c. Gerak Dua Dimensi Rev PDF

1. GERAK 2 DIMENSI

1.1 Analisis Vektor Untuk Gerak Dua Dimensi

Besaran-besaran pada gerakan:

Posisi

Perpindahan

Kecepatan Rata-Rata

Kecepatan Sesaat

Percepatan rata-rata

Percepatan sesaat

Posisi, perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya,

merupakan besaran-besaran vektor, maka tentang

gerak akan lebih lengkap kalau diungkapkan dengan

metode vektor

POSISI

Digunakan sumbu x (horisontal) dan sumbu y

(vertikal).

Posisi benda diukur dari pusat koordinat ditulis dalam

notasi vektor sebagai

Gambar 1.1 Posisi sebuah benda dalam koordinat dua dimensi

Sifat perkalian vektor satuan

Sifat perkalian skalar yang dipenuhi adalah

PERPINDAHAN

Gambar 1.2

Vektor perpindahan benda

adalah selisih verktor posisi

akhir dengan vektor posisi awal

Vektor perpindahan adalah vektor yang

pangkalnya berada di ujung vektor dan kepalanya

berada di ujung vektor

Vektor perpindahannya:

Besar perpindahan benda, yaitu panjang

perpindahan, adalah:

CONTOH 1.1.

Mula-mula posisi sebuah benda dinyatakan oleh vektor

meter. Beberapa saat berikutnya, posisi

benda menjadi meter. Berapakah vektor

perpindahan serta besar perpindahan benda?

Jawab:

Besar perpindahan benda:

CONTOH 1.2

Posisi benda tiap saat ditentukan oleh persamaan

(satuan meter).

(a) Tentukan posisi benda pada saat t = 1 s dan t = 10 s.

(b) (b) Tentukan perpindahan benda selama selang waktu

t = 1 s sampai t = 10 s.

Jawab

(a) Posisi benda saat t = 1 s

Posisi benda saat t = 10 s

(b) Perpindahan benda antara t = 1 s sampai t = 10 s

RALAT:

JAWABAN YANG BETUL ADALAH:

KECEPATAN RATA-RATA

Kecepatan rata-rata = perbandingan antara perpindahan

dengan lama waktu melakukan perpindahan.

Perpindahan benda adalah:

Lama waktu benda berpindah adalah:

Definisi kecepatan rata-rata adalah

(1.8)

Di sini kita gunakan tanda kurung siku, ⟨…⟩, sebagai

simbol untuk rata-rata.

Kecepatan rata-rata juga merupakan besaran vektor.

CONTOH 1-3

Pada saat t = 2 s posisi sebuah benda adalah

meter dan pada saat t = 6 s posisi benda menjadi

meter. Berapakah kecepatan rata-rata benda selama

perpindahan tersebut?

Jawab :

Perpindahan benda :

Lama perpindahan benda : ∆t = 6 – 2 = 4 s

Kecepatan rata-rata benda:

CONTOH 1.4

Posisi sebuah benda yang sedang bergerak

memenuhi hubungan meter.

Berapakah kecepatan rata-rata benda antara t = 0 s

sampai t = 5 s?

Jawab

Posisi benda saat t = 0 s

Posisi benda saat t = 5 s

Perpindahan benda

Lama perpindahan benda: ∆t = 5-0 = 5 s

Kecepatan rata-rata benda

KECEPATAN SESAAT

Kecepatan sesaat diperoleh dari kecepatan rata-rata

dengan mengambil selang waktu yang sangat kecil,

yaitu mendekati nol. Dapat pula dikatakan bahwa

kecepatan sesaat merupakan kecepatan rata-rata

pada selang waktu yang sangat kecil (mendekati

nol). Jadi, definisi kecepatan sesaat adalah

Definisi ini dapat ditulis dalam bentuk diferensial

sebagai berikut

CONTOH 1.5

Sebuah benda bergerak dengan posisi yang memenuhi

meter.

Tentukan kecepatan sesaat benda pada saat t = 2 s.

Jawab

Kecepatan sesaat benda pada sembarang waktu adalah

m/s

Kecepatan sesaat benda pada saat t = 2 menjadi

PERCEPATAN RATA-RATA

Percepatan rata-rata = perbandingan antara perubahan

kecepatan benda dengan lama kecepatan tersebut berubah.

Misalkan saat t1 kecepatan sesaat benda adalah dan

pada saat t2 , kecepatan sesaat benda adalah .

Maka

Perubahan kecepatan benda adalah

Lama waktu kecepatan berubah adalah

Definisi percepatan rata-rata adalah

(1.11)

Percepatan rata-rata juga merupakan besaran vektor.

CONTOH 1.6

Sebuah benda bergerak dengan kecepatan yang

memenuhi persamaan

Tentukan percepatan rata-rata benda antara selang

waktu t1 = 10/6 s sampai t2 = 10 s.

Jawab

Kecepatan benda saat t = 10/6 s

Kecepatan benda saat t = 10 s

Perubahan kecepatan benda antara t = 10/6

sampai t = 10 s adalah

Lama waktu perubahan kecepatan benda

Percepatan rata-rata benda

PERCEPATAN SESAAT

Jika selang waktu yang kita ambil dalam menghitung

percepatan rata-rata mendekati nol, maka percepatan

rata-rata tersebut berubah menjadi percepatan sesaat.

Jadi, percpetan sesaat didefinisikan sebagai

dengan ∆t diambil menuju nol.

Juga definisi ini dapat ditulis dalam bentuk diferensial

sebagai berikut

CONTOH 1.7

Kecepatan sesaat benda sebagai fungsi waktu

diberikan oleh hubungan

Berapakah percepatan sesaat benda pada saat

t = 5 s?

Jawab

Pertama kita tentukan percepatan sesaat pada

sembarang waktu, yaitu:

Percepatan sesaat pada saat t = 5 s adalah:

Dari posisi benda didapatkan kecepatan rata-

rata dan kecepatan sesaat

Dari kecepatan sesaat dapat ditentukan

percepatan rata-rata dan percepatan sesaat.

lalu

Bagaimana jika sebaliknya?

Jawabannya: dapat juga

1.2 MENENTUKAN KECEPATAN DARI PERCEPATAN

Persamaan (1.13) dapat ditulis ulang menjadi

Jika ruas kiri dan kanan diintegralkan dengan

batas-batas: (i) kecepatan dari sampai

dan (ii) waktu dari t0 sampai t :

atau

Persamaan (1.16) merupakan bentuk yang umum

yang berlaku untuk percepatan yang konstan

maupun tidak konstan. Kalau kita tinjau kasus

khusus untuk percepatan yang konstan, maka

percepatan pada integral persamaan (1.16) dapat

dikeluarkan dari integral dan kita peroleh

CONTOH 1.8 (PERCEPATAN KONSTAN)

Pada saat to = 2 s sebuah partikel memiliki kecepatan

Berapa kecepatan partikel pada sembarang waktu jika percepatannya

adalah

Jawab :

Dari soal kita daatkan informasi to = 2 s,

dan

Karena percepatan konstan maka kita bias langsung menggunakan

persamaan (1.17)

CONTOH 1.9 (PERCEPATAN SEMBARANG)

Sebuah benda memiliki percepatan

Jika pada saat t = 4 kecepatan benda adalah

tentukan kecepatan benda pada

sembarang waktu.

Jawab

Karena benda memiliki percepatan yang sembarang,

maka kita gunakan persamaan

umum (1.16). Kita dapatkan kecepatan benda adalah:

1.3. MENENTUKAN POSISI DARI KECEPATAN

kecepatan sesaat:

Misalkan pada saat to benda berada pada posisi

dan pada saat t sembarang posisi benda

dinyatakan oleh

Dua ruas dalam persamaan (1.18) dapat diintegral

menjadi:

Persamaan (1.20) merupakan bentuk yang umum,

baik untukkecepatanyang konstan maupun tidak

konstan. Kalau kita tinjau kasus khusus untuk

kecepatan yang konstan, , maka:

Kasus khusus lainnya adalah untuk gerak dengan

percepatan yang konstan. Untuk kasus ini maka

kecepatan pada integral persamaan (1.20) diganti dengan

kecepatan pada persamaan (1.17) sehingga diperoleh

CONTOH 1.10 (PERCEPATAN KONSTAN)

Sebuah benda bergerak dengan percapatan

m/s2. Pada waktu nol detik, kecepatan benda adalah

m/s dan posisinya m. Tentukan:

(a) Kecepatan benda pada sembarang waktu

(b) Posisi benda pada sembarang waktu.

Jawab:

Dari soal kita dapat informasi

a) Karena percepatan benda konstan maka kecepatan

benda pada sembarang waktu tentukan dari

persamaan (2.17):

b) Posisi benda tiap saat dihitung dengan persamaan

(1.22)

CONTOH 1-11

Pada saat t = 0, benda berada pasa posisi

Benda tersebut bergerak dengan kecepatan

Tentukan posisi benda pada sembarang waktu

Jawab

Karena percepatan benda tidak konstan maka kita

gunakan bentuk umum yang diungkapkan oleh pers

(1.20)

SOAL DAN PENYELESAIAN

(1)

Kecepatan sebuah mobil dapat dinyatakan dalam

persamaan

Pada saat t = 0 posisi mobil adalah

Tentukan posisi mobil pada saat t = 0,5 jam.

Jawab

Dari bentuk kecepatan, tampak bahwa gerakan

mobil merupakan gerak dengan kecepatan konstan,

sehingga kita dapat langsung menggunakan rumus

(2)

Posisi sebuah benda memenuhi

Tentukan:

a) Posisi benda pada saat t = 1 s

b) Posisi benda pada saat t = 3 s

c) Perpindahan benda antara t = 1 s sampai t = 3 s.

d) Kecepatan rata-rata benda antara t = 1 s sampai t

= 3 s.

e) Kecepatan sesaat benda

JAWAB