View
223
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
�
�
�
�������������� �� � ���������� ������
���� ������������ � ������� ������� ��
�
�
�
����������������� �����
����������������� ��������������� ���������������������������������� ������ !�
"������ ������������ #�$ ���%��� #����� !�
�
�
�
�
�����������������
&�� �%��#�#����'�������� ( ������� #����� � � � ���� � #�� ���%��� #����� �� �����)#� � � �
��� � ��� �� � �� *�������#� ���(��+ #� ��� , �� ���� �� �� �� ���(��+ �� ������ (��� �����#� ���
� �� ��(��� ��� � ��� �-���(��#� �������� #.� � ��� � /��� ,��� + � ��� �#��� � �(�� �#� � �
#��(��*�� �����0���(������� �� ���� ������#��,������ �����#���*������ ��#����������, � #�
( ��� ��#.������������1� �2� (��#���1�#�(��'���������������#� �� � ����� #�� ���%��� #�
�� � + �������� ���#������������ ���� ���������� ���.��" ���#���(��������� �(��( �����
������ #�� �������%��� #�������������� �)��� #������%����������#������� #����%��� #�/�
����*��������� #�,��� �����#����� #���#� #����� �%��#�#������������#������������#���� �� �/�
� + � *�������� �� #��� ��� #� (��� �����#� ��� �#� � � � � ��� � #� � ���%��� #�� ����
(��� �����#� ��(��� ���#� ��� ��� %�� � ��� ����� � ��� � � #�3 �.� � " #� (��(��� ��#� ��� ��#�
���*�������#� ��� � � �4( �#���� ��� #����� ��� '������� (��(������ �� � ���)�� #��������#�
#������ #��������#����� ���#� �������#�(������ #.��&�� �%��#�#����'�����������#��� �( ����
�����#�5��� ���#6����� #�7���(� � #�$ ���%��� #������(��������#�#���� ��#� ���,���(��2
���,��#�� ���.��������� �����#�����0���#�#�(��(��� ��#�/ �������� � #�� #�� ���(������
����#�������# ���#�/�,�#��# #��� ���� ������(��������� ��� ���%�����5 � ����6.�
�
��������������� ������������������������������������
��������
����������������������������������
�� � ���!� �� � *������� (������� � ��� � � , �� ���� �� �� �� �0��� (����� �� ��� ��(��#��� �� ��
����(�!.� � ��*�������#� #�� (������� *��� ���� �� ���� 0��� #�������#� (��� ���,�����
(�#���,���� ��0����( � ������������!=���+��!��/�#���4�#��� �-���������(�#���,��� ��0���( � �
����� �� #�� ���(��� ���!=���+�!�� �������#� �≥��.� � &#� ��� �+�������� ���,� �� ����#�� �� 0���
�������#� �8��� �#� ��� ������� (�#���,�.� � " � *�������� � *��� ���� �� ��� �#� ��� ��,��#�� ����
(�������*��� ���� �����=98��.�
" � *������� ���#� ���� �#� (������� � ���� �� �0����� (�������� (���� ��� (�#��� (�������
*��� ���� ���/ �0���#�#�(�#����#�(������#�#���������+����������#��� ��#�(�#���,�#��0���
���(�#���������.�
�
���������������������������
��� #�/�� #�-��� #��4(������ ��#��� �� �� #���#���������4(������ ��#���/���4(�������
�#��� ����#� ������ �� �� �(�� ������(��� ���(����!�0����������(�����������#� �)#���#��
(������� *��� ���� �� �� ��!� #��� ��� � � *��� � �4(�����!�� ������ ��� ������� �� �0���� ��#������ �� � � ���� �� �� �� �� .� � &#��� #�� (����� ���(��� �� ��#��, ���� 0���� ( � � 0���
�4(��α�!�#� �(������� ����(������������ ����#���
( ) ( )( ) ( ) ( )� ��4( �4( �4( �4(� � � � � � � � �α α α α= + = .�
��� 0���#���������0���α���� ����#�������# �� ����������-���(��������������π.��:#��� #���# #�� (���� � #��� ������# ���� �4(��# �� �� �0����� *������� (������� � ��� (�������
*��� ���� ������������ ������� ��������� �������� #��#� #��4(������ ��#��� �� �� #.��
:��#� ��4(��#��������� � *�������(������� ������������ ����� ���� ������4(������ ��#�
�� �� �� #�#������������ ��4( �#�������#������4(������ �����'������.�
�
�� ��!����������������������������������
��(�� ��#��������#�0����� �*�����������*�������� �*��� ���� �����#��(������#�������
�����
( ) ( )��4( ��
�
� � � � �� �π+∞
=−∞
= ∑ � �9!�
"� � ����#� ���#��������*�������#�������# ����������#������4(������ �����'�������������!��
�� #��(�������� ���*�������#� ��� '������� ��� ���!.� � ;�����#� ��*������ ( � � � #� *�������#�
���(��+ #����, �� ���� ���(������� #�����(���������� �#� ��#���#��(�������*��� ���� ����
��!���� ��(�� �����0���������� #�(��(��� ��#����(���������#� � �<�
( ) ( ) ( ) ( )�
=
�
9
�
� � � � � � � � ��= ∫i � ��!�
������� ������ ��#���� ��> �#�������������, ���������������� �� ��(�������*��� ���� ���
/� ��� #����#��� ����� � ���+� ����� ���(��+ .� � " #� *�������#� �4(�����!� #���
�������� ��#�������#(����� ��#���(���������#� � ����#��������
( ) ( ) ( )( )�
� � � �
�
9�4( � �4( � �4( � �
�
� �� � � � � � � � � ��
π π π δ= − =∫i � �?!�
�������� �#���� #����������� ����@�����A����0����#� �� �� �9� #���=��/���������� #��
����� ���.� � &#��� � ���> �� (��� �+��(���� 0��� #�� �� � *������� #�� (����� �4(��# �� ��� ��#�
*��� #� ����� #����� �4(������ �� ��� '�������� ��#� ���*�������#� ��� �� #� #����#� #���
��)�����#� ���� � ���.� � :���%#�� #�� �� � #�3 �� ���!� #�� (����� �4(��# �� ��� ������� � �9!��
�������#�
( ) ( ) ( ) ( )�
� � � �
�
9�4( � �4( � �4( � �
�
� � � �� � � � � � � � �� � ��
π π π δ+∞ +∞
=−∞ =−∞
− = = ∑ ∑∫ i B�
( ) ( )�
�
�
9�4( ��
�
� � � � �� � ��
π= −∫ � ��!�
&#� ������� ��#� ���*�������#� ���� ��# ������� ��� #����� ��� '������� #��� �� ��� ��#��� ��� ���
5(��/��� �6�� �*����������!�#�������#�5,������#6��4(�����!.��&#��#�,������#�*��� �� ��
��� ���+����� ���� ������� ����(��������� �������� ��.� � C�� (�����#� ������ 0��� *������
�� �� #��(��0������ ,� ����# ����#�#���#����#�#��� ����� ���D�
�
��"��#�����������$��
C���#�� ���%#�0���� ������(��� �����*�#�� �����(���������#� � ������� �*�������(������� �
��� ���������#�����(��+ !����#�����#� ��#�-����!���#�� ����(������ ����� ��/ �0���
( ) ( ) ( )�
�
�
9
�
� � � � � � ��= ∫i ��
;�������� �����(��� �#�� E���!E�� ����� � � (������ � ��#� ��%�� � �# �,�� �� � ���#� ���� ���
(��(������ ��� �!����� �*����������!��� ����)#� ��#��� �� ������*�#�� .��;����+��(����� �
(������ � ��)����� � ��#� ��%�� � �#� (��(������ �� �� ,��� +�� �� �� �� ���� /� � ���)�� � � �
���������� ���� �� ��.��&�������� ����; �#�, ����#�(�������� ���� ��� �(������ ����� ����
�� �*���������4(��#%���� � ��� ,)#����#�#����*�������#����'������.��; � �������������#����
����� �0����#��� �*��������#��4(��# ������� ������� ��9!���������#�
( ) ( ) ( ) ( )= =
� � ��4( � �4( �� � �
� �
� � � � � � � �� � � � � � �π π δ∞ ∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞ =−∞
= = ∑ ∑ ∑ ∑i i B�
( )�
� �
�
9��� �
��
� � � ��
+∞
=−∞
= = ∑∫ � �F!�
&#� ������� ����� � �� �� � � (������ � ���� � ��� �� � *������� �#� �0��, ������ � � �� �� #��
(���������#� � �����#�����#� ���� ������� �� ���*����������!���������#�#���#� �*�������
�#��4(��# ���������#��������'��������(�����#�� �� ���#� �(������ ����� �#�� ������#�
������#� �� �� �� ��� ��� #�#� ���(������#� ��#(����� ��� � #� *�������#� �������� � #�
�4(�����!.�
&#��� ��#��� �����#�(������� � ���� ������ ������ � #������ � ����� ����� #�� #� ��*���� #B�
� #� ������������ ��� �*����������!�0������ ���#����*�������#� (��(� ��#.�
�
��%��&���������������������������������������
����� �*��������� �����!��#��4(��# ������� ������� ��9!���������#����/��−��#������(��+�#�
���+� ��#<�
( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = =
� � ��4( � �4( � �4( �� � �
� � �
� � � � �� � � � �� � � � � � �� �π π π+∞ +∞ +∞
−=−∞ =−∞ =−∞
= − = = =∑ ∑ ∑ .�
��� � � *������� ������ #������ � ( �� ��#� ������� ���!=��−�!� ( � � ����� �!�� �������#� ��=�−���
������ #� 0��� #�� ������ #������ � ��( �� ��#� ������� ���!=−��−�!!� ( � � ����� �!�� �������#�
��=−�−�<�
( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � ��4( � �4( � �4( �� � �
� � �
� � � � �� � � � �� � � � � � �� �π π π+∞ +∞ +∞
−=−∞ =−∞ =−∞
− = − = = ± = ±∑ ∑ ∑ .�
"�#� ����(����#���� ��#� ��������#� ��#��� ��#� � ���)�� #��� ������#�� ����� ��� ������� (�����
���(��� �����,� ������.�
" �#�� ��������#���#����*�������#����'�������������!��#��� �� ����!<�
( ) ( )� �4( �� �
� �
� � �+∞ +∞
=−∞ =−∞
= =∑ ∑ � � !�
&#��� ��#��� ��� � ���)�� (������ ��,� ������� #��� �����> ��� ( � � � ���� �� ����� #� #�� #�
��*���� #��������������, ������#�3 ��#����!�0������ #���#����*�������#� (��(� ��#.�
G���(��� ������� ��� , ���� ���� ���*�������� ��� �#� ��� , ���� (�������� ��� � � #�3 �� ��� ���
(�������������#�����(���� �� ��������=�������!<�
( ) ( ) ( )� �
�
� �
9 9�4( �
� �
� � � � � � �� �= =∫ ∫ � �H!�
����� �*����������!��������*�������#����'����������#����� �� �����������(���������#���#�
���*�������#� ��� '������� ��� � � *������� ��� �� � � #��� �4(�−��π���τ!��� �(��(��� �� ������ ���!<�
( ) ( )( ) ( ) ( )� � ��4( � �4( � �4( �� �
� �
� � � � �� � � � �� � �� �τ π τ π τ π+∞ +∞
=−∞ =−∞
− = − = − ∑ ∑ �
:(��� ����)#� ��#���� �#�3 ��������#������ �������� ���� ���#�����������+��8�!=−���!�( � �
������!���������#���#����*�������#����'����������������( ��#�������#<�
( ) ( ) ( ) ( ) ( )�� �9 �4( � �4( �
�
�
� �
� �
�� � � � �� � � � � � �� �π π
+∞ +∞
=−∞ =−∞
+ = − = − − ∑ ∑ .�
��� 0���#�������������# �� ������0���#�����#�( �����=−����0����#�(������� ��������.��&��
�������(��������(��� ��*%���������0����������(������ ���)���#�������.�
'�� ��������#����#����*�������#����'�������������!�#���������#����*�������#����'����������� �
����, � �������!�������#(����� ���#����������(��(��� ���������, ����!.�
( ) ( ) ( ) ( )�
� �
�4( �� �4( �� �
� �
� � � �� �� � � �� � �� �
� �
ππ π
+∞ +∞
=−∞ =−∞
= = ∑ ∑ .�
&4�#������� #�(��(��� ��#������#����*�������#����'��������(�������#��%������, ���#�( � �
�#����#�����.�
�
��'��!�����������������(��
I #� � ��� � ����#� #������ 0��� �4�#���� ���*�������#� ��� � ��#� 0��� � � *������� ���!�
# ��#* ��� �9!.� � " � (����� � 0��� ��� ����#� ��#(������� ��� ,� � �#�� J( � � 0�)� *�������#�
(������� #� ��� (������� *��� ���� ����� #�� ���(��� �9!K� � " � ��#(��#� � �#�� (��� �������#�
��� #� 0���� #�0������(� ��� #�����������#���������������0���#��<�
9!� " � *������������ #��� �#���� ������ ����� ����������(�������� �#�������� ���, ����
�#������������!����#���������#��� �*���������� �, ����#����(��+�#!������������
�� ������ ���� �� ������ ��������(������.�
�!� " �*�����������������-�����*����������%4���#�/�������#�������(������.�
?!� " �*�����������������-�����*�����������#��������� ��#�������(����������� #���� #�
����# ����*�����.�
�� �����#� #����#�����������#�#�����(������ �#��������'����������,���� �� �*�����������
��� #������� ��� 0��� � � (������ � ���� � ���� ������ 0��� �4�#��� ������ � � *������� /� � � #�����
����� � �������� ���� �������������-���������)�����#����� �#���������� � <�
( ) ( )�
�
�
�
9��� �4( � �
�
��
� ��
� � � � �� � ��
π+
→+∞=−
− =∑∫ .�
:���%#��� ��� �� ���9!�������#����*�������#�� ���� ��#���� ������� ���!�#��� ��4 �� ����
�����(�������# �,�������#��(�#����#!�(����#� �#� ��#������#��������� ��������!�������#�0���
� �#��������'����������,����(���� ������� ��, ����(�������������#�������#�� ��� ��#����
���!� (��� ������ � �� �>0����� .� � &#��� ��#��� ��� #�� � � #��� ����#�� ������ / � 0��� )#� � �#�
��� ��, ���������(��+ ��#������#���� �#������L���FL����#������ �������� ��� ���������� #�
$ ���%��� #!��/��������(����������������� � (��� ����������(�� ��#���*�� ��, �( � ����
��� �����#����#�����.�
;���� ��#� � ���)�� �����(��� �� 0��� ��� ���+����� ��� � #� *�������#� �4(�����!� #��� ���#�#��� � ���� ���� ��� ��� ���+����� ��� *�������#�� �� ��%�� (���������� ��� #� � #� 0���
# ��#* ���� � #� ����������#� ������������� �� /� ��� #� ��� #�� ����� ,�����#� ��#���� !.��
������� ��� �#�� ���+����� ���� ���� � #� *�������#� �4(�����!� #��� �� �� � � #��
�������� � .�
�
��)����*�����������+�
&4�#������#����������#�0������# ��#* ����� #�����������#���������������(����#��(������#���
�4(��# � #������#��������'������.������+��(����#������#��� ��������(�����(������� ������
��#����������#����� ������� ���!��� ���)���� � � #���(��#�#����� ���#!���#( �� � #����
�������*��� �0����� ������� #��#�)�#��� � �����=�.� �:��� �� ����#����������#������������
���������������(��#�#����� ���#���5(����������� �6��/�� ������ ����#�(������!<�
( ) ( )�
� � � �δ+∞
=−∞
= −∑ .�
" ���#�������������� ������� ������(��#������ ������������#�(��(��� ��#�0���#��(������
����#�� ���0��, �����#<�
9!� :������, ���� � *�������������� � � ���>�#�� #������, � �(�#�������� � �(��������
��#��������� ��� �� � ��#���������� ���� � ������ �������(��� � � (��� ��� # ���� ��� � �
*������� ��� � � ��#��������� ��� �#� ������� (��� ��� ������� (��� � � ������ � ����#� ���
�������(���� ��>0����� ����� �*�������������(����������#��������� �.�
�!� " ���#�������������� ������� ������ �� ���!���#���� �( � ������, ���������������������(��)���#�� ���%#�0���
( ) ( ) ( )��
�
� � � � �δ =∫ �
( � �����������, �������!�0��������� � ������#����������.�
�����> �����#� �#���� �(��(��� ����#����,� �����(��� ��0�����#����*�������#����'�������
����5(����������� �6�#���
( ) ( ) ( )�
�
�
�
� � �
�
�4( �9 9�4( �
�
�
�
� � � �� � �� � �
δ π+
−
= − = =∫ .�
�
��,��������� �� �� ���� �� ������� �� �-���� �� ������
�����������
�����.���/����������$��������������������������0�����������
�����/ �#��� ������� ����( � �(����� (��� ��� #�#����#����'������� ���%���������#�� #�
��*���� #�� ����#�� ��#� ������� �� #�3 ��#� ��/�#� ���*�������#� #� �� (��(� ��#.� � ;���
�+��(���� (�����#� ��� �� �� � ��� � �� �� � � ���� �� � ���� #������ � ��( �� /� (�������
*��� ���� ��9���#����������=��=9!����/ ���(��#��� ������%*�� �#��� <�
�
&#����,� �����(��� ���(�������� ����������� ��0���#�#����*�������#����'�������#��� �<�
( ) ( ) ( )9�
�
9�
�
�4( � �4( � 9 9
� �
�
�
� �� � ���
� � � � � �
π π
π π π−
− − − − −= + = .�
�� #������� �������−98����#����������� , �������98�!���������� ��#��� ���� ��� �� � �
���� �� ����� #������ �( ���0��� ��� ����, ����9���� �=���/���/�#����*�������#����'�������
#��� ��
( ) ( )9 9 9 9�4(
�
� �
�
�
� �� �
� � � �
π
π π
− − − − = = .�
C���#��0����#��#����*�������#�#�������#��� �������#�( ���/��� �������#���( ��(�#���,���
��� �� , ����#� ��� #���� ����� ����� (��(������ ��#� � 98�<� �9=�8π�� �?=−�8�?π!��
�F=�8�Fπ!�D��7�,� ���������=�−��(���������� �#�3 ��#������ �( �.��;������� ����� (��� ����
� !��#�������������(������ �( ������� ��, �����������������#��� ��<�
( )9
� � �9 � � � ...
? F� �
� �
� � �π π π
+∞ +∞
=−∞ =
= = = = − + − ∑ ∑ B����������9 9 9
9 ...? F H �
π− + − + = .�
�
�������������������������������������0���$����������/�����$��
&#� ��#�������# ��#��������%���������#�� #����� �*��� <�
�9
9�
� �
+∞
=∑ ��
#������������������(�#���,���� �0���� .��&��(�������� ���(�����#���#��, ��0���������
������������ #��(������#������������ �-��� �� ��� � ������α�� #������α� ��� ����������
�� ��,��/������������(�#���,����( ���/�����#� #�����������#���#�#���(�����������
�������#�
�
� � � � � �9 � 9 � 9
���( � ���( �
9 9 9 9 �
� � � 9
�
� �� � � � � ��
� �� α α
α α
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞
= = = = =
= = = ⋅ =−
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ������������
9���( �
9� �
�
+∞
=
= ∑ .�
����#� � *��� ��(�����#� ������ �������> �� *�������#����� #������ � ������� ���� ���/�#�
���*�������#� ��� #� �� ��,��# ������ (��(������ ��#� � ��� ( � � � ���� �� � � #�� � ��#� � .��
G����� ��#� � ���)�� 0���� #�� ��������#� �� � *������� ��/�#� ���*�������#� #���
��,��# ������ (��(������ ��#� � ���� /� )#� � �#� � � ����, � � ��� �� � #���� � *��������
�������#��#� �-���� � �����%��(��� � �(��(��� ���������, ���������*�������#� ��,��# ������
(��(������ ��#� � ��+9.� � " � (����� � #�� �� �9�� � � (�����#� � ���� �� *%���������� / � 0���
���������#�,�#���� � � ��� � �� �� � � ���� �� � ���/ � (������ � ��#� ��%�� � �#� 9� ��� �����
��#� �����/�(������� ����� ���)���#�9�#��(������ ����� !�����������*�������#���,��# ������
(��(������ ��#� ��<�
9� � � � �9
���( � ���( �
� M 9 M9
� �� �
�� �π π π
+∞ +∞
=−∞ =
= = =∑ ∑ B�
�
9�9
���( �
9
M��
��
π+∞
=
= =∑ B����������� �
9 9� �9
9 �
� 9 �
� ��
π+∞
=
= = =−
∑ .�
; � �� �� ��� #�#�� #����� ��#����� ��#�� �#��������* ���� ����*�������#<�
( )( )( )
( )
9
9
9
9� 9 � ��
�
9 9��
�
9� 9 � � .
�
�
�
�
�
� �
� � �
� �
−
−
−
− + − ≤ < − −= = − < ≤
�
" #� *�������#� #�� ���#���� �� �4������ #� (������� ������ ���� (������� 9.� � ��� �*����� �
������� ������ ���(��#��� ������%*�� ���� ����#��������#�����#� �* ���� <�
�
�
��� ���(���� � ���,� ������� 0��� ��� #� �#� #� *�������#� #��� #��)���� #� ��� ���� � ��� ��
#������ ���%#�
( ) ( ) ( )9� 9�
�
� �� � �
�−
= − ����( ���
( ) ( ) ( ) ( )9
9� 9 � �
�
�
�
� �� � � � � � �
�−
= − + − − ������( �.�
" �(������ ����� ���� � � ��� ���� �#� #� #�3 ��#� �#�� (��,��� ���� #�#� #������ #�( ����
��( ���#�-��0�����#� �( ������( ����#(����, �������
( ) ( )( )
99� 9 ��
� �
��
� 9 9� � 9
� � 9 � 9
�
�
�
� � �
� �
−
− −= − = =
− −∫ .�
"� � ����#������ ���#����*�������#����'����������� �#�3 ������!.��" #� ��������#���� �����#�
������� �����, � ������ �*����������� �* ���� �/�� � ��������#���� ������(��#����
( )� 9�
� 9� � � �
� �� �
�π−
−= − ����( ���
( ) ( )( )� 9�
9 9� 9�
� � � �
� �� � �
� �π π−
− −−= − − ������( �.�
;����+��(����/ �0���� ���� ���� ��� ������ �� �����#������ �( ��/�#������ ��,��#��� �
����!��/�� ���� ��� �� � ����� �� �����#������ ���( ��#��� ��9��!��������#<�
( )( )9�
�� � �
� 9 9��
�
�
� ��
� �π π
− −−= = − .�
C���#�� 0��� �4�#���� � (������� �� � ���������� ����� ��� � � *��� � �8�� ( � � �=��� (���� #��
��#���,�����(��� ����0���� ����#�������=��/ �0�������!� ������#������ �������� ���� .��
&������#��#�������������*��� ������� � �
�
� �� �� � �9
���( �
9 9 ?��
?�
� ��
� ��π π
+∞ +∞
=−∞ =
= = = =∑ ∑ B�
�
��9
���( �
9
N ��
��
π+∞
=
= =∑ B����������� �
� �� �9
9 �
� 9 N��
� ��
π+∞
=
= = =−
∑ .�
; � � � �� �� � #� #�� #� ( � � , ����#�� /���#� ��� ��� #�� (������ �#� ������� � #� #�������#�
��� �����#� ����������#�� *����� ��� � #� (��(��� ��#� ��� ����, ����� /� ��� ����� /� ��� ��#�
���*�������#�/ �� �� ��#�����5(����������� �6����!<�
( )� 9�
� 9� � � �
� �� �
�π−
−= ����( ������������
( ) ( )9�
�
� 9 9 9�
� �
� �
� � ��
� � �π π
−− − −
= + ������( �.�
:#���( � ��=?�/������#(����, �������#���������
( ) ( )?� ? ?
9 9 9 9M
� �
�� � �� �π π− − − −
= − B����������( ) ( )
�� � � � �
9 9 9 9�M
� �
��� �π π
− − − −= − + B�
N NH ?�
? ?� 9? ?� � �
� �� �9 9
F ?�
�
� �� � �
π π π π
+∞
=−∞
= = = − + = −∑ B����������
?N �
�π= .�
N �99 � F � 99 ��
?� � �� �� M � M
� ?� ? � ? � ?9 N
H F�
�
�� � � �
π π π π
+∞
=−∞
⋅⋅ ⋅ ⋅= = = − + = −∑ B����������
M
�
9H
9 9�M��
π= .�
? ? ?9
9 �
� 9 ? F H N�F�
� ��
π π+∞
=
= = = =− ⋅ ⋅∑ �����������M M M
� �M M ? �9
9 �
� 9 � ? F H N�F��
� ��
π π+∞
=
= = = =− ⋅ ⋅ ⋅∑ .�
; � � , ����#� � /���#� ��� �� #�� (���� � �����> �� ��� ��#��� (�������������� #���� 0��� #��
���(��� �� ����*��� ��%(�� ������� � ( ����������� � �,�>��%#�#�� ���#����� � �������
0������, �� � ��������������)�����#����> ��#��������%�����������#�E����E�.�
�
� ����������������������������������0���$����������/�$������������������
�====1�
���������� #�� ����������#���#�������#� �� #�*�������#�����, ����#�( ��#���������������#�
����!=−9��#������-����(��������������� ������/ �0����#���, �����#��� ��� ���� � ���#�
������#� � ��� ��#������ ��, ���������� ������� ��� � � � *���������� �=�.� �;�����#�(��#�
(��� ��� �(��(��� ��0�����#�(�������� �� �����, �������� �*����������������������*�������
��� #�#� ���*�������#� ��� '�������� �����> ���� ���%#� 0��� � � #������ � ( �� ��� � � *�������
� ���> � 0��� �−�=���� /� 0��� ����#� ��#� ���*�������#� ( ��#� #��� ����#� (��� #��� � #� ����!�#��)���� #�������� ���� <�
� � � �
9���( �
9 �� � � �
� ��
� �+∞ +∞
=−∞ =
− = =∑ ∑ .�
�����> ���� ���%#� � #� ��� �����#� �����#�, #� ������������� � �� � #� ( � � ��#� ������
������#�0����( � �����( ���
( )( ) ( )� � � ��� � � �
� � 9 � � � � 9� � � �
� � �� �
� �π π−
− − −= − − ����������� �� � �
���
�π= − .�
" � #�������� ��� �#� � ��� ����� �����#�, � ��#� (�������� � � �� �� ��#� ������� ��� ������
(���� ��#� �4�� ��� ��#� , ����#� ��� � #� #�� #� ��#� � #.� � &#� ��� ��, ������ #��������
���(��� ��(�������������0����( � �����( ���
( ) ( )( )
�
� � � �9
� � 9 O9
� � O
���
� � � ��
��
� � �π=
−= − −∑ .�
&*����, �������( � ��=9��������#�
( ) ( )( )
�9
��� � � �
� � 9 O �9
� � O��
� �π π
−− = − =
−��
������ #�0���#�������#��� ����#��������( � �����������#�
( )( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
� �� � �� � � �
� P �9P
� P � P � �P �
� P9P
� P � PP 9
� � 9 � � � 9
� � � 9 O � � � 9 O9
� � � P O � � � O
� � � 9 O9 �
� � � P O
� � � �
���
� ��
���
� ��
� � �� �
� �
� �
� � � � �
�
� � �
π π
π π
π
+
+
=
+
=
+ += − −+ − + −= − −+ − + −+ −= − + −
∑
∑
�
������#��� ��� ��> ������� ��������, �� �����P=�+9.����� 0����
( )( )
( )( )( )��
� � � �9 9 9
���( �
� 9 � O� �� � O� 9 9
� �
��� �� � ��
� � � �� � �
�
� �� �� �� � �
� �π π+∞
= = =
− − = = − = − ∑ ∑ ∑ B�
&#�����#�(�������� �� �� �� � #���*������#�#�� #����� ����� ���� ����������#�, �� �� � .��
; � �#��(��*�� ���#��#��%�����#��(�����#���*�����
( )� ��
� � O
� �
��
��
�
π= ����������� ( ) ( )� 9 �
9
�9 � � 9
�
�� � �
�
�
�� �
�
−
=
− = − − ∑ ��
9 9�
�O 9
� � �
π= = ������ � �? �
�O 9
� ?�� �π= = ������ ? ? F
O 9
� ��� �π= = ������ � �M H
MO 9
� ?�� �π= = .�
;����+��(����(�����#�� �� ��
( ) ( ) ( )�N 9� N � 9 �
F F
9
? F H M
9�� � 9 � ? 99 ?9 F 9 � � 9
�
F F N � F �9 � F ? � F HN � F ?9B
� � �
�
�
� � ��
−
=
− = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + − −
= − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
∑�
F
F
� = B����������
N 9� 9�
FF 9�
9
�9
9�O N?FFF�
��
�
π π+∞
=
= = =∑ .�
( ) ( ) ( )F
99 9� 99 � � 9 �
9
� � � � N
9�
9�� � 9 � ? F H 9? 9 � � 9
�
� ? � ? 99 � ? FF � ? HH � ? N?F � ? 9H�F
� ? N9B
� � �
�
�
� � ��
−=
− = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − − − − = − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= ⋅ ⋅
∑�
N9
�H?�� = B����������
99 9� 9�
9�
9
�9 N9
9�O ?MF9�MHF�
��
�
π π+∞
=
= = =∑ .�
:����#��������#�� ��%�������������0�����#����#�������� ��� ����#�, ����#� �#�����#����
��#� �-����#� ��� ��������������� ��*�����#� +����� ���� ��#� (��������#� ��� �������������!�
���� ���<�
( )
�9 O
��
�
� � ���
�
∞
==− ∑ B���������� ( )
�� ���
9
��
�� �
� �→
= = − .�
���������������#��� ���������� �:���*�I��Q��>��� ���%��������*�� ��#�����#����RR�/�
(�����(��#�����RR���#� ������0���( � �≥���
( ) ( )( )
�
�4( �O
�
��
� ��� �
��
π
π
+∞
=−∞≠
= − ∑ .�
&#��������0���( � �=���� (��� ����� �(��(��� ������, ��������=��#����������
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )� � � � � 9 �
9
9 � O 9 � O9� �
��
� �
� � �� � � ��
� �� � �
� ππ
+∞
−
=
− −= = − = −∑ B�
( )( )
( )( )
9 � 9 �� 9 �
�
�
�9 ��
� O � O
� � �� �
�
� �
�� �
� �
ππ− −−−
= = .�
"�#��-����#���������������#�%��� ���� ��#�( � �, ����#���/�� ���#���������7�������
��� ���F� #�� (������� ��� , ���� ����F������!.� � 7�#��, ���� ��#� , ����#� ��#�� ��#� ��� S9T��
(�����#��������#�� �� �<�
9? 9�
9�9
9 � H
9�O� �
π+∞
=
⋅ ⋅=
⋅∑ �����������
9F 9
9 9
9 � ? 9H
F9� 9 O� �
π+∞
=
⋅ ⋅=
⋅∑ �����������
9H 9M
9M9
9 � �?M H
HNM 9MO� �
π+∞
=
⋅ ⋅=
⋅∑ �
9N ��
��9
9 � 9H� 99
??� ��O� �
π+∞
=
⋅ ⋅=
⋅∑ �����������
�9 ��
��9
9 � MF�F9?
9?M ��O� �
π+∞
=
⋅ ⋅=
⋅∑ .�
C���#��*�� �������0����������� �� ���� �������������#��-����#��������������/�� �*�������
>�� ����G��� ����,���(����+��(���S9T!��
( ) ( ) ( )9
� � 9 �
9 � O�
�
�
� � �
�� �ζπ
−
−
−= ��
(�����#� � �� �� (��� ��� #������ � ����� ��� ��#��� ��� 0��� #��%� ��������� ( � � ����#�
�������#<�
( )�9
9�
��
��ζ
∞
=
=∑ .�
�
2�������/�
S9T����(<88� ��Q����.Q��*� �.���8���������C�����.�����
�
RReevviissttaa EEssccoollaarr ddee llaa OOlliimmppííaaddaa IIbbeerrooaammeerriiccaannaa ddee MMaatteemmááttiiccaa
hhttttpp::////wwwwww..ccaammppuuss--ooeeii..oorrgg//ooiimm//rreevviissttaaooiimm//
EEddiittaa::
Recommended