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Área - MatemáticaEnsino Médio – 1º ano
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS: operações, propriedades e aplicações
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Existem números que vêm antes do zero?
0 1 2 3 ...?
Vamos relembrar algumas aulas do Ensino Fundamental...
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Vamos pensar...Que números podemos
usar para responder aos seguintes problemas?
- 30
- 8
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MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
1. Maria Eduarda tem 80 reais no banco e realiza uma compra no valor de 110 reais. Como vai ficar a situação financeira de Maria Eduarda?
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
2. Até o momento o Sport marcou 40 gols e sofreu 48 no Campeonato Brasileiro. Qual o saldo de gols do Sport?
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MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
3. Garanhuns-PE, localizada no agreste do Estado, chega a registrar temperatura de 7° C nas madrugadas. Suponha que, numa certa madrugada de inverno, a temperatura variou de 2° C para 7° C, de quanto foi a variação de temperatura?
Imagem: Garanhuns / autor: Patrick / Creative commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
4. Qual o resultado da subtração 2 – 10? Durante muito tempo problemas desse tipo foram considerados sem solução, porque só se admitia a subtração a – b entre dois números naturais desde que
Porém, nem todas as subtrações envolvendo dois números naturais têm como resultado um número natural.
Para solucionar problemas como esses, mulheres e
homens do passado precisaram pensar em outro conjunto de números, já que os naturais não eram suficientes para
responder a questões como as relacionadas.
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MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Depois de um trabalho de muitos séculos, os matemáticos organizaram o Conjunto dos Números Inteiros, que representamos pela letra Z.
A letra Z corresponde à letra inicial da
palavra alemã Zahl, que quer dizer “número”.
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
O conjunto dos números inteiros (Z) é a união dos números naturais (N) com os números negativos. N = {0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} números negativos: ..., - 4, - 3, - 2, - 1
Z = {..., - 4, - 3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Observação:Na verdade o zero não é um número natural, pois ele, por si só, não serve para contar, que é a principal função dos números naturais. Porém, optamos por mantê-lo no conjunto N.
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Agora que já sabemos o que é um número inteiro, vamos pensar nas seguintes questões: É melhor dever 5 reais ou 30 reais ao Banco?
Está mais quente quando a temperatura é de – 5° C ou quando é de 1° C?
O que é mais satisfatório para um time de futebol, um saldo negativo de 8 gols ou um saldo nulo?
- 5 > - 30
- 5 < 1
- 8 < 0
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Representação e Comparação de Números Inteiros
0 1 2 3
Vamos observar a reta numérica abaixo:
-1-2-3-4Agora, vamos responder:a) Quem é maior 2 ou 3?b) Quem é maior -2 ou – 3?c) Quem é maior -4 ou 1?
Sistematizando a comparação entre números inteiros
Quando comparamos dois números inteiros a) negativos, como definir qual deles é o maior?b) positivos, como definir qual deles é o maior?c) sendo um positivo e outro negativo, como definir
qual deles é o maior?d) sendo um negativo e outro nulo, qual é o maior?e) Sendo um nulo e o outro positivo, qual é o maior?
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
0 + 1 + 2 + 3 + 4- 1- 2- 3- 4
+ 4 é o oposto (ou simétrico) de – 4.Os dois números estão à mesma distância do
zero (origem).
Veja a representação geométrica dos números inteiros na reta abaixo:
Números Opostos ou Simétricos
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Chama-se de módulo ou valor absoluto de um número inteiro a distância entre esse número e o zero (0) na reta numérica. Indica-se o módulo com o símbolo| |Exemplos:| - 9 | = 9| 13 | = 13| 2 - 10 | = 8
Módulo ou valor absoluto de um número inteiro
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Operações com números inteirosTanto no conjunto dos números naturais como no conjunto dos números inteiros, temos 6 operações:
Adição e Subtração; Multiplicação e Divisão; Potenciação e Radiciação.
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Resolvendo alguns problemas1. Para cobrir um saldo negativo de R$725,00
em sua conta bancária, Davi fez um depósito de R$900,00. Qual é o saldo atual de Davi?
Resposta: R$ 175,00
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Resolvendo alguns problemas
2. O dado vermelho representa pontos perdidos e o verde, pontos ganhos. Qual é o total de pontos em cada jogada?
Respostas: a) – 2 b) 2 c) 5 d) - 1
(BONJORNO, AYRTON, 2006, adaptado)
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
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Resolvendo alguns problemas3. A turma está animada, jogando no tabuleiro. A
tabela mostra os pontos ganhos e os pontos perdidos dos cinco participantes.
a) Qual jogador fez mais pontos no total? Quantos?b) Qual jogador fez menos pontos no total? Quantos?c) Represente na reta numérica o saldo de pontos de cada um
dos jogadores. Respostas: a) Márcia; + 12 b) Pedro; - 12 pontos(BONJORNO, AYRTON, 2006, adaptado)
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Jogador Vera Márcia Cláudia Pedro Jorge
Pontos ganhos
10 19 0 3 15
Pontos perdidos
16 7 6 15 18
Imagem: SEE PE
Resolvendo alguns problemas4. Desenhe uma reta numerada do 10 a – 10
numa folha milimetrada e dobre-a no 0, de modo que uma parte da reta fique sobre a outra. Agora:
a) escreva 4 pares de números cujos pontos coincidam;b) registre a soma dos números de cada um desses pares;c) escreva o nome que se dá a esses pares de números;d) abra a tira e faça uma nova dobra, dessa vez no – 2. Escolha 4 pares
de números cujos pontos coincidam e calcule a soma dos números de cada par;
e) responda: o que você observou nos resultados obtidos no item anterior? (BONJORNO, AYRTON, 2006, adaptado)
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Resolvendo alguns problemas5. Numa cidade brasileira, um termômetro
registrou – 6° C num dia e 2° C no outro. Qual foi a variação de temperatura de um dia para o outro?
Resposta: variação de 8° C
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Resolvendo alguns problemas
6. Aricelmo tem uma certa quantia num banco que lhe cobra todo mês uma mensalidade de 22 reais. Há um ano, quanto a mais ele tinha no banco?
Situações como essa, embora possam ser resolvidas com números naturais, podemos resolvê-la também tratando os números envolvidos como inteiros. Vejamos:A dívida mensal de Aricelmo pode ser representada por – 22 e o tempo decorrido por – 12. Dessa forma, termos:
(- 22).(- 12) = + 264
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Resolvendo alguns problemas7. Durante um passeio, Mônica registrou a
temperatura máxima de cada dia, como mostra o quadro abaixo:
Qual a média de temperatura registrada durante esses dias?
Resposta: (-16° C)/4 = - 4° C
1° DIA 8 graus negativos
2° DIA 3 graus positivos
3° DIA 1 grau positivo
4° DIA 12 graus negativos
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Exercícios1. Resolva as operações indicadas, considerando
o conjuntos dos números inteiros:
a) 5 + 12b) 125 - 3c) (- 36) + (- 6)d) (- 8) + ( + 2)e) (- 200) – ( - 50)f) - 125 – 3 g) 195 + (- 13)
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Exercícios2. Resolva as operações indicadas, considerando
o conjuntos dos números inteiros:a) 36 : 6b) (-195) : (- 15)c) (+ 50) x ( - 4)d) (- 19) x ( + 3)e) (- 57) : (+ 3)f) (- 32) x (- 12)g) (+ 420) : (- 70)
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Exercícios3. Resolva as operações indicadas, considerando
o conjuntos dos números inteiros:a) 53
b) (- 4)2
c) (- 5)3
d) (+ 2)5
e) f) g)
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Para todos os elementos a, b e c do conjunto dos números inteiros vale a:
propriedade comutativa: a + b = b + a
propriedade associativa: (a + b ) + c = a + ( b + c )
existência do elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a
existência do elemento oposto: a + ( –a ) = 0
Propriedades
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Existem números que vêm antes do zero?
0 1 2 3 ...-3 -2 -1?...
ReferênciasSMOLE, Kátia Cristina Stocco; DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira. Matemática: Ensino Médio. 5ª edição. 1º ano Ensino Médio. São Paulo: Editora Saraiva, 2005.
BONJORNO, José Roberto; AYRTON, Olivares. Fazendo a Diferença. 7° ano.1ª ed. São Paulo, 2006.
PAIVA, M. Matemática. 2.ed. volume único. São Paulo: Moderna, 2006.
PERNAMBUCO. Base Curricular Comum para as redes públicas de ensino: Matemática. Recife: SE, 2008.
PERNAMBUCO. Orientações teórico-metodológicas. Matemática. Ensino Médio. Recife: SE, 2008.
MATEMÁTICA, 1º anoConjunto dos números inteiros: operações, propriedades e aplicações
Slide Autoria / Licença Link da Fonte Data do Acesso
6 Garanhuns, relógio de flores / Creative
Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unportedhttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Garanhuns-rel%C3%B3gio-flores.jpg
15/02/2012
5 sport club recife emblem / JC Beltrano / Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sport_Recife_emblem.svg
15/02/2012
3 Tox Caution / Rursus / Public Domain http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tox_caution.svg?uselang=pt-br
15/02/2012
17 SEE PE Acervo SEE PE 15/02/2012
18 SEE PE Acervo SEE PE 15/02/2012
Tabela de Imagens
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