Calculus

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

1

แคลคลส ในบทเรองแคลคลสน เปนบททส าคญมากๆ ในวชาคณตศาสตร ทสามารถน าไปใชตอได ในวชา

คณตศาสตรขนสง ,วชาฟสกสในระดบมหาลยวทยาลย และในเนอหาบทนคอนขางไมยากมากเมอเทยบกบอนๆ ดงนนขอใหนองๆตงใจ ทจะท าความเขาใจกบเนอหาบทนดวยเพราะจะเปนประโยชนอนดในการท าคะแนนสอบในวชา Pat1

แคลคลส

1. ลมตและความตอเนอง

3. อนพนธของฟงกชน 3.1) อนพนธอนดบสง

3.2) การประยกต

4. การอนทเกรต

4.1) ไมจ ากดเขต

4.3) พนทปดลอมดวยเสนโคง

4.2) จ ากดเขต

2. อตราการเปลยนแปลง

1.2) หาลมตคาสมบรณ

1.1) หาลมตในรปของ0

0

1.3) หาลมตเปนกรณ

1.4) ความตอเนอง

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

2

1. ลมต และความตอเน อง

ทฤษฎบทของลมต กลาวไววา ถา

x alim f (x) L และ

x alimg(x) M แลว

1.x alimc c เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

2. x alim x a

3. n n

x alim x a เมอ n N

4. x alimcf (x) c L เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

5. x a x a x alim(f (x) g(x)) lim f (x) limg(x) L M

6. x a x a x alim(f (x) g(x)) lim f (x) limg(x) L M

7. x a

x ax a

lim f (x)f (x) Llim

g(x) limg(x) Mเมอ

x alimg(x) 0

8.x a x alim f (x) lim f (x) L

9. nnn

x a x alim f (x) lim f (x) L และ n L R

ตวอยาง จงหาคาของ

2 5

x 1lim(x x 9) (ถาลมตมคา)

ตวอยาง จงหาคาของ

x 2x 1

x 2lim(2 4 ) (ถาลมตมคา)

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

3

ตวอยาง จงหาคาของ

3 2

x 1

x xlim

x 1 (ถาลมตมคา)

1.1 การหาลมตของฟงกชนทอยในรปของ 0

0

เมอโจทยก าหนดใหหา x a

f (x)lim

g(x) ในขนแรกเลย สงทเราตองท าคอ แทน x = a เขาไปในฟงกชนแต

ถาแทนคาเขาไปแลวไดวา f (a)

g(a) =

0

0 เราจะมวธแกปญหาอย 2 วธคอ

1.ตองแยกตวประกอบ เมอเจอพหนามก าลง 2,3 หรอมากกวา 3 2.คณคอนจเกต เมอเจอรากท 2 หรอรากท 3

ตวอยาง จงหาคาของ

2

x 1

x x 2lim

x 1 (ถาลมตมคา)

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

4

ตวอยาง จงหาคาของ

2x 1

2x 1 3lim

x 2x 3(ถาลมตมคา)

ตวอยาง จงหาคาของ

3

x 2

x 6 2lim

x 2(ถาลมตมคา)

ตวอยาง จงหาคาของ

2x 3

x 2x 9lim

x 3 x x 6(ถาลมตมคา)

Pat1 ม.ค.54 จงหาคาของ3 2

2x 0

x x xlim

x

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

5

1.2 การหาลมตของฟงกชนทมคาสมบรณ

วธแกปญหาเมอเจอฟงกชนทมคาสมบรณคอ ตองถอดคาสมบรณออกใหได และอกสงทเราตองท าคอ การหาลมตทางซายและลมตทางขวา แลวดวาลมต 2 ขางมนเทากนหรอไม ถาเทากน แสดงวา ลมตมคา แตถาลมต 2 ขางไมเทากน แสดงวา ไมมลมต

ตวอยาง จงหาคาของ

2

x 2

x x 2lim

x 2 (ถาลมตมคา)

ขอควรร

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

6

1.3 การหาลมตของฟงกชนทแบงเปนกรณ

ถาฟงกชนทโจทยก าหนดมาให มการแบงเปนหลายๆกรณ โดยทฟงกชนถกแบงทต าแหนง x=a และโจทยกสงใหเราหาคาของ

x alim f (x) เราจะตองแยกหาลมต 2 ทางนนคอ เราจะตองหา

x alim f (x)

และ

x alim f (x)

แลวดวาคา 2 คาน เปนอยางไร

1.ถา x a

lim f (x) = x a

lim f (x) = L เราจะไดวา x alim f (x) = L และเราจะเรยกไดอกอยางหนงวา

ฟงกชน f มลมตท x=a

2. x a

lim f (x) ≠ x a

lim f (x) เราจะไดวา x alim f (x) ไมมคา (หรอจะบอกวาหาคาไมได กได )และเรา

จะเรยกไดอกอยางหนงวาฟงกชน f ไมมลมตท x=a

ตวอยาง ก าหนดให

1;x 1

3x 12 5 x

;x 1x 1

f (x) {

จงหาคาของ x 1lim f (x)

ตวอยาง ก าหนดให 2

2

3x 1;x 1

x 2x 3;x 1

x 1

f (x) {

จงหาx 1lim f (x)

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

7

1.4 หาความตอเนอง บทนยาม f เปนฟงกชนตอเนองท x=a กตอเมอ 1.f(a) หาคาได

2. x alim f (x) หาคาได (นนคอ

x alim f (x) =

x alim f (x) )

3. f(a)= x alim f (x)

ตวอยาง ฟงกชนตอไปน มความตอเนองท x = 2 หรอไม

ก.3x 8

f (x)x 2

ข.

2x 4;x 2

x 2

4;x 2f (x) {

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

8

PAT1 ม.ค. 54 ก าหนดให

x 3;x 3

2x 10 x 13

a;x 3f (x) {

โดยท a เปนจ านวนจรง ถา f เปนฟงกชน

ตอเนองทจด x=3 แลว a เทากบเทาใด

2. อตราการเปล ยนแปลง

ในฟงกชน y=f(x) ใดๆเราพจารณาหา “อตราการเปลยนแปลงคาฟงกชน” ไดดงน ทจด x=x1 จะได y=f(x1) ทจด x=x2=x1+h จะได y=f(x1+h) ดงนน อตราการเปลยนแปลงโดยเฉลยของ y เทยบกบ x ในชวง x1 ถง x1+h กคอ

1 1 1 1

1 1

y f (x h) f (x ) f (x h) f (x )

x (x h) (x ) h

หรอ “อตราการเปลยนแปลงโดยเฉลยของ y เทยบกบ x (ในชวง x ถง x+h ใดๆ)” คอ

f (x h) f (x)

h หรอ

y

x

และเมอเราบบชวง h ใหแคบลงจนใกล 0 กจะไดอตราการเปลยนแปลง ณ จด x ทก าหนด ฉะนน “อตราการเปลยนแปลงของ y (ทจดใดๆ)”คอ

h 0

f (x h) f (x)lim

hหรอ

h 0

ylim

x

(ไมสามารถแทนคา h=0 ลงไปตรงๆได เพราะจะเปน 0 0 จงตองใชลมตชวยในการค านวณ)

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

9

ตวอยาง 2y f (x) 2x 3x 4 ใหหาอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ก.โดยเฉลยในชวง x=1 ถง 4 ข.ทจดซง x=2

อตราการเปลยนแปลงของ y=f(x) ทจด x ใดๆ เรยกอกอยางไดวา อนพนธ สญลกษณทใชแทน

อนพนธของ f(x) ไดแก dy

dx ,

df (x)

dx , f '(x) หรอ y '

สวนสญลกษณทใชเจาะจงต าแหนง เชน อนพนธทจดซง x=3 จะใช f '(3) หรอ x 3

dydx

ฉะนน อนพนธ f(x) กคอ

h 0

f (x h) f (x)lim

h =

dy

dx นนเอง และ ยงเรยกวาเปนคา ความชน ของ

กราฟ y=f(x) ณ จดนนๆดวย

ตวอยาง ถา 2y x 2x เปนสมการเสนโคง ใหหา ก.ความชนของเสนโคงนทจด (2,-6)

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

10

ข.หาสมการความชนของเสนโคงน ณ จด x ใดๆ ( ตอบตดในรป x )

3. อนพนธของฟงกชน

นยาม ถา y=f(x) เปนฟงกชนทมโดนเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง และ

h 0

f (x h) f (x)lim

hหาคาได เรยกคาลมตทไดนวา อนพนธของฟงกชน f ท x แทนดวย

df '(x), f (x)

dxและ

dy

dx

สตรของอนพนธ ให f, g เปนฟงกชนของ x และ c เปนคาคงทใดๆ

1. ถา y=c โดยท c เปนคาคงทใดๆ จะไดวา dy

0dx

2. ถา y=x แลว dy

1dx

3. ถา y c f (x) โดยท c เปนคาคงทใดๆจะไดวา dy

c f '(x)dx

4. ถา y f (x) g(x) แลว dy

f '(x) g '(x)dx

5. ถา ny x โดยทเปนจ านวนจรงใดๆ จะไดวา n 1dynx

dx

6. ถา y=f(x)g(x) แลว dy

f (x)g '(x) g(x)f '(x)dx

7. ถา f (x)

yg(x)

โดยท g(x) 0 แลวจะไดวา 2

dy g(x)f '(x) f (x)g '(x)

dx g(x)

8. ถา y=(fog)(x)=f(g(x)) แลวจะไดวา dy

f '(g(x)) g '(x)dx

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

11

ตวอยาง 3 2y x x 1 จงหา dy

dx

ตวอยาง ถา 3

2 xy (x 1)( 9)

3 จงหา

dy

dx

ตวอยาง ถา

2

3

x 3x 1f (x)

x 2 จงหา f '(x) และ หา f '(1)

ตวอยาง ถา 5

32y (x 2x) จงหา dy

dx

ตวอยาง ถา

2 3(x 1)(x 5x)f (x)

(x 1) จงหา f '(x)

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

12

ตวอยาง ถา 1

2.5 9 4 33y (x 3x 2 x ) (x 5) จงหา dy

dx

PAT1 ก.ค.52 ถา f,g และ h สอดคลองกบ f(1)=g(1)=h(1)=1 และ f '(1) g '(1) h'(1) 2 แลวคาของ

(fg h) '(1) เทากบเทาไหร

3.1 อนพนธอนดบสง

สมมต 3 2f (x) y x 2x x 5 ดงนนจะหาอนพนธไดเปน 2dyf '(x) 3x 4x 1

dx

และหากเราหาอนพนธของ f '(x) ตอไปอก จะเรยกวาเปนอนพนธ อนดบสง

เชน อนพนธอนดบสอง คอ f ''(x) =2

2

d y

dx=6x-4

อนพนธอนดบสาม คอ f '''(x) =3

3

d y

dx=6

อนพนธอนดบส คอ (4 )f (x) =4

4

d y

dx=0

การเขยนสญลกษณ อนพนธอนดบท n จะเปน n

n

d y

dxหรอ (n)f (x) แตอนดบทหนง สอง และสาม

นยมใชเครองหมายขด เปน f '(x) , f ''(x) , f '''(x)

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

13

ตวอยาง ถา 3

2f (x) (2x 1) ใหหาคา (4 )f ''(4)และf )1( Pat1 ม.ค.54 ก าหนดให g(x) = 2x 2x 5 และ f(x) = 3x x คาของ (f 'og ')(1) (g 'of ')(0) เทากบเทาใด

PAT1 ต.ค.53 ก าหนดให 2f (x) x 5x 6 คาของ f (f '(f ''(2553))) เทากบเทาใด

3.2 ฟงกชนเพม ฟงกชนลดและคาสดขด ความหมายของฟงกชนเพมคอ เมอ x เพมขนแลว f(x) กจะเพมขนดวยหรอกลาววา ความชนเปนบวก สวนฟงกชนลดนน เมอ x เพมขน f(x) กลบลดลง หรอกลาววา ความชนเปนลบนนเอง ดงนนเมอพจารณาถงอนพนธ f '(x) ซงเปนคาความชนของกราฟ จะไดกฎวา ชวงท f '(x) > 0 เปนฟงกชนเพม และ ชวงท f '(x) < 0 เปนฟงกชนลด และเนองจากต าแหนงทฟงกชนจะเปลยนจากเพมไปลด หรอจากลดไปเพมจะตองมการวกกลบของกราฟ ซงท าใหเกดจดยอด (จดสดขด) ขนสามารถหาโดย f '(x) = 0 เราเรยกคา x ณ ต าแหนงท f '(x) = 0 วา คาวกฤต

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

14

จดสดขดม 2 แบบคอจดสงสดและจดต าสด ถาความชนเปลยนจากลดไปเพม จะเกดจดต าสด และถาความชนเปลยนจากเพมไปลด กจะเกดจดสงสด

หมายเหต 1. f '(x) =0 ไมไดเปนจดสงสดหรอต าสดเสมอไป อาจเปนเพยงจดเปลยนเวาเทานน ซงเราสามารถ

พจารณาโดยละเอยดไดจาก อตราการเปลยนแปลงของความชน หรอ f ''(x) ณ จดนนๆ หาก f ''(x) > 0 แสดงวาความชนก าลงมคามากขนเรอยๆ (เปลยนจากลบเปนศนยและเปนบวก) จงเกดจดต าสดและหาก f ''(x) < 0 แสดงวาความชนก าลงนอยลงเรอยๆ (เปลยนจากบวกเปนศนยและเปนลบ) จงเกดจดสงสด แตหาก ณ จดนน f ''(x) =0 อาจะเปนจดเปลยนความเวาหรอจดสงสดหรอจดต าสดกได

2.เราใชความรเรองคาสงสดของฟงกชน ในการค านวณโจทยปญหาทเปนเหตการณจรง เชน มฟงกชนก าไร P(x) แลวหาคา x ทท าใหไดก าไรมากทสด ดงจะไดศกษาจากตวอยางถดไป พจารณากราฟตอไปน เพอท าความเขาใจเรอง สมพทธ และ สมบรณ

ฟงกชนหนงๆ หากมการวกกลบของกราฟ ณ จดใด กจะเรยกจดนนวาจดสดขดสมพทธ (แปลวาเทยบกบจดขางเคยง จงมไดหลายจด) และหากจดใดมคาฟงกชนมากทสดหรอนอยทสดของกราฟแลว จะเรยกจดนนวาจดสดขดสมบรณดวย (สงสดกบต าสด มไดอยางละ 1 จด) จดสงสดสมพทธ ไดแก จดA, C, E จดสงสดสมบรณ คอ จด C เทานน จดต าสดสมพทธ ไดแก จดB, D จดต าสดสมบรณ ไมม

ขอควรร

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

15

ตวอยาง f(x) เปนฟงกชนพหนามก าลงสาม ซงหารดวย x+1 แลวเหลอเศษ 6 สมผสกบเสนตรง 12x+y+7=0 ณ จดตดแกน y และคาวกฤตคาหนงเปน 1 ก.ใหหาฟงกชน f(x) น ข.ฟงกชนนมคาสงสดสมพทธและต าสดสมพทธเปนเทาใด ค.ฟงกชนนเปนฟงกชนลดในชวงใดไดบาง PAT1ต.ค.52 ก าหนดให y f (x) เปนฟงกชนซงมคาสงสดท x=1 ถา f ''(x) 4 ทก x และ f(-1)+f(3)=0 แลว f มคาสงสดเทาใด

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

16

ตวอยาง ตองการสรางถงรปทรงกระบอกเพอเกบน ามน ปรมาตร 16π ลกบาศกเมตร โดยสนเปลองวสดกอสราง (รวมฝาบนและลาง) ใหนอยทสด ถงใบนจะตองมรศมหนาตดเทาใด PAT1ก.ค.53 โรงงานผลตตกตาแหงหนง มตนทนในการผลตตกตา x ตว โรงงานจะตองเสยคาใชจาย

3 2x 450x 60,200x 10,000 บาท ถาขายตกตาราคาตวละ 200 บาท โรงงานจะตองผลตตกตากตวจงจะไดก าไรมากทสด

4. การอนทเกรต

4.1 การอนทกรลไมจ ากดเขต การกระท าทตรงขามกบกระบวนการหาอนพนธ เราเรยกวา การอนทเกรต (Integration)

นนคอ ถา d

F(x) f (x)dx

แลว (การหาอนพนธ)

จะไดวา f (x)dx F(x) (การอนทเกรต)

สญลกษณ เรยกวาเครองหมายอนทกรล และเรยก f(x) วาตวถกอนทเกรต(Integrand)

ทกสงทหาอนพนธไดตรงตามคาทตองการ จะเรยกไดวา ปฏยานพนธ (Antiderivative) เชน

21F (x) x , 2

2F (x) x 1 ตางกเปนปฏยานพนธของ f(x)=2x เนองจากลวนท าให d

F(x) f (x)dx

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

17

เหนไดวา รปทวไปของปฏยานพนธของ f(x) = 2x คอ x2+c เมอ c เปนคาคงทใดๆ ซงเราจะเรยก “รปทวไปของปฏยานพนธ” นวา อนทกรลไมจ ากดเขต (Indefinite Integral) ของ f(x) และเขยนสญลกษณเปน f (x)dx

สตรการหาอนทกรล

1.n 1

n c ,n 1n

xx dx

1

2. cf x dx c f x dx ,  c R 3. u v dx udx vdx

ตวอยาง ใหหาคาอนทกรลตอไปน ก. 3 2(x 2x 3)dx

ข. 3 2(4t 3t 2t 1)dt

ค. 6(x 2)(x 1)dx

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

18

ตวอยาง ถาF '(x)= 3

2 x

x

และ F(-1)=1 จะไดฟงกชน F(x) เปนอยางไร

ตวอยาง ถา 4 2dy5x 3x 4x

dx และ –y(1) = y(-1) แลว ใหหาคาของ y(0)

ตวอยาง ถาเสนโคง y=f(x) ผานจด (0,1) และ (4,c) เมอ c เปนจ านวนจรงและความชนเสนโคงนทจด

(x,y) ใดๆ มคาเทากบ x 1 แลว c มคาเทาใด ตวอยาง ก าหนดให f เปนฟงกชนซง f (2) 1, f '(1) 3,และf '')x( 3 ทกๆคา x แลว f(0) มคาเทาใด

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

19

ตวอยาง ในเวลา t วนาท รถไฟวงดวยความเรง a ฟตตอวนาท2 โดย 2a 12t 6t 10 หากเมอเวลาเรมตนพบวาระยะทางเปน 10 ฟต และความเรวเปนศนย ใหหาระยะทางเมอเวลาผานไป 5 วนาท ตวอยาง ถาก าลงคนของบรษทแหงหนงทมในปจจบนท าใหไดผลผลต 3,000 ชนตอวน และเมอมคน

เพม x คน จะมอตราการเปลยนแปลงผลผลต 80-6 x ชนตอวน ถามวาเมอเพมคน 25 คน บรษทแหงนจะไดผลผลตกชนตอวน

4.2 การอนทกรลจ ากดเขต ให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a,b] ถา F เปนฟงกชนทมอนพนธบนชวง [a,b] โดยท F'(x) f (x) แลว

b

af (x)dx F(b) F(a)

เรยก b

af (x)dx วา อนทกรลจ ากดเขตของฟงกชน f บน [a,b] ใชสญลกษณ b

aF(x) แทน F(b)-F(a)

ขอควรร

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

20

ตวอยาง จงหาคาอนทกรลตอไปน

ก.3

3

1

(x 2)dx

ข.0

2

3

(t t)(t 1)dt

ตวอยาง ถาก าหนดฟงกชน 2f (x) x 4x ใหหาคา a ทท าให a

af (x)dx

=

2

3

PAT1 ก.ค.52 ถา 2f '(x) 3x x 5 และ f(0)=1 แลว1

1f (x)dx

มคาเทากบเทาใด

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

21

PAT1 ต.ค.52 ถา 2f '(x) x 1 และ1

0f (x)dx 0 แลว f (1) มคาเทากบเทาใด

4.3 พนทใตโคง ก าหนดใหฟงกชน f(x) ตอเนองบน [a,b] พนทปดลอมดวยเสนโคงของ f(x) จาก x=a ถง x=b หมายถง พนทของบรเวณทลอมรอบดวยกราฟของ f แกน X เสนตรง x=a และเสนตรง x=b

ทฤษฎบท ก าหนดใหฟงกชน f ตอเนองบน [a,b] และ A เปนพนททปดลอมดวยเสนโคงของ f จาก x=a ถง x=b จะหาไดจากสตรตอไปน

1.ถา f (x) 0 ส าหรบทก x ในชวง [a,b] และb

aA f (x)dx

2.ถา f (x) 0 ส าหรบทก x ในชวง [a,b] และb

aA f (x)dx

ตวอยาง พนททปดลอมดวยเสนตรง y=3-x กบแกน x ในชวง x=0 ถง 4

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

22

ANet 50 พนททปดลอมดวยเสนโคง 3 2y x 2x 2x กบแกน x ในชวง x=0 ถง 4 ตวอยาง ใหหาพนททลอมดวยโคง 2f (x) x 1 กบแกน x ในชวงทก าหนดใหตอไปน ก.ในชวง x=1 ถง 2 ข.ในชวง x=-1 ถง 1 ค.ในชวง x=-2 ถง 0

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

23

ตวอยาง พนทปดลอมดวยโคง 2y x 3x 2 จาก x=0 ถง 2 เฉพาะสวนทอยเหนอแกน x เทากบเทาใด

ตวอยาง ให 2f (x) x c โดย c เปนคาคงตว ซง c 4 ถาพนททปดลอมดวยเสนโคง y=f(x) จาก x=-2 ถง x=1 เทากบ 24 ตารางหนวย แลว c มคาเทาใด ตวอยาง ก าหนดฟงกชน y=f(x) มกราฟเปนเสนตรงตดแกน x ทจด (-1,0) และผานจด (3,6) แลว คา

ของ 3

1f (x)dx

เทากบเทาใด

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

24

ตวอยาง เมอ f(x) เปนกราฟเสนตรงทผานจด (3,5) และ (2,2) ใหหาคา 3

2f (x)dx

ANET 49 ก าหนดให กราฟของ y=f(x) มความชนทจด (x,y) ใดๆ เปน 2x+2 และ f มคาต าสดสมพทธเทากบ -3 พนทปดของอาณาบรเวณทปดลอมดวยกราฟของ y=f(x) แกน X เสนตรง x=-1 และเสนตรง x=0 เทากบขอใดตอไปน

คณตศาสตร แคลคลส www.clipvidva.com

25

เอกสารอางอง

คณต มงคลพทกษสข, “MATH E-BOOK Release2.5”, ส านกพมพ Science Center, 2554.

ชยรตน เจษฎารตตกร, “เอกสารประกอบค าสอนโครงการ Band Summer Camp 2010”

สมย เหลาวานชย, รศ., “ตะลยคลงขอสอบเขามหาวทยาลย วชาคณตศาสตร สาระการเรยนรพนฐานและ

เพมเตม”, ส านกพมพไฮเอด พบบลชชง.

http://kruaun.wordpress.com/testbank/pat1/

http://th.wikipedia.org/wiki/แคลคลส