1+G1H2
H1
Y(s) G2 .1+ H1G2
R(s)+
-
H2
G1
1/G2
Y(s) G1G2 .
1+ H1G2
R(s)+
-
H2/G2
Y(s)
H1/G1
-
R(s)+
G2G1 .1+G1H2
121
Manipulatie
Y(s)
H1/G1
-
+ G2G1 .
1+G1H2
Y(s) G1G2 .
1+ H1G2
R(s)+
-
H2/G2
Y(s)R(s)
G2G1 . 1+G1H2 .
H1 G2G1 .G1 1+G1H2
1+ [ ]Y(s)
G1G2 . 1+ H1G2 .
H2 G1G2 .G2 1+H1G2
R(s)
[ ]1+
122
Manipulatie
Y(s)R(s)
G2G1 . 1+G1H2 .
H1 G2G1 .G1 1+G1H2
1+ [ ] Y(s)
G1G2 . 1+ H1G2 .
H2 G1G2 .G2 1+H1G2
R(s)
[ ]1+
Y(s)R(s)
G2G1 .1+ H1G2 + G1H2 Y(s)R(s)
G2G1 .1+ H1G2 + G1H2
Y(s)+ G2
H1-
R(s)+
-H2
G1
123
Complex systeem oefening voor thuis
124
Complex systeem oefening voor thuis
125
Complex systeem oefening voor thuis
126
Complex systeem oefening voor thuis
127
Complex systeem oefening voor thuis
128
Complex systeem oefening voor thuis
Probeer thuis de overdracht Htotaal in BREUKVORM te schrijven
129
3 Beschrijving en afbeelding van proceseigenschappen
Ing. Jan W. Bollen
Pagina 49
130
uout-
+
C
R i
-
+iuin R
uui outin
Schema – blokschema – uitgang = U
1R
- sC1i uout
uin
uout
+ 1outu i
sC
131
kringrechtdoor
uu
in
out
1
sRC
sRCuu
in
out
11
1
11
sRCu
u
in
out
uout
Schema - blokschema
1R
- sC1i
uin
uout
+
132
11
1 11
out
in
out
uu s
us s
t
out euu 1ˆ
Uitgangssignaal - U
133
uout-
+
C
R i
-
+iuin R
uui outin
1outu i
sC
Schema – blokschema – uitgang = I
1R-
sC1
iuin
uout
+
134
kringrechtdoor
ui
in
1
sRC
Rui
in11
1
1sRCsC
ui
in
Schema - blokschema
1R
-
sC1
iuin
uout
+
135
11
1
in
i sCu s
sCis s
11
1
t
t
i C eRC
i eR
een een ss in de teller: in de teller: ingang differentiëreningang differentiëren
Uitgangssignaal I
136
1 11s s
11
ss s
In- en Uit-gangssignalen – U en I1s
137
sLUUI outin
1
I1
Van schema naar model
sL1
-Uin
Uout
+
138
312 III -
I1
I3
I2
Van schema naar model
+
139
31
outU IsC
sC1I3 Uout
Van schema naar model
140
RUI out2 R
1Uout I2
Van schema naar model
141
Van schema naar model
sL1
-
R1
Uin
Uout
sC1I1 I3
I2
Uout
++-
142
Bepaal zelf de formule voor de overdracht Uout/Uin
Opdracht
sL1
-
R1
Uin
Uout
sC1I1 I3
I2
Uout
+ +
-
143
Sprong- of stapfunctieX(t)
t
0 voor t 0X(t)
A voor t 0
Voor A = 1 spreken we van een stapfunctie
A
Ingangssignalen stap1s
144
Impuls- of Dirac functie
Dirac functie t
X(t)
0
Impuls functie0
t
X(t)
tT
(t) 0 voor t ongelijk aan 0(t) = 1 voor t gelijk aan 0
F(t) x(t) x(t T)met x(t) is stapfunctie
Ingangssignalen dirac en impuls
1
nTse
145
Talud of rampfunctie
X(t)
AX(t)=At
t0
x(t) At voor t 0
Ingangssignalen ramp
2
1s
146
Spanning of stroom X(t)
Periode T
1fT 21 2Tf
Frequentieen PeriodeA
De sinusX(t) Asin( t )A = Amplitude
= hoekfrequentie = fase hoek
t
Ingangssignalen sinus
2 2s
147
Beeldpresentaties en basissystemen
Ing. Jan W. Bollen
148
Beeldverbanden t – jw - S domeinen
tijddomeint
Laplacedomeins
frequentiedomeinj
d/dt = j d/dt = s
0+j = s
tijdgrafiek
Bodediagram - Nyquist polen/nulpunten beeld
149
S-plane
0s j
Labda = geeft de mate van inschakeldemping weerOhmega = geeft de eigen trilling weer
Vanuit de differentiaalvergelijking wordt de laplace transformatie toegepast waarbij geld:
s=λ+jw
150
Polen en Nulpunten beeld (s-plane)
De nulpunten zijn die oplossingen van de vergelijking in de teller waarvoor de uitkomst 0 wordt (aangegeven met o)
De polen zijn die oplossingen van de vergelijkingen in de noemer waarvoor de uitkomst oneindig wordt (aangegeven met x)
1 2
3 4 5 6
Nulpunten : s 1; s 6Polen : s 8; s 8; s 3 2 j; s 3 2j
xx
x
xoo
Im-as
Re-as
jω
λ
2 2
s 1 s 6H(s)
s 8 s 6s 13
151
Pole’s Zero’s opdracht
Bepaal zelf uit de figuur de overdrachtH(s)
-2-3-5 +2
+3
-3
+4
-4
152
Pole’s Zero’s frequentie responseImaginary(s): j
LeftHandPlot
RightHandPlot
Real(s):
stable
X - polesO - zeros
unstable
XX
X
X
X
X
X
X
X
X
XX
LHP RHP
153
Pole’s Zero’s frequentie response
+3+3
LeftHandPlot
RightHandPlot
Voor stabiele systemen is het nodig dat alle polen in de LHP liggen !
154
Nyquist - frequentie - amplitude - fase
Het Nyquist diagram (of polair figuur) beschrijft voor
zuiver sinusvormige signalen het verloop van de EINDPUNTEN van de signaalvector. Al deze eindpunten te samen vormen het Nyquist diagram
Er zijn 3 informaties in 1 figuur1. Frequentie2. Amplitude van de vector3. Fase van de vector
Nyquist wordt vaak gebruikt voor stabiliteits-analyses
155
Van S-plane naar Nyquist of Polair Nyquist of Polair diagram
jω
λ
Im{H(jω)}
Re{H(jω)}s-vlak
H-vlak
Wij zijn geïnteresseerd in het zuiver sinusvormige gedrag van het systeem. In de praktijk betekent dit in het S-vlak: λ=0
H(jω) beschrijft het verband tussen in- en uitgang en moet sinusvormig zijn.
00H(s) H j H( j )
amplitude
fase
S-plane
156
Voorbeeld Nyquist
out
in
0
2 2
2
U (s) 1H(s)U (s) 1 sRC
stel volgens de theorie : s j
1Dan : H( j )1 j RC
H(j ) Im H( j ) Re H( j )
1
RC 1
Im H( j )arctan arctan RCRe H( j )
1/Rx y+-
1/sC
157
Voorbeeld Nyquist
out
in
2
U (s) 1H(s)U (s) 1 sRC
1Dan : H( j )1 j RC1H( j )
RC 1
arctan RC
H(j )
0 1 01 1 2 -45
RC 2 0 -90
Linear System : Nyquist Diagram
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2Linear System Re
Y
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
ω=0ω=∞
158
Nyquist amplitude en fasedraai
H(j )
0 1 0
0 -270
159
Relatie Nyquist en step-response
Stepresponse:De hoge frequenties zijn in het tijddomein vertegenwoordigd direct na het begin van de stepDe lage frequenties zijn in het tijddomein vertegenwoordigd “lang” na het begin van de step
160
Bode diagrammen / Amplitude / Fase
Bode diagrammen beschrijven hetzelfde gedrag als de Nyquist diagrammen; het zuiver sinusvormige gedrag van een systeem. Bode presenteert dit gedrag in 2 diagrammen: 1. Bode Amplitude diagram (BAD) [20logH(jw)] en 2. Bode Fase diagram (BFD) [phi]
Vanuit het s-domein betekent dit λ=0.
2 2 Im H( j )20log Re H( j ) Im H( j ) en = arctan
Re H( j )
H(jω) beschrijft het verband tussen in- en uitgang. Voor de tekening van de bode fase en bode amplitude diagrammen hebben wij nodig : - De hoek en de 20 log van de lengte van de vector H(jω)
0 0H(s) H j H( j )
161
Bode diagrammen / Amplitude / Fase
Linear System : Bode Plot
0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000Frequency (rad/sec)
Mag
nitu
de (d
B)
-100-70-40
0
0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg)
-90
-60
-30
0
162
Bode amplitude cascade
163
Bode fase cascade
164
Bode diagrammen in cascade
165
Voorbeeld BodeR
0.6ohmIO1IO2IO3IO4 C1FiV (s) oV (s)
00
i
2 2
2
V (s) 1H(s) stel s jV (s) 1 sRC
1Dan : H( j )1 j RC
20log H( j )
120logRe H( j ) Im H( j )
120log1 RC
Im H( j )0 arctanRe H( j )
0 arctan RC
H(j ) 20log H(j )
0 1 0 01 1 2 -3 -45
RC 2 0 - -90
Linear System : Bode Plot
0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000Frequency (rad/sec)
Mag
nitu
de (d
B)
-100-70-40
0
0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg)
-90
-60
-30
0
166
4 Basis systemen
Constante factorZuivere integratorZuivere differentiatorOnzuivere integratorOnzuivere differentiatorTweede orde systeemLooptijd
Pagina 67
167
H( j ) 20 log H( j )
0 k 20log k 0 k 20log k 0
TabelMathematisch mod ely(t) kx(t)S domeinY(s) kX(s)j domeinY( j ) kX( j ) H( j ) kH( j ) k en 0
20log H( j ) 20log K
De constante factor
168
De constante factor
Pn-beeld
jω
λ
Im{H(jω}
Re{H(jω}
KPolair figuur
Ω (log)
20log|H(jω)|
20logK
Ω (log)
φ
Bodediagrammen
169
Zuivere integrator formule
o
Mathematisch mod ely(t) x(t)dtS domein
X(s)Y(s)s
j domein1Y( j ) X( j ) j1H( j )j1H( j ) en 90
20log H( j ) 20log
o
o
o
H( j ) 20log H( j )
0 90
1 1 0 90
0 90
170
Zuivere integrator tijd en PN
Pn-beeld
jω
λx
171
Zuivere integrator Bode en Nyquist
172
Zuivere differentiator formule
o
Mathematisch mod eldx(t)y(t)
dtS domeinY(s) sX(s)j domeinY( j ) j X( j ) H( j ) j
H( j ) en 90
20log H( j ) 20log
o
o
o
H( j ) 20 log H( j )
0 0 - 90
1 1 0 90
+ 90
173
Zuivere differentiator tijd en PN
Pn-beeld
jω
λo
174
Zuivere differentiator bode en nyquist
175
Onzuivere integrator formule
i
i
i
i
Mathematisch mod ely(t) x(t)dt x(t)S domein
X(s)Y(s)s 1
j domein1Y( j ) X( j )
1 j1H( j )
1 j
H(j ) 20log H(j )
0 1 0 01 1 2 -3 -45
RC 2 0 - -90
2 2 2
1 120log 20logRe H( j ) Im H( j ) 1 RC
Im H( j )0 arctan 0 arctan RCRe H( j )
176
Onzuivere integrator tijd en PN
Pn-beeld
jω
λx
177
Onzuivere integrator Bode en Nyquist
Linear System : Bode Plot
0.01 0.1 1 10 100Frequency (rad/sec)
Mag
nitu
de (d
B)
-80-50-2010
0.01 0.1 1 10 100Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg)
-100
-70
-40
-10
178
Onzuivere differentiator
d
d
d
d
2d
d
Mathematisch mod eldx(t)y(t) x(t)
dtS domeinY(s) (s 1)X(s)j domeinY( j ) ( j 1)X( j ) H( j ) ( j 1)
20log H( j ) 20log 1
arctan
o
o
d
o
H( j ) 20 log H( j )
0 1 0 01 2 3 45
+ 90
179
Onzuivere differentiator tijd en pn
Pn-beeld
jω
λo-1/td
180
Onzuivere diff. bode en NyquistLinear System : Bode Plot
0.01 0.1 1 10Frequency (rad/sec)
Mag
nitude
10
100
0.01 0.1 1 10Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg)
0
30
60
90
181
Tweede orde systeem( )( ) ( ) ( )
1( ) ( )
( )( )
di tUin t Ri t L Uout tdt
met Uout t i t dtC
dUout ti t C zodatdt
2
2
2
2
( ) ( ) ( ) ( )
( 1) ( ) ( )1( )
1
d Uout t dUout tLC RC Uout t Uin td t dt
LCs R
H s
Cs Uout s Uin
LCs RC
s
s
182
2e orde normaalvorm
2
20
2 20 0
1( )1
( )2
H sLCs RCs
normaalvorm
H ss s
W0=eigenfrequentie (resonantie frequentie)B= relatieve dempingsfactor3 situaties: B>1; Overkritische demping
B=1; Kritische dempingB<1; Onder kritische
demping
183
2e orde en demping
2 20 02 0
0 2 1 ;
0 2 1 ;
0 2 ;
karakteristieke vergelijking s sD separate e orde systemen
D samoverkritische demping
kritische demenvalende e orde systemen
D complexe nulpunten opslingerinping
onderkritische dempig
ng
184
2e orde en demping
B>1; overkritische demping2 reele ongelijke polen
B=1; kritische demping2 reele gelijke polen
B<1; onder kritische demping2 toegevoegd complexe polen
20
2 20 0
( )2
H ss s
B=0; 2 zuiver complexe polen; ongedempte hoekfrequentie ofwel oscillatie
185
2e orde PN beeld en Bode BAD en BFD
186
2e orde tijdresponsie
0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
2
nt
c
=0.1
0.20.3
0.50.71.0
2.0
187
Doorschot en piektijd
Doorschot D
20
2 20 0
( )2
H ss s
21D e e
Piektijd tp
pt
188
StijgtijdStijgtijd / Risetime trDefinitie; de tijd die verstrijkt tussen 10% en 90% van de eindwaarde
20
2 20 0
( )2
H ss s
90%
10%
Bollen/Witteveen 189
Settling time response / indication time
De settling time is de tijd die verstrijkt totdat een overgangsverschijnsel binnen vastgestelde grenzen rondom de eindwaarde (statische toestand) verblijft. Speciale vaste waarden zijn:Response time tr < 5% van de eindwaardeIndication time ti < 2% van de eindwaarde
E-5%
E+2%
E-2%
E+5%tr
ti
190
Responsie definities
Settling time
Overshoot
Time
%
Steady StateTransient State
Steady state error
Bollen/Witteveen 191
SimulatieLinear System : Step Response
0 5 10 15Linear System time {s}
Y
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Steady State = 0.833333
overshoot = 55%
rise time = 0.50431
settling time = 7.52068
5 en 6 Terugkoppeling en stabiliteit
Ing. Jan W. Bollen
Pagina 89
193
Terugkoppeling
kG(s)
H(s)
C(s)R(s) +-
C(s) kG(s)R(s) 1 kG(s)H(s)
Bovenstaand system is teruggekoppeld G(s) is het proces, H(s) is de regelaar en k is de variabele versterking
De totaal overdracht is vermeld in de formule
Voor stabiliteitsonderzoek is het van belang om te weten bij welke frequentie de NOEMER = 0 wordt;daarom wordt voor nader onderzoek verder gewerkt met de noemer, (de karakteristieke poolbaanvergelijking) hierin is alle informatie voor stabiliteit vertegenwoordigd
194
Stabiliteit / poolbaanversterking
kG(s)
H(s)
C(s)R(s) +-
C(s) kG(s)R(s) 1 kH(s)G(s)
Wortels van de karakteristieke vergelijking zijn te vinden uit de noemer (alle informatie is hierinvertegenwoordigd).
Karakteristieke vergelijking1 kG(s)H(s) 0
met 180 360 ( 1,2,3, 4...)
Met k is de poolbaanversterkingStel nu k altijd positief dan:
1/k afbeelden in het s-vlak.
-1/k
195
Root-locus
kG(s)
H(s)
C(s)R(s) +-
De root-locus methode poolbaanversterking of ook wel wortellijndiagrammen methode doet onderzoek naar stabiliteit, middels de karakteristieke poolbaan vergelijking van een systeem.
De variabele K laat je variëren van o tot oneindig, zodoende kun je de root loci bepalen en ook zien voor welke K het systeem stabiel is of instabiel wordt
1 kG(s)H(s) 0
196
Root-locus, variatie van kG(s)
kH(s)
C(s)R(s) +-
Voor stabiliteitsonderzoek is de noemer bepalend, hierin zit ook alle informatie van het gehele systeem opgenomen. Met behulp van functieonderzoek kunnen we hieruit de stabiliteit van een systeem bepalen. Er zijn diverse functie-onderzoek regels opgesteld waaruit de gehele functie op een eenvoudige manier grafisch kan worden opgelost
1 kG(s)H(s) 0kG(s)H(s) 1
1G(s)H(s)k
197
A: Root-locus beginpuntenDe beginpunten van de root-loci zijn de polen van de open lus versterkig bij k=0.
( 5)( ) ; ( ) 1( 3)
11 ( ) ( ) 0 ( ) ( )
( 5) 1 0 3( 3)
sG s H ss s
kG s H s G s H sk
s polen bij s en ss s k
( 5) 1( 3)ss s k
198
B: Root-locus eindpuntenDe eindpunten van de root-loci zijn de nulpunten van de openlus versterking bij k=oneindig. Indien er geen nulpunten zijn dan lopen de root-loci asymptotisch naar het oneindige. De nulpunten veranderen niet van plaats of er nu sprake is van een open systeem of een gesloten systeem; dus de terugkoppeling heeft geen invloed op de nulpunten
( 5) 1 5( 3)s nulpunten bij ss s k
( 5) 1( 3)ss s k
199
C: Aantal asymptotenIedere root-loci loopt van een pool naar een nulpunt, indien er minder nulpunten zijn dan is er sprake van een asymptoot. Dus n(polen)-m(nulpunten) = aantal asymptoten. Voor een fysiek systeem zijn er altijd evenveel polen als nulpunten, of meer polen dan nulpunten.
( 5) 1 2 1( 3)
2 1 1
s polen nulpunts s k
asymptoten
( 5) 1
( 3)ss s k
200
D: Richting asymptoten De asymptotische richtingen van de root-loci wordt bepaald door onderstaande formule
2 1 .180waarbij 0,1... n m 1
n m0 1 .180
= 1801
( 5) 1( 3)ss s k
201
n-m=1 φ=180
202
n-m=2 φ=90, φ=-90
203
n-m=3 φ=60, φ=-60, φ=-180
204
n-m=4 φ=45, φ=-45, φ=-135, φ=-135
Conclusie:* De hoeken zijn onderling altijd gelijk* De hoeken verdelen 360 graden in gelijke delen
205
E: Snijpunten asymptoten met reële as
Snijpunten van de asymptoten met reele as (= zwaartepunt) wordt bepaald door de
ligging van de polen en nulpunten volgens:
n m
i 1 j 1A
aantal polen aantal nulpunten
A
polen nulpuntenS
n -m
(0) ( 3) ( 5)S 2
1
( 5) 1
( 3)ss s k
Bollen/Witteveen 206
Linear System : Pole Zero Plot
-8 -6 -4 -2 0 2Re
Im
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
80.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
F: Takken op de reële asAl de punten op de reële as waarvoor geldt dat - wanneer we van rechts naar links over de as gaan – het aantal gepasseerde polen en nulpunten op deze reële as oneven is, behoren tot de poolbaan.
( 5) 1( 3)ss s k
207
G: Vertrek- aankomstpunen reële as
In de poolbaanvergelijking 1+kG(s)H(s)=0 isoleren we de factor k. Voor bepaling van de vertrek of aankomstpunten differentieren we k naar s en stellen de eerste afgeleide =0
'
2
11 kG(s)H(s) 0 kG(s)H(s)
dk d 1 d s(s 3) 0ds ds G(s)H(s) ds s 5
f f 'g g 'fg g
( 5) 1( 3)ss s k
208
G: Vertrek- aankomstpunten reële as
( 5) 1( 3)ss s k
'
2
22
2
2 2
2
f f 'g g 'f d s(s 3) 0g g ds s 5
2s 3 s 5 s 3s 1d s 3s 0 0ds s 5 s 5
2s 3 s 5 s 3s 1 0 s 10s
s 1,8 of
5 0
(s 5) 25 15 0
s 5 10 ofs 8,s
25 10
209
Linear System : Pole Zero Plot
-8 -6 -4 -2 0 2Re
Im
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
80.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
G: Vertrek- aankomstpunten reële as
( 5) 1( 3)ss s k
-8,2 -1,8
210
H: Snijpunt met Imaginaire asOp zoek naar de resonantie frequentie zetten we de poolbaanverglijking van S om in jw (λ=0). Bij resoneren is de totale overdracht oneindig en daarmee de karakteristieke poolbaanvergelijking =0
01 kG(s)H(s) 0 1 kG( j )H( j ) 0 0j
Door nu van de laatst verkregen vergelijking 2 voorwaarden toe te passen, namelijk:Re=0 en Im=0 is zowel de versterkingsfactor k te vinden als de resonatiefrequentie ω zelf.
211
Spelregels root locus, voorbeeld 1De overdrachtfunctie van een volledig teruggekoppeld systeem:
C(s) kR(s) s s 4 s 6 k
normaal vergelijking:1 1
s s 4 s 6 k
R(s) C(s)ks(s 4)(s 6)
+
-
212
Functieonderzoek vb 1
(polen bij k=0) 1 2 3
(nulpunten bij k= )
(aantal polen - aantal nulpunten)
a: beginpunten : s 0;s 4;s 6b: eindpunten : geenc: aantal asymptoten : 3
2 1 .180d: asymptotische richting: waarbij 0,1..
n m
. (n m 1)
60 ; 60 ;180
1 1
s s 4 s 6 k
jω
λx x x0-4-6
213
Functieonderzoek vb 1
n m
i 0 j 0A
e: snijpunten asymptoten:
polen nulpuntenS
n m0 4 6
3,33
f: takken op de reële as:van rechts naar links gaan: oneven p of n=poolbaaneven p of n poolbaan
jω
λx x x0-4-6
λ
jω
x x x0-4-6
214
Functieonderzoek vb 1
3 2
3 2 2
2
b
a
g: Vertrekpunt op de reële as:
(k isoleren) k= s 10s 24s
dk d s 10s 24s 0 3s 20s 24 0ds ds
10
s 1,5
100s 8 03 9
s 3,3 3,1 of s 3,3 3,1
s 5,1; l; ligt
igt niet op de rootlocuop de root locus
s
1 1s s 4 s 6 k
Bollen/Witteveen 215
Functieonderzoek vb 1
3 2
3 2
0
2 3
h: snijpunt met de Imagiaire as s 10s 24s k 0 0j
j 10 j 24 j k 0 0j
(k 10 ) j(24 ) 0 0j
Linear System : Pole Zero Plot
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1Re
Im
-6
-4
-2
0
2
4
60.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
3
2
4,
Im; 24 0
Re; k 10 0
9 en k 2400 en k 0
Bollen/Witteveen 216
Linear System : Pole Zero Plot
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1Re
Im
-6
-4
-2
0
2
4
60.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
Root-loci simulatie voorbeeld 1
-6 -4 0-1,5
K=240W=+4,9
K=240W=-4,9
Bollen/Witteveen 217
Linear System : Pole Zero Plot
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1Re
Im
-6
-4
-2
0
2
4
6
-6
-4
-2
0
2
4
60.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
I: Vertrekhoek bij complexe polen
beschouwde pool overige polen nulpunten
o
i: Vertrekhoek bij complexe polen (willekeurig voorbeeld)
180
180 (arctan arctan ) ( 180 arctan arctan ) 1622
2 3903 6
Bollen/Witteveen 218
J: Aankomst bij complexe nulpunten
beschouwd nulpunt polen overige nulpunten
o
j: Aankomsthoek bij complexe nulpunten (willekeurig voorbeeld)
180
180+ (arctan arctan arctan ) (arctan )2 24 63 5 3
26
Linear System : Pole Zero Plot
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1Re
Im
-6
-4
-2
0
2
4
6
-6
-4
-2
0
2
4
60.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
219
Spelregels root locus, voorbeeld 2
R(s) C(s) 2
k s 2s (s 4)
+
-
2
k s 2C(s)R(s) s s 4 k s 2
2
2
normaal vergelijking:
s s 4 k s 2 0
dus :s 2 1
s s 4 k
220
Functieonderzoek vb 2
(polen bij k=0) 1 2 3
(nulpunten bij k= ) 4
(aantal polen - aantal nulpunten)
a: beginpunten : s 0;s 0;s 4b: eindpunten : s = 2c: aantal asymptoten : 2
2 1 .180d: asymptotische richting: waarbij 0,1..
n m
o o o o
. (n m 1)
0 90 en 90 ; 1 270 en 270
2
s 2 1s s 4 k
jω
λx 0 x0-2-4
x
221
Functieonderzoek vb 2
n m
i 0 j 0A
polen nulpuntene: snijpunten asymptoten: S
30 0 4 2
12
f: takken op de reële as:van rechts naar links gaan: oneven p of n=poolbaaneven p of n poolbaan
jω
λx xx0-2-4
o 2
s 2 1s s 4 k
222
Functieonderzoek vb 2
3 2 3 2
2 3 2
2
2
a
b
c
g: Vertrekpunt op de reële as
s 4s dk d s 4sk= 0s 2 ds ds s 2
3s 8s s 2 1. s 4s0
s 2
2s s 5s 8 0
s 0s = 2,5 +1,3j niet op de reëele ass 2,5 1,3j niet op de reëele as
2
s 2 1s s 4 k
223
Functieonderzoek vb 2
3 2
3 2
0
3
2
2
h: snijpunt met de Imagiaire as
s 4s ks 2k 0
j 4 j k j 2k 0 0j
Im; k 0
Re; 4 2k 0
0 en k0 en k 0
k en k 0 alleen voor k=0 treed snijpunt op
2
s 2 1s s 4 k
224
Functieonderzoek vb 2
o
beschouwde pool overige polen nulpunten
i: Vertrekhoek bij "complexe" polen
er zijn hier 2 samenvalende polen met een onderlinge hoek van 180in de t ekening zijn ze iets uit elkaar g etrokken
180
18 (00
o
o
o o0 ) ( ) 90
vanwege symmetrie geldt voor de andere pool
9 0
0
0
9
2
s 2 1s s 4 k
-4
jω
λx xx
0-2o
225
Root-loci simulatie voorbeeld 2
2
s 2 1s s 4 k
Linear System : Pole Zero Plot
-8 -6 -4 -2 0Re
Im
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
80.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
226
Spelregels root locus, voorbeeld 3
R(s) C(s)2
ks 2s 2
+-
s 2
2
2
2
C(s) kR(s) s 2s 2 k s 2
normaal vergelijking: s 2s 2 k s 2 0
s 2 1dus :s 2s 2 k
2
s 2 1s 2s 2 k
227
Functieonderzoek vb 3
(polen bij k=0) 1 2
(nulpunten bij k= ) 3
(aantal polen - aantal nulpunten)
a: beginpunten : s 1 j;s 1 jb: eindpunten : s = 2c: aantal asymptoten : 1
2 1 .180d: asymptotische richting: waarbij 0,1..
n m
o o
. (n m 1)
0 180 en 180
2
s 2 1s 2s 2 k
jω
λ
x
x
0-2o
1
-1
228
Functieonderzoek vb 3
n m
i 0 j 0A
polen nulpuntene: snijpunten asymptoten: S
31 j 1 j 2
01
f: takken op de reële as:van rechts naar links gaan: oneven p of n=poolbaaneven p of n poolbaan
2
s 2 1s 2s 2 k
jω
λ
x
x
0-2o
1
-1
229
Functieonderzoek vb 3
2
2
2
b
a
g: Vertrekpunt op de reële as
s 2s 2k=
s 2dk d s 2s 2 0ds ds s 2
s 4s 2 0
s 3,s = 0,6 reëel maar niet binnen de root loc
4us
2
s 2 1s 2s 2 k
230
Functieonderzoek vb 3
2
2
0
2
h: snijpunt met de Imagiaire as
s 2s 2 k(s 2) 0
j 2 j 2 k j 2 0
Im; 2 k 0
Re; 2 2k 00 en k 2; k 0, dus deze oplossing vervalt0 en k 1; k 0, dus deze oplossing vervalt
2
s 2 1s 2s 2 k
231
Functieonderzoek vb 3
2
s 2 1s 2s 2 k
jω
λ
x
x
0-2o
1
-1
beschouwde pool overige polen nulpunte
0
n
o
o
o
i: Vertrekhoek bij complexe polen
180
180 ( ) ( ) 135
vanwege symmetrie geldt voor de andere p
4
oo
90
l 135
5
232
Root-loci simulatie voorbeeld 3Linear System : Pole Zero Plot
-4 -3 -2 -1 0 1Re
Im
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 0.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
2
s 2 1s 2s 2 k
-3,4
+135o
-135o
233
Zelf thuis doen
2
2
s 3functie1: H(s)G(s)
s(s 2)(s 4)s 6
functie 2 : H(s)G(s)s(s 4)
1functie 3 : H(s)G(s)s(s 2)(s 26)(s 2)functie 4 : H(s)G(s)
s(s 3)
Doe zelf functieonderzoek aan de volgende functies;(eerst met de hand, daarna met behulp van 20-sim)
234
De stabiliteit van regelsystemen
Ing. Jan W. Bollen
235
De criteria
Het stabiliteitscriterium van NyquistHet stabiliteitscriterium van BodeHet stabiliteitscriterium van de root locusFase- en versterkingsmargeRelatieve foutAfwijkingsverhoudingLijnen van absolute en relatieve demping
236
Stabiliteitscriterium van NyquistAls in de overdrachtsfunctie van een volledig teruggekoppeld systeem de noemer nul wordt is het systeem instabiel
C( j ) kH( j )R( j ) 1 kH( j )G( j )Dan noemer nul: 1 kH( j )G( j ) 0dus instabiliteit treedt op voor:
kH( j )G( j ) 1 en 180
C(w)R(w)
kH(jw)
G(jw)
+
-
237
Nyquist in woordenIn woorden:Wordt de kromme van het polair figuur van een open lussysteem, bestaande uit op zichzelf al stabiele systemen, doorlopen van ω=0 naar ω=∞ en ligt hierbij het punt -1 aan de linkerzijde, dan is het gesloten systeem stabiel.
238
3 2
2
1H(s) ; G(s) 1s 1 s 2 s 3
stabiliteitscriteria: noemer van het teruggekoppelde systeem1 kH(s)G(s) 0
k k1 0 1s 1 s 2 s 3 s 1 s 2 s 3
1 1 s 1 s 2 s 3 ks 1 s 2 s 3 k
uitgewerkt geeft dat s 6s 11s 6 k 0j
in domein : 6
26 j 11 k 0j
Nyquist voorbeeld kH(jw)
G(jw)
R(w) C(w)+
-
239
Nyquist voorbeeld
2 2
2
2
in domein : 6 6 j 11 k 0j
Im 0 geeft 0 nvt of 11 0
dus 11dit substitueren in het reele deelRe 6 11 6 k geeft :versterkingsfactor: k 60Systeem stabiel voor: 0 k 60
kH(jw)
G(jw)
R(w) C(w)+-
Bollen/Witteveen 240
Linear System : Nyquist Diagram
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Linear System Re
Y
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Nyquist simulatie K=1 stabiel
Linear System : Step Response
-1 0 1 2 3 4 5 6Linear System time {s}
Y
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Steady State = 0.142857
overshoot = 0.001194%
rise time = 2.202
settling time = 3.2517
Bollen/Witteveen 241
Linear System : Nyquist Diagram
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5Linear System Re
Y
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Nyquist simulatie K=10 stabiel
Vector met lengte 1
Punt -1Linear System : Step Response
0 1 2 3 4 5 6 7Linear System time {s}
Y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Steady State = 0.625
overshoot = 19%
rise time = 0.889412
settling time = 2.95533
Bollen/Witteveen 242
Nyquist simulatie K=54 net-stabielLinear System : Nyquist Diagram
-10 -5 0 5Linear System Re
Y
-30
-20
-10
0
10
Linear System : Step Response
0 50 100 150Linear System time {s}
Y
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Steady State = 0.9
overshoot = 82%
rise time = 0.377856
settling time = 43.4284
Oscilleren
Punt -1
Bollen/Witteveen 243
Nyquist simulatie K=74 INstabielLinear System : Nyquist Diagram
-10 -5 0 5 10 15Linear System Re
Y
-10
-5
0
5
10
15
Linear System : Step Response
-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Linear System time {s}
Y
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Steady State = 0.925
Instabiel
Punt -1
Snijpunt met reële-as
244
Stabiliteitscriterium van Bode
Als in de overdrachtsfunctie van een volledig teruggekoppeld systeem de noemer nul wordt is het systeem instabiel
C( j ) kH( j )R( j ) 1 kH( j )G( j )Dan noemer nul: 1 kH( j )G( j ) 0dus instabiliteit treedt op voor:
20log kH( j )G( j ) 0 en 180
kH(jw)
G(jw)
R(w) C(w)+
-
245
Bode in woordenIn woorden:
Als voor alle frequenties (ω=0 tot ω=∞) de fase GROTER is dan -180°, dan is het gesloten systeem stabiel.
Indien voor DIE frequenties, waarbij de fase,
-180° bedraagt, en de bijbehorende modulus KLEINER is dan 0 dB, dan is het
gesloten systeem stabiel.
246
Bode voorbeeld
1H( j ) ; G( j ) 1
j 1 j 2 j 3
stabiliteitscriteria: noemer van het teruggekoppelde systeem1 kH( j )G( j ) 0 kH( j )G( j ) 1
zodat de criteria voorwaarden zijn: 20log kH( j )G( j ) 0 en 180
de totale formule ui
2 3
3 3
2 2
ktgewerkt: kH( j )G( j )6 6 j 11
11 11eerst de fase 180 arctan tan180 06 6 6 6
hieruit volgt: 0 of 11
kH(jw)
G(jw)
R(w) C(w)+
-
247
Bode voorbeeld
2 3
2 22 3
nu de amplitude voorwaarde;kkH( j )G( j ) 1
6 6 j 11
20log kH( j )G( j ) 0
20log k 10log 6 6 11 0
met 11 ; 20log k 10log3600 0 geeft k 60versterkingsfactor: k 60Systeem stabiel voor: 0 k 60
kH(jw)
G(jw)
R(w) C(w)+
-
Bollen/Witteveen 248
Linear System : Step Response
0 1 2 3 4 5Linear System time {s}
Y
0
0.05
0.1
0.15Steady State = 0.142857
overshoot = 0.001194%
rise time = 2.202
settling time = 3.2517
Bode simulatie K=1 stabielLinear System : Bode Plot
0.01 0.1 1 10 100Frequency (rad/sec)
Mag
nitu
de (d
B)
-200
-100
0
0.01 0.1 1 10 100Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg)
-400
-200
0
Bollen/Witteveen 249
Bode simulatie K=10 stabiel
Linear System : Step Response
0 1 2 3 4 5 6Linear System time {s}
Y
-0.5
0
0.5
1Steady State = 0.909091
overshoot = 7.151%
rise time = 1.26074
settling time = 3.29825
Linear System : Bode Plot
0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000Frequency (rad/sec)
Mag
nitu
de (d
B)
-200
-100
0
0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg)
-500
-300
-100
100
Bollen/Witteveen 250
Bode simulatie K=54 net-stabiel
Linear System : Step Response
0 50 100 150Linear System time {s}
Y
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Steady State = 0.9
overshoot = 82%
rise time = 0.377856
settling time = 43.4284
Linear System : Bode Plot
0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000Frequency (rad/sec)
Mag
nitu
de (d
B)
-200
-100
0
0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg)
-500
-300
-100
100
Oscilleren
Bollen/Witteveen 251
Bode simulatie K=74 INstabiel
Linear System : Step Response
-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Linear System time {s}
Y
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Steady State = 0.925
Linear System : Bode Plot
0.0001 0.01 1 100 10000 1e+006Frequency (rad/sec)
Mag
nitu
de (d
B)
-250
-100
50
0.0001 0.01 1 100 10000 1e+006Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg)
-150-5050
150250
Instabiel
252
Stabiliteitscriterium van de wortelbanen
Als in de overdrachtsfunctie van een volledig teruggekoppeld systeem de noemer nul wordt is het systeem instabiel
C(s) kH(s)R(s) 1 kH(s)G(s)Noemer nul:1 kH(s)G(s) 0 0jdus instabiliteit treedt op voor:Re 1 kH(s)G(s) 0 Im 1 kH(s)G(s) 0
kH(s)
G(s)
R(s) C(s)+
-
253
Stabiliteitscriterium van de wortelbanen
In woorden:Blijven de wortelbanen voor variaties van k in het linker halfvlak, dan is het systeem voor alle waarden van k stabiel.Komen de wortelbanen voor variaties van k in het rechter halfvlak dan is het systeem alleen stabiel voor die waarden van k waarvoor de wortelbanen in het linker halfvlak liggen.
254
Stabiliteitscriterium van de wortelbanen
1H(s)s 1 s 2 s 3
G(s) 1kkH(s)G(s) 1
s 1 s 2 s 3
1 1s 1 s 2 s 3 k
255
Functie-onderzoek
1 2 3
A
a : Beginpunten: s 1;s 2;s 3b : Eindpunten : geenc: Aantal asymptoten: n m 3 0 3
(2 1)180d: Richting asymptoten: 60 , 60 ,1803
1 2 3 0e: snijpunt asymptoten met de reële as: S 2
3f: Takken
3 2 3 2
v1 v2
op de reële as:dk dg: Vertrekpunten: k=s 6s 11s 6 s 6s 11s 6 0ds ds
s 2,58 en s 1,42
1 1
s 1 s 2 s 3 k
Bollen/Witteveen 256
Oplossing :
3 2 3 2
3
23,3 en k
h :Snijpunten met Imaginaire as:
s 6s 11s 6 k 0 met 0; j 6 11j 6 0
Im; 11 0
Re; 6 660
k 0
Snijpunt W=3,3K=60
Systeem stabiel voor:0<k<60
1 1
s 1 s 2 s 3 k
Linear System : Pole Zero Plot
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1Re
Im
-6
-4
-2
0
2
4
60.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
257
Stabiliteitscriterium van de wortelbanen
Linear System : Pole Zero Plot
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5Re
Im
-3
-2
-1
0
1
2
30.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
Linear System : Pole Zero Plot
-4 -3 -2 -1 0 1Re
Im
-4-3
-2-1
012
34
0.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
Linear System : Pole Zero Plot
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1Re
Im
-6
-4
-2
0
2
4
60.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
Linear System : Pole Zero Plot
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1Re
Im
-6
-4
-2
0
2
4
60.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
K=1 K=10 K=54 K=74
258
Theorie en PraktijkIn de nu behandelde stabiliteitscriteria hebben we de absolute stabiliteitsgrens bepaald.
Omdat de componenten in de praktijk niet kunnen voldoen aan de theoretisch berekende waarden en met de invloed op elkaar de stabiliteit beïnvloeden, moeten wij een aantal methoden ontwikkelen die er voor zorgen dat deze variaties geen invloed krijgen op de stabiliteit van het systeem.
Dus we gaan een MARGE inbouwen
259
MargeDe volgende, vaak grafische methoden, zorgen ervoor dat we niet te dicht in de buurt van het punt -1 komen en toch de praktische bruikbaarheid van het systeem behouden.
Met deze criteria zijn we in staat praktische ontwerp regels te formuleren die ons in staat stellen stabiele systemen te ontwerpen.
260
Fase- en versterkingsmargeDe fasemarge is een gegeven hoek tussen de negatief reële as en een rechte door de oorsprong met lengte 1.De versterkingsmarge geeft aan hoeveel de versterking van het openlussysteem mag worden opgevoerd, totdat het systeem bij een φ van -180° de maximaal toelaatbare versterkingsmarge heeft bereikt.De beide eisen worden samen gebruikt om een goede stabiliteit van een systeem te garanderen.
261
Fase- en versterkingsmargeLinear System : Nyquist Diagram
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2Linear System Re
Y
-3
-2.5-2
-1.5-1
-0.50
0.51
ω=0ω=∞δ
Lengte vector = 1
δ is normaal 30° of 60°Lengte van de vector is 1
262
Fase- en versterkingsmargeHet snijpunt van de eenheidscirkel (=vector met lengte 1) met het polaire figuur, ligt zodanig dat voldaan wordt aan de gestelde fasemarge hoek. Dit levert een voorwaarde op voor slechts één waarde van de frequentie met een bijbehorende versterkingsfactor k.
Met dit geven zitten wij ver genoeg af van het punt -1, maar voor meer zekerheid combineren wij dit criterium met de versterkingsmarge.
263
Fase- en versterkingsmargeLinear System : Bode Plot
0.001 0.01 0.1 1 10 100Frequency (rad/sec)
Mag
nitu
de (d
B)
-150
-50
0.001 0.01 0.1 1 10 100Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg)
-400
-200
0
Versterkingsmarge 1/a
fasemarge-180°
264
Fase- en versterkingsmargeDe fase- en versterkingsmarge zijn niet alleen bepalend voor de veiligheidsmarge bij praktische toepassingen van systemen, maar deze geven ook informatie over de demping van het systeem.
Bij vergroting van de versterkingsfactor zal bij een stapvormige verstoring op de ingang zowel de marge bij de fase als bij de versterking afnemen.
De demping van het systeem zal ook afnemen en de doorschot zal groter worden evenals de uitslingerfrequentie.
265
Fase- en versterkingsmarge
Conclusie:
Een systeem met voldoende fase- en versterkingsmarge behoeft nog niet een garantie te zijn voor het voldoende gedempt zijn van het systeem bij een stapvormige verstoring op de ingang.
266
Fase- en versterkingsmargeLinear System : Step Response
-1 0 1 2 3 4 5 6Linear System time {s}
Y
-2
-1
0
1
2
3
4
Steady State = 2.5
rise time = 2.74382
settling time = 4.07831
Linear System : Step Response
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18Linear System time {s}
Y
0
0.5
1
1.5
Steady State = 0.85
overshoot = 60%
rise time = 0.473395
settling time = 8.51124
267
Fout in statische toestand
s 0 s 0
Stel :H(s) K en G(s) 1fout in statische toestand:E(s) 1 1R(s) 1 H(s)G(s) 1 K
268
2e orde en uitslingerverschijnselenBij systemen van de tweede orde krijgen wij bij een stapvormige verstoring doorschot en uitslinger verschijnselen.
De twee dominante polen zijn verantwoordelijk voor dit systeemgedrag.
2e
2 2e e
kH(s)s 2 s
269
Ligging van dominante polen
2e 1
2e
2 2e e
21,2 e e
e
2e e
1,2
kH(s)s 2 s
polen : s j 1
met : eigen frequentie= relatieve demping met <1
Stel nu: en 1dan : s j
De reponsie op een stap zal de volgende gedaante hebben:
c(t) Ae
t cos t
x
x
jω
λ
s-vlak
e
2e 1
Dominante polen
270
absolute en relatieve dempingλ is het symbool voor de dempingω is het symbool voor de oscillatiefrequentie
λ wordt de absolute demping van het systeem genoemd. De absolute dempingslijnen lopen evenwijdig aan de Imaginaire-as
λ/ω wordt relatieve demping genoemdDe relatieve dempingslijnen lopen door de oorsprong met als richtingscoëfficiënt λ/ω.
Absolute dempingslijnλλ/ω jω
λ
Relatieve dempingslijn
Systeemstabiel
De relatieve dempingslijnen stellen eisen aan de oscillatiefrequentieDe beide eisen leggen de dominante polen van het tweede orde systeem aan banden !!! En daarmee de doorschot en uitslingerfrequentie.
Bollen/Witteveen 271
Doorschot en piektijd
Doorschot D
20
2 20 0
( )2
H ss s
21D e e
Piektijd tp
tc(t) Ae cos t
λ
λ/ω jω
Relatieve dempingslijn
pt
De doorschot blijkt een functie te zijn van de relatieve demping
C(max) C( )D .100%C( )
272
Settling time 2% en 5%
tc(t) Ae cos t
Absolute dempingslijnλ jω
λ
s
s
t
ts
ts
c(t) Ae cos t
voor de uitdemping geldt :4e 0,02 t (2%)
3e 0,0 t (5%)
Settling time eisen gelden voor de absolute demping
Bollen/Witteveen 273
SimulatieLinear System : Step Response
0 5 10 15Linear System time {s}
Y
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Steady State = 0.833333
overshoot = 55%
rise time = 0.50431
settling time = 7.52068
274
De doorschot stelt als eis aan het systeem dat de twee dominante polen van het systeem niet rechts van de relatieve dempingslijn mogen liggen.
De settling time stelt als eis aan het systeem dat de meest dominante polen van het systeem niet rechts van de absolute dempingslijn mogen liggen.
Conclusie doorschot en settling time
275
7 Ontwerpcriteria
Ing. Jan W. Bollen
Pagina 139
276
Ontwerp methodenBenaderingsmethoden Cascade- of serie compensatie Compensatie m.b.v. fase voor-ijlend
netwerk in het bode diagram Compensatie m.b.v. een fase voor-ijlend
netwerk in het s-vlakIn het kader van dit college zullen wij alleen compensatie in het s-vlak behandelen.
Deze methode is het meest inzichtelijk en eenvoudig toe te passen.
277
Stap 1. Zet de systeem specificaties op een rij en bepaal hieruit de plaats van de wortels van de dominante polen (dempingsfactor, overshoot, settling time)Stap 2. Teken de ongecompenseerde root-locus en bekijk of de geëiste plaats van de wortels gerealiseerd kan worden door het ongecompenseerde systeem
Ontwerp-procedure
278
Stap 3.Plaats het nulpunt van het fase voorijlend netwerk direct onder de plaats van de verlangde wortel, indien een compensatie netwerk moet worden gebruiktStap 4.Bepaal nu de plaats van de compensatie pool zodanig, dat de som van de hoeken van de polen en de nulpunten t.o.v. de positief reële-as 180° bedraagt, gezien vanuit de gewenste pool
Ontwerp-procedure
279
Stap 5. Bereken nu de versterkingsfactor van het totale systeem voor de verlangde wortelplaatsen en bereken de statische afwijking of zijn afgeleide grootheden als positiefout coëfficiënt of snelheids- fout coëfficiëntStap 6. Herhaal de procedure als de statische afwijking niet voldoet
Ontwerp-procedure
Systeemspecificaties:verlangde plaats van de root-loci
x x x
Stap 2.Root-locus ongecompenseerde systeem
Verlangde relatieve dempingslijn
Stap 1.
Verlangde plaats van root loci
•
•
xxx o
Verlangde plaats van root loci
-z
Stap 3.Plaatsing nulpunt onder de root loci
•
•
Ontwerp-procedure grafisch
Stap 4.
xxx o-z
Plaatsing pool
•
•
XΘp
-p
281
Let op bij de plaatsing van het nulpunt. Plaats zodanig dat de verlangde pool niet verplaatst
Dus plaats nulpunt nooit dichter bij de oorsprong dan tweede pool van het systeem, goede plaats is rechts van tweede pool, dicht in de buurt zodat zijn invloed op het systeem gering is
Voor-ijlend fase netwerk
282
Voordelen: Vrijheid in plaatsing dominante polen (beïnvloeding in- en uitschakelverschijnselen
systeemresponse)
Nadelen: - Naderhand pas kunnen bepalen van de versterking. - Voldoet hij niet dan is de hele procedure over.
Voor-ijlend fase netwerk
283
Voorbeeld 1.Gc(s)
G(s)
H(s)+
-
R(s) C(s)
c 2
s z kG (s) ; H(s) ; G(s) 1s p s
sSettling time t (2%) 4secDoorschot op een stapvormig ingangssignaal 35%
Gegeven:
Bepaal de variabele grootheden van het compensatie netwerkaan de hand van de gegeven voorwaarden
Gevraagd:
Voor-ijlend fase netwerk voorbeeld 1
284
Stap 1.Bepaal de plaats van de dominante polen uit de voorwaarden:
s
1,2
4t (2%) 4 4 1
D 35% 0,35 e met 1rad3,0sec
s 1 3j
Voorbeeld 1 plaats nieuwe poolbanen
Stap 2.
1,2
a
a. polen s 0
b. nulpunten: geenc. asymptoten: 2d. root-loci: 2
e. 90 , 90f. s 0g. geen delen van de reële as behoren tot de root-locush. break-away point: s 0
Voorbeeld 1 ongecompenseerd systeem
Linear System : Pole Zero Plot
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2Re
Im
-1
-0.5
0
0.5
10.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
Functieonderzoek van de originele functie2
1 1s k
286
Stap 3.
1,2
c
Verlangde wortel :s 1 3j
s z s 1G (s) =s p s p
Voorbeeld 1 ligging nulpunt
Plaats het nulpunt van het fase voor-ijlend netwerk direct onder de plaats van de verlangde wortel
Linear System : Pole Zero Plot
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5Re
Im
-3
-2
-1
0
1
2
30.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
x
x
287
Linear System : Pole Zero Plot
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5Re
Im
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
30.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
Stap 4.
cs 1G (s)=s p
Voorbeeld 1 ligging pool
Bepaal P door de som van de hoeken t.o.v. de positieve reele as. Het totaal van de hoeken moet zijn +/- 180
90180 arctan 90 arctan (
354 arctan 2,2 3,2
)123
oo o
o x poolx
x
288
Resultaat :
Voorbeeld 1: Compensatie netwerk
c
c 2
s 1G (s)s 3,2
overdrachtfunctie :k s 1G(s)H(s)G (s)s s 3, 2
289
Stap 5.Bepaal de statische versterkingsfactor voor verlangde pool -1+3j
c 2
c 2
2 2 2 2 2 22
k s 1GHG met s invullen in de karakteristieke vergelijking:
s s 3,2
k 1GHG 1 1 0
3,2
1 3 1 3 2, 2 31 3j 1 3j 3, 2k
1 3j 1 3
1k 10 10 13,84 12, 43
Totale overdrac
1 3j
1 3j
h
1
tsfunctie: G(s
3j 1 3j
)
c 2
12,4 s 1H(s)G (s)
s s 3, 2
Voorbeeld 1: Statische
versterkingsfactor
GH12.4
s2
model
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10time {s}
Sig
nalM
onito
r1ou
tput
-1
0
1
2
3
2
12, 4G(s)H(s)s
Ongecompenseerd systeem
GHGc
model
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10time {s}
Sig
nalM
onito
r1ou
tput
0
0.5
1
1.5
c 2
(s 1) 12, 4G(s)H(s)G (s)(s 3,2) s
s + 1
s + 3.2
12.4
s2
GHGcs + 1
s + 3.2
12.4
s2
c 2
(s 1) 12,4G(s)H(s)G (s)(s 3,2) s
+2+4+6
Getekend is de root-loci van het GESLOTEN systeem
Met polen op
–1+3j
En
-1-3j
293
Voorbeeld 2. Gc(s)
G(s)
H(s)+
-
R(s) C(s)
Gegeven: Overdrachtsfunctie van een ongecompenseerd openloop systeem :
Gevraagd: Bepaal de variabele grootheden van het compensatie netwerk aan de hand van de volgende voorwaarden.
cs z kG (s) en G(s)H(s)s p s(s 2)
s
Dempingsfactor van de dominante wortels: 0, 45Settlingtime t (2%) 1sec
voor-ijlend fase netwerk voorbeeld 2
294
Stap 1.
Bepaal de plaats van de dominante polen uit de voorwaarden:
s
2
1,2
4t (2%) 1 1 4
0,45 met 11
rad rad7,9 8sec sec
s 4 8j
Voorbeeld 2 plaats nieuwe poolbanen
Stap 2.
Voorbeeld 2 ongecompenseerd systeem
Functieonderzoek van de originele functie :1 1
s(s 2) k
Linear System : Pole Zero Plot
-4 -3 -2 -1 0 1Re
Im
-4
-2
0
2
40.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
A
2
a. polen s=0 en s=2b. nulpunten: geenc. asymptoten: 2d. root-loci: 2
e. =90 , 90f . s 1g. zie tekeningh. Break-away piontd dk s 2s 0ds ds2s 2 0 s 1
296
Stap 3.
1,2
c
Verlangde wortel :s 4 8j
s z s 4G (s) =s p s p
Voorbeeld 2 gecompenseerd systeem
Plaats het nulpunt van hetfase voor-ijlend netwerkdirect onder de plaats van de verlangde wortel
Linear System : Pole Zero Plot
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2Re
Im
-10
-5
0
5
100.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
•
•
297
Linear System : Pole Zero Plot
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2Re
Im
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
100.10.20.30.40.50.60.7
0.8
0.9
Stap 4.
cs 1G (s)=s p
Voorbeeld 2: Stap 4 ligging pool
Bepaal P door de som van de hoeken t.o.v. de positieve reele as. Het totaal van de hoeken moet zijn +/- 180
x
91 080 arctan 90 arctan 90 arctan (
850 arctan 6,
)2 48 8
7 10,7
oo o o
o x poolx
298
Resultaat :
Voorbeeld 2 compensatie netwerk
c
c
s 4G (s)s 10,7
overdrachtfunctie :k s 4G(s)H(s)G (s)
s(s 2) s 10,7
299
Stap 5.Bepaal de statische versterkingsfactor voor verlangde pool -4+8j
c
c
2 2 2 2 2 2
4 8j
4 8j4 8j 4
k s 4GHG met s invullen in de karakteristieke vergelijking:
s s 2 (s 10,7)
k 4GHG 1 1 0
( 8j 4 8j
4 8j 4
) 2 ( 10,7)
4 8 2 8 6,7 8( ) 2 ( 10,7)k
4 8
1k 80 68 109
8j 4 8j4 8j
96,38
Total
c
96,3 s 4e overdrachtsfunctie: G(s)H(s)G (s)
s s 2 (s 10,7)
Voorbeeld 1 statische versterkingsfactor
GHmodel
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10time {s}
Sig
nalM
onito
r1ou
tput
0
0.5
1
1.5
96,3G(s)H(s)
s s 2
96.3
s2 + 2 s
GHGcs + 4
s + 10.7
96.3
s2 + 2s
model
0 1 2 3 4 5time {s}
Sig
nalM
onito
r1ou
tput
0
0.5
1
1.5
c(s 4) 96,3G(s)H(s)G (s)
(s 10,7) s s 2
GHGc
c(s 4) 96,3G(s)H(s)G (s)
(s 10,7) s s 2
+5+10+15
s + 4
s + 10.7
96.3
s2 + 2s
Getekend is de root-loci van het GESLOTEN systeem
Met polen op
–4+8j
En
-4-8j
303
c
1 2 1 2
1 2 2
c
2 1c
1 21 2
1 2
1 2 1 2 1
1 2 2
1 2
1 2
1ss 4,5 G (s)1s 13 s+
R R R RC en R R R
na wat eenvoudig rekenwerk krijgen wij voor G (s)R R Cs 1G (s) .
R R CsR R 1R R
Hieruit volgt:1 1=4,5=
R R C R R R C.R R R
R113 R R CR R
1 2
1 2
RR R C
1 1
1 2
2
2 2
Kies : C=1 FDan:R 222,22k kies: R 220k
R R134,5 R
Dan :R 116,5k kies: R 120k
R
220kohmR2120kohm
IO1
IO2
IO3
IO4
C
1uF
E1(s) E2(s)
De praktijk levert de volgende schakeling op:
Voor-ijlend fase netwerk voorbeeld 2
Recommended