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8/20/2019 C) PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL RESUELTOS.pdf
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Investigación Operativa I Programación Lineal
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 1
EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL
1. RMC es una empresa pequeña que produce diversos productos químicos. En unproceso de producción en particular se utilizan tres materia primas para elaborardos productos: un aditivo para combustible y una base disolvente. El aditivo para
combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la producción degasolina y otros combustibles relacionados. La base disolvente se vende a variasempresas químicas y se utiliza tanto para productos de limpieza para el hogarcomo industriales. Para formar el aditivo para combustible y la base dedisolvente de mezclan tres materia primas, según apara ce en la siguiente tabla.
NECESIDADES DE MATERIA PRIMA POR TONALADA
ProductoMateria Prima
1 2 3 Aditivo para combustible 2/5 0 3/5
Base disolvente 1/2 1/5 3/10
Utiliza ½ toneladas de materia prima 1 en cada tonelada de base de disolvente.
La producción de RMC está limitada por la disponibilidad de las tres materiaprimas. Para el período de producción actual, RMC tiene disponibles lascantidades siguientes de cada una de las materia primas
Materia PrimaCantidades disponiblespara la producción
Materia prima 1 20 toneladasMateria Prima 2 5 toneladasMateria prima 3 21 toneladas
Debido a deterioro y la naturaleza del proceso de producción, cualquiermateria prima que no se utilice para producción actual resulta inútil y debedescartarse.
El departamento de control de calidad ha analizado las cifras de producción,asignando todos los costos correspondientes, y para ambos productos llegó a
precios que resultarán en una contribución a la utilidad de 40 dólares portonelada de aditivo para combustible producida y de 30 dólares por cadatonelada de base disolvente producido. La administración de RMC, después deuna análisis de la demanda potencial, ha concluido que los preciosestablecidos asegurarán la venta de todo el aditivo para combustible y de todala base disolvente que se produzca.
El problema de RMC es determinar cuántas tonelada de cada producto deberáproducir para maximizar la contribución total de la utilidad. Si Ud. Estuviera acargo de la programación de la producción para RMC. ¿qupe decisión tomaría?Esto es, ¿Cuántas tonaladas de aditivo para combustible y cuántas toneladas
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de base disolvente produciría usted para el período actual de producción?Escriba sus decisiones abajo y encuentre sus resultados.1
Solución:
Diseño del modelo matemático:
Definición de variablesX1 = número de toneladas de aditivo para combustibleX2 = número de toneladas de base disolvente
Función objetivo:Maximizar la contribución a la utilidad, Z = 40 X1 + 30 X2
Restricciones
Toneladas de materia prima 1 2/5X1 + 1/2X2 ≤ 20Toneladas de materia prima 2 1/5X2 ≤ 5Toneladas de materia prima 3 3/5X1 + 3/10X2 ≤ 21
No negatividadXi ≥0; i=1,2
Entrada de datos para Solver
Salida de resultados
1 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 220.
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Informe del problema:
Orden de producción:25 toneladas de aditivo20 toneladas de base disolvente
con:20 toneladas de materia prima 1,4 toneladas de materia prima 2, y21 toneladas de materia prima 3
2. Innis Investments administra fondos de empresas y clientes pudientes. Laestrategia de inversión se adecua a las necesidades de cada cliente. Para uncliente nuevo, a Innis se le ha autorizado invertir hasta 1’200.00 dólares enfondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero.Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dólares, con una tasa de
rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta100 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 4%.
El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobrela inversión de por lo menos 60.000 dólares. De acuerdo con el sistema demedición del riesgo del Innis, cada unidad adquirida en el fondo de accionestiene un índice de riesgo del 8, y cada unidad adquirida en el fondo demercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice de riesgo máselevado con el fondo de acciones indica, simplemente que se trata de un ainversión más riesgosa. El cliente de Innis también ha especificado que se
inviertan por lo menos 3.000 dólares en el fondo de mercado de dinero.¿Cuántas de cada uno de los fondos deberá adquirir Innis para el cliente, si elobjetivo es minimizar el índice de riesgo total para esa cartera?2
Solución:Diseño del modelo matemático:
Definición de variablesX1 = número de unidades adquiridas en el fondo de accionesX2 = número de unidades adquiridas en el fondo del mercado de
dinero
Función objetivo:Minimizar el riesgo, Z = 8 X1 + 3 X2
RestriccionesFondos disponibles 50X1 + 100X2 ≤ 1’200.000 Ingreso anual 5 X1 + 4X2 ≥ 60.000Unidades en fondo 100X2 ≥ 3.000
2 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 242.
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No negatividadXi ≥0; i=1,2
Entrada de datos para Solver
Datos de salida del Solver
Informe de asesoría:
Innis Investments aconseja al cliente que adquiera 400 unidades a 50 dólarescada una en Acciones y 10.000 unidades a 100 dólares cada en el mercado dedinero para obtener una ganancia de 62.000 dólares al año.
3. PAR es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyo distribuidorlo convenció de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf de preciomedio, conocida como modelo estándar, como para una bolsa de golf de precioelevado, conocida como modelo deluxe. El distribuidor tiene tanta confianza enel mercado que si PAR puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, eldistribuidor está de acuerdo en adquirir todas las bolsas que PAR pueda fabricaren los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos defabricación dieron como resultado la tabla siguiente, que muestra lasnecesidades de tiempo de producción para las cuatro operaciones demanufactura requeridas y la estimación por parte del departamento decontabilidad de la contribución a la utilidad por bolsa.
Tiempo de producciónUtilidad porCorte y Costura Terminado Inspección
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Producto teñido y empaque BolsaEstándar 7/10 1/2 1 1/10 $10Deluxe 1 5/6 2/3 1/4 $9
El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarándisponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo decostura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspeccióny empaque para la producción de las bolsas de golf.
a) Si la empresa desea maximizar la contribución total a lautilidad,¿Cuántas bolsas de cada modelo deberá fabricar?
b) ¿Qué contribución a la utilidad puede obtener PAR de estas cantidadesde producción?
c) ¿Cuántas horas de producción se programarán para cada operación?d) ¿Cuál es el tiempo de holgura de cada operación?3
Solución:Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Cantidad de unidades de bolsas de golf estandarX2 = Cantidad de unidades de bolsas de golf de lujo
Función ObjetivoZ max = 10X1 + 9X2
Restricciones0.7X1 + 1.0X2 ≤ 630 Horas de Corte y teñido 0.5X1 + 0.8334X2 ≤ 600 Horas de Costura 1.0X1 + 0.6667X2 ≤ 708 Horas de Terminado 0.1X1 + 0.25X2 ≤ 35 Horas de Inspección y Empaque
No negatividadXi ≥0; i=1,2
Solución gráfica:
3 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 264. Problema 15.
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Entrada de datos Solver:
Solución Solver:
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Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 7
a) Debe fabricar 539,98 bolsas de golf estándar y 252,01 bolsas de golf deLujo.
b) Contribución total = $ 7.667,942c) Se programarán 620 horas de Corte y Teñido, 480.02 horas de Costura,
708 horas de Terminado y 117 horas de Inspección y Empaque.
d) Los tiempos de holgura son de 119.98 para Costura y 18 horas paraInspección y Empaque. Las operaciones de Corte y Teñido, y Terminado notienen holgura.
4. PAR es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyo distribuidorlo convenció de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf de preciomedio, conocida como modelo estándar, como para una bolsa de golf de precioelevado, conocida como modelo Deluxe. El distribuidor tiene tanta confianza enel mercado que si PAR puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, eldistribuidor está de acuerdo en adquirir todas las bolsas que PAR pueda fabricar
en los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos defabricación dieron como resultado la tabla siguiente, que muestra lasnecesidades de tiempo de producción para las cuatro operaciones demanufactura requeridas y la estimación por parte del departamento decontabilidad de la contribución a la unidad por bolsa.
Producto
Tiempo de producciónUtilidad por
Bolsa
Corte y
teñido
Costura Terminado Inspección
y empaqueEstándar 7/10 1/2 1 1/10 $10Deluxe 1 5/6 2/3 1/4 $9
El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarándisponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo decostura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspeccióny empaque para la producción de las bolsas de golf.
Resuelva el problema descrito y luego responda a las siguientes preguntas:
a) El departamento de contabilidad revisa su estimación de contribución ala utilidad para la bolsa Deluxe a 18 dólares por bolsa.
b) Aparece disponible una nueva materia prima de bajo costo para la bolsaestándar, y la contribución a la unidad por la bolsa estándar puedeincrementarse a 20 dólares por bolsa. (suponga que la contribución a lautilidad por la bolsa Deluxe es el valor original de 9 dólares)
c) Se puede obtener nuevo equipo de costura que incrementará lacapacidad de operación de costura a 750 horas.(suponga que 10X1 +9X2 es la función objetivo apropiada)
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Si cada una de estas situaciones se encuentra por separado, ¿Cuál sería lasolución óptima y la contribución total a la utilidad?4
Solución:
Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Cantidad de unidades de bolsas de golf estandarX2 = Cantidad de unidades de bolsas de golf de lujo
Función ObjetivoZ max = 10X1 + 9X2
Restricciones0.7X1 + 1.0X2 ≤ 630 Horas de Corte y teñido
0.5X1 + 0.8334X2 ≤ 600 Horas de Costura 1.0X1 + 0.6667X2 ≤ 708 Horas de Terminado 0.1X1 + 0.25X2 ≤ 135 Horas de Inspección y Empaque
No negatividadXi ≥0; i=1,2
Solución GLP
4
Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 265. Problema 16.
0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 960 1020 1080 11
0
35
70
105
140
175
210
245
280
315
350
385
420
455
490
525
560
595
630
665
: 0.7000 X1 + 1.0000 X2 = 630.0000
: 0.5000 X1 + 0.8334 X2 = 600.0000
: 1.0000 X1 + 0.6667 X2 = 708.0000
: 0.1000 X1 + 0.2500 X2 = 135.0000
Payoff: 10.0000 X1 + 9.0000 X2 = 7667.9417
Optimal Decisions(X1,X2): (539.9842, 252.0110)
: 0.7000X1 + 1.0000X2
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Entrada de datos Solver:
Solución Solver:
a)
b)
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Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 10
c)
La solución óptima es la alternativa b) donde se incrementa la contribución a
la utilidad de las bolsas estándar a $20 y su contribución total es de $ 14.160fabricando sólo bolsas de golf estándar.
5. Kelson Sporting Equipment fabrica dos modelos de guantes de béisbol: unonormal y una manopla de catcher. La empresa tiene disponibles 900 horas detiempo de producción en su departamento y corte y costura, 300 horasdisponibles en el departamento de terminado y 100 horas disponibles en eldepartamento de empaque y embarque. Los requerimientos de tiempo deproducción y la contribución a la utilidad de cada uno de losa productos es:
Modelo
Tiempo de producción(horas)Utilidad porGuante
Corte ycostura
Terminado Empaque yembarque
Normal 1 1/2 1/8 $5Catcher 3/2 1/3 1/4 $8
Suponga que la empresa está interesada en maximizar la contribución total dela utilidad.
a) ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema?b) Encuentre la solución óptima. ¿Cuántos guantes de cada modelo deberá
fabricar Kelson?
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c) ¿Cuál es la contribución total a la utilidad que puede ganar Nelson conlas cantidades de producción arriba citadas?
d) ¿Cuántas horas de producción serían programadas en cadadepartamento?
e) ¿Cuál es el tiempo libre de cada departamento?5
Solución:
a) Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Cantidad de guantes de Béisbol normalX2 = Cantidad de guantes de Béisbol tipo Manopla
Función Objetivo
Z max = 5X1 + 8X2
RestriccionesX1 + 1.5X2 ≤ 900 horas de Corte y Costura 0.5X1 + 0.3334X2 ≤ 300 horas de Terminado0.125X1 + 0.25X2 ≤ 100 horas de Empaque y Embarque
No negatividadXi ≥0; i=1,2
Solución GLP
5
Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 266. Problema 22.
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Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 12
Datos de entrada de Solver:
Salida del Solver:
0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 9
0
35
70
105
140
175
210
245
280
315
350
385
420
455
: 1.0 X1 + 1.5 X2 = 900.0
: 0.5 X1 + 0.3 X2 = 300.0
: 0.1 X1 + 0.3 X2 = 100.0
Payoff: 5.0 X1 + 8.0 X2 = 3699.9
Optimal Decisions(X1,X2): (500.0, 150.0)
: 1.0X1 + 1.5X2
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Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 13
6. George Johnson heredó recientemente una gran suma de dinero; desea utilizarparte de este dinero para establecer un fideicomiso para sus dos hijos. Elfideicomiso tiene dos opciones de inversión: (1) un fondo de bonos y (2) unfondo de acciones. Los rendimientos proyectados durante la vida de las
inversiones son 6% para el fondo de bonos y 10% para el de acciones.Independientemente de la porción de la herencia que finalmente decidacomprometer al fideicomiso, desea invertir por lo menos 30% de dicha cantidaden el fondo de bonos. Además, desea seleccionar una combinación que lepermita obtener un rendimiento total de por lo menos 7.5%.
a) Formule un modelo de programación lineal que pueda utilizarse paradeterminar el porcentaje que debe asignarse a cada una de las posiblesalternativas de inversión.
b) Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica y
por solver6
Solución:
Definición de variablesX1 = cantidad de dinero invertido en fondo de bonosX2 = cantidad de dinero invertido en fondo de acciones
Función Objetivo
Zmax = 1X1 + 1X2 Restricciones
X1 ≥ 30% (100) inversión en fondo de bonos6% X1 + 10% X2 ≥ 7.5% (100) rendimiento totalX1 + X2 ≤ 100 relación entre inversiones
No negatividadXi ≥0; i=1,2
Datos entrada Solver
6
Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 266. Problema 23.
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Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 14
Resultados del Solver:
Solución gráfica:
7. El propietario de Sea Warf Restaurant desearía determinar cual es la mejor formade asignar un prosupuesto mensual de publicidad de 1.000 dólares entre
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Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 15
periódicos y la radio. La administración ha decidido que por lo menos 25% delpresupuesto debe utilizarse en cada uno de estos dos tipos de medios y que elmonto del dinero gastado en publicidad en periódicos locales debe tener por lomenos el doble de los que se gaste en radio. Un asesor de mercadotecnia hadesarrollado un índice que mide la exposición del auditorio por dólar de
publicidad en una escala de 0 al 100, donde valores más elevados del índiceindican mayores exposiciones al auditorio. Si el valor del índice para publicidaden los periódicos locales es de 50, y para el anuncio de radio es de 80, ¿Cómodebería asignar la administración el presupuesto de publicidad, a fin demaximizar el valor de exposición total en el auditorio?
a) Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar paradeterminar la manera en que la administración debe asignar elpresupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de la exposicióntotal del auditorio.
b) Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica ypor solver7
Solución:Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Cantidad de dólares asignados a periódicosX2 = Cantidad de dólares asignados a radio
Función ObjetivoZmax= 50X1 + 80X2
RestriccionesX1 ≥ 0.25(X1 + X2) mínimo para periódicosX2 ≥ 0.25(X1 + X2) mínimo para radioX1 ≥ 2X2 relación periódicos y radio X1 + X2 ≤ 1000 presupuesto
No negatividadXi ≥0; i=1,2
Solución GLP
7
Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 266. Problema 24.
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Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 16
8.
Invesment Advisors es una empresa de corretaje que administra carteras devalores para clientes. Un cliente nuevo ha solicitado que la empresa maneje unacartera de inversiones de $80.000. Como estrategia inicial de inversión, el
cliente desea restringir la cartera a una combinación de las acciones siguientes:
Acción Precio por Acción
Rendimiento anualestimado por acción
Índice de riego
U.S. OIL $25 $3 0.50Hub Properties $50 $5 0.25
El índice de riesgo por acción es una clasificación del riesgo relativo de dosalternativas de inversión. Para los datos dados, se piensa que U.S. OIL es lainversión sujeta a más riesgo. Al restringir el riesgo total de la cartera, la firma
de inversiones evita colocar cantidades excesivas de la cartera en inversionespotencialmente de rendimiento alto y riesgo elevado. Para la cartera actual seha establecido un límite superior a 700 para el índice de riesgo total de todas lasinversiones, también la empresa ha establecido un límite superior de 1.000acciones para los valores U.S. OIL más riesgosos. ¿Cuántas acciones de cadauno de estos valores deben ser adquiridos a fin de maximizar en rendimientoanual total?8
Solución:
8
Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 267. Problema 25.
0 33 66 99 132 165 198 231 264 297 330 363 396 429 462 495 528 561 594 627 66
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280300
320
340
360
380
400
X2
: 0.75 X1 - 0.25 X2 = 0.00
: -0.25 X1 + 0.75 X2 = 0.00
: 1.00 X1 - 2.00 X2 = 0.00
: 1.00 X1 + 2.00 X2 = 1000.00
Payoff: 50.00 X1 + 80.00 X2 = 46000.00
Optimal Decisions(X1,X2): (600.00, 200.00)
: 0.75X1 - 0.25X2 >= 0.00
: -0.25X1 + 0.75X2 >= 0.00
: 1.00X1 - 2.00X2 >= 0.00
: 1.00X1 + 2.00X2
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Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 17
Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Cantidad de acciones en U.S.OilX2 = Cantidad de acciones en Hub Properties
Función Objetivo
Z max = 3X1 + 5X2
Restricciones0.50X1 + 0.25X2 ≤ 700 por riesgo X1 ≤ 1000 inversión en U.S. OIL25X1 + 50X2 = 80.000 inversión en acciones
No negatividadXi ≥0; i=1,2
Solucion GLP
Datos de entrada SOLVER
0 49 98 147 196 245 294 343 392 441 490 539 588 637 686 735 784 833 882 931 980
079158237316395474553632711790
86994810271106118512641343142215011580
X2
X1: 0.50 X1 + 0.25 X2 = 700.00
: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 1000.00
: 25.00 X1 + 50.00 X2 = 80000.00
Payoff: 3.00 X1 + 5.00 X2 = 8400.00
Optimal Decisions(X1,X2): (800.00, 1200.00)
: 0.50X1 + 0.25X2
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PLANIFICACION TRABAJO INVESTMENT ADVISORS
Acciones U.S.Oil HUB
Cantidad 1 1 max
Contrib. Utilidad 3 5 8
Restricciones Utilizado LímiteNoUtiliz
Riesgo 0,5 0,25 0,75 ≤ 700 699,25
En U.S.Oil 1 1 ≤ 1000 999
Inversión 25 50 75 ≤ 80000 79925
Datos de salida SOLVER
PLANIFICACION TRABAJO INVESTMENT ADVISORS
Acciones U.S.Oil HUB
Cantidad 800 1200 max
Contrib. Utilidad 3 5 8400
Restricciones Utilizado LímiteNoUtiliz
Riesgo 0,5 0,25 700 ≤ 700 -7,4E-10
En U.S.Oil 1 800 ≤ 1000 200
Inversión 25 50 80000 ≤ 80000 -7,3E-08
9. Tom’s produce varios productos alimenticios mexicanos y los vende a WesternFoods, cadena de tiendas de abarrotes localizada en Texas y Nuevo México.Tom’s fabrica dos salsas: Western Foods Salsa y México City Salsa.Esencialmente, ambos productos son mezclas de tomates enteros, 30% de salsade tomate y 20% de pasta de tomate. La México City Salsa, que tiene unaconsistencia más espesa y troceada, está elaborada con 70% de tomatesenteros, 10% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. Cada tarro desalsa producida pesa 10 onzas. Para el período de producción actual, Tom’spuede adquirir hasta 280 libras de tomates enteros, 130 libras de salsa detomate y 100 libras de pasta de tomate, el precio por libra de estos ingredienteses $0.96, $0.64 y $0.56 respectivamente. El costo de las especias y de losdemás ingredientes es de aproximadamente $0.10 por recipiente. Tom’s compratarros de vidrio vacíos a $0.02 cada uno, y los costos de etiquetado y llenado seestiman en $0.03 por cada tarro de salsa producido. El contrato de Tom’s conWestern Foods resulta en ingresos por ventas de $1.64 por cada tarro deWestern Foods Salsa y de $1.93 por cada tarro de México City Salsa.
a. Desarrolle un modelo de programación lineal que le permita a Tom’sdeterminar la mezcla de salsa que maximice la contribución total a la utilidad.
b. Haga una gráfica de la región factible.
c. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas apropiadas a fin de determinarlas coordenadas de cada punto extremo.
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Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 19
d. Encuentre la solución óptima9
Solución:Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Cantidad de tarros de salsa Western FoodsX2 = Cantidad de tarros de salsa México City
Función ObjetivoZ max =(1.64 – (0.10+0.02+0.03+50%(10)(0.96)/16+30%(10)(0.64)/16+20%(10)(0.56)/16))X1 +(1.93 – (0.10+0.02+0.03+70%(10)(0.96)/16+10%(10)(0.64)/16+20%(10)(0.56)/16))X2
Z max = (1.64 – (0.15 + 0.3 + 0.12 + 0.07))X1 + (1.93 – (0.15 + 0.42 + 0.04 + 0.07))X2
Z max = 1X1 + 1.25X2
Restricciones5X1 + 7X2 ≤ 4480 libras de tomates enteros 3X1 + 1X2 ≤ 2080 libras de salsa de tomate 2X1 + 2X2 ≤ 1600 libras de pasta de tomate
No negatividadXi ≥0; i=1,2
Solución con GLP
9
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Investigación Operativa I Programación Lineal
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 20
Datos entrada SOLVER
Planificación para Tom’s
SALSA
WesternFoods
MéxicoCity
Cantidad de tarros 1 1 Max
Utilidad 1 1.25 2.25
Restricciones Utilizado Límite No utiliz
tomates enteros 5 7 12 ≤ 4480 4468
salsa de tomate 3 1 4≤
2080 2076pasta de tomate 2 2 4 ≤ 1600 1596
Salida de datos SOLVERPlanificación para Tom’s
SALSA
WesternFoods
MéxicoCity
Cantidad de tarros 560 240 Max
Utilidad 1 1.25 860
1 50 99 148 197 246 295 344 393 442 491 540 589 638 687 736 785 834 883 9320
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
: 5.00 X1 + 7.00 X2 = 4480.00
: 3.00 X1 + 1.00 X2 = 2080.00
: 2.00 X1 + 2.00 X2 = 1600.00
Payoff: 1.00 X1 + 1.25 X2 = 860.00
Optimal Decisions(X1,X2): (560.00, 240.00)
: 5.00X1 + 7.00X2
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Investigación Operativa I Programación Lineal
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 21
Restricciones Utilizado Límite No utiliz
tomates enteros 5 7 4480 ≤ 4480 -6.2E-09salsa de tomate 3 1 1920 ≤ 2080 160pasta de tomate 2 2 1600 ≤ 1600 -3.7E-09
10. El editor de producción de Rayburn Publishing Company tiene 1.800 páginas demanuscrito que debe ser revisadas. Debido al poco tiempo involucrado, sólo haydos revisores disponibles Erhan Mergen y Sue Smith. Erhan tiene diez díasdisponibles y Sue doce días. Erhan puede procesar 100 páginas de manuscritopor día, y Sue 150 páginas diarias. Rayburn Publishing Company ha desarrolladoun índice para medir la calidad general de un revisor en una escala de 1 (peor)a 10 (mejor). La calidad de Erhan es 9 y la de Sue es 6, además, Erhan cobra 3dólares por página de manuscrito revisado, Sue cobra 2 dólares por página. Seha asignado un presupuesto de $4.800 para la revisión, ¿cuántas páginas debenser asignadas a cada revisor para completar el proyecto con la calidad máselevada posible?10
Solución:Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = cantidad de páginas revisadas por ErhanX2 = cantidad de páginas revisadas por Sue
Función Objetivo
Z max = 9X1 + 6X2
Restricciones3X1 + 2X2 ≤ 4.800 presupuesto X1 + X2 = 1.800 número de páginasX1/100 ≤ 10 días disponibles de ErhanX2/150 ≤ 12 días disponibles de Sue
No negatividadXi ≥0; i=1,2
Solución GLP
10
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Datos de entrada SOLVER
Páginas revisadas Ehran SueCantidad 1 1 Max
Calidad 9 6 15
Restricciones Utilizado Limite No utiliz
Presupuesto 3 2 5 ≤ 4800 4795
Horas Ehran 1 1 ≤ 1000 999
Horas Sue 1 1 ≤ 1800 1799
Núm. Páginas 1 1 2 ≤ 1800 1798
Salida SOLVER
PLANIFICACIÓN TRABAJO RAYBURN
Páginas revisadas Ehran Sue
Cantidad 1000 800 Max
Calidad 9 6 13800
Restricciones Utilizado Limite No utiliz
Presupuesto 3 2 4600 ≤ 4800 200
0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 960 10201080114012000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
16001700
1800
1900
2000X2
X1
: 3.0 X1 + 2.0 X2 = 4800.0
: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 1800.0
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 1000.0
: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 1800.0
Payoff: 9.0 X1 + 6.0 X2 = 13800.0
Optimal Decisions(X1,X2): (1000.0, 800.0)
: 3.0X1 + 2.0X2
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Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 23
Horas Ehran 1 1000 ≤ 1000 -1,1E-10
Horas Sue 1 800 ≤ 1800 1000
Núm. Páginas 1 1 1800 ≤ 1800 -4,2E-09
11. Car Phones vende dos modelos de teléfono para automóvil: X y Y Los registrosmuestran que se utilizan 3 horas de tiempo de ventas por cada modelo deteléfono X vendido, y 5 horas de tiempo de ventas por cada teléfono de modelo Y. Están disponibles un total de 600 horas de venta para el siguiente período decuatro semanas. Además, las políticas de planeación de la administraciónexigen metas mínimas de ventas de 25 unidades, tanto para el X como para el Y.a. Muestre la región factibleb. Si la empresa obtiene una contribución a la utilidad de 40 dólares por cada
modelo X vendido y una contribución a la utilidad de 50 dólares por cadamodelo Y vendido. ¿Cuál es la meta óptima de ventas para la empresa durante
el período de 4 semanas?c. Desarrolle una restricción y muestre la región factible si la administración
agrega la restricción que Car Phones debe vender por lo menos tantosteléfonos Y como teléfonos X.
d.
¿Cuál es la nueva solución óptima si al problema se le agrega la restriccióndel inciso (c)?11
Solución:Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Número de unidades de teléfonos modelo XX2 = Número de unidades de teléfonos modelo Y
Función ObjetivoZmax = 40X1 + 50X2
Restricciones3X1 + 5X2 ≤ 600 horas de venta disponiblesX1 ≥ 25 meta mínima de ventaX2 ≥ 25 meta mínima de venta
No negatividadXi ≥0; i=1,2
Solución GLP
11
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Datos de entrada SOLVERPLANIFICACION DE CAR PHONES
Teléfono
Modelo
X
Modelo
YCantidad 1 1 Max
Utilidad 40 50 90
Restricciones Utilizado LímiteNoUtiliz
Horas disp. 3 5 8 ≤ 600 592
Venta min X 1 1 ≥ 25 -24
Venta min Y 1 1 ≥ 25 -24
Datos de Salida SOLVERPLANIFICACION DE CAR PHONES
TeléfonoModeloX
ModeloY
Cantidad 158,3333 25 Max
Utilidad 40 50 7583,333
Restricciones Utilizado Límite No Utiliz
Horas disp. 3 5 600 ≤ 600 -1,4E-09
Venta min X 1 158,3333 ≥ 25 133,3333Venta min Y 1 25 ≥ 25 2,64E-12
2
2X2
X1
: 3.0 X1 + 5.0 X2 = 600.0
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 25.0
: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 25.0
Payoff: 40.0 X1 + 50.0 X2 = 7583.3
Optimal Decisions(X1,X2): (158.3, 25.0)
: 3.0X1 + 5.0X2 = 25.0
: 0.0X1 + 1.0X2 >= 25.0
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Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 25
12. Greentree Kennels proporciona alojamiento por una noche para mascotas. Unacaracterística particular en Greentree es la calidad del cuidado que reciben lasmascotas, incluyendo una excelente alimentación. La comida para perros de la
perrera se elabora mezclado dos alimentos de marca para perros a fin deobtener lo que la perrera identifica como una “dieta para perros bienbalanceada”. Los datos para las dos comidas con las siguientes:
Comida Costo/onza Proteínas % Grasa %Bark Bits 0.06 30 15Canine Chow 0.05 20 30
Si Greentree desea asegurarse de que los perros reciban por lo menos 5 onzasde proteínas y como mínimo 3 onzas de grasas cada día, ¿Cuál es la mezcla de
costo mínimo de los alimentos para perros?12
Solución:Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Cantidad de onzas de comida Bark BitsX2 = Cantidad de onzas de comida Canine Chow
Función ObjetivoZmin = 0.06X1 + 0.05X2
Restricciones0.3X1 + 0.2X2 ≥ 5 contenido de proteínas 0.15 X1 + 0.3 X2 ≥ 3 contenido de grasas
No negatividadXi ≥0; i=1,2
Solución GLP
12
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Entrada de datos SOLVERPLANIFICACIÓN TRABAJO Greentree Kennels
ComidaBarkBits
CanineChow
Cantidad 1 1 Min
Calidad 0,06 0,05 0,11
Restricciones Utilizado LimiteNoutiliz
Proteinas 0,3 0,2 0,5 ≥ 5 4,5
Grasas 0,15 0,3 0,45 ≥ 3 2,55
Salida de datos SOLVER
PLANIFICACIÓN TRABAJO Greentree Kennels
ComidaBarkBits
CanineChow
Cantidad 15 2,5 Min
Calidad 0,06 0,05 1,025
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
6
12
18
24
30
36
: 0.30 X1 + 0.20 X2 = 5.00
: 0.15 X1 + 0.30 X2 = 3.00
Payoff: 0.06 X1 + 0.05 X2 = 1.02
Optimal Decisions(X1,X2): (15.00, 2.50)
: 0.30X1 + 0.20X2 >= 5.00
: 0.15X1 + 0.30X2 >= 3.00
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Investigación Operativa I Programación Lineal
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 27
Restricciones Utilizado LimiteNoutiliz
Proteinas 0,3 0,2 5 ≥ 5-3,3E-
12
Grasas 0,15 0,3 3 ≥ 3
-2,2E-
12
13.
La New England Cheese Company produce dos quesos crema mezclando quesoschedar tanto suave como extrafuerte. Los quesos crema se empacan enrecipientes de 12 onzas, que después se venden a distribuidores en todo elnoroeste. La mezcla Regular contiene 80% de chedar suave y 20% deextrafuerte y la mezcla Zesty contiene 60% de chedar suave y 40% deextrafuerte. Este año, una cooperativa lechera local ha ofrecido entregar hasta8.100 libras de queso chedar a $1.20 por libra y hasta 3.000 libras de quesochedar extrafuerte a $1.40 por libra. El costo de mezclar y empacar estos
quesos crema, excluyendo el costo del queso mismo, es de $0.20 por recipiente.Si cada recipiente de Regular se vente a $1.95 y cada recipiente Zesty se vendea $2.20. ¿Cuántos recipientes deberá producir New England Cheese de Regulary Zesty?13
Solución:Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Cantidad (en miles) de recipientes de queso RegularX2 = Cantidad (en miles) de recipientes de queso Zesty
Función Objetivo
Zmax = (1.95 – 0.20 - 0.80*0.75*1.20 – 0.60*0.75*1.40)X1 +(2.20 – 2.0 – 0.20*0.75*1.20 – 0.40*0.75*1.40)X2Zmax = 0.40X1 + 1.40X2
Restricciones0.80*0.75X1 + 0.60*0.75X2 ≤ 8,1 queso chedar suave 0.20*0.75X1 + 0.40*0.75X2 ≤ 3,0 queso chedar extrafuerte
No negatividadXi ≥0; i=1,2
Solución GLP
13
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Investigación Operativa I Programación Lineal
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 28
Datos de entrada SOLVER
PLANIFICACION TRABAJO en New England Cheese Company
Recipientes queso Regular Zesty
Cantidad en miles 1 1 max
Utilidad 0,4 1,4 1,8
Restricciones Utilizado LímiteNoUtiliz
Queso Ch. suave 0,8 0,6 1,4 ≤ 10,8 9,4
Tiempo prod. min 0,2 0,4 0,6 ≤ 4 3,4
Datos de salida SOLVER
Recipientes queso Regular Zesty
Cantidad en miles 0 10 max
Utilidad 0,4 1,4 14
Restricciones Utilizado LímiteNoUtiliz
Queso Ch. suave 0,8 0,6 6 ≤ 10,8 4,8
Tiempo prod. min 0,2 0,4 4≤
4 -5,5E-12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10X2
X1
: 0.8 X1 + 0.: 0.2 X1 + 0.
Payoff: 0.4 X1 + 1.4 X2 = 14.0
Optimal Decisions(X1,X2): ( 0.0, 10.0)
: 0.8X1 + 0.6X2
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Investigación Operativa I Programación Lineal
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 29
14. Los administradores de Healthtech Foods están considerando desarrollar unnuevo bocadillo bajo en grasas. Se trata de una mescla de dos tipos decereales, cada una de ellos con distintas características en fibras, grasas yproteínas. La tabla siguiente muestra estas características por onza de cada tipode cereal.
CerealFibra dietética(gramos)
Grasas(gramos)
Proteínas(gramos)
A 2 2 4B 1.5 3 3
Note que cada onza de cereal A proporciona dos gramos de fibra dietética y quecada onza de cereal B da 1.5 gramos de fibra dietética, por lo que si Healthtechfuera a desarrollar el nuevo producto utilizando una mezcla formada de 50% de
cereal A y 50% de cereal B, una onza de éste contendría 1.75 gramos de fibradietética. Los requisitos nutricionales de Healthtech exigen que cada onza delnuevo alimento tenga por lo menos 1.7 gramos de fibra dietética, no más de 2.8gramos de grasa y no más de 3.6 gramos de proteínas. El costo del cereal A esde $0.02 por onza y el del B es de $0.025 por onza. Healthtech deseadeterminar cuánto de cada cereal es necesario para producir una onza delnuevo producto al menor costo posible.
a.
Formule el modelo de programación lineal para esta situaciónb.
Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica
c. ¿Cuáles son las variables de holgura y de excedented. Si Healthtech pone en el mercado el nuevo cereal en un paquete de 8 onzas.¿Cuál sería el costo del paquete?14
Solución:Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Cantidad de onzas de cereal AX2 = Cantidad de onzas de cereal B
Función Objetivo
Zmin = 0.02X1 + 0.025X2
Restricciones2X1 + 1.5X2 ≥ 1.7 por fibra dietética 2X1 + 3X2 ≤ 2.8 por grasas 4X1 + 3X2 ≤ 3.6 por proteínasX1 + X2 = 1 onzas
14
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Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 30
No negatividadXi ≥0; i=1,2
Solución GLP
Datos entrada SOLVER
Planificacion de Healthtech Foods
Cereal A B
Cantidad en onzas 1 1 min
Costo 0,02 0,025 0,045
Restricciones Utilizado Límite
No
Utilizfibra dietética 2 1,5 3,5 ≥ 1,7 1,8
por grasas 2 3 5 ≤ 2,8 -2,2
por proteinas 4 3 7 ≤ 3,6 -3,4
Datos salida SOLVER
Planificacion de Healthtech Foods
Cereal A B
Cantidad en onzas 0,85 0 min
0 1
0
1X2
X1: 2.000 X1 + 1.500 X2 = 1.700
: 2.000 X1 + 3.000 X2 = 2.800
: 4.000 X1 + 3.000 X2 = 3.600
Payoff: 0.020 X1 + 0.025 X2 = 0.017
Optimal Decisions(X1,X2): (0.850, 0.000)
: 2.000X1 + 1.500X2 >= 1.700
: 2.000X1 + 3.000X2
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Investigación Operativa I Programación Lineal
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 31
Costo 0,02 0,025 0,017
Restricciones Utilizado LímiteNoUtiliz
fibra dietética 2 1,5 1,7 ≥ 1,7
9,12E-
13por grasas 2 3 1,7 ≤ 2,8 1,1
por proteinas 4 3 3,4 ≤ 3,6 0,2
15. MD Chemical produce dos productos que se venden como materia prima paraempresas fabricantes de jabones para baño, detergentes para lavandería y otrosproductos de jabón. Apoyándose en un análisis de los niveles actuales deinventarios y de la demanda potencial para el mes siguiente, la administraciónde MD ha especificado que la producción total de los productos 1 y 2
combinados debe ser de por lo menos 350 galones. Además debe cumplir conun pedido de un cliente de importancia de 125 galones del producto 1. Eltiempo de procesado del producto 1 requiere dos horas por galón, y delproducto 2 requiere de una hora; para el mes siguiente, hay disponibilidades de600 horas de proceso. Los costos de producción son 2 dólares por galón delproducto 1 y 3 dólares del producto 2.
a.
Determine las cantidades de producción que satisfagan los requisitosespecificados al costo mínimo.
b. ¿Cuál es el costo total del producto?c. Identifique la cantidad de cualquier producción excedente.15
Solución:Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Cantidad de galones del producto 1X2 = Cantidad de galones de producto 2
Función ObjetivoZmin = 2X1 + 3X2
RestriccionesX1 + X2 ≥ 350 galones producidos X1 ≥ 125 pedido de un cliente 2X1 + 1X2 ≤600 horas de proceso
No negatividadXi ≥0; i=1,2
Solución GLP
15
Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 270. Problema 37.
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Investigación Operativa I Programación Lineal
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Datos entrada SOLVERPlanificacion de 55. M&D Chemical
Producto 1 2
Cantidad galones 1 1 min
Costo 2 3 5
Restricciones Utilizado LímiteNoUtiliz
Galonesproducidos 1 1 2 ≥ 350 -348
Pedido cliente 1 1 ≥ 125 124
Horas proceso 2 1 3 ≤ 600 597
Datos salida SOLVER
Planificacion de M&D Chemical
Producto 1 2
Cantidad galones 250 100 min
Costo 2 3 800
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
0
22
44
66
88
110
132
154
176
198
220
242
264
286
308
330
352
374
396
418
440
X2
X1: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 350.0
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 125.0
: 2.0 X1 + 1.0 X2 = 600.0
Payoff: 2.0 X1 + 3.0 X2 = 800.0
Optimal Decisions(X1,X2): (250.0, 100.0)
: 1.0X1 + 1.0X2 >= 350.0
: 1.0X1 + 0.0X2 >= 125.0
: 2.0X1 + 1.0X2
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Investigación Operativa I Programación Lineal
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 33
Restricciones Utilizado Límite No Utiliz
Galonesproducidos 1 1 350 ≥ 350 8,11E-10
Pedido cliente 1 250 ≥ 125 -125
Horas proceso 2 1 600 ≤ 600 -2,9E-10
16. Photo Chemicals produce dos tipos de fluido para revelado fotográfico. Ambosproductos le cuestan a la empresa un dólar por galón producirlos. Con base euna análisis de niveles actuales de inventario y en las órdenes en mano para elmes siguiente, la administración de Photo Chemicals ha decidido que durantelas siguientes dos semanas se produzcan por los menos 30 galones del producto1 y por lo menos 20 galones del producto 2. También ha dicho la administraciónque en el transcurso de las siguientes dos semanas debe utilizarse el inventarioexistente de una materia prima muy perecedera necesaria en la producción deambos fluidos. El inventario actual de esta materia prima muy perecedera es de
80 libras. Aunque de ser necesario se puede ordenar más de esta materiaprima, cualquier parte del inventario actual no utilizada se echará a perderdentro de las siguientes dos semanas; de ahí el requerimiento de laadministración de que por lo menos se utilicen las 80 libras en las siguientes dossemanas. Además, el producto 1 requiere de una libra de esta materia primaperecedera por galón, y el producto 2 requiere 2 libras de la materia prima porgalón. Dado que el objetivo de la administración es mantener los costos deproducción al mínimo nivel posible, están buscando un plan de producción decosto mínimo que utilice la totalidad de las 80 libras de la materia primaperecedera y que obtenga por lo menos 30 galones del producto 1 y por lo
menos 20 galones del producto 2. ¿Cuál es la solución de costo mínimo?16
Solución:Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Cantidad de galones de fluido tipo 1X2 = Cantidad de galones de fluido tipo 2
Función ObjetivoZmin = X1 + X2
RestriccionesX1 ≥ 30 producción mínima de producto 1X2 ≥ 20 producción mínima de producto 2 X1 + 2X2 ≥ 80 libras de materia prima
No negatividadXi ≥0; i=1,2
16
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Solucion GLP
17. Bryant’s Pizza es un productor de pizzas congeladas. La empresa tiene una
utilidad de un dólar por cada pizza normal que produzca y de 1.5 dólares porcada pizza de lujo. Cada pizza incluye una combinación de pasta de harina y demezcla de relleno. Actualmente la empresa tiene 150 libras de mezcla de pastay de 50 libras de mezcla de relleno. Cada pizza normal utiliza una libra demezcla de pasta de harina y 4 onzas de mezcla de pasta de relleno. Cada pizzade lujo utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 8 onzas de mezcal derelleno. Con base en la demanda del pasado, Bryant puede vender por lo menos50 pizzas normales y por lo menos 25 pizzas de lujo. ¿Cuántas pizzas normalesy de lujo deberá fabricar la empresa para maximizar la utilidad?
a. ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema?
b. Escriba este programa lineal en su forma estándar.c. Encuentre la solución óptima.d. ¿Cuáles son los valores e interpretaciones de todas las variables de holgura y
de excedente?e. ¿Qué restricciones están asociadas con recursos limitantes?17
Solución:Formulación del modelo:
17
Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 270. Problema 39.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
012345678910111213141516171819202122232425X2
X1
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 30.0
: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 20.0
: 1.0 X1 + 2.0 X2 = 80.0
Payoff: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 60.0
Optimal Decisions(X1,X2): (40.0, 20.0)
: 1.0X1 + 0.0X2 >= 30.0
: 0.0X1 + 1.0X2 >= 20.0
: 1.0X1 + 2.0X2
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Investigación Operativa I Programación Lineal
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 35
Definición de variablesX1 = Cantidad de Pizzas NormalesX2 = Cantidad de Pizzas De Lujo
Función Objetivo
Zmax = 1X1 + 1.5X2
RestriccionesX1 + X2 ≤ 150 pasta de harina 0.25X1 + 0.5X2 ≤ 50 pasta de relleno X1 ≥ 50 venta de pizzas Normales X2 ≥ 25 venta de pizzas De Lujo
No negatividadXi ≥0; i=1,2
Solución GLP
Datos de entrada SOLVER
PLANIFICACION TRABAJO BRYANT'S PIZZA
Pizzas Normal LujoCantidad 1 1 max
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
88
96
104
112
120
128
136
144
152
160
: 1.00 X1 + 1.00 X2 = 150.00
: 0.25 X1 + 0.50 X2 = 50.00
: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 50.00
: 0.00 X1 + 1.00 X2 = 25.00
Payoff: 1.00 X1 + 1.50 X2 = 175.00
Optimal Decisions(X1,X2): (100.00, 50.00)
: 1.00X1 + 1.00X2 = 25.00
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Investigación Operativa I Programación Lineal
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 36
Utilidad 1 1,5 2,5
Restricciones Utilizado LímiteNoUtiliz
Pasta harina 1 1 2 ≤ 150 148
Relleno 0,25 0,5 0,75 ≤ 50 49,25
Pizzas Normales 1 1 ≥ 50 -49
Pizzas Lujo 1 1 ≥ 25 -24
Datos de salida SOLVER
PLANIFICACION TRABAJO BRYANT'S PIZZA
Pizzas Normal Lujo
Cantidad 100 50 max
Utilidad 1 1,5 175
Restricciones Utilizado LímiteNoUtiliz
Pasta harina 1 1 150 ≤ 150 -3,4E-10
Relleno 0,25 0,5 50 ≤ 50 -6E-11
Pizzas Normales 1 100 ≥ 50 50
Pizzas Lujo 1 50 ≥ 25 25
18. English Motors, Ltd. (EML), ha desarrollado un nuevo vehículo deportivo deutilería, con tracción en la cuatro llantas. Como parte de la campaña demercadotecnia, EML ha desarrollado una presentación de ventas en video cintaque se enviará tanto a propietarios de vehículos de tracción en las cuatro ruedasEML actuales, como a propietarios de vehículos utilitarios deportivos de cuatroruedas ofrecidos por los competidores EML se refiere a estos dos mercadosobjetivo como mercado de clientes actual y mercado de clientes nuevo. Losindividuos que reciban el nuevo video promocional también recibirán un cupónpara un recorrido de prueba del nuevo modelo EML, durante un fin de semana.Un factor clave en el éxito de esta nueva promoción es la tasa de respuesta, esdecir el porcentaje de individuos que reciban la nueva promoción y hagan el
recorrido de prueba del nuevo modelo, EML estima que la tasa de respuestapara el mercado de clientes actual es de 25% y para el mercado de clientenuevo es de 20%. La tasa de ventas es el porcentaje de individuos que recibala nueva promoción, haga el recorrido de prueba y efectúe la compra. Losestudios de investigación de mercado indican que la tasa de ventas el de 12%para el mercado de clientes actual y de 20% para el mercado de clientes nuevo.El costo de cada promoción, excluyendo los costos de recorrido de prueba, esde 5 dólares por cada promoción enviada al mercado de clientes actual y de 4dólares por cada promoción enviada al mercado de clientes nuevo. Laadministración también ha decidido que se deberá enviar la nueva promoción a
un mínimo d 30.000 clientes actuales y a un mínimo de 10.000 clientes nuevos. Además, el número de clientes actuales que haga el recorrido de prueba del
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nuevo vehículo debe ser de por lo menos el doble del número de clientesnuevos que hagan recorrido de prueba del nuevo vehículo. Si el presupuesto demercadotecnia, incluyendo los costos del recorrido de prueba, es de 1’200.000dólares, ¿Cuántas promociones deberán ser enviadas a cada grupo de clientespara maximizar las ventas totales?18
Solución:Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Cantidad de promociones enviadas a clientes actualesX2 = Cantidad de promociones enviadas a clientes nuevos
Función ObjetivoZmax = 0.12*5X1 + 0.20*4X2
RestriccionesX1 ≥ 30.000 clientes actuales
X2 ≥ 10.000 clientes nuevos 0.25X1 ≥ 2*0.20X2 relación entre clientes que responden a la promoción 5X1 + 4X2 ≤1’200.000 presupuesto
No negatividadXi ≥ 0; i=1,2
Solución GLP
18
Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 274. Problema 61.
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Datos de entrada SOLVERPLANIFICACION TRABAJO ENGLISH MOTOR LTD.
Promociones
Clientes
Actuales
Clientes
NuevosCantidad enmiles 1 1 max
Ventas 0,6 0,8 1,4
Restricciones Utilizado LímiteNoUtiliz
Clientes actuales 1 1 ≥ 30 29
Clientes nuevos 1 1 ≥ 10 9
Relacion clientes 0,25 -0,4 -0,15 ≥ 0 -0,15
Presupuesto 5 4 9 ≤ 1200 -1191
Datos salida SOLVER
PLANIFICACION TRABAJO ENGLISH MOTOR LTD.
PromocionesClientesActuales
ClientesNuevos
Cantidad enmiles 160 100 max
Ventas 0,6 0,8 176
0 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247
0
13
26
39
52
65
78
91
104
117
130
143
156
169
182
195208
221
234
247
260
273
X2
: 1.00 X1 + 0.00 X2 = 30.00
: 0.00 X1 + 1.00 X2 = 10.00
: 0.25 X1 - 0.40 X2 = 0.00
: 5.00 X1 + 4.00 X2 = 1200.00
Payoff: 0.60 X1 + 0.80 X2 = 176.00
Optimal Decisions(X1,X2): (160.00, 100.00)
: 1.00X1 + 0.00X2 >= 30.00
: 0.00X1 + 1.00X2 >= 10.00
: 0.25X1 - 0.40X2 >= 0.00
: 5.00X1 + 4.00X2
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Investigación Operativa I Programación Lineal
Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 39
Restricciones Utilizado Límite No Utiliz
Clientes actuales 1 160 ≥ 30 -130
Clientes nuevos 1 100 ≥ 10 -90
Relacion clientes 0,25 -0,4 -1,1E-11 ≥ 0 -1,1E-11
Presupuesto 5 4 1200 ≤ 1200 2,78E-09
19. Creative Sports Designs (CSD) fabrica raquetas de tamaño estándar yextragrande. Las raquetas de la empresa son extremadamente ligeras, debido auso de una aleación de magnesio y grafito inventada por el fundador de laempresa. Cada raqueta de tamaño estándar utiliza 0,125 kilos de aleación ycada raqueta extragrande utiliza 0,4 kilos; para el siguiente período deproducción de dos semanas sólo hay disponibles 80 kilos de aleación. Cadaraqueta de tamaño estándar ocupa 10 minutos de tiempo de fabricación y cadaraqueta de tamaño extragrande ocupa 12 minutos. Las contribuciones a la
utilidad son de 10 dólares por cada raqueta estándar y de 15 dólares por cadaraqueta extragrande y están disponibles 40 horas de tiempo de producción porsemana. La administración ha especificado que por lo menos 20% de laproducción total debe ser de raqueta de tamaño estándar. ¿Cuántas raquetasde cada tipo deberá fabricar CSD en las dos semanas siguientes, a fin demaximizar la contribución a la utilidad? Suponga que, debido a la naturalezaúnica de sus productos, CSD puede vender tantas raquetas como puedaproducir.19
Solución:Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Cantidad de unidades de raquetas estandarX2 = cantidad de unidades de raquetas extra grande
Función ObjetivoZmax = 10X1 + 15X2
Restricciones
0.125X1 + 0.4X2 ≤ 80 kilos de aleación 10X1 + 12X2 ≤ 40*60 minutos de tiempo de producción X1 ≥ 0.20(X1 + X2)
No negatividadXi ≥0; i=1,2Solución GLP
19
Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 274. Problema 62.
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Datos entrada SOLVER
PLANIFICACION TRABAJO 59. Creative Sports Designs
Raquetas Estandar Extra GCantidad 1 1 max
Contrib. Utilidad 10 15 25
Restricciones Utilizado LímiteNoUtiliz
Kilos aleación 0,125 0,4 0,525 ≤ 80 79,475
Tiempo prod. min 10 12 22 ≤ 2400 2378
20% prod estand 0,8 -0,2 0,6 ≥ 0 0,6
Datos salida SOLVER
PLANIFICACION TRABAJO 59. Creative Sports Designs
Raquetas Estandar Extra G
Cantidad 41,37931 165,5172 max
Contrib. Utilidad 10 15 2896,552
Restricciones Utilizado Límite No Utiliz
Kilos aleación 0,125 0,4 71,37931 ≤ 80 8,62069
Tiempo prod. min 10 12 2400 ≤ 2400 3,03E-10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200X2
X1
: 0.125 X1 + 0.400 X2 = 80.000
: 10.000 X1 + 12.000 X2 = 2400.000
: 0.800 X1 - 0.200 X2 = 0.000
Payoff: 10.000 X1 + 15.000 X2 = 2896.551
Optimal Decisions(X1,X2): (41.379, 165.517)
: 0.125X1 + 0.400X2
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20% prod estand 0,8 -0,2 9,03E-11 ≥ 0 9,03E-11
20. La administración de High Tech Service (HTS) desea desarrollar un modelo que leayude a asignar el tiempo de sus técnicos entre llamada de servicio porcontrato a clientes tanto normales como nuevos. En el período de planeación de
dos semanas hay disponible un máximo de 80 horas de tiempo de técnico. A finde satisfacer los requisitos de flujo de caja, deben generarse por lo menos 800dólares de ingresos (por técnico) durante el período de dos semanas. El tiempode técnico para los clientes normales genera 25 dólares por hora, pero paraclientes nuevos sólo genera un promedio de 8 dólares la hora, porque enmuchos casos el contacto con el cliente no llega a generar servicios facturables.Para asegurarse de que se mantienen contactos nuevos, el tiempo de técnicoutilizado en contactos con clientes nuevos debe ser por lo menos 60% deltiempo utilizado en contactos con clientes normales. Para los requerimientos deingresos y políticas enunciadas, HTS desearía determinar cómo asignar el
tiempo de los técnicos entre clientes normales y nuevos, a fin de maximizar elnúmero total de clientes en contacto durante el período de dos semanas. Lostécnicos requieren un promedio de 50 minutos por cada contacto de clientenormal y de una hora por cada contacto con cliente nuevo.
a. Desarrolle un modelo de programación lineal que le permita a HTS asignar eltiempo de los técnicos entre clientes normales y nuevos.
b. Haga una gráfica de la región factiblec. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas apropiadas para determinar los
valores de X1 y X2 en cada punto extremo de la región factible.d. Encuentre la solución óptima20
REFERENCIA: Página 274 Problema 63. Métodos Cuantitativos para losNegocios. 7ma Edición. Anderson Sweeney Willams. Editorial Thomson.
Solución:Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Numero de horas de técnico asignado a clientes normalesX2 = Numero de horas de técnico asignado a clientes nuevos
Función ObjetivoZmax = 60X1/50+ 60X2/60 número de clientes
RestriccionesX1 + X2 ≤ 80 horas disponibles de técnicoX2 ≥ 0.6X1 relación de tiempo de técnico25X1 + 8X2 ≥ 800 ingresos en dólares
No negatividadXi ≥ 0; i=1,2
20 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 274. Problema 63.
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Solución GLP
Entrada de datos SOLVERPLANIFICACION TRABAJO High Tech Service
Horas de trabajoClientesnormales
Clientesnuevos
Cantidad horas 1 1 max
Número clientes 1.2 1 2.2
Restricciones Utilizado Límite No Utiliz
Horasdisponibles 1 1 2 ≤ 80 78
Relación tiempo -0.6 1 0.4 ≥ 0 -0.4
Ingresos 25 8 33 ≥ 800 -767
Datos de salida SOLVER
PLANIFICACION TRABAJO High Tech Service
Horas de trabajoClientesnormales
Clientesnuevos
Cantidad horas 50 30 max
Número clientes 1.2 1 90
0 11 22 33 44 55 66 77
0
13
26
39
52
65
78
91
104
: 1.00 X1 + 1.00 X2 = 80.00
: -0.60 X1 + 1.00 X2 = 0.00: 25.00 X1 + 8.00 X2 = 800.00
Payoff: 1.20 X1 + 1.00 X2 = 90.00
Optimal Decisions(X1,X2): (50.00, 30.00)
: 1.00X1 + 1.00X2 = 0.00
: 25.00X1 + 8.00X2 >= 800.00
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Restricciones Utilizado Límite No Utiliz
Horasdisponibles 1 1 80 ≤ 80 -1.8E-10
Relación tiempo -0.6 1 -2.2E-11 ≥ 0 2.18E-11
Ingresos 25 8 1490 ≥ 800 690
21. Jackson Hole Manufacturing es un pequeño fabricante de productos de plásticoque se utilizan en las industrias automotrices y de computación. Tiene unimportante contrato con una empresa de computadoras que implica laproducción de cajas de plástico para las impresoras portátiles de dicha empresa.Las cajas de impresora se producen en dos máquinas de moldeo por inyección.La máquina M100 tiene una capacidad de producción de 20 cajas de impresorapor hora y la máquina M200 tiene una capacidad de 40 cajas por hora. Ambasmáquina utilizan la misma materia prima química para producir las cajas deimpresora.; la M100 utiliza 40 libras de materia prima por hora, y la M200 utiliza
50 por hora. La empresa de computadoras le ha pedido a Jackson Hole queproduzca tantas cajas durante la semana que sigue como sea posible, y la hadicho que le pagará 18 dólares por cada caja que pueda entregar. Sin embargo,la siguiente semana es un período normal de vacaciones programadas para lamayor parte de los empleados de producción de Jackson Hole. Durante estetiempo, se efectúa el mantenimiento anual de todo el equipo de la planta.Debido al tiempo parado para mantenimiento, la M100 no estará disponibledurante más de 15 horas y la M200 durante más de 10 horas. Sin embargo, enrazón del elevado costo de preparación involucrado en ambas máquinas, laadministración requiere que, si el programa de producción en cualquiera de
estas máquinas, la máquina deberá operar por lo menos durante 5 horas. Elproveedor de la materia química utilizada en el proceso de producción le hainformado a Jackson Hole que tendrá disponible un máximo de 1.000 libras dela materia prima para la producción de la siguiente semana. El costo de lamateria prima es de 6 dólares por libra. Además del costo de la materia prima,Jackson Hole estima que el costo horario de operación de la M100 y la M200son de 50 y 75 dólares, respectivamente.
a. Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar paramaximizar la contribución de la utilidad.
b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica.21
Solución:Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Numero de horas de trabajo de maquina M100X2 = Numero de horas de trabajo de maquina M200
Función ObjetivoZmax = (20X1*18 – 40X1*6 – 50X1) + (40X2*18 – 50X2*6 – 75X2)
21 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 275. Problema 64.
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Zmax = (360 – 240 – 50)X1 + (720 – 300 – 75)X2Zmax = 70X1 + 345X2
RestriccionesX1 ≤ 15 horas máximas de trabajo M100X2 ≤ 10 horas máximas de trabajo de M200X1 ≥ 5 horas mínimas de trabajo de M100X2 ≥ 5 horas mínimas de trabajo de M20040X1 + 50X2 ≤ 1000 libras de materia prima disponibles
No negatividadXi ≥ 0; i=1,2
Solución GLP
Datos entrada SOLVER
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
0
6
12
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 15.0
: 0.0 X1 + 1.0 X2 = 10.0
: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 5.0
: 0.0 X1 + 2.0 X2 = 5.0
: 40.0 X1 + 50.0 X2 = 1000.0
Payoff: 70.0 X1 + 345.0 X2 = 4325.0
Optimal Decisions(X1,X2): (12.5, 10.0)
: 1.0X1 + 0.0X2 = 5.0
: 40.0X1 + 50.0X2
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Datos de salida SOLVER
Horas de trabajoMaquinaM100
MaquinaM200
Cantidad horas 12.5 10 max
Contrib. utilidad 70 345 4325
Restricciones Utilizado Límite No Utiliz
Horas max M100 1 0 12.5 ≤ 15 2.5
Horas max M200 0 1 10 ≤ 10 -9.9E-13
Horas min M100 1 0 12.5 ≥ 5 7.5
Horas min M200 0 1 10 ≥ 5 5
Libras disponibles 40 50 1000 ≤ 1000 -1.5E-09
22. Electronic Comunications fabrica radios portátiles que pueden utilizarse encomunicaciones de dos vías. El nuevo producto de la empresa que tiene unrango de hasta 25 millas, es adecuado para una diversidad de usos comercialesy personales. Los canales de distribución para el nuevo radio son:
1. distribuidores de equipo marino,2. distribuidores de equipo de oficina,3. cadenas nacionales de tiendas al menudeo,4. pedidos por correo.
Debido a diferentes costos de distribución y promocionales, la reditualidad delproducto variará según el canal de distribución. Además, el costo de publicidady el esfuerzo de ventas personales requerido también variarán de acuerdo conlos canales de distribución. La tabla siguiente resume la distribución de lautilidad, el costo de publicidad y los datos de esfuerzo de ventas personales
correspondientes al problema de Electronic Comunications. La empresa aformulado un presupuesto de publicidad de 5.000 dólares, y está disponible unmáximo de 1800 horas de la fuerza de ventas para asignar al esfuerzo deventas. Finalmente, un contrato vigente con la cadena nacional de tiendas almenudeo requiere que por lo menos de distribuyan 150 unidades a través deeste canal de distribución.
Datos de Utilidades, costos y esfuerzo del personal de ventas para Electronic
Canal de
distribución
Utilidades por
unidad vendida
Costo de publicidad
por unidad vendida
Esfuerzo delpersonal de ventas
por unidad vendidaDistrib. Marinos $90 $10 2 horas
Horas min M100 1 0 1 ≥ 5 -4
Horas min M200 0 1 1 ≥ 5 -4
Libras disponibles 40 50 90 ≤ 1000 910
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Distrib. de oficinas $84 $8 3 horasTiendas nacionales $70 $9 3 horasPedidos por correo $60 $15 Ninguna
Electronic Comunications ahora se enfrenta al problema de establecer unestrategia de distribución para los radios, que maximice la reditualidad generalde la producción de nuevos radios. Debe tomarse decisiones en relación concuantas unidades deben asignarse a cada uno de los cuatro canales dedistribución, así como asignar el presupuesto de publicidad y el esfuerzo de lafuerza de ventas a cada uno de los canales de distribución.22
Solución:Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Numero de radios asignados a distribuidores de equipo marinoX2 = Numero de radios asignados a distribuidores de equipos de oficinaX3 = Numero de radios asignados a cadenas nacionales de tiendasX4 = Numero de radios asignados a pedidos por correo
Función ObjetivoZmax = 90X1 + 84X2 + 70X3 + 60X4
Restricciones10X1 + 8X2 + 9X3 + 15X4 ≤ 5.000 por presupuesto
2X1 + 3X2 + 3X3 ≤ 1.800 horas de esfuerzo en ventas X3 ≥ 150 unidades mínimas para cadenas nacionales
No negatividadXi ≥ 0; i=1,4
Datos de entrada SOLVERELECTRONIC COMUNICATION
Radios asignados a
Distribuidores Cadenasnacionales
de tiendas
pedidospor
correo
Equipo
Marino
Equipos de
OficinaNúmero de Radios 1 1 1 1 Max
Utlidades 90 84 70 60 304
RESTRICCIONESUSO DERECUROS Utilizado LIMITE No utiliz
Presupuesto 10 8 9 15 42 ≤ 5000 4958.00
Esfuerzo laboral 2 3 3 8 ≤ 1800 1792.00
Contrato cadena nacion 1 1 ≥ 150 -149.00
22 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 298.
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Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 47
Datos de salida SOLVERELECTRONIC COMUNICATION
Radios asignados a
Distribuidores Cadenasnacionalesde tiendas
pedidospor
correoEquipoMarino
Equiposde Oficina
Número de Radios 10.71429 442.85714 150 0 Max
Utlidades 90 84 70 60 48664.29
RESTRICCIONESUSO DERECUROS Utilizado LIMITE No utiliz
Presupuesto 10 8 9 15 5000 ≤ 5000 0.00
Esfuerzo laboral 2 3 3 1800 ≤ 1800 0.00
Contrato cadenanacion 1 150 ≥ 150 0.00
23. National Insurance Associates mantiene una cartera de inversiones en acciones,bonos y otras alternativas de inversión. Actualmente hay fondos disponibles por200.000 dólares y deben ser tomados en consideración para nuevasoportunidades de inversión. Las cuatro opciones de valores que National estáconsiderando así como los datos financieros relevantes correspondientes son losque siguen:
AcciónDatos financieros A B C DPrecio por acción ($) 100 50 80 40
Tasa anual de rendimiento 0.12 0.08 0.06 0.10Medida de riego por dólar 0.10 0.07 0.05 0.08
La medida de riesgo indica la incertidumbre relativa asociada con la acción, enfunción de su capacidad de alcanzar su rendimiento anual proyectado; valoresmás elevados indican mayor riesgo. Las medidas de riesgo son proporcionadaspor el principal asesor financiero de la empresa.
La administración general de National ha estipulado las siguientes vías de acciónpara las inversiones:
1. La tasa de rendimiento anual de la cartera debe ser por lo menos 9%2. Ninguno de los valores puede representar más del 50% de la inversióntotal en dólares.
a. Utilice la programación lineal para desarrollar una cartera de inversiones queminimice el riesgo.
b. Si la empresa ignora el riesgo y utiliza una estrategia de máximo rendimientosobre la inversión, ¿Cuál sería la cartera de inversiones?
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c. ¿Cuál es la diferencia en dólares entre las carteras de inversiones de losincisos (a) y (b)? ¿Por qué preferiría la empresa la solución desarrollada en elinciso (a)23
REFERENCIA: Página 316 Problema 16. Métodos Cuantitativos para los
Negocios. 7ma Edición. Anderson Sweeney Willams. Editorial Thomson.
Solución a):
Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Cantidad de acciones asignados a opción AX2 = Cantidad de acciones asignados a opción BX3 = Cantidad de acciones asignados a opción CX4 = Cantidad de acciones asignados a opción D
Función ObjetivoZmin = 10X1 + 3.5X2 + 4.0X3 + 3.2X4
Restricciones100X1 + 50X2 + 80X3 + 40X4 ≤ 200.000 dólares disponibles 12X1 + 4.0X2 + 4.8X3 + 4.0X4 ≥ 0.09*200.000 rendimiento 100X1 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X150X2 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X280X3 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X3
40X4 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X4 No negatividad
Xi ≥ 0; i=1,4Datos entrada SOLVERNational Insurance Associates
Accionea asignadas a
Acciones
A B C D
Cantidad 1 1 1 1 Min
Riesgo 10 3.5 4 3.2 20.7
RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz
Dólares disponibles 100 50 80 40 270 ≤ 200000 199730.00
Rendimiento annual 12 4 4.8 4 24.8 ≥ 18000 -17975.20
Invesión máx en A 100 100 ≤ 100000 99900.00
Invesión máx en B 50 50 ≤ 100000 99950.00
Invesión máx en C 80 80 ≤ 100000 99920.00
Invesión máx en D 40 40 ≤ 100000 99960.00
23 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 316. Problema 16.
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Resultados del SOLVERNational Insurance Associates
Accionea asignadas a
Acciones
A B C D
Cantidad 333.3333 0 833.333333 2500 Min
Riesgo 10 3.5 4 3.2 14666.67
RESTRICCIONESUSO DERECUROS Utilizado LIMITE No utiliz
Dólares disponibles 100 50 80 40 200000 ≤ 200000 0.00
Rendimiento annual 12 4 4.8 4 18000 ≥ 18000 0.00
Invesión máx en A 100 33333.33 ≤ 100000 66666.67
Invesión máx en B 50 0 ≤ 100000 100000.00
Invesión máx en C 80 66666.67 ≤ 100000 33333.33
Invesión máx en D 40 100000 ≤ 100000 0.00
24. La administración de Carson Stapler Manufacturing Company pronostica para eltrimestre que viene una demanda de 5000 unidades para su modelo Sure-Hold.Esta engrapadora se ensambla a partir de tres componentes principales: labase, el cartucho de grapa y la manija. Hasta ahora Carson ha fabricado los trescomponentes. Sin embargo, el pronóstico de 5000 unidades es un nuevovolumen máximo de venta y la empresa quizá no tenga suficiente capacidad deproducción para la fabricación de todos los componentes. La administración estápensando contratar una empresa maquiladora local para producir por lo menos
una parte de los componentes. Los requisitos de tiempos de producción porunidad son como sigue:
Tiempo de producción (horas)Tiempo
disponible(horas)Departamento Base Cartucho Manija
A 0.03 0.02 0.05 400B 0.04 0.02 0.04 400C 0.02 0.03 0.01 400
Note que cada componente fabricado por Carson ocupa tiempo de producciónen cada uno de los tres departamentos.
Después de tomar en consideración los gastos generales, las materias primas ylos costos de mano de obra de la empresa, el departamento de contabilidad hallegado al costo unitario, en dólares, de manufactura de cada componente.Estos datos junto con las cotizaciones de la empresa maquiladora de los preciosde compra, en dólares, son como sigue:
Componente Costo de manufactura Costo de adquisiciónBase 0.75 0.95Cartucho 0.40 0.55Manija 1.10 1.40
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a. Determine cuál sería la decisión de fabricar o comprar para Carson, que hagaque pueda cumplirse la demanda de 5000 unidades a un costo total mínimo.De cada componente, ¿Cuántas unidades deberán ser fabricadas y cuantasdeberán ser adquiridas?
b. ¿Qué departamentos están limitando el volumen de fabricación? Si pudieraconsiderarse tiempo extraordinario a un costo adicional de $3 la hora, ¿Quédepartamento o departamentos deberían ser motivo de tiempo extra?Explique.
c. Suponga que en el departamento A se pueden programar hasta 80 horas detiempo extra. ¿Qué recomendaría usted?24
Solución:Formulación del modelo: Definición de variables
X11 = Numero de bases para grapadoras producidasX12 = Numero de cartuchos para grapadoras producidosX13 = Numero de manijas producidas para grapadoras producidasX21 = Numero de bases para grapadoras adquiridasX22 = Numero de cartuchos para grapadoras adquiridosX23 = Numero de manijas para grapadoras adquiridas
Función ObjetivoZmin = 0.75X11 + 0.40X12 + 1.10X13 + 0.95X21 + 0.55X22 + 1.40X23
Restricciones0.03X11 + 0.02X12 + 0.05X13 ≤ 400 horas disponibles Dep. A0.04X11 + 0.02X12 + 0.04X13 ≤ 400 horas disponibles Dep. B0.02X11 + 0.03X12 + 0.01X13 ≤ 400 horas disponibles Dep. CX11 + X21 = 5.000 cantidad de basesX12 + X22 = 5.000 cantidad de cartuchosX13 + X23 = 5.000 cantidad de manijas
No negatividadXij ≥0; i=1,2; j=1,3
Datos de entrada SOLVERCarson Stapler Manufacturing Company
Unidades de
Producidas Adquiridas
Grapas Cartuchos Manijas Grapas Cartuchos ManijasCantidad 1 1 1 1 1 1 Min
Costos 0.75 0.4 1.1 0.95 0.55 1.4 5.15
24 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 316. Problema 17.
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RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz
Horas Departamento A 0.03 0.02 0.05 0.1 ≤ 400 399.90
Horas Departamento B 0.04 0.02 0.04 0.1 ≤ 400 399.90Horas Departamento C 0.02 0.03 0.01 0.06 ≤ 400 399.94
Cantidad de bases 1 1 2 = 5000 4998.00Cantidad de cartuchos 1 1 2 = 5000 4998.00
Cantidad de manijas 1 1 2 = 5000 4998.00
Datos de salida de SOLVERCarson Stapler Manufacturing Company
Unidades de
Producidas Adquiridas
Grapas Cartuchos Manijas Grapas Cartuchos Manijas
Cantidad 3750 5000 3750 1250 0 1250 Min
Costos 0.75 0.4 1.1 0.95 0.55 1.4 11875
RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz
Horas Departamento A 0.03 0.02 0.05 400 ≤ 400 0.00Horas Departamento B 0.04 0.02 0.04 400 ≤ 400 0.00
Horas Departamento C 0.02 0.03 0.01 262.5 ≤ 400 137.50Cantidad de bases 1 1 5000 = 5000 0.00
Cantidad de cartuchos 1 1 5000 = 5000 0.00Cantidad de manijas 1 1 5000 = 5000 0.00
25.
Golf Shafts (GSI) produce palos de grafito para varios fabricantes de palos degolf. Dos instalaciones de fabricación de GSI, una localizada en San Diego y otraen Tampa, tienen capacidad para producir palos en diversos grados de rigidez,desde modelos normales, principalmente utilizados por golfistas promedio, hastamodelos extrarígidos, utilizados principalmente por golfistas con bajo handicap yprofesionales. GSI acaba de recibir un contrato para la producción de 200.000palos normales y 75.000 rígidos. Dado que ambas plantas actualmente están
produciendo palos de golf para cumplir con órdenes anteriores, ningún de lasplantas tiene capacidad suficiente, por si misma, para llenar el nuevo pedido. Laplanta de San diego puede producir hasta un total de 120.000 palos, y la deTampa, hasta un total de 180.000 palos de golf. Debido a diferencias enequipamiento en cada una de las plantas y de distintos costos de mano de obra,los costos de producción unitarios son distintos, como se muestra acontinuación:
Costo de San Diego Costo de TampaPalo normal $ 5.25 $ 4.95Palo rígido $ 5.45 $ 5.70
a. Formule un modelo de programación lineal para determinar la manera en queGSI deberá programar la producción de este nuevo pedido para minimizar elcosto total de producción.
b. Utilice cualquier código de programación lineal para resolver el modelodesarrollado en el inciso (a)
c. Suponga que algunas de las órdenes anteriores de la planta de Tampa podríanser reprogramadas para liberar la capacidad adicional para esta nueva orden.¿Merecería esto la pena? Explique.
d. Suponga que el costo de producir un palo de golf rígido en Tampa fueincorrectamente calculado, y que el costo correcto es de 5.30 dólares por palo.
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¿Qué efecto, si es que hubiera alguno, tendría lo anterior sobre la soluciónóptima desarrollada en el inciso (b)? ¿Qué efecto tendría lo anterior sobre elcosto total de producción?25
Solución a):
Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Numero de unid. de palos de golf normales fabricados en San DiegoX2 = Numero de unid. de palos de golf extrarígidos fabricados en San DiegoX3 = Numero de palos de golf normales fabricados en TampaX4 = Numero de palos de golf extrarígidos fabricados en Tampa
Función ObjetivoZmin = 5.25X1 + 5.45X2 + 4.95X3 + 5.70X4
RestriccionesX1 + X3 = 200.000 palos de golf normales
X2 + X4 = 75.000 palos de golf extrarígidosX1 + X2 ≤ 120.000 palos fabricados en San DiegoX3 + X4 ≤ 180.000 palos fabricados en Tampa
No negatividadXi ≥ 0; i=1,4
Datos de entrada SOLVERGolf Shafts (GSI)
Palos de Golf
San Diego Tampa
Normales Extrarígid Normales ExtrarígidCantidad 1 1 1 1 Min
Costos 5.25 5.25 4.95 5.7 21.15
RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz
Palos normales 1 1 2 ≥ 200000 199998.00
Palosextrarígidos 1 1 2 ≥ 75000 74998.00
Fabric. San Diego 1 1 2 ≤ 120000 119998.00
Fabric. Tampa 1 1 2 ≤ 180000 179998.00
Datos de salida SOLVER
25 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. EditorialThomson. Página 317. Problema 18.
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Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 53
26. La Pfeiffer Company administra aproximadamente 15 millones de dólares para susclientes. Para cada Cliente, Pfeiffer escoge una mezcla de tres tipos deinversiones: un fondo de valores de crecimiento, un fondo de ingresos y unfondo de mercado de dinero. Cada cliente tiene objetivos de inversión distintosy diferentes tolerancias de riesgo. Para dar gusto a estas diferencias, Pfeifferestablece límites en cada cartera para los porcentajes que pueden ser invertidosen estos tres fondos y a cada cliente le asigna un índice de riesgo.
Así como este sistema funciona para Dennos Hartmann, uno de los clientes dePfeiffer Con base en una evaluación de la tolerancia al riesgo de Hartmann,Pfeiffer le ha asignado a la cartera de Hartmann un índice de 0.05. Además,
para mantener cierta diversidad, la fracción de la cartera de Hartmann invertidaen fondos de crecimiento y de ingresos debe ser por lo menos de 10% cada unay por lo menos 20% deberá estar invertido en fondos de mercado de dinero.
Las evaluaciones de riego para los fondos de crecimiento, de ingresos y demercado de dinero son respectivamente 0.10, 0.05 y 0.01. El índice de riesgo decada una se calcula como el promedio ponderado de la valuaciones de riesgo delos tres fondos, donde los coeficientes de ponderación son iguales a la fracciónde la cartera invertida en cada uno de los tres fondos. Hartmann le ha dado300.000 dólares a Pfeiffer para su administración. Pfeiffer está pronosticando
actualmente un rendimiento del 20% en el fondo de crecimiento, 10% en elfondo de ingresos y 6% en el fondo de mercad de dinero.
a. Desarrolle un modelo de programación lineal para seleccionar lamejor mezcla de inversiones para el cartera Hartmann.
b. Resuelva el modelo desarrollado en el inciso (a)c. ¿Cuánto pueden variar los rendimientos de los tres fondos, antes
que Pfeiffer tenga que modificar la composición de la cartera deHartmann?
d. Si Hartmann fuera mas tolerante al riesgo. ¿qué aumento de
rendimiento podría esperar? Por ejemplo, ¿Qué pasaría si su índicede riesgo de cartera aumentaría al 0.06?
Golf Shafts (GSI)
Palos de Golf
San Diego Tampa
Normales Extrarígid Normales Extrarígid
Cantidad 20000 75000 180000 0 Min
Costos 5.25 5.25 4.95 5.7 1E+06
RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz
Palos normales 1 1 2E+05 ≥ 200000 0.00
Palosextrarígidos 1 1 75000 ≥ 75000 0.00
Fabric. San Diego 1 1 95000 ≤ 120000 25000.00
Fabric. Tampa 1 1 2E+05 ≤ 180000 0.00
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e. Si Pfeiffer revisa hacia abajo su estimación de rendimiento para elfondo de crecimiento hasta 0.10, ¿Cómo recomendaría usted que semodificara la cartera de Hartmann?
f. ¿Qué información debe mantener Pfeiffer sobre cada cliente parautilizar este sistema para la administración de las carteras de los
clientes?g. En base semanaria Pfeiffer revisa las estimaciones de rendimiento
de cada uno de los tres fondos. Suponga que Pfeiffer tiene 50clientes. Describe la forma en que Pfeiffer podría ser modificacionessemanales en cada cartera de cliente, y asignar los fondos totalesadministrados entre los tres fondos de inversión.26
Solución a):Formulación del modelo: Definición de variables
X1 = Cantidad de dólares asignados a valores de crecimientoX2 = Cantidad de dólares asignados a ingresosX3 = Cantidad de dólares asignados a mercado de dinero
Función ObjetivoZmax = 0.20X1 + 0.10X2 + 0.06X3
RestriccionesX1 ≥ 0.10*300.000 para valores de crecimiento X2 ≥ 0.10*300.000 para ingresos
X3 ≥ 0.20*300.000 para mercado de dineroX1 + X2 +X3 ≤ 300.000 ca