İşaret ve Sistemler -...

İşaret ve Sistemler

Ders 9: Sistemlere Giriş

Sistem Kavramı

Belirli bir işi görmek için bir araya getirilmiş

aletlerin ve devrelerin tümüne birden SİSTEM adı

verilir.

Başka bir deyişle sistem, fiziksel bir sürecin

matematiksel modelidir ve bir x(t) giriş işaretine

karşılık y(t) çıkış işareti üreten TEK (unique) bir

dönüşüm kuralı olarak tanımlanır.

Sistemler işaretler aracılığıyla kontrol edilirler.

İşaret ve Sistemler 2

Sistem Kavramı

İşaret ve Sistemler 3

SİSTEM x(t) y(t)

T [ . ]

Giriş İşareti

x(t) y(t)

Çıkış İşareti SİSTEM

(Operatör)

y(t)= T [ x(t) ]

Daha açık bir deyişle sistem, girişine uygulanan işaretleri işler. Çıkış olarak ise uygulanan işaretin değiştirilmiş/dönüştürülmüş yeni bir şeklini üretir.

Her sistem kendine özel bir transfer fonksiyonuna T{} sahiptir ve farklı giriş işaretlerine karşılık olarak farklı çıkış işaretleri üretir.

Birim darbe ve birim basamak gibi işaretlere verilen cevaplar sistemlerin karakteristiklerini belirler.

İşaret ve Sistemler 4

Sistem Kavramı

Sistemlerin Sınıflandırılması Sistemler aşağıdaki özellikler göz önünde bulundurularak sınıflandırılabilmektedirler:

Lineer ( Doğrusal ) / Non-Lineer (Doğrusal Olmayan),

Zamanla Değişen / Zamanla Değişmeyen,

Nedensel / Nedensel Olmayan,

Hafızalı / Hafızasız,

Kararlı / Kararsız,

Dinamik / Statik,

Toplu parametreli / Dağınık ( distributed) parametreli,

Aktif / Pasif,

Tersine çevirilebilen,

Sistemler karakterize edilirken genelde lineerlik ve zamanla değişmezlik özellikleri kullanılmaktadır.

İşaret ve Sistemler 5

Lineer ve Lineer Olmayan Sistemler

İşaret ve Sistemler 6

T [ . ]

V1(t) Y1(t)

V2(t) Y2(t)

Lineer ve Lineer Olmayan Sistemler

İşaret ve Sistemler 7

ÇıkışGiriş

tybtya

tvTbtvTatvbtvaT

)(.)(.

)(.)(.)(.)(.

21

2121

Örnek 9.1

İşaret ve Sistemler 8

Örnek 9.1

ÇÖZÜM:

Sistemin giriş ve çıkışındaki işaretler;

İşaret ve Sistemler 9

Örnek 9.1

İşaret ve Sistemler 10

Örnek 9.2

Giriş sinyali s(t)’i c(t) sinyali ile çarpan bir karıştırıcı

(mixer) olan sistemin lineer olup olmadığını belirleyiniz?

İşaret ve Sistemler 11

Örnek 9.2

ÇÖZÜM:

Sistemin girişine a(t) ve b(t) işaretlerinin uygulandığını

düşünürsek;

s(t) = a(t) → a(t) x c(t)

s(t) = b(t) → b(t) x c(t)

s(t) =[a(t) + b(t)] → [a(t)+b(t)] x c(t)

Sistem LİNEERDİR!!

İşaret ve Sistemler 12

Zamanla Değişen/Değişmeyen Sistemler

v(t) girişine sistemin cevabı y(t) iken, v(t-t0) girişine

sistemin cevabı y(t-t0) ise sisteme zamanla değişmeyen

sistem denir.

Herhangi bir t0 için eşitliği sağlayan sisteme zamanla

değişmeyen sistem, sağlamayan sisteme de zamanla

değişen sistem denir.

İşaret ve Sistemler 13

T [ . ] v(t) y(t)

v(t-t0) y(t-t0)

)()()()( 00 ttvTttytvTty

İşaret ve Sistemler 14

Zamanla Değişen/Değişmeyen Sistemler

İşaret ve Sistemler 15

Zamanla Değişen/Değişmeyen Sistemler

Zamanla değişmeyen bir sistemin giriş işaretine karşı

yanıtı grafikteki gibidir:

İşaret ve Sistemler 16

SİSTEM

SİSTEM

)( 0ttv )( 0tty

)(tv )(ty

t

t

t

t to to

Zamanla Değişen/Değişmeyen Sistemler

Lineer ve Zamanla

Değişen/Değişmeyen Sistemler

İşaret ve Sistemler 17

Lineer ve Zamanla

Değişen/Değişmeyen Sistemler

İşaret ve Sistemler 18

Lineer ve Zamanla

Değişen/Değişmeyen Sistemler

İşaret ve Sistemler 19

Nedensel/Nedensel Olmayan Sistemler

Eğer herhangi bir andaki sistemin çıkışı sadece o andaki

ve geçmişteki girişlerine bağlıysa bu sisteme nedensel

sistemler denir.

Daha açık bir ifadeyle, nedensel sistemlerde sistemin

çıkışı gelecekteki giriş değerlerine bağlı değildir.

Örneğin, otomobil nedensel bir sistemdir. Sürücünün

gelecekte yapacağını otomobil beklemez. Belleği

olmayan tüm sistemler nedenseldir.

İşaret ve Sistemler 20

Nedensel sistemin impuls cevabı aşağıdaki gibidir:

Lineer zamanla değişmeyen bir sistemin nedensel olabilmesi

için gerek ve yeter şart: Sistemin impulse cevabı h(t) = 0,

t < 0 olmalıdır.

Nedensel olan sistemler fiziksel olarak gerçekleştirilebilir.

Herhangi bir sistem nedensel olma şartını sağlamıyorsa bu

sistemlere nedensel olmayan sistem denir.

İşaret ve Sistemler 21

NEDENSEL

SİSTEM

)()( ttv )()( thty

t t

1

Nedensel/Nedensel Olmayan Sistemler

Örnek 9.3

Sistemin girişi x(t), çıkışı y(t) , a ve b birer sabit olmak

üzere sistemin giriş-çıkış ilişkisi y(t) = a.x(t)+b şeklinde

verilmiştir. Bu sistem lineer midir?

İşaret ve Sistemler 22

Örnek 9.3

İşaret ve Sistemler 23

btxatxTty )(.)()(

btxatxTty )(.)()( 111 btxatxTty )(.)()( 222

btxabtxatxTtxTtxtxTtxTty )(.)(.)()()()()()( 212121

)()(.2)()(.)( 2121 tytybtxtxaty

Örnek 9.4

y(t)= a.x(t) + b olan sistemin girişine x(t) yerine 2x(t)

işareti uygulanıyor. Buna göre sistem lineer midir?

İşaret ve Sistemler 24

Örnek 9.4

ÇÖZÜM:

Olduğundan dolayı sistem lineer DEĞİLDİR!!

İşaret ve Sistemler 25

btxatxTty )(.)()(

)(.2)(..2)(.2)( tybtxatxTty

Örnek 9.5

Sistemin girişi x(t), çıkışı y(t) , a ve b birer sabit olmak

üzere sistemin giriş-çıkış ilişkisi

şeklinde verilmiştir. Bu sistem lineer midir?

İşaret ve Sistemler 26

tCoswtxty c).()(

Örnek 9.5

ÇÖZÜM:

İşaret ve Sistemler 27

tCoswtxtCoswtxty

tCoswtxtxtxtxTty

cc

c

).().()(

.)()()()()(

21

2121

)()()()()( 2121 tytytxTtxTty

)(..)(.)(. txTatCoswtxatxaT c

olduğundan sistem lineerdir.

Örnek 9.6

İşaret ve Sistemler 28

Örnek 9.6

ÇÖZÜM:

olduğundan dolayı sistem lineer DEĞİL!!

İşaret ve Sistemler 29

tCoswatCoswtxtCoswtx

tCoswtxtxatxtxTty

ccc

c

.).().(

.)()()()()(

21

2121

tCoswtxtCoswatxTty cc ).(.)()( 111

tCoswtxtCoswatxTty cc ).(.)()( 222

)()()()( 2121 txTtxTtxtxT

Örnek 9.7

Sistemin girişi x(t), çıkışı y(t) olmak üzere sistemin giriş-

çıkış ilişkisi

şeklinde verilmiştir. Bu sistem lineer midir? Zamanla

değişen midir?

İşaret ve Sistemler 30

n

T nTttxttxty )().()().()(

Örnek 9.7

İşaret ve Sistemler 31

)().()().()(.)()()()()( 212121 ttxttxttxtxtxtxTty TTT

)()()( 21 tytyty

)(.)().()(.)(.)()( 111 tyattxattxatxTty TT

n

nTtnTxtxTtytT

Costx )().()()(2)( 1111

nn

nTtnTtnTT

Costy )()(.2)(1

Örnek 9.7

ÇÖZÜM:

Sistemin girişine

İşareti uygulanırsa;

olduğunda sistem zamanla değişendir. Bu sistem ideal

örnekleyici olarak isimlendirilir.

İşaret ve Sistemler 32

tT

SintT

CosTT

tT

CosTtxtx 22

24

224

)( 12

n nn

nTtnSinnTtnTT

SinnTttT

Sinty 0)(.2)(.2)(.2)(2

n

tyTnTtTty )()4

()4

( 21

Çalışma Sorusu

İşaret ve Sistemler 33