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ENGENHARIA
ECONÔMICA II
Edson de Oliveira Pamplona – http://www.iem.efei.br/edson
José Arnaldo Barra Montevechi – http://www.iem.efei.br/arnaldo
2005
SUMÁRIO
1. Introdução
2. Considerações Sobre Critérios de Decisão
3. Análise de Investimento em Situação de Incerteza
3.1. Introdução
3.2. A Natureza das Incertezas
3.3. Métodos de Decisão em Condições de Incerteza
3.3.1. Análise de Sensibilidade
3.3.2. Métodos Baseados na Teoria dos Jogos
4. Método de Análise Hierárquica
5. Introdução à Programação Linear
6. Análise de Investimento em Situação de Risco
6.1. Probabilidade da Inviabilidade de Investimentos
6.2. Simulação de Monte-Carlo
7. Árvores de Decisão
8. Opções Reais
9. Determinação da Taxa Mínima de Atratividade pelo WACC e CAPM
Referências Bibliográficas
Apêndices
Estudos de Caso
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
O curso de Engenharia Econômica II visa o aprofundamento nas técnicas de
Engenharia Econômica, complementando conhecimentos já obtidos em cursos introdutórios
da área.
O objetivo do curso é que o aluno domine as técnicas apresentadas, obtendo uma base
sólida para tomada de decisão sobre investimentos, considerando todo o ambiente de
incertezas que cerca este tipo de análise.
Aborda-se, inicialmente, a comparação entre os critérios de decisão mais utilizados,
forçando uma revisão do assunto.
Passa-se, então, aos métodos para análise de investimentos em condições de risco e
incerteza. Para enfrentar a incerteza, sempre presente, serão estudados métodos como análise
de sensibilidade e critérios baseados na teoria dos jogos.
Adicionalmente será transmitido o método AHP (Analytic Hierarchy Process) para
análise multicriterial.
Outra técnica apresentada é a Programação Linear, um dos tópicos de Pesquisa
operacional mais utilizados em problemas de otimização. Com aplicação à Engenharia
Econômica, a Programação Linear busca a distribuição eficiente de recursos limitados para
atender determinado objetivo, em geral, maximizar lucros, resultados econômicos e
minimizar custos.
O risco será tratado com a utilização de elementos da estatística. O Valor Esperado e o
risco de VPL’s e TIR’s, a probabilidade de inviabilidade de projetos, a simulação por Monte
Carlo e árvores de decisão serão vistos.
Alguns investimentos podem ser encarados como opções. O curso de Engenharia
Econômica II apresenta a “Teoria de Opções Reais”, uma forma de considerar a flexibilidade
gerencial de exercer, ou não, opções em avaliações de ativos reais com o uso de métodos já
consagrados em opções financeiras.
Finalmente, será abordado o Modelo de Precificação de Ativos (CAPM) que pode
auxiliar no entendimento da inclusão do risco na avaliação de investimentos e na
determinação da taxa de descontos..
Os autores
CAP. 2 – CONSIDERAÇÕES SOBRE OS
CRITÉRIOS DE DECISÃO
1. OS CRITÉRIOS DE DECISÃO Dentre os métodos para avaliar investimentos, que variam desde o “bom senso” até os
mais sofisticados modelos matemáticos, três se destacam por serem exatos e equivalentes,
quando adequadamente utilizados. São eles: Método do Valor Presente Líquido, Método do
Valor Anual e Método da Taxa Interna de Retorno.
1.1 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
As ferramentas básicas para o auxílio na utilização dos critérios citados acima são os
fatores de equivalência, que transportam quantias no tempo. Tais fatores são demonstrados
com base na Matemática Financeira, utilizando-se do sistema de juros compostos. O quadro 1
apresenta as principais relações de equivalência.
Com base nestas relações pode-se transportar valores para qualquer ponto em um determinado
horizonte de planejamento, permitindo assim as comparações entre alternativas de
investimentos
Forma Mnemônica
Nome do Fator Fator
(F/P, i, n) Fator de Acumulação de Capital de um pagto simples (1+ i)n
(P/F, i, n) Fator de Valor Presente de um pagto simples (1 + i)-n (F/A, i, n) Fator de Acumulação de Capital de uma série uniforme [(1+i)n-1]/i (A/F, i, n) Fator de Formação de Capital de uma série uniforme i /[(1+i)n-1] (P/A, i, n) Fator de Valor Presente de uma série uniforme [(1+i)n-1]/(1+i)n.i (A/P, i, n) Fator de Recuperação de capital (1+i)n.i /[(1+i)n-1] (P/G, i, n) Fator de Valor Presente de uma série gradiente [(1+i)n-1]/i – n
i (1+i)n
Quadro 1 – Fatores de Equivalência
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 2
1.2 EQUAÇÃO GENÉRICA PARA OS CRITÉRIOS DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO E DA TAXA INTERNA DE RETORNO VALOR PRESENTE LÍQUIDO – O Valor Presente Líquido de uma proposta de
investimento é a soma algébrica, na data zero, dos saldos dos fluxos de caixa descontados à
Taxa Mínima de Atratividade, conforme mostra a equação 1.
Equação 1:
Se o Valor Presente Líquido for positivo a proposta deve ser aceita, pois sua
rentabilidade cobre a taxa mínima de atratividade i adotada pela empresa.
Considere o seguinte diagrama de fluxo de caixa:
O VPL é dado por:
VPL = -600 –300(1+i)-1 + 400(1+1)-2 + 500(1+1)-3 +800(1+1)-4
O gráfico do VPL versus a taxa de descontos é mostrado na figura 1, com dados da
tabela a seguir:
C0
C1 C2 C3
Cn
∑=
−+=n
j
jj iC
0)1( VPL
600
300
400 500 800
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 3
TAXA VPL 0 800
10% 390 20% 103 30% -86,4
Figura 1 – VPL x Taxa
Pode-se observar a influência da taxa na viabilidade de um investimento, pois se neste
caso a TMA fosse de 10% o empreendimento seria viável, mas se a TMA fosse de 30% o
projeto não deveria ser aceito.
TAXA INTERNA DE RETORNO – A Taxa Interna de Retorno é a taxa que torna nulo o
Valor Presente Líquido de um investimento. A vantagem desse método, em relação ao
anterior é expressar os resultados em termos de taxas percentuais, cujo significado é mais
facilmente assimilado do que o valor presente expresso em termos monetários. A despeito da
necessidade de comparação do resultado com uma TMA, o cálculo da TIR independe do
conhecimento desta taxa mínima, o que pode ser considerado também como vantagem em
certas situações.
Considerando o mesmo exemplo utilizado no item anterior, verifica-se que o valor
presente se torna nulo à taxa de 25% ao ano. Esta é a Taxa Interna de Retorno do
investimento.
Normalmente utiliza-se do processo de iteração para a determinação da TIR, o que
torna seu cálculo manual mais trabalhoso, uma desvantagem eliminada pelo uso de
10% 20%
30%
390
800
103
-86,4
25%
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 4
calculadoras financeiras, programas de computadores ou planilhas eletrônicas. Mas problemas
matemáticos, como a possibilidade de encontrar mais de uma taxa que anula o VPL, no caso
de fluxos de caixa com mais que uma inversão de sinal e, ainda, a impossibilidade de calcular
TIR’s em diagramas formados apenas por fluxos negativos, podem inviabilizar seu uso.
No exemplo considerado, a TIR de 25% ao ano tem a seguinte interpretação: o capital
empregado é integralmente recuperado, rendendo uma taxa de juros compostos de 25% ao
ano, ao longo do período considerado.
Só devem ser escolhidos projetos que apresentem taxa interna de retorno superior à
taxa mínima de atratividade da empresa.
Ambos os critérios devem apresentar o mesmo resultado final, apesar de que algumas
vezes tal equivalência não é verificada de imediato, senão vejamos:
Considere dois projetos mutuamente exclusivos e admita que a empresa possua
recursos suficientes para aplicar em qualquer dos dois projetos:
ANOS Projeto A Projeto B 0 -600 -400 1 -300 -200 2 400 300 3 500 400 4 800 500
Observe que o projeto A tem um investimento maior, mas também gera maiores
retornos que o projeto B. Calculando a taxa interna de retorno dos dois projetos, obtém-se:
Projeto A: TIRA = 25% ao ano
Projeto B: TIRB = 28,3% ao ano
Conclui-se que o projeto B é mais rentável que o projeto A. Mas isto não quer dizer
que o projeto B é o melhor para a empresa.
Se a TMA da empresa for de 10% ao ano, o Valor Presente Líquido de cada um dos
projetos é:
Projeto A: VPLA = $ 390,00
Projeto B: VPLB = $ 308,15
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 5
Constata-se que, à taxa de descontos de 10% ao ano, o projeto A tem um VPL maior
que o do projeto B sendo, portanto, o escolhido. Mas os critérios não são equivalentes? Pos
quê então o resultado diferente. O gráfico a seguir permite visualizar o que está ocorrendo:
Figura 2 – VPL versus Taxa
De fato a rentabilidade do Projeto B é maior que a rentabilidade do projeto A.
Entretanto, o critério da TIR considera apenas o capital investido no projeto que, no caso do
projeto B é menor. Este critério não considera o valor da diferença entre os gastos com
investimentos do projeto A em relação ao B.
Ora, se os dois projetos estão sendo analisados é porque existem recursos, ou a
possibilidade de financia-los, para investir em qualquer um dos projetos. Assim, a diferença
entre os investimentos deve também ser considerada. Se a TMA é de 10% ao ano, esta
diferença poderia ser aplicada, ou deixada de ser financiada a esta taxa, e isto não é
considerado pelo critério da TIR. Mas o critério do VPL embute esta consideração, pois
qualquer valor aplicado à TMA gera um VPL igual a zero.
No nosso caso a TMA, de 10%, é menor que a taxa de 18,3%, correspondente ao
ponto em que as curvas se cruzam, fazendo com que ocorra a inversão de preferência pelos
dois métodos. Se a TMA fosse maior, por exemplo, superior à taxa de 18,3%, o projeto
escolhido seria o B, pois a diferença estaria sendo aplicada a taxas compensadoras. E o
critério do VPL mostraria claramente esta afirmativa.
10% 20%
30%
390
800
103
-86,4
25%
600
18,3%
28,3%308,15
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 6
Como devemos então proceder para analisar corretamente através do critério TIR?
Deve-se analisar se vale a pena investir a diferença dos valores na alternativa de maior
investimento. Este processo é chamado de análise incremental, que veremos a seguir:
ANÁLISE INCREMENTAL – Após verificar se as alternativas são atrativas, desenha-se o
diagrama da diferença dos fluxos entre a alternativa de maior investimento e a de menor
investimento (A-B):
A taxa que iguala o VPL do fluxo incremental a zero é 18,3%, ou seja, a taxa interna
de retorno da diferença é de 18,3%. Assim, como esta TIR incremental é maior que a TMA de
10%, pode-se concluir que vale a pena investir na diferença, sendo escolhida a alternativa A.
Se a TIR incremental fosse menor que a TMA, seria mais interessante investir na alternativa
de menor investimento, que no nosso caso seria a B.
Observe que a TIR incremental é exatamente a taxa onde ocorre o cruzamento das
curvas na figura 2. De fato, a TIR incremental é a taxa que iguala o VPL do fluxo das
diferenças a zero, que matematicamente é a mesma taxa que iguala o VPL do projeto A com o
VPL do projeto B. Assim, para a taxa de 18,3%, os VPL’s são iguais.
200100
100 100300
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 7
1.3 PROBLEMAS
PROBLEMA 1
Se o diretor da Companhia Catarinense de Tratores viesse lhe solicitar para aconselha-
lo sobre qual dos tornos deveria comprar, a fim de tomar a decisão que maximize a
rentabilidade de sua empresa. Qual seria sua resposta?
São conhecidos os valores da tabela a seguir e o gráfico do VPL em função da taxa.
TORNO A TORNO B Valor da compra $ 10.000,00 $ 10.000,00 Receita do 1º ano $ 2.000,00 $ 10.000,00 Receita do 2º ano $ 4.000,00 $ 3.125,00
Valor residual $ 8.000,00 0 Vida útil 2 anos 2 anos
4000
1548
20%
3125
11 %
25%
i %
VPL
A
B
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 8
PROBLEMA 2
A administração de uma empresa está considerando a possibilidade de automatizar seu
serviço de embalagem. Atualmente os produtos são acondicionados manualmente a um custo
anual de $ 30.000,00. Dois tipos de equipamentos capazes de executar a mesma função de
automatização, gerando a economia do acondicionamento manual, encontram-se disponíveis
no mercado, apresentando as seguintes características:
Discriminação Equipamento A Equipamento B Custo Inicial $ 100.000,00 $ 70.000,00 Custo operacional anual $ 9.500,00 $ 15.000,00 Valor residual Zero Zero Vida Econômica 10 anos 10 anos
Sendo a TMA da empresa igual a 12% ao ano, qual o equipamento deve ser escolhido?
Utilizar o critério da TIR.
PROBLEMA 3
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 9
A Gerência de Marketing de uma firma industrial está analisando duas possibilidades para a
localização de uma central de distribuição para os seus produtos. Cada alternativa exige
diferentes investimentos, devido ao preço do terreno, custo de construção do depósito
necessário. Também são diferentes os valores residuais e reduções anuais nos custos de
distribuição. Admitindo-se um período de utilização igual a 10 anos, foram efetuadas as
seguintes estimativas:
LOCALIZAÇÃO
INVESTIMENTO NECESSÁRIO
REDUÇÃO ANUAL CUSTOS DISTRIB.
VALOR RESIDUAL
TIR
Gov. Valadares $ 680.000,00 $ 112.000,00 $560.000,00 15,63% Ipatinga $ 880.000,00 $ 160.000,00 $700.000,00 17,28%
Determinar a localização mais interessante economicamente para a central de
distribuição.
PROBLEMA 4
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 10
Numa fábrica de bens de consumo de alta produção está sendo proposta uma alteração no
método de armazenagem dos produtos. Duas alternativas encontram-se em consideração,
sendo que em ambas será exigida a realização de investimentos na compra de sistemas de
transporte e manuseio automatizados.
A primeira alternativa exige um investimento inicial de $ 60.000,00 e são esperadas reduções
de custos da ordem de $ 10.000,00 / ano.
A segunda alternativa proporcionará a eliminação de um número maior de operações manuais
e deverá custar originalmente $ 70.000,00, apresentando reduções de custos de $ 12.000,00
por ano.
A vida estimada para ambas as alternativas é de 8 anos ao final dos quais não haverá valor
residual. O retorno mínimo aceitável pela gerência é de 9% ao ano.
Qual deverá ser a conclusão final do analista encarregado desse estudo, baseado no método da
taxa interna de retorno?
Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 11
PROBLEMA 5 (Problema de curso de engenharia econômica I – para revisão dos
métodos de tomada de decisão)
Numa análise realizada em determinada empresa, foram detectados custos operacionais
excessivamente elevados numa linha de produção, em decorrência da utilização de
equipamentos velhos e obsoletos.
Os engenheiros responsáveis pelo problema propuseram à gerência duas soluções alternativas.
A primeira consistindo numa reforma geral da linha, exigindo investimentos estimados em $
10.000, cujo resultado será uma redução anual de custos igual a $ 2.000 durante 10 anos,
após os quais os equipamentos seriam sucatados sem nenhum valor residual. A segunda
proposição foi a aquisição de uma nova linha de produção no valor de $ 35.000 para substituir
os equipamentos existentes, cujo valor líquido de revenda foi estimado a $ 5.000. Esta
alternativa deverá proporcionar ganhos de $ 4.700 por ano, apresentando ainda um valor
residual de $ 10.705 após dez anos.
Sendo a TMA para a empresa igual a 8% ao ano, qual das alternativas deve ser preferida pela
gerência?
CAP. 3 - ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
EM SITUAÇÕES DE INCERTEZA
1. INTRODUÇÃO
No fluxo de caixa esquemático mostrado na Figura 1, como se sabe na data zero,
normalmente se tem o investimento necessário para o projeto, as demais parcelas são os
resultados da composição de receitas, despesas de manutenção, mão de obra, matéria
prima, energia elétrica, imposto, depreciação, financiamentos, etc... a acontecerem em
cada uma das datas previstas dentro da vida do projeto.
Figura 1 - Fluxo de caixa esquemático de um projeto
Os métodos que permitem avaliar o fluxo de caixa da Figura 1 do ponto de vista
econômico são os métodos: do valor presente (VPL), o método do valor anual (VA) e a
taxa interna de retorno (TIR). Acontece que na maioria das vezes ao analisar estes
fluxos a consideração sobre os diversos dados é determinística. Será que isto ocorre na
realidade? Como se sabe isto não é verdade. Existem variações sobre os diversos
elementos que compõe o fluxo de caixa que precisam ser consideradas para o total
sucesso da escolha da melhor alternativa.
É comum se distinguir duas situações quanto a variação dos dados no fluxo de caixa.
Estas situações são chamadas de análise de risco e análise de incerteza. Na análise de
investimento
0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n
vida do projeto
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 2
risco é possível calcular uma distribuição de probabilidades associada a um resultado do
fluxo de caixa (VPL, VA ou TIR). Com a distribuição probabilística é possível se
calcular as chances do projeto se tornar inviável, fornecendo subsídios para decidir
entre as alternativas que possuem diferentes graus de risco. As técnicas usuais de se
trabalhar com o risco são:
1. Distribuição de probabilidades;
2. Simulação do fluxo de caixa;
3. Árvore de decisão.
Na análise de incerteza não se conhece a distribuição estatística de um fluxo de caixa e
vai se trabalhar com opiniões e sugestões de especialistas que terão de decidir sobre
qual o melhor projeto do ponto de vista econômico. Infelizmente, é esta a situação mais
freqüente e também a qual os analistas estão menos preparados para enfrentar. Como
responder as seguintes perguntas: “Qual será a inflação daqui a três anos?”, “Qual o
valor do KW/h se as companhias de distribuição forem privatizadas?”, “Qual o valor
do petróleo daqui a 5 anos?”..., pode-se notar que situações desta natureza sempre
existem nos projetos. Então, a consideração de incertezas traz com um de seus objetivos
a discussão de como reagir frente a decisões necessárias, em ambientes onde não é
possível se ter valores exatos ou uma distribuição probabilística dos dados. As técnicas
utilizadas para consideração da incerteza são:
1. Análise de sensibilidade;
2. Método de Laplace;
3. Método MAX MIN;
4. Método MAX MAX;
5. Método de Hurwicz;
6. Método de Savage;
7. Técnicas baseadas na teoria sobre Fuzzy Sets.
Os métodos 2, 3, 4, 5 e 6 são baseados na teoria dos jogos, teoria que se consagrou no
ano de 1994, quando o Prêmio Nobel de Economia foi conferido ao americano John F.
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 3
Nash, ao húngaro John Harsanyi e ao alemão Reinhard Selten pelo desenvolvimento
mais rigoroso da teoria dos jogos e sua aplicação em economia. A concepção da teoria
dos jogos em si se deve a John Von Neumann e Oskar Morgenstern que, inspirados em
jogos como os de xadrez e de pôquer, publicaram em 1944 um volume de 640 páginas
de matemática chamado “A Teoria dos jogos e o comportamento econômico”. Von
Neumann foi um dos maiores matemáticos deste século e não recebeu o Nobel com
Morgenstern pelo fato de ambos já se encontrarem falecidos em 1994.
2. A NATUREZA DAS INCERTEZAS
Como mostrado esquematicamente na Figura 2: “O futuro pode revelar surpresas”.
Quanto maior a vida do projeto maior as chances de se ter problemas com estimativas
feitas na época da análise econômica do projeto.
Figura 2 - A incerteza que pode acontecer com os fluxos de caixas
Vários são os fatores que podem contribuir para a incerteza. Alguns destes fatores estão
sintetizados na Figura 3. Como se pode notar alguns fatores, por exemplo, aumento de
impostos, podem afetar a todas empresas e são os chamados sistemáticos. Outros
fatores, como, por exemplo, o aumento de preço de uma matéria prima específica,
atinge empresas em casos isolados e são os não sistemáticos.
investimento
0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n
Aumento das incertezas
Fatores imprevistos
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 4
Econômicos Financeiros Técnicos Outros
• Oferta subdimensionada
• Insuficiência de capital
• Inadequabilidade do processo utilizado
• Fatores políticos
• Demanda superdimensionada
• Falta de capacidade de pagamento
• Inadequabilidade das matérias primas
• Fatores institucionais
• Dimensionamento incorreto
• Inadequabilidade da tecnologia empregada
• Problema de gerenciamento de projeto
• Alteração dos produtos e subprodutos
• Greve
• Alteração dos preços da matéria prima
• Inflação
• Investimentos imprevistos
Figura 3 - Fatores que levam a incerteza
3. MÉTODOS DE DECISÃO EM CONDIÇÕES DE INCERTEZA Alguns dos conceitos que serão mostrados são problemáticos, mas o conhecimento
destas técnicas pode ser útil em alguns casos.
3.1 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Técnica bastante prática para se tratar o problema das incertezas. Na verdade é mais um
enfoque que uma técnica. Consiste em medir o efeito produzido na rentabilidade do
investimento, ao se variar os dados de entrada. Deve-se variar cada parâmetro de uma
vez estabelecendo o valor mais provável, o limite inferior e superior da variação. Para
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 5
cada valor calcula-se VPL, VA ou TIR e com isto pode-se ter uma idéia da
sensibilidade do parâmetro em questão.
A análise de sensibilidade é baseada no conceito de elasticidade. Supondo o fluxo de
caixa da Figura 4, onde I é o investimento inicial, C os custos envolvidos, R a receita
prevista, L o valor residual e n a vida útil do projeto.
Figura 4
R é o resultado da venda de X unidades de um produto pelo preço P. C é o custo
composto de duas parcelas, o custo fixo CF e o custo variável CV referente a utilização
de 2 matérias primas, mp1 e mp2. A expressão que permite calcular o custo é a
seguinte:
C = CF + CV = CF + (µ1 P1 + µ2P2) X
Nesta expressão µ1 e µ2 representam a razão com que as duas matérias primas mp1 e
mp2 são utilizadas por unidade de produto. São também chamados de coeficientes
técnicos. P1 e P2 são os preços das duas matérias primas.
O valor presente do fluxo de caixa mostrado na Figura 4 pode ser representado pela
seguinte expressão:
VPL = - I + {PX - [CF + ( µ1 P1 + µ2P2) X]}(P/A, i%, n) + L / (1 + i)n
Trabalhando a expressão, ela pode ser reescrita da seguinte forma:
VPL = - I + [(P - µ1 P1 - µ2P2) X - CF] (P/A, i%, n) + L / (1 + i)n
Ao se variar X na expressão acima se chega no gráfico da Figura 5, onde se nota
perfeitamente o valor mínimo a ser vendido do produto para que VPL possa ser maior
que zero. O ponto de cruzamento da curva com a abscissa é chamado de ponto de
nivelamento.
I
0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n
R
C
R + L
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 6
Figura 5 - Ponto de nivelamento
Pela análise da Figura 5 nota-se que quantidades de X abaixo de X0 faz o projeto ser
inviável. O ponto de nivelamento pode ser alterado para qualquer variável do fluxo de
caixa (I, P, P1, P2, i,...) e com isto pode-se estudar a viabilidade para as diversas
alterações, além de se descobrir quais são os parâmetros mais sensíveis, que fazem o
projeto se inviabilizar mais facilmente. Sobre estes parâmetros é que se devem
estabelecer controles mais rígido. É a maneira mais simples de se analisar a incerteza, e
consiste no primeiro passo para a análise de risco, pois se toma conhecimento dos
parâmetros mais sensíveis que necessitam de um estudo mais aprofundado.
3.1.1 EXEMPLO 1
Uma empresa do setor de garrafas térmica esta pensando em lançar uma nova garrafa
para manter líquidos gelados. O investimento necessário é de US$ 100.000,00. A
previsão de vendas é de 10 mil garrafas por mês a um preço de US$ 10,00 por garrafa.
Os custos fixos serão de US$ 20.000,00 por mês e os custos variáveis de US$ 4,00 por
garrafa. Ao final de três meses a empresa venderá a linha por US$ 30.000,00. Analise a
TIR sob a previsão de vendas e sob a possibilidade de erros nesta previsão. A TMA da
empresa é de 10% ao mês.
SOLUÇÃO:
a) Sob a previsão de vendas original:
X quantidade vendida 0 X0
VPL(x)
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 7
Investimento = 100.000
Receita mensal = 10.000 x 10 = US$ 100.000,00 / mês
Custos variáveis = 10.000 x 4 = US$ 40.000,00 / mês
Custos fixos = US$ 20.000,00
Valor residual = US$ 30.000,00
TIR = 20,94 % ao mês
Pela TIR para esta situação pode-se concluir que o projeto é viável.
b) Vejamos o que pode acontecer se a previsão de vendas não for atendida. Imaginando
variações negativas de 10%, 20% e 30%. Os resultados dos três casos são sintetizados a
seguir:
- 10% nas vendas - 20% nas vendas - 30% nas vendas
Receita mensal =
9.000 x 10 = 90.000
Receita mensal =
8.000 x 10 = 80.000
Receita mensal =
7.000 x 10 = 70.000
Fluxo de caixa
100.000
40.00030.000 + 40.000
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 8
Custos variáveis =
9.000 x 4 = 36.000
Custos variáveis =
8.000 x 4 = 32.000
Custos variáveis =
7.000 x 4 = 28.000
Custos fixos: não se alteram Custos fixos: não se alteram Custos fixos: não se alteram
Fluxo de caixa:
Fluxo de caixa: Fluxo de caixa:
TIR: 13,56 % TIR: 6,02 % TIR: -1.75%
Com as hipóteses de erros na previsão de vendas, pode-se elaborar a seguinte curva:
TIR X Volume de vendas
-5
0
5
10
15
20
25
10000 9000 8000 7000
Volume de vendas
TIR TMA
Ponto de equilibrio
8500
Pelo gráfico é possível visualizar a situação da rentabilidade do projeto em função do
volume de vendas realizadas pela empresa. É necessário que pelo menos 8500 garrafas
sejam vendidas para que o projeto não de prejuízo.
100
34 64
100
2858
100
22 52
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 9
3.1.2 EXEMPLO 2
Considere o fluxo de caixa da Figura 4 e os seguintes parâmetros:
I = 100 P1 = 2 i = 10 % a.a.
L = 15 µ1 = 0.5 n = 5 anos
X = 20 P2 = 3 CF = 10
P = 9 µ2 = 2
Analise a sensibilidade do fluxo de caixa e calcule os pontos de nivelamento para X e I.
SOLUÇÃO:
I L X P P1 µ1 P2 µ2 CF i n
Valor esperado
Situação
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 10
pessimista
∆VP
VPL
Situação
Tabela de análise de sensibilidade (variações de 10%, exceto para n).
3.1.3 Estudo de caso
ASSUNTO: Sensibilidade – Exemplo extra
Uma empresa está considerando a possibilidade de realizar um novo gasoduto. A
instalação deste novo gasoduto requererá um gasto de US$2.000.000.000,00 em
investimento fixo.
Estima-se uma vida econômica, para o projeto, de 20 anos. A empresa espera contar
com um volume de gás para comercializar de 16 milhões de m3/dia, pagando por este
gás um preço de US$0,90 por Milhão de btu. A empresa espera comercializar este gás a
um valor de US$2,70 por Milhão de btu. O poder calorífico do gás é de 36785,43
(btu/m3).
A empresa que terá um custo de operação de US$13.000.000,00 e um custo de
manutenção de US$32.000.000,00 por ano, de acordo com previsões de especialistas.
O valor dos equipamentos após os 20 anos é estimado que tenham um valor de
US$200.000.000,00.
A empresa tem um custo de capital de 15% ao ano.
Considerando o ano com 365 dias, responder as seguintes questões:
1. Verificar a atratividade do projeto.
2. Analisar a sensibilidade do projeto para uma variação negativa de 15% no
volume de vendas de gás.
3. Calcular o preço de venda mínimo do gás.
4. Verificar a sensibilidade do projeto para um acréscimo de 20% no valor do
investimento fixo.
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 11
3.2 MÉTODOS BASEADOS NA TEORIA DOS
JOGOS
Antes de descrever os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e
Savage, são necessárias algumas considerações. Primeiramente uma definição
importante é sobre o chamado “Estado da natureza”, que é um conjunto de situações
possíveis de ocorrer e sobre as quais não se tem a princípio controle, mas que afetarão o
resultado do projeto. Como exemplo, pode-se citar:
1. Entrada ou não de um novo concorrente no mercado;
2. Aumento desproporcional de um produto;
3. Aumento da inflação, etc...
O problema consistirá em selecionar a alternativa ótima, segundo certos critérios, sem
se conhecer qual o estado da natureza que se verificará no futuro. Para a decisão
representam-se as diversas alternativas e estados da natureza em forma de matriz, como
ilustrado na Figura 6. Rij representa VPL, VA ou TIR da alternativa Ai se a natureza
assumir o estado Ej no futuro. Uma outra consideração importante é que tanto as
alternativas como os estados da natureza são mutuamente exclusivos.
Estado da natureza / eventos
Alternativas / ações
E1 E2 .... En
A1 R11 R12 .... R1n
A2 R21 R22 .... R2n
: : : :
Am Rm1 Rm2 .... Rmn
Figura 6 - Matriz de resultados
Antes de se aplicar qualquer dos métodos deve-se verificar se existem alternativas
dominadas. As alternativas dominadas podem ser eliminadas da análise facilitando os
cálculos. A relação de dominância é dada para a seguinte situação:
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 12
Rik ≤ Rjk
Um exemplo de dominância pode ser entendido pelo exemplo seguinte. Uma empresa
esta escolhendo um veículo de comunicação para empreender sua propaganda. Através
de um estudo chegou-se ao número de consumidores que veriam a propaganda em
função do tempo, estes dados estão na Figura 7.
Tempo
Veículo de divulgação
Ruim Moderado Bom Excelente
TV 200 190 170 130
Jornal 180 160 150 130
Outdoors 110 140 140 190
Figura 7 - Número de consumidores que vem a propaganda (em milhares)
Pela análise da Figura 7 pode-se ver que alternativa Jornal é dominada pela TV. Em
nenhuma situação de tempo, a alternativa Jornal será melhor que a TV, por isto pode
ser retirada da análise.
3.2.1 MÉTODO DE LAPLACE
Também conhecido como “princípio da razão insuficiente”. O método se baseia na
consideração que se não se sabe a probabilidade de ocorrência dos eventos, elas devem
ser consideradas iguais. Para entender os métodos vamos estudá-los através de um
mesmo exemplo. A1, A2, A3 e A4 são alternativas que dependem do comportamento da
inflação. A inflação poderá ter três cenários para o futuro, sendo eles:
• E1 = a inflação aumenta no próximo ano;
• E2 = a inflação se manterá no mesmo nível;
• E3 = a inflação cairá.
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 13
Após os cálculos chegou-se a seguinte matriz:
Estado da natureza / eventos
Alternativas / ações
E1 E2 E3
A1 106 60 20
A2 60 100 30
A3 20 40 80
A4 90 50 15
EXEMPLO
Escolher a melhor alternativa para a matriz de resultados anterior pelo método de
Laplace.
SOLUÇÃO:
3.2.2 MÉTODO MAX MIN
Este método é pessimista ao extremo. Baseia-se na escolha do pior caso para cada
alternativa. Em seguida escolhe-se a alternativa “menos pior”. Representa a pior
condição possível para o projeto. Consiste assim em um critério de extrema segurança.
Este é o problema do método, o extremo conservadorismo.
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 14
EXEMPLO
Decidir para a mesma situação do problema anterior através do método MAX MIN.
SOLUÇÃO:
3.2.3 MÉTODO MAX MAX
Ao contrário do método anterior, este é otimista ao extremo. Baseia-se na hipótese que
o “estado da natureza” será o mais favorável ao projeto.
EXEMPLO
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 15
Aplicar o método MAX MAX para o caso.
SOLUÇÃO:
3.2.4 MÉTODO DE HURWICZ
Os métodos anteriores baseiam-se em situações extremas. O primeiro é muito
pessimista e o segundo muito otimista. O método de Hurwicz combina linearmente
estes dois métodos, utilizando um índice de pessimismo relativo α, tal que:
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 16
0 ≤ α ≤ 1
Assim, para cada alternativa Ai obtém-se o melhor resultado Mi e o pior resultado mi.
Pode-se associar a cada Ai um valor H(Ai) dado por:
H(Ai) = α mi + (1- α) Mi
A desvantagem do método e a de que o decisor tem de tomar uma posição quanto ao
valor de α.
EXEMPLO
Aplicar o método de Hurwicz ao problema em discussão.
SOLUÇÃO:
3.2.5 Método de savage
Este método também conhecido como “min max - regret”. Busca minimizar um
possível arrependimento. Baseia-se em determinar os desapontamentos das alternativas
para cada evento, obtendo a matriz de desapontamento. Este procedimento é
representado da seguinte forma:
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 17
Mrj = Rij - Rrj
onde, Rij é o valor máximo para cada evento Ei. A escolha será sobre a alternativa que
minimiza o “desapontamento”.
EXEMPLO
Aplicar o método de Savage ao exemplo.
SOLUÇÃO:
3.2.6 EXEMPLO 01
Aplicar os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e Savage ao seguinte
caso:
Estado da natureza / eventos
Alternativas / ações
E1 E2 E3 E4
A1 18 11 11 10
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 18
A2 16 16 16 16
A3 17 20 8 17
A4 9 10 17 16
A5 10 13 17 18
SOLUÇÃO:
3.2.7 EXEMPLO 02
Aplicar os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e Savage ao seguinte
caso:
Alternativas / ações
E1 E2 E3 E4 E5 E6
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 19
A1 39 29 -2 3 10 9
A2 28 32 10 28 -8 10
A3 10 26 42 16 -6 16
A4 27 9 30 12 16 16
A5 15 -3 20 38 15 20
SOLUÇÃO:
3.2.8 Estudo de Caso
Assunto: Teoria dos Jogos
Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 20
Uma empresa de gás deseja iniciar imediatamente investimentos em novas redes de
distribuição. Entretanto, existem dúvidas sobre qual a política que será adotada nos
próximos anos, para o setor. Sabe-se que o atendimento a demanda projetada de gás na
área de atuação da empresa, pode ser atendida com três opções diferentes de origens do
gás.
Mas, estas opções são incertas, pois a opção a ser escolhida dependerá de discussões e
política futura. Existem quatro alternativas de se iniciar o investimento, e cada uma tem
um resultado econômico distinto em função da origem do gás.
Os resultados previstos pelos analistas econômicos da empresa encontram-se na tabela a
seguir. Utilizando os conceitos da teoria dos jogos, utilizar os diversos métodos para se
ter um cenário para a discussão e decisão de qual alternativa de investimento deveria ser
escolhida pela empresa.
Cenários possíveis
(resultados em VPL)
Origem do gás GASBOL Bacia de Santos Argentina
Opções de
investimento
Alternativa 1 1200 1000 -200
Alternativa 2 -100 1500 800
Alternativa 3 -300 1000 1700
Alternativa 4 1100 900 -250
CAP. 4 – MÉTODO DE ANÁLISE
HIERÁRQUICA
1. TÉCNICA BASEADA NA TEORIA
SOBRE FUZZY SETS
Será mostrada aqui a utilização de um método, o AHP “Analytical Hierarchy Process”
proposto por SAATY. O método se insere dentro dos objetivos de Fuzzy sets que lidar
com a opinião do ser humano. O método será apresentado através de exemplos.
Inicialmente é mostrada uma forma de quantificar opinião de especialistas. Fato sempre
necessário em decisões de investimento, mas muito difícil de se fazer. Esta etapa é
importante para árvores de decisão onde os pesos são atribuídos de uma forma muito
subjetiva. O AHP consiste então num caminho para esta arbitrariedade. Em seguida é
mostrada uma aplicação do método para decisão entre alternativas, empatadas quando
analisadas por VPL, VA ou TIR, mas onde benefícios intangíveis, como por exemplo,
status junto ao cliente ou percepção de risco, poderá ser analisado.
1.1 O CÁLCULO DO AUTO VETOR E
AUTOVALOR
Para a primeira etapa, o exemplo a ser mostrado é o caso de se estimar a distância entre
a cidade da Filadélfia e outras seis cidades, através da opinião de um especialista, que
para o caso é um viajante com grande quantidade de viagens aéreas entre as cidades.
Vai se trabalhar com a sua opinião de sua percepção de quanto tempo passa em avião,
quando se desloca de uma cidade para outra. As cidades analisadas estão mostradas na
Figura 1.
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 2
O AHP através de um exemplo (estimandodistância entre 6 cidades e a Filadélfia)
• Cairo;• Tóquio;• Chicago;• São Francisco;• Londres;• Montreal.
Figura 1 - Cidades a serem analisadas pelo AHP
Saaty propõe o uso dos números racionais tirados de um conjunto finito, para montar
uma matriz que será a base dos cálculos. A tabela sugerida por Saaty é mostrada na
Figura 2.
Intensidade de importância
Definição Explicação
1 Igual importância Duas atividades contribuem igualmente para o objetivo
3 Fraca importância de uma sobre a outra
Experiência e julgamento favorecem ligeiramente uma atividade e relação a
outra
5 Essencial ou forte importância Experiência e julgamento favorecem fortemente uma atividade em relação a
outra
7 Importância demonstrada Uma atividade é fortemente favorecida e sua dominância é demonstrada na
prática
9 Absoluta importância A evidência favorecendo uma atividade sobre a outra é a mais alta ordem de
afirmação
2, 4, 6, 8 Valores intermediários entre dois julgamentos sucessivos
Quando se deseja um maior compromisso
Recíprocos dos valores acima
Se uma atividade i tem um dos valores não zero acima quando
comparado com a atividade j , então j tem um valor recíproco quando
comparado com i.
Racionais Razões surgidas da escala Se a consistência foi forçada para obtenção de n valores numéricos para
cobrir a matriz
Figura 2 - Tabela de Saaty
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 3
Com base nesta Tabela o especialista monta uma matriz, comparando as cidades 2 a 2, e
respondendo a seguinte pergunta: “qual a intensidade que a cidade i é mais distante que
a cidade j da Filadélfia?”. Com isto, chega-se a seguinte matriz:
Cairo Tokyo Chicago São Francisco
Londres Montreal
Cairo
Tokyo
Chicago
São Francisco
Londres
Montreal
Utilizando a seguinte fórmula Vi aijn
j
n=
=∏( ) /1
1, estima-se o autovetor da matriz, que é
calculado como mostrado a seguir:
V1 =
V2 =
V3 =
V4 =
V5 =
V6 =
Em seguida este autovetor deve ser normalizado para que a cidade mais distante receba
valor 1 (máximo) em relação as outras cidades. Este calculo é mostrado a seguir:
Cidade Vi Vetor normalizado
Cairo
Tokyo
Chicago
São Francisco
Londres
Montreal
∑
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 4
O autovetor também deve ser normalizado para que o somatório de seus elementos seja
igual a um. Isto é feito da seguinte maneira:
T = / / / / / /
O resultado é:
T =
Para testar a consistência da resposta, o que indica que os dados estão logicamente
relacionados, é necessário se estimar o autovalor. A estimativa é feita pela seguinte
relação: λmax = T.w. O elemento w é calculado pelo somatório da colunas da matriz
montada pelo especialista, que será:
w
Coluna 1
Coluna 2
Coluna 3
Coluna 4
Coluna 5
Coluna 6
Agora se pode estimar λmax:
[ ]λ max =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
=
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 5
Pode-se agora estimar um índice que indicará a consistência da resposta.
Primeiramente, calcula-se CI baseado na seguinte expressão, onde n é o número de
cidades:
IC( max n)
(n 1)=
−−
=λ
CR é calculado com base na relação RCICCA
= , onde CA é um índice randômico
retirado da seguinte tabela:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
CA
aleatória
0
0
0.58
0.9
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
Se o índice RC for menor que 0.10, a resposta é baseada numa entrada de dados
coerentes. Para o caso que esta sendo analisado:
RC =
Para se ter uma idéia do julgamento feito, analisemos a seguinte tabela:
Cidade Distância da
Filadélfia (milhas)
Distância
normalizada
autovetor
Cairo
Tokyo
Chicago
São Francisco
Londres
Montreal
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 6
Como se pode notar o método apresentado propicia uma maneira de quantificar opinião
de especialistas.
1.2 A CONSIDERAÇÃO DE INTANGÍVEIS EM
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
Este método pode ser usado agora para decisão de forma a que benefícios intangíveis
possam ser considerados na análise da melhor alternativa. Vamos imaginar que três
projetos, X, Y e Z estejam próximos do ponto de vista de rentabilidade. Foram
relacionadas algumas características que podem ajudar na decisão, mas que são difíceis
de quantificar, são elas:
Idoneidade do fornecedor principal A
Benefício político interno B
Status junto ao cliente C
Percepção do risco D
Inovação tecnológica E
Segurança
Ergonomia
Risco ambiental
Problemas de mão de obra F
Resistência à mudança
Foram escolhidas as características mais significativas para as alternativas, sendo que
elas foram identificadas de A a F na tabela acima. Como primeiro passo é realizado
uma comparação entre as características, com relação à importância relativa a cada uma
para a escolha da melhor alternativa. Esta comparação gera uma matriz cujas entradas
são baseadas na tabela de Saaty, mostrada anteriormente. A matriz é:
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 7
A B C D E F
A
B
C
D
E
F
Desta matriz é calculado o seu autovetor, autovalor e o índice RC, conforme mostrado
anteriormente, sendo eles:
Autovetor
Autovalor
CR
Deve-se agora comparar as três alternativas de investimento com respeito às seis
características, isto é feito em seguida:
A B
X Y Z X Y Z
X X
Y Y
Z Z
autovetor autovetor
λmax λmax
C D
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 8
X Y Z X Y Z
X X
Y Y
Z Z
autovetor autovetor
λmax λmax
E F
X Y Z X Y Z
X X
Y Y
Z Z
autovetor autovetor
λmax λmax
Para a obtenção do rank das alternativas, multiplica-se a matriz de autovetores relativo
as alternativas e o que representa a importância das características na análise. Isto é
feito a seguir:
=
A B C D E F
X
Y
Z
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 9
X =
Y =
Z =
Com esta resposta pode-se optar pela melhor alternativa segundo a opinião das pessoas
entendidas e envolvidas com a decisão. Com isto se tem uma ferramenta sistematizada e
metodológica para tratar com benefícios intangíveis. A figura abaixo mostra que o
relacionamento entre os diversos elementos desta análise, ficando clara a dificuldade em
optar por um projeto sem um mecanismo metodológico.
A B C D E F
X Y Z
Benefícios intangíveis do projeto
Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 10
1.3 ESTUDO DE CASO
Assunto: AHP Um grupo de investidores está avaliando alternativas para iniciar um novo projeto em geração de energia
elétrica. Na reunião que aconteceu foram pensadas as seguintes alternativas:
1. Termoelétrica a gás;
2. Hidrelétrica;
3. Usina nuclear.
Houve um consenso que os critérios que deveriam fazer parte da escolha fossem os seguintes:
1. Taxa interna de retorno;
2. Prazo de conclusão da obra;
3. Riscos ambientais;
4. Confiabilidade no fornecimento de energia.
Para o critério 1, se a diferença for de até 2% ao ano, entre duas alternativas quaisquer, ambas são
consideradas iguais e, acima de 6% ao ano, a melhor TIR tem importância muito grande. Se a diferença
entre as taxas for intermediária, a preferência é proporcional.
Para o critério 2, uma diferença entre alternativas de um ano, considera-se que as alternativas estejam
empatadas. Uma diferença de 4 anos à importância absoluta é para a de menor prazo de construção.
Para o critério 3, um projeto considerado de baixo risco ambiental é o de importância absoluta. O de alto
risco é considerado de pouco preferência. Outras designações a preferência é proporcional.
Para o critério 4, uma alternativa com confiabilidade acima de 95% é de importância grande. Entre 95% e
85% considera-se alternativas equivalentes. Abaixo de 85% a preferência é mínima.
Entre os critérios a serem considerados, os investidores consideram que a TIR e a confiança no
fornecimento de energia estão no mesmo nível de importância. Os critérios problemas ambientais e
prazo de conclusão da obra são de mesmo nível de importância, entretanto TIR e confiança no
fornecimento de energia têm importância muito grande sobre estes dois.
A tabela a seguir com informações sobre as alternativas foi montada para os investidores.
Critérios TIR Prazo de conclusão da obra
Riscos ambientais Confiabilidade
Alternativas
Termoelétrica 20% 2 anos Baixo 94%
Hidrelétrica 29% 7 anos Médio 99%
Nuclear 22% 3 anos Alto 85%
Ajudar aos investidores estabelecer a ordem de prioridades entre as alternativas.
CAP. 5 - INTRODUÇÃO A PROGRAMAÇÃO
LINEAR
1. GENERALIDADES Sem dúvida nenhuma a Programação Linear é uma das técnicas da Pesquisa Operacional das
mais utilizadas em se tratando de problemas de otimização.
Os problemas de Programação Linear (PL) buscam a distribuição eficiente de recursos
limitados para atender um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou minimizar
custos. Em se tratando de PL, esse objetivo é expresso através de uma função linear,
denominada de "Função Objetivo".
É necessário também que se defina quais as atividades que consomem recursos e em que
proporções os mesmos são consumidos. Essas informações são apresentadas em forma de
equações as inequações lineares, uma para cada recurso. Ao conjunto dessas equações e/ou
inequações, denomina-se "Restrições do Modelo".
Normalmente se tem inúmeras maneiras de distribuir os recursos escassos entre as diversas
atividades em estudo, bastando para com isso que essas distribuições estejam coerentes com
as restrições do modelo. No entanto, o que se busca, num problema PL é a função objetivo,
isto é, a maximização do lucro ou a minimização dos custos. A essa solução dá-se o nome de
solução ótima.
Assim, a Programação linear se incube de achar a solução ótima de um problema, uma vez
definida o modelo linear, ou seja, a função objetivo e as restrições lineares.
2. PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Como foi dito anteriormente, está-se diante de um problema de PL quando os problemas
práticos que se pretende resolver pode ser escrito de forma de maximização (ou minimização)
de uma função objetivo linear, sujeita a um conjunto de restrições que podem ser expressos
sob a forma de inequações ou equações lineares.
Exemplos de problemas que podem ser resolvidos por programação linear:
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 2 a) Um fabricante está iniciando a última semana de produção de quatro diferentes modelos de
consoles em madeira para aparelhos de televisão, designados respectivamente, I, II, III e IV.
Cada um deles deve ser montado e em seguida decorado. Os modelos necessitam,
respectivamente de 4, 5, 3 e 5 horas para montagem e de 2, 1, 5, 3 e 3 horas para decoração.
Os lucros sobre as vendas dos modelos são respectivamente 7, 7, 6 e 9 reais. O fabricante
dispõe de 30.000 horas para a montagem destes produtos (750 montadores trabalhando 40
horas por semana) e de 20.000 horas para decoração (500 decoradores trabalhando 40 horas
por semana). Quanto de cada um dos modelos deve ser produzido durante esta última semana
a fim de maximizar o lucro? Admita que todas as unidades possam ser vendidas.
b) Seja o caso de um investidor que, dispondo de $6000 esteja contemplando a possibilidade
de compra de dois seguintes tipos de ações:
• Tipo 1 - preço unitário de compra de $ 5,00 e rentabilidade anual esperada de 30%.
• Tipo 2 - preço unitário de compra de $ 3,00 e rentabilidade anual estimada em 35%.
Supondo que o investidor não deseje adquirir mais do que 1750 ações, e que seu corretor só
possa conseguir 1000 ações do tipo 1 e 1500 ações do tipo 2, que quantidades deve comprar
de cada tipo de ação, na hipótese de que seja seu objetivo maximizar o total de capital no fim
de um ano?
c) Uma empresa esta analisando um conjunto de alternativas de projetos de investimentos
disponíveis e apresentados na tabela seguir.
Projeto Investimento no ano 1
Investimento no ano 2
Vida útil Economia anual nos próximos 3 anos
1 12 3 5 anos 9.29 2 54 7 5 anos 26.85 3 6 6 5 anos 9.88 4 6 2 5 anos 7.92 5 30 35 5 anos 35.33 6 6 6 5 anos 8.14 7 48 4 5 anos 22.78 8 36 3 5 anos 16.91 9 18 2 5 anos 11.04
O orçamento para investimento é de 50 para o primeiro ano e 20 para o segundo. Sabendo-se
que a TMA da empresa é de 10% a.a., qual a combinação ótima desses projetos.
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 3 3. OBTENDO FUNÇÃO OBJETIVO E AS RESTRIÇÕES Antes de discutir as técnicas possíveis para obtenção de resultados, através de um problema
será discutido como obter a função objetivo e as restrições.
Exemplo para discutir a obtenção da função objetivo e as restrições: Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido
por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo adicional de
$14 relativo a mão de obra. Um trem é vendido por $21 e gasta $9 de matéria prima. O custo
de mão de obra adicional para cada trem é de $10. A fabricação destes brinquedos requer dois
tipos de mão de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para
acabamento e 1 de carpintaria. Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de
carpintaria. Cada semana, Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas
tem a disposição até 100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é
ilimitada, mas a venda de soldados é de no máximo 40 por semana. Giapetto quer maximizar
seu lucro diário (receitas-custos). Formular o modelo matemático que poderá ser usado por
Giapetto para maximizar seu lucro semanal.
Solução:
Sabendo que a matéria primanecessária é obtida sem problemas,
Giapetto tem como objetivomaximizar o lucro semanal (receitas -
custos).Vamos então formular
matematicamente a situação deGiapetto com o objetivo de maximizar
o lucro semanal.
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 4
Primeiro ponto importante:Variáveis de decisão
Em qualquer modelo de PL, as variáveisde decisão devem descrever
completamente as decisões a seremfeitas.
Caso de Giapetto: quantos soldados e trensdevem ser feitos na semana.
Variáveis de decisão
• X1 = número de soldados produzidoscada semana;
• X2 = número de trens produzidos a cadasemana.
Segundo ponto importante:Função objetivo
Em qualquer modelo de PL, o decisorquer maximizar ou minimizar alguma
função das variáveis de decisão.Caso de Giapetto: custos fixos (aluguel,
seguro) não depende dos valores de X1e X2, assim ele pode se concentrar em
maximizar a venda da semana.
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 5
Receitas e custos: podem ser expressos emtermos das variáveis X1 e X2. Seria tolice
Giapetto produzir mais soldados que ele possavender, assim assumimos que todos
brinquedos produzidos podem ser vendidos.Assim:
Receita da semana = receita dos soldados +receita dos trens
Receita da semana = $/soldado * soldado/semana + $/trem * trem/semana
Receita por semana = 27*X1 + 21*X2
Também podemos escrever:
• Custos de M.P. = 10*X1 + 9*X2• Custos de M.O. = 14*X1 + 10*X2
Então Giapetto quer maximizar:(27X1 + 21X2) - (10X1 + 9X2) - (14X1 + 10 X2) = 3X1 + 2X2
Assim o objetivo de Giapetto é escolher X1 e X2 para maximizar 3X1 + 2X2
Objetivo:maximizar Z = 3X1 + 2X2
oumax Z = 3X1 + 2X2
Variávelusualmente
utilizada
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 6
Terceiro ponto importante:restrições
Se X1 e X2 aumentam, a função objetivo deGiapetto será sempre maior. Mas infelizmente X1
e X2 são limitados pelas seguintes restrições:• 1 - cada semana, não mais que 100 horas de
acabamento;• 2 - cada semana, não mais de 80 horas de
carpintaria;• 3 - limitação de demanda, não mais de 40
soldados por semana.
M.P. ilimitada, portanto não hárestrições. Como, próximo
passo, é necessário expressar asrestrições 1, 2 e 3, em termo das
variáveis de decisão: X1 eX2.
Restrição 1:não mais de 100 h de acabamento
Total de h de acab./semana = horas de aca./sold. * sold. feitos/semana + horas de acab./trem * trens feitos/semana
Total de h de acab./semana = 2*X1 + 1*X2
Restrição 1 - 2X1 + X2 <= 100
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 7
Restrição 2:não mais de 80 h de carpintaria
Total de h de carp./semana = horas de carp./sold. * sold. feitos/semana + horas de carp./trem * trens feitos/semana
Total de h de carp./semana = 1*X1 + 1*X2
Restrição 2 - 1X1 + X2 <= 80
Restrição 3:venda máxima de soldados: 40
Restrição 3 - X1 <= 40
Restrições:Restrições:
• 1 - 2X1 + X2 <= 100• 2 - X1 + X2 <= 80• 3 - X1 <= 40
Restrições para oproblema de PL
de Giapetto
Usualmenterepresentam aquantidade de
recursosdisponíveis.
Coeficientes tecnológicos:
refletem a quantiausada para
diferentes produtos.
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 8
Quarto ponto importante:Restrições adicionais
Para completar a formulação do problema:• X1 >= 0• X2 >= 0
Resumindo
• max Z = 3X1 + 2X2 (1)sujeito a:
• 2X1 + X2 <= 100 (2)• X1 + X2 <= 80 (3)• X1<= 40 (4)• X1 >= 0 (5)• X2 >= 0 (6)
Significa queX1 e X2
precisam satisfazertodas as restrições P.L. - todos os
termos X são deexpoente 1 e asrestrições são
inequaçõeslineares
O problema de Giapettoé tipico de muitos outros,
onde precisa-semaximizar lucrossujeitos a recursos
limitados
4. SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE P.L. - MÉTODO GRÁFICO Um problema de P.L. só pode ser resolvido graficamente desde que o modelo, em estudo,
apresentar duas variáveis.
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 9
O fato de que a função objetivopara um PL precisar ser umafunção linear de variáveis tem
2 implicações:• 1 - A contribuição para a função objetivo
de cada variável de decisão é proporcinalao valor da variável de decisão;
• 2 - A contribuição para a função objetivopara cada variável é independente dosvalores de outras variáveis de decisão.
Definição: região de solução- para um problema de PL é
o conjunto de todos ospontos que satisfazem todasas restrições do problema.
Restrições:• 2X1 + X2 <= 100 (2), ok 2*40+20<=100• X1 + X2 <= 80 (3), ok 40+20<=80• X1<= 40 (4), ok 40<=40• X1 >= 0 (5), ok 40>=0• X2 >= 0 (6), ok 20>=0
Giapetto: X1 = 40 X2 = 20 região de solução
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 10
Giapetto: X1 = 15 X2 = 70 não é região de solução
Restrições:• 2X1 + X2 <= 100 (2), ok 2*15+70<=100• X1 + X2 <= 80 (3), não ok 15+70> 80• X1<= 40 (4), ok 15<=40• X1 >= 0 (5), ok 15>=0• X2 >= 0 (6), ok 70>=0
região de solução
Pontos que atendem e onde será procuradaa solução ótima
Solução ótima
Ponto da região de solução, que leva ao maiorvalor da função objetivo.
• A maioria dos problemas de PL, temsomente uma solução ótima;
• Alguns não tem solução ótima;• Alguns tem infinitas soluções.
Para o problema de Giapetto, solução ótima:X1=20 e X2 = 60
Z = 3*20 +2*60 = 180lucro = 180 - 100 = 80/semana
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 11
Solução gráfica para oproblema de 2 variáveis
Um PL com 2 variáveispode ser resolvido
graficamente. Nós semprenomeamos as variáveis X1
e X2 e os eixoscoordenados por X1 e X2.
Se nós queremos delimitar emum gráfico o conjunto de
pontos que satisfaça a:
2X1+3X2 <= 6 (1)
3X2 <= 6 - 2X1
X2<=1/3*(6 - 2X1) = 2 - 2/3X1 (2)
O conjunto de pontos que satisfaz (1) e (2) cai sobre a reta ou abaixo dela
X2
X11
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
X2 = 2 - 2/3X1
Região onde:2X1+3X2<=6
Região onde:2X1+3X2>=6
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 12 A solução gráfica para o problema de Giapetto é a seguinte:
Encontrando a região de soluçãodo problema de Giapetto:
• 2X1 + X2 <= 100 (2)• X1 + X2 <= 80 (3)• X1<= 40 (4)• X1 >= 0 (5)• X2 >= 0 (6)
Para um ponto (X1, X2)
pertencer a região desolução é precisosatisfazer todas
estas inequações.
(5) e (6) indicam o primeiro quadrante
X2
X120
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
(2)
(3)
(4)
A
B
C
D
E
F
G
H
Poligono DGFEH - região de solução
Encontrando a solução ótima
Após a identificação da região desolução, nós devemos procurar a
solução ótima, que será o ponto daregião que levar ao maior valor de
Z = 3X1+2X2
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 13
Para encontrar a solução ótima, nósprecisamos desenhar uma linha sobra
a qual todos os pontos levem ao mesmovalor de Z.
Escolhe-se qualquer ponto da região desolução:
(20, 0) - Z = 3X1+2X2 = 60Assim (20, 0) cai sobre a reta:
Z = 3X1 + 2X2 = 60X2 = 30 - 3/2X1
3X1 + 2X2 = 60tem coeficiente angular = -3/2
Assim todas as retas 3X1+2X2 =constante terão o mesmo coeficiente
angular.
Importante: uma vez desenhada a reta, podemos encontrar
todas as outras pelo movimento paralelo da retaque desenhamos.
X2
X120
40
60
80
100
120
20 40 60 80 100 120
(4)(2)
(3)
A
B
C
D
E
F
G
HX2 = 30 - 3/2 X1
Indica o ponto ótimo - G (20, 60)
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 14
Ponto ótimo:Z = 3*20 + 2*60 = 180
5. PROBLEMAS INTERESSANTES QUE PODEM SER FORMULADOS PARA SEREM RESOLVIDOS POR PROGRAMAÇÃO LINEAR
O que será visto a seguir é a formulação de vários problemas complicados da Programação
Linear. O passo mais importante na formulação de um modelo é a escolha apropriada das
variáveis de decisão. Se as variáveis de decisão forem selecionadas adequadamente, a função
objetivo e as restrições devem ser obtidas sem muita dificuldade. Problemas na determinação
da função objetivo e restrições normalmente são devido a uma escolha incorreta das variáveis
de decisão.
5.1 Exemplo 1: Problema de orçamento de capital Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O
fluxo de caixa e valor presente (em milhões de reais) é dado na tabela a seguir.
A empresa tem no momento $ 40 milhões para investir; e estima-se que no primeiro ano
estarão disponíveis $ 20 milhões para investimento. A empresa pode comprar qualquer fração
de cada investimento. Neste caso, o fluxo de caixa e valor presente são ajustados de acordo
com a proporção do investimento realizado. Por exemplo, se a empresa comprar 1/5 do
investimento 3, então o pagamento necessário será de 1/5 ($5) = $1 nos tempos 0 e 1. O valor
presente do investimento 3 será de 1/5 (16) = $3.2 milhões. A empresa quer maximizar o
valor presente que pode ser obtido pelos investimentos realizados entre as opções 1 a 5.
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 15 Formular o problema para atingir este objetivo. Assumir que qualquer fundo não usado no
instante 0 não poderá ser usado no primeiro ano (instante 1).
Inv. 1 Inv. 2 Inv. 3 Inv. 4 Inv. 5 Desembolso instante 0
11 53 5 5 29
Desembolso instante 1
3 6 5 1 34
Valor presente
13 16 16 14 39
5.2 Exemplo 2: planejamento financeiro de curto prazo Uma empresa eletrônica que fabrica gravadores e rádios têm seus custos de mão de obra,
matéria prima e preço de venda de cada produto discriminados na tabela a seguir.
Gravador Rádio Preço de venda 100 90 Mão de obra 50 35 Custo matéria prima 30 40
Em primeiro de dezembro de 98, a empresa terá matéria prima que é suficiente para fabricar
100 gravadores e 100 rádios. Na mesma data, o balancete previsto da empresa é o mostrado a
seguir, e a razão entre ativo circulante e as suas obrigações (dívida com banco) será 2
(20000/10000).
Ativo circulante Obrigações Caixa 10000 Contas a receber 3000 Estoques 7000 Dívidas em bancos 10000
A empresa precisa determinar quantos gravadores e rádios deverão produzidos em Dezembro.
A demanda é alta o suficiente para garantir que todos os produtos fabricados serão vendidos.
Todas as vendas são feitas a crédito, pagamentos por produtos fabricados em Dezembro não
serão recebidos até primeiro de Fevereiro de 99. Durante Dezembro, a empresa irá receber
$2000 e precisará pagar $1000 devido ao empréstimo bancário e $1000 referente ao seu
aluguel. Em primeiro de janeiro de 99, a empresa receberá um carregamento de matéria prima
no valor de $2000, que será pago em Fevereiro de 99. A gerência decidiu que em primeiro de
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 16 janeiro de 99 precisa ter pelo menos $4000 em caixa. Também o banco exige que a razão
entre dinheiro disponível e financiamento seja de pelo menos 2. Para maximizar o lucro da
produção em Dezembro, o que deveria empresa produzir durante este mês?
5.3 Exemplo 3: Modelos de financiamento multi período O exemplo a seguir ilustra como a programação linear pode ser usada para problemas de
gerenciamento de fluxo de caixa. A chave é determinar as relações de dinheiro nas mãos
durante diferentes períodos.
Uma empresa de investimentos precisa determinar a estratégia de investimento para os
próximos 3 anos. Atualmente a empresa tem $100.000 disponível para investir. Os
investimentos A, B, C, D e E estão disponíveis. O fluxo de caixa associado com investir $1
em cada opção é dado na tabela a seguir.
0 1 2 3 A -$1 $0.50 $1 $0 B $0 -$1 $0.50 $1 C -$1 $1.2 $0 $0 D -$1 $0 $0 $1.9 E $0 $0 -$1 $1.5
Por exemplo, 1$ investido na opção B requer um pagamento de $1 no ano 1 e retorna $0.50
no ano 2 e $1 no ano 3. Para assegurar que o portifólio da empresa seja diversificado, a
política da empresa é a de aplicar até $ 75.000 em um único investimento. Adicionalmente
aos investimentos A-E, a empresa pode obter taxas de 8% ao ano mantendo o dinheiro não
investido em fundos do mercado. Ganhos dos investimentos podem ser imediatamente
reinvestidos. Por exemplo, o dinheiro recebido no ano 1 do investimento C pode ser
imediatamente reinvestido na opção B. A empresa tem como diretriz não emprestar dinheiro
de fundos, assim o dinheiro disponível para investimento a qualquer tempo é limitado ao
disponível. Formular a programação linear que maximiza o dinheiro em mãos no ano 3.
6. SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE P.L. - MÉTODO SIMPLEX
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 17 Nas formulações anteriores, problemas com mais de 2 variáveis não poderiam ser
solucionados com o método gráfico. Desta forma é necessário o estudo de outro procedimento
para a busca de soluções.
Agora, será apresentado mais um procedimento geral para resolução de problemas de
programação linear, denominado "Método Simplex" e que foi desenvolvido em1947 por
George B. Dantzig.
O método simplex é um método interativo (algoritmo) utilizado para achar, algebricamente, a
solução ótima de um problema de P.L..
6.1 Teoremas Básicos Teorema 1 - O conjunto de todas as soluções compatíveis do modelo de programação linear é
um conjunto convexo cujos vértices (pontos extremos) correspondem a soluções básicas
viáveis.
Teorema 2 - Se a função objetiva possui um máximo (mínimo) finito, então pelo menos uma
solução ótima é um ponto extremo do conjunto convexo do teorema1.
6.2 Procedimentos do Método Simplex Supondo o seguinte problema para maximização:
Max z = 5X1 + 2X2
Sujeito a:
X1 ≤ 3
X2 ≤ 4
X1 + 2X2 ≤ 9
X1, X2 ≥ 0
A solução gráfica do problema é a seguinte:
X2
E(0, 4) D(1, 4)
C(3, 3)
Z
ZB = 15
ZE = 8
ZD = 13
ZB = 15
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 18
Sabe-se que a solução ótima do modelo é uma solução compatível básica do sistema, ou seja,
um ponto extremo do polígono A,B,C,D,E.
O método simplex, para ser iniciado, necessita conhecer uma solução compatível básica
(solução inicial) do sistema, isto é, um dos pontos A,B,C,D,E do trapézio. Suponha-se que
essa solução seja o ponto A.
O método simplex verifica se a presente solução é ótima. Se for o processo está encerrado. Se
não for ótima, é porque um dos pontos adjacentes fornece um valor maior que o ponto A.
Neste caso, o método simplex faz então a mudança do ponto A para o ponto extremo
adjacente que mais aumente o valor da função objetivo. No caso o ponto B.
Agora, tudo que foi feito para o ponto extremo A é feito para o ponto extremo B. O processo
finaliza quando se obtém um ponto extremo onde todos os pontos extremos a ele adjacentes,
fornecem valores menores que a função objetivo.
Como fazer, algebricamente, a mudança de um ponto extremo para outro, a ele adjacente?
Achar, portanto, a próxima solução básica (ponto extremo adjacente) exige a escolha de uma
variável básica para deixar a base atual, tornando-se não básica, e a escolha de uma variável
não básica para entrar na base em sua substituição.
O método simplex compreenderá, portanto, os seguintes passos:
1. Achar uma solução compatível básica inicial.
2. Verificar se a solução atual é ótima. Se for, pare. Caso contrário siga para o passo III.
3. Determinar a variável não-básica que deve entrar na base.
4. Determinar a variável básica que deve sair da base.
5. Achar a nova solução compatível básica, e voltar ao passo II
6.3 O Método Simplex
Pontos extremos
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 19 A seguir será mostrado passo a passo o método simplex.
Definição Geral de Programação Linear:
Maximizar ou Minimizar Z = C 1X 1 + C2 X2 + .... + Cn Xn
sujeito a:
a11X1 + a12X1 + ..........+ a1nXn (≤ ou = ou ≥) b1
a21X1 + a22X1 + ..........+ a2nXn (≤ ou = ou ≥) b2
a31X1 + a32X1 + ..........+ a3nXn (≤ ou = ou ≥) b3
am1X1 + am2X1 + ..........+ amnXn (≤ ou = ou ≥) bm
X1, X2, X3, Xn ≥ 0
O Método Simplex é aplicado diretamente quando:
1. todas as restrições são ≤ bi
2. todos os bi ≥ 0
3. se quer maximizar Z
Quando uma dessas condições não é atendida estamos em presença de um caso particular.
O Método Simplex será estudado, acompanhando a seguinte formulação:
Maximizar Z = 3x1 + 2x2 + 5x3
Sujeito a
x1+ 2x2 + x3 ≤ 430
3x1 + 2x3 ≤ 460
xl + 4x2 ≤ 420
x1, x2, x3 ≥ 0
Primeiro passo: Transformar o sistema de M desigualdades lineares restritivas em um
sistema de M equações lineares.
Para isso adiciona-se a cada uma das desigualdades uma variável não-negativa chamada
“Variável de Folga".
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 20 Obs: Tem-se tantas variáveis de folga quantos forem as restrições.
Representação das Folgas = xn+1 , xn+2 , ... , xn+m.
Assim temos:
x1+ 2x2 + x3 + x4 = 430
3x1 + 2x3 + x5 = 460
xl + 4x2 + x6 = 420
Segundo passo: Colocar as equações em forma de tabela
Z - 3x1 - 2x2 - 5x3 = 0
x1+ 2x2 + x3 + x4 = 430
3x1 +2x3 + x5 = 460
xl + 4x2 + x6 = 420
Terceiro passo: Determinar uma solução inicial viável.
Pode ser demonstrado que a solução ótima de um problema de programação linear é uma
solução básica. Una solução básica para um sistema de M equações e N incógnitas.
Possui M variáveis diferentes de O (zero) e (N - M) variáveis iguais a 0 (zero). As variáveis
diferentes de 0 (zero) são chamadas "Variáveis Básicas" e aquelas iguais a 0 (zero) são as
"Variáveis Não Básicas".
No Método Simplex escolhe-se como variáveis básicas aquelas em cuja coluna aparece um
valor igual a 1 e os demais iguais a 0 (zero).
Quarto passo: verificar se a solução é ótima.
Examinar os valores dos coeficientes das Variáveis não básicas na la linha (no exemplo, linha
de Z) e concluir:
a. Se todos os valores forem positivos a solução é ótima e única.
b. Se aparecerem valores positivos e alguns nulos a solução é ótima mas não única.
c. Se aparecer algum valor negativo a solução não é ótima. Deve-se, então executar o 5o
passo.
Como pode se verificar na tabela a seguir, existem números negativos na primeira linha,
assim a solução não é ótima, e precisa-se continuar os passos do método.
Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac.
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 21
Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 X4 0 1 2 1 1 0 0 430 430 1 X5 0 3 0 2 0 1 0 460 230 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. 3
Quinto passo: Determinar a variável que entra (xe )
A variável que entra deve satisfazer as seguintes condições:
- ser igual a 0 (zero) na solução atual (ou seja deve ser não básica)
- ter coeficiente menor ou igual a 0 (zero) na linha de Z (na la linha)
- possuir em sua coluna, pelo menos um coeficiente positivo. Escolher para entrar na base
aquela que apresentar, na linha de Z, o coeficiente negativo de maior valor absoluto. Marcar a
coluna na tabela.
Sexto passo: Determinar a variável que sai (xs).
Calcula-se o valor de bi/aie para cada linha da tabela e escolhe-se para sair a variável para a
qual o quociente tiver o menor valor não negativo.
Marcar na matriz a linha de xs. O quinto e sexto passos podem ser vistos nesta tabela:
Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac.
Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 X4 0 1 2 1 1 0 0 430 430 1 X5 0 3 0 2 0 1 0 460 230 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. 3
Sétimo passo: Calcular a nova matriz de coeficientes, executando as operações convenientes
nas linhas da matriz.
Os coeficientes da nova matriz podem ser calculados da seguinte maneira:
10 - Dividir todos os elementos da linha marcada pelo pivô (esta linha não muda mais).
20 - Multiplicar a linha marcada pelo fator Fi= aie / ase
Subtrair a linha i da matriz, da linha marcada e multiplicada pelo fator Fi.
entra
sai Pivô
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 22 30 - Substituir na coluna base a variável que sai pela variável que entra.
O resultado destas operações na tabela anterior resulta em:
Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac.
Z 1 4.5 -2 0 0 2.5 0 1150 0 X4 0 -0.5 2 0 1 -0.5 0 200 100 1 X3 0 1.5 0 1 0 0.5 0 230 ind. 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 105 3
Como na primeira linha da coluna de X2 aparece um número negativo, a solução ainda não é a
ótima.
Oitavo passo: Repetir todos os passos, do 40 ao 70, tantas vezes quanto forem necessárias, até
que a solução ótima seja encontrada. O resultado final da tabela anterior aparece na próxima
iteração, e como não existem mais números negativos na primeira linha a solução é ótima. O
resultado é mostrado a seguir.
Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac. Z 1 4 0 0 1 2 0 1350 0 X2 0 -0.25 1 0 0.5 -0.25 0 100 1 X3 0 1.5 0 1 0 0.5 0 230 2 X6 0 2 0 0 -2 1 1 20 3
O máximo Z é 1350, para X2 = 100, X3 = 230 e X6 = 20.
6.4 EXEMPLO - Resolver o problema do GIAPETTO pelo simplex.
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 23
Resolvendo o problema deGiapetto pelo simplex
• max Z = 3X1 + 2X2 (1)sujeito a:
• 2X1 + X2 <= 100 (2)• X1 + X2 <= 80 (3)• X1<= 40 (4)• X1 >= 0 (5)• X2 >= 0 (6)
Primeiro passo importante:converter o problema de PL na
forma canônica• max Z = 3X1 + 2X2 (1)
sujeito a:• 2X1 + X2 + X3 = 100 (2)• X1 + X2 + X4 = 80 (3)• X1 + X5 = 40 (4)• X1, X2, X3, X4 e X5 >=0
• max Z = 3X1 + 2X2 (1)sujeito a:
• 2X1 + X2 + X3 = 100 (2)• X1 + X2 + X4 = 80 (3)• X1 + X5 = 40 (4)• X1, X2, X3, X4 e X5 >=0
Variáveis não básicas: X1 = X2 = 0Variáveis básicas: X3 = 100 X4 = 80 X5 = 40
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 24
O problema pode ser representado assim:
Z X1 X2 X3 X4 X5 b RazãoBase 1 -3 -2 0 0 0 0 (1)X3 0 2 1 1 0 0 100 (2)X4 0 1 1 0 1 0 80 (3)X5 0 1 0 0 0 1 40 (4)
Pivo
100/2=5080/1=8040/1=40
Indica que X1 entra nolugar de X5
Solução parcial: (0, 0, 100, 80, 40)
Próximo quadro - Base: X3, X4 e X1
Devem se colocadas na forma canônica
Pivo
Z X1 X2 X3 X4 X5 b RazãoBase 1 0 -2 0 0 3 120 (1)+3(4) (1)X3 0 0 1 1 0 -2 20 (2)-2(4) (2)X4 0 0 1 0 1 -1 40 (3)-(4) (3)X1 0 1 0 0 0 1 40 (4) (4)
Ainda não é a solução ótima
20/1=2040/1=40
40/0
Indica que X2 entra nolugar de X3
Solução parcial: (40, 0, 20, 40, 0)
Próximo quadro - Base: X2, X4 e X1
Devem se colocadas na forma canônica
Ainda não é a solução ótima Pivo
-102040
Indica que X5 entra nolugar de X4
Solução parcial: (40, 20, 0, 20, 0)
Próximo quadro - Base: X2, X5 e X1
Devem se colocadas na forma canônica
Z X1 X2 X3 X4 X5 b RazãoBase 1 0 0 2 0 -1 160 (1)+2(2) (1)X2 0 0 1 1 0 -2 20 (2) (2)X4 0 0 0 -1 1 1 20 (3)-(2) (3)X1 0 1 0 0 0 1 40 (4) (4)
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 25
solução é ótima
Z X1 X2 X3 X4 X5 b RazãoBase 1 0 0 1 1 0 180 (1)+(3) (1)X2 0 0 1 -1 2 0 60 (2)+2(3) (2)X5 0 0 0 -1 1 1 20 (3) (3)X1 0 1 0 1 -1 0 20 (4)-(3) (4)
Valor máximo possívelpara a função objetivo
Solução ótima: (20, 60, 0, 0, 20)
A restrição 4 tem um folga de 20
• max Z = 3X1 + 2X2 (1)sujeito a:
• 2X1 + X2 + X3 = 100 (2)• X1 + X2 + X4 = 80 (3)• X1 + X5 = 40 (4)• X1, X2, X3, X4 e X5 >=0
Solução do problema deGiapetto pelo simplex
Solução ótima: (20, 60, 0, 0, 20) Z = 3*20 + 2*60 = 180
A restrição 4 tem um folga de 20
Resolver pelo Simplex a seguinte formulação:
Max Z = 5X1 +2X2
Sujeito a:
X1 ≤ 3
X2 ≤ 4
X1 + 2X2 ≤ 9
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 26 7. SOFTWARES COMPUTACIONAIS A utilização de programação linear é recomendada para problemas de maior porte, em que
muitas variáveis e restrições devem ser consideradas. Por isso, o desenvolvimento de
algoritmos computacionais eficientes e precisos têm sido a maior preocupação entre os
pesquisadores. Programas adequados existem, virtualmente, para cada sistema computacional
comercial desenvolvido nos últimos 20 anos.
Problemas de grande porte requerem sistemas computacionais potentes e, portanto, sistemas
paralelos têm sido utilizados nos últimos anos. Entretanto, problemas menores podem ser
resolvidos em um computador pessoal utilizando um dos softwares desenvolvidos para
resolução de problemas de programação linear, como por exemplo XPress-MP LINDO e
MINOS.
Para problemas considerados médios, é recomendável a utilização de planilhas eletrônicas
com recursos para resolução de problemas. Exemplos destas planilhas são o "What's Best?"
(LINDO Systems) para Lotus 1-2-3, o Microsoft Excel e Borland Quattro e ainda o solver
para microsoft Excel. Todos eles são ferramentas poderosas, apesar de sua aparência simples.
O Solver do Excel será utilizado em alguns exemplos apresentados. Outro programa que
também será visto é o LINDO.
O instituto de pesquisa operacional e ciências administrativas (INFOR-MS) publica,
eventualmente, pesquisas sobre os softwares de programação matemática em seu periódico
OR/MS Today. O relatório de 1995 apresenta softwares que rodam em computadores pessoais
e destaca softwares capazes de atacar problemas maiores tanto quanto extensões de planilhas
eletrônicas.
7.1 Uma introdução ao uso do LINDO LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) foi desenvolvido por Linus Schrage
(1986). Ele é um programa de computador que pode ser usado para resolver problemas de
programação linear, inteira e quadrática. Para ilustrar seu uso, vamos usar o exemplo de
Giapetto, discutido anteriormente, e que foi sintetizado na seguinte formulação:
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 27
O programa executável tem o nome LINDO.EXE, apesar dele ser originalmente desenvolvido
para o ambiente DOS, pode-se executá-lo pelo WINDOWS. O LINDO assume que todas as
variáveis são não negativas, e as restrições adicionais não precisam ser fornecidas.
7.1.1 Comandos do LINDO São os seguintes os comandos do LINDO:
MAX – entrada inicial para o problema de maximização;
MIN – entrada inicial para o problema de minimização;
END – finalização da formulação, deixando o LINDO pronto para aceitar outros comandos;
GO – resolve a formulação corrente e apresenta a solução;
LOOK – mostra seleção estabelecida da atual formulação;
ALTER – altera um elemento da formulação corrente;
EXT – soma uma ou mais restrições ao modelo;
DEL – retira uma ou mais restrições do modelo;
DIVERT – saída para um arquivo, de tal forma que possa ser impresso;
RVRT – finaliza o comando DIVERT;
SAVE – salva uma formulação, de tal forma que possa ser recuperada para uso futuro;
RETRIEVE – recupera um arquivo anteriormente salvo;
EDIT – chama o editor do programa;
SOLU – mostra a solução da formulação (usar o comando GO antes do SOLU);
TABLEAU – mostra a tabela da formulação pelo simplex;
TAKE – habilita o LINDO a trabalhar com arquivos gerados por outros editores.
Uma lista completa dos comandos pode ser obtida através do comando COMMAND.
• max Z = 3X1 + 2X2 (1) sujeito a: • 2X1 + X2 <= 100 (2) • X1 + X2 <= 80 (3) • X1<= 40 (4) • X1 >= 0 (5) • X2 >= 0 (6)
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 28 7.1.2 Usando o LINDO O programa assume que todas as variáveis precisam ser não negativas. Assim, usando o
programa não é necessário digitar as variáveis de não negatividade. Para entrar com ≥ ou ≤,
basta digitar > ou <. O problema de Giapetto no programa fica da maneira ilustrada na figura
abaixo.
Depois de inserida a formulação no programa, pode-se usar qualquer dos comandos
mostrados anteriormente. Para problemas com muitas variáveis, a função objetivo ou as
restrições podem se estender por mais de uma linha. Se algum equivoco é cometido durante o
processo de entrada da formulação, o LINDO acusará o erro e instruções de correção.
Uma vez a formulação tenha sido programada, é sempre útil verificar se houve algum erro de
digitação. Para o programa mostrar a formulação, o comando LOOK, pode ser usado. Ele irá
perguntar qual a linha que se deseja verificar. Responda com um número de uma determinada
linha, por exemplo, 3; ou por uma faica de linhas, 1-3; ou todas (ALL). Lembre que o LINDO
considera a função objetivo como a linha 1.
Para alterar algum aspecto da formulação, usar o comando ALTER. O programa irá
perguntar qual o número da linha, nome da variável, e o novo coeficiente, nesta seqüência.
Para trocar o lado direito de uma restrição, digitar RHS quando o programa perguntar pela
variável. Para trocar o sinal da restrição (por exemplo ≥ para ≤), digitar DIR quando o
programa perguntar pela variável. Mudanças adicionais podem ser feitas usando EXT (para
adicionar novas linhas), DEL (apagar uma linha) e APPC (para somar uma variável a uma ou
mais linhas).
Uma vez que o programa esta digitado, para salvar basta digitar SAVE e dar um nome para o
problema. Para recuperar o arquivo basta usar RETRIEVE.
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 29 Para verificar o resultado do problema, basta digitar GO. Para obter uma impressão é preciso
criar um arquivo e imprimir este arquivo. Isto é realizado com o comando DIVERT.
Para resolver o problema, basta usar GO. Apenas a solução ótima é mostrada na tela, mas a
solução inteira pode ser vista no arquivo de saída para impressão. Em seguida o programa
pergunta se é desejo fazer uma análise de sensibilidade. Digitar NO ou YES. Para sair do
programa é necessário digitar QUIT.
Qualquer problema no uso do programa, o comando HELP fornece algumas informações.
Finalmente, o LINDO não aceita parênteses e virgulas. Assim 400(X1+X2) precisa ser
digitado como 400X1+400X2.
7.1.3 O editor do LINDO Em versões mais novas do LINDO usando o comando EDIT, um editor para corrigir e
verificar a formulação inteira é uma ferramenta bastante interessante. Neste editor as teclas
tem as seguintes funções:
Home – manda o cursor para o inicio da formulação;
End – manda o cursor para o fim da formulação;
PgUp – movimenta uma página a frente;
PgDn– movimenta uma página a trás;
Setas – movimenta o cursor de uma posição;
Esc – sai do editor;
Del – apaga caracter;
Backspace – apaga o caracter a esquerda do cursor;
Enter – muda o texto a direita para a próxima linha;
Crtl – seta direita – manda o cursor para o fim da próxima palavra;
Crtl – seta esquerda – manda o cursor para o fim da palavra anterior;
Crtl-S – move o cursor para o início da linha;
Crtl-E – move o cursor para o fim da linha;
7.2 UTILIZANDO O SOLVER DO EXCEL Como foi dito anteriormente, a aplicação de programação linear não é mais limitada pela
necessidade de um software especialista. Planilhas eletrônicas geralmente possuem
ferramentas que podem ser utilizados para atacar problemas de programação linear de
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 30 tamanho considerável. Talvez as duas planilhas mais utilizadas sejam o Excel, que contém um
opcional conhecido como solver, e o Lotus 1-2-3, que possui o módulo What's best?. Ambos
os sistemas são muito simples de serem utilizados e, embora sejam um pouco mais lentos que
os softwares especialistas, podem resolver problemas de tamanho razoável. Existem, é claro,
alguns perigos na sua facilidade de uso, assim como existem armadilhas que devem ser
evitadas quando modelos de programação linear são construídos e rodados, as quais podem
ser encobertas neste software amigável. Entretanto, a disponibilidade deste software é algo
passível de ser elogiada.
A discussão apresentada a seguir é baseada no Microsoft Excel v7. Versões mais recentes ou
mais antigas deste software poderão apresentar pequenas diferenças na estrutura, mas as
idéias básicas são as mesmas.
7.2.1 Formulação para o Solver Na base de qualquer modelo de programação linear existe um conjunto de restrições às quais
uma função objetivo a ser otimizada está submetida. O exemplo simples de Giapetto foi
formulado anteriormente, neste capítulo, através das equações algébricas representadas a
seguir:
Max Z = 3X1+ 2X2
Sujeita a:
2X1 + X2 ≤ 100
X1 + X2 ≤ 80
X1 ≤ 40
Função objetivo
Restrição quanto a tempo de acabamento
Restrição quanto a tempo de carpintaria
Restrição de venda máxima de soldados
Estas equações podem ser representadas de maneira diferente, através da utilização de
matrizes. Esta representação está exposta a seguir:
X1 = número de soldados
X2 = número de trens
maximizar 3 2 Sujeito as restrições limite 2 1 ≤ 100 1 1 ≤ 80 1 0 ≤ 40 Lucro bruto
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 31 Solução 0 0 0
Com exceção da última linha, denominada solução, as demais restrições expostas nas matrizes
já eram conhecidas. A linha de solução representa os valores atribuídos a X1 e X2 antes de
qualquer otimização. No estado atual, ambos X1 e X2 são definidos como zero, o que resulta
em um lucro bruto de zero unidades.
O primeiro estágio de uso Solver é escrever esta matriz na planilha, como apresentado na
Figura 1. Como em qualquer planilha, é muito importante observar que algumas células
contêm valores constantes, mas outras contêm fórmulas as quais assumem os valores que são
exibidos nas mesmas. Neste exemplo, as células D4, D5, D6 e E8 contêm fórmulas. As
demais contêm textos, que são utilizados para deixar o exemplo mais claro, ou contêm
valores.
Figura 1 - formulação básica do problema.
Uma rápida explicação da Figura 1 é dada abaixo:
1. Neste exemplo, as colunas B e C possuem os valores dos coeficientes das expressões
utilizadas na formulação algébrica e na tabela anteriormente.
2. A linha 2 contém os valores dos coeficientes da função objetivo (2 e 1).
3. As linhas 4 a 6 apresentam os valores dos coeficientes das restrições descritas
anteriormente.
4. A linha 8 contém os valores dados inicialmente para X1 e X2 antes de qualquer
otimização.
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 32 5. A coluna D possui suas linhas com valor zero, porém suas células representam a
utilização das três restrições. Assim, a célula D4 contém a fórmula:
= $B$8*$B4 + $C$8*$C4
Observe que as referências às células B10 e C10 são ambas absolutas. Assim, esta fórmula
estendida da célula D4 a à D6 é dada por:
D4 = $B$8*$B4 + $C$8*$C4
D5 = $B$8*$B5 + $C$8*$C5
D6 = $B$8*$B6 + $C$8*$C6
A coluna E foi utilizada para que os limites máximos e mínimos das restrições fossem
observados, a qual é freqüentemente conhecida como right-hand-sides (abreviada como RHS
por muitas pessoas). Assim, existe um limite de 100 horas para acabamento, de 80 horas para
carpintaria e venda máxima de 40 soldados. A coluna D, como mencionado anteriormente, é
usada para armazenar a utilização atual dos recursos. Assim, a célula D4 representa a
quantidade da restrição horas de acabamento que foi utilizada e seu valor é zero, uma vez que
as células B8 e C8 contêm valor zero antes de qualquer otimização.
Finalmente, uma célula da planilha deve ser utilizada para armazenar o resultado da
otimização (neste caso, o valor do lucro semanal obtido); nesta planilha, este valor está
contido na célula E8.
7.2.2 Janela de Parâmetros do Solver Utilizando os botões do mouse ou o teclado, devemos selecionar o Solver a partir do menu de
ferramentas do Microsoft Excel. A Figura 2 apresenta a janela que irá aparecer na tela. Esta
janela de parâmetros do Solver é utilizada quando o usuário fornece ao Solver as informações
necessárias para que o mesmo busque a solução otimizada.
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 33
Figura 2 - Janela de parâmetros do Solver.
Para chegarmos à solução ótima do exemplo, o Solver precisa das seguintes informações:
1. Onde o valor da função objetivo será armazenado? Este valor representa o resultado da
otimização dado pela combinação de valores de X1 e X2 determinada. Neste caso, o
resultado será armazenada na célula E8. Isto significa que a célula E8 deve conter a
fórmula apropriada para a otimização, a qual, neste caso, é dada por: = $B$2*$B$8 +
$C$2*$C$8. Observe que as células de referência são absolutas - o que é recomendável,
porém não é necessário.
2. Quais são as restrições e que forma as mesmas possuem? Para fornecer estas informações
para o Solver, clique no botão adicionar da subjanela de restrições da janela dos
parâmetros do Solver. Uma caixa de diálogo, como a apresentada na Figura 3, irá
aparecer. Neste caso, a caixa de diálogo corresponde à primeira restrição, a restrição das
horas de acabamento, a qual possui seus coeficientes nas células B4 e C4 e sua expressão
está contida na célula D4. Assim, a célula $D$4 deve ser digitada na caixa referência de
célula, uma vez que a mesma contém a expressão da restrição. Esta restrição é do tipo
menor ou igual a, assim devemos selecionar este símbolo da caixa central da janela.
Finalmente, o valor máximo para esta restrição encontra-se na célula $E$4 e esta célula
deve ser indicada na caixa à esquerda da janela. Aperte o botão OK e a caixa de diálogo
irá fechar-se retornando à janela de parâmetros do Solver. Cada uma das restrições deve
ser descrita do mesmo modo como a anterior.
Figura 3 - janela para entrada das restrições.
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 34 3. Quais células irão conter os valores de X1 e X2, os quais serão modificados até que se
otimize a função objetivo, e qual tipo de otimização deve-se procurar? Esta informação
deve ser fornecida pelo usuário através da janela de parâmetros do Solver. As células
cujos valores serão variados são a B8 e a C8 e, como mostra a Figura 4, devem ser
descritas como células de referência na caixa células variáveis. Como se busca a
maximização destas variáveis, a opção Máx deve ser selecionada.
Figura 4 - entrada das células que irão variar para que a solução ótima seja encontrada (células variáveis).
Antes de executar a otimização, é interessante informar ao Solver que todas as restrições são
expressões lineares, assim como a função objetivo. Estas informações devem ser fornecidas,
pois estamos tratando de um problema de programação linear. Para entrar com esta
informação, clique o botão opções da janela dos parâmetros do Solver. Uma nova janela irá
aparecer onde a opção presume modelo linear deve ser selecionada. Isto irá aumentar a
velocidade da otimização e, também, fará com que os relatórios fornecidos sejam adaptados
para o formato de problemas de programação linear (veja a seguir).
Para executar a otimização, retorne à janela de parâmetros do Solver e aperte o botão resolver.
A Figura 5 apresenta o resultado da otimização.
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 35
Figura 5 - solução do problema
É importante observar que muitas outras informações, além do valor ótimo das variáveis
estudadas, podem ser obtidas a partir da solução fornecida para um problema de programação
linear. Um bom pacote computacional como o Solver fornece relatórios que ajudam o usuário
a entender muito mais sobre a solução apresentada. O Solver fornece três relatórios padrão e
permite que sua solução seja exportada para outro pacote se uma análise mais detalhada for
necessária.
7.2.3 O Relatório de Resultados do Solver O relatório resume os resultados da pasta de trabalho e também fornece algumas informações
a mais. Estas informações extras podem ser calculadas pelo usuário, mas é importante guardá-
las em algum lugar. O relatório da otimização para o problema apresentado é mostrado na
Figura 6 e possui três partes, como descrito abaixo:
• 1.Célula de destino (Máximo): apresenta o máximo lucro obtido pelo Solver. Se este fosse
um problema de minimização, esta seção iria conter o valor mínimo.
• Células ajustáveis: mostram as variáveis de entrada, seus valores após a solução ótima e
seus valores iniciais (zero, neste caso).
Restrições: indicam a utilização de cada um dos recursos ao final da otimização. A coluna de
status classifica as restrições como obrigatória (restrição com utilização máxima) ou não-
Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 36 obrigatória, estas últimas são as que apresentam algum recurso que não foi utilizado -
indicado pelo valor diferente de zero na coluna diferencial (slacks - folgas).
Os outros dois relatórios fornecem mais informações sobre a sensibilidade da solução ótima,
informações que podem ser importantes por várias razões. Primeiro, porque são raros os casos
de programação matemática em ciências administrativas nos quais todos os coeficientes ou
valores do modelo são conhecidos com precisão. Geralmente, alguns coeficientes são
conhecidos e vários serão aproximações, estimativas ou até mesmo hipóteses. O que fazer, se
os valores tomados forem errados? Qual será o efeito destes erros na solução? Assim, uma
solução alternativa não tão ótima pode ser, algumas vezes, melhor que uma solução ótima que
se toma sensível aos valores atribuídos aos coeficientes. A segunda razão que torna
importante a análise de sensibilidade está relacionada à idéia de que o mundo é dinâmico e,
por isso, as coisas estão mudando constantemente. Por exemplo, pode ser verdade que esta
semana a matéria-prima tenha um certo custo, porém, se o período observado for um mês,
este custo pode ser diferente. Assim, é importante conhecer quais são os efeitos que as
mudanças nos coeficientes podem gerar na solução ótima.
Figura 7 - relatório de resposta para o problema
CAP. 6 - ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
EM SITUAÇÃO DE RISCO
1. APRESENTAÇÃO Neste capítulo serão abordados vários métodos que levam em conta o uso das
probabilidades na análise de investimentos. Estes métodos visam subsidiar as decisões
informando o valor esperado dos resultados econômicos e, também, o risco das alternativas
de investimentos, através da dispersão destes resultados. Outra informação de interesse é a
probabilidade de inviabilidade dos investimentos.
2. FLUXOS DE CAIXA INDEPENDENTES NO TEMPO Esta hipótese, a mais simplificada, supõe que o valor e o sinal do fluxo de caixa no
período “k” são independentes do fluxo de caixa no período “k - 1”, ou seja, a variação do
fluxo das receitas (e/ou despesas) de um período nada tem a ver com a variação do fluxo
das receitas (e/ou despesas) do período anterior.
2.1 MÉDIA E VARIÂNCIA DO VPL DE UM FLUXO DE CAIXA
Considera-se que, em cada período, no lugar de um valor para o fluxo líquido,
podem ocorrer vários fluxos líquidos possíveis (Atk), cada um com sua respectiva
probabilidade de ocorrência (Ptk), conforme mostrado na figura 1.
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 2
Figura 1 - Fluxo de Caixa
O valor médio de cada fluxo de caixa, em cada período t é:
A P At tjj
k
tj==∑
1
(1)
e o desvio-padrão (raíz quadrada da variância) de cada fluxo de caixa, de cada período, é
dado por:
σ( ) ( )A P A At tj tj tj
k
= −=∑ 2
1
(2)
Com estes dois dados (média e desvio-padrão) do fluxo de cada período, pode-se,
então, calcular a média e variância da distribuição do valor presente.
A01
A0k
A02
P0k
P02
P01
A11
A1k
A12
P1k
P12
P11
An1
Ank
An2
Pnk
Pn2
Pn1
At1
Atk
At2
Ptk
Pt2
Pt1
n
t
1
0
F.C.
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 3
A média desta distribuição de probabilidade nada mais é do que o somatório das
médias de cada período, descontadas à taxa de juros “ï”. Assim:
E(VPL) =t=0
n Ait
t( )1+∑ (3)
O desvio-padrão do valor presente líquido, σ(VPL), é calculado a partir da
variância da distribuição:
σσ σ2
0
2 2
201 1
( )( )
( )( )
( )VPL
Ai
Ai
tt
t
nt
tt
n
=+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
+= =∑ ∑ (4)
2.1.1 Exemplo 1 Seja um investimento de valor inicial de $ 10.000.000, analisado por uma empresa
cujo custo de capital é de 5 % a. p.. Este investimento deve gerar fluxos de caixa positivos
nos três períodos posteriores. Os valores possíveis desses fluxos e suas respectivas
probabilidades de ocorrência foram estimados assim:
. . . . . .
1 t n
A 1
A 0
A nA t
. . . . . .
1 t n 0
σ(A0) σ(An)σ(At)σ(A1)
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 4
Período 1 Período 2 Período 3
Valor ($1000)
Probabilidade Valor ($1000)
Probabilidade Valor ($1000)
Probabilidade
2.000 0,05 2.000 0,10 1.000 0,20
4.000 0,20 3.000 0,25 2.000 0,20
5.000 0,50 6.000 0,40 4.000 0,30
6.000 0,15 7.000 0,20 5.000 0,20
8.000 0,10 8.000 0,05 6.000 0,10
Se os fluxos são independentes, qual a probabilidade do investimento se tornar
inviável ?
Solução:
a) Cálculo do Valor Esperado do Valor Presente Líquido E(VPL):
A P At tjj
k
tj==∑
1
A1 =
A 2 =
A 3 =
E(VPL) =t=0
n Ait
t( )1+∑
E(VPL) =
b) Cálculo do desvio-padrão do VPL “σ(VPL)”:
σ( ) ( )A P A At tj tj tj
k
= −=∑ 2
1
σ(A1) =
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 5
σ(A2) =
σ(A3) =
σσ σ2
0
2 2
201 1
( )( )
( )( )
( )VPL
Ai
Ai
tt
t
nt
tt
n
=+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
+= =∑ ∑
σ2(VPL) =
σ(VPL) =
c) Cálculo da probabilidade do investimento se tornar inviável:
Trabalha-se com a distribuição normal padronizada “z”, onde:
z = VPL - E(VPL)(VPL)σ
(5)
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 6
2.2 USO DA DISTRIBUIÇÃO BETA
Uma forma bastante utilizada para se chegar aos parâmetros da distribuição do
valor presente líquido, em se tratando de fluxos de caixa independentes no tempo, é o
método dos três estimadores.
Esse método, que é bastante utilizado em pesquisa operacional e pert-cpm, aplica-
se ao caso em que não é possível estabelecer a distribuição de probabilidades para cada
fluxo de caixa. Neste caso, é comum estabelecer 3 estimativas para cada fluxo:
• Uma estimativa mais provável - m
• Uma estimativa alta possível, embora pouco provável - b
• Uma estimativa baixa possível, embora pouco provável - a
Neste caso, os valores estimados seguem uma distribuição estatística Beta (β),
cujos parâmetros estatísticos são dados por:
µ = b + 4m + a6
(6)
e
σ 22
6=
−⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
b a (7)
Desta forma, chega-se com certa facilidade aos valores de E(VPL) e σ2(VPL).
A média e o desvio padrão do fluxo de caixa em um período t são:
A t =b + 4m + a
6t t t (8)
e
σ 22
6( )A
b at
t t=−⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
(9)
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 7
Já a média e a variância da distribuição de probabilidades do valor presente líquido
da alternativa de investimento, da mesma forma que no item anterior, é dado por:
E(VPL) =t=0
n Ait
t( )1+∑ (3)
e
σσ σ2
0
2 2
201 1
( )( )
( )( )
( )VPL
Ai
Ai
tt
t
nt
tt
n
=+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
+= =∑ ∑ (4)
2.2.1 Exemplo 2 Uma empresa pretende adquirir uma máquina que custa atualmente $ 300.000. De
acordo com um estudo criterioso, chegou-se às seguintes previsões de lucro para os
próximos 3 períodos:
Lucro Período 1 Período 2 Período 3
Máximo 250.000 220.000 150.000
Mais provável 200.000 200.000 150.000
Mínimo 150.000 120.000 90.000
. . . . . .
1 t n
A 1
A 0
A nA t
. . . . . .
1 t n 0
σ(A0) σ(An)σ(At) σ(A1)
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 8
Se a TMA da empresa é de 10% a. p., qual o risco de inviabilidade que a empresa
está sujeita com a compra da máquina ?
Solução:
a) Cálculo de E(VPL):
b) Cálculo de σ(VPL):
c) Cálculo do risco do investimento se tornar inviável:
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 9
3. FLUXOS DE CAIXA DEPENDENTES NO TEMPO Neste caso, ou seja, na hipótese da correlação perfeita entre os fluxos de caixa no
tempo, nada muda em relação ao cálculo do valor esperado do valor presente líquido. Será
alterado, no entanto, o valor da variância da distribuição, que será sempre maior do que
quando se considera independência entre os fluxos de caixa.
Na prática, entretanto, esta hipótese de correlação perfeita não ocorre, mas pode ser
utilizada como uma boa base para um estudo de análise de sensibilidade onde se testa o
limite máximo da variância de um investimento.
A vaiância da distribuição do valor presente líquido é igual a:
σσ σ σ2
202
212 1
2
20 1
0 10 2
0 21 1 121 1
21 1
( )( )
( )( )
( )....
( )( )
cov( , )( ) ( )
cov( , )( ) ( )
....*0 * *nVPLAi
Ai
Ai
A Ai i
A Ai i
n=+
++
+ ++
++ +
++ +
+
onde:
cov (Aj,Ak) = ρjk . σ(Aj).σ(Ak)
e
ρjk = 1 , hipótese de correlação perfeita
Fazendo o desenvolvimento da expressão, chega-se a:
σσ σ σ2 0
01
1
2
1 1 1( )
( )( )
( )( )
....( )
( )VPL
Ai
Ai
Ain
n=+
++
+ ++
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Assim, no caso de correlação perfeita, os estimadores da distribuição dos valores
presente são:
E(VPL) =t=0
n Ait
t( )1+∑
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 10
e
σσ2
0
2
1( )
( )( )
VPLA
it
tt
n
=+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
=∑ (10)
3.1.1 Exemplo 3
Resolver o exemplo 1, considerando correlação perfeita entre os fluxos de caixa.
Solução:
a) Cálculo do Valor Esperado do Valor Presente Líquido
E(VPL) = (igual ao do exemplo 1)
b) Cálculo do desvio-padrão do VPL:
σσ2
0
2
1( )
( )( )
VPLA
it
tt
n
=+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
=∑
c) Cálculo do risco do investimento se tornar inviável:
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 11
4. FLUXOS DE CAIXA COM DEPENDÊNCIA MODERADA Nos casos anteriores o coeficiente de correlação é igual a 0 (zero) ou 1 (um), ou
seja, ocorre independência ou dependência dos fluxos. Assim os cálculos são facilitados e
não há a necessidade de estimar a correlação entre os fluxos de caixa, o que nem sempre é
possível. De qualquer forma os resultados extremos auxiliam a análise. Mas para resolver o
problema, pode-se utilizar outro método de solução: A SIMULAÇÃO.
Será apresentado aqui um modelo de simulação bastante simples e conhecido, o
Método de Monte-Carlo, bem como a aplicação desse método na análise de
investimentos, desenvolvida por David B. Hertz.
4.1 MÉTODO DE SIMULAÇÃO DE MONTE-CARLO
O mátodo se divide em quatro fases:
Fase 1:
Para cada variável que influencia o diagrama de fluxos de caixa do investimento,
estimar o seu intervalo de variação possível. Estabelecer, então, uma distribuição de
probabilidades correspondente e transformá-la em uma distribuição de probabilidades
acumulada.
Fase 2:
Selecionar, ao acaso, valores para cada variável, de acordo com as suas
probabilidades de ocorrência. Calcular o Valor Presente Líquido ou Taxa interna de
Retorno ou qualqur outra medida de de atratividade para o projeto, para cada combinação
de valores obitida. Se houver dependência entre variáveis, esse fato deve ser considerado
de forma a existir correspondência entre os valores selecionados.
Fase 3:
Efetuar esta operação repetidas vezes, até obter uma distribuição de probabilidades
do retorno do investimento.
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 12
Fase 4:
Acumular a distribuição de probabilidades do retorno, para se ter uma visãi melhor
do comportamento da curva. Em alguns casos pode ser interessante calcular a m’dia e o
desvio-padrão da distribuição, para auxiliar a comparação entre alternativas. Pode ser
preferível escolher uma alternativa de retorno inferior, porém de menor variabilidade.
4.2 EXEMPLO 4
Uma firma consultora, contratada para desenvolver um projeto de viabilidade,
estimou os seguintes valores prováveis para o empreendimento:
• Investimento necessário: $ 70.000
• Benefícios anuais esperados $ 14.000
• Valor residual $ 5.000
• Vida econômica 10 anos
Sendo a taxa mínima de atratividade igual a 10 % ao ano, determinar:
a) O valor presente líquido do projeto para suas estimativas mais prováveis.
b) Analisar o projeto, considerando que os valores envolvidos podem variar de acordo com
as distribuições de probabilidades apresentadas a seguir:
Investimento Benefícios anuais Valor Residual Vida Econômica
Valor Médio ($)
Probabilidade (%)
Valor Médio ($)
Probabilidade (%)
Valor Médio ($)
Probabilidade (%)
Valor Médio ($)
Probabilidade (%)
65.000 12 12.000 5 4.000 30 9 35
70.000 35 13.000 15 5.000 40 10 45
75.000 25 14.000 50 6.000 30 11 20
80.000 15 15.000 20
85.000 13 16.000 10
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 13
Solução:
a) Considerando valores mais prováveis:
b) Simulação:
As distribuições de probabilidades acumuladas são preparadas conforme a seguir:
INVESTIMENTO RECEITA VALOR RESID. VIDA TaxaValor Dist. acum. Valor Dist. acum. Valor Dist. acum. Anos Dist. acum. 65000 12 12000 5 4000 30 9 35 10%
70000 47 13000 20 5000 70 10 80
75000 72 14000 70 6000 100 11 100
80000 87 15000 90
85000 100 16000 100
Para ser obtida uma combinação de valores, seleciona-se números aleatórios entre 0
e 100 para cada variável, representando probabilidades. Os números aleatórios são usados
como entradas nas distribuições cumulativas, a fim de obterem-se os valores das variáveis.
A tabela a seguir apresenta 50 de 100 VPL’s simulados, a partir dos quais foi
preparada a distribuição de freqüência cumulativa, para o Valor Presente Líquido.
A título ilustrativo, a seleção dos valores da primeira linha desta tabela foi indicada
com traços de tonalidade forte na tabela de distribuição de probabilidades acumuladas.
Para a variável investimento, por exemplo, o número aleatório de 87 corresponde a um
valor de investimento de $ 80.000, para a receita, 68 representa R$ 14.000,00 e assim por
diante. Cada linha da tabela representa um diagrama de fluxos de caixa, cujo VPL é
calculado na última coluna.
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 14
N INVEST RECEITA VALOR
RESIDUAL VIDA V.Neg VPL aleat Valor aleat Valor aleat Valor aleat Anos Valor Valor
1 73 80000 68 14000 52 5000 36 10 R$ 87.951,66 R$7.951,66 2 91 85000 40 14000 86 6000 80 11 R$ 93.033,82 R$8.033,82 3 5 65000 12 13000 23 4000 99 11 R$ 85.837,77 R$20.837,77 4 32 70000 61 14000 68 5000 98 11 R$ 92.683,32 R$22.683,32 5 91 85000 46 14000 81 6000 82 11 R$ 93.033,82 R$8.033,82 6 28 70000 57 14000 63 5000 10 9 R$ 82.746,82 R$12.746,82 7 48 75000 2 12000 7 4000 28 9 R$ 70.804,68 (R$4.195,32)8 18 70000 94 16000 31 5000 36 10 R$ 100.240,79 R$30.240,79 9 51 75000 28 14000 69 5000 88 11 R$ 92.683,32 R$17.683,32
10 25 70000 11 13000 30 4000 96 11 R$ 85.837,77 R$15.837,77 11 58 75000 65 14000 73 6000 23 9 R$ 83.170,92 R$8.170,92 12 28 70000 91 16000 70 5000 57 10 R$ 100.240,79 R$30.240,79 13 87 85000 76 15000 54 5000 85 11 R$ 99.178,38 R$14.178,38 14 69 75000 71 15000 68 5000 60 10 R$ 94.096,22 R$19.096,22 15 56 75000 97 16000 48 5000 25 9 R$ 94.264,87 R$19.264,87 16 37 70000 79 15000 6 4000 3 9 R$ 88.081,75 R$18.081,75 17 10 65000 58 14000 80 6000 12 9 R$ 83.170,92 R$18.170,92 18 20 70000 22 14000 59 5000 72 10 R$ 87.951,66 R$17.951,66 19 92 85000 96 16000 70 5000 38 10 R$ 100.240,79 R$15.240,79 20 87 85000 9 13000 39 5000 59 10 R$ 81.807,09 (R$3.192,91)21 75 80000 22 14000 76 6000 28 9 R$ 83.170,92 R$3.170,92 22 59 75000 24 14000 94 6000 97 11 R$ 93.033,82 R$18.033,82 23 21 70000 57 14000 48 5000 59 10 R$ 87.951,66 R$17.951,66 24 93 85000 86 15000 70 5000 5 9 R$ 88.505,85 R$3.505,85 25 24 70000 63 14000 71 6000 38 10 R$ 88.337,20 R$18.337,20 26 18 70000 18 13000 12 4000 48 10 R$ 81.421,55 R$11.421,55 27 72 75000 56 14000 56 5000 74 10 R$ 87.951,66 R$12.951,66 28 25 70000 15 13000 31 5000 38 10 R$ 81.807,09 R$11.807,09 29 47 70000 8 13000 80 6000 22 9 R$ 77.411,90 R$7.411,90 30 79 80000 25 14000 57 5000 46 10 R$ 87.951,66 R$7.951,66 31 22 70000 68 14000 44 5000 77 10 R$ 87.951,66 R$17.951,66 32 1 65000 20 13000 62 5000 75 10 R$ 81.807,09 R$16.807,09 33 81 80000 24 14000 71 6000 84 11 R$ 93.033,82 R$13.033,82 34 88 85000 60 14000 57 5000 100 11 R$ 92.683,32 R$7.683,32 35 51 75000 45 14000 7 4000 57 10 R$ 87.566,11 R$12.566,11 36 32 70000 50 14000 38 5000 56 10 R$ 87.951,66 R$17.951,66 37 45 70000 70 14000 63 5000 1 9 R$ 82.746,82 R$12.746,82 38 36 70000 48 14000 63 5000 39 10 R$ 87.951,66 R$17.951,66 39 36 70000 55 14000 40 5000 91 11 R$ 92.683,32 R$22.683,32 40 79 80000 50 14000 35 5000 70 10 R$ 87.951,66 R$7.951,66 41 70 75000 32 14000 16 4000 69 10 R$ 87.566,11 R$12.566,11 42 76 80000 53 14000 4 4000 28 9 R$ 82.322,72 R$2.322,72
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 15
43 40 70000 76 15000 22 4000 3 9 R$ 88.081,75 R$18.081,75 44 74 80000 28 14000 98 6000 41 10 R$ 88.337,20 R$8.337,20 45 91 85000 34 14000 87 6000 86 11 R$ 93.033,82 R$8.033,82 46 2 65000 32 14000 6 4000 87 11 R$ 92.332,83 R$27.332,83 47 15 70000 14 13000 15 4000 51 10 R$ 81.421,55 R$11.421,55 48 20 70000 30 14000 38 5000 9 9 R$ 82.746,82 R$12.746,82 49 13 70000 13 13000 90 6000 66 10 R$ 82.192,63 R$12.192,63 50 78 80000 2 12000 25 4000 18 9 R$ 70.804,68 (R$9.195,32)
Pode-se calcular agora a média dos VPL, ou seja, o E(VPL) -Valor Esperado dos
VPL. Calcula-se, também o risco do projeto através de seu desvio-padrão (DP(VPL)). O
Valor Esperado, para os 100 valores da amostra é de R$ 14.000, bem abaixo dos 17.952
encontrados anteriormente. O desvio-padrão, que é o risco do projeto, é de R$ 9.200.
A partir dos 100 resultados simulados gera-se as seguintes distribuição de
freqüência dos VPL’s:
De a Freqüência Freqüência Acumulada -20000 -10000 0 0 -10000 0 6 6
0 10000 32 38 10000 20000 41 79 20000 30000 15 94 30000 40000 4 98 40000 50000 2 100
Estas freqüências oferecem uma aproximação da distribuição de probabilidades
para o valor presente líquido do projeto, grafada a seguir. Tal aproximação será tanto
melhor quanto maior for o número de dados simulados.
05
10
15202530
354045
-10000 0 10000 20000 30000 40000 50000
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 16
Analisando a distribuição cumulativa de probabilidades, observa-se que a chance
de falha do projeto (probabilidade de VPL < 0) é baixa, situando-se ao redor dos 6 %.
0
20
40
60
80
100
120
-20000 -10000 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000
Entretanto, existe 63 % de probabilidade de que o valor presente líquido do projeto
seja inferior ao valor de $ 17.952, calculado com base nas estimativas mais prováveis.
Esta informação é de extrema relevância para a decisão, principalmente quando se
comparam alternativas.
5. PROBLEMAS PROPOSTOS
5.1 PROBLEMA 1
Uma empresa do setor de energia estuda um investimento em uma termelétrica a gás de
350 MW e levantou os seguintes dados:
Investimento $ 500.000,00 por MW instalado
Produção de energia 2.800.000 MWh por ano
Preço da energia elétrica produzida $30,00 por MWh
Custos de Operação e Manutenção $ 4,00 por MWh
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 17
Outros Custos (Transporte de energia, etc.) $ 1.000.000,00 por ano
Consumo de gás 500.000.000 m3 por ano
Custo do gás $ 0,06 por m3
O horizonte de planejamento é de 20 anos, após os quais a termelétrica será vendida por
$35 milhões.
A taxa mínima de atratividade da empresa é de 15% ao ano após o imposto de renda.
Pede-se
1. Analise a viabilidade do investimento sem considerar risco
2. Qual a tarifa mínima de energia elétrica para o investimento ser viável?
3. Analise o investimento com risco considerando que as seguintes variáveis podem
tomar os valores abaixo:
Invest Prob Producao Prob Tarifa Prob Custos OM Prob Custo gas Prob
450000 10 2600000 30 25 30 3 8 0,05 5500000 60 2800000 60 30 40 4 70 0,06 70550000 30 3000000 10 35 30 5 22 0,07 25
Calcule o Valor esperado e o risco do VPL, a probabilidade de inviabilidade e faça o
histograma da distribuição dos VPL’s.
Calcule, também, o Valor Esperado e o Risco das TIR’s, além de sua probabilidade de
inviabilidade.
5.2 PROBLEMA 2
A empresa de eletrônica SRS desenvolve um novo tipo de placa eletrônica em SMD e
avalia a possibilidade de iniciar sua produção. A nova forma de produção, com o uso de
um robô, agiliza e reduz o custo de produção. A intenção é instalar esta nova linha de
produção em sua fábrica no Sul de Minas. Os dados são os seguintes:
• Investimentos adicionais para instalar linha: • Robô: 150.000, • Máquina solda: 60.000, • Computadores, Bancadas e outros: 60.000. • Investimento em Capital de Giro: R$ 65.000,00
• Produção e venda das placas: 500 placas por dia em 360 dias no ano • Preço da placa R$ 4,10 • Aluguel: R$ 60.000,00 por ano
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 18
• Mão-de-obra: R$ 100.000,00 por ano • encargos: R$ 70.000,00 por ano • Componentes: R$ 0,60 por placa • Base: R$ 0,30 por placa • Despesas administrativas: R$ 50.000,00 por ano • Despesas de vendas: R$ 40.000,00 por ano • ICMS, IPI, PIS, Cofins: 18% • IRPJ + CSSL = 35% • Taxa de depreciação sobre os equipamentos: 10% por ano
A Empresa tem garantias de compra das placas durante os próximos 10 anos, no final dos
quais os investimentos fixos terão um valor residual de venda de R$ 80.000,00. A taxa
mínima de atratividade da empresa é de 18% ao ano.
Elaborar a Projeção da demonstração de resultados e do fluxo de caixa, calcular o Valor do
Negócio, o VPL e a TIR com os dados acima. Realizar a análise de risco por Simulação de
Monte-Carlo, considerando as seguintes probabilidades:
Produção Prob Preço Prob cv comp Prob 450 15 3,9 25 0,8 30
500 75 4,1 60 0,6 50
550 10 4,3 15 0,5 20
5.3 PROBLEMA 3
Seja o caso de uma empresa que fará investimentos para lançar um produto para a
próxima temporada de verão: um novo modelo de ventilador doméstico.
O investimento, em ajuste de equipamentos, treinamento de pessoal, pesquisa de
mercado e projeto do produto, monta a $ 3 milhões.
O estudo de mercado previu, para os meses de novembro, dezembro, janeiro,
fevereiro e março, as seguintes quantidades de unidades vendidas.
Quantidade (unidades)
Novembro Dezembro Janeiro Fevereiro Março
Máxima 1200 1600 2500 1800 1000
Mais provável 1000 1300 2000 1600 800
Mínima 500 1100 1700 1200 500
Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 19
Estudos anteriores demonstraram que a venda de cada mês normalmente
independem das vendas dos meses anteriores. A dependência maior é das condições
climáticas. O preço de venda do produto é de $ 1.000. O custo variável unitério é de $ 200.
O custo fixo total é de $ 300 mil.
A empresa deseja conhecer o risco que correrá em não conseguir atingir sua TMA,
que é de 6% ao mês.
5.4 PROBLEMA 4
Resolver o problema anterior, supondo que as parcelas sejam dependentes entre sí,
ou seja, que os erros de previsão aconteçam de forma uniforme para todos os meses.
CAPÍTULO 7 - ÁRVORES DE DECISÃO
1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
A árvore de decisão é uma maneira gráfica de visualizar as consequências de decisões
atuais e futuras bem como os eventos aleatórios relacionados. Ela permite a conceptualização
e o controle de um bom número de problemas de investimentos sujeitos a riscos.
Veja a estrutura de uma árvore de decisão:
Os nós quadrados representam decisões, e os nós redondos, nós de incerteza,
representam eventos aleatórios.
Nos ramos de uma árvore de decisão devem ser anotados:
• as probabilidades após os nós de incerteza
• os valores de investimentos nos nós de decisão
• os retornos no final dos ramos
Através de um exemplo ilustra-se o uso da árvore de decisão:
Capítulo 7 - Árvores de Decisão 7. 2
2. EXEMPLO 1* :
Um vendedor ambulante está considerando a possibilidade de vender camisas
esportivas. As camisas seriam compradas por $ 10.00 e vendidas por $ 35.00. Como a
qualidade do material é baixa estima-se que haja 30% de perda para o vendedor ambulante.
Independente da quantidade adquirida, seus custos de transporte e manutenção serão
de $ 1000.00 por dia.
As camisas não vendidas terão um valor residual de $ 2.00.
A demanda diária pelas camisas depende das condições de vigilância nas ruas: se a
vigilância for ostensiva, o vendedor somente consegue vender 50 camisas, vendendo 4 vezes
mais se a vigilância das ruas for fraca. Caso a vigilância for média, o vendedor consegue
colocar 120 camisas.
As camisas só podem ser compradas em lotes pré - determinados: 80, 160, 240 ou 320
unidades. A experiência tem mostrado que há 40% de chance de que a vigilância seja fraca
contra 30% de vigilância ostensiva. Em consequência ela é média 30% das vezes.
Calcule:
a) Qual a quantidade de camisas que o vendedor ambulante deverá comprar para
maximizar o seu lucro esperado?
b) Disponha os resultados sob forma de matriz de receitas.
Solução:
a) Quantidade de camisas que maximiza o lucro esperado.
Alternativas:
A. compra de 80 camisas
B. compra de 160 camisas
C. compra de 240 camisas
* Adaptado de: CAZAROTTO FILHO, Nelson e KOPITTKE, Bruno H. Análise de Investimentos. 5o ed. Vértice, São Paulo, 1992.
Capítulo 7 - Árvores de Decisão 7. 3
D. compra de 320 camisas
Alternativa A:
Custo da alternativa: 80 x 10.00 + 1000.00 = 1800.00
Camisas vendáveis: 80 x 0,7 = 56
Receitas: para vigilância ostensiva: 50 x 35.00 + 6 x 2.00 = 1762.00
para vigilância média: 56 x 35,00 = 1960.00
para vigilância fraca: 56 x 35.00 = 1960.00
Receita líquida: Para vigilância ostensiva (o): 1762.00 - 1800.00 = -38.00
para vigilância média (m): 160.00
para vigilância fraca (f): 160.00
Calcula-se as receitas líquidas das outras alternativas de forma análoga.
A árvore de decisão apresenta-se assim:
As receitas líquidas esperadas são as seguintes:
-38.00
160.00
160.00
-726.00
1320.00
1320.00
-1414.00
896.00
2480.00
-2102.00
208.00
2848.00
o:0,3
f:0,4
m:0,3
o:0,3
f:0,4
m:0,3
o:0,3
f:0,4
m:0,3
o:0,3
f:0,4
m:0,3
A
B
C
D
Capítulo 7 - Árvores de Decisão 7. 4
E(A) = 0,3 x (-38) + 0,3 x 160 + 0,4 x 160 = 100.60
E(B) = 706.20
E(C) = 836.60
E(D) = 571.00
Desta forma, a melhor alternativa é a C, que consiste na compra de 240 camisas.
b) Matriz de decisão.
Pode-se, também, apresentar o problema sob a forma de matriz de decisão:
Vigilância
Alternativas Ostensiva Média Fraca
A -38.00 160.00 160.00
B -726.00 1320.00 1320.00
C -1414.00 896.00 2480.00
D -2102.00 208.00 2848.00
P(v) 0,3 0,3 0,4
A partir destes dados pode-se, por exemplo, calcular o valor de uma informação
adicional. Vejamos o caso de uma informação perfeita:
Até quanto o vendedor ambulante poderá pagar a um hipotético policial corrupto para
que lhe informe qual o tipo de vigilância que irá ocorrer com certeza?
Deve-se verificar, neste caso, qual a melhor opção quando se sabe o que vai ocorrer:
• Caso a vigilância seja ostensiva a melhor alternativa é a A, ou seja, o prejuízo será
de $38.00.
• Caso a vigilância seja média a melhor alternativa é a B, com lucro de 1320.
• Caso a vigilância seja fraca a melhor opção é a alternativa D, com lucro de 2848.
Assim o valor esperado da receita líquida, com informação perfeita, é de:
Capítulo 7 - Árvores de Decisão 7. 5
V(p) = -38 x 0,3 + 1320 x 0,3 + 2848 x 0,4 = 1523,80
Ora, o valor esperado sem esta informação era de $836,60, correspondente à
alternativa C. Assim o vendedor deve estar disposto a pagar ao policial no máximo:
1523,80 - 836,60 = 687,20.
3. EXEMPLO 2* :
Deseja-se decidir entre várias alternativas a respeito do nível de produção de um
determinado produto levando-se em conta as incertezas do lado da demanda.
Considere que há dois tamanhos de plantas como alternativas de investimentos:
a) Uma planta de grande capacidade que exigiria investimentos da ordem de $ 40 milhões e
b) Uma planta de pequena capacidade que exigiria investimentos, bem menores, de cerca de
metade do investimento anterior. Optando-se pela planta pequena, pode-se ainda daqui a
três anos atingir a capacidade da planta grande através de um projeto de expansão cujos
investimentos valem, atualizados para a época de referência, cerca de $ 25 milhões.
Supõe-se que o mercado tem um comportamento aleatório, não se sabendo com
certeza se a demanda ao longo da vida útil do projeto será elevada, média ou pequena, nem
suas taxas de crescimento. Foram, no entanto, estimadas probabilidades a respeito da
ocorrência desses diversos tipos de comportamento.
Se a empresa optar pela planta grande e o mercado se revelar insuficiente no início da
vida do projeto, poderá ter perdas da ordem de $ 10 milhões, optando pelo fechamento da
fábrica. O grupo investidor poderá, também, esperar o crescimento da demanda. Caso espere
* Adaptado de: NEVES, Cesar das. Análise de Investimentos: Projetos Industriais e Engenharia Econômica. Zahar Editores, Rio de Janeiro, 1982.
Capítulo 7 - Árvores de Decisão 7. 6
o crescimento da demanda e esta se mantenha pequena, o grupo não terá condições de arcar
com os prejuízos de cerca de $ 30 milhões. Este tipo de raciocínio é estendido a todas as
situações possíveis.
A figura a seguir apresenta as probabilidades de ocorrência dos eventos aleatórios,
bem como os investimentos necessários e os lucros previstos para cada situação:
Escolha a melhor alternativa para a empresa.
4. APLICAÇÕES:
1. As Fibras Mágicas
Você é o analista de investimentos da transmission and distribution corporation (TDC).
O grupo de desenvolvimento acaba de criar tecnologia para transmitir energia por fibras
ótico-infra-plus-red. O grupo de marketing propõe que a TDC construa alguns protótipos e
faça testes de mercado das fibras. O grupo de planejamento, incluindo representantes das
Produzir
Não produzir(0)
Planta grande(-40)
Planta pequena(-20)
Dem. alta (0,2)
Dem. média (0,5)
Dem. peq. (0,3)
Dem. alta (0,2)
Dem. média (0,5)
Dem. peq. (0,3)
Fechar planta
Manter planta
Dem. cresce (0,6)
Mantém (0,3)
Demandadiminui (0,1)
Fechar
Expandir (-25)
Não expandir
Dem. mantém alta (0,9)
Dem. diminui (0.1)
Dem. mantém alta (0,9)
Dem. diminui (0.1)
(95)
(70)
(60)
(-30)
(-10)
(90)
(60)
(50)
(30)
(55)
(30)
(-10)
Capítulo 7 - Árvores de Decisão 7. 7
áreas de produção, marketing e engenharia, recomendou que a empresa prosseguisse com a
fase de teste e desenvolvimento. Estima-se que essa fase preliminar durará um ano e custará
$100 milhões. Além do mais, o grupo acredita que há uma probabilidade de 65% de que os
testes de produção e marketing sejam bem sucedidos.
A venda destas fibras, porém, está sujeita a:
• Incertezas quanto à demanda por energia elétrica no futuro
• Incertezas quanto ao preço futuro da transmissão de energia
• Incertezas quanto à participação da TDC no mercado de fibras
• Incertezas quanto ao aparecimento de outras formas de geração e transmissão de energia
Se os testes iniciais de mercado forem bem sucedidos, a TDC poderá investir em terrenos,
construção e equipamentos ao final do primeiro ano. Essa fase custará $1.500 milhões. A
produção se dará nos próximos cinco anos. O fluxo de caixa líquido por ano é de $900
milhões. A TMA é de 15% ao ano
Se o teste for malsucedido o fluxo de caixa líquido do investimento será de -630 milhões por
ano.
As decisões a serem tomadas são as seguintes:
1. Deve-se testar e desenvolver a fibra?
2. Deve-se investir na produção em escala?
2. Uma empresa está considerando a compra de um processo industrial. O preço solicitado
pelo processo é de 1300 u.m. Não se sabe exatamente se o processo funcionará sem
problemas quando implantado em regime normal de produção. Melhores garantias de
funcionamento podem ser obtidas se a empresa construir uma planta em pequena escala,
testando o novo processo nesse projeto piloto. O custo desse projeto piloto é estimado em
5900 u.m. Caso o processo funcione a contento, o lucro obtido será, em termos de valores
atuais, da ordem de 25000 u.m. Caso o processo tenha problemas de funcionamento, haverá
um prejuízo de 10000 u.m. Esses valores incluem os gastos de investimentos na planta, custos
operacionais, receitas geradas etc., excluindo porém os gastos referentes à compra do
processo e os gastos com o projeto piloto. As probabilidades de funcionamento, com e sem os
gastos em pesquisa no projeto piloto são:
Capítulo 7 - Árvores de Decisão 7. 8
Sem projeto piloto Com projeto piloto
Funcionamento normal 0,50 0,70
Funcionamento com problemas 0,50 0,30
1,00 1,00
Estabeleça a árvore de decisão levando em consideração todas as alternativas
possíveis. Determine o curso de ação mais recomendável.
CAPÍTULO 8 – OPÇÕES REAIS
1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Segundo Copeland, Koller e Murrin “Os métodos de precificação de opções são
superiores às abordagens DCF (Discounted Cash Flow) tradicionais porque captam
explicitamente o valor da flexibilidade. Assim, cremos que estas técnicas eventualmente
substituam os métodos tradicionais no que se refere a decisões de investimento em que haja
considerável flexibilidade no futuro”
Veja na figura 1 o fluxo de caixa (em $1.000) que pode exprimir as entradas e saídas
de caixa de um desenvolvimento de um novo produto:
Fig. 1 – Fluxo de caixa do desenvolvimento de um “bom” produto
Se o investimento no desenvolvimento surtir em possíveis bons resultados para a empresa, os
fluxos líquidos anuais resultantes do investimento na produção do produto desenvolvido serão
de R$ 900.000 por ano. O Valor do Negócio (Valor presente dos fluxos líquidos de caixa sem
considerar os investimentos) no ano 1 (um) será de R$3.017.000 com os fluxos descontados a
15%. O VPL será de R$1.517.000,00 em 1.
-$100
-$1.500
$900
0 1 62Valor do negócio em 1 = 3.017
VPL em 1 = 1.517
3.017
Investimento em Ativos para produção
Fluxos líquidos de caixa
Desenvolvimento
Capítulo 8 – Opções Reais 8. 2
Dessa forma o investimento na produção seria considerado viável e poderia ser realizado.
Entretanto o desenvolvimento do produto pode não trazer os resultados esperados e a
produção de um produto “não interessante” poderia levar a fluxos líquidos de caixa negativos,
como na figura 2.
Fig. 2 – Fluxo de caixa do desenvolvimento de “mal” produto
Supondo que os fluxos líquidos de caixa sejam de R$650.000,00 negativos por ano, o Valor
do Negócio seria Negativo (-R$2.111.000,00) e o VPL seria de - R$3.611.000,00. Ou seja,
inviável a produção.
A análise da viabilidade em 1 (um) é mais fácil de ser realizada do que avaliar o
desenvolvimento do produto em 0 (zero). Em 1 já se tem idéia do sucesso ou fracasso do
desenvolvimento e a decisão será por investir ou não na produção. Mas quando se analisa se o
produto deve ser desenvolvido ou não, não se tem idéia se o resultado das pesquisas será um
ou outro.
Se forem consideradas as duas possibilidades, de desenvolvimento bem e mal sucedido, em
uma mesma análise através do cálculo do Valor Esperado de seus VPLs, incorre-se no erro de
não considerar a flexibilidade que se tem de optar por não investir quando o desenvolvimento
não se sair bem.
Dessa forma o uso de Árvores de decisão pode ser útil ao considerar a decisão de não investir.
Veja na figura 3 a solução por Árvore de Decisão.
-$100
-$1.500
-6300 1 6
-2.111
Valor do Negócio em 1 = -2.111
VPL em 1 = -3.611
Desenvolvimento
Investimento em Ativos para produção
Fluxos líquidos de
caixa
Capítulo 8 – Opções Reais 8. 3
Fig. 3 – Árvore de Decisão
Nos cálculos da Árvore de Decisão foram consideradas as probabilidades de sucesso no
desenvolvimento em 65% e de insucesso em 35%. A TMA ainda é de 15% ao ano.
O Valor esperado do VPL em zero é de R$757.000,00 e, o investimento no desenvolvimento
do produto deveria ser realizado. Agora se o desenvolvimento não der certo o investimento na
produção não será feito e se perderá os valores gastos no desenvolvimento.
Esse é um caso típico de opção de compra e é um direito do investidor. O direito de optar tem
valor e deveria ser valorizado da forma correta.
Os métodos tradicionais de avaliação de investimentos, como o VPL ou TIR, são do tipo
“faça ou não faça” e não consideram a flexibilidade de optar por não fazer em algum
momento posterior a zero.
Mesmo quando se usa métodos mais formais como a Simulação de Monte Carlo, o resultado
incorpora as possibilidades de resultados negativos caso o investimento na produção seja
realizado, mesmo com desenvolvimento malsucedido do produto.
Veja na figura 4 a solução por simulação de monte Carlo.
Fazer Desen
Não Fazer Desenv.
Fim = 0
Desenv Bem Sucedido
0,65
Desenv Mal Sucedido
0,35
Investir
Não Investir
Não Investir
Investir
-
0 1
Valor Negócio em 1 =
Valor Negócio em 1 = -
VPL em 1 =
VPL em 1 = -
VPL = 0
E(VPL) em 0 = 986 / 1,15 – 100 = 757
1.517
0
1517x0,65 + 0x0,35 = 986
757
986
Capítulo 8 – Opções Reais 8. 4
Fig. 4 – Resultado de uma Simulação de Monte Carlo
Se o desenvolvimento não der certo não se investirá em ativos para produção!!! Os resultados
negativos são abortados!!!
O Valor do Negócio é maior por se ter a possibilidade de fazer a opção de investir. Como
calcular o Valor de poder fazer a opção por investir?
Quanto vale a opção?
2. UMA PALAVRA SOBRE OPÇÕES
FINANCEIRAS
Uma opção é um contrato que dá a seu titular o direito, mas não a obrigação, de comprar
ou vender um ativo a um preço pré-fixado em certa data ou antes disso. O titular da opção
usa a opção somente se é interessante fazê-lo; em caso contrário, a opção pode ser jogada
fora.
-
-
0 1 6 2Valor esperado do negócio em 1 = 1.222 E(VPL) em 1 = -278 E(VPL) em 0 = -278/1,15 – 100 = -341
E(V.Negócio) =
Desenvolvimento
Investimento em Ativos para produção
A decisão seria por não investir no desenvolvimento.
Mas deve-se avaliar com mais cuidado!!!!!!
DP
Capítulo 8 – Opções Reais 8. 5
As Opções de Compra (Call Options) dão ao titular o direto, mas não a obrigação, de comprar
um ativo. As Opções de Venda (Put options) dão ao titular o direito, mas não a obrigação, de
vender o ativo.
Alguns termos utilizados na área são mostrados a seguir:
• Exercício da Opção
– O ato de comprar ou vender o ativo-objeto por meio do contrato de opção.
• Preço de Exercício
– Preço fixado no contrato da opção, ao qual o titular pode comprar ou vender o
ativo-objeto.
• Data de Vencimento (Expiry)
– Data a partir da qual a opção não existe mais, ou expira.
• Opções americanas e européias.
– Opções Européias podem ser exercidas só na data de vencimento.
– Opções Americanas podem ser exercidas a qualquer momento, até a data de
vencimento
• Dentro do dinheiro (In-the-Money)
– O preço de mercado (St - spot price) do ativo-objeto é maior que o preço de
exercício (E).
• No dinheiro (At-the-Money)
– O preço de mercado do ativo-objeto é igual ao preço de exercício..
• Fora do Dinheiro (Out-of-the-Money)
– O preço de mercado (spot price) do ativo-objeto é menor que preço de exercício.
Como calcular o valor de uma opção?
Opções de Compra
O Valor da Opção de Compra na data de vencimento depende do preço da ação-objeto (ST) na
data de vencimento. ST não é conhecido antes do vencimento. Se a Opção está dentro do
Capítulo 8 – Opções Reais 8. 6
dinheiro, seu valor é ST – E. Se a Opção está fora do dinheiro, ela não tem valor, ou seja é
zero.
CaT = CeT = Max[ST - E, 0] Eq. 1
Onde
ST é o valor da ação no vencimento (data T)
E é o preço de exercício.
CaT é o valor de opção de compra americana no vencimento
CeTé o valor da opção européia no vencimento
O valor da opção de compra na data de vencimento é apresentado na figura 5.
Fig. 5 – Valor de uma opção de compra na data de vencimento
O valor de uma opção de compra, na data de vencimento, é zero se o preço da ação é menor
que o preço de exercício. Mas, se o preço da ação for superior ao de exercício, a opção terá
-
10090 80 7060 0 10 20 30 40 50
-
20
0
-
40
60
Preço da ação ST
Valor da Opção no vencimento (C) ($)
Valor de uma opção de compra (Compra de uma opção de compra)
Preço de Exercício (E) = $50
Se Preço da Ação é $60, O valor da opção no vencimento é $10.
(E) Prêmio
ST
Capítulo 8 – Opções Reais 8. 7
valor. Antes de ver formas para se calcular o preço da opção antes da data de vencimento que,
aliás, é o que interessa, veremos o básico sobre opções de vendas
Opções de Venda
Opções de Venda dão ao titular o direito, mas não a obrigação, de vender o ativo a um preço
prefixado durante certo período.
Quando você vende o Ativo você exerce o direito de venda.
Se a Opção de Venda está Dentro do Dinheiro, o valor de mercado é menor que o preço de
exercício e a opção será exercida. Seu valor é E - ST.
Se a Opção de Venda está Fora do Dinheiro, seu valor de mercado é maior que o preço de
exercício, ela não tem valor e não será exercida.
PaT = PeT = Max[E - ST, 0] Eq. 2
Fig. 6 – Valor de uma opção de venda no vencimento
-
10090 80 7060 0 10 20 30 40 50
-
20
0
-
40
60
Preço da Ação - ST ($)
Valor de uma Opção de Venda – P - ($)
Compra de uma Opção de
Preço de Exercício = $50
Se ST = $60 o valor da opção no vencimento é zero
Se ST = $40 o valor da opção no vencimento é de $10
Capítulo 8 – Opções Reais 8. 8
Uma questão de interesse maior é determinar o valor da opção antes do vencimento.
Os fatores que determinam o valor da opção de compra são os seguintes:
Valor da opção (C0)
1. Preço ação ou do ativo objeto (St) +
2. Preço Exercício (E) –
3. Taxa juros (r) +
4. Volatilidade preço ação (s2) +
5. Data de vencimento (T) +
O valor de uma opção de compra C0 deve cair entre
max (S0 – E, 0) < C0 < S0.
E a posição correta dependerá dos fatores acima.
A figura 7 mostra o Valor de Mercado, Valor no Tempo e Valor intrínseco de uma opção de
compra americana.
Fig. 7 – Valor de uma opção de compra
CaT > Max[ST - E, 0]
Valor
E ST
Valor Mercado
Valor intrínseco
ST - E
Fora do dinheiro Dentro do dinheiro
ST
O valor de uma opção de compra C0 deve cair entre max (S0 – E, 0) < C0 < S0.
Capítulo 8 – Opções Reais 8. 9
O Modelo Black-Scholes para avaliar opções
O Modelo Black-Scholes é expreso pela equação 3.
Eq. 3
Onde
C0 = o valor de uma opção européia na data t = 0
r = a taxa de juros livre de risco.
N(d) = Probabilidade de uma variável aleatória, normalmente distribuída, padronizada, ser
menor ou igual a d.
O modelo Black-Scholes permite-nos avaliar opções no mundo real.
Exemplo de Opções Financeiras:
Encontre o valor de uma opção de compra Microsoft com um preço de exercício de $150. O
valor corrente da ação da Microsoft é $160. A taxa de juros disponível nos EUA é r = 5%.
O vencimento da opção é de 6 meses. A volatilidade do Ativo-objeto é de 30% por ano.
Antes de iniciarmos note que o valor intrínseco da opção é $10 — nossa resposta deve ser no
mínimo essa quantia.
Primeiro calcule d1 e d2
Então,
)N()N( 210 dEedSC rT ×−×= −
T
TσrESd
σ
)2
()/ln(2
1
++=
Tdd σ−= 12
TTσrESd
σ)5.()/ln( 2
1++
=
5282.05.30.0
5).)30.0(5.05(.)150/160ln( 2
1 =++
=d
31602.05.30.052815.012 =−=−= Tdd σ
Capítulo 8 – Opções Reais 8. 10
N(d1) = N(0.52815) = 0.7013
N(d2) = N(0.31602) = 0.62401
O valor de uma opção da microsoft com preço de exercício de $150 e Valor corrente de $160
com vencimento em 6 meses é de $20.92
3. OPÇÕES REAIS
Suponha o diagrama de fluxos de caixa da figura 8 que representa o investimento no
desenvolvimento de um produto e o subseqüente investimento em ativos como terrenos,
construções e equipamentos, além do fluxo líquido gerado pela venda dos novos produtos.
Fig. 8 – Diagrama de Fluxos de Caixa de um investimento em desenvolvimento de produto
Compare a figura 8 com a figura 9, onde está representada o investimento em uma opção de
compra.
-
-$1.500
0 1 6 2
E(V.Negócio) = Valor de Mercado (St)
Desenvolvimento
Investimento em Ativos para produção
DP
)N()N( 210 dEedSC rT ×−×= −
92.20$62401.01507013.0160$
0
5.05.0
=×−×= ×−
CeC
Capítulo 8 – Opções Reais 8. 11
Fig. 9 – Fluxo de Caixa de uma opção de compra
A analogia é clara, pois, como em opções, o investimento em desenvolvimento é um prêmio
pago para se ter a opção ou não de investir. O investimento nos ativos é análogo ao preço de
exercício e o Valor do Negócio pode ser comparado ao valor de mercado.
Como o investimento no desenvolvimento de produtos não é uma atividade financeira, a
aplicação da teoria de opções financeiras para avaliar este investimento é chamada de teoria
de Opções Reais.
Uma das principais preocupações em opções é calcular o valor intrínseco do prêmio que deve
ser pago pela opção. No caso de opções reais é de interesse o cálculo de qual seria o valor
intrínseco de um desenvolvimento de um produto. Esse valor intrínseco pode ser calculado
pelos métodos adotados em opções financeiras, como binomial ou Black and Scholes.
Se o gasto em desenvolvimento do produto for maior que seu valor intrínseco na mesma data,
então não vale a pena realizar o investimento. Mas, se ao contrário, o gasto em
desenvolvimento for menor que o valor calculado, o VPL será positivo e haverá interesse no
investimento.
Dessa forma: “Pode-se usar os modelos para avaliação de opções financeiras para se dar o
valor de uma opção em ativos reais”
O valor da opção é o valor da Flexibilidade Gerencial que o decisor tem para:
– Investir ou não na produção de um produto gerado por pesquisa e desenvolvimento
– Investir ou adiar um investimento a espera de melhores preços ou condições
-
-
0 T – Data de
Valor de Mercado
Prêmio
Preço de exercício (E)
Se o valor de mercado do ativo objeto for menor que o preço de exercício a
opção não será exercida.
DP
Capítulo 8 – Opções Reais 8. 12
– Abandonar ou não um projeto que não está indo bem
– Mudar ou não a forma de operação de um projeto
– Prorrogar ou abreviar a vida de um ativo
EXEMPLO 1:
Suponha que os fluxos gerados por um investimento na produção, após uma simulação de
Monte Carlo, apontem o Valor esperado do Valor do Negócio de R$1.390 no período 1 e um
risco de 20%.
O investimento em ativos para produção é de R$ 1.500 em 1, gerando um Valor esperado do
VPL em 1 de - R$ 110 e na data zero de – R$ 195, já considerando o investimento no
desenvolvimento.
Verifica-se, conforme mostrado na figura 10, que o investimento é considerado inviável.
Fig. 10 – Fluxos de caixa do exemplo 1
De outra forma pode-se trazer o Valor Esperado do Valor do Negócio para a data zero:
E(Valor do Negócio) em zero = 1390 / 1,15 = 1209
Este valor esperado pode ser comparado ao valor de mercado na data zero S0. Dessa forma S0
será considerado igual a 1209
O valor do investimento em ativos na data um seria: 1500
-
-
0 1 6 2Valor esperado do negócio em 1 = 1.390 E(VPL) em 1 = 1390 - 1500 = -110
E(V.Negócio) =
DP = 20% do
Custo da pesquisa E
Investimento em ativos para a produção
E(VPL) em 0 = -110/1,15 - 100 = -195
E(VPL) = - Inviável ?
Capítulo 8 – Opções Reais 8. 13
Esse é o preço de exercício na data um.
Considerando, então, os seguintes dados:
• Valor do ativo objeto (S) =1209
• Preço de exercício (E) = 1500
• T = 1 ano
• Variância = (0,2)2 = 0,04
• Taxa livre de risco = 10%
d1 = (ln(1209/1500) + (0,1+ 0,04/2).1) / 0,2 *1 = - 0,47962
d2 = - 0,47962 – 0,2 * 1 = -0,67962
N(d1) = 0,31575
N(d2) = 0,24837
Valor da opção = 1209 * 0,31575 – 1500*e -0,1* 1 * 0,24837
Valor da opção = $44.54 mil
O projeto é viável ou não? Qual a sua posição?
EXEMPLO 2
Investir ou adiar um investimento a espera de melhores preços ou condições
Suponha um investimento de $ 1600 mil em um novo projeto. O fluxo de caixa depende do
preço do produto e hoje é de $200 mil, mas poderá passar para $300 mil ou $100 mil no fim
do ano, com igual probabilidade para cada lado. Depois continuará para sempre nos novos
níveis.
O custo de capital é de 10% ao ano. Admita que os fluxos de caixa são gerados
imediatamente.
Solução:
Investir agora:
Capítulo 8 – Opções Reais 8. 14
O critério VPL adota a premissa implícita de que o investimento deve ser realizado
imediatamente ou não deve ser realizado (se o VPL fosse menor que zero)
Mas, se avaliarmos o projeto com a opção de adiar até que tenhamos maiores informações
sobre o preço:
Dessa forma pode-se fazer a seguinte análise:
Se investir agora: VPL = $600 mil
Investir no fim do ano: VPL = $773 mil
Valor da flexibilidade = $173 mil
Que é o valor da opção
Fluxo esperado = 300 x 0,5 + 100 x 0,5 =
-
$1 600
0 1
VPL = -1600 + 200 + 200 / 0,1 =
300
-
0 1
VPL c/ flexibilidade = 0,5 * MAX [-1600/1,1 + 300 / 0,1 , 0 ] +
100
VPL c/ flexibilidade = 0,5 * MAX [1545 , 0 ] + 0,5 * MAX [ -455 , 0] = 0,5 * 1545 + 0,5 *
VPL com flexibilidade =
Capítulo 8 – Opções Reais 8. 15
Se o risco for maior, melhor. Veja o caso que, ao invés de fluxos de caixa de 300 ou 100
tivéssemos 400 ou zero:
Que é maior por ter risco maior.
Aplicações:
1. Opção de expansão em uma usina hidroelétrica (Brasil, 2004).
Suponha uma oferta de investimento por uma agência reguladora do mercado de energia. Ela
está propondo para investidores projeto de investimento em uma usina hidrelétrica no estado
do mato Grosso do Sul. O quadro abaixo apresenta as linhas componentes dos fluxos de caixa
operacionais esperados do investimento, cuja vida útili é de 30 anos, coincidente com o prazo
de concessão.
Ano 0 1 a 5 6 a 15 16 a 30 Fluxo de Caixa (R$ mil) - 9.800 2000 1500 1000
Para WACC de 18% ao ano o VPL é de –R$ 174 mil.
A volatilidade anual do empreendimento σ é de 20% e a taxa livre de risco é de 10% ao ano.
Esse projeto possui uma opção de expansão da capacidade de geração da usina em 40% da
potência inicial instalada. Essa expansão só poderá ser feita a partir do quinto ano da
concessão. O VP (no ano 5) dos fluxos de ingresso dessa expansão deverá ser de R$ 3.000
mil, para um investimento no ano 5 de R$ 2.800 mil e a volatilidade dessa expansão é a
mesma daquela apurada pela simulação. Os fluxos de caixa da etapa inicial e da etapa de
expansão são perfeitamente correlacionados.
400
-
0 1
VPL c/ flexibilidade = 0,5 * MAX [-1600/1,1 + 400 / 0,1 , 0 ] +
0
VPL c/ flexibilidade = 0,5 * MAX [2545 , 0 ] + 0,5 * MAX [ -1455 , 0] = 0,5 * 2545 + 0,5 *
VPL com flexibilidade =
Capítulo 8 – Opções Reais 8. 16
Avalie o valor da opção de expansão e o VPL do projeto final considerando a opção de
expansão por Black & Scholes.
2. Considere uma jazida petrolífera offshore com reservas de petróleo estimadas em 50
milhões de barris, em que o valor presente do custo de desenvolvimento é de $ 12.00 por
barril e a defasagem de desenvolvimento é de dois anos. A empresa detém os direitos de
exploração sobre esta jazida pelos próximos 20 anos, e o valor marginal atual por barril de
petróleo é de $12.00 (preço por barril – custo marginal por barril). Uma vez desenvolvido, a
receita líquida de produção será de 5% do valor das reservas. A taxa livre de risco é 8% ao
ano e a variância em ln (preço do petróleo) é de 0,03.
Preço de exercício =
Tempo a decorrer até o vencimento da opção=
Variância do valor do ativo subjacente=
Taxa livre de risco=
Rendimento de dividendos = receita líquida de produção/valor da reserva =
d1=
d2=
N(d1) =
N(d2) =
Valor da opção =
CAP. 9 – DETERMINAÇÃO DA TMA PELO
WACC E CAPM
1. INTRODUÇÃO O estudo do risco em análise de ações será útil para um entendimento mais
aprofundado da taxa de descontos a ser utilizada nas avaliações de investimento
2. CLASSIFICAÇÃO FUNDAMENTAL DO RISCO O risco total de um investimento, medido pela dispersão dos retornos previstos, pode
ser desdobrado em dois componentes distintos:
2.1 RISCO SISTEMÁTICO
Tem origem nas flutuações a que está sujeito o sistema econômico como um todo. No
mercado de ações, portanto, o risco sistemático afeta todas as ações.
Mudanças no ambiente econômico, político e social são fontes de risco sistemático.
Essencialmente, o risco sistemático é relacionado à taxa de juros, ao poder de compra
e ao mercado.
2.2 RISCO NÃO SISTEMÁTICO
É a parcela do risco total que é característica de um empreendimento ou de um setor
de atividade. Este tipo de risco está associado às particularidades de uma empresa ou
a um grupo de empresas similares, como, por exemplo, aceitação de seus produtos
pelo mercado, greves, invenções e obsoletismo. Uma importante função é
desempenhada pela administração neste tipo de risco, pois, em grande parte, as
perdas provocadas podem ser atribuídas a erros de previsão dos executivos
responsáveis pela condução do empreendimento.
As principais fontes de risco não sistemático são o risco financeiro, o risco de
administração e os riscos do setor.
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 2
O risco sistemático é também chamado de risco não diversificável, enquanto que o
risco não sistemático é o risco diversificável.
O desmembramento do risco total entre risco sistemático e não sistemático será de
grande interesse prático.
3. DIVERSIFICAÇÃO DO RISCO - TEORIA DE MARKOWITZ Pode-se afirmar que a diversificação do risco é a estratégia fundamental para a
proteção contra a incerteza.
A análise teórica do risco foi impulsionada pelo clássico artigo de Harry Markowitz -
“Portfolio Selection”, escrito para The Journal of Finance, volume VII, n. 1, em março de
1952, onde o autor propõe estratégias de diversificação que podem ser consideradas como
um marco histórico na evolução da teoria financeira.
Esta teoria pode ser estendida para análise de qualquer tipo de ativos, e não só para
ativos financeiros (títulos e ações).
3.1 O PRINCÍPIO DA DOMINÂNCIA
Admite-se que, por mais informais que sejam os métodos de seleção de
investimentos, eles estão sujeitos ao Princípio da Dominância.
As hipóteses fundamentais deste princípio são:
• Os investidores procurarão minimizar o nível de risco, dentro de certa classe de
retorno esperado.
• Eles procurarão maximizar o nível de retorno esperado, dentro de determinada
classe de riscos
3.2 A DIVERSIFICAÇÃO SIMPLES (“NAIVE”)
Antes de discorrermos sobre a diversificação de Markowitz, vejamos o tipo de
diversificação que pode ser designada por “simples”. A diversificação simples é a tentativa
de colocar em prática a recomendação implícita no ditado “não ponha todos os ovos numa só
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 3
cesta”. Pode-se inferir que, quanto maior o número de cestas, menor será a chance de
quebrar todos os ovos.
Assim, aqueles que buscam uma diversificação simples esperam reduzir o nível de
risco do portfólio, repartindo ao máximo a sua aplicação entre as alternativas de
investimentos oferecidas.
Com efeito, a diversificação simples consegue a redução do risco não sistemático, e
até sua anulação. Entretanto, estudos empíricos demonstram que portfólios construídos
apenas com 10 a 15 ações são suficientes para reduzir a variabilidade total ao nível de
variabilidade média atribuível ao risco sistemático. Portanto, a busca à diversificação
máxima pode levar à diversificação supérflua, que poderá reduzir o retorno da carteira de
investimentos.
Fig. 1 - Relação entre a variância do retorno de uma carteira e o número de títulos contidos na carteira
3.3 RETORNO E RISCO DE UMA AÇÃO
O retorno esperado é dado pela seguinte fórmula:
E (r) = P x rjj=1
n
j∑
Variância do Retorno da Carteira
Risco não Sistemático
Risco Sistemático
Número de Ações
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 4
Como pode-se observar E(r) é a média ponderada dos retornos rj, tais retornos podem
ser meras opiniões (probabilidades subjetivas) ou, então, retornos de uma série histórica
suficientemente grande (probabilidades objetivas).
O risco é avaliado pela variabilidade dos retornos em torno de E(r):
σ 2
1
==
∑P [r - E(r)]j j2
j
n
e σ σ= 2
Exemplo 1 (Ross, 2002):
Suponha que os analistas financeiros achem que há quatro situações futuras possíveis
e equiprováveis para a economia do país: depressão, recessão, normalidade e expansão.
Os retornos da Supertech Company devem acompanhar de perto o comportamento da
economia, mas o mesmo não acontecerá com os da Slowpoke Company. As predições de
retorno são fornecidas a seguir.
Retornos da Supertech Retornos da Slowpoke
Depressão -20% 5%
Recessão 10 20
Normalidade 30 -12
Expansão 50 9
O retorno esperado da Supertech é de 17,5% enquanto que o da Slowpoke é de 5,5%.
O desvio Padrão da Supertech é de 25,86% e da Slowpoke de 11,50%.
O retorno esperado e o desvio padrão de uma ação também pode ser calculado
através de uma série histórica.
Exemplo 2:
Suponha duas ações, A e B, que tenham tido o seguinte comportamento nos últimos 5
anos:
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 5
A B
Ano -5 15% -18
Ano -4 -15 10
Ano -3 17 50
Ano -2 5 45
Último ano 30 65
O retorno esperado da ação A, baseado na média aritmética dos anos anteriores, é de
10% e, da ação B, de 30%. O desvio padrão da ação A é de 15% e da ação B de 30%.
Aplicação
Calcular o Valor esperado dos retornos, o desvio padrão e correlação das ações da Ambev e
da Cemig considerando a série histórica dos últimos 24 meses
(usar planilha eletrônica)
3.4 O MODELO DE DIVERSIFICAÇÃO DE MARKOWITZ
O retorno esperado, para o caso de um portfólio formado por dois ativos (A e B), é
:
E(rp) = wA x E(rA) + wB x E(rB)
Onde:
w é a participação de um ativo no portfólio
O risco de um portfólio é avaliado da seguinte maneira:
σ2p = w2
A x σ2Α + w2
B x σ2Β + 2 x wA x wB x rA,,B x σΑ x σΒ
Onde:
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 6
rA,B é o coeficiente de correlação entre A e B, e pode ser calculado da seguinte forma:
r
P x [r - E(r x [r - E(r
x A,B
t A,t A B,t Bt = 1
n
A B=∑ )] )]
σ σ
Em que:
Pt é a probabilidade de ocorrência do evento t.
rA,t é o retorno para o ativo A na hipótese t.
Exemplo 3:
Suponha duas ações com as seguintes características:
Ações E(r) σ
A 10% 15%
B 30% 30%
Calcule o valor esperado do retorno do portfólio para várias combinações dos ativos
A e B, e o desvio padrão para as hipóteses de correlação igual a (-1), (0) e (1).
Faça um gráfico do valor esperado em função do risco para os três coeficientes de
correlação.
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 7
Solução:
Combinações E(rp) Desvio - Padrão
wA wB r = 1 r = 0 r = -1
0 1,00 30% 30,0% 30,0% 30,0%
0,10 0,90 28 28,5 27,0 25,5
0,20 0,80 26 27,0 24,2 21,0
0,30 0,70 24 25,5 21,5 16,5
0,40 0,60 22 24,0 19,0 12,0
0,50 0,50 20 22,5 16,8 7,5
0,60 0,40 18 21,0 15,0 3,0
0,65 0,35 17 20,2 14,3 0,7
0,70 0,30 16 19,5 13,8 1,5
0,80 0,20 14 18,0 13,4 6,0
0,90 0,10 12 16,5 13,8 10,5
1,00 0 10 15,0 15,0 15,0
E o gráfico é o seguinte:
E(rp)
20%
30%
10%
16,7%
15% 30% σp
rA,B= -1
rA,B= 0
rA,B= 1
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 8
O gráfico representa o modelo de Markowitz, e auxilia a visualizar a principal
conclusão deste modelo:
“É possível anular o nível de risco através da formação de carteiras
diversificadas de ações, uma vez que, se duas ações tiverem correlação
perfeitamente negativa (r = - 1), haverá determinada combinação de
ambas em que o risco é nulo.”
É possível, portanto, reduzir o risco abaixo do nível sistemático, desde que o analista
possa localizar investimentos cujas taxas de retorno tenham correlação suficientemente
baixas.
A conseqüência prática da teoria de Markowitz é a determinação do efeito da
correlação entre as variabilidades de retorno dos ativos sobre a variabilidade do portfólio.
A diversificação não deve ser feita aleatoriamente (naive diversification). Não se trata
apenas de pôr os ovos no maior número de cestas que seja possível. Trata-se de considerar o
grau de correlação entre as variabilidades dos ativos ao compor o portfólio.
Pode-se concluir também que os portfólios dominam os ativos individuais, pois a
diversificação implica na redução de riscos e otimização dos retornos.
Exemplo 4:
Se o coeficiente de correlação entre as ações A e B do exemplo anterior é de 0,453,
qual o retorno e risco de um portfólio formado por 60% de A e 40% de B ?
Aplicação
Qual o retorno e o risco de uma carteira formada por 70% de ações da Ambev e 30%
de ações da Cemig (usar planilha eletrônica)
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 9
3.5 A FRONTEIRA EFICIENTE E A CML (CAPITAL MARKET LINE) No gráfico a seguir os pontos representam ativos individuais ou portfólios
ineficientes, e a linha curva - a Fronteira Eficiente - representa os portfólios diversificados.
Pela teoria de Markowitz, os portfólios diversificados dominarão os portfólios
construídos através da diversificação randômica.
Se aplicarmos a diversificação de Markowitz a todos os ativos do mercado, todos os
portfólios possíveis estariam representados sobre a fronteira eficiente.
Em 1963, William Sharpe estendeu a teoria de Markowitz para uma conceituação
mais ampla: a inclusão de ativos “livres de risco” em portfólios diversificados.
Suponhamos um ativo livre de risco, como títulos do governo federal (?), cuja taxa de
retorno seja “R”. O portfólio formado por este ativo e um outro “j” (sujeito a risco) tem os
seguintes parâmetros:
E(rp) = wR x R + wj x E(rj)
σp = wj x σj
E(r)
R
σ
M
CML
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 10
Pois o ativo livre de risco tem variabilidade nula e, portanto, ri,R = 0.
Ambas as equações são lineares, resultando na representação linear dos portfólios,
que são possíveis de ser montados, variando-se wR e wj.
Supondo, ainda, que seja possível tomar emprestado à taxa R, pode-se estender as
retas para além dos pontos marcados que representam ativos arriscados. Ao adotarmos esta
hipótese, estamos admitindo que wR < 0 .
Observa-se ainda que os portfólios que estão representados pela linha RM são mais
eficientes do que todas as demais alternativas, uma vez que esta linha tangencia a fronteira
eficiente no ponto M. Esta linha é denominada de CML (Capital Market Line).
A CML antes do ponto M representa portfólios formados com ativos livres de risco e
o portfólio M diversificado. O segmento à direita de M indica o portfólio alavancado
(“leveraged portfolios”), onde wR < 0 .
A reta CML passa a ser a verdadeira fronteira eficiente do mercado. Sua forma linear
indica que os portfólios por ela representados estão positiva e perfeitamente correlacionados.
O portfólio M representa o portfólio do mercado. Portanto a sua taxa de retorno pode
ser avaliada através da análise das médias do mercado.
Exemplo 5:
Qual o retorno e o risco de um portfólio formado pela composição do exemplo 4 com
um ativo livre de risco (R) com retorno igual a 6%:
a) se R é 30% do total
b) se utiliza-se a taxa de R para financiar 40% dos fundos iniciais para aplicação no portfólio
que combina A e B.
3.6 A TOMADA DE DECISÃO
O comportamento de aversão ao risco deve caracterizar a decisão de um investidor
racional. Isto nos leva às curvas de indiferença.
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 11
As curvas U1 , U2 e U3 , no gráfico a seguir, representam, cada uma, combinações
possíveis de risco e retorno que proporcionariam o mesmo nível de utilidade total ao
investidor. U3 apresenta as combinações que proporcionam utilidade maior que U2 e U1 .
Onde houver tangência entre a curva de indiferença de maior índice e a CML,
teremos a combinação ideal de risco e retorno.
Neste ponto, o portfólio escolhido apresentará apenas risco sistemático, pois se trata
de portfólio diversificado combinado com o ativo livre de risco. Trata-se de um portfólio
eficiente. Também neste ponto, o investidor encontra o mais alto grau de satisfação possível.
4. MODELO DE PRECIFICAÇÃO DE ATIVOS (CAPM) O risco sistemático está associado à incerteza que envolve o mercado como um todo,
assim ele pode ser avaliado pela correlação que existe entre o risco de determinado ativo e o
risco do portfólio do mercado. Através de uma regressão entre os retornos de um ativo e dos
retornos do mercado, encontraríamos a seguinte equação:
ri,t = αi + βi x rm,t + et
σ
E(r)
U3 U2 U1
M
R
CML
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 12
Onde:
ri,t : retorno do ativo i no período t
αi : parâmetro linear da regressão
βi : parâmetro angular da regressão
et : erro
rm,t : retorno do portfólio do mercado no período t (taxa de variação de uma média do
mercado)
Esta reta é chamada de “linha característica” do ativo i .
A variância dos retornos é dada pela equação:
Var (ri) = Var(αi) + Var(βi x rM) + Var(e)
ou:
Var (ri) = Var(βi x rM) + Var(e)
em que o primeiro termo representa o risco sistemático e o segundo termo o risco não
sistemático.
Se considerarmos β o indicador do risco sistemático, pode-se traçar a SML (Security
Market Line) como é apresentada no gráfico a seguir:
E(r)
E(rM)
R
A
B
SML
1,0 β
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 13
A equação da SML, denominada CAPM (Capital Asset Pricing Model), pode ser
escrita da seguinte forma:
E (ri) = R + β [ E (rM) - R ] (CAPM)
Assim:
β pode ser calculado por:
β = Cov( ri , rM ) / (σΜ)2
Os ativos com β menor que a unidade são considerados ativos defensivos, pois a
variação em seu retorno é menor que a variação do mercado como um todo, enquanto que os
ativos com β maior que a unidade são os agressivos.
Se:
Valor teórico do ativo = (rendimento no final de um período + variação no preço)/ TIR
A decisão de comprar seria tomada quando o mercado subavaliasse esse ativo. No
gráfico, A (com β menor que a unidade) se encontra subavaliado. A médio prazo o mercado
reconhecerá esta incoerência, e a demanda por este ativo aumentará sensivelmente, fazendo
o seu preço aumentar e, com isso, reduzindo o retorno esperado até a SML. Pode-se analisar
B por analogia.
Aplicação
Calcular o Beta das ações da Ambev e Cemig em relação ao Ibovespa, utilizando a
fórmula de beta e utilizando a inclinação da linha característica.
Retorno esperado de
um título
Retorno do ativo sem
risco
Diferença entre o retorno da carteira de mercado e
a taxa livre de risco
Beta do
título= + x
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 14
Calcular o valor esperado do retorno das ações da Ambev e da Cemig, considerando
que o investimento livre de risco no Brasil é de 8% ao ano e o prêmio pelo risco de mercado
é de 5%.
5. A TAXA DE DESCONTOS PARA AVALIAÇÕES ECONÔMICAS (WACC) Um dos modelos mais utilizados para determinação da taxa de desconto é o WACC
(Weighted Average Cost of Capital) ou Custo Médio Ponderado de Capital. O WACC é
mensurado através de uma ponderação entre custo de capital próprio e custo das dívidas em
função do nível de endividamento da empresa, como na equação abaixo.
Onde: E: Valor do capital próprio;
D: Valor da Dívida;
RE: Custo de Capital Próprio;
RD: Custo das Dívidas (taxa de juros antes do imposto de renda)
τ : alíquota do IRPJ / CSL
Atualmente, um dos modelos mais utilizados para cálculo do custo de capital próprio é o
CAPM, já apresentado nesse trabalho. A equação do CAPM apresentada anteriormente
apresenta o cálculo da taxa de retorno exigida de um ativo qualquer (Ri) em função de três
variáveis, o índice beta (β) a taxa de retorno do ativo livre de risco (Rf) e o prêmio por risco
de mercado (Rm – Rf). Pode-se dizer que o custo de capital próprio de uma empresa deve
refletir a taxa de retorno exigida para esse investimento, dessa forma pode-se elaborar a
equação a seguir que substitui o custo de capital próprio (RE) pela equação do modelo
CAPM.
)1(** τ−+
++
= DE RDE
DRDE
EWACC
( )( ) )1(**** τβ −+
+−++
= Dfmf RDE
DRRRDE
EWACC
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 15
Aplicação
Qual o Custo Médio Ponderado de Capital da Ambev e da Cemig se as estruturas de capital
das duas empresas são:
Ambev: 50% de endividamento
Cemig: 40% de endividamento
O custo de capital de terceiros é de 14% ao ano e a alíquota de imposto de renda é de 34%
5.1 EXEMPLO 1 :
São apresentadas a seguir as taxas de retorno da ação A e do índice de mercado nos
anos de 1 a 12:
Anos Índice Bovespa (x)
Ação A (y)
1 5,0% 7,0%
2 2,5 3,75
3 1,0 1,8
4 0,5 1,15
5 3,0 4,5
6 -2,5 -2,75
7 -2,1 -2,2
8 -3,2 -3,7
9 2,1 3,1
10 4,1 5,9
11 -3,0 -3,5
12 -1,5 -1,4
Calcular α, β e r da ação e analisar os resultados.
Calcular o retorno esperado da ação A se o Rf é 7% e (Rm – Rf) é 6%.
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 16
5.2 EXEMPLO 3:
Veja alguns exemplos retirados do anuário do Bovespa:
Ações α β r
Villares 1,08 0,94 0,57
Brahma 0,98 0,95 0,67
BB 0,59 1,07 0,67
Petrobrás -1,94 1,19 0,85
Souza Cruz 1,82 0,72 0,68
5.3 APLICAÇÕES:
1. Calcule os coeficientes de correlação dos retornos das três ações no período
considerado:
Ano Ação A Ação B Ação C
1 10% 6% -5%
2 -5 10 15
3 -7 12 20
4 15 8 25
5 20 14 30
6 -30 7 -35
7 12 8 20
2. Calcule os desvios - padrão das ações, considerando o período de amostra.
3. Qual o retorno esperado de um portfólio feito com 20% de A, 40% de B e 40% de C.
Considere os retornos anuais dos sete anos.
4. Determine o desvio - padrão de um portfólio feito de 20% do ativo A, 40% do B e 40% do
C.
5. Qual o retorno esperado para um portfólio que tem 50% investido em A e 50% em B ?
Use todos os sete anos dos dados históricos.
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 17
6. Determine o desvio - padrão do portfólio igualmente ponderado de dois ativos sugerido
no problema 5.
7. Determine a covariância dos retornos das ações A e B na amostra de 7 anos. (As
informações dos problemas 1 e 2 podem ser úteis)
8. Se a correlação entre D e G é 0,1, determine o desvio padrão mínimo para o portfólio
formado por D e G. Qual o retorno esperado deste portfólio ? Dica: A seguinte fórmula
determina a proporção de D para o desvio padrão mínimo de um portfólio:
w = - r
+ - 2rDG2
D,G D
G D,G D
σ σ σ
σ σ σ σ
G
D G2 2
Ação E(r) Desv. Padrão
D 10% 15%
G 18% 30%
9. Usando as informações do problema 8, qual o retorno e o risco do investidor se ele (a)
investir apenas em um ativo livre de risco com R = 8%, (b) investir metade dos fundos no
ativo livre de risco e a outra metade no portfólio de mercado m, e (c) emprestar 50% de seus
fundos iniciais para uma inversão adicional e investir todos os fundos no portfólio de
mercado.
10. Qual a alocação ótima de ativos entre ações ordinárias, títulos de longo prazo do tesouro
e obrigações do tesouro nacional ? use as estatísticas abaixo:
A. Valor esperado do retorno:
Ações ordinárias: 12%
Títulos do tesouro: 4,6%
Obrigações do tesouro : 3,5%
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 18
B. Matriz de variância e covariância
Ações Ordinárias Títulos Obrigações
Ações σ = 21,1% cov(a,t) = 19,7% cov(a,t) = -5,02%
Títulos σ = 8,5% cov(t,o) = 6,07%
Obrigações σ = 3,4%
C. Matriz de correlação:
Ações Títulos Obrigações
Ações 1,0 0,11 -0,07
Títulos 1,0 0,21
Obrigações 1,0
11. Calcule o coeficiente beta para a IBM dos 12 trimestres abaixo:
Trimestre Retorno trimestral IBM S & P 500 return
1 6,61% 10,02%
2 19,12 11,10
3 6,3 -0,1
4 -3,09 0,4
5 -5,78 -2,4
6 -6,4 -2,61
7 18,53 9,68
8 -0,02 1,76
9 4,04 9,18
10 -1,69 7,34
11 0,99 -4,10
12 26,42 17,19
12. Calcule a variância dos retornos da IBM, os componentes de risco sistemático e não
sistemático, o coeficiente de determinação da IBM com o S & P 500. Qual a relação entre
o risco sistemático da IBM e seu coeficiente de determinação ? mostre a relação
matematicamente. Dica: particione a variância.
Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 19
13. Uma ação tem beta igual a 0,9. Um analista especializado nesta ação espera que seu
retorno seja de 13%. Suponha que a taxa livre de risco seja igual a 8% e que o prêmio de
mercado por unidade de risco seja de 6%. Qual sua opinião: o analista é otimista ou
pessimista em relação a esta ação, comparativamente às expectativas do resto do
mercado?
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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