View
1.298
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
Bio Matematika, Juni 2013
1
STABILITAS MODEL SEI
(SUSCEPTIBLE, EXPOSED/LATENTLY INFECTED AND INFECTIOUS)
UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT TUBERKOLOSIS1
DIDIN ADRI2, SOPIA KARTIKA
3, ULFI HANUM
4
Jurusan Matematika Program Studi S2 Matematika
Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada, Jogjakarta 2013
Email : reality.math165@gmail.com
Abstrak
Dalam paper ini dibahas model penyebaran penyakit turbekolosis (TB), basic
reproduction ratio ( 0R ) , titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik
(terjadi wabah), membuktikan bila basic reproduction ratio 0 1R maka titik ekuilibrium
bebas penyakit akan stabil asimtotik global dan jika 0 1R maka titik ekuilibrium endemik
akan ada dan stabil asimtotik global.
Keywords: Model endemik tuberkulosis (TB), basic reproduction ratio ( 0R ), fungsi
lyapunov, stabilitas.
1. Pendahaluan
Tuberkulosis merupakan salah satu penyebab kematian di negara-negara berkembang
yang disebabkan oleh bakteri mycobacterium tubercolosis. Bakteri ini pertamakali
ditemukan oleh Robert Koch pada tanggal 24 Maret 1882. Gejala-gejala penderita
tuberkolosis diantaranya batuk-batuk, sakit dada, nafas pendek, hilang nafsu makan, berat
badan turun, demam, kedinginan, dan kelelahan. Menurut data World Health Organization
(WHO), tuberkolusis masih menjadi penyebab utama meningkatnya angka mortalitas
dunia. Penularan penyakit ini karena kontak dengan dahak atau menghirup titik-titik air
dari bersin atau batuk dari orang yang terinfeksi kuman tuberkulosis, anak anak sering
mendapatkan penularan dari orang dewasa di sekitar rumah maupun saat berada di fasilitas
umum seperti kendaraan umum, rumah sakit dan dari lingkungan sekitar rumah.
Dalam mencegah penyebaran bakteri mycobacterium tubercolosis dilakukan
pengobatan kemoprofilaksis efektif yang diberikan kepada individu yang terinfeksi secara
laten dan pengobatan terapi yang diberikan kepada individu terinfeksi dan menularkan.
Penyebaran penyakit tuberkulosis memerlukan penggunaan model matematika untuk
mendapatkan gambaran dinamika penyebaran penyakit dan untuk menentukan strategi
pengendalian yang efektif. Dalam paper ini disajikan model dasar penyebaran penyakit
tuberkulosis, bagaimana memperoleh basic reproduction ratio ( 0R ), menentukan titik
1 Merupakan kajian teori jurnal pada
[2] 2,3,4
Mahasiswa Program Studi S2 Jurusan Matematika FMIPA UGM
Bio Matematika, Juni 2013
2
ekuilibrium dan membentuk fungsi lyapunov untuk menentukan stabilitas asimtotik global
titik ekuilibrium bebas penyakit (non-endemik) dan titik ekuilibrium endemik.
2. Pembentukan Model Matematika Tuberkolosis
Dalam pembentukan model epidemiologi turbekolosis, populasi dibagi menjadi tiga kelas
(subpopulasi) yaitu kelas individu rentan, kelas individu terinfeksi secara laten dan kelas
individu terinfeksi dan menularkan. Ukuran masing-masing kelas dinyatakan dengan S, E
dan I (Lihat Gambar 1).
Dalam pembentukan model penyebaran tuberkolosis digunakan beberapa asumsi berikut:
1. Penambahan populasi hanya terjadi pada kelas individu rentan dengan laju
penambahan populasi , dan besarnya konstan.
2. Penularan penyakit tuberculosis terjadi setelah adanya kontak yang memadai antara
individu yang rentan dengan individu yang terinfeksi dan menularkan. Individu
terinfeksi secara laten tidak menularkan penyakit tuberkolosis.
3. Kematian yang tidak disebabkan oleh penyakit ( kematian alami ) terjadi pada setiap
kelas individu dengan laju kematian alami . Kematian karena penyakit hanya
terjadi pada kelas individu terinfeksi dan menularkan dengan laju kematian karena
penyakit d d .
4. Individu yang rentan memiliki rata-rata kontak βI untuk menerima penyebaran
penyakit. βSI menyatakan tingkat individu rentan menjadi terinfeksi.
5. Sebanyak p bagian dari kelompok individu yang baru terinfeksi diasumsikan
langsung masuk ke kelas yang teinfeksi dan menularkan, sisanya masuk ke kelas
terinfeksi laten (E).
6. Setelah terinfeksi tuberkolosis individu tersebut akan tetap terinfeksi.
7. Jumlah individu kelas terinfeksi secara laten yang menerima pengobatan
kemoprofilaksis yang efektif dinyatakan dengan 1r E.
8. Tingkat terapi yang efektif yang diberikan kepada kelas individu terinfeksi dan
menularkan perkapita dinyatakan dengan 2r .
9. Kemoprofilaksis dari kelas individu yang terinfeksi laten (E) mengurangi tingkat
reaktivasi bakteri tuberkolosis dan terapi yang dilakukan pada populasi terinfeksi
dan menularkan dapat mengubah status aktif individu terinveksi dan menularkan (I )
menjadi kelas individu yang terinfeksi laten (E).
10. Lamanya kelas individu yang terinfeksi secara laten dan tidak menerima pengobatan
kemoprofilaksis yang efektif diamsumsikan berdistribusi eksponensial, dengan
waktu tunggu rata-rata 1k
.
11. Individu kelas terinfeksi secara laten (E) dan tidak menerima pengobatan
kemoprofilaksis yang efektif akan berkurang sebesar 1(1 )k r E, sedangkan individu
kelas terinfeksi dan menularkan (I) menjadi individu kelas terinfeksi dan rentan (E )
dengan tingkatIr2 .
Bio Matematika, Juni 2013
3
Asumsi diatas diilustrasikan dalam diagram transfer model tuberkolosis berikut:
Selanjutnya, diperoleh model epidemi tuberkolosis sebagai berikut:
2 1
1 2
(1 ) [ (1 )]
(1 ) ( )
S S IS
E p IS r I k r E
I k r E pIS r d I
(1)
Diberikan N(t) menyatakan ukuran populasi pada saat t, maka diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )N t S t E t I t . Bedasarkan sistem (1) dan persamaan ( ) ( ) ( ) ( )N t S t E t I t diperoleh
laju total populasi saat t yaitu
N N dI
Ketika tidak terjadi endemik pada populasi berarti jumlah populasi yang terinfeksi secara
laten (E) dan jumlah populasi yang terinfensi dan menularkan (I ) sama dengan nol,
sehingga diperoleh
N N (2)
Dari sini diperoleh solusi PD (2) dengan syarat awal 0(0)N N yaitu
0( ) 1 .t tN t N e e
Jika t membesar, maka lim ( )t
N t , berarti jumlah populasi manusia akan menuju
kapasitas batas . Jika N maka N(t) turun monoton menuju kapasitas batas
dan Jika N maka N(t) naik monoton menuju kapasitas batas . Ketika terjadi
endemik maka penyebaran penyakit dalam populasi akan mengurangi jumlah populasi,
yang diharapkan jumlah populasi tersebut akan lebih dari ( N ).
Lemma 1 Didefesinikan daerah fisibel dari sistem PD (1) sebagai berikut
3( , , ) : 0S E I R S E I (3)
Jika himpunan tertutup dan terbatas, maka
merupakan himpunan invarian positif.
Bukti :
Gambar 1. Diagram transfer untuk model tuberkolosis
pI
S
E
I
(1 )p IΛ1(1 )k r
2rd
Bio Matematika, Juni 2013
4
Dari persamaan (3) diperoleh 0S E I , sehingga
dS E I S E I N dI
dt
N
Oleh karena itu, 0d
S E Idt
untuk N , jadi merupakan himpunan invarian
positif.
3. Analisis Model
Pada bagian ini dibahas: analisa sistem PD (1) untuk mendapatkan basic reproduction
ratio( 0R ), kondisi untuk menentukan eksistensi dan ketunggalan titik ekuilibrium non-
trivial dan kondisi kestabilan asimtotik dari titik ekuilibrium.
3. 1 Basic Reproduction Ratio
Titik ekuilibrium bebas penyakit (non-endemik) dari sistem PD (1) yaitu *
0 0( , 0, 0)X S
dengan 0S . Matriks Jacobian dari sistem PD (1) disekitar titik *
0X adalah :
0
1 0 2
1 0 2
0
0 (1 ) (1 )
0 (1 )
S
J k r p S r
k r pS d r
Salah satu nilai eigen dari matriks J yaitu 1 0 dan nilai eigen yang lain dapat
diperloleh dari matriks berikut :
1 0 2
1
1 0 2
(1 ) (1 )
(1 )
k r p S rJ
k r pS d r
sedemikian sehingga matriks yang berukuran 2 × 2 akan stabil jika nilai trace-nya negatif
1( ) 0tr J dan determinannya positif 1det( ) 0J , sehingga diperoleh :
1 0 1 2
1 2 1 0 1 1 2 0
0 1 2 1
0 1
1 2
( ) 0 (1 ) 2 ,
det( ) 0 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
(1 ) ( ) (1 )
(1 )1.
( ) (1 )
tr J pS k r d r
J d r k r pS k r k r r p S
S p k r r d k r
S p k r
d k r r
Karena 1det( ) 0J , diperoleh :
10 2 2 0 2
1
(1 )(1 )
(1 )
k rpS d r r p S d r
k r
dari pertidaksamaan diatas diperoleh 0 2 1( ) (1 )pS d r k r , berakibat
1( ) 0tr J , dan diperoleh basic reproduction ratio yaitu
Bio Matematika, Juni 2013
5
0 1
0
1 2
(1 ).
( ) (1 )
S p k rR
d k r r (5)
persamaan (5) merupakan basic reproduction ratio untuk kelas individu terinfeksi dan
menularkan. Secara epidemiologi jika 0 1R maka tidak akan terjadi epidemik dan jika
0 1R maka akan terjadi epidemik dalam populasi.
3. 2 Eksistensi dan Ketunggalan Titik Ekuilibrium Endemik
Lemma 2 Jika 0 1R , maka sistem PD (1) memiliki titik ekuilibrium yang tunggal yaitu
* * * *
1 ( , , )X S E I dengan * * *, ,S E I masing-masing didefenisikan sebagai
0
0
2
1 0
0
*
1 (1 )* ,
(1 )
1*
SR
R pE r
k r R
RI
(6 )
Bukti:
Misalkan titik ekuilibrium endemik pada sistem PD (1) yaitu * * * *
1 ( , , )X S E I , sehingga
untuk menentukan titik ekuilibrium *X pada sistem PD (1) dibuat 0S , 0E dan 0I ,
sehingga diperoleh
1 2
1 2
* * * 0,
(1 ) * * (1 ) * * 0,
* * (1 ) * ( ) * 0.
S I S
p S I k r E r I
pS I k r E d r I (7)
Dari persamaan (7) baris pertama dan kedua diperoleh
2
1
* (1 )* , *
* (1 ) *
I pS E r
I k r I (8)
Substitusikan persamaan (8) ke persamaan (7) baris ketiga, diperoleh
0* * 1 0.I I R (9)
Dari persamaan (9) diperoleh dua solusi yaitu * 0I yang merupakan titik ekuilibrium
bebas penyakit (non-endemik) dan
0( 1)* ,
RI
Bio Matematika, Juni 2013
6
yang merupakan titik ekuilibrium endemik. Sehingga bila 0 1R , diperoleh * 0I .
Selanjutnya, disubstitusikan nilai *I kepersamaan (7) diperoleh titik ekuilibrium endemik
pada persamaan (6).
3. 3 Stabilitas Global Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Pada bagian ini akan ditentukan stabilitas global titik ekuilibrium bebas penyakit.
Teorema 3 Jika 0 1R , maka titik ekuilibrium bebas penyakit *
0 ( ,0,0)X stabil
asimtotik global pada .
Bukti :
Didefenisikan fungsi Lyapunov sebagai berikut :
1 1(1 ) (1 ) .V k r E k r I (10)
Dengan menurunkan persamaan (10) terhadap t dan dari sistem PD (1) diperoleh
1 1
1 2 1
1 1 2
(1 ) (1 ) .
(1 ) (1 ) (1 )
(1 ) (1 ) ( ) .
V k r E k r I
k r p SI r I k r E
k r pSI k r E d r I
(11)
Karena 0S S , diperoleh
0 1 2 1
0 1
1 2
0
(1 ) (1 ) ( )
(1 )1
(1 ) ( )
( 1) .
V S p k r r k r d I
S p k rI
k r d r
R I
(12)
Sehingga jika 0 1R ,maka 0V untuk setiap 0( , , ) ( ,0,0)S E I S , menurut teorema
fungsi lyapunov bagian kedua [3]
, titik ekuilibrium *0X stabil asimtotik pada . Lebih
lanjut jika 0 1R , maka diperoleh 0V . Karena titik ekuilibrium *0X stabil pada 0 1R ,
sehingga diperoleh ( ,0,0) merupakan himpunan invarian terbesar dan
0 ( , , ) | 0S E I V , selanjutnya karena himpunan invarian terbesar termuat dalam
0 . Berdasarkan teorema LaSalle diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit *
0X pada
sistem PD (1) stabil asimtotik global.
Bio Matematika, Juni 2013
7
3. 4 Stabilitas Global Titik Ekuilibrium Endemik
Pada bagian ini akan ditentukan stabilitas global titik ekuilibrium endemik .
Teorema 4 Jika 0 1R maka titik ekuilibrium endemik * * * *
1 ( , , )X S E I stabil asimtotik
global pada
Bukti:
Misalkan fungsi lyapunov yang akan digunakan sebagai berikut :
( *ln( )) ( *ln( )) ( *ln( )),U S S S A E E E B I I I (13)
dimana A dan B adalah suatu konstanta positif. Dengan menurunkan persamaan (13)
terhadap t, diperoleh:
2 1
1 2
* * *1 1 1
* *1 1 (1 ) (1 )
*1 (1 ) ( ) .
S E IU S A E B I
S E I
S ESI S A p SI r I k r E
S E
IB pSI k r E d r I
I
(14)
Dari persamaan (7) dan titik ekuilibrium *
1X endemik diperoleh :
1 2
2 1
* * *,
* * *(1 ) (1 ) ,
* *
** (1 ) .
*
S I S
S I Ik r p r
E E
Ed r pS k r
I
(15)
Selanjutnya sistem PD (1) dan persamaan (15) disubtitusi ke persamaan (14), diperoleh
2 2
1 1
2
* * * *1 * * * 1 (1 ) (1 ) * *
* *1 (1 ) * (1 )
( *) * ** * 1 1 1 (1 ) * *
* *
S E E EU S I S SI S A p SI r I p S I r I
S E E E
I IpSI k r E pS I k r E
I I
S S S SI E SIS I A p S I
S S S I E S
2 1
* * *
** 1 * * (1 ) * .
* * * * * * *
E
I E
I E I SI I E Ir I B S I k r E
I E I S I I E I
(16)
Dengan menggunakan persamaan (7) dari titik ekuilibrium endemik *
1X , diperoleh
2
1
1* (1 ) * * *
(1 )E p S I r I
k r
Bio Matematika, Juni 2013
8
Selanjutnya, disubtitusikan *E ke persamaan (16), sehingga 2
1
1
12
( *) * ** * 1 1 (1 ) 1
* * * * *
(1 )(1 )* *1 1
* * * (1 ) * *
(1* 1
* * *
S S S SI E SI EU S I A p
S S S I E S I E
Bk r pI SI I I E IBp
I S I I k r I E I
Bk rE E Ir I A
E E I
1
) *1 .
(1 ) * *
I E I
k r I E I
(17)
Misalkan ( , , ) , ,* * *
S E Ix y z
S E I , maka dari persamaan (17) diperoleh
2
1 1
2
1 1
2
( *) 1 1 1* * 1 1 1 1 1
1 1 11 1 11 * 1 1
1 1
*, , , , (18)
S SU S I xz A p xz y Bp xz z
S x z z
Bk r p Bk ry z r I A z y y z
k r z z k r z
S Sf x y z t
S
dengan
1 2 2
1
1
1
1
2
1
, , * * , , * , ,
1 1, , 1 1 1 1
1 11 11 1
1
11 1, 1 1
1
f x y z S I f x y z r I f y z
f x y z xz A p xz yx z
Bk r pBp xz z y z
z k r z
Bk rf y z A z y y z
z k r z
(19)
Konstanta A dan B akan dipilih dalam bentuk A(p) dan B(p) sehingga fungsi f akan
bernilai non-positif untuk setiap , ,x y z , sedemikian sehingga turunan U(t) terhadap t
akan kurang dari nol. Dipilih
1 1
1 1
1 1dan
1 1
k r k rA B
p k r p k r
(20)
Subtitusi persamaan (20) ke persamaan (19) diperoleh
Bio Matematika, Juni 2013
9
11
1
1 1
2
1
2
1
11 11, , 1 1 1 ,
1 1
1, (21)
1
p k rk r pf x y z xz z xz x z xz z x
x p k r p k r
k r y zf y z
p k r yz
dari persamaan (21), nilai dari fungsi f2 akan kurang dari nol dan akan sama dengan nol
jika y = z . Disamping itu, jika fungsi f1 diturunkan terhadap p diperoleh
1 , , 0f
x y zp
Jika nilai x, y dan z tetap, maka untuk [0,1]p fungsi f 1 akan mencapai maksimal di p =
0 atau p = 1.
Misalkan p = 1. Subtitusikan p = 1 pada fungsi f 1 di persamaan (22) diperoleh
1
1, , 2f x y z x
x (22)
Menggunakan ketidaksamaan nilai rata-rata aritmetik-geometrik diperoleh 1 , , 0f x y z
Analog untuk p = 0 disubtitusi pada fungsi f 1 di persamaan (22) diperoleh :
1
1, , 2f x y z x
x
diperoleh 1 , , 0f x y z , berakibat ( ) 0U t untuk setiap ( , , )S E I , menurut teorema
fungsi lyapunov yang kedua titik ekuilibrium *1X stabil asimtotik pada , lebih lanjut jika
*S S , *E E dan *I I dari persamaan (17) diperoleh 0U sehingga dapat
didefenisikan himpunan * * *
1 ( , , ) | 0 ( , , ) | , ,S E I V S E I S S E E I I
berakibat Bila 0 1R berakibat 1{ *, *, *}S E I merupakan himpunan invarian
terbesar 1 , menurut teorema LaSalle diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit *
1X pada
sistem (1) stabil asimtotik Global.
3.5 Simulasi Numerik
Pada bagian ini akan dilakukan simulasi numerik untuk sistem (1) menggunakan software
Matlab 2009.
3.5.1 Simulasi Untuk 10R
Berdasarkan syarat agar 10R , diberikan nilai parameter sebagai berikut :
01.0dan003.0,006.0,032.0,001.0,2.0,10,015,0 21 rdrkp ,
selanjutnya diperoleh titik kritis : 0,0,*
0X 0,0,50
Bio Matematika, Juni 2013
10
Gambar 1
Gambar 1 menunjukkan perubahan jumlah populasi S , E dan I terhadap waktu. Terlihat
bahwa untuk jangka waktu yang lama populasi E dan I akan mengalami penurunan dan
akan menuju nol, sedangkan populasi S akan mengalami peningkatan hingga mencapai
ambang batas (50). Hal ini berarti jika parameter yang terbentuk memenuhi syarat 10R
maka penyakit tuberkolosis akan dapat dikendalikan.
Gambar 2 : Trajectori untuk Sistem (1) dan kurva akan konvergen ke titik ekuilibrium
bebas penyakit *
0X ketika 10R
Bio Matematika, Juni 2013
11
3.5.1 Simulasi Untuk 10R
Berdasarkan syarat agar 10R , diberikan nilai parameter sebagai berikut :
01.0dan003.0,006.0,52.0,001.0,2.0,10,045,0 21 rdrkp ,
selanjutnya diperoleh titik kritis : 427.4525928,011.65428943,6.88397067*
1X
Gambar 3
Gambar 3 menunjukkan perubahan jumlah populasi S , E dan I terhadap waktu. Terlihat
bahwa untuk jangka waktu yang lama populasi S akan mengalami penurunan dan
selanjutnya akan konstan, populasi E untuk jangka waktu tertentu akan naik, selanjutnya
akan kembali turun dan menjadi konstan. sedangkan populasi I akan mengalami
peningkatan hingga mencapai ambang batas (50). Hal ini berarti jika parameter yang
terbentuk memenuhi syarat 10R maka penyakit tuberkolosis akan mewabah dan tidak
dapat dikendalikan.
Bio Matematika, Juni 2013
12
Gambar 2 : Trajectori untuk Sistem (1) dan kurva akan konvergen ke titik ekuilibrium
endemik *
1X ketika 10R
4. Kesimpulan
1. Pada model penyebaran penyakit tuberkolosis, diperoleh basic reproduction number
yaitu :
1
0
1 2
(1 ).
( ) (1 )
p k rR
d k r r
2. Bila 10R maka titik ekuilibtium 0,0, stabil asimtotik global berarti untuk
jangka waktu yang lama penyakit tuberkolosis akan hilang dari populasi, sedangkan
bila 10R titik ekuilibrium * * * *
1 ( , , )X S E I stabil asimtotik global dengan :
0
0
2
1 0
0
*
1 (1 )* ,
(1 )
1*
SR
R pE r
k r R
RI
Ini berarti untuk jangkan waktu yang lama akan terjadi endemik atau penyakit akan
mewabah sehingga mengakibatakan populasi yang terinfeksi dan menularkan akan
semakin bertambah.
Bio Matematika, Juni 2013
13
REFERENSI
[1] Arrowsmith D.R. dan Place C.M. 1992. Dynamical System Differential Equation.
Maps and Chaotic Behaviour. Chapman & Hall Mathematic. London.
[2] B. Samuel, J. T. Jean, C. K. Jean, Stability analysis of the transmission dynamics of
tuberculosis models, World Academik Union, Cameron, 2011
[3] Olsder G.J 1994. Mathematical system Theory. Delft Uitgevers Maatschappij.
Netherlands.
[4] Perko L. 1991. Differential Equations and Dynamical Systems. Springer-Verlag.
NewYork.
[5] Ross S.L. 1984. Differential Equations 3th
edition. John Wiley & Sons. University of
New Hampshire.
[6] Tri Putra. R. 2011. Jurnal : Kestabilan Lokal Bebas Penyakit Model Endemi SEIR
dengan Kemampuan Infeksi Pada Periode Laten, Infeksi Dan Sembuh, Kampus
Limau Manis, Padang
[7] www.id.wikipedia.com/Tuberkolosis diakses tanggal 19 Mei 2013
Recommended