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AULA 12 - TRIGONOMETRIA Triângulo retângulo
Um triângulo retângulo é aquele que
tem um ângulo reto (90º).
A
B Ca
bc
X
Y
Z
x
y
z
R
S
Tr
s
t
Em um triângulo retângulo temos:
a) Hipotenusa: é o lado
oposto ao ângulo reto.
Nas figuras acima são
hipotenusas: a, x e r.
b) Catetos: são os outros
dois lados do triângulo.
Nas figuras são catetos:
b, c; y, z e s, t.
Relações trigonométricas no triângulo
retângulo
A
B
C
a
b
c
No triângulo retângulo acima
consideremos o ângulo C formado pelo
lado b e a hipotenusa a.
O lado b denomina-se cateto adjacente
ao ângulo C. (É o cateto que faz parte da
constituição do ângulo).
O lado c denomina-se cateto oposto ao
ângulo C.
Os lados do triângulo e um dos ângulos (não o reto) podem ser relacionados por:
a
c
hipotenusa
oposto catetoC sen
a
b
hipotenusa
adjacente catetoC cos
b
c
adjacente cateto
oposto cateto
C cos
Csen C tg
300 450 600
Seno 2
1
2
2
2
3
Co-seno 2
3
2
2
2
1
Tangente 3
3
1 3
OBSERVAÇÃO TODO TRIÂNGULO RETÂNGULO COM DOIS ÂNGULOS DE 45º É UM TRIÂNGULO ISÓSCELES, OU SEJA, TEM CATETOS IGUAIS.
Exemplos:
a) Em um triângulo retângulo a hipotenusa vale 4 m e dos ângulos agudos vale 60º. Determine os dois catetos do triângulo.
m 22
14.b
60º cos ab a
b60º cos
m 322
34.c
60º sen ac 60º
a
csen
(450
450
(
(450
450
(
2
b) Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 5 m e um dos catetos 2,5 m. Determinar o ângulo formado pela hipotenusa e por esse cateto. Determine o outro cateto.
A
B Ca = 5 m
bc = 2,5 m
c) Em um triângulo retângulo os lados valem 3 m, 4 m e 5 m. Determine o seno, o co-seno e a tangente do ângulo formado entre o lado de 3 m e o de 5 m.
3 m
4 m
5 m
Todo triângulo de lado 3, 4 e 5, ou múltiplos destes valores, é denominado Triângulo Pitagórico. EXERCÍCIOS 1) Calcule o valor de x, no triângulo retângulo a seguir.
2) Calcule sen e sen no triângulo a seguir.
3) Calcule x e y no triângulo a seguir. 4) Demonstre que sen 300 = cos 600 , sen 600 = cos 30 0 , sen 450 = cos 450 ,
0
0
60
130
tgtg e tg 450 = 1.
a) a a a b)
a 2a
a 5) Uma escada de 12m de comprimento está apoiada em um muro fazendo com este um
m 32,5b
2
35. 60º 5.sen sen ab )2ª
2
1
5
5,2
a
c cos )1ª
3,13
4
6,05
3 cos
8,05
4
tg
sen
) 30 0
30 cm
x
.
.
3
4
) (
9
x
y 45 0
60 0
.
2
a
. 60 0 )
.
2
3ah
3
ângulo de 60º. A altura do muro é: (Faça a figura). 6) Desde os tempos da Antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram resolver, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção. No primeiro caso, para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Se a distância entre os observadores fosse igual a 50 metros, a distância entre o barco e costa seria de: 7) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento para medir ângulos) a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30º, como indicação na figura abaixo.
Sabendo que o teodolito está a 1,5 m do solo, determine a altura do edifício. Dados: sen30º = 0,5, cos30º = 0,866 e tg 30º = 0, 577.
8) Na figura abaixo, o ângulo DAC é reto, e o ponto D pertence ao segmento de reta AB. Sabendo que AC = 5 m, AD = 2 m e BC = 13 m, a área do triângulo DBC é:
Dica: Área do triângulo: BsenBCDBA ˆ..2
1
9) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120º com a margem do rio.
A
Sendo a largura do rio 60 metros, calcule a distância, em metros, percorrida pelo barco. 10) Para obter a altura de um morro, um topógrafo
estaciona o teodolito em A, obtendo o ângulo . Depois se aproxima do morro, colocando o aparelho em B. Mede também AB = d. Desprezando a altura do teodolito, qual é a altura h
do morro?
RESPOSTAS
1) 310
2) 5
3e
5
4
3) 33933 yex
4) Demonstração 5) 6 m 6) 50 m 7) H = 116,9 m 8) A = 25
9) m340d
10)
tgtg
tg.tg.dx
TRIGONOMETRIA
30º
x
h
120º
A D
B
C
A B
d
A B
d
4
A origem da trigonometria é incerta. Porém, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu pela necessidade de solucionar problemas gerados pela construção de pirâmides, largura de rios, Astronomia, Agrimensura e navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. É possível encontrar problemas envolvendo a cotangente no Papiro Rhind e também uma notável tábua de secantes na tábua cuneiforme babilônica Plimpton 322. Surgiu então, na segunda metade do século II a.C., um marco na história da trigonometria: Hiparco de Nicéia (180-125 a.C.). Fortemente influenciado pela matemática da Babilônia, ele acreditava que a melhor base de contagem era a 60. Não se sabe exatamente quando se tornou comum dividir a circunferência em 360 partes, mas isto parece dever-se a Hiparco, assim como a atribuição do nome arco de 1 grau a cada parte em que a circunferência ficou dividida. Ele dividiu cada arco de 10 em 60 partes obtendo o arco de 1 minuto. Sua trigonometria baseava-se em uma única função, na qual a cada arco de circunferência de raio arbitrário, era associada à respectiva corda. Entretanto o documento mais antigo conhecido sobre o assunto data-se do século II d.C. e denominou-se Almagesto, de autoria de Ptolomeu. A palavra trigonometria:
TRI três
GONO ângulos
METRIA medida
Portanto significa medida dos três ângulos de um triângulo e as relações entre as medidas dos lados e dos ângulos. Os construtores egípcios usavam muito as razões entre a elevação vertical e o afastamento horizontal e chamavam-na de seqt, como mostrado no exemplo abaixo:
330
90seqt
Percebe-se que eles usavam uma razão que hoje é conhecida como cotangente. APLICAÇÕES
Topografia – largura de um rio
Física - Decomposição de forças
Quando a força é aplicada em uma direção e queremos analisar seus efeitos em outras direções.
c
a
b
A
CB
c
a
b
A
CB
30 m
90 m
30 m
90 m
F
Fx = F.cos
Fy = F.sen
F
Fx = F.cos
Fy = F.sen
a
50 m
5
Problemas de equilíbrio
Utilizando a lei dos senos:
Problemas de dinâmica
Movimento harmônico simples
Corrente alternada
).(. tsenii máx
ARCOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA Se dois pontos, A e B, são marcados sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes, chamados de arcos.
0
3
0
2
0
1
903753 sen
T
sen
T
sen
T
P = m.g
Py = P.cos
Px = P.sen
N
P = m.g
Py = P.cos
Px = P.sen
N
v = - A.sen(t)
x = A.cos(wt)
a = - 2.A.cos(t)
v = - A.sen(t)
x = A.cos(wt)
a = - 2.A.cos(t)
6
Se A e B coincidem, têm-se duas possibilidades arco nulo e de uma volta. Arco nulo Arco de uma volta MEDIDA DE UM ÂNGULO Dado um ângulo AÔB, constrói-se, com centro em O, uma circunferência de raio R, então os lados do
ângulo determinam um arco BA
, logo a medida
do ângulo AÔB é a mesma do arco BA
em relação a um padrão definido. UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS
a) Grau: é um arco igual a 360
1da circunferência.
Não se sabe ao certo quais as razões pelas quais, foi escolhido o número 360 para se dividir a circunferência, sabe-se apenas que o número 60 é um dos menores números menores do que 100 que possui uma grande quantidade de divisores distintos, a saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, razão forte pela qual este número tenha sido adotado. O arco de uma volta mede 360 0 e o arco nulo 00.
4
1de volta mede 900 ou ângulo reto.
Subdivisões do grau: Com a circunferência dividida em 360 partes, a divisão de cada uma dessas partes em 60 partes menores e também na divisão de cada uma dessas partes em 60 partes menores. Uma garantia para isto é que os babilônios usavam frações com potências de 60 no denominador. As frações sexagesimais babilônicas, usadas em traduções árabes de Ptolomeu, eram traduzidas como: “primeiras menores partes” = sexagésimos “segundas menores partes”= sexagésimos de sexagésimos Quando tais palavras foram traduzidas para o latim, tem-se: “primeiras menores partes” = pars minutae primae “segundas menores partes” = pars minutae secundae de onde apareceram as palavras minuto e segundo. 10 = 60’ , 1’ = 60’’ , 10 = 3600’’ b) Radiano Radiano é a medida do ângulo central que determina na circunferência um arco cujo comprimento é igual ao raio.
Comprimento de um arco cujo ângulo central é :
O IRRACIONAL
BA
rBAmed .
7
O número pi (representado habitualmente pela letra
grega ) é o irracional mais famoso da história, com o qual se representa a razão constante entre o perímetro de qualquer circunferência e o seu diâmetro .
O é expresso por uma dizima infinita não periódica:
= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279
50288 41971 69399 3751...
EQUIVALÊNCIAS ENTRE GRAUS E RADIANOS Pela regra de três diretamente proporcionais, pode-se converter graus para radianos ou radianos para graus.
Na proporção que segue, conhecido G (graus) pode-se obter R (radianos).
Na proporção que segue, conhecido R (radianos) pode-se obter G (graus).
Graus Radianos
180
G R
EXERCÍCIOS
1) Determine a medida , em radianos, de um arco de comprimento 24 cm, em uma circunferência de raio 12 cm.
2) Determine o comprimento do arco da figura:
3) Calcule a medida em graus do arco de 1 rad. 4) Calcule em radianos os seguintes ângulos em graus: a) 1200 b) 2400 c) 3000 d) 1500 e) 2100 f) 3300 5) Obter graficamente, o cosseno, o seno e a tangente de 300 . 6) No triângulo retângulo a seguir mostre que:
)
1350
8 cm
)
1350
8 cm
cc bb
aa
A
B
cc bb
aa
cc bb
aa
A
B
8
a) 1cos22 sen
b)
cos
sentg
c)
cos2
sen
e
sen
2cos
SEGMENTO ORIENTADO Determinado por um par de pontos e uma orientação.
C
A BA B
9
Caracteriza-se por apresentar módulo, direção e sentido. Medida de um segmento Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real positivo. A medida do segmento é o seu
comprimento ou módulo , indicado por BA
.
u
BA
= 6 u.c.
Direção e sentido Dois segmentos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas.
• Só comparamos os sentidos de dois
segmentos
orientados se eles têm a mesma direção. • Dois segmentos orientados opostos têm
sentidos contrários.
ARCO ORIENTADO
Um arco BA
de uma circunferência admite dois sentidos de percurso: de A para B ou de B para A; convenciona-se que arcos no sentido anti-horário são positivos e no sentido horário negativos.
traçado no sentido anti-horário;
raçado no sentido horário;
DIVISÃO EM QUADRANTES Fixada a origem no ponto 0º, os quadrantes são em ordem crescente registrados no sentido anti-horário ou sentido positivo.Considerando um
ponto P sobre a circunferência,
P pretence ao 1º
quadrante, se 0º < P < 90º
P pretence ao 2º
quadrante, se 90º < P < 180º
P pretence ao 3º
quadrante, se 180º < P < 270º
P pretence ao 4º
quadrante, se 270º < P < 360º
Quando o ponto P coincidir com qualquer um dos pontos: 0º , 90º, 180º, 270º e 360º, dizemos que são
extremos e por isso não pertencem a nenhum quadrante ARCOS FUNDAMENTAIS POSITIVOS (SENTIDO ANTI-HORÁRIO)
Circunferência dividida em arcos notáveis. Em graus
AB
A
B
`C
D
A
B
`C
DAB
A
B
A
B
`C
D
A
B
A
B
`C
D
+
0º 360º 0
30º
135º 120º 60º
90º
150º
45º
180º
210º 330º
I II
III IV
10
Em radianos
ARCOS FUNDAMENTAIS NEGATIVOS (SENTIDO HORÁRIO)
Circunferência dividida em arcos notáveis. Em graus
Em radianos
ÂNGULOS COM MAIS DE UMA VOLTA Existem alguns fenômenos físicos que trazem a necessidade de ângulos com mais de uma volta, por exemplo: um carro dá várias voltas numa pista circular e para num certo ponto, que distância percorreu? Qual o número de rotações de um motor após certo tempo? A resposta a estas questões envolve arcos de mais de uma volta, cuja expressão é:
sendo:
20 a menor determinação.
k Z número inteiro
k2 expressão geral de todos os arcos
de menor determinação .
Atribuindo valores a pode-se obter a tabela a seguir:
k = 0 1ª. determinação positiva
A =
k = 1 2ª. determinação positiva
A = + 2
k = 2 3ª. determinação positiva
A = + 4
k = 3 4ª. determinação positiva
A = + 6
k = -1 1ª. determinação negativa
A = - 2
k = - 2 2ª. determinação negativa
A = - 4
ARCOS CÕNGRUOS
0
/6
5/4
0
3/4
2/3 º
/3
/2
5/6
/4
7/6
5/6 3/2
4/3
7/4
11/6
2
I II
III IV
0
-330º
-135º
-360º
-225º -240º -300º
-270º
-210º
-315º
-180º
-150º
-60º -90º
-120º -45º
-30º
0º
I II
III IV
/6
0
-3/4
-2
-5/4
-4/3 º
/3
-3/2
-7/6
/4
-5/6
-/6 -/2
-2/3
-/4
-/6
0
I II
III IV
kA 2
11
São arcos cujas medidas apresentam diferença
múltipla de 2 (ou 3600). Exemplo: 200 e 1.1000 1.1100 – 200 = 1.0800 = 3.3600
obs: Arcos de uma mesma família são côngruos. ALGUMAS EXPRESSÕES IMPORTANTES Pelo uso frequente no decorrer da trigonometria monta-se uma tabela de expressões de arcos mais frequentes.
Seja tal que ao 10 quadrante, ou seja, sua extremidade está no ponto B.
Extremidade Expressão
A 2k
B k2
C
k22
A1 + 2k
C1
k22
3
B e B1 k
C e C1
k2
A e A1 k
A, C, A1, C1
2
k
EXERCÍCIOS 1) Dado o triângulo ABC, obtusângulo em A conforme a figura abaixo e sabendo que a medida
“a” do lado BC é um número inteiro, então, o
cosseno relativo ao vértice A é:
A B
C
a2
6 2) Calcule as trações TAB e TAC nos fios e considere g = 10 m/s2 Diagrama do corpo livre: 3) Dado o triângulo ABC e sabendo que o lado a mede 16 , o lado b mede 10 e o ângulo formado por
estes lados é 60o, quais são os valores dos outros elementos ( lado c , e ângulos A e B ) do triângulo ?
4) Qual a menor determinação do arco 1817º. 5) O pneu de um automóvel, com 1 m de diâmetro, percorreu uma distância de 6280 m. Quantas voltas
deu o pneu? (considere = 3,14) 6) Um móvel, partindo da origem dos arcos, percorreu um arco de 3120º. Quantas voltas completas ele deu e em que quadrante parou?
BC
A1
C1
B1
BC
A1
C1
B1
300o 50o
TAC TAB
P
A
75 kg
30 o 50 o
B C
A
12
7) Dado o arco trigonométrico de 8700 , achar: a) A menor determinação b) O quadrante c) A expressão geral d) a 5ª determinação positiva e) a 6ª determinação negativa
8) Dado o arco trigonométrico de 3
22 , achar:
a) A menor determinação b) O quadrante c) A expressão geral 9) Ache a expressão geral de - 4220 20 ‘ 10) Verifique se os arcos de medidas 260 e 7460 são côngruos.
11) Verifique se os arcos de medidas 7
13 e
7
34 são côngruos.
12) Divide-se o ciclo em 12 partes iguais, utilizando-se A como um dos pontos divisores. Determine os
x tal que x [0,2] cujas imagens são os pontos divisores.
Im. de x
A P1 P2 B P3 P4 A’ P5 P6 B’ P7 P8
x
RESPOSTAS
1) 8
3Acos
2) N490TeN658T ACAB
3) c = 14 00 22,38B78,81A
4) 170 5) 1000 voltas 6) 8 voltas e 30 Quadrante 7) a) 1500 b) 20 Q c) EG = 1500 + 360K d) 15900
8) a) 3
4 b) 30 Q c)
K2
3
4
9) EG = 2970 40’ + 360K 10) São côngruos 11) Não são côngruos 12) Tabela
13
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO SENO
Dado um número real x [0,2], seja P sua imagem no ciclo. Denominamos seno de x e simboliza-se por sen x a medida do segmento orientado OP1 Montando a tabela a seguir têm-se alguns pontos para o gráfico de f(x).
Características da função seno
• D(f) = R
• Im(f) = [-1,1]
• Contínua
• Período = 2 rad
• Ímpar sen(-x) = - senx
• Sinais: + + - -
Orientação do seno para 300, 1500, 2100 e
3300
x (radiano) y = sen x
0 0
1
0
-1
2 0
2
2
3
xsenPO 1
30°
5,021
sen 30°
210°
5,021
sen 210°
330°
5,021
sen 330°
150°
5,021
sen 150°
14
FUNÇÃO COSSENO
Dado um número real x [0,2], seja P sua imagem no ciclo. Denominamos cosseno de x e simboliza-se por cos x a medida do segmento orientado OP2. Montando a tabela a seguir têm-se alguns pontos para o gráfico de f(x).
Características da função cosseno
• D(f) = R
• Im(f) = [-1,1]
• Contínua
• Período = 2 rad
• par cos(-x) = cosx
• Sinais: + - - +
Orientação do cosseno para 300, 1500, 2100 e
3300
x (radiano) y = cos x
0 1
0
-1
0
2 1
2
2
3
210°86,02
3
cos 210°
30°
86,02
3
cos 30°
330°
86,02
3
cos 330°
150°
86,02
3
cos 150°
xPO cos2
15
FUNÇÃO TANGENTE
Dado um número real x, tal que
kx 2
Seja o prolongamento do segmento MO
e
seja T sua interseção com o eixo das
tangentes. Chama-se tangente de x a medida
do segmento TA
, ou seja, y = tgx.
Montando a tabela a seguir têm-se alguns pontos para o gráfico de f(x).
Características da função tangente
• D(f) =
kx 2
• Im(f) = R
• Descontínua
• Crescente
• Período = rad
• Ímpar
• Sinais: + - + -
Tangente de alguns arcos notáveis:
x (radiano) y = tg x
0 0
-
0
-
2 0
2
2
3
2
2
3
tg 30°
30°
3
3 057 ,
rad
16
FUNÇÃO COTANGENTE
Dado um número real x [0,2], x {0, , 2},
seja P sua imagem no ciclo. Seja a reta PO
e
seja D sua interseção com o eixo das
cotangentes. Denomina-se cotangente de x e
simboliza-se cotg x a medida algébrica do
segmento DB
.
Tabela
Gráfico
Características da função cotangente
a) Domínio: kx
b) Im = R
c) Período =
d) Descontínua
e) Ímpar
tg 45°
45°
1
tg 60°
60°
73,13
tg 90°
90°
x
y
Quadrante Arco tg x cotgx
10 0 a 900 cresce de 0 a decresce de a 0
20 900 a 1800 cresce de - a 0 decresce de 0 a -
30 1800 a 2700 cresce de 0 a decresce de a 0
40 2700 a 3600 cresce de - a 0 decresce de 0 a -
17
f) Sinais + - + -
Cotangentes de alguns arcos notáveis
FUNÇÃO SECANTE
Tabela
Gráfico
Características da função secante
Domínio:
kx 2
Im = 11 youy
Período = 2
Descontínua
Par
Sinais + - - +
cotg 30°
30°
73,13
cotg 0°
0 °
cotg 45°
45°
1
cotg 120°
120°
57,03
3
Quadrante Arco cos x sec x
10 0 a 900 decresce de 1 a 0 cresce de 1 a
20 900 a 1800 decresce de 0 a -1 cresce de - a -1
30 1800 a 2700 cresce de -1 a 0 decresce de -1 a -
40 2700 a 3600 cresce de 0 a 1 decresce de a 1
18
Secante de alguns arcos notáveis
FUNÇÃO COSSECANTE Tabela Gráfico
Sec 0°
1
Sec 90°
Sec x =1
cos x
Sec x =1
cos x
Sec x =1
cos x
sec x =1
cos x
Quadrante Arco sen x cossec x
10 0 a 900 cresce de 0 a 1 decresce de a 1
20 900 a 1800 decresce de 1 a 0 cresce de 1 a
30 1800 a 2700 decresce de 0 a -1 cresce de - a -1
40 2700 a 3600 cresce de -1 a 0 decresce de -1 a -
sec 0
sec 900
xcos
1xsec
xcos
1xsec
xcos
1xsec
xcos
1xsec
19
Características da função cossecante
Domínio: kx
Im = 11 youy
Período = 2
Descontínua
Ímpar
Sinais: + + - -
TRANSFORMAÇÕES NO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Considere a um valor constante CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS
Características gráficas gerais da função seno
e cosseno:
Domínio: IR
Imagem: [a - b,a + b]
Período:
Observações:
a e b só interferem na imagem da
função.
m só interfere no período da função.
Exemplos:
Fazer o gráfico das funções a seguir,
determine também o domínio, imagem e o
período.
1) y = - sen x
nmxbsenay
mP
2
x
y
0
2
2
3 2
0x
0y
0x
nmxbay cos
20
2) y = 1 + sen x
Inicialmente monta-se a seguinte tabela.
x sen x y = 1 + sen x
3) y = 2cos 2x faz-se t = 2x
t
2
tx cos t y = 2cos t
x
y
0
2
2
3 2
x
y
0
21
4)
421
xseny faz-se
4
xt
t tx 4 sen t y = 1 + 2sent
5) Faça o gráfico de y = sen x e y = cos x no
intervalo de [0,2].
6) Esboce o gráfico de um período completo,
determine também o domínio e o período da
função
4
xtgy .
x
y
0
x
y
0
x
y
0
2
2
3 2
22
EXERCÍCIOS
1) Se x é um arco do 1º quadrante e tg x = 1, calcule
o valor do cos x.
2) Calcule tg (- 12000)
3) Determine o domínio da função f(x) = tg 2x. 4) Determine o domínio da função
y = tg (2x -3
).
5) Sendo k um número inteiro positivo, determinar quantos k existem, tais que:
sen x = k
512k
6) Determine o período da função f: IR IR,
definida por
42)(
xsenxf .
7) A curva mostrada no gráfico a seguir é uma senóide. Qual a função f(x) que representa está senóide de domínio [0, 2 ].
8) As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplesmente, pela função seno. Suponhamos que, para determinado porto, a variação da altura (h) da lâmina d’água em função das horas (t) do dia seja dada pela função
trigonométrica
12
tsen.410)t(h
.
Considerando a função h(t), determine o período do dia que um navio com 12 metros de casco pode permanecer no porto.
9) Uma bomba de água aspira e expira água a cada
três segundos. O volume de água da bomba varia entre um mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Determine uma função que relaciona o volume (y) de água na bomba, em função do tempo (t).
10) Sabendo que o gráfico abaixo é da função
y = a + sen bx, calcule o valor de a e b.
11) Faça o gráfico da função f: IR IR dada
por xsenxf )(
12) Faça o gráfico da função f: IR IR dada
por f(x) = sen 3x
13) Determine o período e a imagem da função
f: IR IR, definida por:
43cos.21)(
xxf .
14) Determine o domínio e o período das
funções:
a) y = sec 2x b)
3cot
xgy
15) Seja a função f:IR IR tal que
xsenxf 231)( . Pede-se:
a) O gráfico de f(x)
b) O domínio de f(x)
c) A imagem de f(x)
-1
4
3
2
1
0
/4
/2
/4
/4
/2
/4
f(x)
x
23
d) Os intervalos de crescimento e
decrescimento de f(x) no intervalo de
4
3,
4
e) Período de f(x)
16) Seja a matriz
00
00
390cos120
6525cos
sen
senA , calcule det(A)
17) Determine a função que representa o
gráfico a seguir:
18) Determine a função que representa o
gráfico a seguir:
19) Calcular o valor da expressão:
000
000
90gcot180tg180cos
180sec2360sec90seccos
20) Suponha que a expressão
P = 100 + 20 sen(2t) descreve de maneira
aproximada a pressão sanguínea P, em
milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa
durante um teste. Nessa expressão, t
representa o tempo em segundos. A pressão
oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima
e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio,
indicando que a pressão sanguínea da pessoa
é 120 por 80. Como essa função tem um
período de 1 segundo, o coração da pessoa
bate 60 vezes por minuto durante o teste.
a) Calcule o valor da pressão sanguínea
dessa pessoa em t = 0 s; t = 0,75 s.
b) Em que momento, durante o primeiro
segundo, a pressão sanguínea atingiu seu
mínimo?
RESPOSTAS
x
y
2 3 4
1
-1
x
y
8
8
3
2
4
2
1
2
1
24
1) 2
2
2) 3
3) 2
k
4x
4) 2
k
12
5x
5) 35
6) rad
7) f(x) = 2 + 2sen x
8) t1 = 2 h e t2 = 10 h
9)
t
3
2sen3y
10) a = 1 e b = 1
11)
12)
13) IM = [-3,1]
14) a) 2
k
4x
b)
k
3x
15)
a)
b) IR
c) IM = [-1,2]
d)
2,
4
decresce
4
3,
2
cresce
e) 2
P
16) zero
17) 2
xseny
18) x4sen2
1y
19) zero
20) a) P = 80 mmHg
b) t = 0,75 s
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
3
2
3
3
2P
25
Seja 2
kx , podem-se definir as seis
funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. Vamos obter as relações que a partir de uma delas é possível determinar as outras cinco. a) OP = OA = OP = 1
OP2 = cos x
PP2 = sen x
No triângulo OPP2 pode-se aplicar o teorema de Pitágoras:
2
2
2
2
2 PPOPOP 1 = cos2 x + sen2 x
b)
OAT ~ OPP2
2
2
OP
PP
OA
AT
AT = tg x OA = 1 PP2 = sen x
OP2 = cos x
x
xsenxtg
cos1
c)
OBD ~ OPP1
1
1
OP
PP
OB
BD
BD =cotg x OB = 1 PP1 = cos x
OP1 = sen x
xsen
xxg cos
1
cot
d) De acordo com as duas relações anteriores tem-se:
O P2 x
y
P
x
1cos22 xxsen
x
y
A
B
x
xsenxtg
cos
x
y
xsen
xxg
coscot
26
e)
OPC ~ OPP1
2OP
OP
OP
OS
x
x
cos
1
1
sec
f)
OPC ~ OPP1
1OP
OP
OP
OC
xsen
x 1
1
seccos
g) Sabendo-se que cos2 x + sen2 x = 1
dividindo a relação fundamental por cos2x
tem-se:
xcos
1
xcos
xsen
xcos
xcos22
2
2
2
1 + tg2x = sec2x com
k2
x
h) Sabendo-se que cos2 x + sen2 x = 1
dividindo a relação fundamental por sen2x
tem-se:
xsen
1
xsen
xsen
xsen
xcos22
2
2
2
cotg2x + 1 = cossec2x com x ≠ k
EXEMPLOS
xtgxg
1cot
xx
cos
1sec
xsenx
1seccos
xsecxtg1 22
xseccosxgcot1 22
27
1) Sendo x 40 quadrante e 5
1xcos ,
calcule as outras funções trigonométricas de x.
2) Sendo x 20 quadrante e tg x = - 3, calcule as outras funções trigonométricas de x. 3) Verifique a identidade cotg2x – cos2x = cotg2x . cos2x
4) Calcular cos x sabendo que
1mcom1m
m2xgcot
5) Se tg a + sen a = m e tg a – sen a = n, prove
que: nm
nmacos
28
6) Sabendo que 7
24xgcot e
2
3x
, calcular o valor da expressão
)xcos1)(xcos1(
xcos.xtgy
7) Calcular sen x e cos x sabendo que 3cos x + sen x = 1 8) Prove que
1xseccos
1
1xseccos
1xtg.xsec2
com
k2
x
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE
29
Quando fazemos operações com ângulos dos segundo, terceiro e quarto quadrantes, algumas vezes é necessário realizar a redução ao primeiro quadrante.
Redução do segundo ao primeiro
quadrante
Redução do terceiro ao primeiro
quadrante
Redução do quarto ao primeiro
quadrante
ou FIGURA GERAL DE REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE REDUÇÃO AO 10 QUADRANTE Na redução de quadrante aparecem basicamente dois tipos de funções:
F( ± x) valor de inteiro. Exemplos:
sen ( + x), cos(2 - x), tg ( - x).
valor de dividido por 2. Exemplos: Tabela de funções
F
sen cos
cos sen
tg cotg
cotg tg
sec cossec
cossec sec
Se a função apresentar-se:
tg)(tg
cos)cos(
sen)(sen
tg)(tg
cos)cos(
sen)(sen
tg)(tg
cos)cos(
sen)(sen
tg)2(tg
cos)2cos(
sen)2(sen
)
-
- 2 -
)
-
- 2 -
xF
2
xxsen
2cos,
2
3
30
F(a ± x) = ± F(x)
para a = 0, , 2, ... mantém a função original e o sinal é determinado pelo quadrante onde se encontra (a ± x). Se a função apresentar-se: F(a ± x) = ± (x) Para Muda a função original de acordo com a tabela de funções e o sinal é determinado pelo quadrante onde se encontra (a ± x). Exemplos:
a) sen( + x) =
b)
xsen
2
3
c) cos(2 - x) =
d) cos( + x) =
e)
x
2cos
f) tg ( - x) = g) tg (- x) =
h)
x
2
7cos
Comprovação de
cos2
sen
e
sen
2cos
Os triângulos OQT OPM são congruentes, assim:
PO =
2cos
PM =
2sen
PO = QT = OS = - sen (- pois o cosseno é – no segundo quadrante).
PM = OQ = cos
Logo:
sen
2cos e
cos2
sen
De modo análogo pode-se obter outras relações. Outro modo de comprovar as relações acima: Exemplo 1:
22sensen
De acordo com o quadrante do arco dado inicialmente que pertence ao 20 quadrante
, utiliza-se a relação - .
,...2
3,
2
a
2
2
2
31
xsensen
22
2
xxsenxsen cos22
2
Exemplo 2:
2
3
2
3sensen
-
cos22
3
sensen
Exemplos: 1) Reduzir ao primeiro quadrante: a) cos 1780 b) sen 2510 c) tg 2900
d) 6
gcot
e) sec 19240 f) 6
23seccos
g)
4
3tg
2) Sabendo que
cos2
sen e
sen
2cos , calcule
2tg ,
2gcot ,
2sec e
2seccos
30 quadrante
32
3) Simplificar as seguintes expressões:
a)
2sen b)
2cos
c)
2
3sen d)
2
3cos
e)
2
3sen f)
2
3cos
4) Simplificar a expressão 5) Simplificar a expressão
33
EXERCÍCIOS
1) Se 2
3xsec , x um ângulo de quarto
quadrante, determine as demais funções trigonométricas. 2) Calcule o valor de m, para que se tenha
simultaneamente 2m1xsen e
2mxcos
3) Sendo 2
1xsen e
2x
2
3 ,calcule
cos x – tg x
4) Se x é um arco do 3º quadrante e 5
4xcos
, calcule cossec x 5) Determine a condição para que exista
xcos
xsenxtg
6) Se existir x IR tal que 1axsen e
2
axcos , com a > 0, calcule o valor de a
7) Sendo xcos3xsen4 , para qualquer
valor real de x, calcule tg x 8) Das afirmativas a seguir, identifique a única opção verdadeira: a) sen215º = 1 - cos215º
b) sen215º + sen215º = 1
c) sen215º = (1 - cos15º)2
d) (sen215º - cos215º)2 = 1
e) sen15º + cos15º = 1
9) Se 0º < x < 90º e 2
1xcos , calcule o valor da
expressão xcotgxcossec
xseny
10) Sendo tg 1 = a e tg 2 = b , com 0º < 1 <
90º e com 0º < 2 < 90º, então a expressão
2cotgθ
1cotgθ
2tgθ
1tgθ
vale:
11) Calcule o valor da expressão
θ2
tg1
1θtgx
,
quando tg < 0, sen = a e cos = b, com 0b. 12) Calcule o valor da expressão
)1770(tg2580seccos
)3195cos(2910seny
00
00
13) Simplifique a expressão
x)cotgxx)(tgsenxx)(cosseccosx(secE
14) Preencha a tabela abaixo:
30º 45º 60º
cossec
sec
cotg
15) Se x e y são dois arcos complementares, calcule o valor de A = (cos x – cos y)2 + (sen x + sen y)2
16) Se x
2
3,
e cos x = -5
1 calcule o valor
de tg x
17) Se 5
2xsen e 900 < x < 1800 , então
calcule 1xcos
xcosxtgy
2
18) A expressão xcos
1–
xcos
xsen1
xsen1
xcos
é equivalente a:
19) Calcule o valor da expressão x2
tgx
2cos
x2
sen2
.
20) Calcule produto dos determinantes
1xsen
xsen1 e
1xtg
xtg1
34
RESPOSTAS
1) 3
5xsen
2
5xtg
5
2xgcot
5
3xseccos
3
2xsec
2) m = - 1
3) 6
35
4) 3
5
5)
k2
x
6) 5
8a
7) 4
3xtg
8) Letra A
9) 2
1y
10) ab
11) ba
bx
12) 6
63y
13) E = 1 14)
35
30º 45º 60º
cossec 2 2 3
32
sec
3
32 2 2
cotg 3 1
3
3
15) A = 2
16) 62
17) 2
5
18) sec x 19) 2 20) - 1
FÓRMULAS DE TRANSFORMAÇÃO
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS Sejam a e b arcos quaisquer. Nosso objetivo é determinar expressões trigonométricas do seno, cosseno e tangente dos arcos a + b e a – b.
1) bsen.asenbcos.acos)bacos(
Sejam os vetores veu
, cujas coordenadas
são )asen,a(cosu
e )bsen,b(cosv
, o
ângulo entre eles a – b. Utilizando a expressão que fornece o ângulo entre dois vetores têm-se:
vu
vu
cos
O módulo de veu
é: 1vu
1.1
bsen.asenbcos.acos)bacos(
Logo:
2) bsen.asenbcos.acos)bacos(
Sabe-se que a + b = a – (-b), então
)b(sen.asen)bcos(.acos)]b(acos[
mas cos(-b) = cos b e sen (-b) = -sen b
bsen.asenbcos.acos)bacos(
36
Assim
3) acos.bsenbcos.asen)ba(sen
)ba
2cos)ba(
2cosbasen
bsen.a2
senbcosa2
cosbasen
Mas
senaa2
cos
e acosa
2sen
3) acos.bsenbcos.asen)ba(sen
Partindo de
acos.bsenbcos.asen)ba(sen
e a – b = a + (-b), têm-se: 4)
k2
)ba(p/
k2
bp/
k2
ap/
)b(tg).a(tg1
)b(tg)a(tg)ba(tg
senb.asenbcos.acos
acos.bsenbcos.asen
)bacos(
)ba(sen)ba(tg
bcos.acos
senb.asen
bcos.acos
bcos.acos
bcos.acos
bsen.acos
bcos.acos
bcos.asen
)ba(tg
5)
k2
)ba(p/
k2
bp/
k2
ap/
)b(tg).a(tg1
)b(tg)a(tg)ba(tg
EXEMPLOS 1) Calcule cos 150
2) Dados 5
3xsen e
13
5ycos , calcule
cos (x + y), sabendo que 2
x0
e
2y2
3 .
bsen.asenbcos.acos)bacos(
acos.bsenbcos.asen)ba(sen
)b(sen.acos)b(cos.asen))b(a(sen)ba(sen
acos.bsenbcos.asen)ba(sen
btg.tga1
btgatg)ba(tg
)b(tg.tga1
)b(tgatg))b(a(tg)ba(tg
btg.tga1
btgatg)ba(tg
37
3) Sobre a função
xxsenxxsenxf 2cos.cos.2)(
Responda os itens a seguir: a) gráfico
t 3
tx y = sen t
b) Período c) Imagem 4) Verifique a seguinte identidade
22 sensen)(sen).(sen
5) Demonstre que se + + = 1800 então
tg.tg.tgtgtgtg
x
y
0
38
MULTIPLICAÇÃO DE ARCOS Conhecendo as funções circulares de um arco x, obter as funções dos múltiplos deste arco, isto é, seno, cosseno e tangente dos arcos 2x, 3x, 4x,... Essa situação recai na adição de arcos. Duplicação de arcos
acos.bsenbcos.asen)ba(sen
Fazendo a = b = x
xcos.xsenxcos.xsen)xx(sen
bsen.asenbcos.acos)bacos(
Fazendo a = b = x
xsen.xsenxcos.xcos)xxcos(
Fazendo a = b = x
Exemplos
1) Calcule o sen 3x e cos 3x
2) Mostre que e
xcos.xsen2)x2(sen
xsenxcos)x2cos( 22
btg.tga1
btgatg)ba(tg
xtg.tgx1
xtgxtg)xx(tg
xtg1
xtg2)x2(tg
2
2
x2cos1xsen 2
2
x2cos1xcos 2
39
3) Sendo 4
3xtg e
2
3x
, calcule sen
2x. 4) Esboce o gráfico da função y = 2.sen2x utilizando o gráfico de cos 2x.
t
2
tx
cos t y = 1 - cost
FÓRMULAS DE DIVISÃO Vamos obter fórmulas que permitem calcular
as funções trigonométricas de 2
x, conhecida
uma das funções trigonométricas de x. Já foi tratado anteriormente que
1acos2a2cos 2 e asen21a2cos 2 ,
fazendo: 2a = x, têm-se:
12
xcos2xcos 2
2
xcos1
2
xcos
2
xsen21xcos 2
2
xcos1
2
xsen
x
y
0
40
2
xcos
2
xsen
2
xtg
xcos1
xcos1
2
xtg
EXEMPLOS
1) Se 25
24xsen e
x
2, calcule as
funções circulares de 2
x.
TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO O objetivo agora é transformar uma adição ou diferença de funções trigonométricas em produto.
Para isso vamos utilizar as fórmulas de adição e diferença.
)b(sen).a(sen)bcos().acos()bacos( 4)
)b(sen).a(sen)bcos().acos()bacos( 3)
)acos().b(sen)bcos().a(sen)ba(sen 2)
)acos().b(sen)bcos().a(sen)ba(sen 1)
Somando a fórmula 1 de 2
)ba(sen + )ba(sen 2 )bcos().a(sen
Subtraindo a fórmula 1 de 2
)ba(sen - )ba(sen 2 )acos().b(sen
Somando a fórmula 3 de 4
)bacos( + )bacos( = )bcos().acos(2
Subtraindo a fórmula 3 de 4
)bacos( - )bacos( = )b(sen).a(sen2
Estas relações se chamam fórmulas de Werner.
qba
pba , logo
2
qpa
e
2
qpb
substituindo nas fórmulas de Werner obtém-se as fórmulas de transformação em produto:
2
qpcos.
2
qpsen2qsenpsen
2
qpcos.
2
qpsen2qsenpsen
2
cos.2
cos2coscosqpqp
qp
2
.2
2coscosqp
senqp
senqp
Têm-se ainda que:
qcos.pcos
)qp(senqtgptg
41
qcos.pcos
)qp(senqtgptg
EXEMPLOS 1) Transforme em produto: a) y = sen 5x + sen 3x b) y = 1 + sen 2x
c) bcosacos
bsenaseny
2) Seja a função f:IRIR dada por y = cos x –
sen x. Faça o gráfico dessa função.
t
4tx
sen t tsen.2y
EXERCÍCIOS
1) A expressão sen(x + 45o) + sen (x - 45o) equivale a:
0 x
y
42
2) Se cos a = -3
5, cos b =
4
7,
2
3a
e
2
πb0 , o valor de cos(a – b) – cos(a + b) é:
3) Se cos15º 15º
15º cos15º
senA
sen
, calcule o
determinante de (2A2)
4) Se 3
ba
, calcule o determinante
0bcossenb
0senaacos
100
5) Simplifique a expressão
2
xcos
xsen2x2seny
2
6) Se 4
33xcosxsen , calcule sen 2x.
7) Calcule o valor de y = sen700 cos500 + sen2600 cos2800 . 8) Transforme em produto 1+ cos x.
9) Sendo ....1263
x
e
.....125
16
25
4
54 y
, calcule sen (x + y ).
10) Considere a matriz quadrada
A =
o
cos54o
sen36
ocos72
osen18
. Calcule o
determinante de A
11) Simplifique a expressão y =
12x2
cos
x2
sen4
, e
deixe em função de sec x.
12) Sejam e as medidas de dois ângulos que
possuem as propriedades
αcosβtgeβsenαtg . Determine
cos( - )
13) Simplifique a expressão
2
x2sen
2
x2cos
2
xcos
2
xsen2
, o
14) Simplifique a expressão
2asen
a2
sena2
cos1
15) Seja a IR com 2
a0
. Simplifique a
expressão:
a
2sena
4
3sena
4
3sen
16) Se os números reais e , 3
4 ,
0 , maximizam a soma ,sensen
calcule o valor de . 17) Dada a expressão
x2senx2sen2
1
xcos2
1x2senE
2
, calcule o valor de E. 18) Um triângulo tem o lado maior medindo 1 m e dois de seus ângulos 270 e 630. Determine valor aproximado do perímetro desse triângulo.
Dados: cos 180 = 0,95 e 4,12
19) Calcule o valor da expressão
0
00
0
00
15cos
75sen15sen
15sen
75cos15cos
20) Se x, y e z são os ângulos internos de um
triângulo ABC e zcosycos
zsenysenxsen
, prove
que o triângulo ABC é retângulo.
43
RESPOSTAS
1) xsen.2
2) – 1
3) 4
4) 2
1
5) y = 4sen x
6) 16
11
7) 4
3
8) 2
xcos2 2
9) 4
26
10) zero
11) xsec2
12) sen)1cos.sen()cos(
13) sen x 14) cotg a
15) acos.2 2
16) 3
2
17) 1 18) 2,33 m 19) 6 20) Demonstração
44
FUNÇÃO ARCO-SENO
Uma função f, de domínio D possui inversa
somente se f for bijetora, por este motivo nem
todas as funções trigonométricas possuem
inversas em seus domínios de definição, mas
podemos tomar subconjuntos desses
domínios para gerar novas funções que
possuam inversas.
Seja a função f:RR / y = sen x , essa função
não é bijetora.
No entanto, restringindo o domínio da função
seno ao intervalo é possível definir
sua inversa, que é chamada função arco-
seno.
Se y = sen x, então x é o arco cujo seno vale y ou
x = arc sen y. Trocando x por y, tem-se y = arc sen
x, isto é a função inversa de f.
Exemplo:
GRÁFICO DOMÍNIO E IMAGEM
2,
2
45
Exemplos:
1) Se 2
1arcseny , calcule y.
2) Se
2
2arcseny , calcule y.
3) Se 2
3arcsen.2y
4) Calcular )1(arcseny
5) Determine o domínio da função
y = arc sen (2x-1)
FUNÇÃO ARCO-COSSENO
Da mesma forma que ocorre com a função
seno, a função cosseno não é sobrejetora,
46
nem injetora, portanto temos que limitar o
domínio da função cosseno ao intervalo [0,].
Assim o cosseno passa a ser definido como:
f: [0,] [-1,1]. Se y = cos x, então x é o arco
cujo o cosseno vale y, x = arccos y. Trocando
y por x, tem-se y = arccos x.
Exemplos:
1) Calcule
2
3arccosy .
2) Calcular )1arccos(y
3) Calcular
3
1arccosseny
4) Calcular
2
1arccosy
FUNÇÃO ARCO-TANGENTE
A função tangente tem domínio
kx 2
e é sobrejetora, mas não é injetora.
Para torná-la injetora basta restringir o
domínio ao intervalo
2,
2
. Assim ela
será definida como:
47
f:
2,
2
IR
Se y = tg x, então x é o arco cuja tangente vale
y,
x = arctg y. Trocando y por x, tem-se y = arctg
x.
Exemplos:
1) Calcule 0arctg
2) Calcular
3
3arctgseny
3) Calcular )1(arctgy
FUNÇÃO ARCO-COTANGENTE
A função cotangente tem domínio kx e
é sobrejetora, mas não é injetora.
Para torná-la injetora basta restringir o
domínio ao intervalo ,0 . Assim ela será
definida como:
f: ,0 IR
Se y = cotg x, então x é o arco cuja cotangente
vale y,
x = arccotg y. Trocando y por x, tem-se
y = arccotg x.
FUNÇÃO ARCO-SECANTE
A função secante tem domínio
kx 2
e
não é sobrejetora nem injetora. Para torná-la
bijetora deve-se defini-la da seguinte forma:
2
48
,
22,0:f ,11,
FUNÇÃO ARCO-COSSECANTE
A função cossecante tem domínio kx e
não é sobrejetora nem injetora. Para torná-la
bijetora deve-se defini-la da seguinte forma:
2,0,0
2:f
,11,
EXERCÍCIOS
1) Determine o valor de )5
3sen(arccosy .
49
2) Considere A = arc sen y
x e B = arc sen
x2y
y
com A e B pertencentes ao 1o
quadrante. Se x = 3 e y = 5, calcule sen (A + B).
3) Se 2
1arccos3x , calcule tg (2x).
4) Calcular
12
5arctg
5
4arccosseny
5) Calcular )2sec(arccostgy
6) Calcule
5
2cosarctg
7) Prove a identidade
47
1tgarc
3
1tgarc.2
8) Calcule
2
xtgarc.2sen
9) Resolva a equação
arc tg(7x – 1) = arc sec(2x + 1)
10) Sendo
2,
2
o contradomínio da
função arco-seno e [0,] o contradomínio da função arco-cosseno calcule
5
4cosarc
5
3senarccos
11) Considere as funções 4
75)x(f
x ,
4
75)x(g
x e h(x) = arc tg x. Se a é tal que
4))a(g(h))a(f(h
, calcule f(a) – g(a).
RESPOSTAS
50
1) 5
4
2) 65
56
3) zero
4) 65
56
5) 3
6) 2
21
7) 1
8) 2x4
x4
9) 3
1
10) 25
7
11) 2
7
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