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Arche Hybride POTEAU EC2
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I. SOMMAIRE
I. SOMMAIRE ................................................................................................................................................................ 4
II. INTRODUCTION ..................................................................................................................................................... 5
III. SAISIE ..................................................................................................................................................................... 6
A. Données géométriques ................................................................................................................................. 6
B. Chargement ......................................................................................................................................................... 9
IV. HYPOTHESES ..................................................................................................................................................... 11
A. Les méthodes .................................................................................................................................................... 11 1. Imperfections géométriques ...................................................................................................................... 12 2. Méthode simplifiée ......................................................................................................................................... 13 3. Méthode de rigidité nominale .................................................................................................................... 15 4. Méthode de la courbure nominale ........................................................................................................... 16
B. Les hypothèses de ferraillage ................................................................................................................. 18
C. Le calcul au feu ................................................................................................................................................ 19
V. EXERCICE ................................................................................................................................................................. 21
A. Données de l’exercice .................................................................................................................................. 21
B. Enrobage nominal, dispositions constructives et coefficient de fluage à 28 jours . 22 1. Enrobage ........................................................................................................................................................... 22 2. Dispositions constructives........................................................................................................................... 22 3. Coefficient de fluage ..................................................................................................................................... 23
C. Analyse des effets du second ordre .................................................................................................... 24 1. Longueur de flambement (article 5.8.3.2) ........................................................................................... 24 2. Imperfections géométriques ...................................................................................................................... 27 3. Critères permettant de négliger les effets du second ordre .......................................................... 27 4. Cas de la flexion déviée (Article 5.8.9) ................................................................................................. 28
D. Méthode simplifiée (règles professionnelles) ............................................................................... 29
E. Méthode basée sur la rigidité nominale (Art. 5.8.7 EC2) ....................................................... 29
F. Méthode basée sur la courbure nominale (Art. 5.8.8 EC2) ................................................... 30
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II. INTRODUCTION
Un poteau est une poutre droite verticale soumise uniquement à la compression simple centrée.
Le béton résiste très bien à la compression, les armatures sont donc théoriquement inutiles. En
fait, les charges appliquées ne sont jamais parfaitement centrées, pour cette raison, on introduit
des armatures destinées à résister aux moments ainsi crées. Ces moments étant difficiles à
évaluer, les armatures sont calculées forfaitairement dans le cas de bâtiments courants.
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III. SAISIE
A. Données géométriques
La forme du poteau, sa section, sa hauteur, et ses longueurs de flambement dans les deux
directions sont données en haut à gauche de la fenêtre de Arche Poteau, ou bien dans le menu
Hypothèses / Géométrie :
L’EC2 présente deux façons de déterminer les longueurs de flambement :
Longueurs de flambement forfaitaire, dans le cas des éléments isolés de section constante.
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Calcul exact de la longueur de flambement en fonction des coefficients de rigidité aux deux
extrémités.
Cette méthode est très proche de la méthode dite des coefficients « Ka-Kb ».
On distingue deux cas de figure pour le calcul de la longueur de flambement, notée 0l :
Eléments contreventés – structure à nœuds fixes (schéma « f » ci-dessus) :
2
2
1
10
45,01.
45,01..5,0
k
k
k
kLL
Eléments non-contreventés – structure à nœuds déplaçables (schéma « g » ci-dessus) :
2
2
1
1
21
21
0
11.
11
..101
max.
k
k
k
k
kk
kk
LL
ATTENTION, contrairement aux notations utilisées au BAEL, le terme 0L représente la longueur de
flambement de l’élément et non pas la hauteur libre qui correspond à L .
Les coefficients 1k et 2k sont les coefficients de souplesse relatifs des encastrements partiels :
LEI
M
k
avec :
: rotation des éléments s’opposant à la rotation pour un moment fléchissant M.
EI : rigidité en flexion de l’élément comprimé.
L : longueur libre de l’élément comprimé.
Dans le cas d’une ossature avec des poutres et des poteaux au droit du nœud considéré, le
coefficient k peut également s’écrire :
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C’est le rapport des rigidités verticales sur les rigidités horizontales.
Cette méthode est disponible en cliquant sur les icônes :
La fenêtre ci-dessous s’ouvre alors :
L’élancement est calculé automatiquement suivant l’article 5.8.3.2 :
i
l0
L I
4
4
3
3
1
1
4
6
3
5
2
2
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
k
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
k
B
A
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Les caractéristiques de la poutre et du poteau du dessus sont modifiables par l’icône ou
depuis le menu Hypothèses / Géométrie / Extrémité :
B. Chargement
Le chargement se fait par le menu Hypothèses / Charges / Torseur, ou bien par l’icône :
« Torseur en tête de poteau »: les charges horizontales seront reportées en pied de poteaux en
tenant compte du bras de levier.
« Torseur dimensionnant »: les charges données dans la fenêtre « torseurs » seront seules
prises en compte pour le calcul des aciers (ARCHE ne tiendra pas compte du bras de levier pour
les charges horizontales).
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Les conventions de signes sont données par le schéma suivant :
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Inclinaison des bielles: D’après l’article 6.2.3, l’angle
d’inclinaison des bielles est limité à :
1 < cotan < 2,5 soit 21,8° < < 45°
Précision des aciers: Cette case permet de fixer la
précision d'itérations sur les calculs des aciers (plus
elle est petite, plus le calcul sera précis et long).
IV. HYPOTHESES
Les hypothèses de béton armé et de combinaisons sont plus ou moins les mêmes que pour Arche
Poutre.
A. Les méthodes
Les différentes méthodes sont disponibles par l’icône ou par le menu Hypothèses / Calcul /
Méthode.
Plusieurs méthodes sont disponibles pour le calcul :
- Méthode simplifiée
- Méthode de la rigidité nominale (5.8.8)
- Méthode de la courbure nominale (5.8.7) pour
les éléments isolés surtout.
- Méthode générale (5.8.6)
-
Vérification 3D complète : Calcul dans les deux plans,
même si un plan n’est pas défavorable.
Etude 3D systématique : Calcul des courbes
d’interaction
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1. Imperfections géométriques
Quelque soit la méthode appliquée (hors méthode simplifiée), pour le calcul local des éléments, il
convient de prendre en compte les imperfections géométriques, uniquement à l’ELU.
Pour cela, on prend en compte une excentricité initiale définie par :
cm
Lei
2400max
La valeur de « 2cm » correspond est issue de l’annexe nationale française et est susceptible
d’être modifiée dans les documents d’application nationale dans les autres pays.
Critères permettant de négliger les effets du second ordre
L’EC2 indique certains cas dans lesquels il n’est pas nécessaire de prendre en compte les effets
du second ordre :
- « Les effets du second ordre peuvent être négligés s’ils représentent moins de 10% des
effets du 1er ordre » conformément à l’article 5.8.2(6) => il est quasiment impossible
d’informatiser cela, c’est à l’utilisateur de le vérifier s’il impose par exemple la méthode
simplifiée.
- Pour un élément isolé (§5.8.3.1), on peut négliger les effets du second ordre si
l’élancement de l’élément est inférieur à une valeur limite notée lim définie par :
o n
CBA ...20lim
o
cdc
Ed
fA
Nn
. représente l’effort normal relatif
o . ef
A.2,01
1
, si ef n’est pas connu, on peut prendre 0,7 (ce qui correspond à
2ef ).
o 21B avec
cdc
yds
fA
fA
.
. (ratio mécanique d’armatures). Si n’est pas
connu, on peut prendre une valeur de B = 1,1. Au niveau du logiciel, on peut
considérer que la vérification avant calcul sera faite en prenant B = 1,1 puis on
refait une vérification après calcul pour vérifier si B n’est pas inférieure à 1,1 (ce
qui nous donnerait un élancement limite plus petit.
o mrC 7,1 avec
02
01
M
Mrm (rapport des moments du 1er ordre). Si mr n’est pas
connu, on peut prendre C = 0,7.
0201, MM sont les moments du 1er ordre, tels que 0102 MM .
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Si les moments provoquent des tractions sur la même face, il convient de
prendre mr positif (ce qui donne 7,1C ) et de prendre un signe négatif
dans le cas contraire (donc 7,1C ).
En compression simple, on prend en général 1mr .
Dans le cas d’une flexion composée déviée, il faut faire cette vérification dans les deux directions.
Cas des bâtiments (art. 5.8.3.3)
On peut négliger les effets globaux du second ordre dans un bâtiment si on satisfait la condition
suivante :
²
..
6,1.1,
L
IE
n
nkF
ccd
s
sEdv
Avec :
- EdvF , qui représente la charge verticale totale.
- sn représente le nombre d’étages.
- L est la hauteur totale du bâtiment au-dessus du niveau d’encastrement du moment.
- cdE est la valeur de calcul du module d’Young du béton (voir description de la méthode
générale).
- cI est l’inertie (en section non fissurée) des éléments de contreventements. Attention à
bien calculer cette inertie dans le plan de contreventement.
- L’EC2 propose de prendre 31,01 k mais indique que ce coefficient peut être modifié dans
l’annexe nationale de chaque pays (l’annexe Française propose également de prendre
31,01 k ).
- S’il est possible de démontrer que les éléments de contreventements restent en inerties
non-fissurées, on peut remplacer le coefficient 1k par un coefficient 62,02 k (valeur
proposée par l’EC2 et le DAN France, et qui peut être modifiée).
ATTENTION, cette vérification n’est applicable que sous certaines conditions :
L’instabilité en torsion n’est pas dominante (structure « raisonnablement » symétrique).
Les déformations globales dues au cisaillement sont négligeables. C’est le cas par
exemple d’un bâtiment contreventés par voiles sans grandes ouvertures).
Les éléments de contreventement sont encastrés à la base (rotations négligeables).
La charge verticale totale augmente régulièrement à chaque étage.
2. Méthode simplifiée
La méthode simplifiée s’applique sous deux conditions :
- Sollicitation en compression centrée.
- Elancement inférieur à 120.
- 20MPa < fck < 50MPa
- h > 0,15m
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Les formules à utiliser sont les suivantes (issues du livre de Thonier – page 283) :
b : largeur du poteau rectangulaire
D : diamètre de la section circulaire
h : épaisseur du poteau dans le sens du flambement
L0 : longueur de flambement
50,1
ck
cd
ff et
15,1
yk
yd
ff
As : section totale des aciers situés à la distance d’ des parois, disposés en :
- 2 lits pour une section rectangulaire
- 6 barres au moins pour une section circulaire
Enrobage relatif : 3,0"
h
d
Elancement :
- Pour une section rectangulaire de côté h dans le sens du flambement : h
L 12*0
- Pour une section circulaire de diamètre D dans le sens du flambement : D
L0*4
Pourcentage d’acier total :
- Pour une section rectangulaire : %3*
hb
As
- Pour une section circulaire : %3
4
²*
D
As
Remarque : Si on ne connaît pas les valeurs de et , on peut prendre 95,0..61 . Arche
Poteau effectue les itérations suivantes:
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- Un 1er calcul est mené en considérant le coefficient kh = 0,93 => à partir de la section
d’armatures théoriques trouvée, on détermine une armature réelle dans le poteau.
- Une 2nd itération est menée en considérant la valeur exacte de kh déterminée à partir des
armatures réelles en place => cette 2nd itération a pour effet de diminuer légèrement la
capacité résistante du poteau et donc d’augmenter légèrement (le cas échéant) la quantité
d’armature à mettre en place.
3. Méthode de rigidité nominale
Le but est de déterminer une rigidité en flexion, en tenant compte de différents effets :
- Effets de la fissuration.
- Effets de la non-linéarité des matériaux.
- Effets du fluage.
Puis de déterminer une amplification du moment correspondante.
Rigidité nominale
On estime la rigidité à partir de la formule suivante :
sssccdc IEKIEKEI .... .
Avec :
-
cE
cmcd
EE
: valeur de calcul du module d’élasticité du béton ( 2,1cE pour l’EC2 de base
et le DAN français).
- cI : inertie de la section de béton.
- sE : module d’élasticité de l’acier.
- sI : inertie des armatures par rapport au centre de gravité de la section de béton.
- cK est un coefficient qui tient compte des effets de fissuration et du fluage du béton :
o
ef
c
kkK
1
. 21
o 20
1ckf
k (MPa) et 20170
.2
nk avec
cdc
Ed
fA
Nn
. .
Dans le cas de sections entièrement fissurées, il faut utiliser le module effectif du béton :
)1(,
ef
cdeffcd
EE
Coefficient de majoration des moments
Le moment total, incluant les effets du second ordre, est défini comme une valeur majorée du
moment du 1er ordre :
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1
1.0
Ed
BEdEd
N
NMM
est un coefficient qui dépend de la distribution des moments du 1er ordre et du 2nd ordre. Dans
le cas d’élément isolé, de section constante et soumis à un effort normal constant, on peut
déterminer ce coefficient à l’aide de la formule suivante :
0
²
c
Le coefficient 0c dépend de la distribution du moment du 1er ordre :
80 c si le moment est constant.
6,90 c pour une distribution parabolique.
120 c pour une distribution triangulaire symétrique.
Dans le cas des éléments non soumis à une charge transversale, on prend
également 80 c .
Par exemple, pour le module Arche Poteau, on aura systématiquement 80 c .
Dans le cas ou un élément ne rempli pas les conditions précédentes (section variable, effort
normal variable, répartition de moment autres…), on prend 1 . On a alors la formule :
B
Ed
EdEd
N
N
MM
1
0
L’effort BN représente la charge de flambement (charge critique d’Euler) basée sur la rigidité
nominale.
On utilise ensuite ce moment de calcul pour faire un dimensionnement en flexion composée, le
plus souvent en section entièrement comprimée (diagrammes d’interaction).
On voit bien que le calcul doit être itératif car il faut connaître la section d’armature pour pouvoir
déterminer la rigidité nominale et donc les efforts du second ordre.
4. Méthode de la courbure nominale
Cette méthode donne une valeur approchée par excès de la déformée du 2nd ordre.
Moment de calcul
Le moment de calcul vaut : 20 MMM EdEd
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- EdM 0 : moment du 1er ordre incluant les imperfections géométriques.
- 2M : Moment nominal du second ordre.
Lorsque l’élément est soumis à deux moments différents (à chacune de ses extrémités), on peut
les remplacer par un moment équivalent : 0201020 .4,0.4,0.6,0 MMMM e avec ( 0102 MM ).
Il faut prendre les moments 01M et 02M de même signe s’ils provoquent la traction sur la même
face et de signes opposés dans le cas contraire.
Le moment 2M est calculé à partir de la courbure : 22 .eNM Ed
EdN : effort normal agissant de calcul.
c
L
re
2
02 .
1
0L : longueur de flambement.
On prend c = 8 si le moment est constant, c = 10 dans les autres cas.
Calcul de la courbure
Pour déterminer la courbure à partir de la formule ci-dessous, il faut que la section droite soit
constante et que le ferraillage soit symétrique :
0
1..
1
rKK
rr
).45,0(
1
0 dr
yd avec
s
yd
ydE
f
rK : coefficient de correction dépendant de l’effort normal => 1
balu
ur
nn
nnK
o
cdc
Ed
fA
Nn
.
o 1un
o
cdc
yds
fA
fA
.
.
K : coefficient qui tient compte du fluage => 1.1 efK
o 150200
35,0
ckf
De la même façon, on utilise ensuite ce moment de calcul pour faire un dimensionnement en
flexion composée, le plus souvent en section entièrement comprimée (diagrammes d’interaction).
On voit bien que le calcul doit également être itératif car il faut connaître la section d’armature
pour pouvoir déterminer la courbure nominale et donc les efforts du second ordre.
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B. Les hypothèses de ferraillage
Les hypothèses de ferraillage sont disponibles par l’icône ou par le menu Hypothèses /
Ferraillage / Hypothèses.
NB sur les aciers longitudinaux :
Il est donc possible de prendre en compte, ou non, les aciers secondaires dans le calcul de la
résistance des poteaux élancés.
Si la case est décochée, seule la section A des aciers disposés de manière à augmenter
efficacement la rigidité du poteau dans le sens du flambement (en noir ci-dessous) est prise en
compte :
En ce qui concerne les attentes :
NB sur « Aciers secondaires si
Lbda > 35 » qui fait référence à
l’article B.8.4,1 du BAEL91 :
Lorsque l’élancement est
supérieur à 35, il ne peut, sans
justifications plus précises, être
tenu compte que des armatures
disposées de façon à
augmenter le plus efficacement
possible la rigidité du poteau
dans le sens où son moment
d’inertie est le plus faible.
Dans les poteaux carrés, il
s’agit des aciers disposés dans
les angles.
Dans les poteaux rectangulaires
dont le rapport des côtés est
compris entre 0,9 et 1,1, on
applique la règle des poteaux
carrés.
Dans les autres poteaux
rectangulaires, il s’agit des
aciers disposés le long des
grands côtés de la section.
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Leur recouvrement est de : 44 si on choisit 100% de la longueur de scellement (comme par
défaut) ou bien 30 si on choisit 60% de la longueur de scellement. Pourquoi 60 ? C’est ce que
préconise Henri THONIER (au BAEL) car les attentes des poteaux sont généralement
comprimées et pour les barres comprimées :
L’option « Enrobage attentes sup » permet de dissocier les armatures longitudinales du poteau
des attentes. Avec le même enrobage, le programme ne distingue pas les deux barres.
C. Le calcul au feu
Les onglets « Attentes Sup. »
et « Attentes Inf. » permettent
de choisir le type d’attentes en
haut et/ou en bas de poteau,
et de déterminer les armatures
qui les constituent.
Les barres longitudinales des
attentes peuvent être
déterminées par différents
critères :
- Pas d’attentes
- Attentes identiques au
poteau
- Attentes principales
identiques au poteau
- Diamètres attentes
calculées
- Diamètres attentes
imposées
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Pour le moment, à l’Eurocode, seule la méthode
simplifiée est disponible.
La méthode utilisée est la méthode A de l’article 5.2a de
l’EC2-1-2 (section 5 : valeurs tabulées).
Cependant, pour certaines résistances au feu, ce tableau
donne parfois deux recommandations (concernant la
dimension et l’enrobage mini.) et aussi une condition sur
le nombre de barres (= 8). Dans ce cas, Arche Poteau
vérifie la résistance au feu en utilisant la formule de la
méthode A donnée à l’article 5.3.2 (4) :
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V. EXERCICE
A. Données de l’exercice
Classe structurale S4.
Exposition XS2.
Poteau isolé
Béton C30
Dalle: hp = 0,23m; bp = 2,00m; lp = 5,50m
Poteau : h = 4,50m; b = 0,30m; e = 0,30m
Acier classe B :
- Limite d’élasticité caractéristique : fyk = 500MPa
- Module d’élasticité : Es = 200 GPa
- Coefficient de sécurité partiel : s = 1,15
Sollicitations :
Effort normal ELU : NEd = 1,70MN
Moment de flexion en tête et en pied de poteau : M01 = 0,02MN.m
M02 = 0,02MN.m
Moment de flexion quasi-permanent en tête : M0Eqp = 0,01MN.m
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B. Enrobage nominal, dispositions constructives et coefficient de
fluage à 28 jours
1. Enrobage
devnom CCC min
devassdurstdurdurdurbnom CmmCCCCCC 10;;max ,,,min,min,
mmmmmmmmCnom 1010;00040;25max
mmCnom 50
2. Dispositions constructives
Vérification du critère élément de type poteau
Article 9.5.1(1) :
La présente clause traite des poteaux pour lesquels la plus grande dimension h est inférieure ou
égale à 4 fois la plus petite dimension b.
0,3 < 4*0,3 = 1,2m
OK
Vérification du ferraillage longitudinal mini et maxi
Article 9.5.2(2) :
Il convient que la quantité totale d’armatures longitudinales ne soit pas inférieure à As,min.
²63,192
25**4²91,3
15,1
500
70,1*10,0*10,02
254min, cmAcmf
NA HA
yd
Ed
s
OK
Article 9.5.2(3) :
Il convient de limiter l’aire de la section des armatures longitudinales à As,max.
²63,192
25**4²36)3,0*3,0(*04,0*04,0
2
254max, cmAcmAA HAcs
OK
Détermination du ferraillage transversal
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Article 9.5.3(1) EC2 :
Il convient que le diamètre des armatures transversales (cadres, boucles ou armature en hélice)
ne soit pas inférieur à 6 mm ou au quart du diamètre maximal des barres longitudinales, si cette
dernière valeur est supérieure. Il convient que le diamètre des fils du treillis soudé utilisé pour les
armatures transversales ne soit pas inférieur à 5 mm.
mmmm
mmmmlong
transv 25,64
25;6max
4;6max
On prendra 8mm.
Article 9.5.3(3) EC2 :
Il convient de limiter à scl,tmax l'espacement des armatures transversales le long du poteau.
mmmmmmmmmmbs longtcl 300400;300;500min400;;*20minmax,
3. Coefficient de fluage
Le coefficient de fluage (t, t0), définissant le fluage entre les instants t et t0, par rapport à la
déformation élastique à 28 jours.
On prend un taux d’humidité de 50% (environnement intérieur).
302815015,02,1
3,0*3,0*2*200 Cjourstmmm
u
Ah c
3,2);( 0 t
Article 3.1.4(2) EC2 :
Le coefficient de fluage (t, t0) est fonction de Ec, le module tangent, qui peut être pris égal à
1,05 Ecm. Dans les cas où une grande précision n'est pas requise, la valeur obtenue à l'aide de la
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Figure 3.1 peut être considérée comme le coefficient de fluage, sous réserve que le béton ne soit
pas soumis à une contrainte de compression
supérieure à 0,45 fck(t0) à un âge t0, âge du béton au moment du chargement.
On conservera donc la valeur de 2,3.
Remarque : article 5.8.4(1) EC2 :
L'effet du fluage doit être pris en compte dans l'analyse du second ordre, considération étant faite
à la fois des conditions générales concernant le fluage (voir 3.1.4) et de la durée d'application des
différentes charges dans la combinaison de charges considérée.
L’EC2 indique qu’il est possible de prendre en compte, de façon simplifiée, les effets du fluage en
calculant un coefficient de fluage effectif :
Ed
Eqp
efM
Mt
0
0
0 ).,(
Avec :
- ),( 0t est la valeur finale du coefficient de fluage (voir chapitre correspondant).
- EqpM 0 est le moment fléchissant du 1er ordre pour la combinaison quasi-permanente (ELS).
- EdM 0 est le moment fléchissant du 1er ordre sous combinaison ELU.
L’effet de fluage peut être ignoré ( 0ef ) si on vérifie les 3 conditions suivantes :
- 2),( 0 t .
- 75
- hN
M
Ed
Ed 0 , ou h représente la hauteur de la section dans le sens d’application du moment
du 1er ordre.
C. Analyse des effets du second ordre
1. Longueur de flambement (article 5.8.3.2)
Appliquons la méthode des k1-k2.
Moment du second ordre : M = F*y
Equation d’équilibre : *I*y’’ = M
Elancement : i
l f
Longueur de flambement : lf
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Rayon de giration : mS
ab
étonSectiondeb
Inertie
B
Ii 087,0
²3,0
12
3,0*3,0
12
* 33
Force critique d’Euler : 2
**²
f
crl
IEF
En effet :
MIyE '*'*
yFIyE *'*'*
0*'*'* yFIyE
EI
Favecyy 20*''
Solution de type : y = A*cos (x) + B * sin (x)
Conditions aux limites (C.L.):
00)0( Ay
...3,2,10)sin(00)sin(*0)( kavecl
kkllouBlBly
²
²*²**2
l
kIEF
EI
F
²
²**:1
l
IEFkpouret
Flambement si F = Fc !!!
Déformée parabolique Déformée sinusoïdale
ff l
x
l
xeAxy 1***)( 2
fl
xexy
sin*)( 2
ff l
x
lexy
sin**)(
2
2
2*
1 fly
r
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e2 = déformée à mi-hauteur
8*
1*
122
2
ff l
rC
l
re
Avec les C.L. :
²*
1*
122
2
ff l
rC
l
re
Raideur de la rotation des nœuds de liaison :
poteauxéléments l
EI
Mk
Le premier terme correspondant aux éléments s’opposant à la rotation.
Poutre isostatique : l
IEM
***3
Poutre encastrée : l
IEM
***4
Plusieurs éléments : 21 MMM avec
i
iii
éléments l
IEk
M
**
Longueur de flambement pour éléments contreventés:
2
2
1
1
045,0
145,0
1**5,0k
k
k
kll
Avec :
41,010*37,7
10*00,3
2*12
**
*6
**
4
4
3
3
21
p
ppdalle
poteau
l
hbE
h
ebE
l
EI
l
EI
kk
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Donc :
ml 32,341,045,0
41,01
41,045,0
41,01*50,4*5,00
Et ainsi :
16,38087,0
320,3
i
l f
2. Imperfections géométriques
Calcul par 2 manières différentes, mais on ne va utiliser que la première méthode.
2
*1
1*5,0*2
*200
1
2
***
2
*0
000
lmlll
e mhi
i
mmmei 8,710*8,72
32,3*1
11*5,0*
50,4
2*
200
1
3
Remarque : avec la deuxième méthode (simplifiée), on trouve :
mmml
ei 3,810*3,8400
32,3
400
30
Moment du premier ordre :
Edi NeMMEd
*010
)70,1*10*8,7(02,0 3
0
Ed
M
mkNMEd
.330
3. Critères permettant de négliger les effets du second ordre
n
CBA ...20lim
cdc
Ed
cdc
yds
ef
m
ef
fA
N
M
M
fA
fA
n
r
*
)7,1(**
*21*
*2,01
1*20)7,1(*21*
*2,01
1*20
02
01
lim
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5,1
30*3,0*3,0
7,1
)033,0
020,07,1(*
5,1
30*3,0*3,0
15,1
500*001963,0
21*
033,0
010,0*3,2*2,01
1*20
lim
Remarque : .0020102 EdMMprendondoncMM
7,2794,0
09,1*4,1*88,0*20lim
Remarque : avec les valeurs données, A = 0,7, B = 1,1, C = 0,7, on trouve 09,11lim
lim
On ne peut donc pas négliger les effets du second ordre !!!
4. Cas de la flexion déviée (Article 5.8.9)
L’article 5.8.9 de l’EC2 donne une démarche claire dans le cas d’une section en flexion déviée :
On fait d’abord un calcul en flexion composée, dans chaque plan, en tenant compte des
effets du 2nd ordre mais en ne considérant les imperfections géométriques que dans la
direction où elles ont l’effet le plus défavorable.
On vérifie ensuite deux conditions (art. 5.8.9(3) EC2). Si ces deux conditions sont
respectées, pas de calcul en flexion déviée.
Si ces conditions ne sont pas respectées, on redimensionne les sections d’aciers
théoriques de façon à satisfaire l’équation donnée en 5.8.9 (4).
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D. Méthode simplifiée (règles professionnelles)
On ne peut appliquer les méthodes simplifiées à cet exercice, puisque présence de moments.
E. Méthode basée sur la rigidité nominale (Art. 5.8.7 EC2)
1
*
²
1.
1
**
²
1.
1
1.2
0
02
0
00
Ed
f
sssccsc
Ed
Ed
f
Ed
Ed
B
EdEd
N
lIEKIEK
CM
N
lIE
CM
N
NMM
170,1
32,3*10*1,1*200000*110*75,6*27500*144,0
8
²
1*033,02
44
EdM
170,1
6
23,11*033,0EdM
mMNM Ed .051,0
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F. Méthode basée sur la courbure nominale (Art. 5.8.8 EC2)
20 MMM EdEd
20 *eNMM EdEdEd
c
l
rNMM EdEdEd
2
0
0 *1
*
c
l
r
KKNMM
r
EdEdEd
2
0
0
0 **
*
Avec :
018,027,0*45,0*200000
15,1
500
*45,0*
1
0
dE
f
r s
yd
1565,13,2*150
16,38
200
3035,01*
15020035,01*1
ef
ck
ef
fK
NB : Attention nous avons pris ici: );( 0tef , ce qui n’est pas tout à fait exact.
bal
cdc
yds
cdc
Ed
cdc
yds
bal
cdc
Ed
balu
u
r
nfA
fA
fA
N
fA
fA
n
fA
N
nn
nnK
*
*1
**
*1
)1(
*)1(
1493,0400,0474,1
945,0474,1
4,0
5,1
30*3,0*3,0
15,1
500*001963,0
1
5,1
30*3,0*3,0
70,1
5,1
30*3,0*3,0
15,1
500*001963,0
1
rK
On obtient donc :
8
²32,3*018,0*565,1*493,0*70,1033,0EdM
mMNM Ed .066,0
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