Aula 8 . Inferência para várias populações normais . ANOVA

Aula 8. Inferência para várias populações normais. ANOVA

Capítulo 15, Bussab&Morettin “Estatística Básica” 7ª Edição

Análise de variância

(The ANalysis Of VAriance = ANOVA)

Experimentos com um fator.

http://www.uwsp.edu/psych/stat/12/anova-1w.htm

On-line ANOVA http://faculty.vassar.edu/lowry//anova1u.html

nxxx ,,, 21

amostra 1

população 1

população 2myyy ,,, 21

),(

,,,

21

21

NX

X

XXX

i

i

n

independentes

),(

,,,

22

21

NY

Y

YYY

i

i

m

independentes

amostra 2

μ1 e μ2 são iguais?

nxxx ,,, 21

amostra 1

(sub)população 1

(sub)população 2myyy ,,, 21

),(

,,,

21

21

NX

X

XXX

i

i

n

independentes

),(

,,,

22

21

NY

Y

YYY

i

i

m

independentes

amostra 2

μ1, μ2 e μ3 são iguais?

(sub)população 3pzzz ,,, 21

),(

,,,

23

21

NY

Y

ZZZ

i

i

p

independentes

amostra 2

Ideia básica: Vamos estimar a variância por dois métodos diferentes: um que não depende da veracidade de e outro que depende. Depois comparamos as duas estimativas. Se os grupos tiverem todos a mesma média (verdadeiro) as duas estimativas deverão ser próximas, senão deverão diferir significativamente.

Sentre grupos

k

i

n

jijTotal

i

yyS1 1

2)(

11 ,,1 njy j

22 ,,1 njy j

33 ,,1 njy j

y

k

i

n

jiij

k

iii

i

yyyyn1 1

2

1

2 )()(

1y

2y

3y

y

Decomposição de soma de quadrados total

k

i

n

jiij

k

iii

k

i

n

jijTotal

ii

yyyynyyS1 1

2

1

2

1 1

2 )()()(

k

i

n

jiijErro

k

iiiGroup

i

yyS

yynS

1 1

2

1

2

)(

)(

ErroGroupTotal SSS

Decomposição de soma de quadrados total

Height of tomato plants (in inches)

Treatments 1 2 3 74 76 87 68 80 91 77

Total 219 156 178 553Mean 73 78 89 79

1 -2 -2-5 2 24

k

i

n

jiij

k

iii

k

i

n

jijTotal

ii

yyyynyyS1 1

2

1

2

1 1

2 )()()(

1 4 425 4 416

58

-5 -3 8-11 1 12-2

25 9 64121 1 144

4368 310

73 78 89 79-6 -1 1036 1 100

3 2 2108 2 200 310

13

322212

312111

y

yyy

yyy

Total ErroGroup

Model

22 ,,1 njy j

33 ,,1 njy j

12

11 ,,1),( njNY j

diisãoY

nj

ki

NY

ij

i

iij

...2

,,1

,,1

),(.1 2

22

22 ,,1),( njNY j

32

33 ,,1),( njNY j

11 ,,1 njy j

Model

tesindependensãoY

nj

ki

NY

ij

i

iij

.2

,,1

,,1

),(.1 2

),0(

....2

,,1

,,1

.1

2

N

diisão

nj

ki

Y

ij

ij

i

ijiij

kiii

,,1

),0(

....2

,,1

,,1

.1

2

N

diisão

nj

ki

Y

ij

ij

i

ijiij

caso contrário

caso contrário

Inferência

k

i

n

jiij

k

iii

k

i

n

jijTotal

ii

yyyynyyS1 1

2

1

2

1 1

2 )()()(

ErroGroupTotal SSS

1. Se modelo vale e a hipótese nula é verdadeira: k 21

212

1

2

2

)(

k

k

iii

Group

yynS

2. Se modelo vale

kkN

k

i

n

jiij

Erro nnnN

yyS

i

212

2

1 1

2

2

)(

3. Então

kNkErro

Group FkNS

kSF

,1)/(

)1/(

Tabela de Análise de Variância

causas devariação

graus deliberades

somaquadrados

quadradosmédios

F-estatística níveldescritivo

entregrupos

k -1 SSGroup

SSErro

SSTotal

N - k

MSSGroup=SSGroup/(k-1)

MSSErro=SSErro/(N - k)

MSSGroup

MSSErro

dentrogrupos

total N -1

p

Tabela de Análise de Variância

causas devariação

graus deliberades

somaquadrados

quadradosmédios

F-estatística níveldescritivo

entregrupos

3 -1=2 310

58

368

7-3=4

310 / 2 =155

58 / 4 = 14.5

15514.5

dentrogrupos

total 7-1=6

0.025=10.7

Exemplo (Exemplo 15.2 Bussab&Morettin)

Uma escola analisa seu curso por meio de um questionário com 50 questões sobre diversos aspectos de interesse. Cada pergunta tem uma resposta, numa escala de 1 a 5, em que a maior nota significa melhor desempenho. Na última avaliação, usou-se uma amostra de alunos de cada período, e os resultados estão na tabela abaixo.

Período

Manhã Tarde Noite

4.2 2.7 4.6

4.0 2.4 3.9

3.1 2.4 3.8

2.7 2.2 3.7

2.3 1.9 3.6

3.3 1.8 3.5

4.1 3.4

2.8

Existem as indicações estatísticas para dizer que o desempenho no curso tem uma influencia de período de aplicação do curso?

On-line ANOVA http://faculty.vassar.edu/lowry//anova1u.html

On-line ANOVA http://faculty.vassar.edu/lowry//anova1u.html

On-line ANOVA http://faculty.vassar.edu/lowry//anova1u.html