View
281
Download
8
Category
Preview:
Citation preview
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI
(Jangka waktu : 9 sesi)
Sesi 1
Sudut Positif dan Sudut Negatif
Contoh
Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu
berada.
(a) 30Λ (c) 590Λ
(b) 3
4π rad. (d) β
7
3π rad.
Penyelesaian
(a)
(b)
y
x 30Β°
y
x
3
4π
(c)
(d)
Sinus, Kosinus, dan Tangen
y
x
590Β°
y
x
β7
3π
c b
a
π
sin π =π
π
kos π =π
π
tan π =sin π
kos π=
π
π
Contoh
Jika tan π =12
5, dengan 180Β° < π < 360Β°, tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai sin π dan
kos π.
Penyelesaian
Sesi 2
Sekan, Kosekan, dan Kotangen
c b
a
π
sek π =1
kos π=
π
π
kosek π =1
sin π=
π
π
kot π =1
tan π=
π
π
Contoh
Diberi π ialah sudut refleks dengan sek π =5
4. Tanpa menggunakan jadual atau kalkulator,
nilaikan
(a) kot π
(b) kosek ΞΈ
(c) sin π + kos π
Penyelesaian
(a) kot π =
(b) kosek π =
(c) sin π + kos π
=
SUDUT PELENGKAP
sin π = kos(90 β π)
kos π = sin(90 β π)
tan π = kot(90 β π)
sek π = kosek(90 β π)
kosek π = sek(90 β π)
kot π = tan(90 β π)
SUDUT NEGATIF
sin(βπ) = β sin π
kos(βπ) = kos π
tan(βπ) = β tan π
SUKUAN SETARA
[Sukuan II]
sin π = sin(180Β° β π)
kos π = β kos(180Β° β π)
tan π = β tan(180Β° β π)
[Sukuan III]
sin π = βsin(π β 180Β°)
kos π = β kos(π β 180Β°)
tan π = tan(π β 180Β°)
[Sukuan IV]
sin π = βsin(360Β° β π)
kos π = kos(360Β° β π)
tan π = β tan(360Β° β π)
Sesi 3
Sudut-Sudut Khas ππΒ°, ππΒ° πππ§ ππΒ°
Contoh
Tanpa menggunakan buku sifir atau kalkulator, cari nilai bagi
(a) sin 225Β°
(b) sek 660Β°
(c) sin 150Β° + kot(β150Β°)
2
1
ΞΎ3
30Β°
60Β°
ΞΎ2
45Β°
1
1
sin 30Β° =1
2 sin 60Β° =
ΞΎ3
2
kos 30Β° =ΞΎ3
2 kos 30Β° =
1
2
tan 30Β° =1
ΞΎ3 tan 60Β° = ΞΎ3
sin 45Β° =1
ΞΎ2
kos 45Β° =1
ΞΎ2
tan 45Β° = 1
Penyelesaian
(a) sin 225Β° = β sin 45Β°
= β1
ΞΎ2
(b) sek 660Β°
=
(c) sin 150Β° + kot(β150Β°)
=
225Β°
Sesi 4
Menyelesaikan persamaan trigonometri
Contoh 1
Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0Β° β€ π₯ β€ 360Β°.
(a) kos π₯ = β0.9063
(b) sin 2π₯ = 0.6691
(c) ΞΎ2 sin π₯ = 1
(d) kosekπ₯
2=
2
ΞΎ3
(e) 2 tan (1
2π₯ + 60Β°) + 3 = 1
Penyelesaian
(a) kos π₯ = β0.9063
0Β° β€ π₯ β€ 360Β°
π₯ = 155Β°, 205Β°
(b) sin 2π₯ = 0.6691
(c) ΞΎ2 sin π₯ = 1
25Β°
(d) kosekπ₯
2=
2
ΞΎ3
(e) 2 tan (1
2π₯ + 60Β°) + 3 = 1
Contoh 2
Selesaikan setiap persamaan trigonometri berikut bagi 0Β° β€ π β€ 360Β°.
(a) 3 sin π kos π = sin π
(b) 2 kot π = β tan(βπ)
(c) 4 tan π β kot π + 3 = 0
Penyelesaian
(a) 3 sin π kos π = sin π
(b) 2 kot ΞΈ = βtan (βΞΈ)
(c) 4 tan π β kot π + 3 = 0
Sesi 5
Melakar graf fungsi trigonometri
π¦ = sin π₯
π¦ = sin π₯ ialah satu fungsi berkala dengan kala 360Β° atau 2π radian.
Nilai maksimum bagi sin π₯ ialah 1 apabila π₯ = . . . , β270Β° , 90Β° , 450Β°, β¦
Nilai minimum bagi sin π₯ ialah -1 apabila π₯ = . . . , β450Β°, β90Β°, 270Β°, β¦
Amplitud = 1
π¦ = kos π₯
π¦ = kos π₯ ialah satu fungsi berkala dengan kala 360Β° atau 2π radian.
Nilai maksimum bagi kos π₯ ialah 1 apabila π₯ = . . . , β369Β° , 0Β° , 360Β°, β¦
Nilai minimum bagi sin π₯ ialah -1 apabila π₯ = . . . , β180Β°, 180Β°, 540Β°, β¦
Amplitud = 1
Amplitud
Kala
π¦ = sin π₯
-2
-1
0
1
2
-450 -360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360 450
Kala
Amplitudπ¦ = kos π₯
π¦ = tan π₯
π¦ = tan π₯ ialah satu fungsi berkala dengan kala 180Β° atau π radian.
π¦ = tan π₯ adalah tak tertakrif apabila π₯ = . . . , β270Β°, β90Β°, 90Β°, 270Β°, β¦ Maka, π¦ = tan π₯
tidak mempunyai nilai maksimum atau nilai minimum.
Graf bagi π¦ = tan π₯ menghampiri garis-garis menegak π₯ = β270Β° , π₯ = β90Β°, π₯ = 90Β°, π₯ =
270Β° dan sebagainya. Garis-garis menegak iu dikenali sebagai asimptot.
Contoh 1
Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri berikut bagi 0 β€ π₯ β€ 2π.
(a) π¦ = 3 sin 2π₯
(b) π¦ = 3 kos π₯ + 1
(c) π¦ = |kos 2π₯|
Penyelesaian
(a) π¦ = 3 sin 2π₯
Kala =2π
2= π
Asimptot
Kala
π¦ = tan π₯
β360Β° β180Β° 360Β° 180Β° 0
y
x
(b) π¦ = 3 kos π₯ + 1
Kala =
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
π¦ = 3 sin 2π₯
π¦ = sin 2π₯
(c) π¦ = |kos 2π₯|
Kala =
Contoh 2
Lakarkan graf bagi π¦ = β2 tan π₯ bagi 0Β° β€ π₯ β€ 360Β°.
Penyelesaian
Contoh 3
Lakarkan graf bagi π¦ = 2 |sin3
2π₯| bagi 0Β° β€ π₯ β€ π.
Penyelesaian
Kala =
Sesi 6
Bilangan penyelesaian persamaan trigonometri dengan menggunakan lakaran graf
Contoh (SPM 2011)
(a) Lakarkan graf bagi π¦ = β3 sin3
2π₯ untuk 0 β€ π₯ β€ 2π [4 markah]
(b) Seterusnya< dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi π
π₯+ 3 sin
3
2π₯ = 0 untuk 0 β€ π₯ β€ 2π. Nyatakan bilangan
penyelesaian itu. [3 markah]
Penyelesaian
(a) π¦ = β3 sin3
2π₯
Kala =
(b)
Identiti Asas
Pembuktian
π2 + π2 = π2
(Γ· π2): (π
π)
2
+ (π
π)
2
= 1
kos2π + sin2π = 1
Γ· sin2π βΆ
kos2π
sin2π+
sin2π
sin2π=
1
sin2π
kot2π + 1 = kosek2π
Γ· kos2π βΆ 1 + tan2π = sek2π
Contoh
Buktikan
(a) tan π₯
sin π₯= sek π₯
(b) sin π¦ kos π¦ tan π¦ = 1 β kos2π¦
(c) tan π + kot ΞΈ = sek π kosek π
Penyelesaian
(a) tan π₯
sin π₯=
b c
a
π
sin2 π΄ + kos 2A = 1
1 + kot2A = kosek2π΄
1+tan2π΄ = sek2π΄
1
1
1
(b) sin π¦ kos π¦ tan π¦ =
(c) tan π + kot ΞΈ
=
Sesi 7
Menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan identiti asas
Contoh 1
Selesaikan setiap persamaan berikut untuk semua sudut antara 0Β° dan 360Β° .
(a) tan2 π₯ + sek2π₯ = 3 tan π₯
(b) 2kosek2π¦ = kot π¦ + 3
(c) 3 sin2 π + 5kos π + 5 = 0
Penyelesaian
(a) tan2 π₯ + sek2π₯ = 3 tan π₯
(b) 2kosek2π¦ = kot π¦ + 3
(c) 3 sin2 π + 5kos π + 5 = 0
Contoh 2
Tunjukkan bahawa 2sek2π΄ =1
1βsin π΄+
1
1+sin π΄.
Seterusnya, tanpa menggunakan jadual matematik atau kalkulator, selesaiakan persamaan
trigonometri 1
1βsin π΄+
1
1+sin π΄= 4 , untuk 0 < π΄ < 2π.
Penyelesaian
Rumus penambahan
sin(π΄ + π΅) = sin π΄ kos π΅ + sin π΅ kos π΄
sin(π΄ β π΅) = sin π΄ kos π΅ β sin π΅ kos π΄
kos(π΄ + π΅) = kos π΄ kos π΅ β sin π΄ sin π΅
kos(π΄ β π΅) = kos π΄ kos π΅ + sin π΄ sin π΅
tan(π΄ + π΅) =tan π΄ + tan π΅
1 β tan π΄ tan π΅
tan(π΄ β π΅) =tan π΄ β tan π΅
1 + tan π΄ tan π΅
Contoh
Tanpa menggunakan sifir matematik atau kalkulator, tunjukkan
(a) sin 255Β° =βΞΎ2(ΞΎ3+1)
4
(b) (b)tan 15Β° =ΞΎ3β1
ΞΎ3+1
(c) sin(π₯ β 60Β°) + kos(π₯ + 60Β°) =1βΞΎ3
2(sin π₯ + kos π₯)
Penyelesaian
(a) sin 255Β° =
(b) tan 15Β° =
(c) sin(π₯ β 60Β°) + kos(π₯ + 60Β°)
=
Sesi 8
Rumus Sudut Berganda
sin 2π΄ = 2 sin π΄ kos π΄
kos 2π΄ = kos2π΄ β sin2 π΄
= 2kos2π΄ β 1
= 1 β 2 sin2 π΄
tan 2π΄ =2 tan π΄
1 β tan2 π΄
Rumus Sudut Separuh
sin π΄ = 2 sin1
2π΄ kos
1
2π΄
kos π΄ = kos21
2π΄ β sin2
1
2π΄
= 2kos21
2π΄ β 1
= 1 β 2 sin21
2π΄
tan 2π΄ =2 tan
12 π΄
1 β tan2 12 π΄
Contoh 1
Diberi kos π = β4
5 dan π ialah sudut cakah. Tanpa menggunakan sifir atau kalkulator,cari nilai
(a) sin 2π (c) tan 2π (e)kos1
2π
(b) kos 2π (d)kos 4π
Penyelesaian
(a) sin 2π =
(b) kos 2π =
(c) tan 2π =
(d) kos 4π =
3 5
-4
π
(e) kos π =
Contoh 2
Diberi tan π₯ = π dan x ialah sudut tirus. Cari kos 2x.
Penyelesaian
Contoh 3
Tunjukkan bahawa sin 2π΄
1+kos 2π΄= tan π΄.
Penyelesaian
Contoh 4
Buktikan sin π+kos π+1
sin πβkos π+1= kot
1
2π.
Penyelesaian
Sesi 9
Menyelesaikan persamaan trigonometri
Contoh 1
Selesaikan setiap yang berikut untuk semua sudut diantara 0Β° dan 360Β°, termasuk kedua-duanya
(a) 5 sin π₯ kos π₯ + 2 = 0
(b) kos 2π¦ β sin π¦ = 0
(c) tan 2π = 3 tan π
Penyelesaian
(a) 5 sin π₯ kos π₯ + 2 = 0
(b) kos 2π¦ β sin π¦ = 0
(c) tan 2π = 3 tan π
Contoh 2
Diberi sin(π΅ β π΄) =1
2 dan sin(π΄ + π΅) =
1
4, tunjukkan bahawa sin π΄ kos π΅ = β
1
8 dan
kos π΄ sin π΅ =3
8. Seterusnya, buktikan bahawa 3 tan π΄ kot π΅ + 1 = 0.
Penyelesaian
Recommended