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Integrales, resolucion de ejercicios
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Función primitiva Una función F(x) se dice que es primitiva de otra función f(x)cuando F'(x) = f(x)Ejemplo: Sea f(x) = 2x
F(x) = x2 es primitiva de f(x)
F(x) = x2 + 5 . .en general , F(x) = x2 + C
Por lo tanto una función f(x) tiene infinitas primitivas .Al conjunto de todas las funciones primitivas se le llama integral indefinida y se representa por
f x dx( )f x dx( )
( )f x dx
f x dx( )
= F(x) + C F'(x) = f(x)( )f x dx
CxFdxxf )()(Símbolo de Integral
Función integrando
Diferencial de x
Una antiderivada de f
Constante de integración
Propiedades de la integral indefinida :
1ª ( ) ( ) ...... ( ) ( ) .......f x g x dx f x dx g x dx
2ª ( ) ( )k f x dx k f x dx
3a ( ) ( ) ( ) . ( )f x g x dx f x dx g x dx
4a( )( )
( ) ( )
f x dxf x dxg x g x dx
Expresión Triángulo a construir Sustitución
a2 – u2
a2 – u2
ua u = a Sen
du = a Cos d
u2 – a2 u2 – a2
u2 + a2
u2 + a2
u
u
a
a
u = a Sec
du= aSecTagd
u = a Tag
du = a Sec2 d
INTEGRACION POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA
CASO I : Cuando en Q(x) existen factores lineales y ninguno de ellos se repite .
dx = A + B + C dx(x – a)(x – b)(x – c) x – a x – b x – c
CASO I I : Cuando en Q(x) existen factores lineales y alguno de ellos se repite .
dx = A + B + C dx (x – a)2 (x – b) ( x – a )2 x – a x – b
INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES ( )( )P x dxQ x
CASO III : Cuando en Q(x) existen factores cuadráticos y ninguno de ellos se repite .
dx = Ax + B + C dx( x2 + a ) ( x – b ) x2 + a x – b
CASO IV : Cuando en Q(x) existen factores cuadráticos y alguno de ellos se repite .
dx = Ax + B + Cx + D + E dx( x2 + a )2 ( x – b ) ( x2 + a)2 x2 + a x – b
CASO I : x m ( a x n + b )r/s dx
* m , n , r y s son números enteros
* Si m + 1 es entero ó cero n
a x n + b = t s
INTEGRACION POR DIFERENCIALES BINOMICAS
Ejemplos :
1.- x5 dx 1 + x2
2.- x–1/2 ( 1 + x1/4 )1/3 dx
3.- x3 ( 1 + 2x2 )–3/2 dx
4.- x–1( 1 + x5 )–1/3 dx
CASO I I : x m ( a x n + b ) r/s dx
* m , n , r y s son números enteros
* Si m + 1 + r es entero ó cero n s
a x n + b = z s x n
Ejemplos :
1.- dx x2 ( 4 – x2 )1/2
2.- dx x x ( 1 + x3/4 )1/3
4.- dx x2( 1 + x3 )5/3
2
2
( ) 1 3 ( )3.
( )Sen x Cos x
dxCos x
1
3 35. 1x x dx
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