View
124
Download
4
Category
Preview:
DESCRIPTION
Matematika Terapan
Citation preview
BAB III
PENCOCOKAN KURVA
Tujuan Instruksional Khusus
Mahasiswa diharapkan:
1. Mampu mengerti dan mejelaskan mengenai regresi linier (persamaan garis lurus)
dalam pencocokan kurva.
2. Mampu menyajikan data, mengelola dan menggambarkan kedalam bentuk persamaan
regresi linier.
3. Mampu membedakan antara regresi linier dan regresi non linier serta dapat
mengaplikasikan kedalam berbagai metode regresi dan menyelesaikannya dengan
rumus model linier.
4. Mampu mengukur keeratan hubungan antara dua variable dengan koefisien korelasi
dan mampu menguji regresi linier dengan metode pengujian hipotesi (SPSS).
Permasalahan dalam teknik selalu melibatkan data-data, baik hasil penelitian maupun
data hasil pengamatan langsung dimana data-data tersebut amatlah penting dalam
pengambilan keputusan. Berdasarkan atas interprestasi (pengertian) data tersebut oleh karena
itu diperlukan kemampuan untuk menyajikan data dan mengolahnyakedalam bentuk model
matematik. Dengan demikian diharapkan interprestasi dapat mendekati kenyataan fisik dari
proses yang sedang berlangsung. Dalam bahan ajar ini akan dipaparkan beberapa metode
yang dapat digunakan untuk pengolahan data agar mudah diinterpretasikan.
3.1 METODE TANGAN BEBAS
Pembacaan hasil suatu pengujian atau percobaan biasanya selalu mmemuat berbagai
macam kesalahan, karena itu titik-titik yang digambarkan berdasarkan data ini tersebar di
sekitar tempat dimana seharusnya ia berada. Bila hasil pembacaan yang diambil cukup
banyak, dapat dianggap bahwa kesalahan yang termuat di dalamnya bersifat random yang
mengakibatkan sebagian harga yang diperoleh sedikit lebih tinggi dari pada semestinya dan
sebagian lagi sedikit lebih rendah. Setelah kita gambarkan titik-titiknya, kita tarik garisnya
sebagai garis tengah dari pita semprit yang dibentuk oleh titi-titik yang digambarkan semula.
Untuk selanjutnya garis tersebut digunakan untuk menentukan hubungan antara kedua
variable yang bersangkutan.
3.1.1 Hukum Garis Lurus (Regresi Linier)
Regresi linier adlah regresi yang veriabel bebasnya ( variable X) berpangkat paling
tinggi satu. Untuk regresi linier sederhana, yaitu regresi linier yang hanya melibatkan dua
variable (variable X dan Y), persamaan garis regresinya dapat dituliskan : Y = a + bX
Contoh :
Harga V dan h yang diperoleh dari hasil pengujian adalah:
h 6,0 10 14 18 21 25
V 5,5 7,0 9,5 12,5 13,5 16,5
Jika aturan yang menyatakan hubungan antara V dan h adalah Y = a + bX, dengan a dan b
konstanta.
a. Gambarkan grafik V terhadap h
b. Tentukan harga a dan b jika diketahui titik P (5;4,5) dan Q (23;15)
Jawaban :
a. Gambar grafik V terhadap h
5 10 15 20 25 300
2
4
6
8
10
12
14
16
18
V
h
V
5 10 15 20 25 300
2
4
6
8
10
12
14
16
18
f(x) = 0.587566844919786 x + 1.54478609625668
V
h
V
Sekarang kita perkirakan dengan mata kita bagaimanakah posisi garis lurus terbaik
yang ditarik melalui tengah-tengah pita kumpulan titik ini. Tariklah garis tersebut dalam
kertas grafik anda.
a. Hubungkan antara V = ah + b dengan Y = mx + c
Untuk nilai a dan b, pilih dua titik pada garis yang kita pandang baik dan baca
koordinatnya, misalnya P (5:4,5) dan Q (23;15), substitusikan nilai ini pada y = mx +
c, maka kita peroleh persamaan yang memberikan harga m dan c, yaitu:
5m + = 4,5 dan 23m + c = 15, dengan eliminasi dan substitusi diperoleh m = 0,583 dan
c = 1,59. Sehingga diperoleh persamaan yang menghubungkan V dan h adalah
V = 0,583 h + 1,59.
3.1.2 Regresi Linier Dengan Metode Kuadrat Terkecil
Metode kuadrat terkecil (method of least sguares) menentukan garis lurus terbaik
sepenuhnya berdasarkan berdasarkan perhitungan dengan menggunakan perangkat data yang
diberikan. Dari nilai persamaan yang menyatakan hubungan garis lurus Y = mx + c, kita dapat
menentukan nilai m sebagai slope dan c disebut sebagai intercept, dapat ditentukan dengan
cara berikut:
a. Rumus (I)
c = a = ¿¿ dan m = b = n¿¿
b. System Persamaan Linier Dua Variable
∑Y =a .n+b∑ X dan ∑ XY=a∑ X+b∑X
2
c. Pendekatan matriks
.[ n ΣXΣX ∑
X
2][ab] = [ ΣYΣXY ] maka: a =
det A1
det A dan b =
det A2
det A
A = [ n ΣXΣX ∑
X
2] A1 = [ ΣY ΣXΣXY ∑
X
2] A2 = [ n ΣYΣX ΣXY ]
d. Rumus (II)
b = n¿¿ dan a = Ῡ - bX
Contoh 1 :
Tentukan metode kuadrat terkecil untuk mencocokan hubungan garis lurus untuk titik-titik
berikut :
X -2,4 -0,8 0,3 1,9 3,2
Y -5,0 -1,5 2,5 6,4 11,0
Untuk data diatas, n = 5 dan persamaan normalnya adalah :
an + bΣx = Σy
aΣx + b∑x
2 = Σxy
dengan y = mx + c. jasi kita membutuhkan jumlah harga-harga x, y, x2 dan xy, seperti pada
table berikut :
x y X2 xy
-2,4
-0,8
0,3
1,9
3,2
-5,0
-1,5
2,5
6,4
11,0
5,76
0,64
0,09
3,61
10,24
12,0
1,2
0,75
12,16
35,2
2,2 13,4 20,34 61,31
Dari data diatas diperoleh persamaan normalnya :
5a + 2,2b = 13,4
2,2a + 34,20b = 61,31
Dengan eliminasi dan sunstitusi diperoleh a = 1,421 dan b = 2,861. Jadi garis terbaik untuk
nilai-nilai x dan y yang diberikan adalah : Y = 1,42 + 2,86X
Untuk melihat betapa baiknya metode ini gambarkanlah harga-harga x dan y yang diberikan.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
f(x) = 2.86052033863308 x + 1.42137105100145
X
Y
Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, sembarang hubungan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk garis lurus dapat ditangani dengan cara yang sama.
Contoh 2 :
Data berikut dihubungkan dengan persamaan xy = c, carilah persamaan terbaik untuk data :
X 0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
Y 62 28 17 9 7 5,0
Dalam hal ini, n = 6. Dari persamaan y = a + bx dan y = c 1x , diperoleh a = 0 dan b = c
dengan y = y dan x = 1x , yang kita butuhkan adalah harga-harga x, y,
1x ,
yx
, 1
x2
x y1x
yx
1
x2
0,5 62 2,0 124 4,0
1,0 28 1,0 28 1,0
2,0 17 0,5 8,5 0,25
3,0 9 0,33 3 0,111
4,0 7 0,25 1,75 0,0625
5,0 5 0,2 1 0,04
Σ (Jumlah) 166,25 5,4635
Dari : an +bΣx = Σy
aΣx + bΣx2 = Σxy
dengan y = a + bx
Diperoleh : b (5,1635 = 166,25
Sehingga b = 30,4, akibatnyakarena b = c, maka c = 30,4, diperoleh penaksiran terbaik untuk
data di tas adalah xy = 30,4
Karena : ∑1
n¿
yx¿
¿ - c ∑1
n¿
1x2 ¿
¿ = 0
sehingga diperoleh :
166,25 = 5,463c maka : c = 30,4
Gamabr yang diperoleh memperlihatkan titik-titik yang diberikan dan grafik hiperbola tegak.
0 1 2 3 4 5 60
10
20
30
40
50
60
70
f(x) = − 10.3671232876712 x + 48.1150684931507
X
Y
0 1 2 3 4 5 60
10
20
30
40
50
60
70
f(x) = − 10.3671232876712 x + 48.1150684931507R² = 0.698127749867382
x
y
Soal-Soal Latihan
1. x dan y dihubungkan oleh hukum: y=c ln x. Tentukan harga c yang memberikan
pencocokkan terbaik untuk perangkat harga berikut:
x 0,3 0,9 1,7 2,5 4,0 10,0
y -7,54 -0.672 3,63 4,41 8,22 12,2
2. Variavel x dan y diduga dihubungkan oleh hukum y= a + bx2. Tentukanlah harga a dan b
yang memberikan pencocokkan terbaik terhadap harga-harga berikut:
x 5,0 7,5 12 15 25
y 13,1 28,1 70,2 109 301
3.Jika R = a + b
d 2, carilah harga a dan b berdasarkan data berikut:
d 0,1 0,2 0,3 0,5 0,8 1,5
R 5,78 2,26 1,60 1,27 1,53 1,10
4. Dua besaran x dan y, dihubungkan oleh y = a
1−b y2 , dengan a dan b adalah konstanta. Dari
data berikut ini tentukan harga a dan b.
x 4 6 8 10 11 12
y 4,89 5,49 6,62 9,00 11,4 16,1
5.Pasangan-pasangan harga x dan y berikut diduga memenuhi hukum y = ax2+bx
Tentukan harga-harga a dan b.
x 1 3 4 5 6 7
y 5,18 15,9 27 41,5 59,3 80,4
6. Harga- harga x dan y dihubungkan oleh rumus y = a
x+b
Tentukan harga-harga a dan b.
x 0,5 1,0 2,5 3,2 4,6 5,9
y 11 17 25 27 31 36
7. Harga x dan y diduga dihubungkan oleh hukum yang terbentuk y = ax + b ln x dengan a
dan b adalah konstanta. Dengan menggambarkan grafiknya yang sesuai ujilah apakah dugaan
tersebut benar dan tentukan harga a dan b tersebut.
x 10,4 32,0 62,8 95,7 136 186
y 8,14 12,8 16,3 19,2 22,1 33,1
8. Nitrous anhydride harga (N2O5) dapat terurai secara homogen menjadi nitrogen tetraoksida
(N2O4) dan oksigen melalui reaksi (N2O5) (g) → (N2O4) (g) + 12
02(g). Berikut adalah data-data
konsentrasi (N2O5) (CA) terhadap waktu untuk reaksi ini ada pada suhu 313,1 K.
CA(gmol liter) 0,1 0,0892 0,0776 0,07 0,0603 0,0542 0,0471
Waktu(detik) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Dengan menganggap bahwa reaksi ini berorde pertama terhadap konsentrasi
reaktannya : r = k CA maka profi konsentrasi reaktan terhadap waktu dinyatakan dengan CA =
CA0 e-kt dengan CA0 menyatakan konsentrasi reaktan mula-mula.
3.1.3 Regresi Logaritma dan Eksponensial
Grafik dan bentuk y = a xn
Regresi ekponensial adalah regresi dengan variabel n berpangkat konstanta x atau
konstanta x berpangkat n. Bentuk umum regresi ekponensial adalah: y = axn, dengan a dan n
adalah konstanta.
Untuk mengubahnya menjadi bentuk garis lurus, kita logaritmakan kedua ruas,
sehingga persamaan menjadi: log y = n log x + log a
Dengan membandingkan dengan Y = mX + c, diperoleh Y = log y; m=n; X= log x dan
c = log a.
Contoh:
Harga x dan y yang dihubungkan dengan persamaan: y = axn
x 2 5 12 25 32 40
y 5,62 13,8 52,5 112 160 200
Tentukanlah harga konstanta a dan n.
penyelesaian: Dari y = axn dan log y = n log x + log a
Y = mX + C
Maka pertama kita harus membuat tabel baru yang memuat log x dan log y yang sesuai
dengan data diatas.
log x 0,3010 0,6990 1,079 1,398 1,505 1,602
log y 0,750 1,14 1,72 2,05 2,20 2,30
Selanjutnya gambarlah titik=titik ini di dalam kertas grafik dengan log x sepanjang sumbu x
dan log y dan tariklah grafik garis lurus.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80
0.5
1
1.5
2
2.5
f(x) = 1.21975059412772 x + 0.354860348043851R² = 0.995890411450195
log x
log
y
Jika
kita pilih dua titik pada garfik P(0,50, 0,94) dan Q(1,70 , 2,45) maka kita dapat menghitung
harga m dan c, yaitu m = 1,258 dan c = 0,311.
Karena Y = mx + c, maka dari 2,45 = 1,70m + c dan 0,94 = 0,50 m +c, didapat 1,51 = 1,20 m
atau m = 1,258 dan c = 0,311. Jadi Y = 1,258 X + 0,311 dan dari hubungan log y = n log x +
log a diperoleh n = 1,258 dan log a = 0,311 atau a = 2,05. Jadi pesamaannya adalah y = 2,05
x1,26.
Soal-Soal Latihan:
1.Power yang dibutuhkan oleh propeler dari suatu pengaduk dalam tangki merupakan fungsi
Renold number, ditunjukkan oleh persamaan P = l (Re)n dimana a dan k adalah konstanta.
Gambarkan grafik yang sesuai dan tentukanlah harga konstan k dan a jika diperoleh data:
P 0,23 0,32 0,40 0,49 0,51 0,57
Re 2 10 30 50 70 100
2. Dari hasil pengujian tegangan brekdown: V kilovolt, isolator yang berbeda ketebalannya, t
milimeter, diperoleh data debagai berikut:
t 2,0 3,0 5,0 10 14 18
V 153 200 282 449 563 666
Jika hukum yang menghubungkan V dengan t adalah V = a tn, gambarkanlah grafiknya yang
sesuai dan tentukanlah harga konstanta a dan n tersebut.
3. Misalkan hubungan antara tekanan P dan volume V untuk semacam gas ditentukan oleh V
= a Pk dimana a dan k bilangan-bilangan tetap. percobaan telah dilakukan sebanyak 6 kali
yang memberikan hasil sebagai berikut:
P (kg/cm2) 126 178 263 398 525 724
V (cm3) 1,86 2,34 2,75 3,63 4,17 4,79
Tentukan harga a dan k dan tentukan persamaan yang menghubungkan P dan V dan taksirlah
harga P jika V = 10 cm3.
Grafik untuk bentuk y = a en x
Hubungan eksponensial seringkali muncul dalam persoalan teknik. Seperti
sebelumnya, langkah pertama adalah mengubah persamaan menjadi bentuk garis lurus dengan
mengambil logaritma kedua ruasnya. Kita boleh saja menggunakan logaritma biasa seperti
yang kita lakukan sebelum ini,tetapi pekerjaannya menjadi lebih ringan jika kita gunakan
logaritma natural. Jadi dengan mengambil logaritma natural untuk kedua ruasnya kita dapat
menyatakan persamaannya dalam bentuk : ln y = n x + ln a
Jika kita bandingkan dengan persamaan gaeis lurus, kita dapatkan: ln y = nx+lna
dan Y = m X + C, yang menunjukkan bahwa kita harus meletakkan harga ln y sepanjang
sumbu y dan harga ln x dengan sumbu X, dan juga harga m akan memberikan harga n dan
harga c akan memberikan harga a, sehingga a = anti ln c.
Contoh :
Harga-harga W dan T dihubungkan oleh hukum W = a ent dengan a dan n konstanta.
T 3,0 10 15 30 50 90
W 3,857 1,974 1,733 0,4966 0,1738 0,0091
Kita menentukan harga ln W, maka buatlah tabelyang menunjukkan harga T dan ln W.
T 3,0 10 15 30 50 90
ln W 1,35 0,68 0,55 -0,70 -1,75 -4,70
W = aenT dan ln W = nT + ln a dan hubungan Y = mX + c, jadi kita harus melakukan
ln W sepanjang sumbu Y dan T sepanjang sumbu X.
Untuk memperoleh grafik garis lurus, dari m = n dan c = ln a atau a = anti ln c.
Karena itu gambarkanlah titik-titik tersebut, tariklah garis lurus yang terbaik, dan dar sini
tentukanlah harga n dan a. Hukum yang dicari adalah W = 4,14 e-0,67T
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
f(x) = − 0.0682245283018868 x + 1.4897427672956R² = 0.996776602043008
T
ln W
Soal-Soal Latihan :
1. Takaran dari suatu elektrik konduktor pada temperatur t℃ diberikan oleh persamaan
berikut ini : R = Ro.ekt dimana k dan Ro adalah konstanta. Hitunglah nilai k dan Ro, buatlah
grafik skala, slope, bila dari suatu percobaan diperoleh data sebagai berikut:
T (
℃¿
30 40 50 60 70 80
R 0,01 0,05 0,1 0,3 0,8 2
2. Data kelarutan n-butana dalam anhydroushydroflouricbacid pada tekanan tinggi diberikan
pada tabel berikut:
Temperature ℉ (x) Kelarutan, % berat (y)
10 2,4
23 3,4
37 7,0
42 11,1
55 19,6
Jika korelasi diharapkan adalah : y = a ebx. Tentukan konstanta a dan b dengan menggunakan
metode least square.
3. Suatu metode yang paling umum untuk pengungkapan laju reaksi kimia orde satu tak
berdimensi adalah : dC dt = -kC dengan C(t=0) = 1. Bentuk terintegrasi dari model tersebut
adalah C = exp (-kt) yang sebenarnya “non linier” pada parameter k. Dengan data yang
diberikan dibawah ini, tentukan nilai terbaik untu k.
t (detik) 0,2 0,5 1,3 1,7 2,8
C (mol/Ldetik) 0,75 0,55 0,27 0,14 0,05
Data tentang laju reaksi pada berbagai konsentrasi (C) dan suhu reaksi (T) diberikan pada
tabel dibawah ini:
Laju Reaksi Konsentrasi (C) Suhu Reaksi (T)
0,036 1,3 200
1,01 1,2 300
7,45 1,0 400
0,0231 0,9 500
0,649 0,8 300
4,79 0,6 400
0,0125 0,5 500
0,378 0,4 300
2,80 0,2 400
Dari tabel data laju reaksi seperti disajikan diatas, diinginkan untuk melakukan validasi data
menjadi persamaan model non linier.
Laju Reaksi = K C
1+0,3 Ce- a
t
Dengan cara menghitung harga-harga parameter K dan a. Coba anda pikirkan dengan baik,
kemudian berikan pendapat anda tentang bagaimana caranya melakukan pencocokkan data
seperti diatas.
Soal Diskusi :
1. Kapasitas panas dari atom grafit pada tekanan konstan dengan selang temperatur 298,16° K
-1200° K ditampilkan dalam tabel. Dari sata tersebut, perkirakan panas yang diserap, bila 1 gr
atom dipanaskan dari temperatur sampai dengan 1200 ° K dengan selang 50° K. Panas yang
diserap adalah : q = ∫ nCp dt
Temperatur (° K) Kapasitas Panas (Cal/mol(° K)
298,16 2,066
400 2,851
500 3,496
600 4,030
700 4,430
800 4,750
900 4,980
1000 5,140
1100 5,270
1200 5,420
Langkah-langkah penyelesaian:
a. Buatlah grafik yang menghubungkan Cp terhadap T
b. Bagi grafik tersebut dengan selang temperatur 50¿)
c. Cari harga Cp rata-rata pada selang tersebut.
d. Hitunglah luas pada interval tersebut, yang merupakan panas yang diserap pada selang
temperature tersebut.
e. dari perhitungan dari langkah d dapat dihitung panas yang diperlukan oleh 1 gr atom
grafit sampai temperature tertentu.
2. dari soal nomor 1 diatas, hitunglah panas yang diperlukan bila atom grafit dipanaskan
dari 500 K – 1200 K.
3.2 REGRESI LINIER BERGANDA (MULTIPLE LINIER REGRESSION)
Regresi lier berganda diterapkan terhadap persamaan linier multivariable (dengan
banyaknya variable sejumlah m) yang mempunyai bentuk umum:
y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + . . . + am-1 xm-1 + am xm
Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, melalui penurunan yang sama dengan kasus-
kasus sebelumnya, maka dihasilkan persamaan dalam bentuk perkalian matriks sebagai
berikut:
n ∑x1 ∑x1 a0 ∑y
∑x1 ∑x1 ∑x1 x2 a1 = ∑x1 y
∑x2 ∑x2 x1 ∑x2 a2 ∑x2 y
Catatan: persamaan dalam bentuk perkalian berpangkat
y = k x1a x2
b x3c . . . xm
m dapat dimanupulasi menjadi:
ln y = ln k + a ln x1 + b ln x2 + c ln x3 + . . . + m ln m
Soal 1:
Berikut adalah data-data percobaan kinetika sebuah reaksi homogeny irreversible:
CA
(gmol/liter)1 0,923 1,15 0,87 1,05 0,75 0,55 0,65
Suku (K) 373 395 365 400 405 388 410 380
Kec Reaksi
(gmol/liter.det
)
1,508 2,936 1,293 3,242 4,566 1,899 2,78 1,255
Jika kecepata reaksi diaanggap mempunyai bentuk : r = k0 exp CAn
(K0 = factor preeksponensial reaksi, E = energy aktivasi reaksi, dan n = orde reaksi)
Dalam waktu yang panjang, data pada regresi linier dapat berubah mnjadi non linier.
persamaan regresi non linier memiliki 3 konstanta yaitu a, b dan c dengan bentuk: Y = a + bX
+ cX2
Dengan koefisien-koefisien a, b dan c harus ditentukan berdasarkan data hasil pengamatan.
dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka a, b dan c dapat dihitung dari system
persamaan:
∑Y = n.a + b ∑X + c ∑X2
∑XY = a ∑X + b ∑X2 + c ∑X3
∑X2Y = a ∑X2 + b ∑X3 + c ∑X4
Bentuk persamaan dalam bentuk matriks adalah :
n ∑x ∑x2 a ∑y
∑x ∑x2 ∑x3 b = ∑xy
∑x2 ∑x3 ∑x4 c ∑x2y
Contoh:
Diketahui data dari variable X dan Y sebagai berikut:
X 1 2 3 5 6 7 9 10
Y 4 6 7 9 8 7 4 3
Buatlah persamaan garis regresinya dalam bentuk kuadratis
Y = a + bX + cX2
Penyelesaian:
X Y X2 X3 X4 XY X2Y
1
2
3
5
6
7
9
10
4
6
7
9
8
7
4
2
1
4
9
25
36
49
81
100
1
8
27
125
216
343
729
1000
1
16
81
625
1296
2401
6561
10000
4
12
21
45
48
49
36
30
4
24
63
225
288
343
324
300
43 48 305 2449 20981 245 1571
Dari rumus diperoleh system persamaan:
48 = 8a + 43b + 305c
245 = 43a + 05b + 2.449c
1.571 = 305a + 2.449b + 20.981c, setelah diselesaikan diperoleh harga-harga:
a = 16,47 ; b = -1,92 dan c = 0,05, sehingga regresi parabola kuadratik Y terhadap X
mempunyai persamaan : Y = 16,47 – 1,92 X + 0,05 X2
Model Parabola Kubik
Persamaan umum untuk perkiraan model ini adalaah:
Y= a + bX + cX2 + dX3, dengan koefisien-koefisien a, b, c dan d dihitung dari data hasil
pengamatan. system persamaan yang harus diselesaikan untuk menentukan a, b, c dan d
adalah:
∑Y = n.a + b ∑X + c ∑X2 + c ∑X3
∑XY = a ∑X + b ∑X2 + c ∑X3 + c ∑X4
∑X2Y = a ∑X2 + b ∑X3 + c ∑X4 + c ∑X5
∑X3Y = a ∑X3 + b ∑X4 + c ∑X5 + c ∑X6
Soal-soal Latihan:
1. Vargatik (1975) memperkenalkan suatu data kapasitas panas untuk metilsikloheksana
sebagai berikut ( T adalah suhu absolute dalam K dan Cp adalah kapasitas panas zat yang
dinyatakan dalam KJ/Kg. K)
Temperatur (K) Kapasitas Panas (Cp) Temperatur (K) Kapasitas Panas (Cp)
150 1,426 230 1,627
160 1,447 240 1,661
170 1,469 250 1,696
180 1,492 260 1,732
190 1,516 270 1,770
200 1,541 280 1,808
210 1,567 290 1,848
220 1,596 300 1,888
Lakukanlah pencocokan kurva (curve fitting), bila diinginkan persamaan Cp:Tj sebagai
temperature dalam persamaan kuadrat. Cp:Tj = a – bT – cT2 !
2. Viskositas ( ) air, dalam centi-poise, yang diukur pada berbagai suhu T, dalam ˚C
disajikan dalam table berikut ini:
T (˚C) 10 20 30 40 50 60 70
µ (eP) 1,308 1,005 0,801 0,656 0,549 0,469 0,406
Dengan menggunakan multiple linear regrasion, tentukan tetapan-tetapan yang bersesuian
dengan persamaan model: = 1µ
= k1 + k2 T + k3 T2
3. berikut adalah data-data kapasitas panas gas, Cp (kal/gmol.K), pada berbagai suhu, T(K):
T (K) 50 100 150 230 270 340 450
Cp 41,29 45,5 48 51,31 55,61 60,3 65,25
Jika Cp = f(T) didekati dengan persamaan polimnominal berorde 3:
Cp = a0 + a1T + a2T2 + a3T3 . Tentukan harga-harga a0, a1, a2, a3
4. Persamaan Antonie dapat dituliskan sebagai : log P0 = a + b
T+c dengan P0 = atm, T =
Kelvin serta a, b dan c menyatakan tetapan-tetapan Antonie.
Tentukan tetapan-tetapan Antonie untuk oksigen dari data berikut ini:
P (atm) 1 2 5 10 20 30 40
T (K) -183,1 -176 -169,5 -153,2 -140 -130,7 -124,1
3.3 Koefisien Korelasi
Koefisien korelasi ® merupakan indeks atau bilangan yang digunakan untuk mengukur
keeratan hubungan antara variable x dan y, koefisien korelasi memiliki nilai antara -1 dan +1
(-1 < r < +1)
a. Jika r bernilai positif maka variable-variabel berkorelasi positif. semakin dekat nilai r ke
+1 semakin kuat korelasinya, demikian pula sebaliknya.
b. Jika r bernilai negative maka variable-variabel berkorelasi negative. semakin dekat nila r
ke -1 semaki kuat korelasinya, demikian pula sebaliknya.
c. Jika r bernilai nol maka variable-variabel tidak menunjukan korelasi
d. Jika r bernilai +1 atau -1 maka variable-variabel menunjukkan korelasi positif atau
korelasi negative sempurna
Untuk mencari nilai koefisian korelasi digunakan rumus:
r = n ∑ xy−∑ x ∑ y
√¿¿¿
Contoh soal
1. Dipilih secara acak 5 orang mahasiswa semester enam yang akan diketahui hubungan
antara nilaai OTK teori dan praktek. Tentukan koefisien korelasinya?
Mahasiswa X (OTK Teori) Y (OTK Praktek)
A 2 3
B 5 4
C 3 4
D 7 8
E 8 9
Penyelesaian:
x y x y x2 y2
2 3 6 4 9
5 4 20 25 16
3 4 12 9 16
7 8 56 49 64
8 9 72 64 81
25 28 166 151 186
r = n ∑ xy−∑ x ∑ y
√¿¿¿
r = 5 (166 )−(25)(28)
√¿¿¿
= 130
√(130 )(146) = 130
137,8 = 0,94
Jadi antara variable x dan y menjadi berkorelasi sangat erat dengan r = 1
Soal Latihan:
1. Berikut ini diberikan hasil pengamatan nilai raktek dan nilai teori mahasiswa mata kuliah
kimia dasar untuk 5 mahasiswa.
X (Nilai Praktek) 3 6 9 10 13
Y (Nilai Teori) 12 23 24 26 28
a. Tentukan koefisien korelasi dengan metode least square dan metode product
moment?
b. Sebutkan jenis korelasinya dan apa artinya?
2. Berikut ni diberikan hasil pengamatan waktu pertumbuhan bakteri dan banyaknya jumlah
bakteri dalam laboraturium.
X (Waktu Pertumbuhan) 1 2 3 4 5 6 7
Y (Banyaknya Bakteri) 5 7 8 10 11 14 15
a. Tentukan koefisien korelasi dengan metode least square dan metode product
moment?
b. Sebutkan jenis korelasinya dan apa artinya?
Recommended