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Apprentissage des mathématiques
Cycle 3
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 1
Difficultés des élèves
Apprendre à partir de problèmes
Pistes de travail
À propos des programmes
Deux points importants pour penser leur mise en œuvre
2Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Sur les enjeux
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 3
� La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision.
� L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.
(Académie des Sciences, janvier 2007)
� La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision.
� L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.
(Académie des Sciences, janvier 2007)
Sur la résolution de problèmes
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 4
� La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. (Socle commun, 2006)
� La résolution de problèmes joue un rôle essentieldans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (Programmes, 2008)
� La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. (Socle commun, 2006)
� La résolution de problèmes joue un rôle essentieldans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (Programmes, 2008)
Quelques préalables…
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 5
Sur l’évaluation et ses limitesSur la maîtrise d’un concept
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 6
Evaluation d’une compétence… ou d’un exercice ?
x
O
Y
70 %
Tracer la bissectrice de XOY
A
C
B
28 %
Tracer la bissectrice de BAC
Contexte de la situation support à l’évaluation
� Je déplace un pion sur une piste graduée. Enpartant de 0, je fais des bonds tous pareils de 8cases chacun. J’avance de 36 bonds. Sur quellecase vais-je arriver ?
� J’ai collé 8 images sur chaque page d’un albumqui a 36 pages. Combien d’images ai-je collées ?
7Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Qu'évalue-t-on dans une tâche complexe ?
8
Sur ce dessin à main levée, on a représenté un rectangle ABCD et un cercle de centre A qui passe par D. Ce cercle coupe le segment [AB] au point E.
Trouve la longueur du segment [EB] ……………………………………..
Explique ta réponse : ….……………………………………………………
Trouve la longueur du segment [EB] ……………………………………..
Explique ta réponse : ….……………………………………………………Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Annoncé par la DEP
� Organiser une démarche
� Résoudre un problème à étapes
Egalement en jeu
� Lire et comprendre le texte, en relation avec le schéma
� Comprendre un schéma à main levée
� Savoir qu'une longueur peut se mesurer… mais aussi se calculer
� Savoir qu'un cercle a un rayon constant
� Savoir que les côtés opposés d’un rectangle ont même longueur
� Elaborer la démarche
� Expliquer la démarche…9Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
D’où l’importance du travail d’analyse de la tâche
10
� Suite des actions nécessaires pour répondre
� Procédures possibles pour répondre (souvent diverses)
� Connaissances requises pour les mener à bien
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
11
Résultats, procédures et techniques
- à mémoriser, à automatiser
- à savoir élaborer
Langage- analogique
- verbal
- symbolique
Propriétés- utilisées implicitement
- explicitées
Problèmesqu'il permet de résoudre
Maîtrise d’un concept : différents aspects
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Analyse des difficultés
12Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Evaluation 6e - 2005
13
10 objets identiques coûtent 22 €.
Combien coûtent 15 de ces objets ?
Procédure et réponse correctes : 35 %
Procédure correcte : 30,5 %
Calcul 22 x 15 : 11 %
10 objets identiques coûtent 22 €.
Combien coûtent 15 de ces objets ?
Procédure et réponse correctes : 35 %
Procédure correcte : 30,5 %
Calcul 22 x 15 : 11 %
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
14
Analyse de la tâche
� Lire, comprendre, interpréter
� Imaginer une stratégie possible parmi plusieurs (raisonnement)
� Gérer la stratégie
� Interpréter le résultat
� Communiquer la réponse
� Lire, comprendre, interpréter
� Imaginer une stratégie possible parmi plusieurs (raisonnement)
� Gérer la stratégie
� Interpréter le résultat
� Communiquer la réponse
10 objets identiques coûtent 22 €.
Combien coûtent 15 de ces objets ?
10 objets identiques coûtent 22 €.
Combien coûtent 15 de ces objets ?
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Quelques erreurs
� Calcul multiplicatif : 22 x 10 ou 22 x 15� Référence à un problème connu sans essayer de
comprendre la situation
� Texte interprété comme "10 objets coûtent 22 € chacun" (légitime !)
� Calcul additif� Réponse : 27 (5 de plus), obstacle classique
� Calcul avec toutes les données numériques� Stratégie qui "marche souvent"
� Autres
� Calcul multiplicatif : 22 x 10 ou 22 x 15� Référence à un problème connu sans essayer de
comprendre la situation
� Texte interprété comme "10 objets coûtent 22 € chacun" (légitime !)
� Calcul additif� Réponse : 27 (5 de plus), obstacle classique
� Calcul avec toutes les données numériques� Stratégie qui "marche souvent"
� Autres15
10 objets identiques coûtent 22 €.
Combien coûtent 15 de ces objets ? ?
10 objets identiques coûtent 22 €.
Combien coûtent 15 de ces objets ? ?
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Evaluation 6e - 2003
16
Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.
Chaque page contient 6 photos.
a) Combien y a-t-il de pages complètes ?
b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?
Il y a ……… pages complètes. 54 %
Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
17
Procédures possibles
� Division par 6� Division (CE2/CM1)
� Encadrement par deux multiples de 6� Table de multiplication (CE1/CE2)
� Addition de 6 en 6� Addition (CP/CE1)
� Schématisation des pages et des photos� Dénombrement (CP)
� Division par 6� Division (CE2/CM1)
� Encadrement par deux multiples de 6� Table de multiplication (CE1/CE2)
� Addition de 6 en 6� Addition (CP/CE1)
� Schématisation des pages et des photos� Dénombrement (CP)
Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.
Chaque page contient 6 photos.
a) Combien y a-t-il de pages complètes ?
b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?
Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.
Chaque page contient 6 photos.
a) Combien y a-t-il de pages complètes ?
b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Une question
Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème…
- ne pensent-ils pas…
- n’osent-ils pas…
- ne se croient-ils pas autorisés…
… (à) les utiliser pour répondre à la question ?
Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème…
- ne pensent-ils pas…
- n’osent-ils pas…
- ne se croient-ils pas autorisés…
… (à) les utiliser pour répondre à la question ?
18Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Lorsqu’il est demandé aux élèves une prise
d’initiative (essais à faire), la réussite française est relativement faible.
La pratique de l’expérimentation en mathématiques (faire des essais, critiquer, recommencer…) est peu développée…
Note de la DEP n° 04.12
Lorsqu’il est demandé aux élèves une prise
d’initiative (essais à faire), la réussite française est relativement faible.
La pratique de l’expérimentation en mathématiques (faire des essais, critiquer, recommencer…) est peu développée…
Note de la DEP n° 04.12
19
Commentaire sur PISA 2003
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Évaluation PISA – (Élèves de 15 ans)
20
Estimez l’aire de l’Antarctique en utilisant l’échelle de la carte.
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Julie (évaluation 6e)
Julie a acheté pour un goûter :
- deux tablettes de chocolat à 8 F chacune
- quatre bouteilles de limonade à 6 F chacune
- un sac de brioches.
Elle a payé 56 F.
Quel est le prix du sac de brioches ?
8 F 8 F 8 F 8 F x 6 F = 54 F6 F = 54 F6 F = 54 F6 F = 54 FLe prix du sac de brioches est 2 F.Le prix du sac de brioches est 2 F.Le prix du sac de brioches est 2 F.Le prix du sac de brioches est 2 F.
Julie a acheté pour un goûter :
- deux tablettes de chocolat à 8 F chacune
- quatre bouteilles de limonade à 6 F chacune
- un sac de brioches.
Elle a payé 56 F.
Quel est le prix du sac de brioches ?
8 F 8 F 8 F 8 F x 6 F = 54 F6 F = 54 F6 F = 54 F6 F = 54 FLe prix du sac de brioches est 2 F.Le prix du sac de brioches est 2 F.Le prix du sac de brioches est 2 F.Le prix du sac de brioches est 2 F.
21Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Schéma d’analyse sommaire
22
Connaissances et compétences
en lecture (ordre des informations,
place de la question)
sur le contexte
sur les concepts mathématiques
relatives aux raisonnement
en calcul
Connaissances
sur ce qui est attendu
sur ce qui est permis
sur ce qui marche souvent
sur "l'accueil"
des erreurs
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
À la bonne place (Evaluation CE2)
23
Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient.
367 582 309
300 400 500 600
300 309309309309 400 367367367367 500 582582582582 600
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Pour qu’un problème permette d’engager un apprentissage, il faut donc 2 conditions…
Du côté de la situation elle-même, en relation � Du côté de la situation elle-même, en relation avec les connaissances des élèves
� Du côté du contrat didactique et de la responsabilité de l’élève dans la production de la solution :
� Trouver une réponse correcte au problème posé par une procédure correcte
� Ou trouver une réponse attendue par l’enseignant par une procédure reconnue par l’enseignant
24Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Quelques pistes…
25Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Apprendre ce qu’est chercherchercherchercherchercherClarifier le contrat
Un mot à double sens
� Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées
� Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur
Un mot à double sens
� Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées
� Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur
26Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Favoriser l’appropriation du problème
� Ne pas confondre lecture d’énoncé et résolution de problème
� Plusieurs supports de présentation� Vécu
� Dessin, schéma, document
� Oral
� Ecrit
� L'obstacle de la lecture doit être "atténué" pour certains élèves, à certains moments.� à condition de clarifier le rôle du matériel
� Ne pas confondre lecture d’énoncé et résolution de problème
� Plusieurs supports de présentation� Vécu
� Dessin, schéma, document
� Oral
� Ecrit
� L'obstacle de la lecture doit être "atténué" pour certains élèves, à certains moments.� à condition de clarifier le rôle du matériel
27Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Rôle du matérielTechnique opératoire de la division par un
nombre à un chiffre (CE2)
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 28
- 7 cartes « 1 dizaine » et 8 cartes « 1 unité » sont affichées au tableau.
- Une première demande : « Ces cartes ont été gagnées par 3 joueurs. Combien cela représente-t-il de points ? »
- Le problème : « Ces 78 points doivent être répartis entre les 3 joueurs. Chacun doit en avoir exactement le même nombre. Que recevra chaque joueur ? »
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 29
Technique opératoire de la division par un nombre à un chiffre
� Aider à envisager une démarche (distribution)
� Illustrer la technique et ainsi aider à la compréhension de celle-ci
d u
7 8 3- 6 2 61 8 d u
- 1 80
� Aider à envisager une démarche (distribution)
� Illustrer la technique et ainsi aider à la compréhension de celle-ci
d u
7 8 3- 6 2 61 8 d u
- 1 80
• On partage d’abord les 7 dizaines en 3- donc 2 dizaines à chacun- on a donné 6 dizaines (2 × 3)- il en reste 1.• Avec les 8 unités de départ, cela fait 18 unités à partager en 3- donc 6 unités à chacun- on a donné 18 unités (6 × 3)- il en reste 0.
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 30
Réel / Anticipation
Réel
Favorise l’appropriationde la situation et du
problème
Réel
Favorise l’appropriationde la situation et du
problème
Anticipation
Incite à l'expérience mentale
Anticipation
Incite à l'expérience mentale
Permet la validation de la réponse ou d'une
procédure
Permet la validation de la réponse ou d'une
procédure
Oblige à élaborer des procédures
Oblige à élaborer des procédures
Limiter les références possibles à des indices «extérieurs» au problème
31
� Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours
� Éviter les indices de surface
� Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours
� Éviter les indices de surface
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Accorder un autre statut à l'erreur
� Se tromper est normal… dans la phase d'apprentissage
� Dans cette phase, l'erreur ne doit donc pas être sanctionnée
� L’erreur informe
� On apprend aussi en travaillant sur les erreurs
� D'où l'importance de l'analyse des erreurs
� Se tromper est normal… dans la phase d'apprentissage
� Dans cette phase, l'erreur ne doit donc pas être sanctionnée
� L’erreur informe
� On apprend aussi en travaillant sur les erreurs
� D'où l'importance de l'analyse des erreurs
32Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Quatre bandes (CM1)
33
4 bandes 8 cm 4 bandes 8 cm8 bandes 12 cm 8 bandes 16 cm
12 bandes 16 cm 12 bandes 24 cm
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Apprendre à partir de problèmes
34Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Une situation ouverte…
� n’est pas une situation floue
� n’est pas une situation complexe
� n’est pas une situation à l’issue incertaine
� est une situation que l’élève comprend
� dont il perçoit ce que peut être une solution
� mais dont il n’a pas la solution immédiatement
� et dont il sait être responsable de l’élaboration de la solution
� n’est pas une situation floue
� n’est pas une situation complexe
� n’est pas une situation à l’issue incertaine
� est une situation que l’élève comprend
� dont il perçoit ce que peut être une solution
� mais dont il n’a pas la solution immédiatement
� et dont il sait être responsable de l’élaboration de la solution
35Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Deux catégories d’objectifs pour une situation ouverte
méthodologiques
� Développer des stratégies de recherche, d’investigation, de preuve
� Mettre en œuvre des solutions « personnelles »
� Travailler sur le contrat et la responsabilité de l’élève dans le traitement du problème
� Développer des stratégies de recherche, d’investigation, de preuve
� Mettre en œuvre des solutions « personnelles »
� Travailler sur le contrat et la responsabilité de l’élève dans le traitement du problème
notionnels
� Mettre en œuvre des solutions personnelles
� En percevoir les limites et les insuffisances
� S’approprier des solutions plus expertes, parfois un nouveau concept
36Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Exemples de « problèmes pour chercher »
Objectifs méthodologiques (CM1)
37Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Exemple de « problème pour chercher »Objectifs méthodologiques (CE2)
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 38
« Vous allez chercher à obtenir le plus possible de polygones différents en assemblant deux triangles par un côté.
Les deux côtés qui se touchent doivent avoir même longueur et leurs extrémités doivent coïncider ».
« Vous allez chercher à obtenir le plus possible de polygones différents en assemblant deux triangles par un côté.
Les deux côtés qui se touchent doivent avoir même longueur et leurs extrémités doivent coïncider ».
39
Exemples de « problèmes pour apprendre »Objectifs notionnels (CM2)
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Voici un losange et un agrandissement de ce losange.
La figure et son agrandis-sement restent affichés au tableau.
Voici un losange et un agrandissement de ce losange.
La figure et son agrandis-sement restent affichés au tableau.
40
Exemples de « problèmes pour apprendre »Objectifs notionnels (CM2)
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Par deux les élèves doivent se mettre d’accord sur une méthode de construction ;
Chacun réalise la construction sursa feuille ;
Les productions sont affichées et discutées ainsi que les méthodes utilisées
Le calque de l’agrandissement est ensuite utilisé pour valider
Par deux les élèves doivent se mettre d’accord sur une méthode de construction ;
Chacun réalise la construction sursa feuille ;
Les productions sont affichées et discutées ainsi que les méthodes utilisées
Le calque de l’agrandissement est ensuite utilisé pour valider
Exemples de « problèmes pour apprendre »objectifs notionnels (CM2)
41
Validation expérimentale
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Dans ces problèmes…
La situation et la question sont simples à � La situation et la question sont simples à comprendre
� La résolution n’est pas immédiate ou donne lieu à controverse, donc il y a quelque chose à apprendre
� Le choix des valeurs de certaines variables (et leur évolution) est primordial
� La validation n’est pas le fait de l’enseignant � c’est déterminant pour la responsabilité des élèves vis-à-vis de la résolution
42Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
Apprentissage par résolution de problèmes(4 schémas)
43
ElèveElève SituationSituation
Investigation
Connaissances anciennes : limites, insuffisances
Tentatives nouvelles
Rétroaction de la situation
Investigation
Connaissances anciennes : limites, insuffisances
Tentatives nouvelles
Rétroaction de la situation
ElèveElève ElèvesElèves
Confrontation
Explicitation
Controverse, argumentation
Appropriation d’autres stratégies
Confrontation
Explicitation
Controverse, argumentation
Appropriation d’autres stratégies
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
44
ElèveElève EnseignantEnseignant
Mise en évidence, généralisation
Apport : stratégie, langage, mise en forme…
Réponses aux questions
Mise en évidence, généralisation
Apport : stratégie, langage, mise en forme…
Réponses aux questions
ElèveElève SituationsSituations
Exercices, entraînement
Evaluation
Adaptation des connaissances
Exercices, entraînement
Evaluation
Adaptation des connaissances
Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011
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