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Elementi di Geotecnica - Spinta delle terre - Muri
di sostegno
Giacomo Sacco
Gennaio 2020
2
Indice
1 - Elementi di geotecnica e spinta delle terre
11 - Natura e classificazione delle rocce sciolte pag 3
12 - Fondazioni superficiali pag 5
121 - Resistenza a rottura del terreno
122 - Verifica delle fondazioni
123 - Criteri generali di progetto per le fondazioni superficiali
13 ndash Indagini sui terreni pag 12
14 - Spinta delle terre pag 17
14 1 - Teoria di Coulomb
14 2 - Metodo grafico di Poncelet
143 ndash Spinta del terreno con sovraccarico
Esercizi svolti modulo 1 pag 23 1
2-Muri di sostegno
21 - Generalitagrave sui muri di sostegno pag 25
22 ndash Azioni statiche sul muro pag 27
23 - Verifiche pag 29
231 - Verifica a scorrimento rispetto al terreno di fondazione pag 31
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione pag 35
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione pag 37
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro pag 39
223 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione pag 41
Esercizi modulo 2 pag 44
24 ndash Azioni provocate dal sisma pag 46
3
1 11 - Natura e classificazione delle rocce sciolte tura e classificazione delle
rocce sciolte
Un modo molto semplice per classificare le rocce egrave quello di dividerle in due grandi gruppi
rocce lapidee e rocce sciolte
La differenza tra i due tipi di roccia egrave data dallrsquointensitagrave del legame esistente tra i vari
componenti costituenti una roccia Possiamo definire rocce lapidee quelle che dopo una serie
successiva di immersioni in acqua ed essiccamenti si mantengono inalterate mentre le rocce
sciolte si disgregano in particelle o frammenti Nel seguito ci occuperemo dello studio solo delle
rocce sciolte
Le rocce sciolte sono composte da un insieme di piugrave particelle di varie dimensioni La
determinazione del diametro delle diverse particelle che compongono una roccia sciolta prende il
nome di analisi granulometrica
Una suddivisione delle rocce sciolte basata sullrsquoanalisi granulometrica egrave quella riportata
nella tabella sottostante basata sul diametro medio d delle particelle che le compongono
Argilla d lt0002 mm
Limo 0002 lt d lt 002 mm
Sabbia 002 lt d lt 2 mm
Ghiaia 2 lt d lt 200 mm
Blocchi d lt 200 mm
Tra le particelle che costituiscono una roccia sciolta egrave presente sempre lrsquoattrito In alcuni
casi oltre allrsquoattrito puograve esserci un altro legame tra le particelle comunque non sufficientemente
forte da far considerare tali rocce come lapidee tale legame egrave la coesione In base alla presenza o
meno della coesione le rocce sciolte vengono divise in terreni coerenti con coesione diversa da
zero e terreni incoerenti con coesione pari a zero Un esempio di terreno incoerente egrave
rappresentato dalla sabbia mentre un esempio di terreno coerente egrave rappresentato dall argilla
Come egrave noto la forza di attrito dipende dalla forza normale N applicata sulla superficie di
scorrimento e dalla scabrezza delle superfici a contatto scabrezza che viene riassunta da una
costante chiamata coefficiente di attrito fa La forza normale egrave costituita dal peso del terreno
sovrastante la superficie che si sta prendendo in considerazione La relazione che lega la resistenza
dovuta allrsquoattrito indicata con T alla forza normale N e al coefficiente di attrito egrave la seguente
Se dividiamo primo e secondo termine per lrsquoarea A avremo
Ossia af
Per capire in modo semplice lrsquoattrito di un terreno si puograve ricorrere ad un semplice
esperimento prendere un secchio di sabbia e versarla a terra otterremo un monticello di terreno il
cui angolo di inclinazione viene detto angolo di natural declivio o angolo di attrito interno del
afNT
afA
N
A
T
4
terreno Il coefficiente di attrito fa egrave proprio uguale alla tangente di questo angolo che si indica
usualmente con la lettera Quindi la relazione scritta in precedenza diventa
La coesione egrave la forza di adesione dei granelli di terra uno con lrsquoaltro essa non dipende
dallo sforzo normale ma solo dalla presenza di acqua e anche dalla granulometria del terreno
Lrsquoattrito nasce sempre quando ci sono due superfici in contatto purcheacute si sia in presenza
anche di una forza normale alla superficie Nel caso dei terreni sciolti tale azione egrave sempre presente
e dipende dalle caratteristiche fisiche del terreno granulometria (ossia dimensione dei granelli che
compongono il terreno) porositagrave del terreno ( rapporto tra volume dei vuoti e volume totale) La
forza normale egrave costituita dal peso del terreno sovrastante la superficie che si sta prendendo in
considerazione La coesione invece egrave una caratteristica che possono avere i terreni sciolti e
dipende dalla natura chimica del terreno stesso essa pertanto non egrave sempre presente
Esempio di terreno dotato di coesione egrave lrsquoargilla esempio di terreno privo di coesione detto
perciograve incoerente egrave la sabbia
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie perfettamente
verticale percheacute essi franano e vanno a disporsi secondo una superficie inclinata dellrsquoangolo di
attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo un angolo maggiore dipendente dal grado di
coesione nel caso di terreni coerenti
Nel caso di terreni coerenti la resistenza a taglio del terreno indicando con c la resistenza
per unitagrave di area dovuta alla coesione diventa
Che rappresenta lrsquoequazione di una retta non passante per lrsquoorigine degli assi
tan
c tan
5
12 - Fondazioni superficiali
La fondazione egrave quella parte della struttura che trasmette il carico dellrsquoopera al terreno
sottostante La superficie di contatto tra la base della fondazione e il terreno egrave detta piano di posa
Quando il piano di posa non egrave molto profondo rispetto al piano di campagna si puograve parlare di
fondazioni superficiali Tali fondazioni possono essere su plinti continue e a platea
Le fondazioni su plinti consistono nel realizzare la struttura di fondazione solo sotto i pilastri
che possono essere in cemento armato o in ferro Le fondazioni continue hanno forma nastriforme
con area di impronta rettangolare In pratica sono travi che anzicheacute stare sopra i pilastri stanno al di
sotto per questo motivo prendono il nome di travi rovesce Vengono realizzate sotto tutti i muri
portanti e sotto ogni fila di pilastri allineati
Esempi di plinti di fondazione
Plinto per pale eoliche
Plinto a bicchiere per pilastri prefabbricati
Video sulla realizzazione di un plinto per pale
eoliche
httpsyoutubedAxyHJU_aI0
Video getto fondazione continua
httpsyoutubet_P4J5uVLds
Esempi di fondazioni continue
6
Fondazione a platea
Video getto di una platea di fondazione
httpsyoutube-qnSTDPJLc4
121 Resistenza a rottura del terreno
La resistenza di un terreno dipende oltre che dalle caratteristiche del terreno stesso (angolo
di attrito coesione peso specifico) anche dalla forma della fondazione
Si definisce carico limite del complesso terreno-fondazioni il carico per unitagrave di area che
porta a rottura il terreno ossia che fa aumentare notevolmente i cedimenti detto in modo semplice
diremo che la fondazione ldquosprofondardquo sotto quel carico
Per una fondazione di forma rettangolare allungata (LgtgtB) ad esempio una fondazione di
un muro continuo o di una trave) con piano di posa a profonditagrave D sottoposta a carichi verticali e
centrati e con piano di campagna orizzontale lrsquoespressione del carico limite (formula di Terzaghi)
egrave la seguente
221lim
BγN+CN+DγN=q γcq
7
eBB 2
In cui g1 e g2 sono i pesi dellunitagrave di volume (pesi specifici) rispettivamente del terreno posto al
disopra ed al disotto del piano di posa
C egrave la coesione
Nq Nc Ng sono coefficienti adimensionali ricavati sulla base della teoria della plasticitagrave e
funzione dellangolo di attrito del terreno al disotto del piano di posa I valori di tali coefficienti in
funzione dellrsquoangolo di attrito del terreno sono riportati nella tabella TER1
Carico limite per carico inclinato ed eccentrico rispetto al baricentro
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita anche in questo caso mediante la formula di Terzaghi modificata perograve per tenere conto della eccentricitagrave del
carico e della sua inclinazione
Caso di forza eccentrica
Si tiene conto delleccentricitagrave della forza considerando invece che la larghezza
effettiva della fondazione una larghezza ridotta B Questa larghezza ridotta corrisponde alla
larghezza di una fondazione equivalente rispetto alla quale il carico verticale sarebbe centrato
Leccentricitagrave va considerata in valore assoluto poicheacute se la forza cade a sinistra del baricentro
invece che a destra essa risulta negativa e quindi B anzicheacute risultare piugrave piccola risulterebbe piugrave
grande della base vera cosa ovviamente senza senso
Caso di forza inclinata
Per tenere conto della inclinazione della forza si introducono dei coefficienti che tengono
conto della componente verticale ed orizzontale della forza stessa Questi coefficienti sono indicati
8
con ic iq iγ
Si riportano i coefficienti validi solo per terreni incoerenti (c=0)
2
1
V
Hi 1
3
V
Hiq
La formula di Terzaghi modificata valida per i terreni incoerenti allora egrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
Per i terreni coerenti i coefficienti iγ iq ic vanno calcolati con altre espressioni
122 - Verifica delle fondazioni
Come sempre per la verifica agli stati limite i carichi vengono aumentati moltiplicandoli
per dei coefficienti diversi a seconda del carico mentre i parametri di resistenza del terreno
vengono diminuiti dividendoli per altri coefficienti A differenza di come si fa con gli altri materiali
di costruzione tali coefficienti non sono sempre gli stessi ma variano a secondo della verifica che
si sta eseguendo Ovviamente quali coefficienti usare volta per volta viene indicato dalla
normativa
Per la verifica deve aversi
Ed le Rd
dove Ed egrave il valore di progetto dellrsquoazione o dellrsquoeffetto dellrsquoazione Rd egrave la resistenza a
rottura
Per i carichi quando il suo effetto egrave favorevole alla stabilitagrave della struttura anzicheacute
amplificarlo lo si prende col suo valore effettivo oppure si riduce o non lo si considera affatto
come nel caso dei carichi variabili Quando il loro effetto egrave sfavorevole li si amplifica sempre in
misura diversa se sono permanenti o variabili
Lo stato limite ultimo delle fondazioni superficiali puograve essere raggiunto per rottura del
terreno o per rottura degli elementi strutturali che compongono la fondazione stessa
Nel caso di fondazioni posizionate su o in prossimitagrave di pendii naturali o artificiali
deve essere effettuata la verifica anche con riferimento alle condizioni di stabilitagrave globale del
pendio includendo nelle verifiche le azioni trasmesse dalle fondazioni
9
Le verifiche delle fondazioni di capacitagrave portante e a scorrimento si eseguono con
lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
La verifica a stabilitagrave globale si esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i
carichi i coefficienti EQU (equilibrio) (EQU+M2+R2)
Coefficienti parziali per le azioni o per lrsquoeffetto delle azioni
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU
(A1)
STR
(A2)
GEO
Permanenti G1 Favorevole
γG1
09 10 10
Sfavorevole 11 13 10
Permanenti non strutturali G21 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Q Favorevole
γG1
00 00 00
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 140
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 100
I valori di resistenza calcolati devono essere divisi per i coefficienti parziali γ R riportati nella
seguente tabella
Coefficienti parziali γ R per le verifiche agli stati limite ultimi di fondazioni superficiali
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Carico limite 23
Scorrimento 11
10
Esempio N 1
Calcolare il carico limite terreno-fondazione La fondazione sia rettangolare allungata il
terreno abbia le seguenti caratteristiche peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito 32deg coesione 1
KNm2
Soluzione
Usiamo lapproccio 2 (A1+M1+R3)
Essendo il coefficiente parziale M1=1 sia langolo dattrito che la coesione rimangono
invariati infatti
Dalla tabella TER1 rileviamo i coefficienti Nc =3249 Nq=2318 Ng=3022
2lim
BNCNDN tctq
22
lim 970169682
4118223010493241181823 mmNmKN
11
Esempio N 2
Verificare la fondazione rettangolare lunga con sezione come in figura sottoposta ad un
carico centrato per ogni metro di 30000 dN Tale carico egrave composto da 20000 dN derivanti da
carichi permanenti e da 10000 dN derivanti da carichi variabili
Il terreno ha le seguenti caratteristiche angolo di attrito 30deg coesione 001 dNcm2 peso
specifico del terreno 1800 dNm3
Usiamo per la verifica lapproccio 2 A1+M1+R3 Calcoliamo il carico di progetto
Calcolo del carico limite Si osserva che i coefficienti da utilizzare per i parametri del
terreno riportati nella colonna M1 sono tutti pari ad 1 pertanto i parametri geotecnici del terreno
non vengono modificati
2lim
BNDNcN ttqc
2
lim 574732
218001402241800140181001430 mdN
La resistenza per ogni metro di fondazione saragrave
La resistenza si calcola applicando il coefficiente della tabella R3
Poichegrave risulta 41000 dN gt 38386 dN la fondazione non egrave verificata
12
123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI
La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione
alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e
alle condizioni ambientali
Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo
strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua
In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di
acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non
risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese
13 - Indagini sui terreni
Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso
Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini
ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito
hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di
laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e
quindi in qualche modo disturbati
131 - Indagini in sito
Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche
di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di
campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere
informazioni senza prelevare campioni di terreno
Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)
Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno
(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno
Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica
Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la
presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice
batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli
elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla
resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura
Indagini Geosismiche
Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai
vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate
mediante geofoni
13
Prove penetrometriche
Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto
semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La
punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che
viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio
viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa
energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio
10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave
possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto
delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la
larghezza della fondazione
La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula
olandese o degli olandesi
Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente
)(
2
mMhA
NHMRd
Dove
M egrave la massa del maglio
H la volata del maglio
N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h
A egrave lrsquoarea della punta
h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm
m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)
La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi
calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4
daNcm
2
132 - Indagini in laboratorio
Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di
fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in
laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni
lrsquoangolo di attrito e la coesione
A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto
e la prova triassiale
Con entrambi le prove si puograve tracciare
la retta
Per tracciare tale retta sarebbero
sufficienti due prove ma a causa
dellincertezza sperimentale sono
indispensabili tre prove
c tan
14
Macchina per la prova di taglio diretto
Particolare scatola di Casagrande
Risultati con tre prove di taglio
diretto
15
Apparecchiatura per la prova triassiale
Grafico ottenuto con le prove triassiali
Video di una prova triassiale
httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL
Campioni ottenuti con carotaggio del terreno
16
Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite
cN
qN
N
Nq Nc
tang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
514
538
563
590
619
649
681
716
753
792
835
880
928
981
1037
1098
1163
1234
1310
1393
1483
1582
1688
1805
1932
2072
2225
2394
2580
2786
3014
3267
3549
3864
4216
4612
5059
5563
6135
6787
7531
8386
9371
10511
11837
13388
15210
17364
19926
22993
26689
100
109
120
131
143
157
172
188
206
225
247
271
297
326
359
394
434
477
526
580
640
707
782
866
960
1066
1185
1320
1472
1640
1840
2063
2318
2609
2944
3330
3775
4292
4893
5596
6420
7390
8538
9902
11533
13488
15851
18721
22231
26551
31907
000
007
015
024
034
045
057
071
086
103
122
144
169
197
229
265
306
353
407
468
539
620
713
820
944
1088
1254
1447
1672
1934
2240
2599
3022
3519
4106
4803
5631
6619
7803
9225
10941
13022
15555
18654
22464
27176
33035
40367
49601
61316
76289
020
020
021
022
023
024
025
028
027
028
030
031
032
033
035
036
037
039
040
042
043
045
046
048
050
051
053
055
057
059
061
063
065
068
070
072
075
077
080
082
085
088
091
094
097
101
104
108
112
115
120
000
002
003
005
007
009
011
012
014
016
018
019
021
023
025
027
029
031
032
034
036
038
040
042
045
047
049
051
053
055
058
060
062
065
067
070
073
075
078
081
084
087
090
093
097
100
104
107
111
115
119
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
2
Indice
1 - Elementi di geotecnica e spinta delle terre
11 - Natura e classificazione delle rocce sciolte pag 3
12 - Fondazioni superficiali pag 5
121 - Resistenza a rottura del terreno
122 - Verifica delle fondazioni
123 - Criteri generali di progetto per le fondazioni superficiali
13 ndash Indagini sui terreni pag 12
14 - Spinta delle terre pag 17
14 1 - Teoria di Coulomb
14 2 - Metodo grafico di Poncelet
143 ndash Spinta del terreno con sovraccarico
Esercizi svolti modulo 1 pag 23 1
2-Muri di sostegno
21 - Generalitagrave sui muri di sostegno pag 25
22 ndash Azioni statiche sul muro pag 27
23 - Verifiche pag 29
231 - Verifica a scorrimento rispetto al terreno di fondazione pag 31
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione pag 35
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione pag 37
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro pag 39
223 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione pag 41
Esercizi modulo 2 pag 44
24 ndash Azioni provocate dal sisma pag 46
3
1 11 - Natura e classificazione delle rocce sciolte tura e classificazione delle
rocce sciolte
Un modo molto semplice per classificare le rocce egrave quello di dividerle in due grandi gruppi
rocce lapidee e rocce sciolte
La differenza tra i due tipi di roccia egrave data dallrsquointensitagrave del legame esistente tra i vari
componenti costituenti una roccia Possiamo definire rocce lapidee quelle che dopo una serie
successiva di immersioni in acqua ed essiccamenti si mantengono inalterate mentre le rocce
sciolte si disgregano in particelle o frammenti Nel seguito ci occuperemo dello studio solo delle
rocce sciolte
Le rocce sciolte sono composte da un insieme di piugrave particelle di varie dimensioni La
determinazione del diametro delle diverse particelle che compongono una roccia sciolta prende il
nome di analisi granulometrica
Una suddivisione delle rocce sciolte basata sullrsquoanalisi granulometrica egrave quella riportata
nella tabella sottostante basata sul diametro medio d delle particelle che le compongono
Argilla d lt0002 mm
Limo 0002 lt d lt 002 mm
Sabbia 002 lt d lt 2 mm
Ghiaia 2 lt d lt 200 mm
Blocchi d lt 200 mm
Tra le particelle che costituiscono una roccia sciolta egrave presente sempre lrsquoattrito In alcuni
casi oltre allrsquoattrito puograve esserci un altro legame tra le particelle comunque non sufficientemente
forte da far considerare tali rocce come lapidee tale legame egrave la coesione In base alla presenza o
meno della coesione le rocce sciolte vengono divise in terreni coerenti con coesione diversa da
zero e terreni incoerenti con coesione pari a zero Un esempio di terreno incoerente egrave
rappresentato dalla sabbia mentre un esempio di terreno coerente egrave rappresentato dall argilla
Come egrave noto la forza di attrito dipende dalla forza normale N applicata sulla superficie di
scorrimento e dalla scabrezza delle superfici a contatto scabrezza che viene riassunta da una
costante chiamata coefficiente di attrito fa La forza normale egrave costituita dal peso del terreno
sovrastante la superficie che si sta prendendo in considerazione La relazione che lega la resistenza
dovuta allrsquoattrito indicata con T alla forza normale N e al coefficiente di attrito egrave la seguente
Se dividiamo primo e secondo termine per lrsquoarea A avremo
Ossia af
Per capire in modo semplice lrsquoattrito di un terreno si puograve ricorrere ad un semplice
esperimento prendere un secchio di sabbia e versarla a terra otterremo un monticello di terreno il
cui angolo di inclinazione viene detto angolo di natural declivio o angolo di attrito interno del
afNT
afA
N
A
T
4
terreno Il coefficiente di attrito fa egrave proprio uguale alla tangente di questo angolo che si indica
usualmente con la lettera Quindi la relazione scritta in precedenza diventa
La coesione egrave la forza di adesione dei granelli di terra uno con lrsquoaltro essa non dipende
dallo sforzo normale ma solo dalla presenza di acqua e anche dalla granulometria del terreno
Lrsquoattrito nasce sempre quando ci sono due superfici in contatto purcheacute si sia in presenza
anche di una forza normale alla superficie Nel caso dei terreni sciolti tale azione egrave sempre presente
e dipende dalle caratteristiche fisiche del terreno granulometria (ossia dimensione dei granelli che
compongono il terreno) porositagrave del terreno ( rapporto tra volume dei vuoti e volume totale) La
forza normale egrave costituita dal peso del terreno sovrastante la superficie che si sta prendendo in
considerazione La coesione invece egrave una caratteristica che possono avere i terreni sciolti e
dipende dalla natura chimica del terreno stesso essa pertanto non egrave sempre presente
Esempio di terreno dotato di coesione egrave lrsquoargilla esempio di terreno privo di coesione detto
perciograve incoerente egrave la sabbia
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie perfettamente
verticale percheacute essi franano e vanno a disporsi secondo una superficie inclinata dellrsquoangolo di
attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo un angolo maggiore dipendente dal grado di
coesione nel caso di terreni coerenti
Nel caso di terreni coerenti la resistenza a taglio del terreno indicando con c la resistenza
per unitagrave di area dovuta alla coesione diventa
Che rappresenta lrsquoequazione di una retta non passante per lrsquoorigine degli assi
tan
c tan
5
12 - Fondazioni superficiali
La fondazione egrave quella parte della struttura che trasmette il carico dellrsquoopera al terreno
sottostante La superficie di contatto tra la base della fondazione e il terreno egrave detta piano di posa
Quando il piano di posa non egrave molto profondo rispetto al piano di campagna si puograve parlare di
fondazioni superficiali Tali fondazioni possono essere su plinti continue e a platea
Le fondazioni su plinti consistono nel realizzare la struttura di fondazione solo sotto i pilastri
che possono essere in cemento armato o in ferro Le fondazioni continue hanno forma nastriforme
con area di impronta rettangolare In pratica sono travi che anzicheacute stare sopra i pilastri stanno al di
sotto per questo motivo prendono il nome di travi rovesce Vengono realizzate sotto tutti i muri
portanti e sotto ogni fila di pilastri allineati
Esempi di plinti di fondazione
Plinto per pale eoliche
Plinto a bicchiere per pilastri prefabbricati
Video sulla realizzazione di un plinto per pale
eoliche
httpsyoutubedAxyHJU_aI0
Video getto fondazione continua
httpsyoutubet_P4J5uVLds
Esempi di fondazioni continue
6
Fondazione a platea
Video getto di una platea di fondazione
httpsyoutube-qnSTDPJLc4
121 Resistenza a rottura del terreno
La resistenza di un terreno dipende oltre che dalle caratteristiche del terreno stesso (angolo
di attrito coesione peso specifico) anche dalla forma della fondazione
Si definisce carico limite del complesso terreno-fondazioni il carico per unitagrave di area che
porta a rottura il terreno ossia che fa aumentare notevolmente i cedimenti detto in modo semplice
diremo che la fondazione ldquosprofondardquo sotto quel carico
Per una fondazione di forma rettangolare allungata (LgtgtB) ad esempio una fondazione di
un muro continuo o di una trave) con piano di posa a profonditagrave D sottoposta a carichi verticali e
centrati e con piano di campagna orizzontale lrsquoespressione del carico limite (formula di Terzaghi)
egrave la seguente
221lim
BγN+CN+DγN=q γcq
7
eBB 2
In cui g1 e g2 sono i pesi dellunitagrave di volume (pesi specifici) rispettivamente del terreno posto al
disopra ed al disotto del piano di posa
C egrave la coesione
Nq Nc Ng sono coefficienti adimensionali ricavati sulla base della teoria della plasticitagrave e
funzione dellangolo di attrito del terreno al disotto del piano di posa I valori di tali coefficienti in
funzione dellrsquoangolo di attrito del terreno sono riportati nella tabella TER1
Carico limite per carico inclinato ed eccentrico rispetto al baricentro
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita anche in questo caso mediante la formula di Terzaghi modificata perograve per tenere conto della eccentricitagrave del
carico e della sua inclinazione
Caso di forza eccentrica
Si tiene conto delleccentricitagrave della forza considerando invece che la larghezza
effettiva della fondazione una larghezza ridotta B Questa larghezza ridotta corrisponde alla
larghezza di una fondazione equivalente rispetto alla quale il carico verticale sarebbe centrato
Leccentricitagrave va considerata in valore assoluto poicheacute se la forza cade a sinistra del baricentro
invece che a destra essa risulta negativa e quindi B anzicheacute risultare piugrave piccola risulterebbe piugrave
grande della base vera cosa ovviamente senza senso
Caso di forza inclinata
Per tenere conto della inclinazione della forza si introducono dei coefficienti che tengono
conto della componente verticale ed orizzontale della forza stessa Questi coefficienti sono indicati
8
con ic iq iγ
Si riportano i coefficienti validi solo per terreni incoerenti (c=0)
2
1
V
Hi 1
3
V
Hiq
La formula di Terzaghi modificata valida per i terreni incoerenti allora egrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
Per i terreni coerenti i coefficienti iγ iq ic vanno calcolati con altre espressioni
122 - Verifica delle fondazioni
Come sempre per la verifica agli stati limite i carichi vengono aumentati moltiplicandoli
per dei coefficienti diversi a seconda del carico mentre i parametri di resistenza del terreno
vengono diminuiti dividendoli per altri coefficienti A differenza di come si fa con gli altri materiali
di costruzione tali coefficienti non sono sempre gli stessi ma variano a secondo della verifica che
si sta eseguendo Ovviamente quali coefficienti usare volta per volta viene indicato dalla
normativa
Per la verifica deve aversi
Ed le Rd
dove Ed egrave il valore di progetto dellrsquoazione o dellrsquoeffetto dellrsquoazione Rd egrave la resistenza a
rottura
Per i carichi quando il suo effetto egrave favorevole alla stabilitagrave della struttura anzicheacute
amplificarlo lo si prende col suo valore effettivo oppure si riduce o non lo si considera affatto
come nel caso dei carichi variabili Quando il loro effetto egrave sfavorevole li si amplifica sempre in
misura diversa se sono permanenti o variabili
Lo stato limite ultimo delle fondazioni superficiali puograve essere raggiunto per rottura del
terreno o per rottura degli elementi strutturali che compongono la fondazione stessa
Nel caso di fondazioni posizionate su o in prossimitagrave di pendii naturali o artificiali
deve essere effettuata la verifica anche con riferimento alle condizioni di stabilitagrave globale del
pendio includendo nelle verifiche le azioni trasmesse dalle fondazioni
9
Le verifiche delle fondazioni di capacitagrave portante e a scorrimento si eseguono con
lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
La verifica a stabilitagrave globale si esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i
carichi i coefficienti EQU (equilibrio) (EQU+M2+R2)
Coefficienti parziali per le azioni o per lrsquoeffetto delle azioni
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU
(A1)
STR
(A2)
GEO
Permanenti G1 Favorevole
γG1
09 10 10
Sfavorevole 11 13 10
Permanenti non strutturali G21 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Q Favorevole
γG1
00 00 00
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 140
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 100
I valori di resistenza calcolati devono essere divisi per i coefficienti parziali γ R riportati nella
seguente tabella
Coefficienti parziali γ R per le verifiche agli stati limite ultimi di fondazioni superficiali
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Carico limite 23
Scorrimento 11
10
Esempio N 1
Calcolare il carico limite terreno-fondazione La fondazione sia rettangolare allungata il
terreno abbia le seguenti caratteristiche peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito 32deg coesione 1
KNm2
Soluzione
Usiamo lapproccio 2 (A1+M1+R3)
Essendo il coefficiente parziale M1=1 sia langolo dattrito che la coesione rimangono
invariati infatti
Dalla tabella TER1 rileviamo i coefficienti Nc =3249 Nq=2318 Ng=3022
2lim
BNCNDN tctq
22
lim 970169682
4118223010493241181823 mmNmKN
11
Esempio N 2
Verificare la fondazione rettangolare lunga con sezione come in figura sottoposta ad un
carico centrato per ogni metro di 30000 dN Tale carico egrave composto da 20000 dN derivanti da
carichi permanenti e da 10000 dN derivanti da carichi variabili
Il terreno ha le seguenti caratteristiche angolo di attrito 30deg coesione 001 dNcm2 peso
specifico del terreno 1800 dNm3
Usiamo per la verifica lapproccio 2 A1+M1+R3 Calcoliamo il carico di progetto
Calcolo del carico limite Si osserva che i coefficienti da utilizzare per i parametri del
terreno riportati nella colonna M1 sono tutti pari ad 1 pertanto i parametri geotecnici del terreno
non vengono modificati
2lim
BNDNcN ttqc
2
lim 574732
218001402241800140181001430 mdN
La resistenza per ogni metro di fondazione saragrave
La resistenza si calcola applicando il coefficiente della tabella R3
Poichegrave risulta 41000 dN gt 38386 dN la fondazione non egrave verificata
12
123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI
La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione
alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e
alle condizioni ambientali
Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo
strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua
In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di
acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non
risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese
13 - Indagini sui terreni
Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso
Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini
ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito
hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di
laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e
quindi in qualche modo disturbati
131 - Indagini in sito
Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche
di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di
campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere
informazioni senza prelevare campioni di terreno
Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)
Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno
(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno
Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica
Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la
presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice
batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli
elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla
resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura
Indagini Geosismiche
Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai
vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate
mediante geofoni
13
Prove penetrometriche
Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto
semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La
punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che
viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio
viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa
energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio
10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave
possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto
delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la
larghezza della fondazione
La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula
olandese o degli olandesi
Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente
)(
2
mMhA
NHMRd
Dove
M egrave la massa del maglio
H la volata del maglio
N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h
A egrave lrsquoarea della punta
h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm
m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)
La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi
calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4
daNcm
2
132 - Indagini in laboratorio
Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di
fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in
laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni
lrsquoangolo di attrito e la coesione
A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto
e la prova triassiale
Con entrambi le prove si puograve tracciare
la retta
Per tracciare tale retta sarebbero
sufficienti due prove ma a causa
dellincertezza sperimentale sono
indispensabili tre prove
c tan
14
Macchina per la prova di taglio diretto
Particolare scatola di Casagrande
Risultati con tre prove di taglio
diretto
15
Apparecchiatura per la prova triassiale
Grafico ottenuto con le prove triassiali
Video di una prova triassiale
httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL
Campioni ottenuti con carotaggio del terreno
16
Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite
cN
qN
N
Nq Nc
tang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
514
538
563
590
619
649
681
716
753
792
835
880
928
981
1037
1098
1163
1234
1310
1393
1483
1582
1688
1805
1932
2072
2225
2394
2580
2786
3014
3267
3549
3864
4216
4612
5059
5563
6135
6787
7531
8386
9371
10511
11837
13388
15210
17364
19926
22993
26689
100
109
120
131
143
157
172
188
206
225
247
271
297
326
359
394
434
477
526
580
640
707
782
866
960
1066
1185
1320
1472
1640
1840
2063
2318
2609
2944
3330
3775
4292
4893
5596
6420
7390
8538
9902
11533
13488
15851
18721
22231
26551
31907
000
007
015
024
034
045
057
071
086
103
122
144
169
197
229
265
306
353
407
468
539
620
713
820
944
1088
1254
1447
1672
1934
2240
2599
3022
3519
4106
4803
5631
6619
7803
9225
10941
13022
15555
18654
22464
27176
33035
40367
49601
61316
76289
020
020
021
022
023
024
025
028
027
028
030
031
032
033
035
036
037
039
040
042
043
045
046
048
050
051
053
055
057
059
061
063
065
068
070
072
075
077
080
082
085
088
091
094
097
101
104
108
112
115
120
000
002
003
005
007
009
011
012
014
016
018
019
021
023
025
027
029
031
032
034
036
038
040
042
045
047
049
051
053
055
058
060
062
065
067
070
073
075
078
081
084
087
090
093
097
100
104
107
111
115
119
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
3
1 11 - Natura e classificazione delle rocce sciolte tura e classificazione delle
rocce sciolte
Un modo molto semplice per classificare le rocce egrave quello di dividerle in due grandi gruppi
rocce lapidee e rocce sciolte
La differenza tra i due tipi di roccia egrave data dallrsquointensitagrave del legame esistente tra i vari
componenti costituenti una roccia Possiamo definire rocce lapidee quelle che dopo una serie
successiva di immersioni in acqua ed essiccamenti si mantengono inalterate mentre le rocce
sciolte si disgregano in particelle o frammenti Nel seguito ci occuperemo dello studio solo delle
rocce sciolte
Le rocce sciolte sono composte da un insieme di piugrave particelle di varie dimensioni La
determinazione del diametro delle diverse particelle che compongono una roccia sciolta prende il
nome di analisi granulometrica
Una suddivisione delle rocce sciolte basata sullrsquoanalisi granulometrica egrave quella riportata
nella tabella sottostante basata sul diametro medio d delle particelle che le compongono
Argilla d lt0002 mm
Limo 0002 lt d lt 002 mm
Sabbia 002 lt d lt 2 mm
Ghiaia 2 lt d lt 200 mm
Blocchi d lt 200 mm
Tra le particelle che costituiscono una roccia sciolta egrave presente sempre lrsquoattrito In alcuni
casi oltre allrsquoattrito puograve esserci un altro legame tra le particelle comunque non sufficientemente
forte da far considerare tali rocce come lapidee tale legame egrave la coesione In base alla presenza o
meno della coesione le rocce sciolte vengono divise in terreni coerenti con coesione diversa da
zero e terreni incoerenti con coesione pari a zero Un esempio di terreno incoerente egrave
rappresentato dalla sabbia mentre un esempio di terreno coerente egrave rappresentato dall argilla
Come egrave noto la forza di attrito dipende dalla forza normale N applicata sulla superficie di
scorrimento e dalla scabrezza delle superfici a contatto scabrezza che viene riassunta da una
costante chiamata coefficiente di attrito fa La forza normale egrave costituita dal peso del terreno
sovrastante la superficie che si sta prendendo in considerazione La relazione che lega la resistenza
dovuta allrsquoattrito indicata con T alla forza normale N e al coefficiente di attrito egrave la seguente
Se dividiamo primo e secondo termine per lrsquoarea A avremo
Ossia af
Per capire in modo semplice lrsquoattrito di un terreno si puograve ricorrere ad un semplice
esperimento prendere un secchio di sabbia e versarla a terra otterremo un monticello di terreno il
cui angolo di inclinazione viene detto angolo di natural declivio o angolo di attrito interno del
afNT
afA
N
A
T
4
terreno Il coefficiente di attrito fa egrave proprio uguale alla tangente di questo angolo che si indica
usualmente con la lettera Quindi la relazione scritta in precedenza diventa
La coesione egrave la forza di adesione dei granelli di terra uno con lrsquoaltro essa non dipende
dallo sforzo normale ma solo dalla presenza di acqua e anche dalla granulometria del terreno
Lrsquoattrito nasce sempre quando ci sono due superfici in contatto purcheacute si sia in presenza
anche di una forza normale alla superficie Nel caso dei terreni sciolti tale azione egrave sempre presente
e dipende dalle caratteristiche fisiche del terreno granulometria (ossia dimensione dei granelli che
compongono il terreno) porositagrave del terreno ( rapporto tra volume dei vuoti e volume totale) La
forza normale egrave costituita dal peso del terreno sovrastante la superficie che si sta prendendo in
considerazione La coesione invece egrave una caratteristica che possono avere i terreni sciolti e
dipende dalla natura chimica del terreno stesso essa pertanto non egrave sempre presente
Esempio di terreno dotato di coesione egrave lrsquoargilla esempio di terreno privo di coesione detto
perciograve incoerente egrave la sabbia
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie perfettamente
verticale percheacute essi franano e vanno a disporsi secondo una superficie inclinata dellrsquoangolo di
attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo un angolo maggiore dipendente dal grado di
coesione nel caso di terreni coerenti
Nel caso di terreni coerenti la resistenza a taglio del terreno indicando con c la resistenza
per unitagrave di area dovuta alla coesione diventa
Che rappresenta lrsquoequazione di una retta non passante per lrsquoorigine degli assi
tan
c tan
5
12 - Fondazioni superficiali
La fondazione egrave quella parte della struttura che trasmette il carico dellrsquoopera al terreno
sottostante La superficie di contatto tra la base della fondazione e il terreno egrave detta piano di posa
Quando il piano di posa non egrave molto profondo rispetto al piano di campagna si puograve parlare di
fondazioni superficiali Tali fondazioni possono essere su plinti continue e a platea
Le fondazioni su plinti consistono nel realizzare la struttura di fondazione solo sotto i pilastri
che possono essere in cemento armato o in ferro Le fondazioni continue hanno forma nastriforme
con area di impronta rettangolare In pratica sono travi che anzicheacute stare sopra i pilastri stanno al di
sotto per questo motivo prendono il nome di travi rovesce Vengono realizzate sotto tutti i muri
portanti e sotto ogni fila di pilastri allineati
Esempi di plinti di fondazione
Plinto per pale eoliche
Plinto a bicchiere per pilastri prefabbricati
Video sulla realizzazione di un plinto per pale
eoliche
httpsyoutubedAxyHJU_aI0
Video getto fondazione continua
httpsyoutubet_P4J5uVLds
Esempi di fondazioni continue
6
Fondazione a platea
Video getto di una platea di fondazione
httpsyoutube-qnSTDPJLc4
121 Resistenza a rottura del terreno
La resistenza di un terreno dipende oltre che dalle caratteristiche del terreno stesso (angolo
di attrito coesione peso specifico) anche dalla forma della fondazione
Si definisce carico limite del complesso terreno-fondazioni il carico per unitagrave di area che
porta a rottura il terreno ossia che fa aumentare notevolmente i cedimenti detto in modo semplice
diremo che la fondazione ldquosprofondardquo sotto quel carico
Per una fondazione di forma rettangolare allungata (LgtgtB) ad esempio una fondazione di
un muro continuo o di una trave) con piano di posa a profonditagrave D sottoposta a carichi verticali e
centrati e con piano di campagna orizzontale lrsquoespressione del carico limite (formula di Terzaghi)
egrave la seguente
221lim
BγN+CN+DγN=q γcq
7
eBB 2
In cui g1 e g2 sono i pesi dellunitagrave di volume (pesi specifici) rispettivamente del terreno posto al
disopra ed al disotto del piano di posa
C egrave la coesione
Nq Nc Ng sono coefficienti adimensionali ricavati sulla base della teoria della plasticitagrave e
funzione dellangolo di attrito del terreno al disotto del piano di posa I valori di tali coefficienti in
funzione dellrsquoangolo di attrito del terreno sono riportati nella tabella TER1
Carico limite per carico inclinato ed eccentrico rispetto al baricentro
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita anche in questo caso mediante la formula di Terzaghi modificata perograve per tenere conto della eccentricitagrave del
carico e della sua inclinazione
Caso di forza eccentrica
Si tiene conto delleccentricitagrave della forza considerando invece che la larghezza
effettiva della fondazione una larghezza ridotta B Questa larghezza ridotta corrisponde alla
larghezza di una fondazione equivalente rispetto alla quale il carico verticale sarebbe centrato
Leccentricitagrave va considerata in valore assoluto poicheacute se la forza cade a sinistra del baricentro
invece che a destra essa risulta negativa e quindi B anzicheacute risultare piugrave piccola risulterebbe piugrave
grande della base vera cosa ovviamente senza senso
Caso di forza inclinata
Per tenere conto della inclinazione della forza si introducono dei coefficienti che tengono
conto della componente verticale ed orizzontale della forza stessa Questi coefficienti sono indicati
8
con ic iq iγ
Si riportano i coefficienti validi solo per terreni incoerenti (c=0)
2
1
V
Hi 1
3
V
Hiq
La formula di Terzaghi modificata valida per i terreni incoerenti allora egrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
Per i terreni coerenti i coefficienti iγ iq ic vanno calcolati con altre espressioni
122 - Verifica delle fondazioni
Come sempre per la verifica agli stati limite i carichi vengono aumentati moltiplicandoli
per dei coefficienti diversi a seconda del carico mentre i parametri di resistenza del terreno
vengono diminuiti dividendoli per altri coefficienti A differenza di come si fa con gli altri materiali
di costruzione tali coefficienti non sono sempre gli stessi ma variano a secondo della verifica che
si sta eseguendo Ovviamente quali coefficienti usare volta per volta viene indicato dalla
normativa
Per la verifica deve aversi
Ed le Rd
dove Ed egrave il valore di progetto dellrsquoazione o dellrsquoeffetto dellrsquoazione Rd egrave la resistenza a
rottura
Per i carichi quando il suo effetto egrave favorevole alla stabilitagrave della struttura anzicheacute
amplificarlo lo si prende col suo valore effettivo oppure si riduce o non lo si considera affatto
come nel caso dei carichi variabili Quando il loro effetto egrave sfavorevole li si amplifica sempre in
misura diversa se sono permanenti o variabili
Lo stato limite ultimo delle fondazioni superficiali puograve essere raggiunto per rottura del
terreno o per rottura degli elementi strutturali che compongono la fondazione stessa
Nel caso di fondazioni posizionate su o in prossimitagrave di pendii naturali o artificiali
deve essere effettuata la verifica anche con riferimento alle condizioni di stabilitagrave globale del
pendio includendo nelle verifiche le azioni trasmesse dalle fondazioni
9
Le verifiche delle fondazioni di capacitagrave portante e a scorrimento si eseguono con
lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
La verifica a stabilitagrave globale si esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i
carichi i coefficienti EQU (equilibrio) (EQU+M2+R2)
Coefficienti parziali per le azioni o per lrsquoeffetto delle azioni
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU
(A1)
STR
(A2)
GEO
Permanenti G1 Favorevole
γG1
09 10 10
Sfavorevole 11 13 10
Permanenti non strutturali G21 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Q Favorevole
γG1
00 00 00
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 140
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 100
I valori di resistenza calcolati devono essere divisi per i coefficienti parziali γ R riportati nella
seguente tabella
Coefficienti parziali γ R per le verifiche agli stati limite ultimi di fondazioni superficiali
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Carico limite 23
Scorrimento 11
10
Esempio N 1
Calcolare il carico limite terreno-fondazione La fondazione sia rettangolare allungata il
terreno abbia le seguenti caratteristiche peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito 32deg coesione 1
KNm2
Soluzione
Usiamo lapproccio 2 (A1+M1+R3)
Essendo il coefficiente parziale M1=1 sia langolo dattrito che la coesione rimangono
invariati infatti
Dalla tabella TER1 rileviamo i coefficienti Nc =3249 Nq=2318 Ng=3022
2lim
BNCNDN tctq
22
lim 970169682
4118223010493241181823 mmNmKN
11
Esempio N 2
Verificare la fondazione rettangolare lunga con sezione come in figura sottoposta ad un
carico centrato per ogni metro di 30000 dN Tale carico egrave composto da 20000 dN derivanti da
carichi permanenti e da 10000 dN derivanti da carichi variabili
Il terreno ha le seguenti caratteristiche angolo di attrito 30deg coesione 001 dNcm2 peso
specifico del terreno 1800 dNm3
Usiamo per la verifica lapproccio 2 A1+M1+R3 Calcoliamo il carico di progetto
Calcolo del carico limite Si osserva che i coefficienti da utilizzare per i parametri del
terreno riportati nella colonna M1 sono tutti pari ad 1 pertanto i parametri geotecnici del terreno
non vengono modificati
2lim
BNDNcN ttqc
2
lim 574732
218001402241800140181001430 mdN
La resistenza per ogni metro di fondazione saragrave
La resistenza si calcola applicando il coefficiente della tabella R3
Poichegrave risulta 41000 dN gt 38386 dN la fondazione non egrave verificata
12
123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI
La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione
alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e
alle condizioni ambientali
Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo
strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua
In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di
acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non
risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese
13 - Indagini sui terreni
Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso
Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini
ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito
hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di
laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e
quindi in qualche modo disturbati
131 - Indagini in sito
Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche
di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di
campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere
informazioni senza prelevare campioni di terreno
Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)
Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno
(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno
Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica
Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la
presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice
batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli
elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla
resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura
Indagini Geosismiche
Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai
vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate
mediante geofoni
13
Prove penetrometriche
Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto
semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La
punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che
viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio
viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa
energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio
10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave
possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto
delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la
larghezza della fondazione
La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula
olandese o degli olandesi
Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente
)(
2
mMhA
NHMRd
Dove
M egrave la massa del maglio
H la volata del maglio
N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h
A egrave lrsquoarea della punta
h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm
m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)
La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi
calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4
daNcm
2
132 - Indagini in laboratorio
Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di
fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in
laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni
lrsquoangolo di attrito e la coesione
A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto
e la prova triassiale
Con entrambi le prove si puograve tracciare
la retta
Per tracciare tale retta sarebbero
sufficienti due prove ma a causa
dellincertezza sperimentale sono
indispensabili tre prove
c tan
14
Macchina per la prova di taglio diretto
Particolare scatola di Casagrande
Risultati con tre prove di taglio
diretto
15
Apparecchiatura per la prova triassiale
Grafico ottenuto con le prove triassiali
Video di una prova triassiale
httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL
Campioni ottenuti con carotaggio del terreno
16
Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite
cN
qN
N
Nq Nc
tang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
514
538
563
590
619
649
681
716
753
792
835
880
928
981
1037
1098
1163
1234
1310
1393
1483
1582
1688
1805
1932
2072
2225
2394
2580
2786
3014
3267
3549
3864
4216
4612
5059
5563
6135
6787
7531
8386
9371
10511
11837
13388
15210
17364
19926
22993
26689
100
109
120
131
143
157
172
188
206
225
247
271
297
326
359
394
434
477
526
580
640
707
782
866
960
1066
1185
1320
1472
1640
1840
2063
2318
2609
2944
3330
3775
4292
4893
5596
6420
7390
8538
9902
11533
13488
15851
18721
22231
26551
31907
000
007
015
024
034
045
057
071
086
103
122
144
169
197
229
265
306
353
407
468
539
620
713
820
944
1088
1254
1447
1672
1934
2240
2599
3022
3519
4106
4803
5631
6619
7803
9225
10941
13022
15555
18654
22464
27176
33035
40367
49601
61316
76289
020
020
021
022
023
024
025
028
027
028
030
031
032
033
035
036
037
039
040
042
043
045
046
048
050
051
053
055
057
059
061
063
065
068
070
072
075
077
080
082
085
088
091
094
097
101
104
108
112
115
120
000
002
003
005
007
009
011
012
014
016
018
019
021
023
025
027
029
031
032
034
036
038
040
042
045
047
049
051
053
055
058
060
062
065
067
070
073
075
078
081
084
087
090
093
097
100
104
107
111
115
119
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
4
terreno Il coefficiente di attrito fa egrave proprio uguale alla tangente di questo angolo che si indica
usualmente con la lettera Quindi la relazione scritta in precedenza diventa
La coesione egrave la forza di adesione dei granelli di terra uno con lrsquoaltro essa non dipende
dallo sforzo normale ma solo dalla presenza di acqua e anche dalla granulometria del terreno
Lrsquoattrito nasce sempre quando ci sono due superfici in contatto purcheacute si sia in presenza
anche di una forza normale alla superficie Nel caso dei terreni sciolti tale azione egrave sempre presente
e dipende dalle caratteristiche fisiche del terreno granulometria (ossia dimensione dei granelli che
compongono il terreno) porositagrave del terreno ( rapporto tra volume dei vuoti e volume totale) La
forza normale egrave costituita dal peso del terreno sovrastante la superficie che si sta prendendo in
considerazione La coesione invece egrave una caratteristica che possono avere i terreni sciolti e
dipende dalla natura chimica del terreno stesso essa pertanto non egrave sempre presente
Esempio di terreno dotato di coesione egrave lrsquoargilla esempio di terreno privo di coesione detto
perciograve incoerente egrave la sabbia
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie perfettamente
verticale percheacute essi franano e vanno a disporsi secondo una superficie inclinata dellrsquoangolo di
attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo un angolo maggiore dipendente dal grado di
coesione nel caso di terreni coerenti
Nel caso di terreni coerenti la resistenza a taglio del terreno indicando con c la resistenza
per unitagrave di area dovuta alla coesione diventa
Che rappresenta lrsquoequazione di una retta non passante per lrsquoorigine degli assi
tan
c tan
5
12 - Fondazioni superficiali
La fondazione egrave quella parte della struttura che trasmette il carico dellrsquoopera al terreno
sottostante La superficie di contatto tra la base della fondazione e il terreno egrave detta piano di posa
Quando il piano di posa non egrave molto profondo rispetto al piano di campagna si puograve parlare di
fondazioni superficiali Tali fondazioni possono essere su plinti continue e a platea
Le fondazioni su plinti consistono nel realizzare la struttura di fondazione solo sotto i pilastri
che possono essere in cemento armato o in ferro Le fondazioni continue hanno forma nastriforme
con area di impronta rettangolare In pratica sono travi che anzicheacute stare sopra i pilastri stanno al di
sotto per questo motivo prendono il nome di travi rovesce Vengono realizzate sotto tutti i muri
portanti e sotto ogni fila di pilastri allineati
Esempi di plinti di fondazione
Plinto per pale eoliche
Plinto a bicchiere per pilastri prefabbricati
Video sulla realizzazione di un plinto per pale
eoliche
httpsyoutubedAxyHJU_aI0
Video getto fondazione continua
httpsyoutubet_P4J5uVLds
Esempi di fondazioni continue
6
Fondazione a platea
Video getto di una platea di fondazione
httpsyoutube-qnSTDPJLc4
121 Resistenza a rottura del terreno
La resistenza di un terreno dipende oltre che dalle caratteristiche del terreno stesso (angolo
di attrito coesione peso specifico) anche dalla forma della fondazione
Si definisce carico limite del complesso terreno-fondazioni il carico per unitagrave di area che
porta a rottura il terreno ossia che fa aumentare notevolmente i cedimenti detto in modo semplice
diremo che la fondazione ldquosprofondardquo sotto quel carico
Per una fondazione di forma rettangolare allungata (LgtgtB) ad esempio una fondazione di
un muro continuo o di una trave) con piano di posa a profonditagrave D sottoposta a carichi verticali e
centrati e con piano di campagna orizzontale lrsquoespressione del carico limite (formula di Terzaghi)
egrave la seguente
221lim
BγN+CN+DγN=q γcq
7
eBB 2
In cui g1 e g2 sono i pesi dellunitagrave di volume (pesi specifici) rispettivamente del terreno posto al
disopra ed al disotto del piano di posa
C egrave la coesione
Nq Nc Ng sono coefficienti adimensionali ricavati sulla base della teoria della plasticitagrave e
funzione dellangolo di attrito del terreno al disotto del piano di posa I valori di tali coefficienti in
funzione dellrsquoangolo di attrito del terreno sono riportati nella tabella TER1
Carico limite per carico inclinato ed eccentrico rispetto al baricentro
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita anche in questo caso mediante la formula di Terzaghi modificata perograve per tenere conto della eccentricitagrave del
carico e della sua inclinazione
Caso di forza eccentrica
Si tiene conto delleccentricitagrave della forza considerando invece che la larghezza
effettiva della fondazione una larghezza ridotta B Questa larghezza ridotta corrisponde alla
larghezza di una fondazione equivalente rispetto alla quale il carico verticale sarebbe centrato
Leccentricitagrave va considerata in valore assoluto poicheacute se la forza cade a sinistra del baricentro
invece che a destra essa risulta negativa e quindi B anzicheacute risultare piugrave piccola risulterebbe piugrave
grande della base vera cosa ovviamente senza senso
Caso di forza inclinata
Per tenere conto della inclinazione della forza si introducono dei coefficienti che tengono
conto della componente verticale ed orizzontale della forza stessa Questi coefficienti sono indicati
8
con ic iq iγ
Si riportano i coefficienti validi solo per terreni incoerenti (c=0)
2
1
V
Hi 1
3
V
Hiq
La formula di Terzaghi modificata valida per i terreni incoerenti allora egrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
Per i terreni coerenti i coefficienti iγ iq ic vanno calcolati con altre espressioni
122 - Verifica delle fondazioni
Come sempre per la verifica agli stati limite i carichi vengono aumentati moltiplicandoli
per dei coefficienti diversi a seconda del carico mentre i parametri di resistenza del terreno
vengono diminuiti dividendoli per altri coefficienti A differenza di come si fa con gli altri materiali
di costruzione tali coefficienti non sono sempre gli stessi ma variano a secondo della verifica che
si sta eseguendo Ovviamente quali coefficienti usare volta per volta viene indicato dalla
normativa
Per la verifica deve aversi
Ed le Rd
dove Ed egrave il valore di progetto dellrsquoazione o dellrsquoeffetto dellrsquoazione Rd egrave la resistenza a
rottura
Per i carichi quando il suo effetto egrave favorevole alla stabilitagrave della struttura anzicheacute
amplificarlo lo si prende col suo valore effettivo oppure si riduce o non lo si considera affatto
come nel caso dei carichi variabili Quando il loro effetto egrave sfavorevole li si amplifica sempre in
misura diversa se sono permanenti o variabili
Lo stato limite ultimo delle fondazioni superficiali puograve essere raggiunto per rottura del
terreno o per rottura degli elementi strutturali che compongono la fondazione stessa
Nel caso di fondazioni posizionate su o in prossimitagrave di pendii naturali o artificiali
deve essere effettuata la verifica anche con riferimento alle condizioni di stabilitagrave globale del
pendio includendo nelle verifiche le azioni trasmesse dalle fondazioni
9
Le verifiche delle fondazioni di capacitagrave portante e a scorrimento si eseguono con
lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
La verifica a stabilitagrave globale si esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i
carichi i coefficienti EQU (equilibrio) (EQU+M2+R2)
Coefficienti parziali per le azioni o per lrsquoeffetto delle azioni
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU
(A1)
STR
(A2)
GEO
Permanenti G1 Favorevole
γG1
09 10 10
Sfavorevole 11 13 10
Permanenti non strutturali G21 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Q Favorevole
γG1
00 00 00
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 140
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 100
I valori di resistenza calcolati devono essere divisi per i coefficienti parziali γ R riportati nella
seguente tabella
Coefficienti parziali γ R per le verifiche agli stati limite ultimi di fondazioni superficiali
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Carico limite 23
Scorrimento 11
10
Esempio N 1
Calcolare il carico limite terreno-fondazione La fondazione sia rettangolare allungata il
terreno abbia le seguenti caratteristiche peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito 32deg coesione 1
KNm2
Soluzione
Usiamo lapproccio 2 (A1+M1+R3)
Essendo il coefficiente parziale M1=1 sia langolo dattrito che la coesione rimangono
invariati infatti
Dalla tabella TER1 rileviamo i coefficienti Nc =3249 Nq=2318 Ng=3022
2lim
BNCNDN tctq
22
lim 970169682
4118223010493241181823 mmNmKN
11
Esempio N 2
Verificare la fondazione rettangolare lunga con sezione come in figura sottoposta ad un
carico centrato per ogni metro di 30000 dN Tale carico egrave composto da 20000 dN derivanti da
carichi permanenti e da 10000 dN derivanti da carichi variabili
Il terreno ha le seguenti caratteristiche angolo di attrito 30deg coesione 001 dNcm2 peso
specifico del terreno 1800 dNm3
Usiamo per la verifica lapproccio 2 A1+M1+R3 Calcoliamo il carico di progetto
Calcolo del carico limite Si osserva che i coefficienti da utilizzare per i parametri del
terreno riportati nella colonna M1 sono tutti pari ad 1 pertanto i parametri geotecnici del terreno
non vengono modificati
2lim
BNDNcN ttqc
2
lim 574732
218001402241800140181001430 mdN
La resistenza per ogni metro di fondazione saragrave
La resistenza si calcola applicando il coefficiente della tabella R3
Poichegrave risulta 41000 dN gt 38386 dN la fondazione non egrave verificata
12
123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI
La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione
alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e
alle condizioni ambientali
Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo
strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua
In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di
acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non
risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese
13 - Indagini sui terreni
Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso
Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini
ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito
hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di
laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e
quindi in qualche modo disturbati
131 - Indagini in sito
Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche
di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di
campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere
informazioni senza prelevare campioni di terreno
Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)
Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno
(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno
Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica
Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la
presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice
batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli
elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla
resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura
Indagini Geosismiche
Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai
vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate
mediante geofoni
13
Prove penetrometriche
Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto
semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La
punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che
viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio
viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa
energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio
10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave
possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto
delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la
larghezza della fondazione
La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula
olandese o degli olandesi
Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente
)(
2
mMhA
NHMRd
Dove
M egrave la massa del maglio
H la volata del maglio
N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h
A egrave lrsquoarea della punta
h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm
m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)
La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi
calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4
daNcm
2
132 - Indagini in laboratorio
Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di
fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in
laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni
lrsquoangolo di attrito e la coesione
A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto
e la prova triassiale
Con entrambi le prove si puograve tracciare
la retta
Per tracciare tale retta sarebbero
sufficienti due prove ma a causa
dellincertezza sperimentale sono
indispensabili tre prove
c tan
14
Macchina per la prova di taglio diretto
Particolare scatola di Casagrande
Risultati con tre prove di taglio
diretto
15
Apparecchiatura per la prova triassiale
Grafico ottenuto con le prove triassiali
Video di una prova triassiale
httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL
Campioni ottenuti con carotaggio del terreno
16
Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite
cN
qN
N
Nq Nc
tang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
514
538
563
590
619
649
681
716
753
792
835
880
928
981
1037
1098
1163
1234
1310
1393
1483
1582
1688
1805
1932
2072
2225
2394
2580
2786
3014
3267
3549
3864
4216
4612
5059
5563
6135
6787
7531
8386
9371
10511
11837
13388
15210
17364
19926
22993
26689
100
109
120
131
143
157
172
188
206
225
247
271
297
326
359
394
434
477
526
580
640
707
782
866
960
1066
1185
1320
1472
1640
1840
2063
2318
2609
2944
3330
3775
4292
4893
5596
6420
7390
8538
9902
11533
13488
15851
18721
22231
26551
31907
000
007
015
024
034
045
057
071
086
103
122
144
169
197
229
265
306
353
407
468
539
620
713
820
944
1088
1254
1447
1672
1934
2240
2599
3022
3519
4106
4803
5631
6619
7803
9225
10941
13022
15555
18654
22464
27176
33035
40367
49601
61316
76289
020
020
021
022
023
024
025
028
027
028
030
031
032
033
035
036
037
039
040
042
043
045
046
048
050
051
053
055
057
059
061
063
065
068
070
072
075
077
080
082
085
088
091
094
097
101
104
108
112
115
120
000
002
003
005
007
009
011
012
014
016
018
019
021
023
025
027
029
031
032
034
036
038
040
042
045
047
049
051
053
055
058
060
062
065
067
070
073
075
078
081
084
087
090
093
097
100
104
107
111
115
119
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
5
12 - Fondazioni superficiali
La fondazione egrave quella parte della struttura che trasmette il carico dellrsquoopera al terreno
sottostante La superficie di contatto tra la base della fondazione e il terreno egrave detta piano di posa
Quando il piano di posa non egrave molto profondo rispetto al piano di campagna si puograve parlare di
fondazioni superficiali Tali fondazioni possono essere su plinti continue e a platea
Le fondazioni su plinti consistono nel realizzare la struttura di fondazione solo sotto i pilastri
che possono essere in cemento armato o in ferro Le fondazioni continue hanno forma nastriforme
con area di impronta rettangolare In pratica sono travi che anzicheacute stare sopra i pilastri stanno al di
sotto per questo motivo prendono il nome di travi rovesce Vengono realizzate sotto tutti i muri
portanti e sotto ogni fila di pilastri allineati
Esempi di plinti di fondazione
Plinto per pale eoliche
Plinto a bicchiere per pilastri prefabbricati
Video sulla realizzazione di un plinto per pale
eoliche
httpsyoutubedAxyHJU_aI0
Video getto fondazione continua
httpsyoutubet_P4J5uVLds
Esempi di fondazioni continue
6
Fondazione a platea
Video getto di una platea di fondazione
httpsyoutube-qnSTDPJLc4
121 Resistenza a rottura del terreno
La resistenza di un terreno dipende oltre che dalle caratteristiche del terreno stesso (angolo
di attrito coesione peso specifico) anche dalla forma della fondazione
Si definisce carico limite del complesso terreno-fondazioni il carico per unitagrave di area che
porta a rottura il terreno ossia che fa aumentare notevolmente i cedimenti detto in modo semplice
diremo che la fondazione ldquosprofondardquo sotto quel carico
Per una fondazione di forma rettangolare allungata (LgtgtB) ad esempio una fondazione di
un muro continuo o di una trave) con piano di posa a profonditagrave D sottoposta a carichi verticali e
centrati e con piano di campagna orizzontale lrsquoespressione del carico limite (formula di Terzaghi)
egrave la seguente
221lim
BγN+CN+DγN=q γcq
7
eBB 2
In cui g1 e g2 sono i pesi dellunitagrave di volume (pesi specifici) rispettivamente del terreno posto al
disopra ed al disotto del piano di posa
C egrave la coesione
Nq Nc Ng sono coefficienti adimensionali ricavati sulla base della teoria della plasticitagrave e
funzione dellangolo di attrito del terreno al disotto del piano di posa I valori di tali coefficienti in
funzione dellrsquoangolo di attrito del terreno sono riportati nella tabella TER1
Carico limite per carico inclinato ed eccentrico rispetto al baricentro
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita anche in questo caso mediante la formula di Terzaghi modificata perograve per tenere conto della eccentricitagrave del
carico e della sua inclinazione
Caso di forza eccentrica
Si tiene conto delleccentricitagrave della forza considerando invece che la larghezza
effettiva della fondazione una larghezza ridotta B Questa larghezza ridotta corrisponde alla
larghezza di una fondazione equivalente rispetto alla quale il carico verticale sarebbe centrato
Leccentricitagrave va considerata in valore assoluto poicheacute se la forza cade a sinistra del baricentro
invece che a destra essa risulta negativa e quindi B anzicheacute risultare piugrave piccola risulterebbe piugrave
grande della base vera cosa ovviamente senza senso
Caso di forza inclinata
Per tenere conto della inclinazione della forza si introducono dei coefficienti che tengono
conto della componente verticale ed orizzontale della forza stessa Questi coefficienti sono indicati
8
con ic iq iγ
Si riportano i coefficienti validi solo per terreni incoerenti (c=0)
2
1
V
Hi 1
3
V
Hiq
La formula di Terzaghi modificata valida per i terreni incoerenti allora egrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
Per i terreni coerenti i coefficienti iγ iq ic vanno calcolati con altre espressioni
122 - Verifica delle fondazioni
Come sempre per la verifica agli stati limite i carichi vengono aumentati moltiplicandoli
per dei coefficienti diversi a seconda del carico mentre i parametri di resistenza del terreno
vengono diminuiti dividendoli per altri coefficienti A differenza di come si fa con gli altri materiali
di costruzione tali coefficienti non sono sempre gli stessi ma variano a secondo della verifica che
si sta eseguendo Ovviamente quali coefficienti usare volta per volta viene indicato dalla
normativa
Per la verifica deve aversi
Ed le Rd
dove Ed egrave il valore di progetto dellrsquoazione o dellrsquoeffetto dellrsquoazione Rd egrave la resistenza a
rottura
Per i carichi quando il suo effetto egrave favorevole alla stabilitagrave della struttura anzicheacute
amplificarlo lo si prende col suo valore effettivo oppure si riduce o non lo si considera affatto
come nel caso dei carichi variabili Quando il loro effetto egrave sfavorevole li si amplifica sempre in
misura diversa se sono permanenti o variabili
Lo stato limite ultimo delle fondazioni superficiali puograve essere raggiunto per rottura del
terreno o per rottura degli elementi strutturali che compongono la fondazione stessa
Nel caso di fondazioni posizionate su o in prossimitagrave di pendii naturali o artificiali
deve essere effettuata la verifica anche con riferimento alle condizioni di stabilitagrave globale del
pendio includendo nelle verifiche le azioni trasmesse dalle fondazioni
9
Le verifiche delle fondazioni di capacitagrave portante e a scorrimento si eseguono con
lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
La verifica a stabilitagrave globale si esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i
carichi i coefficienti EQU (equilibrio) (EQU+M2+R2)
Coefficienti parziali per le azioni o per lrsquoeffetto delle azioni
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU
(A1)
STR
(A2)
GEO
Permanenti G1 Favorevole
γG1
09 10 10
Sfavorevole 11 13 10
Permanenti non strutturali G21 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Q Favorevole
γG1
00 00 00
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 140
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 100
I valori di resistenza calcolati devono essere divisi per i coefficienti parziali γ R riportati nella
seguente tabella
Coefficienti parziali γ R per le verifiche agli stati limite ultimi di fondazioni superficiali
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Carico limite 23
Scorrimento 11
10
Esempio N 1
Calcolare il carico limite terreno-fondazione La fondazione sia rettangolare allungata il
terreno abbia le seguenti caratteristiche peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito 32deg coesione 1
KNm2
Soluzione
Usiamo lapproccio 2 (A1+M1+R3)
Essendo il coefficiente parziale M1=1 sia langolo dattrito che la coesione rimangono
invariati infatti
Dalla tabella TER1 rileviamo i coefficienti Nc =3249 Nq=2318 Ng=3022
2lim
BNCNDN tctq
22
lim 970169682
4118223010493241181823 mmNmKN
11
Esempio N 2
Verificare la fondazione rettangolare lunga con sezione come in figura sottoposta ad un
carico centrato per ogni metro di 30000 dN Tale carico egrave composto da 20000 dN derivanti da
carichi permanenti e da 10000 dN derivanti da carichi variabili
Il terreno ha le seguenti caratteristiche angolo di attrito 30deg coesione 001 dNcm2 peso
specifico del terreno 1800 dNm3
Usiamo per la verifica lapproccio 2 A1+M1+R3 Calcoliamo il carico di progetto
Calcolo del carico limite Si osserva che i coefficienti da utilizzare per i parametri del
terreno riportati nella colonna M1 sono tutti pari ad 1 pertanto i parametri geotecnici del terreno
non vengono modificati
2lim
BNDNcN ttqc
2
lim 574732
218001402241800140181001430 mdN
La resistenza per ogni metro di fondazione saragrave
La resistenza si calcola applicando il coefficiente della tabella R3
Poichegrave risulta 41000 dN gt 38386 dN la fondazione non egrave verificata
12
123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI
La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione
alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e
alle condizioni ambientali
Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo
strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua
In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di
acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non
risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese
13 - Indagini sui terreni
Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso
Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini
ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito
hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di
laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e
quindi in qualche modo disturbati
131 - Indagini in sito
Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche
di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di
campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere
informazioni senza prelevare campioni di terreno
Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)
Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno
(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno
Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica
Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la
presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice
batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli
elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla
resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura
Indagini Geosismiche
Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai
vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate
mediante geofoni
13
Prove penetrometriche
Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto
semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La
punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che
viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio
viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa
energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio
10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave
possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto
delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la
larghezza della fondazione
La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula
olandese o degli olandesi
Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente
)(
2
mMhA
NHMRd
Dove
M egrave la massa del maglio
H la volata del maglio
N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h
A egrave lrsquoarea della punta
h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm
m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)
La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi
calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4
daNcm
2
132 - Indagini in laboratorio
Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di
fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in
laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni
lrsquoangolo di attrito e la coesione
A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto
e la prova triassiale
Con entrambi le prove si puograve tracciare
la retta
Per tracciare tale retta sarebbero
sufficienti due prove ma a causa
dellincertezza sperimentale sono
indispensabili tre prove
c tan
14
Macchina per la prova di taglio diretto
Particolare scatola di Casagrande
Risultati con tre prove di taglio
diretto
15
Apparecchiatura per la prova triassiale
Grafico ottenuto con le prove triassiali
Video di una prova triassiale
httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL
Campioni ottenuti con carotaggio del terreno
16
Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite
cN
qN
N
Nq Nc
tang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
514
538
563
590
619
649
681
716
753
792
835
880
928
981
1037
1098
1163
1234
1310
1393
1483
1582
1688
1805
1932
2072
2225
2394
2580
2786
3014
3267
3549
3864
4216
4612
5059
5563
6135
6787
7531
8386
9371
10511
11837
13388
15210
17364
19926
22993
26689
100
109
120
131
143
157
172
188
206
225
247
271
297
326
359
394
434
477
526
580
640
707
782
866
960
1066
1185
1320
1472
1640
1840
2063
2318
2609
2944
3330
3775
4292
4893
5596
6420
7390
8538
9902
11533
13488
15851
18721
22231
26551
31907
000
007
015
024
034
045
057
071
086
103
122
144
169
197
229
265
306
353
407
468
539
620
713
820
944
1088
1254
1447
1672
1934
2240
2599
3022
3519
4106
4803
5631
6619
7803
9225
10941
13022
15555
18654
22464
27176
33035
40367
49601
61316
76289
020
020
021
022
023
024
025
028
027
028
030
031
032
033
035
036
037
039
040
042
043
045
046
048
050
051
053
055
057
059
061
063
065
068
070
072
075
077
080
082
085
088
091
094
097
101
104
108
112
115
120
000
002
003
005
007
009
011
012
014
016
018
019
021
023
025
027
029
031
032
034
036
038
040
042
045
047
049
051
053
055
058
060
062
065
067
070
073
075
078
081
084
087
090
093
097
100
104
107
111
115
119
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
6
Fondazione a platea
Video getto di una platea di fondazione
httpsyoutube-qnSTDPJLc4
121 Resistenza a rottura del terreno
La resistenza di un terreno dipende oltre che dalle caratteristiche del terreno stesso (angolo
di attrito coesione peso specifico) anche dalla forma della fondazione
Si definisce carico limite del complesso terreno-fondazioni il carico per unitagrave di area che
porta a rottura il terreno ossia che fa aumentare notevolmente i cedimenti detto in modo semplice
diremo che la fondazione ldquosprofondardquo sotto quel carico
Per una fondazione di forma rettangolare allungata (LgtgtB) ad esempio una fondazione di
un muro continuo o di una trave) con piano di posa a profonditagrave D sottoposta a carichi verticali e
centrati e con piano di campagna orizzontale lrsquoespressione del carico limite (formula di Terzaghi)
egrave la seguente
221lim
BγN+CN+DγN=q γcq
7
eBB 2
In cui g1 e g2 sono i pesi dellunitagrave di volume (pesi specifici) rispettivamente del terreno posto al
disopra ed al disotto del piano di posa
C egrave la coesione
Nq Nc Ng sono coefficienti adimensionali ricavati sulla base della teoria della plasticitagrave e
funzione dellangolo di attrito del terreno al disotto del piano di posa I valori di tali coefficienti in
funzione dellrsquoangolo di attrito del terreno sono riportati nella tabella TER1
Carico limite per carico inclinato ed eccentrico rispetto al baricentro
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita anche in questo caso mediante la formula di Terzaghi modificata perograve per tenere conto della eccentricitagrave del
carico e della sua inclinazione
Caso di forza eccentrica
Si tiene conto delleccentricitagrave della forza considerando invece che la larghezza
effettiva della fondazione una larghezza ridotta B Questa larghezza ridotta corrisponde alla
larghezza di una fondazione equivalente rispetto alla quale il carico verticale sarebbe centrato
Leccentricitagrave va considerata in valore assoluto poicheacute se la forza cade a sinistra del baricentro
invece che a destra essa risulta negativa e quindi B anzicheacute risultare piugrave piccola risulterebbe piugrave
grande della base vera cosa ovviamente senza senso
Caso di forza inclinata
Per tenere conto della inclinazione della forza si introducono dei coefficienti che tengono
conto della componente verticale ed orizzontale della forza stessa Questi coefficienti sono indicati
8
con ic iq iγ
Si riportano i coefficienti validi solo per terreni incoerenti (c=0)
2
1
V
Hi 1
3
V
Hiq
La formula di Terzaghi modificata valida per i terreni incoerenti allora egrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
Per i terreni coerenti i coefficienti iγ iq ic vanno calcolati con altre espressioni
122 - Verifica delle fondazioni
Come sempre per la verifica agli stati limite i carichi vengono aumentati moltiplicandoli
per dei coefficienti diversi a seconda del carico mentre i parametri di resistenza del terreno
vengono diminuiti dividendoli per altri coefficienti A differenza di come si fa con gli altri materiali
di costruzione tali coefficienti non sono sempre gli stessi ma variano a secondo della verifica che
si sta eseguendo Ovviamente quali coefficienti usare volta per volta viene indicato dalla
normativa
Per la verifica deve aversi
Ed le Rd
dove Ed egrave il valore di progetto dellrsquoazione o dellrsquoeffetto dellrsquoazione Rd egrave la resistenza a
rottura
Per i carichi quando il suo effetto egrave favorevole alla stabilitagrave della struttura anzicheacute
amplificarlo lo si prende col suo valore effettivo oppure si riduce o non lo si considera affatto
come nel caso dei carichi variabili Quando il loro effetto egrave sfavorevole li si amplifica sempre in
misura diversa se sono permanenti o variabili
Lo stato limite ultimo delle fondazioni superficiali puograve essere raggiunto per rottura del
terreno o per rottura degli elementi strutturali che compongono la fondazione stessa
Nel caso di fondazioni posizionate su o in prossimitagrave di pendii naturali o artificiali
deve essere effettuata la verifica anche con riferimento alle condizioni di stabilitagrave globale del
pendio includendo nelle verifiche le azioni trasmesse dalle fondazioni
9
Le verifiche delle fondazioni di capacitagrave portante e a scorrimento si eseguono con
lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
La verifica a stabilitagrave globale si esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i
carichi i coefficienti EQU (equilibrio) (EQU+M2+R2)
Coefficienti parziali per le azioni o per lrsquoeffetto delle azioni
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU
(A1)
STR
(A2)
GEO
Permanenti G1 Favorevole
γG1
09 10 10
Sfavorevole 11 13 10
Permanenti non strutturali G21 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Q Favorevole
γG1
00 00 00
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 140
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 100
I valori di resistenza calcolati devono essere divisi per i coefficienti parziali γ R riportati nella
seguente tabella
Coefficienti parziali γ R per le verifiche agli stati limite ultimi di fondazioni superficiali
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Carico limite 23
Scorrimento 11
10
Esempio N 1
Calcolare il carico limite terreno-fondazione La fondazione sia rettangolare allungata il
terreno abbia le seguenti caratteristiche peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito 32deg coesione 1
KNm2
Soluzione
Usiamo lapproccio 2 (A1+M1+R3)
Essendo il coefficiente parziale M1=1 sia langolo dattrito che la coesione rimangono
invariati infatti
Dalla tabella TER1 rileviamo i coefficienti Nc =3249 Nq=2318 Ng=3022
2lim
BNCNDN tctq
22
lim 970169682
4118223010493241181823 mmNmKN
11
Esempio N 2
Verificare la fondazione rettangolare lunga con sezione come in figura sottoposta ad un
carico centrato per ogni metro di 30000 dN Tale carico egrave composto da 20000 dN derivanti da
carichi permanenti e da 10000 dN derivanti da carichi variabili
Il terreno ha le seguenti caratteristiche angolo di attrito 30deg coesione 001 dNcm2 peso
specifico del terreno 1800 dNm3
Usiamo per la verifica lapproccio 2 A1+M1+R3 Calcoliamo il carico di progetto
Calcolo del carico limite Si osserva che i coefficienti da utilizzare per i parametri del
terreno riportati nella colonna M1 sono tutti pari ad 1 pertanto i parametri geotecnici del terreno
non vengono modificati
2lim
BNDNcN ttqc
2
lim 574732
218001402241800140181001430 mdN
La resistenza per ogni metro di fondazione saragrave
La resistenza si calcola applicando il coefficiente della tabella R3
Poichegrave risulta 41000 dN gt 38386 dN la fondazione non egrave verificata
12
123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI
La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione
alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e
alle condizioni ambientali
Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo
strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua
In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di
acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non
risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese
13 - Indagini sui terreni
Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso
Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini
ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito
hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di
laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e
quindi in qualche modo disturbati
131 - Indagini in sito
Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche
di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di
campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere
informazioni senza prelevare campioni di terreno
Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)
Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno
(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno
Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica
Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la
presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice
batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli
elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla
resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura
Indagini Geosismiche
Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai
vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate
mediante geofoni
13
Prove penetrometriche
Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto
semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La
punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che
viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio
viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa
energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio
10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave
possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto
delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la
larghezza della fondazione
La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula
olandese o degli olandesi
Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente
)(
2
mMhA
NHMRd
Dove
M egrave la massa del maglio
H la volata del maglio
N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h
A egrave lrsquoarea della punta
h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm
m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)
La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi
calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4
daNcm
2
132 - Indagini in laboratorio
Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di
fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in
laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni
lrsquoangolo di attrito e la coesione
A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto
e la prova triassiale
Con entrambi le prove si puograve tracciare
la retta
Per tracciare tale retta sarebbero
sufficienti due prove ma a causa
dellincertezza sperimentale sono
indispensabili tre prove
c tan
14
Macchina per la prova di taglio diretto
Particolare scatola di Casagrande
Risultati con tre prove di taglio
diretto
15
Apparecchiatura per la prova triassiale
Grafico ottenuto con le prove triassiali
Video di una prova triassiale
httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL
Campioni ottenuti con carotaggio del terreno
16
Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite
cN
qN
N
Nq Nc
tang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
514
538
563
590
619
649
681
716
753
792
835
880
928
981
1037
1098
1163
1234
1310
1393
1483
1582
1688
1805
1932
2072
2225
2394
2580
2786
3014
3267
3549
3864
4216
4612
5059
5563
6135
6787
7531
8386
9371
10511
11837
13388
15210
17364
19926
22993
26689
100
109
120
131
143
157
172
188
206
225
247
271
297
326
359
394
434
477
526
580
640
707
782
866
960
1066
1185
1320
1472
1640
1840
2063
2318
2609
2944
3330
3775
4292
4893
5596
6420
7390
8538
9902
11533
13488
15851
18721
22231
26551
31907
000
007
015
024
034
045
057
071
086
103
122
144
169
197
229
265
306
353
407
468
539
620
713
820
944
1088
1254
1447
1672
1934
2240
2599
3022
3519
4106
4803
5631
6619
7803
9225
10941
13022
15555
18654
22464
27176
33035
40367
49601
61316
76289
020
020
021
022
023
024
025
028
027
028
030
031
032
033
035
036
037
039
040
042
043
045
046
048
050
051
053
055
057
059
061
063
065
068
070
072
075
077
080
082
085
088
091
094
097
101
104
108
112
115
120
000
002
003
005
007
009
011
012
014
016
018
019
021
023
025
027
029
031
032
034
036
038
040
042
045
047
049
051
053
055
058
060
062
065
067
070
073
075
078
081
084
087
090
093
097
100
104
107
111
115
119
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
7
eBB 2
In cui g1 e g2 sono i pesi dellunitagrave di volume (pesi specifici) rispettivamente del terreno posto al
disopra ed al disotto del piano di posa
C egrave la coesione
Nq Nc Ng sono coefficienti adimensionali ricavati sulla base della teoria della plasticitagrave e
funzione dellangolo di attrito del terreno al disotto del piano di posa I valori di tali coefficienti in
funzione dellrsquoangolo di attrito del terreno sono riportati nella tabella TER1
Carico limite per carico inclinato ed eccentrico rispetto al baricentro
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita anche in questo caso mediante la formula di Terzaghi modificata perograve per tenere conto della eccentricitagrave del
carico e della sua inclinazione
Caso di forza eccentrica
Si tiene conto delleccentricitagrave della forza considerando invece che la larghezza
effettiva della fondazione una larghezza ridotta B Questa larghezza ridotta corrisponde alla
larghezza di una fondazione equivalente rispetto alla quale il carico verticale sarebbe centrato
Leccentricitagrave va considerata in valore assoluto poicheacute se la forza cade a sinistra del baricentro
invece che a destra essa risulta negativa e quindi B anzicheacute risultare piugrave piccola risulterebbe piugrave
grande della base vera cosa ovviamente senza senso
Caso di forza inclinata
Per tenere conto della inclinazione della forza si introducono dei coefficienti che tengono
conto della componente verticale ed orizzontale della forza stessa Questi coefficienti sono indicati
8
con ic iq iγ
Si riportano i coefficienti validi solo per terreni incoerenti (c=0)
2
1
V
Hi 1
3
V
Hiq
La formula di Terzaghi modificata valida per i terreni incoerenti allora egrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
Per i terreni coerenti i coefficienti iγ iq ic vanno calcolati con altre espressioni
122 - Verifica delle fondazioni
Come sempre per la verifica agli stati limite i carichi vengono aumentati moltiplicandoli
per dei coefficienti diversi a seconda del carico mentre i parametri di resistenza del terreno
vengono diminuiti dividendoli per altri coefficienti A differenza di come si fa con gli altri materiali
di costruzione tali coefficienti non sono sempre gli stessi ma variano a secondo della verifica che
si sta eseguendo Ovviamente quali coefficienti usare volta per volta viene indicato dalla
normativa
Per la verifica deve aversi
Ed le Rd
dove Ed egrave il valore di progetto dellrsquoazione o dellrsquoeffetto dellrsquoazione Rd egrave la resistenza a
rottura
Per i carichi quando il suo effetto egrave favorevole alla stabilitagrave della struttura anzicheacute
amplificarlo lo si prende col suo valore effettivo oppure si riduce o non lo si considera affatto
come nel caso dei carichi variabili Quando il loro effetto egrave sfavorevole li si amplifica sempre in
misura diversa se sono permanenti o variabili
Lo stato limite ultimo delle fondazioni superficiali puograve essere raggiunto per rottura del
terreno o per rottura degli elementi strutturali che compongono la fondazione stessa
Nel caso di fondazioni posizionate su o in prossimitagrave di pendii naturali o artificiali
deve essere effettuata la verifica anche con riferimento alle condizioni di stabilitagrave globale del
pendio includendo nelle verifiche le azioni trasmesse dalle fondazioni
9
Le verifiche delle fondazioni di capacitagrave portante e a scorrimento si eseguono con
lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
La verifica a stabilitagrave globale si esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i
carichi i coefficienti EQU (equilibrio) (EQU+M2+R2)
Coefficienti parziali per le azioni o per lrsquoeffetto delle azioni
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU
(A1)
STR
(A2)
GEO
Permanenti G1 Favorevole
γG1
09 10 10
Sfavorevole 11 13 10
Permanenti non strutturali G21 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Q Favorevole
γG1
00 00 00
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 140
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 100
I valori di resistenza calcolati devono essere divisi per i coefficienti parziali γ R riportati nella
seguente tabella
Coefficienti parziali γ R per le verifiche agli stati limite ultimi di fondazioni superficiali
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Carico limite 23
Scorrimento 11
10
Esempio N 1
Calcolare il carico limite terreno-fondazione La fondazione sia rettangolare allungata il
terreno abbia le seguenti caratteristiche peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito 32deg coesione 1
KNm2
Soluzione
Usiamo lapproccio 2 (A1+M1+R3)
Essendo il coefficiente parziale M1=1 sia langolo dattrito che la coesione rimangono
invariati infatti
Dalla tabella TER1 rileviamo i coefficienti Nc =3249 Nq=2318 Ng=3022
2lim
BNCNDN tctq
22
lim 970169682
4118223010493241181823 mmNmKN
11
Esempio N 2
Verificare la fondazione rettangolare lunga con sezione come in figura sottoposta ad un
carico centrato per ogni metro di 30000 dN Tale carico egrave composto da 20000 dN derivanti da
carichi permanenti e da 10000 dN derivanti da carichi variabili
Il terreno ha le seguenti caratteristiche angolo di attrito 30deg coesione 001 dNcm2 peso
specifico del terreno 1800 dNm3
Usiamo per la verifica lapproccio 2 A1+M1+R3 Calcoliamo il carico di progetto
Calcolo del carico limite Si osserva che i coefficienti da utilizzare per i parametri del
terreno riportati nella colonna M1 sono tutti pari ad 1 pertanto i parametri geotecnici del terreno
non vengono modificati
2lim
BNDNcN ttqc
2
lim 574732
218001402241800140181001430 mdN
La resistenza per ogni metro di fondazione saragrave
La resistenza si calcola applicando il coefficiente della tabella R3
Poichegrave risulta 41000 dN gt 38386 dN la fondazione non egrave verificata
12
123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI
La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione
alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e
alle condizioni ambientali
Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo
strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua
In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di
acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non
risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese
13 - Indagini sui terreni
Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso
Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini
ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito
hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di
laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e
quindi in qualche modo disturbati
131 - Indagini in sito
Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche
di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di
campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere
informazioni senza prelevare campioni di terreno
Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)
Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno
(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno
Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica
Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la
presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice
batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli
elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla
resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura
Indagini Geosismiche
Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai
vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate
mediante geofoni
13
Prove penetrometriche
Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto
semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La
punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che
viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio
viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa
energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio
10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave
possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto
delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la
larghezza della fondazione
La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula
olandese o degli olandesi
Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente
)(
2
mMhA
NHMRd
Dove
M egrave la massa del maglio
H la volata del maglio
N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h
A egrave lrsquoarea della punta
h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm
m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)
La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi
calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4
daNcm
2
132 - Indagini in laboratorio
Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di
fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in
laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni
lrsquoangolo di attrito e la coesione
A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto
e la prova triassiale
Con entrambi le prove si puograve tracciare
la retta
Per tracciare tale retta sarebbero
sufficienti due prove ma a causa
dellincertezza sperimentale sono
indispensabili tre prove
c tan
14
Macchina per la prova di taglio diretto
Particolare scatola di Casagrande
Risultati con tre prove di taglio
diretto
15
Apparecchiatura per la prova triassiale
Grafico ottenuto con le prove triassiali
Video di una prova triassiale
httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL
Campioni ottenuti con carotaggio del terreno
16
Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite
cN
qN
N
Nq Nc
tang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
514
538
563
590
619
649
681
716
753
792
835
880
928
981
1037
1098
1163
1234
1310
1393
1483
1582
1688
1805
1932
2072
2225
2394
2580
2786
3014
3267
3549
3864
4216
4612
5059
5563
6135
6787
7531
8386
9371
10511
11837
13388
15210
17364
19926
22993
26689
100
109
120
131
143
157
172
188
206
225
247
271
297
326
359
394
434
477
526
580
640
707
782
866
960
1066
1185
1320
1472
1640
1840
2063
2318
2609
2944
3330
3775
4292
4893
5596
6420
7390
8538
9902
11533
13488
15851
18721
22231
26551
31907
000
007
015
024
034
045
057
071
086
103
122
144
169
197
229
265
306
353
407
468
539
620
713
820
944
1088
1254
1447
1672
1934
2240
2599
3022
3519
4106
4803
5631
6619
7803
9225
10941
13022
15555
18654
22464
27176
33035
40367
49601
61316
76289
020
020
021
022
023
024
025
028
027
028
030
031
032
033
035
036
037
039
040
042
043
045
046
048
050
051
053
055
057
059
061
063
065
068
070
072
075
077
080
082
085
088
091
094
097
101
104
108
112
115
120
000
002
003
005
007
009
011
012
014
016
018
019
021
023
025
027
029
031
032
034
036
038
040
042
045
047
049
051
053
055
058
060
062
065
067
070
073
075
078
081
084
087
090
093
097
100
104
107
111
115
119
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
8
con ic iq iγ
Si riportano i coefficienti validi solo per terreni incoerenti (c=0)
2
1
V
Hi 1
3
V
Hiq
La formula di Terzaghi modificata valida per i terreni incoerenti allora egrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
Per i terreni coerenti i coefficienti iγ iq ic vanno calcolati con altre espressioni
122 - Verifica delle fondazioni
Come sempre per la verifica agli stati limite i carichi vengono aumentati moltiplicandoli
per dei coefficienti diversi a seconda del carico mentre i parametri di resistenza del terreno
vengono diminuiti dividendoli per altri coefficienti A differenza di come si fa con gli altri materiali
di costruzione tali coefficienti non sono sempre gli stessi ma variano a secondo della verifica che
si sta eseguendo Ovviamente quali coefficienti usare volta per volta viene indicato dalla
normativa
Per la verifica deve aversi
Ed le Rd
dove Ed egrave il valore di progetto dellrsquoazione o dellrsquoeffetto dellrsquoazione Rd egrave la resistenza a
rottura
Per i carichi quando il suo effetto egrave favorevole alla stabilitagrave della struttura anzicheacute
amplificarlo lo si prende col suo valore effettivo oppure si riduce o non lo si considera affatto
come nel caso dei carichi variabili Quando il loro effetto egrave sfavorevole li si amplifica sempre in
misura diversa se sono permanenti o variabili
Lo stato limite ultimo delle fondazioni superficiali puograve essere raggiunto per rottura del
terreno o per rottura degli elementi strutturali che compongono la fondazione stessa
Nel caso di fondazioni posizionate su o in prossimitagrave di pendii naturali o artificiali
deve essere effettuata la verifica anche con riferimento alle condizioni di stabilitagrave globale del
pendio includendo nelle verifiche le azioni trasmesse dalle fondazioni
9
Le verifiche delle fondazioni di capacitagrave portante e a scorrimento si eseguono con
lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
La verifica a stabilitagrave globale si esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i
carichi i coefficienti EQU (equilibrio) (EQU+M2+R2)
Coefficienti parziali per le azioni o per lrsquoeffetto delle azioni
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU
(A1)
STR
(A2)
GEO
Permanenti G1 Favorevole
γG1
09 10 10
Sfavorevole 11 13 10
Permanenti non strutturali G21 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Q Favorevole
γG1
00 00 00
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 140
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 100
I valori di resistenza calcolati devono essere divisi per i coefficienti parziali γ R riportati nella
seguente tabella
Coefficienti parziali γ R per le verifiche agli stati limite ultimi di fondazioni superficiali
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Carico limite 23
Scorrimento 11
10
Esempio N 1
Calcolare il carico limite terreno-fondazione La fondazione sia rettangolare allungata il
terreno abbia le seguenti caratteristiche peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito 32deg coesione 1
KNm2
Soluzione
Usiamo lapproccio 2 (A1+M1+R3)
Essendo il coefficiente parziale M1=1 sia langolo dattrito che la coesione rimangono
invariati infatti
Dalla tabella TER1 rileviamo i coefficienti Nc =3249 Nq=2318 Ng=3022
2lim
BNCNDN tctq
22
lim 970169682
4118223010493241181823 mmNmKN
11
Esempio N 2
Verificare la fondazione rettangolare lunga con sezione come in figura sottoposta ad un
carico centrato per ogni metro di 30000 dN Tale carico egrave composto da 20000 dN derivanti da
carichi permanenti e da 10000 dN derivanti da carichi variabili
Il terreno ha le seguenti caratteristiche angolo di attrito 30deg coesione 001 dNcm2 peso
specifico del terreno 1800 dNm3
Usiamo per la verifica lapproccio 2 A1+M1+R3 Calcoliamo il carico di progetto
Calcolo del carico limite Si osserva che i coefficienti da utilizzare per i parametri del
terreno riportati nella colonna M1 sono tutti pari ad 1 pertanto i parametri geotecnici del terreno
non vengono modificati
2lim
BNDNcN ttqc
2
lim 574732
218001402241800140181001430 mdN
La resistenza per ogni metro di fondazione saragrave
La resistenza si calcola applicando il coefficiente della tabella R3
Poichegrave risulta 41000 dN gt 38386 dN la fondazione non egrave verificata
12
123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI
La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione
alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e
alle condizioni ambientali
Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo
strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua
In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di
acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non
risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese
13 - Indagini sui terreni
Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso
Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini
ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito
hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di
laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e
quindi in qualche modo disturbati
131 - Indagini in sito
Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche
di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di
campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere
informazioni senza prelevare campioni di terreno
Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)
Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno
(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno
Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica
Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la
presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice
batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli
elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla
resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura
Indagini Geosismiche
Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai
vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate
mediante geofoni
13
Prove penetrometriche
Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto
semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La
punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che
viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio
viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa
energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio
10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave
possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto
delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la
larghezza della fondazione
La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula
olandese o degli olandesi
Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente
)(
2
mMhA
NHMRd
Dove
M egrave la massa del maglio
H la volata del maglio
N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h
A egrave lrsquoarea della punta
h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm
m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)
La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi
calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4
daNcm
2
132 - Indagini in laboratorio
Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di
fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in
laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni
lrsquoangolo di attrito e la coesione
A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto
e la prova triassiale
Con entrambi le prove si puograve tracciare
la retta
Per tracciare tale retta sarebbero
sufficienti due prove ma a causa
dellincertezza sperimentale sono
indispensabili tre prove
c tan
14
Macchina per la prova di taglio diretto
Particolare scatola di Casagrande
Risultati con tre prove di taglio
diretto
15
Apparecchiatura per la prova triassiale
Grafico ottenuto con le prove triassiali
Video di una prova triassiale
httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL
Campioni ottenuti con carotaggio del terreno
16
Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite
cN
qN
N
Nq Nc
tang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
514
538
563
590
619
649
681
716
753
792
835
880
928
981
1037
1098
1163
1234
1310
1393
1483
1582
1688
1805
1932
2072
2225
2394
2580
2786
3014
3267
3549
3864
4216
4612
5059
5563
6135
6787
7531
8386
9371
10511
11837
13388
15210
17364
19926
22993
26689
100
109
120
131
143
157
172
188
206
225
247
271
297
326
359
394
434
477
526
580
640
707
782
866
960
1066
1185
1320
1472
1640
1840
2063
2318
2609
2944
3330
3775
4292
4893
5596
6420
7390
8538
9902
11533
13488
15851
18721
22231
26551
31907
000
007
015
024
034
045
057
071
086
103
122
144
169
197
229
265
306
353
407
468
539
620
713
820
944
1088
1254
1447
1672
1934
2240
2599
3022
3519
4106
4803
5631
6619
7803
9225
10941
13022
15555
18654
22464
27176
33035
40367
49601
61316
76289
020
020
021
022
023
024
025
028
027
028
030
031
032
033
035
036
037
039
040
042
043
045
046
048
050
051
053
055
057
059
061
063
065
068
070
072
075
077
080
082
085
088
091
094
097
101
104
108
112
115
120
000
002
003
005
007
009
011
012
014
016
018
019
021
023
025
027
029
031
032
034
036
038
040
042
045
047
049
051
053
055
058
060
062
065
067
070
073
075
078
081
084
087
090
093
097
100
104
107
111
115
119
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
9
Le verifiche delle fondazioni di capacitagrave portante e a scorrimento si eseguono con
lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
La verifica a stabilitagrave globale si esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i
carichi i coefficienti EQU (equilibrio) (EQU+M2+R2)
Coefficienti parziali per le azioni o per lrsquoeffetto delle azioni
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU
(A1)
STR
(A2)
GEO
Permanenti G1 Favorevole
γG1
09 10 10
Sfavorevole 11 13 10
Permanenti non strutturali G21 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Q Favorevole
γG1
00 00 00
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 140
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 100
I valori di resistenza calcolati devono essere divisi per i coefficienti parziali γ R riportati nella
seguente tabella
Coefficienti parziali γ R per le verifiche agli stati limite ultimi di fondazioni superficiali
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Carico limite 23
Scorrimento 11
10
Esempio N 1
Calcolare il carico limite terreno-fondazione La fondazione sia rettangolare allungata il
terreno abbia le seguenti caratteristiche peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito 32deg coesione 1
KNm2
Soluzione
Usiamo lapproccio 2 (A1+M1+R3)
Essendo il coefficiente parziale M1=1 sia langolo dattrito che la coesione rimangono
invariati infatti
Dalla tabella TER1 rileviamo i coefficienti Nc =3249 Nq=2318 Ng=3022
2lim
BNCNDN tctq
22
lim 970169682
4118223010493241181823 mmNmKN
11
Esempio N 2
Verificare la fondazione rettangolare lunga con sezione come in figura sottoposta ad un
carico centrato per ogni metro di 30000 dN Tale carico egrave composto da 20000 dN derivanti da
carichi permanenti e da 10000 dN derivanti da carichi variabili
Il terreno ha le seguenti caratteristiche angolo di attrito 30deg coesione 001 dNcm2 peso
specifico del terreno 1800 dNm3
Usiamo per la verifica lapproccio 2 A1+M1+R3 Calcoliamo il carico di progetto
Calcolo del carico limite Si osserva che i coefficienti da utilizzare per i parametri del
terreno riportati nella colonna M1 sono tutti pari ad 1 pertanto i parametri geotecnici del terreno
non vengono modificati
2lim
BNDNcN ttqc
2
lim 574732
218001402241800140181001430 mdN
La resistenza per ogni metro di fondazione saragrave
La resistenza si calcola applicando il coefficiente della tabella R3
Poichegrave risulta 41000 dN gt 38386 dN la fondazione non egrave verificata
12
123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI
La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione
alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e
alle condizioni ambientali
Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo
strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua
In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di
acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non
risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese
13 - Indagini sui terreni
Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso
Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini
ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito
hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di
laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e
quindi in qualche modo disturbati
131 - Indagini in sito
Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche
di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di
campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere
informazioni senza prelevare campioni di terreno
Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)
Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno
(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno
Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica
Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la
presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice
batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli
elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla
resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura
Indagini Geosismiche
Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai
vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate
mediante geofoni
13
Prove penetrometriche
Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto
semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La
punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che
viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio
viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa
energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio
10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave
possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto
delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la
larghezza della fondazione
La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula
olandese o degli olandesi
Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente
)(
2
mMhA
NHMRd
Dove
M egrave la massa del maglio
H la volata del maglio
N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h
A egrave lrsquoarea della punta
h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm
m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)
La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi
calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4
daNcm
2
132 - Indagini in laboratorio
Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di
fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in
laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni
lrsquoangolo di attrito e la coesione
A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto
e la prova triassiale
Con entrambi le prove si puograve tracciare
la retta
Per tracciare tale retta sarebbero
sufficienti due prove ma a causa
dellincertezza sperimentale sono
indispensabili tre prove
c tan
14
Macchina per la prova di taglio diretto
Particolare scatola di Casagrande
Risultati con tre prove di taglio
diretto
15
Apparecchiatura per la prova triassiale
Grafico ottenuto con le prove triassiali
Video di una prova triassiale
httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL
Campioni ottenuti con carotaggio del terreno
16
Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite
cN
qN
N
Nq Nc
tang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
514
538
563
590
619
649
681
716
753
792
835
880
928
981
1037
1098
1163
1234
1310
1393
1483
1582
1688
1805
1932
2072
2225
2394
2580
2786
3014
3267
3549
3864
4216
4612
5059
5563
6135
6787
7531
8386
9371
10511
11837
13388
15210
17364
19926
22993
26689
100
109
120
131
143
157
172
188
206
225
247
271
297
326
359
394
434
477
526
580
640
707
782
866
960
1066
1185
1320
1472
1640
1840
2063
2318
2609
2944
3330
3775
4292
4893
5596
6420
7390
8538
9902
11533
13488
15851
18721
22231
26551
31907
000
007
015
024
034
045
057
071
086
103
122
144
169
197
229
265
306
353
407
468
539
620
713
820
944
1088
1254
1447
1672
1934
2240
2599
3022
3519
4106
4803
5631
6619
7803
9225
10941
13022
15555
18654
22464
27176
33035
40367
49601
61316
76289
020
020
021
022
023
024
025
028
027
028
030
031
032
033
035
036
037
039
040
042
043
045
046
048
050
051
053
055
057
059
061
063
065
068
070
072
075
077
080
082
085
088
091
094
097
101
104
108
112
115
120
000
002
003
005
007
009
011
012
014
016
018
019
021
023
025
027
029
031
032
034
036
038
040
042
045
047
049
051
053
055
058
060
062
065
067
070
073
075
078
081
084
087
090
093
097
100
104
107
111
115
119
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
10
Esempio N 1
Calcolare il carico limite terreno-fondazione La fondazione sia rettangolare allungata il
terreno abbia le seguenti caratteristiche peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito 32deg coesione 1
KNm2
Soluzione
Usiamo lapproccio 2 (A1+M1+R3)
Essendo il coefficiente parziale M1=1 sia langolo dattrito che la coesione rimangono
invariati infatti
Dalla tabella TER1 rileviamo i coefficienti Nc =3249 Nq=2318 Ng=3022
2lim
BNCNDN tctq
22
lim 970169682
4118223010493241181823 mmNmKN
11
Esempio N 2
Verificare la fondazione rettangolare lunga con sezione come in figura sottoposta ad un
carico centrato per ogni metro di 30000 dN Tale carico egrave composto da 20000 dN derivanti da
carichi permanenti e da 10000 dN derivanti da carichi variabili
Il terreno ha le seguenti caratteristiche angolo di attrito 30deg coesione 001 dNcm2 peso
specifico del terreno 1800 dNm3
Usiamo per la verifica lapproccio 2 A1+M1+R3 Calcoliamo il carico di progetto
Calcolo del carico limite Si osserva che i coefficienti da utilizzare per i parametri del
terreno riportati nella colonna M1 sono tutti pari ad 1 pertanto i parametri geotecnici del terreno
non vengono modificati
2lim
BNDNcN ttqc
2
lim 574732
218001402241800140181001430 mdN
La resistenza per ogni metro di fondazione saragrave
La resistenza si calcola applicando il coefficiente della tabella R3
Poichegrave risulta 41000 dN gt 38386 dN la fondazione non egrave verificata
12
123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI
La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione
alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e
alle condizioni ambientali
Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo
strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua
In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di
acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non
risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese
13 - Indagini sui terreni
Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso
Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini
ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito
hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di
laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e
quindi in qualche modo disturbati
131 - Indagini in sito
Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche
di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di
campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere
informazioni senza prelevare campioni di terreno
Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)
Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno
(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno
Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica
Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la
presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice
batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli
elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla
resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura
Indagini Geosismiche
Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai
vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate
mediante geofoni
13
Prove penetrometriche
Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto
semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La
punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che
viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio
viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa
energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio
10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave
possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto
delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la
larghezza della fondazione
La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula
olandese o degli olandesi
Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente
)(
2
mMhA
NHMRd
Dove
M egrave la massa del maglio
H la volata del maglio
N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h
A egrave lrsquoarea della punta
h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm
m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)
La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi
calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4
daNcm
2
132 - Indagini in laboratorio
Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di
fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in
laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni
lrsquoangolo di attrito e la coesione
A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto
e la prova triassiale
Con entrambi le prove si puograve tracciare
la retta
Per tracciare tale retta sarebbero
sufficienti due prove ma a causa
dellincertezza sperimentale sono
indispensabili tre prove
c tan
14
Macchina per la prova di taglio diretto
Particolare scatola di Casagrande
Risultati con tre prove di taglio
diretto
15
Apparecchiatura per la prova triassiale
Grafico ottenuto con le prove triassiali
Video di una prova triassiale
httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL
Campioni ottenuti con carotaggio del terreno
16
Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite
cN
qN
N
Nq Nc
tang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
514
538
563
590
619
649
681
716
753
792
835
880
928
981
1037
1098
1163
1234
1310
1393
1483
1582
1688
1805
1932
2072
2225
2394
2580
2786
3014
3267
3549
3864
4216
4612
5059
5563
6135
6787
7531
8386
9371
10511
11837
13388
15210
17364
19926
22993
26689
100
109
120
131
143
157
172
188
206
225
247
271
297
326
359
394
434
477
526
580
640
707
782
866
960
1066
1185
1320
1472
1640
1840
2063
2318
2609
2944
3330
3775
4292
4893
5596
6420
7390
8538
9902
11533
13488
15851
18721
22231
26551
31907
000
007
015
024
034
045
057
071
086
103
122
144
169
197
229
265
306
353
407
468
539
620
713
820
944
1088
1254
1447
1672
1934
2240
2599
3022
3519
4106
4803
5631
6619
7803
9225
10941
13022
15555
18654
22464
27176
33035
40367
49601
61316
76289
020
020
021
022
023
024
025
028
027
028
030
031
032
033
035
036
037
039
040
042
043
045
046
048
050
051
053
055
057
059
061
063
065
068
070
072
075
077
080
082
085
088
091
094
097
101
104
108
112
115
120
000
002
003
005
007
009
011
012
014
016
018
019
021
023
025
027
029
031
032
034
036
038
040
042
045
047
049
051
053
055
058
060
062
065
067
070
073
075
078
081
084
087
090
093
097
100
104
107
111
115
119
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
11
Esempio N 2
Verificare la fondazione rettangolare lunga con sezione come in figura sottoposta ad un
carico centrato per ogni metro di 30000 dN Tale carico egrave composto da 20000 dN derivanti da
carichi permanenti e da 10000 dN derivanti da carichi variabili
Il terreno ha le seguenti caratteristiche angolo di attrito 30deg coesione 001 dNcm2 peso
specifico del terreno 1800 dNm3
Usiamo per la verifica lapproccio 2 A1+M1+R3 Calcoliamo il carico di progetto
Calcolo del carico limite Si osserva che i coefficienti da utilizzare per i parametri del
terreno riportati nella colonna M1 sono tutti pari ad 1 pertanto i parametri geotecnici del terreno
non vengono modificati
2lim
BNDNcN ttqc
2
lim 574732
218001402241800140181001430 mdN
La resistenza per ogni metro di fondazione saragrave
La resistenza si calcola applicando il coefficiente della tabella R3
Poichegrave risulta 41000 dN gt 38386 dN la fondazione non egrave verificata
12
123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI
La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione
alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e
alle condizioni ambientali
Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo
strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua
In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di
acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non
risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese
13 - Indagini sui terreni
Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso
Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini
ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito
hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di
laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e
quindi in qualche modo disturbati
131 - Indagini in sito
Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche
di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di
campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere
informazioni senza prelevare campioni di terreno
Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)
Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno
(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno
Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica
Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la
presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice
batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli
elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla
resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura
Indagini Geosismiche
Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai
vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate
mediante geofoni
13
Prove penetrometriche
Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto
semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La
punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che
viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio
viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa
energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio
10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave
possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto
delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la
larghezza della fondazione
La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula
olandese o degli olandesi
Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente
)(
2
mMhA
NHMRd
Dove
M egrave la massa del maglio
H la volata del maglio
N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h
A egrave lrsquoarea della punta
h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm
m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)
La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi
calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4
daNcm
2
132 - Indagini in laboratorio
Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di
fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in
laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni
lrsquoangolo di attrito e la coesione
A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto
e la prova triassiale
Con entrambi le prove si puograve tracciare
la retta
Per tracciare tale retta sarebbero
sufficienti due prove ma a causa
dellincertezza sperimentale sono
indispensabili tre prove
c tan
14
Macchina per la prova di taglio diretto
Particolare scatola di Casagrande
Risultati con tre prove di taglio
diretto
15
Apparecchiatura per la prova triassiale
Grafico ottenuto con le prove triassiali
Video di una prova triassiale
httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL
Campioni ottenuti con carotaggio del terreno
16
Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite
cN
qN
N
Nq Nc
tang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
514
538
563
590
619
649
681
716
753
792
835
880
928
981
1037
1098
1163
1234
1310
1393
1483
1582
1688
1805
1932
2072
2225
2394
2580
2786
3014
3267
3549
3864
4216
4612
5059
5563
6135
6787
7531
8386
9371
10511
11837
13388
15210
17364
19926
22993
26689
100
109
120
131
143
157
172
188
206
225
247
271
297
326
359
394
434
477
526
580
640
707
782
866
960
1066
1185
1320
1472
1640
1840
2063
2318
2609
2944
3330
3775
4292
4893
5596
6420
7390
8538
9902
11533
13488
15851
18721
22231
26551
31907
000
007
015
024
034
045
057
071
086
103
122
144
169
197
229
265
306
353
407
468
539
620
713
820
944
1088
1254
1447
1672
1934
2240
2599
3022
3519
4106
4803
5631
6619
7803
9225
10941
13022
15555
18654
22464
27176
33035
40367
49601
61316
76289
020
020
021
022
023
024
025
028
027
028
030
031
032
033
035
036
037
039
040
042
043
045
046
048
050
051
053
055
057
059
061
063
065
068
070
072
075
077
080
082
085
088
091
094
097
101
104
108
112
115
120
000
002
003
005
007
009
011
012
014
016
018
019
021
023
025
027
029
031
032
034
036
038
040
042
045
047
049
051
053
055
058
060
062
065
067
070
073
075
078
081
084
087
090
093
097
100
104
107
111
115
119
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
12
123 - CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI
La profonditagrave del piano di posa della fondazione deve essere scelta e giustificata in relazione
alle caratteristiche e alle prestazioni della struttura in elevazione alle caratteristiche del sottosuolo e
alle condizioni ambientali
Il piano di fondazione deve essere situato sotto la coltre di terreno vegetale noncheacute sotto lo
strato interessato dal gelo e da significative variazioni stagionali del contenuto drsquoacqua
In situazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzamento da parte di
acque di scorrimento superficiale le fondazioni devono essere poste a profonditagrave tale da non
risentire di questi fenomeni o devono essere adeguatamente difese
13 - Indagini sui terreni
Per determinare le caratteristiche dei terreni egrave necessario eseguire delle indagini su di esso
Abbiamo due categorie di indagini indagini in sito ed indagini in laboratorio Sono indagini
ovviamente di natura diversa che presentano entrambi vantaggi e svantaggi Le indagini in sito
hanno il vantaggio di esaminare il terreno nel suo stato naturale ossia indisturbato mentre quelle di
laboratorio esaminano campioni di terreno che necessariamente vengono prelevati dal terreno e
quindi in qualche modo disturbati
131 - Indagini in sito
Con tali indagini possiamo rilevare le caratteristiche geologiche dei terreni ma anche
di resistenza Abbiamo indagini di tipo diretto quando lrsquoesame avviene tramite il prelievo di
campioni di terreno e indiretto quando invece usiamo attrezzature che ci permettono di raccogliere
informazioni senza prelevare campioni di terreno
Sondaggi diretti a rotazione (carotaggi)
Si eseguono con una speciale trivella che preleva da diversa profonditagrave campioni di terreno
(carote) esaminando le quali si ricostruisce la stratigrafia del terreno
Indagine indiretta tramite sonda geoelettrica
Di facile esecuzione e poco costosa questa indagine permette specialmente di rilevare la
presenza di falde acquifere Si esegue generando una corrente continua tramite una semplice
batteria e misurandone le cadute di tensione ad una certa distanza dove vengono posizionati degli
elettrodi collegati con cavi allrsquounitagrave di misurazione Attraverso tali cadute di tensione si risale alla
resistivitagrave delle rocce e quindi alla sua natura
Indagini Geosismiche
Si basa sulla propagazione di onde elastiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causata dai
vari strati di rocce Le onde sismiche vengono generate mediante microesplosioni e rilevate
mediante geofoni
13
Prove penetrometriche
Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto
semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La
punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che
viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio
viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa
energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio
10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave
possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto
delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la
larghezza della fondazione
La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula
olandese o degli olandesi
Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente
)(
2
mMhA
NHMRd
Dove
M egrave la massa del maglio
H la volata del maglio
N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h
A egrave lrsquoarea della punta
h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm
m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)
La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi
calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4
daNcm
2
132 - Indagini in laboratorio
Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di
fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in
laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni
lrsquoangolo di attrito e la coesione
A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto
e la prova triassiale
Con entrambi le prove si puograve tracciare
la retta
Per tracciare tale retta sarebbero
sufficienti due prove ma a causa
dellincertezza sperimentale sono
indispensabili tre prove
c tan
14
Macchina per la prova di taglio diretto
Particolare scatola di Casagrande
Risultati con tre prove di taglio
diretto
15
Apparecchiatura per la prova triassiale
Grafico ottenuto con le prove triassiali
Video di una prova triassiale
httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL
Campioni ottenuti con carotaggio del terreno
16
Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite
cN
qN
N
Nq Nc
tang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
514
538
563
590
619
649
681
716
753
792
835
880
928
981
1037
1098
1163
1234
1310
1393
1483
1582
1688
1805
1932
2072
2225
2394
2580
2786
3014
3267
3549
3864
4216
4612
5059
5563
6135
6787
7531
8386
9371
10511
11837
13388
15210
17364
19926
22993
26689
100
109
120
131
143
157
172
188
206
225
247
271
297
326
359
394
434
477
526
580
640
707
782
866
960
1066
1185
1320
1472
1640
1840
2063
2318
2609
2944
3330
3775
4292
4893
5596
6420
7390
8538
9902
11533
13488
15851
18721
22231
26551
31907
000
007
015
024
034
045
057
071
086
103
122
144
169
197
229
265
306
353
407
468
539
620
713
820
944
1088
1254
1447
1672
1934
2240
2599
3022
3519
4106
4803
5631
6619
7803
9225
10941
13022
15555
18654
22464
27176
33035
40367
49601
61316
76289
020
020
021
022
023
024
025
028
027
028
030
031
032
033
035
036
037
039
040
042
043
045
046
048
050
051
053
055
057
059
061
063
065
068
070
072
075
077
080
082
085
088
091
094
097
101
104
108
112
115
120
000
002
003
005
007
009
011
012
014
016
018
019
021
023
025
027
029
031
032
034
036
038
040
042
045
047
049
051
053
055
058
060
062
065
067
070
073
075
078
081
084
087
090
093
097
100
104
107
111
115
119
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
13
Prove penetrometriche
Permettono di rilevare la resistenza del terreno ai carichi verticali Il concetto egrave molto
semplice in pratica si tratta di infiggere una punta di acciaio di forma tronco-conica nel terreno La
punta egrave avvitata alla estremitagrave di unrsquoasta in acciaio sulla cui sommitagrave viene posto un incudine che
viene battuto su un maglio che puograve essere azionato sia manualmente che meccanicamente Il maglio
viene sempre fatto cadere dalla stessa altezza in modo da trasmettere alla punta sempre la stessa
energia Il numero dei colpi necessari per infiggere la punta di una determinata quantitagrave (ad esempio
10 cm) rivela la resistenza alla punta del terreno Elaborando opportunamente i dati ottenuti egrave
possibile ottenere la tensione ammissibile del terreno Ersquo evidente che tale tensione non tiene conto
delle caratteristiche della fondazione La prova va eseguita per una profonditagrave pari a due tre volte la
larghezza della fondazione
La resistenza alla punta viene determinata mediante una relazione nota come formula
olandese o degli olandesi
Con M ed m misurati i n Kg H ed h in cm e A in crn2 1a formula egrave la seguente
)(
2
mMhA
NHMRd
Dove
M egrave la massa del maglio
H la volata del maglio
N il numero di colpi necessario per un affondamento pari ad h
A egrave lrsquoarea della punta
h egrave lrsquoaffondamento pari a 10 cm
m egrave la massa battuta (incudine + aste + portapunta)
La tensione di rottura del terreno viene calcolata assumendo per N la media dei colpi
calcolata per una profonditagrave pari a 2 ndash 3 volte la larghezza della fondazione e dividendo per 4
daNcm
2
132 - Indagini in laboratorio
Tali indagini si eseguono su campioni prelevati sul posto ed esaminati in laboratorio Ersquo di
fondamentale importanza che tali campioni siano disturbati il meno possibile Le prove in
laboratorio consentono di rilevare oltre al peso specifico e ad altre caratteristiche dei terreni
lrsquoangolo di attrito e la coesione
A tale risultato si puograve giungere mediante due tipi diversi di prove la prova di taglio diretto
e la prova triassiale
Con entrambi le prove si puograve tracciare
la retta
Per tracciare tale retta sarebbero
sufficienti due prove ma a causa
dellincertezza sperimentale sono
indispensabili tre prove
c tan
14
Macchina per la prova di taglio diretto
Particolare scatola di Casagrande
Risultati con tre prove di taglio
diretto
15
Apparecchiatura per la prova triassiale
Grafico ottenuto con le prove triassiali
Video di una prova triassiale
httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL
Campioni ottenuti con carotaggio del terreno
16
Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite
cN
qN
N
Nq Nc
tang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
514
538
563
590
619
649
681
716
753
792
835
880
928
981
1037
1098
1163
1234
1310
1393
1483
1582
1688
1805
1932
2072
2225
2394
2580
2786
3014
3267
3549
3864
4216
4612
5059
5563
6135
6787
7531
8386
9371
10511
11837
13388
15210
17364
19926
22993
26689
100
109
120
131
143
157
172
188
206
225
247
271
297
326
359
394
434
477
526
580
640
707
782
866
960
1066
1185
1320
1472
1640
1840
2063
2318
2609
2944
3330
3775
4292
4893
5596
6420
7390
8538
9902
11533
13488
15851
18721
22231
26551
31907
000
007
015
024
034
045
057
071
086
103
122
144
169
197
229
265
306
353
407
468
539
620
713
820
944
1088
1254
1447
1672
1934
2240
2599
3022
3519
4106
4803
5631
6619
7803
9225
10941
13022
15555
18654
22464
27176
33035
40367
49601
61316
76289
020
020
021
022
023
024
025
028
027
028
030
031
032
033
035
036
037
039
040
042
043
045
046
048
050
051
053
055
057
059
061
063
065
068
070
072
075
077
080
082
085
088
091
094
097
101
104
108
112
115
120
000
002
003
005
007
009
011
012
014
016
018
019
021
023
025
027
029
031
032
034
036
038
040
042
045
047
049
051
053
055
058
060
062
065
067
070
073
075
078
081
084
087
090
093
097
100
104
107
111
115
119
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
14
Macchina per la prova di taglio diretto
Particolare scatola di Casagrande
Risultati con tre prove di taglio
diretto
15
Apparecchiatura per la prova triassiale
Grafico ottenuto con le prove triassiali
Video di una prova triassiale
httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL
Campioni ottenuti con carotaggio del terreno
16
Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite
cN
qN
N
Nq Nc
tang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
514
538
563
590
619
649
681
716
753
792
835
880
928
981
1037
1098
1163
1234
1310
1393
1483
1582
1688
1805
1932
2072
2225
2394
2580
2786
3014
3267
3549
3864
4216
4612
5059
5563
6135
6787
7531
8386
9371
10511
11837
13388
15210
17364
19926
22993
26689
100
109
120
131
143
157
172
188
206
225
247
271
297
326
359
394
434
477
526
580
640
707
782
866
960
1066
1185
1320
1472
1640
1840
2063
2318
2609
2944
3330
3775
4292
4893
5596
6420
7390
8538
9902
11533
13488
15851
18721
22231
26551
31907
000
007
015
024
034
045
057
071
086
103
122
144
169
197
229
265
306
353
407
468
539
620
713
820
944
1088
1254
1447
1672
1934
2240
2599
3022
3519
4106
4803
5631
6619
7803
9225
10941
13022
15555
18654
22464
27176
33035
40367
49601
61316
76289
020
020
021
022
023
024
025
028
027
028
030
031
032
033
035
036
037
039
040
042
043
045
046
048
050
051
053
055
057
059
061
063
065
068
070
072
075
077
080
082
085
088
091
094
097
101
104
108
112
115
120
000
002
003
005
007
009
011
012
014
016
018
019
021
023
025
027
029
031
032
034
036
038
040
042
045
047
049
051
053
055
058
060
062
065
067
070
073
075
078
081
084
087
090
093
097
100
104
107
111
115
119
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
15
Apparecchiatura per la prova triassiale
Grafico ottenuto con le prove triassiali
Video di una prova triassiale
httpsyoutubeVMfaBgV82C4list=PLwf1bZY6zalBqO84q6JxdgJhM6AFHIFFL
Campioni ottenuti con carotaggio del terreno
16
Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite
cN
qN
N
Nq Nc
tang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
514
538
563
590
619
649
681
716
753
792
835
880
928
981
1037
1098
1163
1234
1310
1393
1483
1582
1688
1805
1932
2072
2225
2394
2580
2786
3014
3267
3549
3864
4216
4612
5059
5563
6135
6787
7531
8386
9371
10511
11837
13388
15210
17364
19926
22993
26689
100
109
120
131
143
157
172
188
206
225
247
271
297
326
359
394
434
477
526
580
640
707
782
866
960
1066
1185
1320
1472
1640
1840
2063
2318
2609
2944
3330
3775
4292
4893
5596
6420
7390
8538
9902
11533
13488
15851
18721
22231
26551
31907
000
007
015
024
034
045
057
071
086
103
122
144
169
197
229
265
306
353
407
468
539
620
713
820
944
1088
1254
1447
1672
1934
2240
2599
3022
3519
4106
4803
5631
6619
7803
9225
10941
13022
15555
18654
22464
27176
33035
40367
49601
61316
76289
020
020
021
022
023
024
025
028
027
028
030
031
032
033
035
036
037
039
040
042
043
045
046
048
050
051
053
055
057
059
061
063
065
068
070
072
075
077
080
082
085
088
091
094
097
101
104
108
112
115
120
000
002
003
005
007
009
011
012
014
016
018
019
021
023
025
027
029
031
032
034
036
038
040
042
045
047
049
051
053
055
058
060
062
065
067
070
073
075
078
081
084
087
090
093
097
100
104
107
111
115
119
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
16
Tab TER1 - Coefficienti per il calcolo del carico limite
cN
qN
N
Nq Nc
tang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
514
538
563
590
619
649
681
716
753
792
835
880
928
981
1037
1098
1163
1234
1310
1393
1483
1582
1688
1805
1932
2072
2225
2394
2580
2786
3014
3267
3549
3864
4216
4612
5059
5563
6135
6787
7531
8386
9371
10511
11837
13388
15210
17364
19926
22993
26689
100
109
120
131
143
157
172
188
206
225
247
271
297
326
359
394
434
477
526
580
640
707
782
866
960
1066
1185
1320
1472
1640
1840
2063
2318
2609
2944
3330
3775
4292
4893
5596
6420
7390
8538
9902
11533
13488
15851
18721
22231
26551
31907
000
007
015
024
034
045
057
071
086
103
122
144
169
197
229
265
306
353
407
468
539
620
713
820
944
1088
1254
1447
1672
1934
2240
2599
3022
3519
4106
4803
5631
6619
7803
9225
10941
13022
15555
18654
22464
27176
33035
40367
49601
61316
76289
020
020
021
022
023
024
025
028
027
028
030
031
032
033
035
036
037
039
040
042
043
045
046
048
050
051
053
055
057
059
061
063
065
068
070
072
075
077
080
082
085
088
091
094
097
101
104
108
112
115
120
000
002
003
005
007
009
011
012
014
016
018
019
021
023
025
027
029
031
032
034
036
038
040
042
045
047
049
051
053
055
058
060
062
065
067
070
073
075
078
081
084
087
090
093
097
100
104
107
111
115
119
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
17
14 - Spinta delle terre
I terreni sciolti non possono essere sistemati in modo da avere una superficie verticale o che
si avvicini alla verticale perchegrave essi franano e vanno a disporsi spontaneamente secondo una
superficie inclinata di un angolo pari allrsquoangolo di attrito nel caso di terreni incoerenti e secondo
un angolo maggiore dipendente dal grado di coesione nel caso di terreni coerenti
Volendo sistemare un terreno in modo da avere una superficie verticale egrave allora necessario
realizzare una opera che impedisca al terreno di franare Tale opera in generale viene detta opera di
sostegno ed egrave costituita nei casi piugrave frequenti da un muro di sostegno
Il muro di sostegno impedisce al terreno di franare esso riceve quindi dal terreno stesso una
spinta che tende a ribaltare o comunque a far muovere il muro Il muro stesso deve essere in grado
di resistere a tale spinta e pertanto deve essere adeguatamente dimensionato Ersquo necessario quindi
per poter correttamente dimensionare il muro conoscere la spinta che il terreno puograve esercitare su di
esso
La spinta del terreno puograve venire calcolata solo in modo approssimato vista la incertezza del
materiale per fare ciograve esistono diverse teorie sia numeriche che grafiche le quali danno risultati
accettabili
Ci occuperemo nel seguito della spinta dei terreni incoerenti ed in zona non soggetta a
terremoti Tale spinta dipende dal peso specifico del materiale dallrsquoangolo di attrito del terreno
dallrsquoinclinazione della superficie del terreno rispetto allrsquoorizzontale dalla inclinazione del
paramento interno del muro rispetto alla verticale e dallrsquoattrito tra la superficie interna del muro ed
il terreno stesso
La superficie di scorrimento secondo cui frana il terreno egrave di forma concava come puograve
vedersi osservando la superficie del terreno dopo che si egrave verificata una frana Tale superficie
tuttavia viene considerata piana per semplificare il problema
Diverse sono le teorie che permettono di determinare la spinta del terreno una di queste egrave
dovuta a Coulomb e si basa sullrsquoequilibrio delle forze che agiscono sul terreno Di seguito viene
riportata la dimostrazione di come si ottiene la spinta di un terrapieno nel caso piugrave semplice ossia
nel caso di superficie del terreno orizzontale parete interna del muro (quella a contatto col terreno)
verticale e trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
18
tan PS
tanPS
1 4 1 ndash La Teoria di Coulomb
La teoria di coulomb si basa sullrsquoequilibrio limite di tutte le forze che agiscono sul terreno
In figura la parte colorata ABC rappresenta il terreno che tende a franare essa viene
chiamata cuneo di spinta percheacute ha forma triangolare e profonditagrave di 100 metri In rosso egrave
rappresentato il piano di scorrimento del terreno tale piano egrave inclinato di un angolo α rispetto
allrsquoorizzontale angolo che non si conosce ma che si troveragrave in base ad alcune considerazioni che
faremo nel seguito f egrave lrsquoangolo di attrito interno del terreno S egrave lrsquoazione che il muro esercita sul
cuneo di spinta che egrave uguale e contraria allrsquoazione che il cuneo di spinta esercita sul muro P egrave il
peso del terreno N egrave la reazione normale del terreno sottostante T egrave la reazione tangenziale del
terreno sottostante dovuta allrsquoattrito del cuneo di spinta che scorre sul terreno sottostante R egrave la
risultante tra N e T ed egrave inclinata di f rispetto alla normale n alla superficie di scorrimento infatti
la forza di attrito T deve essere
T = N tan(ϕ)
Per determinare la spinta S imponiamo lrsquoequilibrio tra tutte le forze Per avere lrsquoequilibrio egrave
necessario che la somma dei momenti di tutte le forze rispetto ad un punto generico si pari a zero e
che la somma delle forze si anche uguale a zero La prima condizione porta a concludere che le tre
forze convergono in un punto infatti in tal caso la somma dei momenti rispetto a quel punto egrave zero
essendo nulle le distanze delle forze stesse dal punto La seconda condizione somma delle forze
pari a zero egrave soddisfatta se il poligono delle forze egrave chiuso come mostrato in figura Si ha allora
che
(1)
Per determinare ε osserviamo che lrsquoangolo β angolo formato dalla orizzontale e la normale
alla superficie di scorrimento egrave pari a
β=90 -α e che si ha β +ϕ+ε + 90 = 180 e quindi ε = 90 ndash ϕ - β
ε= 90 ndashϕ ndash (90 ndash α) = α-ϕ pertanto si ha
(2)
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
19
at KhS 2
2
1
Per calcolare il peso P calcoliamo prima il lato
dove con t abbiamo indicato il peso specifico del terreno
Sostituendo nella (2) si ha
gghS t tan90tan2
1 2 (3)
Il valore della spinta varia al variare dellrsquoangolo a che come detto egrave incognito a noi interessa il
valore massimo di tale spinta Si puograve dimostrare che tale massimo si ha quando lrsquoangolo a egrave tale che
la superficie di scorrimento sia bisettrice dellrsquoangolo 90 ndash f ossia si abbia
2
90
2
90
sostituendo nella (3) si ha
2
90tan
2
9090tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
90tan
2
1 2
gghS t
2
90tan
2
1 22 ghS t
Se indichiamo con
2
90tan 2
gKa si ha
Ka viene detto coefficiente di spinta attiva del terreno
Una formula generale che permette di tenere conto anche dellrsquoangolo di attrito terra-muro
δ dellrsquoangolo formato tra la superficie del terreno e lrsquoorizzontale ω dellrsquoangolo formato tra la
parete interna del muro e la verticale β egrave la seguente
2
2
2
1
CosCos
SenSenCosCos
CosK a
I coefficienti di spinta attiva Ka calcolati secondo tale formula nel caso di terreno orizzontale e
parete interna del muro quella a contatto col terreno verticale sono riportati nella seguente tabella
Si egrave considerato nel calcolo lrsquoattrito tra terreno e parete interna del muro Tab TER2
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Ka 0438 0421 0405 0389 0375 0360 0347 0334 0321 0309 0297 0286 0275 0264 0254
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ka 0235 0225 0216 0208 0200 0191 0184 0176 0169 0162 0155 0148 0142 0135 0129
90tan2
190tan
2
1
2
2hhhPhBC
P ttt
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
20
142 - Metodo grafico di Poncelet
Tale metodo permette di calcolare la spinta tenendo conto della inclinazione del terreno sulla
orizzontale della inclinazione del paramento interno del muro β rispetto alla verticale dellrsquoangolo di attrito terra-muro δ La spinta S saragrave inclinata rispetto alla normale al muro
dellrsquoangolo δ (quindi di un angolo + rispetto alla orizzontale) e saragrave applicata ad un terzo
dellrsquoaltezza
Per utilizzare tale metodo egrave necessario eseguire in scala il disegno riportato in figura
Dopo avere disegnato il paramento interno del muro e la superficie del terreno si eseguono le
seguenti operazioni
1 ndash si traccia a partire da punto A una retta inclinata dellrsquoangolo di attrito fino ad intersecare la superficie del terreno nel punto C
2 ndash si traccia una retta con angolo + rispetto al paramento interno del muro a partire da
punto B fino ad incontrare la retta A ndash C nel punto F tale retta prende il nome di retta di
direzione
3 ndash si traccia il semicerchio A-C
4 ndash si traccia a partire dal punto F la perpendicolare alla retta A-C fino ad incontrare il
semicerchio nel punto G
5 ndash facendo centro in A e con apertura di compasso A-G si traccia un arco di cerchio fino ad incontrare nel punto E la retta A-C
6 ndash si traccia il segmento E-D parallelo alla retta di direzione
7 ndash si traccia il segmento D-H a partire dal punto D perpendicolare alla retta A-C
Il valore della spinta S saragrave 2
tnJS
J ed n dovranno essere letti nella scala delle lunghezze del disegno
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
21
143 - Diagramma delle pressioni
Su ogni punto della parete che viene messa per sostenere il terreno ed impedirgli di franare il
terreno eserciteragrave una pressione la somma di tutte queste pressioni egrave proprio la spinta che abbiamo
calcolato in precedenza Tale pressione egrave zero alla sommitagrave del muro e massima alla base dello
stesso ossia ha un andamento triangolare
come mostrato in figura
La spinta essendo la somma di tutte queste
pressioni egrave anche larea del triangolo delle
pressioni e poichegrave la risultante di tali
pressioni deve essere applicata nel
baricentro del triangolo la essa egrave appunto
applicata ad un terzo dellaltezza h dove si
trova il baricentro del triangolo Se
vogliamo calcolare la pressione massima
calcoliamo prima larea del triangolo area
che egrave uguale alla spinta S
quindi da essa calcoliamo la pressione massima
Questa formula ci saragrave utile inseguito
144 - Spinta del terreno con sovraccarico
Se sul terreno che sovrasta il muro insiste un carico ripartito esso produce un incremento
della spinta sul muro Per determinare la spinta in questa situazione si trasforma il carico in altezza
di terreno avente le stesse caratteristiche del terreno che insiste sul muro
Allora detta h1 lrsquoaltezza di terra equivalente al
carico distribuito si ha
Qh e quindi
Qh
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
22
Quindi abbiamo una situazione fittizia mostrata in figura col diagramma delle pressioni sul muro
che ha una forma trapezoidale
La spinta egrave pari allarea del
trapezio
Occorre calcolare le pressioni
massima e minima
Noi sappiamo calcolare la
spinta che agirebbe su un muro
di altezza h+h indichiamola
con S
at KhhS 2)(2
1
Siccome per quanto detto nel paragrafo precedente essa egrave larea del triangolo possiamo utilizzarla
per calcolare Pmax
semplificando si ha Per calcolare Pmin si puograve fare una proporzione tra
triangoli che omettiamo Il risultato saragrave Avendo questi due valori possiamo
calcolare la spinta sul muro
essendo
Abbiamo distinto nel calcolare la spinta i due contributi quello del terreno
e quello del sovraccarico
percheacute i coefficienti da applicare sono diversi essendo la spinta del terreno un carico permanente e
la spinta dovuta al sovraccarico un carico variabile Per il punto di applicazione la spinta dovuta al
terreno ST saragrave sempre applicata ad
mentre la spinta dovuta al carico variabile SQ saragrave sempre
applicata ad
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
23
2632103182
1 2 KNS at KhS 2
2
1
Esercizio svolto N 1
Calcolare la spinta che un terreno con peso specifico 18 KNm3 angolo di attrito di 28deg
coesione 0 esercita su un muro di altezza pari a m 300
Svolgimento
2
90tan 2
gKa
= 032
Esercizi modulo 1
Esercizio N 1
Data la fondazione in figura calcolare il carico limite
1=19 KN 2=20 KN
a=12 m b=20 m
Esercizio N 2
Ricercare la spinta massima che si ha al variare dellrsquoangolo α secondo la formula
gghS t tan90tan2
1 2
facendo variare lrsquoangolo da a 90deg di 5deg Verificare che la massima spinta si ha per 2
90
Dati
ϕ= 26deg h= 320 m t= 18 KN
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
24
Esercizio N 3
Calcolare la spinta di un terrapieno di altezza m 340 =34deg = 19 KN superficie del terreno
inclinata di 10deg rispetto allrsquoorizzontale
Esercizio N 4
Calcolare la spinta del terrapieno dellrsquoesercizio 3 col metodo grafico di Poncelet
Esercizio N 5
Calcolare le spinte del terrapieno con sovraccarico di 20 KNm2 e punti di applicazione
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
25
2 - I Muri di sostegno
21 - Generalitagrave
I muri di sostegno sono opere che si utilizzano per impedire il verificarsi di frane di terreni
Sono molto usati nelle costruzioni stradali per limitare la lunghezza delle scarpate sia in sterro che
in riporto Possiamo dividerli in muri di sostegno a gravitagrave e in muri di sostegno in cemento armato
I primi devono la loro resistenza principalmente grazie al loro peso e possono essere realizzati sia
in calcestruzzo semplice che in muratura generalmente di pietrame i secondi devono la propria
resistenza principalmente alla loro forma essendo piugrave leggeri di quelli a gravitagrave
La forma dei muri di sostegno in calcestruzzo semplice puograve essere rettangolare per muri di
modesta altezza trapezoidale con entrambe le facce inclinate o solo una inclinata e lrsquoaltra verticale
o a parallelogramma inclinato verso il terreno
Ecco alcune delle piugrave comuni sezioni dei muri in cls
I muri in calcestruzzo armato hanno in genere forma a T rovesciata Gli spessori di tali muri
sono modesti se paragonati a quelli in cls la fondazione egrave solidale con il muro grazie allrsquoeffetto di
collegamento delle armature mentre nei muri in cls la fondazione ed il muro vanno consederate
separati
Muro in ca con suola di monte e di valle
di lunghezza paragonabili
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
26
Muro con suola a monte molto larga e suola a valle
quasi assente
Puograve essere adottata nel caso in cui non egrave possibile
invadere con lrsquoopera il terreno a valle In altri casi puograve
essere necessaria la situazione opposta ossia suola a
valle estesa e suola a monte quasi assente In questo
tipo di muro il contributo piugrave importante per la stabilitagrave
viene fornita dal terreno che insiste sulla suola di
monte
Muri a contrafforti interni
Si usano per altezze importanti I contrafforti
possono essere entro terra come lrsquoesempio in
figura o fuori terra ossia allrsquoesterno
Muro a mensola con sbalzo a monte
Muro con dente di fondazione Si usa tale soluzione nel caso in cui non si riesca a
soddisfare la verifica a scorrimento
Muro con contrafforti esterni
Muro a gabbioni
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
27
22 - Azioni statiche sul muro
Consideriamo il muro di sostegno in calcestruzzo semplice in figura Le azioni statiche che
agiscono su di esso in assenza di terremoto sono quelle mostrate e sono
Peso proprio del muro diviso per
comoditagrave nelle componenti P1 P2 Pf
Spinta del terreno ST scomposta nelle
sue componenti orizzontali e verticali
rispettivamente STO ed STV
Nel caso sia presente il carico variabile
bisogneragrave considerare anche la spinta
dovuta al carico variabile SQ scomposta
nelle sue componenti orizzontali e
verticali rispettivamente SQO ed SQV
Peso del terreno sulla fondazione Pt
Calcolo delle azioni statiche
Le azioni statiche si calcolano per lrsquoesempio in figura nel modo seguente
Pesi del muro
cmHBP 11
Dove c egrave il peso specifico del calcestruzzo assunto in genere pari a 2400 daNm3
cmHBP 22
2
1
cfff HBP
dove Bf egrave la base della fondazione pari a D1 + B1 + B2 + D2
Peso del terreno insistente sul dente di fondazione
tmHDPt 1 dove t egrave il peso specifico del terreno
Spinta statica del terreno
atT KhS 2
2
1
Spinta statica dovuta allrsquoeventuale sovraccarico
aQ KhQS
Dove
h = Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione h = Hm nel caso di verifica del solo muro
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
28
2
90tan2
aK
Egrave il coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche cioegrave calcolato in assenza di
terremoto
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno dovute al solo terreno
Analogamente le componenti orizzontali e verticali della spinta dovute allrsquoeventuale sovraccarico
aranno
Dove egrave lrsquoangolo di attrito terra ndash muro che puograve assumersi pari a 3
2
Nel caso di terreno orizzontale (ω=0) paramento interno del muro verticale (β=0) e
trascurando lrsquoattrito tra terreno e muro di sostegno (δ=0) per Ka si puograve utilizzare la formula
seguente che trascura lattrito tra terreno e muro di sostegno
In questo caso la spinta saragrave orizzontale Si osserva perograve che vista lrsquoattuale normativa egrave sempre bene
considerare il contributo dellrsquo attrito terra - muro percheacute altrimenti le dimensioni dei muri progettati
sarebbero ancora maggiori
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
29
23 - Verifiche
Sotto lrsquoazione della spinta del terreno il muro puograve ribaltarsi o spostarsi orizzontalmente A
tali movimenti si oppongono le forze peso del muro insieme alla componente verticale della spinta
ed al peso del terreno che grava direttamente sulla fondazione
Nei muri in calcestruzzo semplice inoltre il muro in elevazione e la fondazione non sono
un unico corpo sia percheacute i getti del calcestruzzo non vengono eseguiti nello stesso tempo sia
percheacute il calcestruzzo non resiste a trazione egrave possibile quindi che il muro si ribalti o si muova
indipendentemente dalla fondazione come mostrato nelle seguenti figure
1 2 3 4
1) Muro e fondazione scivolano insieme
2) Il muro scivola sulla fondazione
3) Il muro e la fondazione si ribaltano insieme
4) Il muro in elevazione si ribalta sulla fondazione
Le verifiche di stabilitagrave da eseguire allora sono
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione rispetto al terreno di
fondazione
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a ribaltamento del solo muro
Oltre a tali verifiche va eseguita la verifica a schiacciamento del terreno di fondazione e la
verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando si devono eseguire le verifiche a
scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento la spinta
va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
Le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
30
Secondo le modifiche introdotte con le norme 2018 la sola verifica a stabilitagrave globale si
esegue con lrsquoapproccio 1 combinazione 2 utilizzando per i carichi i coefficienti EQU (equilibrio)
(EQU+M2+R2)
Le altre verifiche capacitagrave portante della fondazione (schiacciamento) a ribaltamento e a
scorrimento si eseguono con lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1
09 1 1
Sfavorevole 11 13 1
Permanenti non strutturali1 Favorevole
γG2
08 08 08
Sfavorevole 15 15 13
Varabili Favorevole
γG1
0 0 0
Sfavorevole 15 15 13
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti Per la
spinta delle terre si fa riferimento ai coefficienti γG1
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA
QUALE APPLICARE IL
COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1) (M2)
Tangente dellrsquoangolo di
resistenza al taglio Tan φ
γφ 1 125
Coesione efficace crsquo γc 1 125
Resistenza non drenata cuk γcu 1 14
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3) Capacitagrave portante della fondazione 14 Scorrimento 11 Ribaltamento 115 Resistenza del terreno a valle 14
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
31
2
2
1THKatS
231 - Verifica a scorrimento del complesso muro+fondazione
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro + fondazione rispetto al terreno sono le
forze orizzontali costituite in questo caso solo dalla componente orizzontale della spinta La forza
che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che nasce tra fondazione e terreno Tale forza
di attrito egrave proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che
dipende dalla natura delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo con terreno tale
coefficiente di attrito puograve calcolarsi con la formula
fa = tang φ
con φ si egrave indicato lrsquoangolo di attrito
tra terreno e fondazione Il suo valore
puograve essere assunto le a φ
Ricordiamo che lapproccio di verifica
egrave necessariamente lrsquoapproccio 2 che
prevede i coefficienti M1 pari a 1
pertanto i parametri di resistenza non
vanno ridotti
Calcolo della spinta statica
Essa dipende dallangolo di attrito del terreno
Le componenti orizzontali e verticali della spinta saranno
CosSS TTO - componente orizzontale della spinta dovuta al terreno
SenSS TTV - componente verticale della spinta dovuta al terreno
CosSS QQO - componente orizzontale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
SenSS QQV - componente verticale della spinta dovuta allrsquoeventuale presenza del carico
variabile
Per lrsquoangolo δ si puograve assumere
Le forze peso sono quelle che danno stabilitagrave allo scorrimento esse vanno moltiplicate per il
relativo coefficiente γG1 della tabella A cosigrave come la componente verticale della spinta dovuta al
solo terreno mentre tranne la componente verticale della spinta dovuta al sovraccarico va
moltiplicato per γQ
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
32
Il peso del carico variabile sul dente di fondazione non va considerato percheacute favorevole La resistenza dovuta allattrito tra la fondazione in calcestruzzo ed il terreno egrave data da
Per φ puograve essere assunto un valore pari a
La forza che tende a fare slittare il muro egrave data dalla somma delle forze orizzontali In questo caso
abbiamo solo le componenti orizzontali della spinta
QVTOoE SSFR
Per la verifica deve risultare
Esercizio svolto 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno di fondazione il muro avente le seguenti dimensioni
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 =
020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q =
900 daNmq
La forza che tende a fare scivolare lrsquoinsieme muro +
fondazione rispetto al terreno sono le forze orizzontali
costituite in questo caso solo dalle componenti orizzontali della
spinta (quella dovuta al terreno e quella dovuta al sovraccarico)
La forza che si oppone a tale scorrimento egrave la forza di attrito che
nasce tra fondazione e terreno Tale forza di attrito egrave
proporzionale alla forza normale agente sul terreno e ad un coefficiente di attrito che dipende dalla natura
delle superfici a contatto in questo caso calcestruzzo - terreno tale coefficiente di attrito puograve calcolarsi con
la formula
fa = tang φ con φ
si egrave indicato lrsquoangolo di attrito tra terreno e fondazione
Per la verifica come da normativa utilizziamo lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico in base ai coefficienti forniti dalla normativa e
riportati nella tabella precedente colonna A1
Carichi Effetto Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole γG1 =1
Peso proprio terreno sul dente di fondazione favorevole γG2 =1
Carico accidentale sul dente di fondazione favorevole γ Q =0
Spinta dovuta al solo terreno sfavorevole γG1 =13
Spinta dovuta al sovraccarico Sfavorevole γQ= 15
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
33
Per i parametri di resistenza abbiamo la seguente tabella
PARAMETRO
GRANDEZZA ALLA QUALE
APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTE
PARZIALE
γM
(M1)
Tangente dellrsquoangolo di resistenza
al taglio Tan φ
γφ 1
Coesione efficace crsquo γc 1
Resistenza non drenata cuk γcu 1
Peso dellrsquounitagrave di volume γ γγ 1
Per i coefficienti parziali abbiamo la seguente tabella
Verifica Coefficiente parziale (R3)
Capacitagrave portante della fondazione 14
Scorrimento 11
Ribaltamento 115
Resistenza del terreno a valle 14
Calcolo del peso proprio del muro
7605400200380011 daNHBP cm
daNHBP cm 160240020036002
1
2
122
daNHBP cfff 59224002600801
Calcolo del peso del terreno insistente sul dente di fondazione
daNHDPt tm 080180010032001
Il coefficiente di spinta attiva viene calcolato tenendo conto dellrsquoattrito terra ndash muro in questo caso lo
si egrave desunto dalla tabella Ter 2 Ka=0297
Calcolo della spinta dovuta al solo terreno
daNKhS atT 4643297060318002
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 3255 daN
= 1185 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
= 904 daN
= 309 daN
Calcolo dellattrito calcestruzzo di fondazione-terreno
daNSSPPPPF QQVGTVtfv 21013513091)18510801562216027605()( 121
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
34
daNSSFE QQGTOSD 5685518913125532
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
35
2
1 2
mT HKatS
232 - Verifica a scorrimento del solo muro sulla fondazione
Questa verifica va eseguita solo per i muri di sostegno in muratura e per quelli in
calcestruzzo semplice poicheacute il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separati Non va
eseguita per i muri in calcestruzzo armato per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono
collegati e resi un unico corpo solido dalle armature metalliche
La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla
fondazione le due superfici a contatto quindi questa volta sono calcestruzzo-calcestruzzo il
coefficiente di attrito si puograve assumere pari a 075 Anche in questo caso naturalmente vanno
applicati i coefficienti delle tabelle viste in precedenza in base allapproccio di verifica
La spinta da considerare egrave solo quella agente sul muro in elevazione
La formula di verifica egrave la seguente
dove
Somma di tutte le forze orizzontali
Esercizio svolto 2
Verificare il muro dellrsquoesercizio precedente a scorrimento rispetto alla fondazione
Riportiamo i dati dellrsquoesercizio precedente
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m
Bf = 180 m angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
Nellrsquoesercizio precedente si erano calcolati i pesi del muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Calcolo della spinta dovuta al terreno
dNKhS amt 4062297000380012
1
2
1 22
Calcolo della spinta dovuta al sovraccarico
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al solo terreno
= 823 daN
Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della spinta dovuta al sovraccarico
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
36
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
37
233 - Verifica a ribaltamento del complesso muro + fondazione
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto O il
momento che provoca il ribaltamento viene detto momento
ribaltante ed egrave dovuto alla componente orizzontale della spinta
mentre il momento che si oppone al ribaltamento egrave detto
momento stabilizzante ed egrave dovuto alle forze verticali
Il momento stabilizzante si calcola considerando i coefficienti
scelti in base allapproccio 2
22122211
112222221
11223
2
2DBBSDBB
DP
BPDBPDB
BPM GTVGt
f
GfGGstab
La componente verticale della spinta dovuta al carico variabile essendo favorevole alla stabilitagrave
non viene presa in conto
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
2321
mGQO
mGTOribD
hS
hSME
La resistenza a ribaltamento che qui indichiamo con RD viene calcolata dividendo il momento
stabilizzante per il coefficiente parziale γR3 che vale 115
La formula di verifica egrave la seguente
Esercizio svolto 3
Eseguire la verifica a ribaltamento del complesso muro-fondazione del muro dellrsquoesercizio
precedente
Per tale verifica si deve usare necessariamente la combinazione 2 (A1 + M1 +R3) i parametri da
utilizzare sono quelli mostrati nelle tabelle seguenti
Carichi Effetto (A1) Coefficiente parziale γG
Peso proprio del muro favorevole 1
Peso proprio del terreno sul dente di fondazione favorevole 1 assimilandolo a carico strutturale
Carico variabile sul dente di fondazione favorevole 0
Carico variabile ai fini del calcolo della spinta sfavorevole 15
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
38
t
57701
5770tan
Grandezza Valore Coefficiente Parziale
(M1) Formula
Valore
corretto
Peso specifico
terreno 1800 daNmc γγ=1
1800 dNmc
Tan(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
φ=30
γR3=115
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020
m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN
STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
Anche per questa verifica essendo il contributo della spinta dovuto
al carico variabile favorevole alla stabilitagrave non viene presa in
considerazione
Calcolo del momento stabilizzante
111
111221222
111
223
2
2DBSDBS
DBP
BPDBPDB
BPM FQQVFGTVfGt
f
GfGGstab
La resistenza egrave data da
Lrsquoazione destabilizzante egrave data da
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
47272
60000351904
3
600003312253
232 daNm
hhS
hhSME
fm
QOQO
fm
GTOribD
15115200801513092008013118512
20080110801
2
80115922200600
3
211602200600
2
80017605
daNm
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
39
234 - Verifica a ribaltamento del solo muro
Cosigrave come per la verifica a scorrimento anche questa verifica a ribaltamento del solo muro
va eseguita solo per i muri in calcestruzzo semplice e per i muri in muratura Essa considera la
possibilitagrave che sia il solo muro in elevazione a ribaltarsi come mostrato in figura
La spinta agente va calcolata come per la verifica a scorrimento del
solo muro considerando la sola altezza del muro
Il ribaltamento tende ad avvenire intorno al punto Orsquo
Il momento stabilizzante si calcola cosigrave
QQVGTVGGstab SBBSBPBB
PM
2112122
111
3
2
2
Il momento ribaltante si calcola cosigrave
232
mQQO
mGTOribD
hS
hSME
Indicando con RD la resistenza a ribaltamento si ha
γR3=115
La formula di verifica egrave la seguente
amtT KhS 2
2
1
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
40
Esercizio svolto 4
Eseguire la verifica a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio precedente
Riportiamo i dati geometrici del muro e del terreno
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi del solo muro P1 =5760 daN P2 = 2160 daN
Le componenti delle spinte agenti sul solo muro
STO =2261 daN STV =823 daN SQO = 754 daN SQV=274 daN
Calcolo del momento stabilizzante
697860080051274600800318236003
21602600
2
80017605
3
2
22112122
111
daNm
SBBSBPBB
PM QQVGTVGGstab
Calcolo del momento ribaltante
63642
00351754
3
003312612
2322 mdN
hS
hSME m
GQOm
GTOribD
La formula di verifica egrave la seguente
La verifica egrave soddisfatta
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
41
eBB 2
235 - Verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
Con questa verifica andiamo a vedere se il terreno di fondazione sopporta il peso del muro e
le azioni che agiscono su di esso Ossia che il terreno di fondazione non ldquosprofondirdquo cioegrave non si
rompa
Il calcolo della tensione limite del complesso fondazione-terreno viene eseguita mediante la
formula di Terzaghi modificata per tenere conto della eccentricitagrave del carico e della sua
inclinazione Nel caso di terreno con coesione nulla e con i simboli della figura saragrave
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
dove
lim egrave la tensione di rottura del terreno
N ed qN sono coefficienti che si trovano tabellati in funzione dellrsquoangolo di attrito del
terreno
iiq sono coefficienti che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolati
mediante
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq dove H e V sono le componenti orizzontali e verticali dellrsquoazione
complessiva agente sul terreno che si possono calcolare rispettivamente
oFH vFV
Per tenere conto della eccentricitagrave del caricoimponiamo che
la risultane delle forze verticali cada nel baricentro della
sezione ridotta di base B per fare ciograve egrave piugrave semplice calcolare
i momenti rispetto al punto o e calcolare la distanza u dal
bordo piugrave compresso la base B saragrave Essendo
si ha
e lo si
prende in valore assoluto
La risultante delle forze verticali dal bordo della fondazione si calcola cosigrave
21121 )( GQVqGTVtfv SDQSPPPPFV
Mentre la risultante delle forze orizzontali egrave data dalla somma delle componenti orizzontali della
spinta
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo compresso u sappiamo che
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
42
t
tan
La resistenza a rottura del terreno si calcola moltiplicando il carico limite che ricordiamo egrave
una tensione per lrsquoarea drsquoappoggio della fondazione che egrave larga B e profonda un metro
Mentre lrsquoazione destabilizzante egrave ED = V Affinchegrave la verifica sia soddisfatta dovragrave
risultare
Esercizio svolto 5
Eseguire la verifica a schiacciamento del terreno del muro dellrsquoesercizio precedente
Per questa verifica dobbiamo usare lrsquoapproccio 2 (A1+M1+R3)
Vediamo come modificare i parametri di carico e di resistenza in base ai coefficienti forniti dalla normativa
e riportati nelle tabelle precedenti
Carichi Effetto Coefficiente
parziale
Peso proprio del muro sfavorevole γG =13
Peso proprio terreno sul dente di fondazione sfavorevole γG =13
Carico accidentale sul dente di fondazione sfavorevole γQ =15
Spinta dovuta al terreno sfavorevole γG =13
Spinta dovuta al carico variabile sfavorevole γQ =15
Grandezza Valore
Coefficiente
parziale
(M1)
Formula Valore corretto
Peso specifico terreno 1800 dNmc γγ=1
Invariato
1800 dNmc
Tang(φ) tan(30) = 0577 γφ=1
Invariato
φ=30
γR3 =14
Riportiamo dati dellrsquoesercizio
B1 =080 m Hm = 300 m B2 =060 HF =060 m D1 = D2 = 020 m Bf = 180 m
angolo di attrito interno del terreno =30deg Q = 900 daNmq
I pesi e le spinte giagrave calcolate
P1 = 5760 daN P2 =2160 daN Pf = 2592 daN Pt = 1080 daN STO =3225 daN STV =1185 daN
SQO = 904 daN SQV=309 daN
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
43
Calcolo del sovraccarico agente sul dente di fondazione
1809002001 dNQDPS
daN
PSSPPPPFV qSQQVGTVtfv
34417511805130931)18510801592216027605(
)( 121
Per calcolare la distanza della risultante dal bordo della fondazione dobbiamo ricalcolare i momenti
ribaltante e stabilizzante
Calcolo del momento stabilizzante
232
223
2
2
11
1111
112221221
1
fm
QQO
fm
QTOFQSFQQV
FGTVGFtGF
FGGO
hhS
hhS
DBPDBS
DBSD
BPB
PDBPDBB
PM
mdN
253152
60000351904
3
60000351225351
2
20080118051200801309312008011851
312
200801080131
2
801592231200600
3
21602301200600
2
8017605
Calcolo della distanza u della risultante dal bordo piugrave compresso
761020280120208802
801
2
meBBuB
e
Calcolo del carico limite
qftt iHNqiB
Nq 2
lim
I coefficienti N qN secondo la tabella valgono N =2240
qN =1840
Calcolo dei coefficienti iiq
Bisogna calcolare la somma delle forze orizzontali H
2
1
V
Hi
3
1
V
Hiq
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
44
462034417
54951
2
i 3150
34417
54951
3
qi
6522231506008001401846202
76180014022 2
lim mdaNq
La capacitagrave portante egrave data da
daNBq
RR
D 4772841
1761652221
lim
Lrsquoazione agente ED egrave data dalla somma delle forze verticali V ED = V = 17344 daN
Verifica
La verifica egrave soddisfatta
Esercizi modulo 2
Esercizio N 1
Verificare a scorrimento rispetto al terreno il muro di
sostegno in figura con B= m 080 Bf = m 160
B2 = 040 m D= 020 m t= 18 KN = 32deg
Esercizio N 2
Eseguire la verifica a ribaltamento rispetto al terreno del muro dellrsquoesercizio 1
Esercizio N 3
Calcolare la tensione ammissibile terreno-fondazione e verificare a schiacciamento il muro
dellrsquoesercizio 1
Esercizio N4
Eseguire le verifiche a scorrimento e a ribaltamento del solo muro dellrsquoesercizio 1 Assumere come
coefficiente di attrito calcestruzzo ndash fondazione 075
Esercizio N 5
Dato il terrapieno di altezza m 360 con t=18 KN = 34deg progettare e verificare un muro di
sostegno in cls in zona sismica di II categoria
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
45
Esercizio N 6
Eseguire le verifiche di stabilitagrave del muro di sostegno in
ca in figura con =30deg t= 18 KN
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
46
g
aK mh
maxhV KK 50
24 - Azioni provocate dal sisma
Il terremoto provoca un brusco movimento del terreno movimento che in generale avviene
sia in senso orizzontale che in senso verticale si egrave in presenza quindi di accelerazioni prodotte dal
terremoto per effetto di tali accelerazioni le masse che si trovano sul terreno ed anche il terreno
stesso subiscono delle forze di inerzia date dalla relazione
amF
dove abbiamo indicato con a lrsquoaccelerazione dovuta al sisma
Naturalmente se lrsquoaccelerazione egrave orizzontale la forza
provocata dal sisma saragrave orizzontale mentre se lrsquoaccelerazione egrave verticale la forza che nasce saragrave
verticale Tali forze avranno verso alterno sinistra - destra basso ndash alto
Moltiplichiamo e dividiamo tale relazione per g accelerazione di gravitagrave
g
gamF
Dove con P abbiamo indicato il peso del corpo soggetto allrsquoaccelerazione sismica e con K il
rapporto tra lrsquoaccelerazione sismica e lrsquoaccelerazione di gravitagrave
La normativa indica con Kh il rapporto tra accelerazioni orizzontali e accelerazione di
gravitagrave per le accelerazioni orizzontali e Kv il rapporto tra accelerazioni sismica verticali e
accelerazione di gravitagrave
Tali coefficienti sono fissati dalla normativa nel modo seguente
KPg
agmF
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
47
dove
amax = accelerazione orizzontale massima attesa al sito
g = accelerazione di gravitagrave
Lrsquoaccelerazione massima amax puograve essere valutata con la relazione
ama x = Sag = STSSag
dove
S egrave il coefficiente che comprende lrsquoeffetto dellrsquoamplificazione stratigrafica (SS) e
dellrsquoamplificazione topografica (ST)
ag = rapporto tra lrsquoaccelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido e
lrsquoaccelerazione di gravitagrave
Nella precedente espressione il coefficiente βm assume i valori riportati nella tabella seguente
Categoria di sottosuolo
A B C D E
βm βm
02 lt ag (g) le 04 031 031
01 lt ag (g) le 02 029 024
ag (g) le 01 020 018
Valori massimi del coefficiente di amplificazione topografica ST
Categoria topografica Ubicazione dellrsquoopera o dellrsquointervento ST
T1
Superficie pianeggiante pendii e rilievi isolati con
inclinazione media i le 15deg
- 10
T2
Pendii con inclinazione media i gt 15deg
In corrispondenza della sommitagrave del
pendio 12
T3
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media 15deg le i le 30deg
In corrispondenza della cresta del rilievo 12
T4
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base
e inclinazione media i gt 30deg In corrispondenza della cresta del rilievo 14
Il valore di ag varia in base al luogo in cui si trova la struttura da progettare A tal fine su
tutto il territorio nazionale egrave stato creato un reticolo a maglia quadrata di punti a ciascun nodo del
reticolo egrave stato attribuito un valore di ag I Il calcolo del valore di ag del sito interessato si fa
facendo lrsquointerpolazione lineare dei quattro punti della maglia dentro cui ricade Per eseguire tale
calcolo si puograve utilizzare il programma Spettri NTC scaricabile anche dal sito costruzioni5xoomit
inserendo le coordinate geografiche del sito (latitudine e longitudine) oppure il nome del comune
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
48
Alle azioni statiche viste precedentemente si aggiungono delle forze di inerzia orizzontali
W1 W2 W3 e un incremento di spinta del terreno indicato con S Essa saragrave applicata per muri
liberi di ruotare intorno al piede nello stesso punto di quella statica altrimenti saragrave applicata a metagrave
altezza del muro Non si considerano spinte idrostatiche poicheacute stiamo esaminando il caso di muro
di sostegno al disopra della falda acquifera
Le forze di inerzia W1 W2 Wf Wt dipendono dal coefficiente sismico orizzontale Kh
definito in precedenza
hKPW 11 22 hKPW hff KPW
Le forze di inerzia verticali saranno applicate nel baricentro dei pesi e potranno essere
dirette sia verso il basso (+Kv) che verso lrsquoalto (-Kv) Tali forze non sono rappresentate in figura
Invece di essere considerate separatamente possono essere considerate come incremento
delle forze verticali che cosigrave diventeranno
vt KP 1 vKP 11 vKP 12 vKP 13 vf KP 1
Laccelerazione sismica sul cuneo di spinta provoca un incremento della spinta del terreno
Per calcolare tale spinta tenendo conto anche della variazione di peso del cuneo di spinta dovuta
allaccelerazione verticale si usa la formula seguente
21
2
1atvT KhKS
In caso di presenza di carico variabile Q agisce anche la spinta dovuta a esso
Il coefficiente di spinta attivo si puograve calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe
2
2
2
1)(
CosCos
SenSenCosCos
CosKa
49
Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
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Introducendo langolo ϑ che dipende dallaccelerazione
sismica
Tutte le azioni sono applicate nel baricentro dei
pesi Le azioni sismiche orizzontali sono mostrate nella
figura seguente
24 - Verifiche
Le verifiche da eseguire sono le stesse viste in precedenza e cioegrave
- verifica a scorrimento del complesso muro ndash fondazione sul terreno di fondazione
- verifica a ribaltamento del complesso muro fondazione come se fossero un unico corpo
- verifica a scorrimento del solo muro rispetto alla fondazione
- verifica a ribaltamento del solo muro
- verifica a schiacciamento del terreno di fondazione
- verifica di stabilitagrave globale del complesso terreno ndash muro di sostegno
Ersquo da tenere presente che vanno eseguite due serie di verifiche una con +Kv e lrsquoaltra
con ndashKv
Quando si esegue la verifica sia a scorrimento che a ribaltamento del solo muro la spinta
va calcolata tenendo conto della sola altezza del muro Quando invece si devono eseguire le
verifiche a scorrimento a ribaltamento del muro insieme alla fondazione e quella a schiacciamento
la spinta va calcolata sommando allrsquoaltezza del muro lrsquoaltezza della fondazione
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
50
Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mostrate nella figura sottostante
Anche in questo caso le verifiche dovranno essere eseguite col metodo degli stati limite
come visto in precedenza I parametri da utilizzare sono gli stessi tranne quelli relativi ai carichi
che sono i seguenti
CARICHI EFFETTO Coefficiente
parziale EQU (A1) (A2)
Permanenti Favorevole
γG1 09 1 1
Sfavorevole 1 1 1
Permanenti non strutturali1
Favorevole γG2
0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
Varabili Favorevole
γG1 0 0 0
Sfavorevole 1 1 1
(1) Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es i carichi permanenti portati) siano
compiutamente definiti si potranno adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti
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