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ARITMETICA
Í n d i c e
Pág.
å Magnitudes proporcionales - Razón...................7
å Proporciones - Propiedad fundamental de proporcionalidad..............................................13
å Regla de tres simple.........................................19
å Porcentaje - Interés simple...............................23
å Iniciación a la estadística.................................29
å Elaboración e interpretación de gráficos estadísticos......................................................33
å Medidas de tendencia central - Probabilidades43
å Repaso....................................................49
COLEGIO TRILCE Página 2
ARITMETICA
MAGNITUD
Es todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución) y que
puede ser medido.
CANTIDAD
Es el valor de un estado particular de la magnitud, poseen dos partes: valor
numérico y unidad.
Ejemplo:M A G N ITU D CA N TIDA D
CLASIFICACIÓN
I. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (M.D.P.)
Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar o
disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes en la
otra magnitud también aumentan o disminuyen en la misma proporción.
Ejemplo: Un saco de papas pesa 50 kg. ¿Cuánto pesan 25 sacos?
Para pasar de la primera fila a la segunda solo se multiplica por 50.
Para pasar de la segunda a la primera fila solo se divide entre 50.
Observa que:
........1002
501
A estas divisiones iguales se llama constante de proporcionalidad.La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kilogramos es: _________________
COLEGIO TRILCE Página 3
ARITMETICA
II. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (M.I.P.)
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar o
disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes en la
otra magnitud disminuyen o aumentan correspondientemente en la misma
proporción.
Ejemplo: Si tres hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuánto
emplearán 18 hombres?
Observamos que los productos: 3 × 24 = _____ × 12 = 9 × _____ = _____
Por tanto:
_ _ _ _ _ × 18 = _ _ _ _ _
N úm ero de días
Otros ejemplos:
* Se invita a 20 personas a una cena. Si se gasta S/.250, ¿cuánto se gastaría por 120 invitados?
Observamos: ______________________________________________________________________________________________________
* Si cuatro jardineros terminan de podar un parque en 20 días, ¿cuántos jardineros son necesarios para un parque similar, en cuatro días?
Observamos: ______________________________________________________________________________________________________
COLEGIO TRILCE Página 4
ARITMETICA
RAZÓNRAZÓNEs el resultado de comparar dos cantidades. De las diferentes formas de comparar dos cantidades vamos a estudiar dos.
a. Razón Aritmética o por diferenciaEs el resultado de comparar dos cantidades homogéneas mediante la sustracción.
a - b = rConsecuenteAntecedente
Razón Aritmética
Ejemplo: Si tenemos 12 rosas y 9 margaritas, al compararlas por diferencia, podemos afirmar:* 12 rosas - 9 margaritas = 3 rosas más que margaritas, o también
3 margaritas menos que rosas.
b. Razón Geométrica o por cocienteEs el resultado de comparar dos cantidades mediante la división.
ab
Antecedente
Consecuente= K Razón Geométrica
Ejemplo: Si tenemos 12 rosas y 9 margaritas, al compararlas por cociente, se tiene:
* aritasargm3rosas4
aritasargm9rosas12
Por cada 4 rosas hay 3 margaritas, o
* rosas4aritasargm3
rosas12aritasargm9
Por cada 3 margaritas hay 4 rosas.
En los s iguientes e jercicios, cuando se d iga sim p lem ente
, se entenderá que la razón ped ida es .razón geom étrica
COLEGIO TRILCE Página 5
ARITMETICA
A PRACTICAR LO APRENDIDO
1. Hallar la razón aritmética y geométrica de:
a) 40 y 120 b) 25 y 81 c) 144 y 256 d) 49 y 121
2. La edad de Javier es a la edad de Janet como 8 es a 6. Si el doble de la
edad de Javier y el triple de la edad de Janet suman 136, hallar sus edades.
3. Si la relación entre dos números es de 7 a 11, hallar los números sabiendo
que su diferencia es 8.
4. Cita dos números cuya razón aritmética sea 6; dos números cuya razón
geométrica sea: 32
5. Hallar la razón aritmética y geométrica de:
a) 60 y 12 b) 65
y1211
c) 5,6 y 3,5 d)02,0y
83
6. Hallar la relación entre las edades de dos niños de 10 y 14 años.
7. La razón de dos números es 65
. Si el menor es 20, ¿cuál es el mayor?
8. El mayor de dos números es 42 y la relación entre ambos es de 5 a 7.
Hallar el número menor.
9. La relación entre dos números es de 5 a 2. Hallar los números
sabiendo que su suma es 49.
10. La razón de dos números es 38
y su diferencia 55. Hallar los números.
COLEGIO TRILCE Página 6
ARITMETICA
¡ AHORA… HAZLO TU ¡
1. Hallar la razón aritmética y geométrica de:
a) 25 y 35 b) 6 y 18
b. La edad de Alejandro es a la edad de Arianne como 4 es a 8. Hallar la edad de ambos si se sabe que sus edades suman 24 años.
3. La relación entre dos números es de 3 a 8, ¿cuáles son los números si se sabe que ambos suman 39?
4. Cita dos números cuya razón aritmética sea 8.
5. Cita dos números cuya razón geométrica sea 1/5.
6. Hallar la relación entre las edades de dos niños de 8 y 12 años.
7. La razón de dos números es de 3 a 7, si el mayor es 21, ¿cuál es el menor?
8. El menor de dos números es 125, si la relación entre ambos es de 25/35, ¿cuál es el mayor?
9. La relación de dos números es 5/3, si se sabe que ambos suman 64. Hallar el producto de dichos números.
10. La suma de las edades de dos niños de la primaria TRILCE es de 16 años, si la relación entre ambas edades es de 1 a 3. ¿Cuál será la edad de ambos dentro de 5 años?
DESAFIOEn una fábrica de chocolates de marca "DINOSAURIO" se tiene tres máquinas "x", "y" y "z"; por cada 11 chocolates que produce la máquina "x", la máquina "y" produce 7 y por cada 5 chocolates que produce la máquina "y" la máquina "z" produce 3. Si en un día "x" y "z" produjeron 15 960 chocolates; ¿cuántos chocolates más o menos hizo "y" con respecto a "z" ese mismo día?
COLEGIO TRILCE Página 7
ARITMETICA
a) 4 500 menos b) 2 940 más c) 2 940 más
d) 4 500 máse) N.A.
Sa bía s qué . . . El ma temá tico Pedro Sá nchez Cirue lo
seña la que la propo rción aritmética y geomé trica
ha ce n refe rencia a una re la ció n métrica que se
da ta nto e n la a ritmé tica co mo e n la geo mé trica .
I. DEFINICIÓN
Es la igualdad de dos razones, que tienen el mismo valor.
II. TIPOS DE PROPORCIÓNProp orció n a ritm ética o
eq uid ife ren ciaProp orció n g eom étrica o
eq uicocien te
Recuerda:
• Los términos de la equidiferencia se llaman extremos al primer y cuarto
elemento de la proporción y medios al segundo y tercero.
• Al al igual que en la proporción aritmética, en la proporción geométrica se
llaman extremos al primero y cuarto de los términos y medios al segundo y
tercer término.
COLEGIO TRILCE Página 8
ARITMETICA
Proporció n d iscreta Proporció n con tin ua
Recuerda:
• A cualquier término se llama cuarta diferencial en la progresión aritmética
y cuarta proporcional en la progresión geométrica.
• Al término medio se llama media diferencial en la progresión aritmética
continua y se llama media proporcional en la progresión geométrica continua.
LISTOS … A TRABAJAR
1. Hallar el término desconocido:
a) 50 - 42 = 25 - x b) 45,3 - x = 18 - 0,03 c)x
65
71
31
d)
26
51x
e) 169x
x41
f) 416
x8
2. Hallar el término media diferencial entre:
COLEGIO TRILCE Página 9
ARITMETICA
a) 26 y 14 b) 31
y52
c) 8,04 y 4
3. Hallar el término media proporcional entre:
a) 81 y 4 b) 0,16 y 169 c) 91
y41
4. En las siguientes relaciones, hallar lo que se pide:
a) ,
32
yx
además: x + y = 10; x = ?; y = ?
b),
ba
57
además: a - b = 30; a = ?; b = ?
c) La relación entre dos números es de 5 a 2. Hallar dichos números
sabiendo que su suma es 49.
d) La razón de dos números es 38
y su diferencia 55. Hallar los números.
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Hallar "x" en:
81
52
6165
x
2. Hallar "x" en:
121
1441
5x31
8
3. Hallar "x" en:50 - x = x - 14,26
4. Hallar la media diferencial entre:
a) 81
y75
b) 51
5y16,8c) 7
3y
52
14
5. Hallar la media proporcional entre:
COLEGIO TRILCE Página 10
ARITMETICA
a) 64,0x
x49,0
b) 81
49x
x3625
c) 25,0x
x49
DESAFÍO
Si: 4n
3m
2a
; hallar "a", "m" y "n" sabiendo que: a + m + n = 86
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE PROPORCIONALIDADEn toda proporción geométrica el producto de los términos extremos es igual al
producto de los términos medios.
Ejemplos:
a) 618
26
b) 25
1052
6 × 6 = 18 × 2 2 × 25 = 5 × 10
COLEGIO TRILCE Página 11
ARITMETICA
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Es cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales (D.P.).
COLEGIO TRILCE Página 13
ARITMETICA
• Por magnitudes proporcionales:
xxa
ba 2
1
1A D.P. B A
B= K×
• Método práctico:
×
Ejemplo: Si cuatro libros cuestan S/.6, ¿cuánto costarán 12 libros?
×
* Plantea la solución por magnitudes proporcionales.
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Es cuando las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales (I.P.)
• Por magnitudes proporcionales:
COLEGIO TRILCE Página 14
ARITMETICA
a1b1 = a2x x = A I .P. B A B = K××
• Método Práctico:
×
Ejemplo: Si cuatro hombres hacen una obra en 12 días, ¿en cuántos días podrían hacer la misma obra seis hombres?
×
* Plantea la solución por magnitudes proporcionales.
A PRACTICAR LO APRENDIDO
1. Si cuatro libros cuestan S/.20, ¿cuánto costarán tres docenas de libros?
2. Si una vara de 2 m de longitud da una sombra de 6 m, ¿cuál será la altura
de una torre cuya sombra, a la misma hora, es de 54 m?
COLEGIO TRILCE Página 15
ARITMETICA
3. Los 52
de capacidad de un estanque es 500 litros. ¿Cuál es la capacidad
que falta llenarse del estanque?
4. Dos individuos arriendan una finca, el primero ocupa los 115
de la finca y paga S/.6 000 de alquiler al año. ¿Cuánto paga de alquiler anual el segundo?
5. Si un carpintero hace 35 carpetas en una semana, ¿cuántas carpetas
fabricará en 12 días?
6. Si una cuadrilla de 10 obreros hacen una obra en 12 días, ¿con cuántos
obreros se hará la misma obra en 15 días?
7. Una cuadrilla de obreros emplea 14 días, trabajando 8 horas diarias, en
realizar cierta obra. Si hubiera trabajado una hora menos al día, ¿en
cuántos días habrían terminado la obra?
8. Nueve hombres pueden hacer una obra en cinco días, ¿cuántos hombres
más harían falta para hacer la obra en un día?
9. Una guarnición de 500 hombres tienen víveres para 20 días a razón de tres
raciones diarias. ¿Cuántos raciones diarias tomará cada hombre si se
quiere que los víveres duren 5 días más?
10. Una travesía en un barco de 1 300 hombres tienen víveres para cuatro
meses. Si se quiere que los víveres duren 110 días más, ¿cuántos hombres
habrá que dejar de lado?
Dato: 1 mes = 30 días
AHORA HAZLO TU
1. Si ocho libros cuestan S/.30, ¿cuánto costarán dos decenas de libros?
2. Si una casa de 4 m de altura da una sombra de 5 m, ¿cuál será la altura de
un edificio cuya sombra, a la misma hora, es de 35 m?
COLEGIO TRILCE Página 16
ARITMETICA
3. Los 73
de capacidad de un estanque es 300 liltros. ¿Cuál es la capacidad
que falta llenarse del estanque?
4. Dos individuos alquilan oficinas de un edificio, el primero alquila 117
del
total de las oficinas y paga S/.3 500 de alquiler al mes. ¿Cuánto paga de
alquiler mensual el segundo?
5. Si un cerrajero hace 20 ventanas en un mes, ¿cuántas ventanas fabricará
en 180 días?
6. Si un equipo de trabajo de 15 obreros hace una obra en 60 días, ¿con
cuántos obreros se hará la misma obra en 36 días?
7. Una cuadrilla de obreros emplea 28 días, trabajando 8 horas diarias, en
realizar cierta obra. Si hubiera trabajado una hora menos al día, ¿en
cuántos días habrían terminado la obra?
8. Un grupo de cinco jardineros iban a podar un jardín en seis horas. Si solo
fueron tres jardineros, ¿qué tiempo emplearán en podar el jardín?
9. Un ejército de 600 hombres tiene víveres para 80 días a razón de tres
raciones diarias. ¿Cuántas raciones diarias tomará cada hombre si se
quiere que los víveres duren 40 días más?
10. Un grupo de exploradores de 120 hombres tiene víveres para seis meses.
Si se quiere que los víveres duren 60 días menos, ¿cuántos hombres más
se podrá llevar?
DESAFÍOUna torre de 25,05 m da una sombra de 33,40 m. ¿Cuál será, a la misma
hora, la sombra de una persona cuya estatura es 1,80?
COLEGIO TRILCE Página 17
ARITMETICA
Se llama Tanto por Ciento o Porcentaje de un número a una o varias de las
cien partes iguales en que se puede dividir dicho número; es decir, una o
varias centésimas de un número. El signo para designar el tanto por ciento es
"%" y se empezó a utilizar en 1685.
* Ejemplo: ¿Cuál es el 1% de 2 500?
%1251002500
* Ejemplo: ¿Cuál es el 7% de 2 500?
1757)25(71002500
* Ejemplo: ¿Cuál es el 20% de 4 200?
______)(
A PRACTICAR LO APRENDIDO
1. Calcular el 4% de 50 000.
COLEGIO TRILCE Página 18
ARITMETICA
2. Calcular el 5% de 40.
3. Calcular el 15% de 60.
Recuerda que cada vez que veas de, de los, del; significa que
tienes que multiplicar.
4. Calcular el 2% de 6% de 35 000.
5. Calcular el 10% del 30% de 50 000.
6. El precio de una computadora es 2 800 nuevos soles. Si compro con el
descuento del 15%, ¿cuánto pago?
7. El precio de un Play Station IV es de 750. Si compro con un descuento del
10%, ¿cuánto se paga?
8. En el primer concurso de TRILCE 2007, Renzo respondió 80 preguntas
correctas de una prueba de 120 preguntas. ¿Qué porcentaje de preguntas
respondió correctamente?
9. En una granja hay 1 600 aves. Si el 45% son gallinas y el resto pavos,
¿cuántas gallinas y cuántos pavos hay?
10. En una colecta para la Cruz Roja se fija recaudar como meta 700 000
nuevos soles. Si se recaudó 630 000 nuevos soles, ¿qué porcentaje representa
lo recaudado?
AHORA, HAZLO TU
COLEGIO TRILCE Página 19
ARITMETICA
1. Calcular el 20% de 30 000.
2. Calcular el 25% de 120 000.
3. Calcular el 75% de 240 000.
4. Calcular el 3% del 4% de 60 000.
5. Calcular el 15% del 20 de 2 000.
6. El precio de un televisor es 350 dólares. Si compro con el descuento del
10%, ¿cuánto pago?
7. El precio de una casa es S/.25 000, si la cuota inicial representa el 20% del
precio total de la casa, ¿cuánto le restaría pagar?
8. Roberto gana 1 800 nuevos soles mensuales. Si el 9% de su sueldo lo
destina a pagar los servicios de teléfono, ¿qué cantidad de dinero le queda
para otros gastos?
9. Rafael gasta 84 nuevos soles que representa el 30% del dinero que tenía.
¿Cuánto tenía?
10. Un alpinista decide subir una montaña. Al medio día lleva subiendo 30 m. Si
esto representa el 40%, ¿cuánto mide de altura la montaña?
DESAFÍO
Calcular el 10% del 20% del 5% de 2 500 000.
INTERÉS SIMPLECOLEGIO TRILCE Página 20
ARITMETICA
El interés es la ganancia que produce un capital a un porcentaje acordado en
un tiempo determinado. Usaremos las siguientes fórmulas:
i =c.t.r100
; s i el tiem po está dado en años.
i =c.t.r
1 200; s i el tiem po está dado en m eses.
i =c.t.r
36 000; s i el tiem po está dado en días.
Donde:
i = interés
c = capital
t = tiempo
r = tasa porcentual
* Ejemplo: ¿Cuál es el interés que produce un capital de 15 000 nuevos soles
en cuatro años al 25%?
i =c.t.r100
c = 15 000t = 4 año sr = 25i = ¿ ?
D atos: Fórm ula:
Resolución:
10025400015
i
i = 15 000
Respuesta: El interés producido en cuatro años es S/.15 000.
PRACTIQUEMOS
COLEGIO TRILCE Página 21
ARITMETICA
1. Hallar el tiempo en que estuvo colocado un capital de 15 000 nuevos soles
que al 10% produjo intereses por S/.12 000.
2. ¿Cuál será el capital que ha producido un interés de 360 nuevos soles, al
30% mensual durante ocho meses?
3. Un capital colocado al 30% produce un interés de 6 000 durante ocho
meses. ¿Cuál fue el capital?
4. Rocío depositó en un banco S/.10 000 impuesto al 30% durante cinco
meses. ¿Qué interés produjo?
5. Ángel depositó en el banco 30 000 nuevos soles para cinco años. ¿A qué
interés debe ser depositado para obtener una ganancia de S/.60 000?
6. Jacqueline ahorró en un banco 2 000 nuevos soles durante cuatro meses al
3%. ¿Cuánto ganó?
7. José Luis ahorró en un banco 3 000 nuevos soles durante siete meses al
6%. ¿Cuál fue su ganancia?
8. Alejandro ahorró por cinco años un capital de S/.10 000 y después retiró su
capital y sus intereses. ¿Cuánto retiró en total? (Porcentaje = 5%)
9. Flor depositó 8 000 nuevos soles, ¿cuánto obtuvo de interés al cabo de 120
días? (Porcentaje = 15%)
10. Al 7% anual un capital de 8 000 nuevos soles, ¿cuánto genera de intereses
en dos años?
DESAFÍO
Ricardo depositó en el banco 80 000 nuevos soles en seis meses. Sabiendo
que su ganancia fue la quinta parte de lo que depositó. Hallar la tasa
porcentual con la cual fue depositado?
COLEGIO TRILCE Página 22
ARITMETICA
Sa bía s que . . . La esta dística empieza con los gra nde s
imperio s de la antigüeda d. De l Egipto de lo s fa ra ones
se tienen dato s mucho má s exa ctos: lista s de fa milia s, de
so lda do s, de casas, de je fes de fa milia s y de pro fe siones.
Los romanos eran buenos administradores y hacían censos cada cinco años.
Ellos aplicaban la siguiente técnica:
* Ejemplo 1: Utiliza la técnica de los palotes.
Recolectar y luego organizar los datos en cada uno de los siguientes casos:
Anotar las calificaciones del curso de Aritmética de la sección del sexto
grado. Luego ordénalas en esta tabla.
Calificaciones Calificaciones Conteo Total
AD
A
B
C
1. ¿Cuál fue el total de alumnos encuestados?
Rpta.: ________________
2. ¿Cuántos alumnos tienen calificación AD?
Rpta.: ________________
3. ¿Cuántos alumnos tienen más la calificación A que la calificación B?
Rpta.: ________________
* Ejemplo 2: Utiliza la técnica de los palotes.
COLEGIO TRILCE Página 23
ARITMETICA
Aplicar la siguiente encuesta a tus compañeros de aula y profesores, la pregunta es: ¿en qué mes del año cumplen años? Anota los resultados en la tabla.
M es
Enero
Febrero
M arzo
Abril
M ayo
J un io
J u lio
Agosto
Setiem bre
O ctubre
N oviem bre
D iciem bre
Conteo Total
1. ¿Cuál es el mes en que más personas cumplieron años?
Rpta.: ________________
2. ¿Cuál es el mes o meses en qué no hubo cumpleaños?
Rpta.: ________________
3. ¿Cuál es el número de personas que cumplen años en el mes de julio?
Rpta.: ________________
4. ¿Cuántos alumnos y profesores fueron encuestados?
Rpta.: ________________
¡ LISTOS …..A TRABAJAR ¡
COLEGIO TRILCE Página 24
ARITMETICA
1. Elabora en tu cuaderno una tabla que contenga las distancias de los
planetas al Sol y luego contesta las siguientes preguntas. (Sugerencia:
consultar el almanaque mundial)
a. ¿Qué planeta se encuentra más alejado del Sol?
b. ¿Qué planeta se encuentra más próximo al Sol?
c. ¿Cuál es la distancia de la Tierra al Sol?
2. Aplica una encuesta a los alumnos de primaria, con la siguiente pregunta:
¿cuál es su edad? Anota los resultados en una tabla que contenga los
siguientes campos: edad, conteo, total. Luego responde:
a. ¿Cuántos alumnos tienen la mayor edad?
b. ¿Cuántos alumnos tienen la menor edad?
c. ¿Cuántos alumnos superan los nuevos años?
d. ¿Cuál fue el total de alumnos encuestados?
3. Elabora una tabla que contenga la población mundial por continentes.
Luego responde las siguientes preguntas: (Sugerencia: consultar el
almanaque mundial del presente año)
a. ¿Cuál es el continente más poblado?
b. ¿Cuál es el continente que presenta la menor población?
c. ¿Cuál es la población de América?
d. Halla la diferencia entre el número de habitantes del continente asiático
y el continente americano.
e. ¿Cuál es el número de habitantes del continente europeo?
Elaboración e interpretaciónCOLEGIO TRILCE Página 25
ARITMETICA
de gráficos estadísticos
Sa bía s que . . . En e l continente a merica no , los inca s desarro llaro nun sistema de e sta d ísticas muy pe rfe ccio nado : todo s lo s da to s
re lacio na do s co n la s a ctivida de s econó mica s y de mográ ficasse co nse rvaba n e n lo s "quipus", una s cuerdas grue sa s de la s
cua le s co lgaba n va rios hilo s de d istinto s co lo re s según e lo bje to que re pre se nta ban, a ma ri llo pa ra la s p iezas de o ro , ro jo
para lo s so lda do s, b la nco pa ra la s co nstruccio ne s, e tc.
I. GRÁFICA DE BARRAS
Ejemplo: A continuación se muestra el sueldo de una persona durante el año 2006.
S ueld o (m ile s de nuevo s so les )
M e sE nero F M A M J J A S O N D
8
10
11
1315
16
20
1. ¿En qué mes ganó menos?
______________________
2. ¿En qué mes ganó más?
______________________
3. ¿Cuál fue su sueldo promedio durante el año 2 006?
______________________
4. ¿Cuántos meses ganó más del sueldo promedio?______________________
II. GRÁFICA DE BARRAS AGRUPADAS
Ejemplo:
COLEGIO TRILCE Página 26
ARITMETICA
A continuación se muestran la población de hombres y mujeres de cierta localidad, durante el período 2004 - 2007:
# p ob lac ión(miles )
año s2004
10
5
2005 2006 2007
15
8
20
10
25
15
hombre s
mujere s
3. ¿En cuánto aumenta la población de hombres del año 2005 al año 2007?
__________________________
4. Del año 2004 al año 2007 la población de mujeres ¿aumentó o disminuyó?
¿en cuánto?__________________________
III. GRÁFICO LINEAL
Ejemplo: Rendimiento de la cosecha "x", a diferentes temperaturas e intensidades
luminosas.
R e nd im iento
Te mperatura (ºC )10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
60
I
I II II
I .
I I .
I I I .
I n tensidad lum inosa I
I n tensidad lum inosa I I
I n tensidad lum inosa I I I
1. El máximo rendimiento, con Intensidad luminosa I, se alcanza
aproximadamente con una temperatura de:
_____________________________________________
COLEGIO TRILCE Página 27
1. ¿Cuál fue la población en el 2004?
__________________________
2. ¿Cuál era la población en el 2006?
__________________________
ARITMETICA
2. ¿Qué rendimiento se alcanza, aproximadamente con una temperatura
de 30º e Intensidad luminosa III?
_____________________________________________
3. Para una mejor cosecha ¿qué intensidad luminosa conviene y a qué
temperatura?
_____________________________________________
IV. SECTOR CIRCULAR
Ejemplo:En una encuesta se obtuvo la siguiente información, acerca del consumo de
los productos "A", "B", "C", "D" y "E", de un total de 200 personas encuestadas.
B
A
E
D
C
15%
10%
5%
40%
30%
1. ¿Qué porcentaje de los consumidores prefiere más el producto "A" que
el producto "C"?
_____________________________
2. ¿Cuántos de los encuestados prefieren el producto "B"?
_____________________________
3. ¿Qué procentaje de los consumidores prefieren más el producto "C" que
el producto "E"?
_____________________________
4. ¿Cuántos de los encuestados prefieren los productos "D" y "E"?
COLEGIO TRILCE Página 28
ARITMETICA
_____________________________
A PRACTICAR LO APRENDIDO
• Gráfico 1: La siguiente gráfica muestra el volumen de venta obtenido durante los seis primeros meses del año de un equipo de vendedores.
C antidad dear tíc u los
ene
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
M e sfeb m ar ab r m ay jun
1. ¿Cuál es el volumen total de venta, durante esta "Campaña de medio año"?
a. 160 000 b. 220 000 c. 200 000d. 190 000 e. 242 000
2. Indica el promedio (aprox.) de venta mensual durante esta campaña.
a. 28 828 b. 33 300 c. 33 333d. 30 300 e. 30 000
3. ¿Durante cuántos meses el volumen de venta estuvo sobre el promedio mensual?
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 1
4. ¿Cuál es el máximo volumen de venta logrado a lo largo de toda la campaña, durante un mes?
a. 35 000 artículos b. 40 000 c. 45 000d. 50 000 e. 60 000
5. ¿Entre qué meses el volumen de venta tuvo la caída más apreciable?
a. mayo y junio b. enero y febrero c. marzo y abril
COLEGIO TRILCE Página 29
ARITMETICA
d. abril y mayo e. mayo y enero
• Gráfico 2: La inflación en un país mostró la siguiente evolución entre febrero y junio:
Tas a de inflac ió n (%)
F
90
70
50
30
10
M e sM A M J
6. Halla la inflación promedio durante el periodo febrero - junio (aprox.)
a. 30% b. 40% c. 45,5% d. 66,5% e. 36%
7. ¿Cuál será la inflación de julio según la tendencia mostrada?
a. 100% b. 120% c. 130% d. 150% e.
180%
• Gráfico 3: El gráfico muestra la producción (en toneladas) de dos tubérculos, en tres meses del año.
P ro duc c ió n (to nelada s)
E ne
35
30
25
20
15
10
5
M e sF eb M a r
papa
c a mo te
8. ¿En qué porcentaje desciende la producción de camote entre febrero y
marzo?
COLEGIO TRILCE Página 30
ARITMETICA
a. 40% b. 25% c. 33% d. 45% e. 20%
9. ¿Cuál fue la producción total (en toneladas) de papa en los tres meses?
a. 60 b. 50 c. 80 d. 70 e. 45
10. ¿Qué porcentaje más de camote, con respecto a la papa, se produce en
enero?
a. 40% b. 50% c. 45% d. 30% e. 10%
DEMUESTRA LO APRENDIDO
• Gráfico 1: El gráfico muestra la producción (en toneladas) de arroz y cebada, en tres meses del año:
P ro duc c ió n (to nelada s )
E ne
35
30
25
20
15
10
5
M e sF eb M a r
c eb ada
ar ro z
1. ¿En qué porcentaje desciende la producción de arroz entre febrero y
marzo?
a. 40% b. 25% c. 33,3% d. 45% e. 20%
2. ¿Cuál fue la producción total de cebada (en toneladas) en los tres meses?
COLEGIO TRILCE Página 31
ARITMETICA
a. 60 b. 50 c. 80 d. 75 e. 45
• Gráfico 2: Sony analiza las ventas de TV de 43" en Lima Metropolitana, en las últimas ocho semanas. La información se muestra a continuación:
N úm ero de T V ve nd id os
S e m ana
35
30
25
20
15
10
5
1 2 3 4 5 6 7 8
3. ¿Cuántos TV se vendieron en las tres primeras semanas?
a. 55 b. 60 c. 65 d. 70 e. 75
4. ¿En qué semana se vendió un mayor número de televisores?
a. segunda b. tercera c. cuarta
d. quinta e. sexta
5. ¿En qué semana hubo una mayor variación en las ventas?
a. 3ra y 4ta b. 5ta y 6ta c. 1ra y 2da
d. 6ta y 7ma e. 2da y 3ra
6. ¿Cuál es el promedio de TV que se vende por semana?
a. 19,75 b. 19,25 c. 18,25 d. 18,75 e. 19,5
COLEGIO TRILCE Página 32
ARITMETICA
• Gráfico 3: La siguiente gráfica muestra la temperatura de un paciente en el Hospital del Niño, durante el transcurso de 12 horas.
40º
39º
38º
37º
36º
35º
34º8 10 2 4
6 a.m . 12:00 m . 6 p.m .
Tem peratura (ºC )
H ora
17. ¿A qué hora alcanzó el paciente la temperatura máxima observada?
a. 1 p.m. b. 2 p.m. c. 3 p.m. d. 4 p.m. e. 5
p.m.
18. ¿Durante qué periodo tuvo el paciente más de 37º de temperatura?
a. De 10 a.m. a 6 p.m. b. De 8 a.m. a 6 p.m.
c. De 2 p.m. a 6 p.m. d. De 11 a.m. a 5 p.m.
e. De 8 a.m. a 4 p.m.
19. ¿Cuál fue aproximadamente la temperatura del paciente a las 11 a.m.?
a) 37º b. 38,5º c. 37,5º d. 36º e. 38º
COLEGIO TRILCE Página 33
ARITMETICA
20. ¿Cuál fue la temperatura que más veces se presentó en el paciente?
a. 36º b. 37º c. 38º d. 39º e. 40º
21. ¿A qué hora alcanzó el paciente la temperatura mínima observada
(aprox.)?
a. 6 a.m. b. 8 a.m. c. 12 a.m. d. 2 a.m. e. 10 a.m.
DESAFÍOEn el siguiente gráfico circular se muestra los resultados de una encuesta acerca de las preferencias de ciertos géneros musicales, sobre un total de 800 encuestados.
B a lada20%
R oc k30%
S a ls a35%
O tros5%
C rio llo10%
1. ¿Cuántos encuestados prefieren más salsa que rock?
a. 280 b. 240 c. 256 d. 80 e. 40
2. ¿Cuántos de los encuestados prefieren más salsa y rock, que los
demás géneros musicales?
a. 280 b. 520 c. 480 d.360 e. 240
COLEGIO TRILCE Página 34
ARITMETICA
A. MEDIA ARITMÉTICA
Viene a ser la suma de todos los datos dividido entre el número total de
datos.
Ejemplo: Sean las notas de un grupo de alumnos las siguientes:
12; 15; 12; 11; 16; 19; 12
La media aritmética es:
85,137
12191611121512
B. MODA
Es el número que más se repite o de mayor frecuencia en un conjunto de
datos ordenados.
Ejemplo: Del ejemplo anterior: 11; 12; 12; 12; 15; 16; 19
COLEGIO TRILCE Página 35
ARITMETICA
La moda: es: 12
C. MEDIANA
Es el número ubicado en el centro de la ordenación cuando el número de
datos es impar y la semisuma de los dos centrales, cuando el número de
datos es par.
Ejemplo: Del ejemplo anterior: 11; 12; 12; 12; 15; 16; 19
La mediana es: 12
PROBABILIDADES
En la actualidad se ha inventado juegos en donde interviene el azar, es decir
donde no se sabe quien va a ganar solamente se dan resultados probables.
Fórmula:
P =núm ero de resu ltados favorab les
total de posib les resu ltados
• Ejemplo 1:
Si lanzo un dado al aire, ¿cuál es la probabilidad de que me salga el
número 5?
Resolución: 61
posiblesresultados6favorableresultado1
P
• Ejemplo 2:
En una caja tengo seis bolas de color verde y cuatro amarillas. Sin mirar
saco una, ¿cuál es la probabilidad de que me salga verde? ¿y amarilla?
COLEGIO TRILCE Página 36
ARITMETICA
Resolución: 52
104
P;53
106
P amarilloverde
LISTOS… A TRABAJAR
1. Calcular la media aritmética de las notas obtenidas por 11 alumnos del 6to
grado en la asignatura de Aritmética en el Tercer Bimestre.
Nota: 12; 14; 12; 15; 12; 11; 10;11; 12; 14 y 14
2. Los ahorros mensuales, en nuevos soles, de Gabriel son:
20; 25; 20; 20; 20; 25; 40; 50; 40; 50; 40 y 30.
a. Calcula la media aritmética.
b. ¿Cuál es la moda?
c. Hallar la mediana.
3. Indica cuál es la moda del siguiente conjunto de datos:
9; 7; 5; 4; 3; 4; 9; 3; 4; 7; 8; 10; 7; 11; 7; 6; 2; 10; 7; 2; 3; 4
4. Dados los siguientes valores de las edades de algunos niños de primaria:
5; 6; 7; 7; 7; 8; 8; 9
la media aritmética, la mediana y la moda son:
COLEGIO TRILCE Página 37
ARITMETICA
5. Se lanza un dado al aire, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número
par? ¿y un número impar?
6. En una bolsa hay cuatro bolas azules, cinco bolas verdes y dos negras.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola al azar salga una bola
azul?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar salga una bola verde?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar salga una bola negra?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola al azar salga una bola
azul o una bola verde?
7. En una bolsa hay 12 bolas señaladas con los números:
1; 2; 3; 4; 5; 6; . . . . ; 12
a. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola, ésta tenga un divisor
de 12?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola, ésta tenga un
múltiplo de 3?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola, ésta tenga un
número menor que 10?
8. Indica cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número:
a. múltiplo de 2.
b. divisor de 5.
c. menos que 4.
9. Si lanzamos una moneda al aire:
a. ¿Qué probabilidad hay de que salga cara?b. ¿Qué probabilidad hay de que salga sello?
DEMUESTRA LO APRENDIDO
COLEGIO TRILCE Página 38
ARITMETICA
1. Calcular la media aritmética de las notas obtenidas por un alumno del 6to
grado en el curso de aritmética.
Nota: 18; 20; 16 y 14
a. 14 b. 15 c. 16 d. 17 e. 18
2. Los gastos diarios, en nuevos soles, de Carlos son:
30; 20; 40; 20; 30; 30; 40
calcular:
I. La media aritmética II. La moda III. La mediana
Dar como respuesta la suma de los resultados obtenidos.
a. 30 b. 60 c. 90 d. 120 e. 150
3. En el último examen bimestral del curso de Aritmética de 10 preguntas se
observó que un grupo de alumnos respondieron la siguiente cantidad de
preguntas:
7; 6; 8; 10; 7; 3; 9; 3; 8; 7; 10; 8; 7; 6 y 6
Calcular:
I. La moda II. La mediana III. La media
aritmética
Dar como respuesta la suma de los resultados obtenidos.
a. 15 b. 18 c. 20 d. 21 e. 24
4. En una bolsa hay dos bolas azules; tres bolas rojas y cinco bolas amarillas.
I. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola al azar salga una bola
azul?
II. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar salga una bola amarilla?
Dar como respuesta la suma de los resultados obtenidos.
COLEGIO TRILCE Página 39
ARITMETICA
a. 103
b. 104
c. 105
d. 107
e. 109
5. Indica cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número:
I. multiplicado 3 II. menor que 5
Dar como respuesta la suma de los resultados obtenidos.
a. 61
b. 62
c. 63
d. 65
e. 1
REGLA DE TRES.
1. Los 73
de la capacidad de un estanque es 8 136 liltros. Hallar la capacidad del estanque.
2. Si 21
docena de una mercadería cuesta S/.4 050. ¿Cuánto será el importe de dos docenas?
COLEGIO TRILCE Página 40
ARITMETICA
3. Una casa es de dos hermanos, la parte del primero, que es los 135
de la casa, está valuada en S/.15 300. Hallar el valor de la parte del otro hermano.
4. Una fuente brinda 1 200 litros de agua en 10 minutos. ¿Cuántos litros más
dará en una hora?
5. Un grupo de amigos disponía de S/.360 para gastar vacacionando durante
cuatro días. ¿Para cuántos días les alcanzará S/.630?
PORCENTAJE.
1. Jorge ahorró en una cooperativa 1 500 nuevos soles durante cinco meses al
4%. ¿Cuánto ganó?
2. María prestó su dinero a una amiga, bajo las siguientes condiciones: capital
= 60 000 nuevos soles; tiempo = 2 años al 20%; ¿qué intereses se generó?
3. Calcular el 20% del 5% de 80 000.
4. Calcular el 6% del 30% de 30 000.
5. En un colegio el 40% son mujeres, si se sabe que la cantidad de mujeres es
200, ¿cuántos varones hay en el colegio?
INICIACIÓN A LA ESTADÍSTICA.
1. Analiza e interpreta los resultados de alguna encuesta de opinión.
• Identifica la institución o personas responsables de la encuesta:
a. ¿Es una institución conocida? ¿Es especializada en encuestas de
opinión? Pertenece a un grupo con características particulares? (Por
ejemplo, a un partido político, a un grupo económico, iglesia, etc).
• Revisa la ficha técnica de la encuesta:
b. ¿Qué cobertura tuvo?
COLEGIO TRILCE Página 41
ARITMETICA
c. ¿La respuesta es considerada representativa de qué población? (el país;
las mujeres mayores de 18 años; etc).
• Discute respecto a las limitaciones que podría tener la encuesta
para obtener conclusiones generales: por ejemplo, si fue una
encuesta telefónica ¿podría considerarse representativa de toda la
población? ¿por qué?
• Lee y discute los resultados de la encuesta (gráficos y tablas) y
discute sobre las conclusiones que como estudiantes, podrían sacar
a partir de esos resultados y justifica. Debate acerca de la validez
de las conclusiones propias y de las entregadas por los autores o
autoras de la encuesta.
• Haz la encuesta analizada en el colegio analizando los resultados y
comparándolos con los de la encuesta original. Busca explicaciones
a las diferencias o similitudes de los resultados.
2. Organizados en pequeños grupos preparar y presentar un trabajo respecto
a un tema de interés que incluya información estadística que aporte a la
caracterización y análisis del tema que se quiere comunicar.
a. Recopilar información en diarios, revistas, boletines oficiales, etc.,
referidas a un tema de su interés.
b. Organizar la información de acuerdo a criterios que deben hacer
explícitos (por ejemplo, cronológicamente, según fuentes, etc.)
c. Formular preguntas referidas al tema elegido. (Mínimo cinco preguntas)
ELABORACIÓN E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS ESTADÍSTICOS.
1. Hasta el año 1999, se había registrado que en el mundo había 350 millones
de personas vivas infectadas con Hepatitis B.
Fuente: INE, ministerios, servicios públicos y publicaciones periódicas, en general
a. Considerando que la población mundial actual se estima en 6 mil
millones, ¿cuál era la razón entre las personas infectadas y el total de la
población mundial?
b. ¿Es correcto decir que, aproximadamente 6 de cada 100 personas vivas
estaban infectadas con el virus de la Hepatitis B?
COLEGIO TRILCE Página 42
ARITMETICA
2. El 55% de los niños y niñas que cursan primaria presentan problemas de
caries. (Total de niños y niñas 500 alumnos)
Fuente INE, ministerios, servicios públicos y publicaciones periódicas, en general.
a. ¿Cuántos niños y niñas por cada 100 de primaria tienen problemas de
caries?
b. Según esta información ¿cada cuántos alumnos de primer año uno de
ellos tiene problemas de caries aproximadamente?
3. Recopila en diarios y revistas informaciones presentadas en gráficos,
incluidos los gráficos circulares.
a. Lee y analiza las informaciones, discute por qué algunas se presentan
en gráficos de barras y otras en gráficos circulares.
b. Relaciona los porcentajes señalados en los gráficos circulares con la
porción del área de la circunferencia (aproximadamente) que ocupan.
4. Realiza una encuesta entre tus compañeros del colegio referente a los tipos
de artefactos de audio y video usados en sus hogares.
a. Tabula la información.
b. Completa tablas con los resultados de las encuestas.
c. Construye un gráfico circular con la información.d. Escribe conclusiones referidas al tipo de artefactos de audio y video
más usados, menos usados, etc.
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