Atómlíkan Schrödingers og líkindatúlkunin

Líkan BohrsÁratuginn eftir að Bohr setur fram sitt líkan af atóminu er

það ráðandi.Það gaf góða niðurstöður fyrir litróf vetnis en var

ófullnægjandi fyrir önnur atóm þrátt fyrir endurbætur.Engar verulegar breytingar urðu fyrr en með þeirri

hugmynd de Broglie að rafeindin hafi einnig bylgjueiginleika.

Bylgjueiginleikar rafeindarUnnt er að nota bylgjueiginleika rafeindarinnar til að

skýra hvers vegna aðeins sumar brautir eru leyfðar umhverfis kjarnann.

Til að bylgja umhverfis kjarnann eyðist ekki þarf hún að vera staðbylgja, þ.e. um hana þarf að gilda (Aths IV):

n

r

nnr

2

...,3,2,1;2

Þetta merkir að ummál brautar rafeindar þarf að vera heilt margfeldi af (hálfri) bylgjulengd rafeindar.

Þá fæst stöðug bylgja sem umlykur kjarna atómsins.

Því fjær kjarna sem brautin er, því lengra er ummál brautarinnar og því fleiri bylgjulengdir rúmast á brautinni.

Jafna SchrödingersEf til eru efnisbylgjur, er þá hægt

að lýsa þeim með jöfnu?Erwin Schrödinger (1887-1967)

einsetti sér að finna jöfnu fyrir bylgju rafeindarinnar.

Til þess notaði hann klassíska bylgjufræði og ályktaði að hún væri ágæt nálgun fyrir bylgjuna.

Út frá hefðbundinni bylgjufræði má fá jöfnu sem lýsir bylgjunni :

0222

2

UEm

dx

d

Þessi jafna er kölluð tíma-óháða Schrödinger jafnan. Stærðin er sveifluvídd bylgjunnar. Bylgjufallið (x) lýsir staðbundnum ástöndum þar sem E helst óbreytt yfir tíma.

Athugið að jafnan er ekki leidd út heldur rökstudd.

Eftir að jafna Schrödingers var sett fram reyndu menn að átta sig á hvað bylgjufall rafeindarinnar merkti.

Max Born setti fram þá hugmynd 1927 að þetta styrkur fallsins væri í réttu hlutfalli við líkur á að finna rafeindina.

Bylgjufallið er þá einhvers konar líkindadreifing fyrir rafeindina.

Fyrir staka rafeind gefur 2 líkur á að finna rafeindina á tilteknum stað á tilteknum tíma.

Ef lýsir safni rafeinda þá verður 2 í réttu hlutfalli við fjölda rafeinda á tilteknum stað.

Tveggja raufa tilraun YoungsSnemma á 19. öld gat

Thomas Young sýnt fram á bylgjueiginleika ljóss með því að sem ljósgeisla um tvær mjóar raufar með stuttu bili á milli.

Handan raufanna kemur fram samliðunar-mynstur.

Tveggja raufa tilraunin fyrir rafeindirUnnt er að sýna fram á

bylgjueiginleika rafeindar með því að senda rafeindir um mjög mjóar raufar.

Handan raufanna kemur fram samliðunar- mynstur þrátt fyrir að rafeindirnar séu sendar ein og ein.

Skiljanlegt ef rafeindin er bylgja en ef litið er á rafeindina sem ögn verður að styðjast við likindatúlkun.

Atómlíkan SchrödingersJöfnu Schrödingers má beita á vetnisatómið og þá gefur

hún jöfnur sem lýsa bylgjufalli rafeindarinnar umhverfis kjarnann.

Styrkur bylgjufallsins á hverjum stað er í réttu hlutfalli við líkurnar á að finna rafeindina á því svæði.

Þetta gefur því nýja mynd af atóminu.

Í stað ákveðinna brauta með föstum radíus er í líkani Schrödingers aðeins hægt tala um líkur á að finna rafeindina í einhverri tiltekinn fjarlægð frá kjarnanum.

Þegar talað er um rafeindaský er í raun átt við líkinda-dreifinguna.

Líkindadreifingin fyrir grunnástand vetnisatóms fengin með jöfnu Schrödingers

SkammtatölurSíðar kom í ljós að til að lýsa atóminu þarf fjórar

skammtatölur:1. Aðalskammtatalan n : Heiltala sem gefur hvolf eða

ástand og má nota til að finna orku brautar eins og líkan Bohrs sagði til um.

2. Brautarskammtatala l : Ákvarðast af n því l er 0 eða (n-1) og tengist stærð hverfiþunga rafeindarinnar samkvæmt:

)1( llL

3. Segulskammtatala ml : Tengist stefnu hverfiþungans og getur tekið gildin +l og –l.

4. Spuni ms : Getur tekið tvö gildi +½ og – ½.

Er eina skammtatalan sem ekki kom beint út frá líkani Schrödingers heldur bætti Paul Dirac henni síðar við.Veldur fínstrúktúr í orkuþrepum.

Einsetulögmál Paulis: Engar tvær rafeindir í atómi eru í sama skammtaástandi.

Werner HeisenbergÁ sama tíma og Schrödinger

þróaði jöfnu sína bjó Werner Heisenberg (1901 – 1976) til aðra lýsingu á bylgju-eiginleikum rafeindarinnar en notar fylkjareikning.

Þeir deila um hvort er rétt framsetning en síðar kemur í ljós að þessar tvær framsetningar eru jafngildar.

ÓvissulögmáliðÍ framhaldi af uppgötvunum sínum áttaði Heisenberg

sig á því að það eru takmörk á því hversu mikið við getum vitað um náttúruna vegna:

1. Til að mæla hlut þarf að snerta eða víxlverka við það sem er mælt og breyta þá því sem mælt er.

2. Tvíeðli ljóss – nákvæm staðsetning þegar rafeind er staðsett með ljósi, gerir kröfu á stutta bylgjulengd ljóssins en það þýðir orka ljóseindarinnar er mikil og því fær rafeindin mikla orku frá ljóseindinni.

Í framhaldi af þessu setur Heisenberg fram óvissulögmálið sem setur takmörk á vitneskju okkar. Lögmálið má setja fram á tvo vegu:

Fyrri jafnan takmarkar þekkingu á staðsetningu og skriðþunga en sú síðari takmarkar þekkingu á orku og tíma.

Ef við vitum hvar ögnin er þá vitum við ekki hvert hún er að fara.Seinni jafnan segir að í stuttan tíma getum við ekki vitað orku

agnarinnar nákvæmlega.Varðveisla orkunnar þarf ekki að gilda í takmarkaðan tíma.

px tE

LíkindatúlkuninEðlisfræði Newtons gerir ráð fyrir að heimurinn lúti

nauðhyggju (deterministic) sem merkir að ef upphafsaðstæður eru þekktar þá er alltaf hægt að reikna út endinn.

Skammtafræðin segir að þetta sé ekki alltaf hægt eins og t.d. fyrir rafeindir í tveggja raufa tilrauninni. Ekki er unnt að segja fyrir um hvar rafeindin endar og sams konar rafeindir með sama upphafsástand lenda ekki allar á sama stað.

Í náttúrunni er eitthvað sem ekki er hægt að spá fyrir um.

KaupmannahafnartúlkuninSú sýn á líkindaeðli heimsins

sem almennt er viðurkennd er nefnd Kaupmannahafnartúlkunin til heiðurs Niels Bohr sem var helsti höfundur hennar.

Sumir áttu þó erfitt með að sætta sig við þessa túlkun og þeirra þekktastur var Albert Einstein – “Guð kastar ekki teningum”.

Solvay 1927

Kaupmannahöfn 1930

Fremsta röð: Bohr, Heisenberg, Pauli, Gamov, Landau

Fremsta röð: Bohr, Dirac, Heisenberg, Ehrenfest, Delbruck, Lisa Meitner

Kaupmannahöfn 1933